BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila...

28

Transcript of BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila...

Page 1: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �

Konsep Dasar

Page 2: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �

Solusi Persamaan Fungsi

Polinomial

Page 3: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �

Interpolasi dan Aproksimasi

Polinomial

Page 4: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �

Metoda Numeris untuk Sistem

Nonlinier

Page 5: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �

Metoda Numeris Untuk Masalah

Nilai Awal

Gerak harmonis pendulum �bandul�� sebagaimana digambarkan dibawahini� menunjukkan masalah nilai awal dengan PD order ��

d��

dt��

g

Lsin � � �

��t� � ��� ���t� � ���

Dapat juga ditulis sebagai d��

dt�� g

L� � �� bila � sangat kecil sekali� Dalam

θ

L

hal ini L adalah panjang tali pendulum� g gravitasi bumi dan � sudutantara pendulum dengan posisi setimbang� Selanjutnya solusi analitikterhadap persamaan difrensial ini tidak efektif dilakukan� mengingatpersamaan itu tidak linier� Dengan demikian metoda numeris sangatdibutuhkan�

Page 6: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL �

Persamaan difrensial biasa order pertama dapat disajikan dalam bentuk berikut

dy

dx� f�x� y atau y� � f�x� y� � ��

Solusi dari persamaan ini adalah y�x yang memenuhi persamaan y��x � f�� y�x

di semua titik pada interval domain �a� b�� Selanjutnya persamaan � �� dikatakan

merupakan masalah nilai awal bila solusi itu memenuhi nilai awal y�a � y�� se�

hingga persamaan itu dapat digambarkan sebagai

y� � f�x� y� a � x � b

y�a � y��

Kemudian bila persamaan ini terdiri dari lebih dari satu persamaan yang sa�

ling terkait maka dikatagorikan sebagai sistem persamaan difrensial� Sistem per�

samaan difrensial order pertama disajikan sebagai berikut�

y�� � f��t� y�� y�� � � � � yn

y�� � f��t� y�� y�� � � � � yn

���

y�n � fn�t� y�� y�� � � � � yn�

Atau dalam bentuk umum dapat disajikan sebagai

y�i � fi�t� y�� y�� � � � � yn i � �� �� � � � � n dan a � t � b� � ��

dengan nilai awal y��a � ��� y��a � ��� � � � � y��a � �n�

Metoda numeris pada umumnya diterapkan dalam menyelesaikan sistem per�

samaan difrensial order satu ini� Sehingga bila fenomena yang dihadapi adalah

sistem persamaan difrensial order n maka haruslah ditransformasikan terlebih

dahulu kedalam sistem persamaan difrensial order satu�

Page 7: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL �

Contoh ����� Transformasikan sistem persamaan difrensial dibawah ini dalam

sistem persamaan difrensial order satu�

u��� � u��v� � xv

v� � v �u

� � x� cos x

dimana u�� � ��� u��� � �� u���� � �� v�� � �

Penyelesaian ����� Misal y� � u� y� � u�� y� � u�� dan y� � v� maka

y�� � u� � y��

y�� � u�� � y��

y�� � u��� � xy� � y��cosx� y� �y�

� � x�

y�� � v� � cos x� y� �y�

� � x�

Nilai awal seakarang adalah y��� � ��� y��� � �� y��� � �� y��� � ��

��� Teori Dasar

Sebelum menyelesaikan suatu model persamaan difrensial terlebih dahulu

harus diselidiki apakah persamaan itu mempunyai solusi �existence atau tidak

