Analisis de Señales y Sistemas (German Castellanos)

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Análisis de Señales

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x(t)

×

×

×

×

×

×

T

T

T

1/T

1/T

1/T

∑∑∑φ1(t)

φn(t) φn(t)

φ1(t)

φ0(t)φ0(t)

x0

x1

xn

x(t)

Germán Castellanos D.- Alvaro Orozco A.

Universidad Nacional de Colombia, Universidad tecnológica de Pereira16 de enero de 2006

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Índice general

1. Representación de señales y sistemas continuos 7

1.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1. Clasificación de señales y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2. Proceso de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3. Funciones singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Representación discreta de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.1. Espacio de representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2. Descomposición en funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3. Sistema ortogonal completo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.4. Otros conjuntos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3. Representación integral de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.3.1. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.3.2. Extensiones del análisis espectral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.3.3. Transformada de Walsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.3.4. Integral de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.3.5. Transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.3.6. Transformada continua wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.4. Representación de sistemas lineales continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.4.1. Operadores en espacios integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.4.2. Método de la integral de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.4.3. Método de análisis espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.4.4. Método de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.4.5. Sistemas discriminantes de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.4.6. Representación de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.5. Representación de sistemas con variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.5.1. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.5.2. Solución de la ecuación de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2. Representación de señales y sistemas discretos 89

2.1. Discretización de señales continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.1.1. Discretización uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.1.2. Funciones discretas singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.1.3. Transformada de Fourier de una señal discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.2. Transformadas ortogonales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2.1. Implementación de bases ortogonales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2.2. Transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.2.3. Extensiones de la transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.2.4. Transformada discreta de Walsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.2.5. Transformada discreta de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.2.6. Transformada discreta wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

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n 4.1II ÍNDICE GENERAL

2.3. Transformadas ortogonales discretas rápidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.3.2. Transformada rápida discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.3.3. Transformada rápida discreta de Walsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.3.4. Transformada rápida discreta de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.4. Filtración ortogonal discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.4.1. Respuesta discreta a impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232.4.2. Función de transferencia discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.4.3. Filtros discretos de Walsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.4.4. Función de convolución discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.4.5. Representación generalizada discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3. Filtración digital 139

3.1. Características de los filtros digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.1.1. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.1.2. Realización de filtros digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.2. Síntesis de filtros recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.2.1. Cálculo de plantillas de filtros análogos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.2.2. Síntesis de filtros recursivos en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503.2.3. Síntesis de filtros recursivos en la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.3. Síntesis de filtros no recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.3.1. Condición de desfase lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.3.2. Cálculo de filtros con series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.3.3. Discretización de la función de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.3.4. Optimización de filtros no recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.3.5. Filtros no recursivos en el proceso de señales aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3.4. Filtración adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923.4.1. Esquema del gradiente estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

A. Algoritmos de análisis espectral de Fourier 207

A.1. Algoritmos de la transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207A.1.1. Cálculo numérico de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207A.1.2. Cálculo numérico de la TDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

A.2. Cálculo de la transformada rápida de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.2.1. Representación de dimensión múltiple de índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218A.2.2. Algoritmo de Cooley-Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222A.2.3. Acomodación de datos en la TRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Bibliografía 231

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Notaciones

Notación Significado

x, Escalarx(s) Función determinística con variable sx Vector escalarx∗(s) Conjugado de x por sx(sk) Valor de la función en el argumento sk

fa,b(s), f Función f con parámetros a, b y argumento s, vector funcionalxk : k = 1, . . . , N Conjunto, serie o secuencia de valores con volumen N .x[k] Señal discretizada (base normalizada de tiempo)〈x, y〉 Producto interno de x e yd(xm, yn), d (x, y) Distancia entre los elementos xm e yn, las funciones x e y||x|| Norma de xxk(t) Trayectoria k de la señal x(t)x(s) Primera derivada en srank(x), rank(X) Rango del vector x, de la matriz X, Traza de la matriz de X

Ef

Energía de la señal fsupp(x), car(x), trace(X) Soporte de la función x, Cardinal de xZm×n, ZT Matriz de orden m× n, Matriz transpuestaI,i Matriz unitaria, vector unitarioG ConjuntoON Orden del número de operacionesG x Transformada G de xH ,L ,F ,Z ,W T. Hilbert, Laplace, Fourier, Zeta, WaveletG, X(s) Espacio métrico funcional, Representación compleja en el espacio sZ,R,C Dominio de los enteros, reales y complejos<x ,=x Parte real de x, parte imaginaria de xξ(s) Señal aleatoria (alfabeto griego) de variable sE ξn Valor esperado de orden n (promedio de ensamble)

ξn (t) Valor esperado de orden n (promedio de tiempo)mnξ Momento inicial de orden n de la variable ξ

ξ Valor estimado de ξRξ,η(·), Kξ,η(·) Función de correlación y covarianza mutua entre ξ y ηSξ(·) Espectro de potencia de ξΛ(ξ) Relación de verosimilitudN ,U (m,σ) Distribución (Gaussiana)(uniforme) con media m y varianza σ2

name Nombre de aplicaciones de software

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Prefacio

La rápida evolución en la tecnología electrónica, en particular de los procesadores digitales, así como el aportesignificativo de nuevos y cada vez más efectivos algoritmos de análisis han hecho del proceso digital de señalesun factor importante en el desarrollos de áreas como la instrumentación y control, las telecomunicaciones y

la telemática, la electromedicina, entre otras, brindado al sector productivo e investigación una nueva y potenteherramienta de trabajo, que puede expandir significativamente su capacidad y posibilidades. El objetivo del curso esdar a conocer los principales métodos de análisis aplicado de señales aleatorias con carga informativa, que puedan serdesarrollados por técnicas de proceso digital.

El material dispuesto en el presente texto describe los métodos y principios del proceso de señales, que ac-tualmente encuentran amplio uso. Se analizan los modelos de señales, el análisis espectral generalizado, el desarrollode algoritmos rápidos de cálculo de transformadas ortogonales, los principios de diseño de dispositivos digitales defiltración, como elemento básico de proceso, los métodos de representación de aleatoriedad y la estimación de susrespectivos valores, con especial énfasis en el caso de análisis de procesos estocásticos. Por último, se generaliza elanálisis de la filtración como un proceso de estimación, acoplando se empleo a casos reales de proceso de señalesaleatorias.

El contenido del texto es el siguiente: el capítulo I describe los principales métodos de representación determinís-tica de señales y sistemas en tiempo continuo, mientras el capítulo II describe los principales métodos de representaciónen tiempo discreto. Por cuanto, la filtración sigue siendo uno de los procedimientos fundamentales de mayor empleoen el proceso de señales, el capítulo III describe en detalle los principios básicos de filtración digital. El capítulo IVanaliza la caracterización de señales aleatorias, particularmente las estacionarias. En el Apéndice A se desarrollan losalgoritmos generales de análisis de señales y sistemas sobre procesadores digitales.

