BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila...
Transcript of BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila...
BAB �
Konsep Dasar
�
BAB �
Solusi Persamaan Fungsi
Polinomial
�
BAB �
Interpolasi dan Aproksimasi
Polinomial
�
BAB �
Metoda Numeris untuk Sistem
Nonlinier
�
BAB �
Metoda Numeris Untuk Masalah
Nilai Awal
Gerak harmonis pendulum �bandul�� sebagaimana digambarkan dibawahini� menunjukkan masalah nilai awal dengan PD order ��
d��
dt��
g
Lsin � � �
��t� � ��� ���t� � ���
Dapat juga ditulis sebagai d��
dt�� g
L� � �� bila � sangat kecil sekali� Dalam
θ
L
hal ini L adalah panjang tali pendulum� g gravitasi bumi dan � sudutantara pendulum dengan posisi setimbang� Selanjutnya solusi analitikterhadap persamaan difrensial ini tidak efektif dilakukan� mengingatpersamaan itu tidak linier� Dengan demikian metoda numeris sangatdibutuhkan�
�
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL �
Persamaan difrensial biasa order pertama dapat disajikan dalam bentuk berikut
dy
dx� f�x� y atau y� � f�x� y� � ��
Solusi dari persamaan ini adalah y�x yang memenuhi persamaan y��x � f�� y�x
di semua titik pada interval domain �a� b�� Selanjutnya persamaan � �� dikatakan
merupakan masalah nilai awal bila solusi itu memenuhi nilai awal y�a � y�� se�
hingga persamaan itu dapat digambarkan sebagai
y� � f�x� y� a � x � b
y�a � y��
Kemudian bila persamaan ini terdiri dari lebih dari satu persamaan yang sa�
ling terkait maka dikatagorikan sebagai sistem persamaan difrensial� Sistem per�
samaan difrensial order pertama disajikan sebagai berikut�
y�� � f��t� y�� y�� � � � � yn
y�� � f��t� y�� y�� � � � � yn
���
y�n � fn�t� y�� y�� � � � � yn�
Atau dalam bentuk umum dapat disajikan sebagai
y�i � fi�t� y�� y�� � � � � yn i � �� �� � � � � n dan a � t � b� � ��
dengan nilai awal y��a � ��� y��a � ��� � � � � y��a � �n�
Metoda numeris pada umumnya diterapkan dalam menyelesaikan sistem per�
samaan difrensial order satu ini� Sehingga bila fenomena yang dihadapi adalah
sistem persamaan difrensial order n maka haruslah ditransformasikan terlebih
dahulu kedalam sistem persamaan difrensial order satu�
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL �
Contoh ����� Transformasikan sistem persamaan difrensial dibawah ini dalam
sistem persamaan difrensial order satu�
u��� � u��v� � xv
v� � v �u
� � x� cos x
dimana u�� � ��� u��� � �� u���� � �� v�� � �
Penyelesaian ����� Misal y� � u� y� � u�� y� � u�� dan y� � v� maka
y�� � u� � y��
y�� � u�� � y��
y�� � u��� � xy� � y��cosx� y� �y�
� � x�
y�� � v� � cos x� y� �y�
� � x�
Nilai awal seakarang adalah y��� � ��� y��� � �� y��� � �� y��� � ��
��� Teori Dasar
Sebelum menyelesaikan suatu model persamaan difrensial terlebih dahulu
harus diselidiki apakah persamaan itu mempunyai solusi �existence atau tidak
dan bila solusi itu ada apakah solusi itu tunggal �uniqueness atau trivial� Per�
tanyaan ini merupakan hal yang sangat penting untuk didahulukan mengingat
betapa kompleknya suatu model fenomena riel yang banyak dimungkinkan tidak
dapat diselesaikan dengan metoda analitik ataupun kualitatif�
Denisi ����� �Sarat Lipschitz� Suatu fungsi f�t� y dikatakan memenuhi sarat
Lipschitz dalam variabel y di suatu domain D � R� jika ada konstanta L � �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
sedemikian hingga
jjf�t� y�� f�t� y�jj � Ljjy� � y�jj