dan bila solusi itu ada apakah solusi itu tunggal �uniqueness atau trivial� Per�

tanyaan ini merupakan hal yang sangat penting untuk didahulukan mengingat

betapa kompleknya suatu model fenomena riel yang banyak dimungkinkan tidak

dapat diselesaikan dengan metoda analitik ataupun kualitatif�

Denisi ����� �Sarat Lipschitz� Suatu fungsi f�t� y dikatakan memenuhi sarat

Lipschitz dalam variabel y di suatu domain D � R� jika ada konstanta L � �

Page 8: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

sedemikian hingga

jjf�t� y�� f�t� y�jj � Ljjy� � y�jj

untuk sebarang �t� y�� �t� y� � D� Selanjutnya konstanta L disebut sebagai kons�

tanta Lipschitz�

Denisi ����� �Konvek� Suatu himpunan D � R� dikatakn konvek bila untuk

sebarang �t� y�� �t� y� � D maka titik ��� � �t� � �t�� �� � �y� � �y� juga

merupakan elemen dari D untuk � � ��� ���

Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut

Konvek Tidak Konvek

(t , y )1 1

(t , y )

2 2

1 1

2 2(t , y )

(t , y )

Gambar ��� Diagram kekonvekan untuk D � R�

Teorema ����� Andaikata f�t� y terde�nisi dalam himpunan konvek D � R�

dan ada konstanta L � � dimana

��������dfdy �t� y

�������� � L� untuk semua �t� y � D� � ��

maka f memenuhi suatu sarat Lipschitz�

Teorema ����� Misal D � f�t� yja � t � b��� � y � �g dan f�t� y adalah

fungsi kontinyu dalam D� kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam vari�

abel y maka masalah nilai awal

y��t � f�t� y� a � t � b y�a � �

Page 9: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

mempunyai solusi tunggal y�t untuk a � t � b�

Contoh ����� y� � � � t sin�ty� � � t � �� y�� � �� Tentukan apakah

persamaan ini mempunyai solusi tunggal�

Penyelesaian ����� f�t� y � � � t sin�ty� kemudian terapkan teorema nilai

rata�rata pada buku �Analisa Numerik I� yaitu untuk sebarang y� � y�� maka

ada bilangan � � �y�� y� sedmikian hingga

f�t� y�� f�t� y�

y� � y��

yf�t� � � t� cos�t��

Kemudian

f�t� y�� f�t� y� � �y� � y�t� cos�t�

jjf�t� y�� f�t� y�jj � jj�y� � y�t� cos�t�jj

� jjy� � y�jj jjt� cos�t�jj

� jjy� � y�jj jj max��t��

t� cos�t�jj

� �jjy� � y�jj�

Degan demikian sarat Lipschitz terpenuhi yaitu jjf�t� y��f�t� y�jj � Ljjy��y�jj�

dimana konstanta Lipschitznya adalah L � �� berarti persamaan itu mempunyai

solusi tunggal�

��� Beberapa Metoda Numeris

Ada beberapa metoda numeris yang dapat digunakan dalam menyelesaikan

masalah nilai awal� Metoda�metoda ini dikembangkan dan dikaji berdasarkan

Page 10: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

ekspansi deret Taylor�

f�x � pn�x �Rn���x � ��

pn�x � f�x� ��x� x�

��f ��x� � � � ��

�x� x�n

n�f �n��x� � �

Rn���x ��

n�

Z x

x�

�x� tnf �n����tdt � �

��x� x�n��

�n� ��f �n����� � ��

untuk � antara x� dan x�

Selanjutnya kita mulai dengan masalah

y� � f�x� y� a � x � b� y�a � y� � ��

Solusi numeris terhadap masalah ini diperoleh dengan membagi doain itu �a� b�

kedalam grid yakni

xi � a� ih� i � �� �� � � � � n� h � �b� an�

Dengan demikian x� � a� dan xn � b� sedangkan h disebut besarnya grid �step�

size� Solusi numerisnya adalah himpunan dari nilai grid

y� � y�x� � a� y�� y�� � � � � yn � ��

Nilai�nilai ini dihitung secara berurutan kemudian hasilnya dipakai sebagai aproksi�

masi terhadap solusi eksak y�x sedemikian hingga

yn � y�xn� n � �� �� �� � � � � n�

����� Metoda Euler

Deret Taylor secara umum adalah

f�x � f�x� ��x� x�

��f ��x� �

�x� x��

��f ����x� � � � � �

Page 11: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

Bila x � x� maka

y�x� � y�x� ��x� � x�

��y��x� �

�x� � x��

��y

��

�x� � � � � �

sedangkan x� � x� � h sehingga secara berurutan disetiap grid dirumuskan

y�xn�� � y�xn ��xn�� � xn

��y��xn �

�xn�� � xn�

��y

��

�xn � � � �

y�xn�� � y�xn �h

��y��xn �

h�

��y

��

�xn �h�

��y

���

�xn � � � �

Formulasi Euler memandang bahwa suku�suku setelah suku kedua dapat dipeng�

gal �truncation mengingat h�

� �h�

� � � � � �hn

n akan mendekati nol� sebagai gantinya

kita hitung

y�xn�� � y�xn �h

��y��xn

yn�� � yn � hf�xn� yn � ���

secara berulang� Rumus ini kemudian disebut dengan Metoda Euler�

Denisi ����� �Kesalahan global� Kesalahan global dide�nisikan sebagai en ��

y�xn� yn

Denisi ����� �Konvergen� Suatu metoda dikatakan konvergen bila

max��i�n

jjy�xi� yijj � � untuk h� �

Denisi ���� �Kesalahan Pemenggalan Lokal� Kesalahan pemenggalan lokal

adalah kesalahan yang ditimbulkan oleh perumusan suatu metoda dalam bentuk

ln �� y�xn�k� yn�k�

Denisi ����� �Order� Suatu metoda dikatakan berorder p bila ln �� O�hp���

Page 12: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

Denisi ����� �Konsisten� Suatu metoda dikatakan konsisten bila ordernya

minimal satu�

Dapat dibuktikan bahwa metoda Euler adalah berorder satu� hal ini dapat

ditelusuri dengan menentukan kesalahan pemenggalan lokal dari metoda tersebut�

dengan memperluas rumusan Taylor

xn � x� � nh

xn�� � x� � �n � �h

yn�� � y�xn�� � ���

y�xn�� � y�xn �h

��y��xn �

h�

��y���xn �

h�

��y����xn � � � � � ���

y�xn�� � y�xn�h

��y��xn �

h�

��y���xn �

h�

��y����xn � � � � � ���

� ���

Sehingga kesalahan pemenggalan lokal adalah

ln �� y�xn��� yn�� � �y�xn �h

��y��xn �

h�

��y���xn � � � � � y�xn� hy��xn

ln ��h�

��y��xn � � � �

ln �� O�h����

Kemudian suatu metoda harus teruji keakurasiannya dengan meneliti apakah

kesalahan yang ditimbulkan dalam perhitungan semakin mengecil pada setiap

iterasi �konvergen artinya untuk h� � maka kesalahan global en dari Euler harus

mendekati �� Selanjutnya bila suatu metoda memiliki sifat ini dikatakan bahwa

metoda itu memenuhi prinsip dasar �principal property yang harus dipenuhi�

Page 13: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL �

Teorema ����� Disebarang titik grid xn dalam �a� b� kesalahan global dari metoda

Euler memenuhi sifat

jjenjj �hM�

�L�e�b�a�L � �� � ��

dimana L adalah konstanta Lipschitz dan

jjy���xjj �M�� a � x � b�

Bukti ����� Solusi numeris metoda Euler

yn�� � yn � hf�xn� yn�

dan ekpansi Taylor

y�xn�� � y�xn �h

��y��xn �

h�

��y����n� xn � �n � xn���

Suku terakhir dari deret ini merupakan ekspresi dari kesalahan pemenggalan lokal�

Kurangkan kedua rumus itu dan gunakan terorema sarat Lipschitz diperoleh

jjen��jj � jjenjj�� � hL �h�

�M�

Selanjutnya gunakan fakta bahwa jje�jj � �� jje�jj �h�

� M� dan jje�jj � �� �

hLh�

� M�� sehingga

jjenjj �h�

�M��� � �� � hL � � � �� �� � hLn���

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri� didapat

jjenjj �h�

�M�

�� � hLn � �

�� � hL� �

�h�

�M�

�� � hLn � �

hL

�h

�LM���� � hLn � �

Page 14: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL �

Kita memahami bahwa untuk h�L � � berlaku

�� � hLn � enhL

sedang xn � x� � �nh atau h � xn�x�n

sehingga

enhL � e�xn�x��L � e�b�a�L

sehingga

jjenjj �h

�LM��e

�b�a�L � �

Jelas disini

limh��

jjenjj � ��

Dengan demikian dikatakan bahwa metoda Euler adalah konvergen� �

Contoh ����� Gunakan metoda Euler untuk menyelesaikan persamaan difren�

sial berikut �����

dy

dt� f�t� y � y � t � � t � �

y�� � ��

Penyelesaian ����� Solusi analitik dari persamaan ini adalah y�t � t � � �

�� et� Selanjutnya dengan menetapkan h � ��� dapat dihitung solusi numeris

sebagai berikut�

n � �� t� � � dan y� � �� �

y� � y� � hf�x�� y� � �� � ���f��� �� � �� ��

n � �� t� � � � � � ��� dan y� � �� ���

y� � y� � hf�x�� y� � �� �� � ���f����� �� �� � �� � ��

dan seterusnya� Lakukan dengan cara yang sama sehingga diperoleh tabel berikut

ini

Page 15: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

tn yn y�tn en��� �� ��� �� ��� ��������� �� �� �� ��� �������� �� � � �� ��� ���� ���� ���� ��� � ��������� ���� �� �� �������� ����� ��� �������� ������ ����� ���� ���� ���� ����� ����� ��� ������ ����� ��������� ������ ����� ��� ����� ������ ����� �����

Dalam visualisasi gra�s kedua solusi itu dapat dibandingkan sebagai berikut

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

__ : Solusi numeris y_n

oo : Solusi analitik y(x)

Gambar ��� Metoda Euler dalam gra�k

����� Metoda Runge�Kutta

Metoda Euler adalah metoda yang cukup lama dikenal� namun demikian

keakura�sian metoda ini masih perlu dipertimbangkan untuk kategori persoalan

yang sedekit lebih komplek� Metoda ini hanya bekerja dengan baik pada awal�

awal interval domain selanjutnya diujung akhir interval domain biasanya me�

ngalami osilasi yang cukup besar �perhatikan gambar ��� Untuk meningkatkan

keakurasian metoda ini diperlukan proses bertahap dengan mengasumsikan suatu

Page 16: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

estimasi awal �yn��� kemudian tentukan nilai dari turunan di ujung grid xn de�ngan