El libro está orientado a los estudiantes de posgrado, que requieran profundizar en el área de procesamientodigital de señales aleatorias, sin embargo, puede ser empleado por estudiantes de pregrado, en los cursos de Teoría

de Señales y Proceso Digital de Señales. El material teórico presentado tiene carácter de referencia, y por esto nose da la deducción de algunas expresiones, brindándose la literatura necesaria para la profundización de cada temaen particular. Así mismo, algunos de los programas, diagramas y circuitos presentados han sido probados y aunquedistan de ser la única solución técnica posible, estos tienen como fin mostrar un ejemplo práctico y concreto derealización.

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Introducción

Actualmente, tiene amplio uso el proceso de información y, en particular, el análisis o interpretación de señalesproducidas por variaciones en el tiempo de procesos físicos. El proceso de información típicamente se realizaempleando las señales eléctricas,entre otras razones, porque éstas son relativamente fáciles de controlar por

medio de equipos electrónicos, entre ellos los digitales, además estas trabajan a velocidades cercanas a la de la luz,lo que propicia el desarrollo de tareas en tiempo real.

Las aplicaciones del proceso de señales van desde las finanzas, industria, bienestar de la sociedad hasta la defensa,abarcando diferentes disciplinas como las comunicaciones, sistemas de control, electromedicina, física, astronomía,radar, dinámica de fluidos, sismología, etc. Muchas de estas aplicaciones están relacionadas con el aumento en elnúmero y diversificación de los equipos de proceso digital que actualmente se siguen desarrollando. Hoy en día, loscomputadores personales como sistema de proceso digital se encuentran en una gran gama de precios, capacidadesy tamaños. Debido a esto, el computador se ha convertido en elemento importante para el proceso de señales. Lossistemas de proceso de señales, por sus características ofrecidas, se convierten en herramientas fiables, robustas yportátiles, que pueden incluso desempeñar tareas en sitios y condiciones de difícil acceso humano.

En general, el Proceso Digital de Señales debe ser entendido como la posibilidad de emplear dispositivos digitalesespecializados en la solución de variadas tareas relacionadas con el análisis de señales. Así por ejemplo, está la filtra-ción digital, que hoy en día muestra resultados teóricos bastante alentadores. Los desarrollos teóricos han avanzadodesde los primeros seminarios abiertos de filtración digital realizados en el MIT (alrededor de 1955), los resultadosde Kotiélnikov y los obtenidos en la teoría de control (parcialmente fundada en el trabajo de Gurevich), en los quese describían profundamente los principios de la discretización de señales y sus efectos espectrales, pasando por losmétodos de filtración digital, en base al empleo de operaciones lineales sobre señales con restricciones de estacionarie-dad, hasta los actuales métodos propuestos de representación localizada de señales con bases wavelet y los modeloscomplejos de representación de aleatoriedad, que incluyen los modelos de representación de la dinámica estadísticay análisis de no estacionariedad, así como los métodos de filtración no lineal (filtración adaptativa e interpolaciónestadística) han dado un fuerte impulso a la filtración como elemento básico en el análisis y la síntesis de señales ysistemas. Tal vez esta sea la razón por la cual se observa una gran proliferación de herramientas especializadas, tantode hardware, como de software integrados para el diseño de sistemas de proceso digital de señales en los más diversoscampos de aplicación.

El primer aporte básico a la teoría del proceso digital de señales relacionado con el análisis y síntesis de filtrosdigitales fue realizado por Kaiser quien demostró la forma de cálculo de filtros digitales con características deseadasempleando transformadas lineales. Para la misma época, en 1965, apareció el artículo de Cooley y Tukey sobrela Transformada Discreta de Fourier, la que posteriormente fue desarrollada y se convertiría en el método de laTransformada Rápida de Fourier, cuyo mayor aporte fue la disminución sustancial del tiempo de cálculo en el análisisespectral en varios órdenes, lo que demostraba claramente en cuanto podían ser más rápidos los métodos digitalessobre los análogos. El algoritmo de la transformada rápida amplió el campo de aplicación del proceso de señales, elcual se extendió a tareas más complejas, de mayor velocidad de cambio las magnitudes en el tiempo y con valores deenergía a mayores componentes de frecuencia.

Las señales, en situaciones de aplicación real, deben ser consideradas como variables aleatorias. Hasta hace poco elaparato matemático básicamente empleado en el análisis de señales era el de Fourier. Las funciones trigonométricas nopermiten localizar el análisis en determinado intervalos del tiempo y restringen el análisis de señales no estacionarias.La insuficiencia de estos métodos convencionales en la descripción y análisis de las señales, ha hecho que se empleenmuevas formas matemáticas y estadísticas de su representación.

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Capítulo 1Representación de señales y

sistemas continuos

1.1. Definiciones básicas

El estudio de cualquier sistema empieza por la formación de un modelo, que corres-ponda a su versión idealizada, la cual, generalmente, no es la única existente. Di-cho de otra manera, dependiendo de los objetivos del análisis, un sistema puede

admitir más de un modelo. En el presente trabajo, se analizarán solamente modelos des-critos en términos matemáticos o modelo matemático. Las siguientes son las definicionesbásicas en los modelos de sistemas:

----

x1(s)

x2(s)

. . .

xm(s)

K x(s)y1(s)

y2(s)

. . .

yn(s)

----

Figura 1.1: Diagrama de un sistema

Sistema. Es un grupo de elementos uobjetos con un fin determinado K ·.

Señal o entrada x(s). Es el enlace deinteracción entre los elementos; es la acciónllevada a activar el sistema.

Respuesta o salida y(s). Es la acción conjunta del sistema como resultado de unaactivación.

Para propósitos de análisis, un sistema se representa por una caja cerrada (caja

negra) con un número dado de terminales de entrada y salida como se ilustra en laFigura 1.1. En esta caja negra, cada señal se transforma en una única respuesta, o sea,actuando sobre una entrada x(s) ∈ xi(s) : i = 1, . . . ,m , se obtiene una única saliday(s) ∈ yi(s) : i = 1, . . . , n, , cuya transformación generalizada se representa por:

y (s) = K x (s)

donde el operador K · corresponde a la transformación o transformada de entrada-salida (o señal respuesta). En este trabajo, el parámetro s para la mayoría de los casosde análisis corresponderá al tiempo t.

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n 4.18 Capítulo 1. Representación de señales y sistemas continuos

1.1.1. Clasificación de señales y sistemas

Las señales, de acuerdo a la relación de sus valores con el tiempo, pueden clasificarseen dos tipos:

Señales análoga o continuas (en el tiempo). Señales para las cuales tanto suargumento como la misma función pueden tomar cualquier valor del continuo de losintervalos t ∈ [t0, tf ], x ∈ [xmin, xmax]. Las señales análogas pueden soportar discontinui-dades de primer grado, x(tk−) 6= x(tk+), siendo |x(t)| <∞, ∀t.