untuk sebarang �t� y�� �t� y� � D� Selanjutnya konstanta L disebut sebagai kons�
tanta Lipschitz�
Denisi ����� �Konvek� Suatu himpunan D � R� dikatakn konvek bila untuk
sebarang �t� y�� �t� y� � D maka titik ��� � �t� � �t�� �� � �y� � �y� juga
merupakan elemen dari D untuk � � ��� ���
Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut
Konvek Tidak Konvek
(t , y )1 1
(t , y )
2 2
1 1
2 2(t , y )
(t , y )
Gambar ��� Diagram kekonvekan untuk D � R�
Teorema ����� Andaikata f�t� y terde�nisi dalam himpunan konvek D � R�
dan ada konstanta L � � dimana
��������dfdy �t� y
�������� � L� untuk semua �t� y � D� � ��
maka f memenuhi suatu sarat Lipschitz�
Teorema ����� Misal D � f�t� yja � t � b��� � y � �g dan f�t� y adalah
fungsi kontinyu dalam D� kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam vari�
abel y maka masalah nilai awal
y��t � f�t� y� a � t � b y�a � �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
mempunyai solusi tunggal y�t untuk a � t � b�
Contoh ����� y� � � � t sin�ty� � � t � �� y�� � �� Tentukan apakah
persamaan ini mempunyai solusi tunggal�
Penyelesaian ����� f�t� y � � � t sin�ty� kemudian terapkan teorema nilai
rata�rata pada buku �Analisa Numerik I� yaitu untuk sebarang y� � y�� maka
ada bilangan � � �y�� y� sedmikian hingga
f�t� y�� f�t� y�
y� � y��
yf�t� � � t� cos�t��
Kemudian
f�t� y�� f�t� y� � �y� � y�t� cos�t�
jjf�t� y�� f�t� y�jj � jj�y� � y�t� cos�t�jj
� jjy� � y�jj jjt� cos�t�jj
� jjy� � y�jj jj max��t��
t� cos�t�jj
� �jjy� � y�jj�
Degan demikian sarat Lipschitz terpenuhi yaitu jjf�t� y��f�t� y�jj � Ljjy��y�jj�
dimana konstanta Lipschitznya adalah L � �� berarti persamaan itu mempunyai
solusi tunggal�
��� Beberapa Metoda Numeris
Ada beberapa metoda numeris yang dapat digunakan dalam menyelesaikan
masalah nilai awal� Metoda�metoda ini dikembangkan dan dikaji berdasarkan
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
ekspansi deret Taylor�
f�x � pn�x �Rn���x � ��
pn�x � f�x� ��x� x�
��f ��x� � � � ��
�x� x�n
n�f �n��x� � �
Rn���x ��
n�
Z x
x�
�x� tnf �n����tdt � �
��x� x�n��
�n� ��f �n����� � ��
untuk � antara x� dan x�
Selanjutnya kita mulai dengan masalah
y� � f�x� y� a � x � b� y�a � y� � ��
Solusi numeris terhadap masalah ini diperoleh dengan membagi doain itu �a� b�
kedalam grid yakni
xi � a� ih� i � �� �� � � � � n� h � �b� an�
Dengan demikian x� � a� dan xn � b� sedangkan h disebut besarnya grid �step�
size� Solusi numerisnya adalah himpunan dari nilai grid
y� � y�x� � a� y�� y�� � � � � yn � ��
Nilai�nilai ini dihitung secara berurutan kemudian hasilnya dipakai sebagai aproksi�
masi terhadap solusi eksak y�x sedemikian hingga
yn � y�xn� n � �� �� �� � � � � n�
����� Metoda Euler
Deret Taylor secara umum adalah
f�x � f�x� ��x� x�
��f ��x� �
�x� x��
��f ����x� � � � � �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
Bila x � x� maka
y�x� � y�x� ��x� � x�
��y��x� �
�x� � x��
��y
��
�x� � � � � �
sedangkan x� � x� � h sehingga secara berurutan disetiap grid dirumuskan
y�xn�� � y�xn ��xn�� � xn
��y��xn �
�xn�� � xn�
��y
��
�xn � � � �
y�xn�� � y�xn �h
��y��xn �
h�
��y
��
�xn �h�
��y
���
�xn � � � �
Formulasi Euler memandang bahwa suku�suku setelah suku kedua dapat dipeng�
gal �truncation mengingat h�
� �h�
� � � � � �hn
n akan mendekati nol� sebagai gantinya
kita hitung
y�xn�� � y�xn �h
��y��xn
yn�� � yn � hf�xn� yn � ���
secara berulang� Rumus ini kemudian disebut dengan Metoda Euler�
Denisi ����� �Kesalahan global� Kesalahan global dide�nisikan sebagai en ��
y�xn� yn
Denisi ����� �Konvergen� Suatu metoda dikatakan konvergen bila
max��i�n
jjy�xi� yijj � � untuk h� �
Denisi ���� �Kesalahan Pemenggalan Lokal� Kesalahan pemenggalan lokal
adalah kesalahan yang ditimbulkan oleh perumusan suatu metoda dalam bentuk
ln �� y�xn�k� yn�k�
Denisi ����� �Order� Suatu metoda dikatakan berorder p bila ln �� O�hp���
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
Denisi ����� �Konsisten� Suatu metoda dikatakan konsisten bila ordernya
minimal satu�
Dapat dibuktikan bahwa metoda Euler adalah berorder satu� hal ini dapat
ditelusuri dengan menentukan kesalahan pemenggalan lokal dari metoda tersebut�
dengan memperluas rumusan Taylor
xn � x� � nh
xn�� � x� � �n � �h
yn�� � y�xn�� � ���
y�xn�� � y�xn �h
��y��xn �
h�
��y���xn �
h�
��y����xn � � � � � ���
y�xn�� � y�xn�h
��y��xn �
h�
��y���xn �
h�
��y����xn � � � � � ���
� ���
Sehingga kesalahan pemenggalan lokal adalah
ln �� y�xn��� yn�� � �y�xn �h
��y��xn �
h�
��y���xn � � � � � y�xn� hy��xn
ln ��h�
��y��xn � � � �
ln �� O�h����
Kemudian suatu metoda harus teruji keakurasiannya dengan meneliti apakah
kesalahan yang ditimbulkan dalam perhitungan semakin mengecil pada setiap
iterasi �konvergen artinya untuk h� � maka kesalahan global en dari Euler harus
mendekati �� Selanjutnya bila suatu metoda memiliki sifat ini dikatakan bahwa
metoda itu memenuhi prinsip dasar �principal property yang harus dipenuhi�
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL �
Teorema ����� Disebarang titik grid xn dalam �a� b� kesalahan global dari metoda
Euler memenuhi sifat
jjenjj �hM�
�L�e�b�a�L � �� � ��
dimana L adalah konstanta Lipschitz dan
jjy���xjj �M�� a � x � b�
Bukti ����� Solusi numeris metoda Euler
yn�� � yn � hf�xn� yn�
dan ekpansi Taylor
y�xn�� � y�xn �h
��y��xn �
h�
��y����n� xn � �n � xn���
Suku terakhir dari deret ini merupakan ekspresi dari kesalahan pemenggalan lokal�
Kurangkan kedua rumus itu dan gunakan terorema sarat Lipschitz diperoleh
jjen��jj � jjenjj�� � hL �h�
�M�
Selanjutnya gunakan fakta bahwa jje�jj � �� jje�jj �h�
� M� dan jje�jj � �� �
hLh�
� M�� sehingga
jjenjj �h�
�M��� � �� � hL � � � �� �� � hLn���
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri� didapat
jjenjj �h�
�M�
�� � hLn � �
�� � hL� �
�h�
�M�
�� � hLn � �
hL
�h
�LM���� � hLn � �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL �
Kita memahami bahwa untuk h�L � � berlaku
�� � hLn � enhL
sedang xn � x� � �nh atau h � xn�x�n
sehingga
enhL � e�xn�x��L � e�b�a�L
sehingga
jjenjj �h
�LM��e
�b�a�L � �
Jelas disini
limh��
jjenjj � ��
Dengan demikian dikatakan bahwa metoda Euler adalah konvergen� �
Contoh ����� Gunakan metoda Euler untuk menyelesaikan persamaan difren�
sial berikut �����
dy
dt� f�t� y � y � t � � t � �
y�� � ��
Penyelesaian ����� Solusi analitik dari persamaan ini adalah y�t � t � � �
�� et� Selanjutnya dengan menetapkan h � ��� dapat dihitung solusi numeris
sebagai berikut�
n � �� t� � � dan y� � �� �
y� � y� � hf�x�� y� � �� � ���f��� �� � �� ��
n � �� t� � � � � � ��� dan y� � �� ���
y� � y� � hf�x�� y� � �� �� � ���f����� �� �� � �� � ��
dan seterusnya� Lakukan dengan cara yang sama sehingga diperoleh tabel berikut
ini
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
