Analisis Variansi II

Oleh

Suryo Guritno

( )2σμ,N~Y • ( ) N ..., 2, 1, i , σμ,N~Y 2i

i.i.d=

ambil s.r.s

berukuran n

=>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛•>=

nσμ,N~Y

2

jika diket. σ2

1-nt~nsμ-Y • jika diket. tak σ2

=> Inferensi statistika untuk parameter μ dapat dilakukan

( ) 2 1, j , σ,μN~Y 2jjj =•

=> ambil s.r.s berukuran njdari masing2

populasi

=> ( )2jjij σ,μN~Y

i.i.d

1,2j

n ..., 2, 1, i j

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−•

2

22

1

21

2121 nσ

nσ,μμN~YY =>

jika diket. σdan σ 22

21

,t~

n1

n1s

μμYY 2nn

21p

212121 −+

+

−−−•

( ) ( )2nn

s1ns1ns21

222

211

p −+−+−

=

jika diket. tak σσ σ 222

21 ==

=> Inferensi statistika untuk parameter μ1- μ2 dapat dilakukan

( ) k , ... 2, 1, j , σ,μN~Y 2jj =•

( k>2 )

=> ambil s.r.s berukuran njdari masing2

populasi

=> ( )2jjij σ,μN~Y

i.i.d

1,2j

n ..., 2, 1, i j

=

=

=> Inferensi statistika untuk membandingkan μj ???

SSW SSA SST +=•??

( )∑∑= =

−k

1j

n

1i

2..ij

j

YY

.j.j YY −

( ) ( ){ }∑∑= =

−+−k

1j

n

1i

2...j.jij

j

YYYY=>

( ) ( )∑∑ ∑∑= = = =

−+−k

1j

n

1i

k

1j

n

1i

2..ij

2.jij

j j

YYYY=>

( )∑=

−k

1j

2...jj YYn

||

=> SSA + SSW

• MSA ~ ??

• MSW ~ ??

=> MSWMSA ~ ??

( )2ijijjij σ0,~ε , εμY

i.i.d+=•

k1,2,...,j;n1,2,...,i j ==

untuk keperluan inferensi statistika diperlukan persyaratan distri busi dari εij atau Yij

=> diasumsikan berdistribusi normal

=> ( )2ij σ0,N~ε

i.i.d

=> ( )2j σ,μij N~Y

i.i.d

=> ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

j

2

jij nσ,μN~Y

i.i.d

( )∑∑⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−∑

−i j

2

1)(n

2.jij2

jj

X~YYσ1

( ) ?? ~2

j...jj2 YYn

σ1 ∑ −

• Teorema Cochran :

Jika ( )2i σμ,N~Y

i.i.d( )∑

i

2i Y-Y

∑ −=j

j2db

2j 1ndb jika X~σSS

j

i.d

SSW SSA SST +==>( ) ( )∑ ∑ −+−=− knkn jj 11db :

=> 21)(k

2 X~σSSA −

( )2

kn2

jX~σSSW ∑ −

salingind σSSWdan σSSW dan 22

=> ∑= −− kn1;k jF~

MSWMSAF

dekomposikan menjadi k jumlah kuadrat SSj masing-masing dengan derajat bebas dbj, j = 1, 2, …, k, maka

dan dapat di

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Ε=Ε• ∑∑

= =

k

1j

n

1i

2...j

j

YY1-k

1 (MSA)

karena ( )2i.i.d

ijijjij σ0,~ε , εμY +=

maka ( ) ( )...j.j...j μεμεYY +−+=−

( ) ( ).j...j μμεε −+−=

=> ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−Ε=Ε ∑ ∑

= =

k

1j

k

1j

2.jj

2...jj μμnεεn

1-k1 (MSA)

( )∑∑==

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

k

1j

2.jj

k

1j

2....

2.jj μμ n

1-k1εnε nΕ

1-k1

( ) ( ) ( )∑∑==

−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

k

1j

2.jj

2....

k

1j

2.jj μμn

1-k1εEnεE n

1-k1

( )∑∑==

−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

k

1j

2.jj

..

2

..

k

1j j

2

j μμn1-k

1nσn

nσ .n

1-k1

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=Ε• ∑∑

j i

2.jij

..YYΕ

kn1 (MSW)

=> ( ) ( )j.jjij.jij μεμεYY +−+=−

( ).jij εε −=

=> ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=Ε ∑∑

==

jn

1i

2.jij

k

1j..εεΕ

kn1 (MSW)

( )2ijijjij σ0,~ε , εμY

i.i.d+=•

=jμ ?? =2σ , ??

11111 εμY +=

21121 εμY +=

1n11n 11εμY +=

12212 εμY +=

22222 εμY +=

2n22n 22εμY +=

1kk1k εμY +=

2kk2k εμY +=

knkkn kkεμY +=

~Y ~ε

<=> ~~~ εβXY +=

( )k21~μ ...μ μβ =′

=X

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1 ... 0 0 01 ... 0 0 01 ... 0 0 00 ... 0 1 00 ... 0 1 00 ... 0 1 00 ... 0 0 10 ... 0 0 10 ... 0 0 1

=> untuk mencari estimator dapat digunakan :• MM• MKM• MKT

1n

2n

kn

• MKT : Cari harga parameter yang meminimumkan jumlahkuadrat galat

=> ( )∑∑∑∑ −==i j

2jij

i j

2ij μYεS

minjj S menentukan yang μadalah μ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=>′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=′=

~β~~

β~~~XYXYεεS=>

=> ( )~

1

~Y XX Xβ ′′= −

k , .. 1,2,j , Yn

Yμ .j

j

n

1iij

j

j

===∑=

=2σ ??