Señales discretas (en el tiempo). La función toma cualquier valor del intervalocontinuo x ∈ [xmin, xmax]. Sin embargo, el argumento de la función (tiempo) está definidosolamente sobre una malla de valores x(kT ), k ∈ N, siendo T el intervalo de discretización.En aquellos valores del tiempo sobre los cuales la señal no se define t 6= kT , el valor dela función se asume igual a cero.

Señales digitales. Cuando los valores de una señal x(kT ) discretizada en el tiempopertenecen a un conjunto finito de valores cuantificados xQ ∈ xQ(i) : i, . . . , N, N <∞.

Señal de energía. Señal de energía es finita, aun cuando el intervalo de tiemposea infinito; esto es,

Ex =

−∞∫

∞

|x(t)|2 dt <∞, (para una resistencia de 1 Ω) (1.1)

La potencia media disipada por la señal x(t) durante un intervalo de tiempo (ti, tf )se determina como:

Px =1

tf − ti

tf∫

ti

|x(t)|2 dt <∞, (1.2)

Si el término de la derecha en (1.2) es finito y no es igual a cero, cuando el intervalode tiempo es infinito, es decir,

0 < lımT→∞

1

T

∫

T

|x(t)|2 dt <∞,

la señal tiene potencia finita y se llama señal de potencia.

Señales periódicas. Cuando se cumple la condición

x(t+ T ) = x(t), t ∈ [0, T ] , T > 0

donde el valor de min T que satisfaga la anterior condición, cuando existe, se deno-mina periodo fundamental. En caso de no cumplirse la anterior condición, la señal sedenomina aperiódica.

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n 4.11.1. Definiciones básicas 9

Señales cuasiperiódicas. Se denominan las señales con períodos demasiado lar-gos, las cuales, generalmente, son compuestas por dos o más señales periódicas. Unejemplo de señal cuasiperiódica compuesta de dos señales periódicas es la función de laforma x(t) = sin t+ sin

√2t.

Señales aleatorias. Aquellas sobre cuyo valor en función de cualquier argumentose tiene alguna incertidumbre.

Señales determinísticas. Son aquellas que se pueden modelar o describir analí-ticamente como funciones completamente específicas de algún parámetro.

Señales de un canal. Es generada por una fuente y se representa por un escalar.

Señales de canal múltiple. Señales generadas por varias fuentes y representadaspor un vector.

Señales de dimensión multiple. Son funciones descritas a partir de un conjuntocompuesto de m ∈ Z

+ variables independientes.

En cuanto a los sistemas, éstos se pueden clasificar de la siguiente forma:

Sistema lineal. Cuando se cumple la ley de superposición.Sea aiyi(t) = K aixi(t) , donde ai = cte., i = 1, 2, . . . , n. Entonces:

K

n∑

i=1

aixi(t)

= K a1x1(t) + a2x2(t) + . . .+ aixi(t) + . . .+ anxn(t)

= a1y1(t) + a2y2(t) + . . .+ aiyi(t) + . . .+ anyn(t), (1.3)

Si la expresión (1.3) no se cumple, el sistema se denomina no lineal.

Ejemplo 1.1. Sea un sistema con relacion entrada-salida de la forma y(t) = ax(t) + b,siendolos valoresa, b = cte. Determinar el valor de b para el cual el sistema se puede considerar lineal.

Considerando dos senales de entrada diferentes x1(t) y x2(t), las salidas correspondientes serıan

yi(t) = axi(t) + b, i = 1, 2

Si se aplica la entrada x1(t)+x2(t), la salida sera a (x1(t) + x2(t))+b. De acuerdo con la condicionde linealidad (1.3), se debera cumplir que:

a (x1(t) + x2(t)) + b = a (x1(t) + x2(t)) + 2b,

luego, b = 0.

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Sistema invariable (en el tiempo). Si un corrimiento en el tiempo de la entradadel sistema provoca respectivamente un corrimiento en el tiempo en su salida, de formaque:

y(t− t0) = K x(t− t0) ,∀t0 > 0 (1.4)

En caso contrario, el sistema se denomina variable.

Sistema estable. Si una señal de entrada x(t) con amplitud finita, max|x(t)| <∞produce una respuesta y(t) de amplitud finita, o sea, max|y(t)| < ∞. De otra manera,el sistema es inestable.

Sistema invertible. Si distintas entradas producen distintas salidas, esto es, si alobservar la salida del sistema se puede determinar su correspondiente entrada. En casocontrario, el sistema es no invertible.

Ejemplo 1.2. El sistema descrito por la ecuacion y(t) = a = cte., debe ser considerado comono invertible, por cuanto genera un mismo valor a la salida indiferente de cual sea el valor de lasenal de entrada.

Sistema realizable o causal. Se debe tener una respuesta de salida que no su-ceda antes de ser aplicada al sistema una función de entrada. Esto es, si la funciónde entrada se aplica a partir de un tiempo t = t0, entonces, la respuesta sólo estarádeterminada para t ≥ t0. Si no se cumple esta condición el sistema es no causal.

Sistema (de tiempo) continuo. Cuando los cambios de las magnitudes de entraday salida corresponden a rangos continuos (en el tiempo).

Sistema (de tiempo) discreto. Cuando las señales asociadas con el sistema sondiscretas (en el tiempo). Generalmente, los sistemas de tiempo continuo se modelanmediante ecuaciones diferenciales, mientras, los sistemas discretos, con ecuaciones ite-rativas.

Sistemas sin memoria. Si la salida para cualquier tiempo t ó tk, depende sólo dela entrada en el mismo tiempo.

Sistemas con memoria. Si la salida en el tiempo t, depende de valores de entradasdadas dentro del intervalo (t− T, t), entonces el sistema tiene memoria T .

Sistemas de parámetros concentrados. Si el tiempo de proceso de la señal deentrada a través del sistema es considerablemente pequeño. Estos sistemas se modelanmediante ecuaciones diferenciales ordinarias. En los sistemas eléctricos, esto significaque la longitud de onda de la señal de entrada es mucho mayor con respecto a lasdimensiones físicas de los elementos de proceso del sistema.

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Sistemas de parámetros distribuidos. La señal de entrada tarda un tiempo con-siderable en excitar los elementos del sistema, dependiendo el retardo de la velocidadde proceso de la señal. Estos sistemas se pueden modelar con ecuaciones diferencialesparciales.

1.1.2. Proceso de señales

El proceso y análisis de magnitudes físicas por medio de señales eléctricas se puedeclasificar así:

(a). Análogo (o analógico). La ley de cambio del parámetro de variación de las oscilacio-nes eléctricas repite la forma de la magnitud física observada (existe analogía entreambas leyes de cambio). El conjunto de valores que puede tomar el parámetro devariación es continuo y por tanto infinito.