tn yn y�tn en��� �� ��� �� ��� ��������� �� �� �� ��� �������� �� � � �� ��� ���� ���� ���� ��� � ��������� ���� �� �� �������� ����� ��� �������� ������ ����� ���� ���� ���� ����� ����� ��� ������ ����� ��������� ������ ����� ��� ����� ������ ����� �����
Dalam visualisasi gra�s kedua solusi itu dapat dibandingkan sebagai berikut
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
__ : Solusi numeris y_n
oo : Solusi analitik y(x)
Gambar ��� Metoda Euler dalam gra�k
����� Metoda Runge�Kutta
Metoda Euler adalah metoda yang cukup lama dikenal� namun demikian
keakura�sian metoda ini masih perlu dipertimbangkan untuk kategori persoalan
yang sedekit lebih komplek� Metoda ini hanya bekerja dengan baik pada awal�
awal interval domain selanjutnya diujung akhir interval domain biasanya me�
ngalami osilasi yang cukup besar �perhatikan gambar ��� Untuk meningkatkan
keakurasian metoda ini diperlukan proses bertahap dengan mengasumsikan suatu
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
estimasi awal �yn��� kemudian tentukan nilai dari turunan di ujung grid xn de�ngan
menghitung f�xn��� �yn��� Selanjutnya selesaikan langkah berikutnya dengan
menggunakan rumus rata�rata dua gradien� yang diberikan berikut ini
�yn�� � yn � hf�xn� yn
yn�� � yn �h
��f�xn� yn � f�xn��� �yn��
Teknik seperti ini lebih akurat daripada metoda Euler�
Metoda Runge Kutta mengadobsi teknik diatas dengan representasi sebagai
berikut
k� � f�xn� yn
k� � f�xn � c�h� yn � ha��k�
yn�� � yn � h�k� � k��
Selanjutnya secara umum dapat disajikan dalam bentuk
k� � f�xn� yn
ki � f�xn � cih� yn � h
i��Xj
aijkj� i � �� �� � � � �m
yn�� � yn � h
mXi�
biki� � ��
Dengan istilah lain metoda ini terkenal dengan nama metoda Ekpslisit Runge
Kutta� dan dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel berikut
dimana ci �Pm
j� aij danPm
i� bi � �� Dengan kata lain dapatlah disajikan
dalam bentuk
Sebagai contoh metoda Runge�Kutta dua tahap adalah
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
�c� a��c� a�� a�����
������
� � �
cm am� am� � � � amm��
b� b� � � � bm�� bm
c A
bT
Dengan demikian dapatlah diuraikan
k� � f�x�� y�
k� � f�x� � h� y� � hk�
yn�� � yn ��
�h�k� � k�� � ���
Kondisi dari Order Runge�Kutta
Order dari metoda Runge�Kutta ditunjukkan dengan jumlah tahap dari metoda
tersebut� Contoh diatas adalah metoda Runge�Kutta dua tahap� berarti order
dari metoda itu adalah �� Selanjutnya setiap order metode ini menunjukkan
kondisi yang berbeda dari hubungan antara elemen matrik A� vektor c dan b�
�� �
��
��
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
Teorema ����� Metoda Runge�Kutta dua tahap yang sekaligus berorder � mem�
punyai sifat sebagai berikut
a�� � c�
b� � b� � �
b�c� ��
�
Bukti ����� Persamaan difrensial adalah
y� � f�x� y� y�x� � y��
Gunakan aturan Chain yakni untuk turunan partial
y�� � fx � fyy� � fx � fyf � ���
y��� � fxx � �fxyf � fyyf� � fy�fx � fyf � ���
f�x�m� y � n � f�x� y � �m
x� n
yf
��
��m
x� n
y�f � � � � � ���
Sekarang ingat ekspansi Taylor
y�xn�� � y�xn �h
��y��xn �
h�
��y���xn �
h�
��y����xn � � � �
y�x� � y�x� � hy��x� �h�
�y���x� �
h�
y����x� � � � � � ���
Perluas k� dan k�
k� � f�x� � c�h� y� � ha��f
� f�x�� y� � h�c�fx � a��ffy�x�� y�
h�
��c��fxx � �c�a��ffxy � a���f
�fyy�x�� y� � � � �
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
Kemudian substitusikan k� dan k� kedalam ����� dengan mempertimbangkan ni�
lai awal y�x� � y��
y� � y� � h�b� � b�f�x�� y� � h�b��c�fx � a��ffy�x�� y�
�h�
�b��c
��fxx � �c�a��ffxy � a���f
�fyy�x�� y� � � � �
y� � y�x� � h�b� � b�y��x� � h�b��c�fx � a��ffy�x�� y�
�h�
�b��c
��fxx � �c�a��ffxy � a���f
�fyy�x�� y� � � � � � ���
Suatu metoda dikatakan berorder p bila ln �� O�hp��� Dengan demikian untuk
order � dalam metoda ini� selisih persamaan ����� dan ����� atau kesalahan
pemenggalan lokal l� � y�x� � y� � O�h���� lihat de�nisi ���� �� Artinya
suku�suku dari l� sebelum O�h��� harus dinolkan� Untuk memenuhi ini maka
tidak ada jalan lain pada persamaan ����� harus mempunyai sifat
a�� � c�
b� � b� � �
b�c� ��
��
Sifat kekonvergenan dari metoda ini dapat dianalisa dengan membuktikan
teorema berikut ini�
Teorema ���� Disebarang titik grid xn dalam �a� b� kesalahan global dari metoda
Runge�Kutta berorder p memenuhi sifat
jjenjj �hpMp��
C �L�e�b�a�
�L � �� � ���
dimana �L adalah konstanta Lipschitz�
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
Buktikan dengan cara yang tidak jauh berbeda dengan pembuktian kekonverge�
nan pada metoda Euler� dan bila benar maka
limh��
jjenjj � ��
sehingga metoda Runge�Kutta adalah metoda yang konvergen�
Contoh ����� Gunakan metoda Runge�Kutta order � untuk menyelesaikan per�
samaan yang tertera dalam contoh ������
Penyelesaian ����� Dengan memanfaatkan rumus yang diberikan pada �����
didapat tabel solusi numeris sebagai berikut�
tn yn y�tn en��� �� ��� �� ��� ��������� �� �� �� ��� ��������� �� �� �� ��� ��������� ��� � ��� � ��������� �� � �� �� ����� �� ���� ��� �������� ����� ����� ��������� ����� ����� ��������� ���� ����� ��������� ����� ����� ��������� ����� ����� ������
Tabel ��� Data hasil eksekusi program metoda Runge�Kutta
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
Dalam gra�k dapat digambarkan sebagai berikut
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
0.64
0.66
0.68
0.7
__ : Solusi numeris
oo : Solusi analitik
Gambar ��� Metoda Runge�Kutta order �
Bila kita bandingkan dengan gambar �� maka metoda Runge�Kutta jelas
memberikan perbedaan yang segni�kan� Solusi dari metoda ini� yn� menginter�
polasi y�xn dengan akurat diseluruh interval domain� Berbeda dengan metoda
Euler yang akurasinya hanya ditunjukkan pada awal interval domain� Dengan
demikian interpolasi oleh hasil metoda ini tidak mengalami osilasi�
����� Metoda Multistep Linier �MML�
Metoda ini berada dalam satu kelas dengan metoda Runge�Kutta� Dalam arti
tingkat keakurasiannya sama�sama berada diatas level metoda Euler� Sedangkan
perbandingan dengan metoda Runge�Kutta sendiri tidak dapat dibandingkan�
hal ini tergantung kepada kompleknya persoalan�
Secara umum metoda multistep dide�nisikan sebagai berikut
kXi�
�iyn�i � h
kXi�
�ifn�i� � ���
Bila �k � � maka metoda ini dikatakan multistep eksplisit dan jika tidak disebut
implisit� Selanjutnya metoda ini dapat dispesi�kasikan kedalam dua bentuk
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
polinomial� yang dinotasikan dengan dan ��
�s � �ksk � �k��s
k�� � � � �� �� �ruas kiri
dan
��s � �ksk � �k��s
k�� � � � �� �� �ruas kanan
Dengan demikian untuk metoda Euler� dapatlah disajikan dalam bentuk � � �
�s� �� �� yang kemudian disebut metoda satu step�
Kondisi dari Order MML
Denisi ���� �Kesalahan pemenggalan lokal� Kesalahan pemenggalan lokal
