MATEMÁTICA

Editora Exato 14

ANÁLISE COMBINATÓRIA 1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTA-

GEM (PFC)

Se um experimento A1 apresenta n1 resultados

distintos e um experimento A2 apresenta n2 resultados

distintos, e, assim sucessivamente, até um experi-

mento An com nn resultados distintos, então o expe-

rimento composto A1, A2, ..., An, nessa ordem,

apresenta n1.n2.n3 ... nn resultados distintos.

2. FATORIAL

Denomina-se fatorial de um número qualquer

“P” (P e ℵ) o produto desse número “P” por todos os

seus antecedentes inteiros até chegar a 1.

Exemplos: � 2! = 2.1 = 2

� 3! = 3.1 = 3

� 4! = 4 . 3.2.1=24

� P! = P.(P-1).(P-2). ... .1

P! – lê-se P fatorial

0! = 1

1! = 1

3. ARRANJO SIMPLES

São agrupados que diferem pela ordem e pela

natureza de seus elementos. O arranjo simples de n

elementos, tomados p a p, simboliza todos os agru-

pamentos simples.

3.1. Número de Arranjos simples O número de arranjos simples de n elementos,

tomados p a p, é calculado pela relação

{

n,p

represen taçãousual

n!A

(n p)!=

−.

4. PERMUTAÇÃO SIMPLES

Considere um conjunto A com n elementos

distintos. Define-se como permutações simples de n

elementos de A o arranjo de n elementos, tomados n

a n.

4.1. Número total de permutações O número total de permutações de n elemen-

tos, indicado por Pn, é dado por:

{ ( )n n,n n n

arranjo

n!P A P P n!

n n != ⇒ = ⇒ =

−.

5. PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS RE-

PETIDOS

Considere um conjunto A com n elementos,

dentre os quais os elementos 1 2 nN ,N ,...,N aparecem

1 2 n, ,...,α α α . O numero total de permutações usando

os n elementos do conjunto A é dado por:

1 2 n, ,...,

n

1 2 n

n!P

! !...

α α α=

α α α.

6. COMBINAÇÃO SIMPLES

Considere um conjunto A com n elementos

distintos. Define-se como combinação simples de n

elementos tomados p a p a todo subconjunto de A

com p elementos. São agrupamentos que diferem

somente pela natureza de seus elementos.

6.1. Número de Combinações Simples O número total de combinações simples de n

elementos tomados p a p, indicado por n,p

nC

p

=

, é

dado por:

( )n,p

n n!C

p n p !p!

= =

− .

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 Calcule o número de anagramas da palavra

AMOR.

Resolução: Lembre-se de que anagramas de AMOR são

palavras, com sentido ou não, formadas com todas as

letras A, M, O e R.

O número de anagramas representa a permuta-

ção das letras.

P4=4! = 4.3.2.1=24.

2 Determine o número de anagramas da palavra

ARARA.

Resolução: Número de elementos: 5.

R aparece 2 vezesLetras

A aparece 3 vezes

.

Total de anagramas

MATEMÁTICA

Editora Exato 15

2,3

5

ARARA

ARAAR

ARRAA

AAARR

AARAR5! 5.4P 10

AARRA2!3! 2

RAAAR

RAARA

RARAA

RRAAA

= = =

3 Dado o conjunto { }A 1,2,3,4= , determine todas as

combinações simples de 2 elementos.

Resolução: { }1,2 , { }1,3 , { }1,4 , { }2,3 , { }2,4 e { }3,4 .

4 Determine o número de retas distintas que podem

ser determinadas por 7 pontos pertencentes a uma

circunferência.

Resolução:

A

B

C

DE

F

G

Observe que a reta AB e a reta BA são iguais,

ou seja, a ordem não influencia no resultado.

Para formar uma reta, precisamos de 2 pontos

dentre os sete existentes.

( )7,2

7 7! 7.6.5!C 21

2 7 2 !2! 5!2.1

= = = =

− .

EXERCÍCIOS

1 Calcule:

a) 8!

6!

b) 100!

98!

c) 5!

3! 2!+

2 Resolvendo a equação ( )4 ! 120x + = , então x va-

le:

a) 5.

b) 6.

c) 7.

d) 8.

e) 9.

3 Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre,

passando por São Paulo. Sabendo que há 5 rotei-

ros diferentes para chegar a São Paulo, partindo

de Recife, e 4 roteiros diferentes para chegar a

Porto Alegre, partindo de São Paulo, de quantas

maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de

Recife a Porto Alegre?

a) 15.

b) 20.

c) 25.

d) 30.

e) 9.

4 Num restaurante há 2 tipos de salada, 3 tipos de

pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quantas

possibilidades temos de fazer uma refeição com

uma salada, um prato quente e uma sobremesa?

a) 8.

b) 12.

c) 14.

d) 16.

e) 18.

5 Quantos números de dois algarismos distintos

podemos escrever com os algarismos:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

a) 72.

b) 71.

c) 70.

d) 69.

e) 68.

6 Quantos números pares e de quatro algarismos

distintos podemos formar com os algarismos:

1, 3, 4, 5, 6, 7?

a) 100.

b) 110.

c) 120.

d) 130.

e) 140.

MATEMÁTICA

Editora Exato 16

7 Você e mais 5 colegas pretendem formar comis-

sões de 3 pessoas. Quantas comissões são possí-

veis?

a) 08.

b) 10.

c) 15.

d) 20.

e) 25.

8 Em uma circunferência foram marcados 7 pontos

distintos. Quantas retas podem ser traçadas, pas-

sando cada uma por dois desses pontos?

a) 20.

b) 21.

c) 22.

d) 23.

e) 24.

9 Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma

reta paralela à primeira, marcam-se 5 pontos.

Quantos triângulos obtemos unindo 3 quaisquer

desses pontos?

a) 220.

b) 210.

c) 200.

d) 100.

e) 13.

GABARITO

1

a) 56

b) 9.900

c) 10

2 E

3 B

4 E

5 A

6 C

7 D

8 B

9 A