=>

=>ditentukan dari

( )...

YYi j

2ijij∑∑ −

sehinga 22 σ)σ( E = !!!

( )∑=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −′⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=−•

n

1i~~~~

2ii YYYYYY

( )~

1~

εX X) XX(Iε ′′−′= −

karena : ( )~

1~~ εX X) XX(IYY ′′−− −ο

( ) idemp. & sim. X X) XX(I 1 ′′− −ο

• TH : I),oN(~X~~

dan A simetri

=> 2k~~ Y~XAX ′ bhb A idempoten dengan r(A)=k

I)σ,o(~ε 2~~ maka=> karena I)σ,o(~ε

σ1 2

~~sehingga

( ) 21)k(n

n

1i

2ii2 Y~YY

σ1

−−=∑ −

=>( )

1kn

YYσ

n

1i

2ii

2

−−

−=∑=

karena 22 σ)σE( =

• mean efek model :

)σ(0,~ε , εμY 2i.i.d

ijijjij +=

i = 1, 2, … , nj ; j = 1, 2, … , k (> 2)

• faktor efek model :

)σ(0,~ε , ετμY 2i.i.d

ijijjij ++=

i = 1, 2, … , nj ; j = 1, 2, … , k (> 2)

• MKT : cari harga parameter yang meminimumkan jumlah kuadrat galat

ijjij εμY +=

=> adalah μj yang meminimumkanjμ ∑∑=i j

2ijεS

• MKM : cari harga parameter yang memaksimumkan fungsi kemungkinan

=> jμ adalah μj yang memaksimumkan ( )kn11 ky,...,yf

=> apakah hasilnya sama ??

• Setelah Ho di tolak ???

inferensi untuk :

iμ •

ji μμ −•

kontras : 0 , μ k

1ii

k

1iii ∑∑

==

=• aa

μ k

1iii∑

=

• a

Uji komposisi ganda :

• Fisher (=least sign.Diff.) LSD• Tukey (=hon.sign.diff.) HSD• Student.Newman-Keuls-SNK• Duncan new mult.range• Scheffé• Bonferroni

jiji1jio ,μμH vsμμH ≠∀≠===

• Fisher LSD :

Ho ditolak jika :

LSDYY ji >−

, n1

n1MSEtLSD

jik)(n;2α ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

∑=

=≠k

1iinn , ji

• Tukey HSD :

Ho ditolak jika :

HSDYY j.i. >−

s.s. equal , n

MSEqHSD k)(n k,; −= α

s.s. equal , n

MSEqHSD *j

k)(n k,α;*

−= terkecils.s. n *

j

Kram-T , 2n1 MSEqHSD

ik)(n k,α;

**⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

jni

• Student – Newman – Keuls (=SNK)

Ho ditolak jika :

SNKYY j.i. >−

n

MSEqSNK k)(n r,α; −=

r = banyaknya langkah yang memisahkan μ(i) dan μ(j)

• Duncan new mult.range (=DMR)

Ho ditolak jika :

DMRYY j.i. >−

, n

MSEqDMR k)(n r,α; −=

r = banyaknya langkah yang memisahkan μ(i) dan μ(j)

level protectionα)(1 1r =− −

rateerror α)(1-1 1r =− −

∑=≠===i

ii1o μ 0,H vs0H aλλλ

• Scheffé mult.comp. :

Ho ditolak jika :

Sˆj >λ

k)(n1),(kα;

k

1i i

2i F 1)(k

nMSES −−

=

−= ∑ a

lebih konservatif (kurang sensitif) untuk menguji pair

• Bonferroni mult.comp. :

Ho ditolak jika :

Bˆj >λ

, n

MSE tBk

1i i

2i

k)(n 2q;α ∑=

−=a

q = banyaknya jλ

j = 1, 2, … , q

yang diuji

• Cell means model

)σ(0,~ε , εμY 2ijkijkijijk +=

i = 1, 2, … , a ; j = 1, 2, … , bk = 1, 2, … , n

• Factor effects model :

jiij βαμμ ++=•

ijjiij β) (αβαμμ +++=•

estimasi parameter ??partisipasi jumlah kuadrat ??- ekspektasi- distribusi

rerata juml. kuadrat ??

• dengan MLS

ijkijijk εμY * +=

∑=

==n

1kijkijij Y

n1.Yμ=>

jiij βαμY * ++=

=> ..Yμ =

..i.i YYα −=

...jj YYβ −=

syaratnya ??

ijjiijk β) (αβαμY * +++=

..Yμ ==>

YYβ , YYα ..i.j..i.i −=−=

( ) ....j.i..ij.ij YYYYαβ −−−=

syaratnya ??

• deviasi total

deviasi penduga mean

treatment sekitar overall

mean

deviasi sekitar

penduga mean

treatment

= +

ijk......ijk Y Y - YY +=−

( ) ( ) ( ) YYYYYY ij.ijk...ij....ijk −+−=−

( ) ( ) ( )[ ]2ij.ijk...ij.2

...ijk YYYYYY −+−=−

( ) ( ) ( )∑∑∑ −+−=−kj,i,

2ij.ijk

kj,i,

2...ij.

kj,i,

2...ijk YYYYYY

???

( ) ( ) 0YY YY??

ij.ijkkj,i,

...ij. =−−∑

( ) ( ) ji,ji,

ij.ijk...ij. , 0 YY YY ∀=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−∑ ∑

k