Zentrum Mathematik Technische Universitat Munchen

Prof. Dr. Gero Friesecke SS 2009

Dr. Johannes Giannoulis Blatt 10

Analysis 2

Zentralubung (am 6.7.)

Z 10.1 Partialbruchzerlegung des Cotangens, Eulersches Sinusprodukt und Wallissches Produkt

Sei a ∈ R \ Z und f : [−π, π] → R, f(x) := cos(ax).

(a) Begrunden Sie: f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

an cos(nx) mit an =1

π

∫ π

−π

f(x) cos(nx) dx.

(b) Berechnen Sie die an und zeigen Sie: π cot(πa) = limN→∞

N∑

n=−N

1

a − n=:

∞∑

n=−∞

1

a − n.

(c) Zeigen Sie: Fur x ∈ R gilt sin(πx) = πx

∞∏

n=1

(

1 −x2

n2

)

.

(d) Folgern Sie aus (c):π

2=

2

1·2

3·4

3·4

5· · · =

∞∏

n=1

2n

2n − 1

2n

2n + 1.

Hausaufgaben (Abgabe: am 6.7., 14:00 Uhr)

H 10.1 Fourier-Reihen

Sei f : [−π, π] → R, f(x) := cosh(αx), α 6= 0.

(a) Zeigen Sie: cosh(αx) =sinh(απ)

π

(

1

α+

∞∑

n=1

(−1)n 2α

α2 + n2cos(nx)

)

.

(b) Berechnen Sie die Reihe

∞∑

n=1

1

α2 + n2.

H 10.2 Parsevalsche Gleichung

Sei f : [−π, π] → C Lipschitz-stetig, f(π) = f(−π). Weiter seien fn, n ∈ Z, die Fourier-

Koefffizienten von f , und die Fourier-Reihe∑

n∈Z

fn einx sei absolut konvergent.

(a) Zeigen Sie die Parsevalsche Gleichung :

∫ π

−π

|f(x)|2 dx = 2π∞∑

n=−∞

|fn|2.

Hinweis: Betrachten Sie den Ausdruck

∫ π

−π

|SN,f(x)|2dx und verwenden Sie T 10.3

und Satz 4.2.

(b) Berechnen Sie∞∑

n=−∞

|fn|2 fur f : [−π, π] → R, f(x) :=

π

2− |x|.

(c) Berechnen Sie ζ(4) :=∞∑

n=1

1

n4.

H 10.3 Differenzierbarkeit von f und Abklingverhalten der Fourier-Koeffizienten

(a) Sei f(x) :=∑

n∈Z

fn einx eine absolut konvergente Fourier-Reihe und sei die formal

differenzierte Reihe g(x) =∑

n∈Z

in fn einx ebenfalls absolut konvergent.

Zeigen Sie mithilfe von T 10.3: f ist differenzierbar mit f ′ = g.

Hinweis: Wenden Sie Z 7.1 b) auf die Folge der Partialsummen SN,f(x) an.

(b) Sei nun f : R → C 2π-periodisch und Lipschitz-stetig.

i. Zeigen Sie Satz 5.2 b): Falls C, ǫ > 0 existieren, so dass |fn| ≤C

|n|k+1+ǫ∀ n 6= 0,

dann ist f k-mal stetig differenzierbar.

ii. Zeigen Sie Satz 5.2 a): Falls f k-mal stetig differenzierbar, existiert C > 0, so

dass |fn| ≤C

|n|k∀ n 6= 0.

Tutorubungen (7.-10.7.)

T 10.1 Lipschitz-stetige Funktionen

Welche der folgenden Funktionen sind Lipschitz-stetig?

(a) f : (−π2, π

2) → R , f(y) := tan y

(b) f : (−π4, π

4) → R , f(y) := tan y

(c) f : [−1, 1] → R , f(y) := |y|α, 0 ≤ α < 1

(d) f : [−1, 1] → R , f(y) := |y|α, α ≥ 1

(e) f : [−1, 1] → R , f(y) := y sin 1

yfur y 6= 0, f(0) := 0

T 10.2 Orthogonalitat von cos(nx), sin(nx)

Zeigen Sie

(a)

∫ π

−π

cos(nx) cos(mx)dx = 0 =

∫ π

−π

sin(nx) sin(mx)dx fur alle m, n ∈ N0 mit m 6= n.

(b)

∫ π

−π

cos(nx) sin(mx)dx = 0 fur alle m, n ∈ N0.

Hinweis: Berechnen Sie zunachst

∫ π

−π

cos((n + m)x) dx sowie

∫ π

−π

cos((n − m)x) dx und

benutzen Sie die Additionstheoreme.

T 10.3 Gleichmaßige Konvergenz von Fourier-Reihen

Zeigen Sie:

Sei f : [−π, π] → C Lipschitz-stetig, f(−π) = f(π). Zusatzlich sei die Fourier-Reihe∑

n∈Z

fn einx absolut konvergent. Dann konvergiert SN,f gleichmaßig gegen f .