menghitung f�xn��� �yn��� Selanjutnya selesaikan langkah berikutnya dengan

menggunakan rumus rata�rata dua gradien� yang diberikan berikut ini

�yn�� � yn � hf�xn� yn

yn�� � yn �h

��f�xn� yn � f�xn��� �yn��

Teknik seperti ini lebih akurat daripada metoda Euler�

Metoda Runge Kutta mengadobsi teknik diatas dengan representasi sebagai

berikut

k� � f�xn� yn

k� � f�xn � c�h� yn � ha��k�

yn�� � yn � h�k� � k��

Selanjutnya secara umum dapat disajikan dalam bentuk

k� � f�xn� yn

ki � f�xn � cih� yn � h

i��Xj

aijkj� i � �� �� � � � �m

yn�� � yn � h

mXi�

biki� � ��

Dengan istilah lain metoda ini terkenal dengan nama metoda Ekpslisit Runge

Kutta� dan dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel berikut

dimana ci �Pm

j� aij danPm

i� bi � �� Dengan kata lain dapatlah disajikan

dalam bentuk

Sebagai contoh metoda Runge�Kutta dua tahap adalah

Page 17: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

�c� a��c� a�� a�����

������

� � �

cm am� am� � � � amm��

b� b� � � � bm�� bm

c A

bT

Dengan demikian dapatlah diuraikan

k� � f�x�� y�

k� � f�x� � h� y� � hk�

yn�� � yn ��

�h�k� � k�� � ���

Kondisi dari Order Runge�Kutta

Order dari metoda Runge�Kutta ditunjukkan dengan jumlah tahap dari metoda

tersebut� Contoh diatas adalah metoda Runge�Kutta dua tahap� berarti order

dari metoda itu adalah �� Selanjutnya setiap order metode ini menunjukkan

kondisi yang berbeda dari hubungan antara elemen matrik A� vektor c dan b�

�� �

��

��

Page 18: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

Teorema ����� Metoda Runge�Kutta dua tahap yang sekaligus berorder � mem�

punyai sifat sebagai berikut

a�� � c�

b� � b� � �

b�c� ��

Bukti ����� Persamaan difrensial adalah

y� � f�x� y� y�x� � y��

Gunakan aturan Chain yakni untuk turunan partial

y�� � fx � fyy� � fx � fyf � ���

y��� � fxx � �fxyf � fyyf� � fy�fx � fyf � ���

f�x�m� y � n � f�x� y � �m

x� n

yf

��

��m

x� n

y�f � � � � � ���

Sekarang ingat ekspansi Taylor

y�xn�� � y�xn �h

��y��xn �

h�

��y���xn �

h�

��y����xn � � � �

y�x� � y�x� � hy��x� �h�

�y���x� �

h�

y����x� � � � � � ���

Perluas k� dan k�

k� � f�x� � c�h� y� � ha��f

� f�x�� y� � h�c�fx � a��ffy�x�� y�

h�

��c��fxx � �c�a��ffxy � a���f

�fyy�x�� y� � � � �

Page 19: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

Kemudian substitusikan k� dan k� kedalam ����� dengan mempertimbangkan ni�

lai awal y�x� � y��

y� � y� � h�b� � b�f�x�� y� � h�b��c�fx � a��ffy�x�� y�

�h�

�b��c

��fxx � �c�a��ffxy � a���f

�fyy�x�� y� � � � �

y� � y�x� � h�b� � b�y��x� � h�b��c�fx � a��ffy�x�� y�

�h�

�b��c

��fxx � �c�a��ffxy � a���f

�fyy�x�� y� � � � � � ���

Suatu metoda dikatakan berorder p bila ln �� O�hp��� Dengan demikian untuk

order � dalam metoda ini� selisih persamaan ����� dan ����� atau kesalahan

pemenggalan lokal l� � y�x� � y� � O�h���� lihat de�nisi ���� �� Artinya

suku�suku dari l� sebelum O�h��� harus dinolkan� Untuk memenuhi ini maka

tidak ada jalan lain pada persamaan ����� harus mempunyai sifat

a�� � c�

b� � b� � �

b�c� ��

��

Sifat kekonvergenan dari metoda ini dapat dianalisa dengan membuktikan

teorema berikut ini�

Teorema ���� Disebarang titik grid xn dalam �a� b� kesalahan global dari metoda

Runge�Kutta berorder p memenuhi sifat

jjenjj �hpMp��

C �L�e�b�a�

�L � �� � ���

dimana �L adalah konstanta Lipschitz�

Page 20: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

Buktikan dengan cara yang tidak jauh berbeda dengan pembuktian kekonverge�

nan pada metoda Euler� dan bila benar maka

limh��

jjenjj � ��

sehingga metoda Runge�Kutta adalah metoda yang konvergen�

Contoh ����� Gunakan metoda Runge�Kutta order � untuk menyelesaikan per�

samaan yang tertera dalam contoh ������

Penyelesaian ����� Dengan memanfaatkan rumus yang diberikan pada �����

didapat tabel solusi numeris sebagai berikut�

tn yn y�tn en��� �� ��� �� ��� ��������� �� �� �� ��� ��������� �� �� �� ��� ��������� ��� � ��� � ��������� �� � �� �� ����� �� ���� ��� �������� ����� ����� ��������� ����� ����� ��������� ���� ����� ��������� ����� ����� ��������� ����� ����� ������

Tabel ��� Data hasil eksekusi program metoda Runge�Kutta

Page 21: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

Dalam gra�k dapat digambarkan sebagai berikut

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

__ : Solusi numeris

oo : Solusi analitik

Gambar ��� Metoda Runge�Kutta order �

Bila kita bandingkan dengan gambar �� maka metoda Runge�Kutta jelas

memberikan perbedaan yang segni�kan� Solusi dari metoda ini� yn� menginter�

polasi y�xn dengan akurat diseluruh interval domain� Berbeda dengan metoda

Euler yang akurasinya hanya ditunjukkan pada awal interval domain� Dengan

demikian interpolasi oleh hasil metoda ini tidak mengalami osilasi�

����� Metoda Multistep Linier �MML�

Metoda ini berada dalam satu kelas dengan metoda Runge�Kutta� Dalam arti

tingkat keakurasiannya sama�sama berada diatas level metoda Euler� Sedangkan

perbandingan dengan metoda Runge�Kutta sendiri tidak dapat dibandingkan�

hal ini tergantung kepada kompleknya persoalan�

Secara umum metoda multistep dide�nisikan sebagai berikut

kXi�

�iyn�i � h

kXi�

�ifn�i� � ���

Bila �k � � maka metoda ini dikatakan multistep eksplisit dan jika tidak disebut

implisit� Selanjutnya metoda ini dapat dispesi�kasikan kedalam dua bentuk

Page 22: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

polinomial� yang dinotasikan dengan dan ��

�s � �ksk � �k��s

k�� � � � �� �� �ruas kiri

dan

��s � �ksk � �k��s

k�� � � � �� �� �ruas kanan

Dengan demikian untuk metoda Euler� dapatlah disajikan dalam bentuk � � �

�s� �� �� yang kemudian disebut metoda satu step�

Kondisi dari Order MML

Denisi ���� �Kesalahan pemenggalan lokal� Kesalahan pemenggalan lokal

untuk MML dide�nisikan sebagai berikut

ln �kX

i�

�iy�xn�i � h

kXi�

�if�xn�i� y�xn�i

�kX

i�

�iy�xn�i � h

kXi�

�iy��xn�i� � ��

Rumus ini tidak berbeda dengan deni�si � ����� dengan demikian sesuai dengan

konsep ekspansi Taylor dapatlah ditulis

y�xn�i � y�xn � ih

��y��xn �

�ih�

��y���xn �

�ih�

��y����xn � � � �

y��xn�i � y��xn � ih

��y���xn �

�ih�

��y����xn �

�ih�

��y�����xn � � � �

maka

ln �kXi�

�i

�y�xn � i

h

��y��xn �

�ih�

��y���xn �

�ih�

��y����xn � � � �

�h

kXi�

�i

�y��xn � i

h

��y���xn �

�ih�

��y����xn �

�ih�

��y�����xn � � � �

Page 23: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL �

Kelompokkan semua suku yang mempunyai order h yang sama sehingga diperoleh

ln � C�y�xn � C�hy��xn � C�

h�

��y���xn � � � �

dimana

C� � �k � �k�� � � � �� ���

C� �kXi�

i�i �

kXi�

�i�

C� �

kXi�

i��i � �

kXi�

i�i�

���

Cq �

kXi�

iq�i � q

kXi�

iq���i� q � �� �� � � � � p� p � �� � � � � s�

Kemudian suatu metoda dikatakan berorder p bila

C� � C� � � � � � Cp � �� sedang Cp�� � �

Contoh ���� Buktikan bahwa MML berikut ini konsisten dalam order �

yn�� � �yn�� � yn � h��fn�� � �fn

Penyelesaian ���� Gunakan sifat�sifat ����������� dan ��� � sehingga dida�

pat

ln � yn�� � �yn�� � yn � �hfn�� � �hfn