(b). Digital. La ley de cambio del parámetro de variación de las oscilaciones eléctricascorrespondiente a la forma de la magnitud física observada se representa por unconjunto finito (discreto o contable) a priori conocido de señales o inclusive rela-ciones. En este caso, las señales de salida no deben presentar alguna analogía deforma con la señal de entrada.

Entre las principales ventajas de los sistemas de proceso digital con respecto a losanálogos están las siguientes; son realizables sobre tecnología digital lógica, alcanzandopor ello alta confiabilidad, estabilidad, reducido tamaño y baja potencia, adaptándoserápidamente al diseño de circuitos integrados. Los dispositivos digitales son menos sen-sibles a las tolerancias de sus elementos. Así mismo, estos pueden ser reproducidos engrandes volúmenes con gran exactitud, y no requieren de un ajuste o ajuste adicionalcomo si ocurre con los elementos análogos. Además, facilitan el proceso simultáneo devarias señales, que puede realizarse en un solo dispositivo digital, reduciendo costos dehardware. Así mismo, las características de proceso pueden cambiarse y ajustarse du-rante el proceso realizando los ajustes necesarios en el algoritmo de proceso, condiciónnecesaria en la adaptabilidad de los sistemas.

Los dispositivos digitales se asocian con algunas desventajas. La primera es el in-cremento en la complejidad del sistema de proceso por cuanto hay necesidad de un prey post-proceso adicional de las señales (A/D, D/A, etc.). La segunda desventaja es elrango limitado de frecuencias disponibles de los procesadores digitales que ofrecen aúnvalores insuficientes para señales de muy altas frecuencias. Sin embargo, las ventajaspor mucho compensan las desventajas en varias aplicaciones y con la continua rebajaen el costo del hardware de proceso digital, éstas se extienden cada vez a una cantidadmayor de actividades del campo humano.

1.1.3. Funciones singulares

Estas funciones son modelos ideales matemáticos y, en rigor, no aparecen en sistemasfísicos. Sin embargo, son buenas aproximaciones a ciertas condiciones restrictivas delos sistemas físicos, permitiendo evaluar complicadas expresiones que, de otra manera,serían difíciles de resolver.

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-tt0

−1

1

sgn(t)6

Figura 1.2: Función signo

Función signo. Definida por la expre-sión (Figura 1.2):

sgn(t− t0)M

=

−1, t < t0

0, t = t0

1, t > t0

donde la multiplicación x(t) sgn(t−t0) denotael cambio de signo de la función x(t) a partirdel punto t = t0.

Función delta de Dirac. La función delta δ(t) es también llamada función impulso

o función Kronecker, y se puede interpretar como la acción de hacer angosta de funcióndada pα(t− t0) con área unitaria:

∞∫

−∞

pα(t)dt = α1

α= 1 (1.5)

De tal manera, que su base determinada en un intervalo de tiempo (t0 − α2 , t0 + α

2 )tiende a cero. Esto es,

δ(t− t0)M

= lımα→0

pα(t− t0) =

∞, t = t0

0, t 6= t0(1.6)

La definición de la función delta está dada por el par conjunto de ecuaciones (1.5) y(1.6), cuya representación gráfica, en el caso particular de un pulso rectangular se ve enla Figura 1.3(a) (parte inferior). La representación convencional de αδ(t − t0) se muestraen la Figura 1.3(a) (parte superior), donde la amplitud α debe ser entendida como el áreadel pulso elemental.

La función δ(t) tiene las siguiente propiedades:

(a). Simetría.

δ(t) = δ(−t).

(b). Escala de tiempo,

δ(αt) =1

|α|δ(t)

(c). Multiplicación, (por una función en el tiempo);

x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0).

Realmente, la continuidad de la función x(t) se restringe al caso x(t0−) = x(t0+), encaso contrario, es simplemente imposible encontrar el valor correspondiente de lamultiplicación y preferiblemente se debe evitar tal situación.

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-

6 - ......................................................................................

?

6.....................................................................................................................................

t0 t

ααδ (t − t0)

pα(t) α

t0 t

1

α

(a) Representación

6

-

.

...

6

...............................................

.................................... .........................

........................ ...............................................................................................................................................................................

.............................................................................

....................

........................ ........................................... ...................................... ....

x(t)

pα(t − ∆τ)

∆τ 2∆τ 3∆τ (k + 1)∆τk∆τt

x(k∆τ)pα(t − k∆τ)∆τ

pα(t − k∆τ)

∆τ

(b) Aproximación

Figura 1.3: Función delta

(d). Selectividad,

∞∫

−∞

δ(t− t0)x(t)dt = x(t0)

∞∫

−∞

δ(t− t0)dt = x(t0) (1.7)

La función x(t) debe ser continua, o al menos tener un número finito de disconti-nuidades de salto en un intervalo finito de tiempo, por cuanto el valor exacto de laintegral en el punto de discontinuidad no tiene ningún sentido físico importante [1].De (1.7) e intercambiando t y t0, y llamando τ a t0 se obtiene la integral de Duhamel:

x(t) =

∞∫

−∞

x(τ)δ(τ − t)dτ (1.8)

La integral (1.8) es la representación de la función x(t) por un continuo de deltafunciones y corresponde a su aproximación en forma de un conjunto de pulsos pa(t)rectangulares dentro del intervalo de análisis, como se muestra en la Figura 1.3(b).

Haciendo ∆τ → 0 y N → ∞ se obtiene la aproximación:

x(t) ≈N∑

k=−Nx(k∆τ)pa(k∆τ − t)∆τ. (1.9)

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Ejemplo 1.3. Evaluar la expresion

∞∫

−∞

t2e− sin t cos 2tδ(2t− 2π)dt,

Con la propiedad de escala y luego de selectividad se obtiene que:

∞∫

−∞

t2e− sin t cos 2tδ(2t− 2π)dt =1

2

∞∫

−∞

t2e− sin t cos 2tδ(t− π)dt =1

2π2.

t0 t

u(t − t0)

1

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Figura 1.4: Función escalón unitario

Función escalón unitario. La defini-ción matemática de esta función represen-tada en la Figura 1.4 es la siguiente:

u(t− t0)M

=

1, t > t0

0, t < t0(1.10)

A partir de la definición dada en (1.6) sepuede demostrar que:

pα(t) =1

t0u(t) − 1

t0u(t− t0)

=1

t0(u(t) − u(t− t0))

tomando el límite de t0 → 0, se obtiene que

δ(t) = lımt0→0

pa(t) = lımt0→0

1

t0(u(t) − u(t− t0))

=du(t)

dt

De manera inversa, integrando la anterior expresión se obtiene∫δ(t)dt =

∫du(t)

dtdt = u(t)

Función pulso rectangular. Definida por la expresión:

rectτ (t− t0)M

=

1, |t− t0| ≤ τ

2

0, |t− t0| > τ2

Por cuanto, rectτ (t) = u(t) − u(t− t0), entonces se cumplirá la siguiente relación:

d

dtrectτ (t) = (δ(t) − δ (t− t0))

Así mismo, se cumple que

rectτ (t− t0) =1

2(sgn(t− t0) − sgn(t− t0 − τ))

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Problemas

Problema 1.1. Clasificar las siguientes señales por su tipo (de potencia o de energía):

a). A sin(ωt). b). Ate−tk (u(t) − u(t − t0)) , t0 > 0.