untuk MML dide�nisikan sebagai berikut
ln �kX
i�
�iy�xn�i � h
kXi�
�if�xn�i� y�xn�i
�kX
i�
�iy�xn�i � h
kXi�
�iy��xn�i� � ��
Rumus ini tidak berbeda dengan deni�si � ����� dengan demikian sesuai dengan
konsep ekspansi Taylor dapatlah ditulis
y�xn�i � y�xn � ih
��y��xn �
�ih�
��y���xn �
�ih�
��y����xn � � � �
y��xn�i � y��xn � ih
��y���xn �
�ih�
��y����xn �
�ih�
��y�����xn � � � �
maka
ln �kXi�
�i
�y�xn � i
h
��y��xn �
�ih�
��y���xn �
�ih�
��y����xn � � � �
�
�h
kXi�
�i
�y��xn � i
h
��y���xn �
�ih�
��y����xn �
�ih�
��y�����xn � � � �
�
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL �
Kelompokkan semua suku yang mempunyai order h yang sama sehingga diperoleh
ln � C�y�xn � C�hy��xn � C�
h�
��y���xn � � � �
dimana
C� � �k � �k�� � � � �� ���
C� �kXi�
i�i �
kXi�
�i�
C� �
kXi�
i��i � �
kXi�
i�i�
���
Cq �
kXi�
iq�i � q
kXi�
iq���i� q � �� �� � � � � p� p � �� � � � � s�
Kemudian suatu metoda dikatakan berorder p bila
C� � C� � � � � � Cp � �� sedang Cp�� � �
Contoh ���� Buktikan bahwa MML berikut ini konsisten dalam order �
yn�� � �yn�� � yn � h��fn�� � �fn
Penyelesaian ���� Gunakan sifat�sifat ����������� dan ��� � sehingga dida�
pat
ln � yn�� � �yn�� � yn � �hfn�� � �hfn
� y�xn�� � �y�xn��� y�xn� �hy��xn��� �hy��xn
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL �
Sederhanakan kedalam y�xn��
ln �
�y�xn�� �
h
��y��xn�� �
h�
��y���xn�� �
h�
��y����xn�� �
h�
��y�����xn�� � � � �
�
��y�xn���
�y�xn���
h
��y��xn�� �
h�
��y���xn���
h�
��y����xn��
�h�
��y�����xn�� � � � �
�� �hy��xn��� �h
�y��xn���
h
��y���xn�� �
h�
��y����xn��
�h�
��y�����xn�� � � � �
�
Dengan mengelompokkan suku�suku yang sama diperoleh
ln � �h
��y�����xn�� � � � �
�h
y�����xn�� � � � � � O�h���
Sehingga terbukti bahwa MML diatas adalah order �
Tidak dapat dipastikan bahwa bila suatu metoda konsisten akan secara otoma�
tis metoda itu konvergen� Oleh karena itu kita membutuhkan sarat lain yaitu
nol�stabil
Denisi ����� �Nol�stabil� Suatu metoda dikatakan memiliki sifat nol�stabil
atau memenuhi kondisi akar bila akar dari �s � � memenuhi sifat jsnj � ��
Bila semua sn � � maka metoda itu dikatakan sangat stabil�
Teorema ����� Bila MML memenuhi sifat konsisten dan sekaligus nol�stabil
maka metoda itu dikatakan konvergen�
konsisten � nol�stabil � konvergen
Teorema ����� Order maksimum dari MML k�step adalah �k untuk implisit
dan �k � � untuk eksplisit� Kemudian MML implisit k�step dengan order p yang
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
mempunyai sifat nol�stabil akan memenuhi sifat p � k � � untuk k genap dan
p � k �� untuk k ganjil� sedangkan MML eksplisit k�step memenuhi sifat p � k�
Berikut ini beberapa contoh MML yang banyak dipakai
�� MML eksplisit
�a yn�� � yn � hfn� order �� dan MML ��step
�b yn�� � yn�� �h
� ��fn�� � fn� order �� dan MML ��step
�c yn�� � yn�� �h
�����fn�� � �fn�� � fn� order �� dan MML ��step
�� MML implisit
�a yn�� � yn �h
� �fn�� � fn� order �� dan MML ��step
�b yn�� � yn�� �h
��� fn�� � �fn�� � fn� order �� dan MML ��step
�c yn�� � yn�� �h
����fn�� � ��fn�� � fn�� � fn� order �� dan MML
��step
Contoh ����� Buktikan bahwa beberapa contoh MML eksplisit maupun implisit
diatas memenuhi sifat konsistensi dan nol stabil�
��� Kesimpulan
Ada beberapa kesimpulan yang dapat dirangkum dalam modul ini� diantaranya
adalah�
� Bentuk umum sistem PDB order pertama adalah
y�i � fi�t� y�� y�� � � � � yn i � �� �� � � � � n dan a � t � b� � ��
dengan nilai awal y��a � ��� y��a � ��� � � � � y��a � �n�
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
� Misal D � f�t� yja � t � b��� � y � �g dan f�t� y adalah fungsi kon�
tinyu dalam D� kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam variabel
y� yaitu
jjf�t� y�� f�t� y�jj � Ljjy� � y�jj
untuk sebarang �t� y�� �t� y� � D dan konstanta L � �� maka
y��t � f�t� y� a � t � b y�a � �
mempunyai solusi tunggal y�t untuk a � t � b�
� Beberapa metoda numeris yang dapat dipakai untuk menyelesaikan PDB
dengan masalah nilai awal adalah
�� Metoda Euler
y�xn�� � y�xn �h
��y��xn
yn�� � yn � hf�xn� yn � ���
�� Metoda Runge�Kutta
k� � f�xn� yn
ki � f�xn � cih� yn � h
i��Xj
aijkj� i � �� �� � � � �m
yn�� � yn � h
mXi�
biki� � ���
�� Metoda Multistep
kXi�
�iyn�i � h
kXi�
�ifn�i� � ���
Bila �k � � maka metoda ini dikatakan multistep eksplisit dan jika
tidak disebut implisit�
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
Latihan Tutorial �
�� Suatu sistem PD yang disajikan dalam persamaan berikut
z�� � �w� � y � ew�
z� � sin y� � w � � � t��
w� � y cos t� z�� � ��
dengan nilai awal z�� � �� z��� � �� y�� � �� w�� � ���� dapat disele�
saikan dengan mudah dalam numerik bila ditransformasikan terlebih dahulu
kedalam sistem PD order satu� laku�kan transformasi itu� Kemudian un�
tuk meyakinkan sistem itu dapat mempunyai solusi tunggal terlebih dahulu
harus dicek dengan teorema Lipschitz� Sebagai gambaran periksa mana
diantara soal berikut ini yang memenuhi teorema Lipschitz�
�a f�t� y � y cos t� � � t � �� y�� � �
�b f�t� y � � � t sin y� � � t � �� y�� � �
�c f�t� y � �ty � t�e�� � � t � �� y�� � �
�d f�t� y � �t�y��t� � � � t � �� y�� � �
dan tentukan besar konstanta Lipschitz dari masing�masing soal ini�
�� Perhatikan PDB y� � �y� dan y� �pjyj� Buktikan bahwa kedua PDB itu
tidak memenuhi syarat Lipschitz pada selang interval � � x � ���� � y �
�� dan pada sebarang nilai awal y�� � y� tunjukkan bahwa persamaan
pertama tidak mempunyai solusi pada � � x � �� Kemudian Buktikan
bahwa persamaan kedua tidak mempunyai solusi tunggal untuk y�� � ��
BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��
�� Ada beberapa metoda yang dapat dipakai untuk menyelesaikan sistem PD
diatas diantaranya dengan metoda yang sederhana dari Euler yn�� � yn �
hf�t� y� Sebagai metoda teknik Euler ini harus memenuhi sifat prinsip
kekonvergenan� sekarang tunjukkan apakah metoda ini merupakan metoda
yang konvergen �gunakan teorema Lipschitz� Kemudian terapkan metoda
ini dalam sistem persamaan order pertama soal no� � untuk menghitung
y��
�� Berikan penjelasan lengkap bagaimana metoda Runge�Kutta diformu�
lasikan� Dan Buktikan bahwa metoda Runge�Kutta dua tahap �Runge�
Kutta order � mempunyai sifat sebagai berikut�
a�� � c�
b� � b� � �
b�c� ��
�
� Perbincangan kekonvergenan dapat ditempuh dengan memahami teorema
konsistensi dan nol�stabil� Sebutkan bunyi kedua teorema tadi dan telusuri
apakah metoda MML dibawah ini konsisten atau nol�stabil�
yn�� ��
�yn�� � �yn�� �
�
�yn � �hf�tn��� yn��
Sebenarnya dengan rumusPk
i� �iyn�i � hPk
i� �ifn�i kita dapat menen�
tukan sendiri koe�sien dari metoda ini terlepas dari metoda yang diperoleh
itu konvergen atau tidak� Coba gunakan �� � � dan �� � �� dan tentukan
MML eksplisit step � ini� kemudian beri komentar tentang kekonverge�
nanya