ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΑΝΟΔΟΣ

ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ – ΚΟΚΚΑΛΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 

 

 ΘΕΜΑ 1 

Α) Θεώρημα σελ. 251 

Β) Ορισμός σελ. 213 

Γ)  α) Σωστό 

  β) Σωστό 

  γ) Λάθος 

  δ) Λάθος 

  ε) Λάθος 

ΘΕΜΑ 2 

  Α) α) Έστω  12 += λx ,  12 −= λy   Rλε∀  

   2

1x −=λ       Άρα      21

−12

2 =⇔−−

= yy xx

2

 

 

  β)   Η κάθετη στην  x −=y  που πέρνα απο το Ο(0,0) είναι  y ⋅= xλ  με λ = ‐1 

x    Άρα  y  ⋅−= 1

    Όποτε :   2

1−

−x=

=y

xy    12 =⇔−=− xxx  και  1−=y

i−

 

    Επομένως Z =10  έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο. 

 

Β) Έστω οτι  iyxw ⋅+=     τότε :   ⇔−= i112−+WW 2       

        iiyxyx −=−⋅−++ 11222  

4

3

=

−=

χήx

 Συνεπώς          1− x 112 =−22

−=−+yyx

⇔    112

=+

yx 112 =−− x

⇔

Άρα           i+w −=1 iw3 = +42

0) ≥

 

     

ΘΕΜΑ 3 

 

  Α)    Έχουμε  (1)( ⇔≥ xfxf  

  Άρα η  f  παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο  00 =x 1)0 το  ( =f  

Επειδή επιπλέον η  f  είναι  παραγωγίσιμη με :  1

1ln+

−⋅)(' =x

aaxf x τότε σύμφωνα 

με το Θ. Fermat : 

  ea =⇔=1aaaf ⇔=+

−⇔= ln010

1ln0)0(' 0 

Β)  Για   , ea = )( )1ln( +−x 1= exf x    ,  > −x  

α) 1

1)('+

−=x

ex( )

xf   ,        01

1)('' 2 >++=x

exf x  

( )  Άρα η  f  κυρτη στο  = +∞Δ ,0  

β) Αφού   f  κυρτή τότε η  και  αφού ↑'f 0)0(' =f  τότε το 0 είναι μοναδική ρίζα της  'f  

και για το πρόσημο της  'f  έχουμε : 

  ( )0,1−• εx ('0 με  0)0(') <⇔< =fxfx  

  ),0( +∞• εx  με   0)0(')('0 >⇔> =fxfx  

Χ  ‐1                                  0                              +∞ f )(' x   ‐  + 

f )(x   ↓ ↑1)0( =f                                                                         

 

Γ) Έστω η εξίσωση :   ⇔=−−

+−− 0

21)(

11)(

xf

xf γβ

 

               ( )[ ] ( )[ ] 01)(11)(2 −−+−− γβ =fxfx  

Έστω τώρα η συνάρτηση  ( )[ ] ( )[ ]1)(1 −1)(2)( −+−−= γβ f 2,1

•

xfxxg  στο [ ] 

Η  g  συνεχής στο   ως πολυώνυμο [ ]2,1

( 01) <+)1( −=• βfg  δίοτι  0,01)(1)( −⇔> > ≠βββ ff  

01>−)()2( =• γfg     δίοτι  1>)(γf  με  0≠γ  

(αφού 1)0( =f  ολικό ελάχιστο της  f ) 

0)2()1( g <g  , επομένως απο το Θ. Bolzano υπάρχει  )2,1(0εΆρα  x0) = 0x

 τετοίο ώστε 

 δηλαδή   ρίζα της εξίσωσης. ( 0xg

 

ΘΕΜΑ 4 

  α) Η G  με τύπο  ∫−=x

tfxxHxG

0

)()()( +dt 3 ]2,0( ως πράξεις συνεχών στο   

   συνεχής, αφού η ∫=x

tfxH0

)( dtt)( )(xH  είναι παραγωγίσιμη, δίοτι  )(ttf  συνεχής. 

  Ακόμη  ∫ (  συνεχής. x

f0

dtt)

0  Στο  0=x  έχουμε:  L=⎟⎠⎞3dttf

xxHxG

x

xx⎜⎝⎛ +−= ∫

→→ + 000)()()( limlim  

Αλλά xxH

x

)(lim

0+→

 έχει απροσδιόριστη μορφή τύπου 00 

Άρα απο πρώτο κανόνα De L’hospital  έχουμε : 

( ) 0)0))((1

)(

)'(')(

limlimlim0

0

00=⋅=⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+++ →→→

∫xfx

dtttf

xxH

x

x

xx0(f  αφού  f  συνεχής 

στο   00 =x

Άρα  0)(lim

0=

+ x→

xHx

 

Όποτε  33)( =+dtt)(000

limlim −= ∫→→

x

xxf

xxHL  

Άκομη ( )( )

( ) 22

211ttt

⋅−−+2

02

2

0 11116116)0( limlimt

ttG

tt +−−

⋅=−−

⋅=→→

 

( ) 301

12=

−

)( GxG = 0

16

116

22

2

0lim

+⋅=

−+⋅=

→ ttt

t 

Άρα  , επομένως G συνεχής στο )0(lim0x +→

0 =x , άρα η G  συνεχής στο [  ]2,0

)2,0β) Η G  παραγωγίσιμη στο  ( με παράγωγο :  =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= ∫ ΄dttfxxHx

x

0

3)()()('G  

2

)()xxHx

−=2

2

2

()()()'()()('xHxfxxf

xxxHxxH −

=−⋅−⋅

=  

γ) Έστω οτι δεν υπάρχει  0)(:)2,0( =aHaε  τότε  0)(2

≠−)(' =xxH )2,0(xG ,     εx∀

)('

 

Αφού  xG  συνεχής και δεν μηδενίζεται  τότε διατηρεί πρόσημο. Άρα η G  γνησίως 

μονότομη στο [ .  Άρα η G  είναι «ένα προς ένα». ]2,0

3)0( =•G

 

Όμως   

Και  

( )∫ ∫ ∫

∫

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+−=

⇔+−=•

2

0

2

0

2

0

2

0

)(2213)()(

21)2(

3)(2

)2()2(

dttftdttfdtttfG

dttfHG

+⋅= 30213

[ ]axG ,0:)(

 

Άτοπο 

δ)     

• Η   ∫ +x

dttf0

)()()( −=xxHxG 3  συνεχής στο [ ]a,0

• G

 

 Η       παραγωγίσιμη με  2

)()('xxHx −=

),0( a

G  

Άρα απο Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξε  τέτοιο ώστε : 

∫

∫⇔

−+−

⇔−

∫ =

=−

−=

ξ

ξξ

ξ

0

2

)(

)(

()('

dtttfa

HH

aGG

α

ξ0

2

0

)(

33)()(0

)0()

dttf

a

dttfaaaG

a