Problema 1.2. Demostrar la periodicidad de la función x(t) = ej(ω0t+θ), −∞ < t < ∞, donde ω0 = cte.

Problema 1.3. Clasificar los sistemas en categorías de: linealidad, variante en el tiempo, causalidad y sinmemoria en las siguientes funciones de entrada-salida:

y(t) = tx(t), 0 6 t 6 1. y(t) =

t−∞

x(τ)dτ, t ≥ 0.

y(t) =

∞−∞

tx(t)dt,−∞ < t < ∞. y(t) =

t−∞

e−(t−τ)τx(τ)dτ, |t| < ∞.

y(t) = x(t) +

t0

(t − τ) x(τ)dτ, t > 0. y(t) =dx

dt−

∞t

τ2x(τ)dτ, t > 0.

Problema 1.4. Representar la señal x(t), que tiene el siguiente modelo matemático:

x(t) = 0, t < 0

x0 (t/t0) , 0 ≤ t ≤ t0x0, t > t0

en forma de una suma de funciones lineales por segmentos.

Problema 1.5. Calcular la energía Ex y la norma ‖x‖ de la señal,

x(t) = 30 exp −105tu(t)

R. ‖x‖ = (Ex)1/2 = 6.708 · 10−2.

Problema 1.6. Sea x(t) = u(t − t0) − u(t − nt0) − kδ(t − mt0), siendo m, n ≥ 1. Determinar el valor de kpara el cual se cumpla que:

∞−∞

x(t)dt = 0

R. k = (n − 1)t0.

Problema 1.7. Sea el par de funciones: x(t) = rectτ y la exponente y(t) = y0 exp (αt) u(t), tales que,y0, α, τ ∈ R. Dada la apertura τ encontrar el valor del parámetro α, para el cual la distancia d (x, y) sea lamínima posible.R. α = 0.961/τ.

Problema 1.8. Determinar, para la señal x(t) = t2, 0 ≤ t ≤ 1, la aproximación empleando la función dedependencia lineal y(t) = at + b, tal que sea la mejor en el sentido del mínimo error de distancia (métrica).R. a = 1, b = −1/6.

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n 4.1

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n 4.11.2. Representación discreta de señales 17

1.2. Representación discreta de señales

1.2.1. Espacio de representación

Cualquier espacio vectorial con dimensión n se caracteriza completamente por las pro-yecciones sobre sus n ejes de coordenadas. En la descomposición vectorial es preferibleel empleo de ejes perpendiculares que cumplan la condición de ortogonalidad:

(αi, αj) =

0, i 6= j

1, i = j

donde αi, αj son los vectores unidades de los respectivos ejes de coordenadas. Si el vectorestá dado en un espacio con N dimensiones, entonces éste se puede descomponer en ncomponentes y, por lo tanto, expresado por la suma:

a =n∑

k=1

akαk.

siendo ak las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas, la dirección de loscuales está dada por el sistema de vectores coordenadas o bases αk : k = 1, · · · , n.

Ejemplo 1.4. Considerese los siguientes casos de descomposicion vectorial:

1. Sea el conjunto αn(t) : n = 1, . . . , N, un sistema de vectores ortogonales sobre un intervalodado en algun espacio de Hilbert. Demostrar que el conjunto corresponde a un sistemaindependiente lineal.

Al analizar la igualdad

k1α1 + k2α2 + · · · + knαn + · · · + kNαN = 0

se observa que, al multiplicar escalarmente ambos lados de la igualdad por cada uno de losvectores, y, teniendo en cuenta su ortogonalidad, se obtiene que:

αn · (k1α1 + k2α2 + · · · + knαn + · · · + kNαN ) = αn · 0αn · knαn = 0, n = 1, . . . , N

con lo cual kn = 0, n = 1, 2, · · · , N . Esto es, la ortogonalidad del sistema de vectorescondiciona su independencia lineal.

2. Dado un sistema de vectores no nulos y no ortogonales g0, g1, · · · , gn, · · · en el espaciode Hilbert. Construir sobre este un sistema ortonormal u0, u1, · · · , un, · · · , tal que cadavector uk se una combinacion lineal del tipo uk = ck0g0 + ck1g1 + · · · + ckngn, siendock0, ck1, · · · , ckn valores constantes.

Al normalizar el elemento g0 y suponer que u0 = g0/‖g0‖, el vector h1 = g1 − (g1, u0)u0 esortogonal a u0. Normalizando h1 se obtiene un nuevo elemento ortonormalizado del sistemau1 = h1/‖h1‖. La operacion se repite y se halla el elemento h2 = g2−(g2, u0)u0−(g2, u1)u1,por lo que se obtiene u2 = h2/‖h2‖ que es ortogonal tanto a u0 como a u1. Repitiendo elproceso, iterativamente, en el paso k ∈ Z se obtiene la siguiente combinacion lineal:

hk = gk − (gk, u0)u0 − (gk, u1)u1 − · · · − (gk, uk−1)uk−1

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En forma general, el conjunto de las posibles señales de análisis se entenderá comoel formado por todas las funciones de valor complejo definidas en forma continua (señalanalógica) sobre un eje real, por ejemplo el del tiempo:

L = x = x(t) : x(t) ∈ C, t ∈ R

donde L = x : P el conjunto formado por todos los x, para los cuales P es cierto:P ⇒ x ∈ L. La mayoría de los espacios de funciones de señales se restringen a losespacios clásicos de Lebesgue, en los que se cumple que

Lp = Lp (R) =

x ∈ L : ‖x‖p =

∫

R

|x(t)|p dt

1/p

<∞

, p ≥ 1

L∞ = L∞ (R) =

x ∈ L : ‖x‖∞ = sup

t|x(t)| <∞

donde ‖x‖Lp(R) es la norma definida para x en el espacio Lp. La restricción de p ≥ 1,implica que la clase Lp (R) es un espacio lineal normalizado y corresponde a un espaciode Banach, el cual es completo con respecto a la correspondiente norma.

De manera similar se pueden definir los espacios formados por las funciones de valorcomplejo determinadas en forma discreta (señal discreta) sobre el dominio del tiempo:` = x = (xn) : xn ∈ C, n ∈ Z.