� y�xn�� � �y�xn��� y�xn� �hy��xn��� �hy��xn

Page 24: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL �

Sederhanakan kedalam y�xn��

ln �

�y�xn�� �

h

��y��xn�� �

h�

��y���xn�� �

h�

��y����xn�� �

h�

��y�����xn�� � � � �

��y�xn���

�y�xn���

h

��y��xn�� �

h�

��y���xn���

h�

��y����xn��

�h�

��y�����xn�� � � � �

�� �hy��xn��� �h

�y��xn���

h

��y���xn�� �

h�

��y����xn��

�h�

��y�����xn�� � � � �

Dengan mengelompokkan suku�suku yang sama diperoleh

ln � �h

��y�����xn�� � � � �

�h

y�����xn�� � � � � � O�h���

Sehingga terbukti bahwa MML diatas adalah order �

Tidak dapat dipastikan bahwa bila suatu metoda konsisten akan secara otoma�

tis metoda itu konvergen� Oleh karena itu kita membutuhkan sarat lain yaitu

nol�stabil

Denisi ����� �Nol�stabil� Suatu metoda dikatakan memiliki sifat nol�stabil

atau memenuhi kondisi akar bila akar dari �s � � memenuhi sifat jsnj � ��

Bila semua sn � � maka metoda itu dikatakan sangat stabil�

Teorema ����� Bila MML memenuhi sifat konsisten dan sekaligus nol�stabil

maka metoda itu dikatakan konvergen�

konsisten � nol�stabil � konvergen

Teorema ����� Order maksimum dari MML k�step adalah �k untuk implisit

dan �k � � untuk eksplisit� Kemudian MML implisit k�step dengan order p yang

Page 25: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

mempunyai sifat nol�stabil akan memenuhi sifat p � k � � untuk k genap dan

p � k �� untuk k ganjil� sedangkan MML eksplisit k�step memenuhi sifat p � k�

Berikut ini beberapa contoh MML yang banyak dipakai

�� MML eksplisit

�a yn�� � yn � hfn� order �� dan MML ��step

�b yn�� � yn�� �h

� ��fn�� � fn� order �� dan MML ��step

�c yn�� � yn�� �h

�����fn�� � �fn�� � fn� order �� dan MML ��step

�� MML implisit

�a yn�� � yn �h

� �fn�� � fn� order �� dan MML ��step

�b yn�� � yn�� �h

��� fn�� � �fn�� � fn� order �� dan MML ��step

�c yn�� � yn�� �h

����fn�� � ��fn�� � fn�� � fn� order �� dan MML

��step

Contoh ����� Buktikan bahwa beberapa contoh MML eksplisit maupun implisit

diatas memenuhi sifat konsistensi dan nol stabil�

��� Kesimpulan

Ada beberapa kesimpulan yang dapat dirangkum dalam modul ini� diantaranya

adalah�

� Bentuk umum sistem PDB order pertama adalah

y�i � fi�t� y�� y�� � � � � yn i � �� �� � � � � n dan a � t � b� � ��

dengan nilai awal y��a � ��� y��a � ��� � � � � y��a � �n�

Page 26: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

� Misal D � f�t� yja � t � b��� � y � �g dan f�t� y adalah fungsi kon�

tinyu dalam D� kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam variabel

y� yaitu

jjf�t� y�� f�t� y�jj � Ljjy� � y�jj

untuk sebarang �t� y�� �t� y� � D dan konstanta L � �� maka

y��t � f�t� y� a � t � b y�a � �

mempunyai solusi tunggal y�t untuk a � t � b�

� Beberapa metoda numeris yang dapat dipakai untuk menyelesaikan PDB

dengan masalah nilai awal adalah

�� Metoda Euler

y�xn�� � y�xn �h

��y��xn

yn�� � yn � hf�xn� yn � ���

�� Metoda Runge�Kutta