Las restricciones sobre pertenencia a espacios lineales normalizados son similaresa la de las señales continuas, en las cuales las operaciones de integración se cambianpor operaciones de sumatoria discreta; es decir, se generan los siguientes espacios:

`p =

x ∈ ` : ‖x‖p =

( ∞∑

n=1

|xn|p)1/p

<∞

La generación de conjuntos de señales a partir de alguna condición común con inter-pretación física (energía, longitud en el tiempo, transformación a algún espacio complejo,etc.), implica establecer el modelo matemático formal de relación P entre los elementosdel conjunto. De manera general, la forma para distinguir dos elementos de un conjuntoen cada pareja de elementos, consiste en compararla con un número real positivo, elcual se interpreta como la distancia entre los elementos d : X × X → R, donde xn, xmestán en X y d(xn, xm) ≥ 0. En este caso los elementos xn y xm tienen las mismas propie-dades geométricas. Un conjunto con una distancia dada en forma adecuada representaun conjunto de señales.

Un ejemplo de distancia entre dos señales x(t) y y(t) del espacio de funciones com-plejas en el tiempo, a lo largo de un intervalo T está dado por la siguiente expresión:

d (x, y) = ‖x− y‖ =

∫

T

|x(t) − y(t)|2dt

1/2

(1.11)

El conjunto de funciones relacionados con la distancia (1.11), para los cuales larespectiva norma es acotada, ‖x‖2 < ∞, o espacio L2(T ), que es un espacio de Hilbert,

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está provisto del siguiente producto interno:

〈x, y〉L2(R) =

∫

R

x∗(t)y(t)dt (1.12)

El espacio de funciones dado por la distancia (1.11) tiene aplicación amplia en la re-presentación de señales debido a la interpretación física simple de su respectiva norma,que corresponde a la energía de las señales. Esto es, cuando x ∈ L2(T ) se dice que

‖x‖2 = 〈x, x∗〉L2(T ) , Ex (1.13)

es la energía de la señal. Por cierto, la señal x(t) determinada sobre T , se denominaseñal de energía si cumple la condición

Ex = ‖x‖2 =

∫

T

|x(t)|2 dt <∞, (1.14)

La representación de cualquier señal x ∈ L2(T ) de energía, que cumpla la condición(1.14) en forma discreta, implica hallar la transformación del espacio L2(T ) en el espacioCn, donde el valor de n se elige a partir del compromiso entre la precisión y la economíade la representación.

La forma general de hallar esta representación consiste en la selección de subespaciode dimensión n a partir de L2(T ). Teniendo en cuenta que L2(T ) es un espacio comple-to separable [2], la señal x ∈ L2(T ) puede ser representada de manera aproximada concualquier precisión, si la dimensión de representación se escoge suficientemente grande(n→ ∞), por medio de un conjunto de valores o coeficientes xk, expresados en combina-ción lineal del siguiente espacio de funciones de coordenadas, elegido adecuadamente:

x(t) =∞∑

k=1

xkφk(t), (1.15)

donde φk(t) corresponde a un conjunto de funciones elegidas a priori, que conformanuna base del espacio vectorial L2(T ), las cuales son denominadas funciones base, siendok el orden de la función dentro del conjunto φk(t). La descomposición en funcionesbase (1.15) corresponde a la representación espectral generalizada.

En forma general, en la representación de señales, las funciones base deben cumplirlos siguientes requerimientos: a) La serie (1.15) debe ser convergente, b) Los coeficientesxk deben tener procedimientos simples de cálculo, y c) sus valores no deben dependerdel límite superior de la suma de la representación (1.15).

1.2.2. Descomposición en funciones ortogonales

Los sistemas ortogonales son un caso particular de sistemas de funciones independien-tes lineales. Más aún, cualquier sistema de este último tipo puede ser transformado enortogonal, empleando, por ejemplo el método de Gramm-Schimdt (ver ejemplo 1.4) [3].

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Un sistema de funciones complejas φm(t) se define como ortogonal en el intervalode representación (ti, tf ), si se cumple la relación:

tf∫

ti

φm(t)φ∗n(t)dt =

tf∫

ti

φ∗m(t)φn(t)dt =

0, m 6= n

Emn, m = n(1.16)

siendo Emm = Enn = Em = En una magnitud de energía. Mientras para el caso de lasseñales de potencia se tendrá:

1

tf − ti

tf∫

ti

φm(t)φ∗n(t)dt =1

tf − ti

tf∫

ti

φ∗m(t)φn(t)dt =

0, m 6= n

Pmn, m = n(1.17)

donde Pmm = Pnn = Pm = Pn es la potencia media o cuadrado de la norma de la funciónφn(t).

Se dice que el conjunto de funciones base está normalizado si se cumple que:

tf∫

ti

|φm(t)|2dt =

tf∫

ti

|φn(t)|2dt = Emn = 1,∀m,n

Si el conjunto es a la vez normalizado y ortogonal, este se denomina ortonormal.Como se deduce de la expansión ortogonal (1.15), una señal de energía x(t) puede

ser aproximadamente representada en términos de φn(t):

x(t) ≈N∑

n=0

xnφn(t) (1.18)

donde los coeficientes xn caracterizan el peso de la correspondiente función ortogonalφn(t). La representación (1.18) de la función x(t) se denomina expansión o representación

ortogonal.Los valores xn se determinan de acuerdo a la condición de mínimo error tomada

en la aproximación. El tipo de error comúnmente empleado en la ponderación de laaproximación (1.18) es el error cuadrático medio (potencia media de error), el cual esdefinido como:

ε2N (t) =1

tf − ti

tf∫

t1

∣∣∣∣∣x(t) −N∑

n=0

xnφn(t)

∣∣∣∣∣

2

dt, siendo ε2N (t) ≥ 0 (1.19)

Por cuanto ε2N (t) es función de los coeficientes x0, x1, · · · , xN , entonces para su mini-mización se debe hacer igual a cero todas las respectivas derivadas parciales:

∂(ε2N )

∂x0=∂(ε2N )

∂x1= · · · =

∂(ε2N )

∂xN= 0

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La derivada parcial de (1.19) por los coeficientes xk será:

∂ε2N (t)

∂xk=

1

tf − ti

∂

∂xk

tf∫

ti

∣∣∣∣∣x(t) −N∑

n=0

xnφn(t)

∣∣∣∣∣

2

dt

= 0

Denotando por a = x(t) y b =∑

n xnφn(t), la expresión dentro del integral anteriortoma la forma

|a− b|2 = (a− b) (a− b)∗ = (a− b) (a∗ − b∗) = (aa∗ − ab∗ − ba∗ + bb∗)

Luego, se cumplirá que

∂

∂xk

tf∫

ti

|x(t)|2 dt−N∑

n=0

tf∫

ti

x(t)x∗nφ∗n(t)dt+

tf∫

ti

x∗(t)xnφn(t)dt−tf∫

ti

xnφn(t)N∑

m=0

x∗mφ∗mdt

= 0

En virtud de la condición de ortogonalidad (1.16), los productos∫φm(t)φ∗n(t)dt, ∀m 6=

n, serán iguales a cero,

∂

∂xk

tf∫

ti

|x(t)|2 dt−N∑

n=0

tf∫

ti


tf∫

ti


ti

|xnφn(t)|2 dt

= 0 (1.20)

De igual manera, los componentes que no contengan xk son cero. Como resultadosolo se tiene dos componentes diferentes de cero:

∂

∂xk

−

tf∫

ti

x∗(t)xkφk(t)dt+

tf∫

ti

xkφk(t)x∗kφ

∗k(t)dt

= 0

que al diferenciar por xk e intercambiando los términos se obtiene:

tf∫

ti

x∗(t)φk(t)dt = x∗k

tf∫

ti

|φk(t)|2 dt

cuando se generaliza en función del índice n, da como resultado:

xn =

tf∫

ti

x(t)φ∗n(t)dt

tf∫

ti

|φn(t)|2 dt

=1

Pn1

tf − ti

tf∫

ti

x(t)φ∗n(t)dt (1.21)

El numerador de (1.21) es la energía (o potencia) de la señal x(t) y de la función baseφn(t), mientras en el denominador aparece la energía (o potencia) de las funciones base.

Janu

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De la expresión (1.20) se obtiene que el error ε2(t) es igual a

ε2N (t) =1

tf − ti

tf∫

ti

|x(t)|2 dt −

−N∑

n=0

tf∫

ti


tf∫

ti


ti

|xnφn(t)|2 dt

Además, de (1.21) resulta que

xkPn =1

tf − ti

tf∫

ti

x(t)φ∗n(t)dt

con lo cual, el error ε2(t) se puede determinar como:

ε2N (t) =1

tf − ti

tf∫

ti

|x(t)|2 dt−N∑

n=0

(2x∗nxnPn − xn ∗ x∗nPn) =

=1

tf − ti

tf∫

ti

|x(t)|2 dt−N∑

n=0

|x2n|Pn = P −

N∑

n=0

|x2n|Pn (1.22)

Por cuanto la potencia de error siempre es positiva, ε2(t) ≥ 0, entonces, de la anteriorexpresión se deduce la siguiente desigualdad:

P ≥N∑

k=0

|xk|2Pk, (1.23)

conocida como la desigualdad de Bessel, la cual indica que la potencia de la aproxima-ción de la señal x(t) obtenida por (1.18) es menor o, en el mejor de los casos, igual a lapotencia de la señal original.

De otra parte, de (1.22) se observa que al aumentar N , o sea, al aproximar la señalcon conjuntos mayores ortogonales, entonces el error ε2(t) disminuye.

Teorema 1.1 (Parsevall). Por definición ε2 ≥ 0, por lo tanto, al hacer N → ∞en (1.22), la suma

∑Nk=0 x

2kPk converge al valor del integral

∫ tftix2(t)dt, luego ε2

tiende a cero. Como resultado se tiene la siguiente igualdad:

tf∫

ti

|x(t)|2 dt =∞∑

n=1

|xn|2 = Pn, (1.24)

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-

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6

..

6

6

6..................

..................

66

- -

...............................................................

...............................................................

....

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....

....

...

x(t)

×

×

×

×

×

×

T

T

T

1/T

1/T

1/T

∑∑∑φ1(t)

φn(t) φn(t)

φ1(t)

φ0(t)φ0(t)

x0

x1

xn

x(t)

Figura 1.5: Descomposición y formación ortogonal de señales

En este caso, el conjunto ortogonal se define como completo en (ti, tf ). Si en laexpansión (1.18) la cantidad de términos N → ∞, o sea,

x(t) =∞∑

n=0

xnφn(t) (1.25)

entonces, la serie infinita converge hacia la función x(t), de tal manera que el valor cua-drático medio del error ε2(t) de la aproximación se hace igual a cero. La representaciónde una función x(t) dada en (1.25) por medio de un sistema base con número infinito defunciones ortogonales se denomina representación generalizada de Fourier de x(t) parala base φn(t). Cualquier señal de potencia (o energía) puede ser descompuesta si elsistema de funciones base genera un sistema completo, donde los coeficientes xn se de-terminan por (1.21). El mismo conjunto de los coeficientes xn se denomina espectro de

la señal x(t), mientras el producto xnφn(t) se define como la componente espectral de laseñal. Cualquiera de las dos formas: la serie generalizada de Fourier (1.25) o el espectro

xn (1.21) determinan unívocamente la señal x(t).Basados en la expresión (1.25) es posible la síntesis de señales, así en la Figura 1.5

(para Pn = 1) se muestra el diagrama funcional del sintetizador de señales empleando elsistema de funciones base φn(t).

Por cuanto, la cantidad de sistemas ortogonales completos es inconmensurable, laelección del mejor sistema base de representación tiene un amplio sentido práctico. Lassiguientes son las recomendaciones generales a tener en cuenta en este caso:

1. El sistema base debe ser descrito analíticamente de manera fácil, así que las corres-pondientes funciones ortogonales sean sencillas de generar.

2. El sistema base debe ser una tarea con solución adecuada de tal manera que éstefacilite la resolución de problemas tales como la representación económica de seña-

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les, la realización de filtros espectrales, y la disminución de costos computacionalesen el proceso de señales, entre otros.

3. Es preferible que el sistema base φi(t) sea multiplicativo, esto es, que se cumplanlas siguientes condiciones:

Sea φn(t), φm(t) ∈ φi(t) , si φk(t) = φn(t)φm(t), entonces φk(t) ∈ φi(t) .

Sea φn(t) ∈ φi(t) , si φk(t) = 1/φn(t), entonces φk(t) ∈ φi(t) .

4. El sistema base debe facilitar la síntesis de algoritmos económicos (rápidos) en elsentido del costo computacional. En particular, es preferible el empleo de sistemasconformado por funciones ortogonales de estructura periódica.

La elección del sistema de funciones ortogonales más conveniente depende del ob-jetivo con que se descompone la señal compleja original. Entre los diferentes problemasque exigen esta descomposición pueden distinguirse dos orientaciones importantes:

1. La descomposición en sistemas completos de funciones ortogonales,

2. La aproximación de las señales, de tal manera que se pueda brindar la precisióndeseada con el menor número de elementos de la serie en (1.18).

En el primer caso, se difundió el empleo de las funciones exponenciales de Fouriery en particular de las funciones trigonométricas, los senos y cosenos. Sin embargo, enalgunos casos se emplean otros sistemas. Por ejemplo, para la discretización de señalescontinuas en el tiempo se emplean bases del tipo sinc(x). En el proceso digital de señaleses muy frecuente el empleo de funciones constantes en segmentos de tiempo [4] (basesde Rademacher, Walsh, Paley, Hadamar y Haar).

Como ejemplos de conjuntos ortogonales en la segunda orientación se pueden ana-lizar los polinomios de Chebyshev, Hermite, Laguerre, Legendre entre otros [4,5].