k� � f�xn� yn

ki � f�xn � cih� yn � h

i��Xj

aijkj� i � �� �� � � � �m

yn�� � yn � h

mXi�

biki� � ���

�� Metoda Multistep

kXi�

�iyn�i � h

kXi�

�ifn�i� � ���

Bila �k � � maka metoda ini dikatakan multistep eksplisit dan jika

tidak disebut implisit�

Page 27: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

Latihan Tutorial �

�� Suatu sistem PD yang disajikan dalam persamaan berikut

z�� � �w� � y � ew�

z� � sin y� � w � � � t��

w� � y cos t� z�� � ��

dengan nilai awal z�� � �� z��� � �� y�� � �� w�� � ���� dapat disele�

saikan dengan mudah dalam numerik bila ditransformasikan terlebih dahulu

kedalam sistem PD order satu� laku�kan transformasi itu� Kemudian un�

tuk meyakinkan sistem itu dapat mempunyai solusi tunggal terlebih dahulu

harus dicek dengan teorema Lipschitz� Sebagai gambaran periksa mana

diantara soal berikut ini yang memenuhi teorema Lipschitz�

�a f�t� y � y cos t� � � t � �� y�� � �

�b f�t� y � � � t sin y� � � t � �� y�� � �

�c f�t� y � �ty � t�e�� � � t � �� y�� � �

�d f�t� y � �t�y��t� � � � t � �� y�� � �

dan tentukan besar konstanta Lipschitz dari masing�masing soal ini�

�� Perhatikan PDB y� � �y� dan y� �pjyj� Buktikan bahwa kedua PDB itu

tidak memenuhi syarat Lipschitz pada selang interval � � x � ���� � y �

�� dan pada sebarang nilai awal y�� � y� tunjukkan bahwa persamaan

pertama tidak mempunyai solusi pada � � x � �� Kemudian Buktikan

bahwa persamaan kedua tidak mempunyai solusi tunggal untuk y�� � ��

Page 28: BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · Gerak harmonis p endulum bandul sebagaimana digam ... bila sangat k ecil sek ali Dalam θ L hal ini L adalah panjang tali p endulum g gra vitasi

BAB �� METODA NUMERIS UNTUK MASALAH NILAI AWAL ��

�� Ada beberapa metoda yang dapat dipakai untuk menyelesaikan sistem PD

diatas diantaranya dengan metoda yang sederhana dari Euler yn�� � yn �

hf�t� y� Sebagai metoda teknik Euler ini harus memenuhi sifat prinsip

kekonvergenan� sekarang tunjukkan apakah metoda ini merupakan metoda

yang konvergen �gunakan teorema Lipschitz� Kemudian terapkan metoda

ini dalam sistem persamaan order pertama soal no� � untuk menghitung

y��

�� Berikan penjelasan lengkap bagaimana metoda Runge�Kutta diformu�

lasikan� Dan Buktikan bahwa metoda Runge�Kutta dua tahap �Runge�

Kutta order � mempunyai sifat sebagai berikut�

a�� � c�

b� � b� � �

b�c� ��

� Perbincangan kekonvergenan dapat ditempuh dengan memahami teorema

konsistensi dan nol�stabil� Sebutkan bunyi kedua teorema tadi dan telusuri

apakah metoda MML dibawah ini konsisten atau nol�stabil�

yn�� ��

�yn�� � �yn�� �

�yn � �hf�tn��� yn��

Sebenarnya dengan rumusPk

i� �iyn�i � hPk

i� �ifn�i kita dapat menen�

tukan sendiri koe�sien dari metoda ini terlepas dari metoda yang diperoleh

itu konvergen atau tidak� Coba gunakan �� � � dan �� � �� dan tentukan

MML eksplisit step � ini� kemudian beri komentar tentang kekonverge�

nanya