1.2.3. Sistema ortogonal completo de Fourier

Serie exponencial de Fourier. Se define a partir del conjunto ortogonal conformadopor las funciones exponenciales complejas del tipo:

φn(t) = ejnω0t, (1.26)

donde n ∈ 0,±1,±2, . . . se denomina armónico, siendo ω0 = cte 6= 0.En la determinación del valor de la constante ω0, se parte de la definición de ortogo-

nalidad (1.26) sobre el intervalo de tiempo (ti, tf ), por lo que se tiene:

tf∫

ti

φn(t)φ∗m(t)dt =

tf∫

ti

ejnω0te−jmω0tdt =

0, n 6= m

En, n = m

=1

j(n−m)ω0

[ej(n−m)ω0tf−ej(n−m)ω0ti

]= 0, ∀n 6= m,

=1

j(n−m)ω0ej(n−m)ω0ti

[ej(n−m)ω0(tf−ti) − 1

]= 0.

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Highlight

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obteniéndose los respectivos valores de

ω0 = 2π/En y En = (tf − ti) (1.27)

La representación exponencial de la serie Fourier para cualquier señal de energía,aplicando (1.15), tiene la forma:

x(t) =∞∑

n=−∞xne

jnω0t, (ti < t < tf ) (1.28)

donde cada uno de los coeficientes de la serie, teniendo en cuenta (1.21), se determinanpor la expresión:

xn =1

tf − ti

tf∫

ti

x(t)e−jnω0tdt (1.29)

Se definirá como espectro de Fourier a la representación gráfica de los coeficientescomplejos de Fourier de la función en dependencia de la frecuencia. Aunque, como antesse dijo, el espectro puede ser hallado para cualquier sistema base de representación,realmente, el espectro de Fourier se le ha encontrado interpretación física y, por lo tanto,uso práctico en la ingeniería. En adelante, cuando se refiera al espectro se tendrá encuenta sólo el de Fourier.

En la Tabla (1.1) se muestran los coeficientes de Fourier para algunas señales comu-nes.

Señal Definición Coeficiente xn

Cuadrada simétrica

1, |t| < T

4

−1,T

4< |t| < T

2

sinc(nπ/2), n 6= 0

0, n = 0

Pulsos rectangulares

+1, |t| < τ

2

0,τ

2≤ |t| < T

2

τ

Tsinc(nπτ/T )

Triangular simétrica 1 − 4|t|/T, |t| < T/2

sinc(nπ/2), n 6= 0

0, n = 0

Diente de sierra 2t/T, |t| < T/2

j(−1)

nπ, n 6= 0

0, n = 0

Sinusoide rectificada |sinω0t|

2

π(1 − n), n ∈ par

0, n ∈ impar

Tabla 1.1: Coeficientes de descomposición espectral de Fourier

Ejemplo 1.5. Hallar la serie de exponencial de Fourier para la funcion (considerando a 6= b):

x(t) =

a, t1 −

τ

2< t < t1

b, t1 < t < t1 +τ

2,

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Aplicando (1.27) se obtiene

En = ((t1 + τ/2) − (t1 − τ/2)) = τ,

siendo ω0 = 2π/En = 2π/τ . Los coeficientes espectrales se definen a partir de (1.21):

xn =1

τ

t1+τ/2∫

t1−τ/2

x(t)e−jnω0tdt =1

τ

t1∫

t1−τ/2

ae−jnω0tdt+

t1+τ/2∫

t1

be−jnω0tdt

xn =1

τ

[ae−jnω0t

−jnω0

∣∣∣∣t1

t1−τ/2

+be−jnω0t

−jnω0

∣∣∣∣t1+τ/2

t1

]

haciendo a = −b y t1 = 0, se obtiene

xn =1

τ

[ae−jnω0t

−jnω0

∣∣∣∣0

−τ/2

− ae−jnω0t

−jnω0

∣∣∣∣τ/2

0

]=

−ajnω0τ

[e−jnω0t

∣∣0−τ/2

− e−jnω0t∣∣τ/2

0

]=

−ajnπ

[1 − cosnπ]

xn =

−2a

jnπ, n ∈ impar

0, n ∈ par

en cambio, si a = −b, pero t1 = τ/2, el valor de los armonicos sera:

xn =1

τ

[ae−jnω0t

−jnω0

∣∣∣∣τ/2

0

− ae−jnω0t

−jnω0

∣∣∣∣τ

τ/2

]

=−a

jnω0τ

[0 − e−jnω0t

∣∣ττ/2

]=

−anπ

sinnπ = 0, ∀n.

Finalmente, la representacion completa en forma de serie exponencial de Fourier, correspondientea (1.18), de la funcion dada en el intervalo (t1 − τ/2, t1 + τ/2), es la siguiente:

x(t) =∞∑

n=−∞

xnejnω0t

=2a

jπ

[ejπt +

ej3πt

3+ej5πt

5+ . . .− e−jπt − e−j3πt

3− e−j5πt

5− . . .

]

-

.

6

t

x(t)

a

b

t1 − τ2 t1 t1 + τ

2

(a) Representación en el tiempo

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3ω0 ω0

0

0ω0 3ω0 5ω0 7ω0 9ω0 nω0

(b) Representación espectral

Figura 1.6: Meandro simple

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En la Figura 1.6 se muestra la senal dada en el tiempo y sus respectivos coeficientes obtenidosen la ultima expresion para la serie de exponencial de Fourier.

El ejemplo 1.5 se puede extender a un tren de pulsos cuadrados definido de lasiguiente manera:

x(t) = a∑

k

rectτ (t− kT ) , siendo ω0 =2π

T. (1.30)

Reemplazando la anterior relación en (1.21) se obtiene:

xn =1

T

T/2∫

−T/2

x(t)e−jnω0tdt =1

T

τ/2∫

−τ/2

ae−jnω0tdt

xn =−a

jnω0T

(e−jnω0τ/2 − ejnω0τ/2

)= 2

a

nω0Tsin(nω0

τ

2

)

xn =aτ

T

sin(nω0τ/2)

nω0τ/2=aτ

Tsinc (nω0τ/2) ; n 6= 0 (1.31)

x0 =1

T

τ/2∫

−τ/2

a dt =aτ

T(1.32)

La relación (1.31) que determina el espectro de un tren de pulsos cuadrados, estárepresentada en las Figuras 1.7(a) y 1.7(b). Para este caso, se definirá como el ancho

de banda del lóbulo principal del espectro a la distancia que hay entre los dos primerosceros de la función (1.31), y que es igual a ∆ω = 2π/τ .

Analizando la influencia de los parámetros característicos de la función pulso cua-drado como son la amplitud a, el período T y el ancho del pulso en el tiempo τ sobre suespectro de (1.31) y (1.32), se pueden hacer las siguientes conclusiones:

- La amplitud a no influye sobre la forma de la envolvente espectral y es un factor deescala.

- Sea el período T = var, conservando la relación τ/T = cte. Si se tiene dos señalescon períodos respectivamente diferentes, tales que T1 = 2T2, donde ω01 = 2π/T1 yω02 = 2π/T2 = 2 (2π/T1), entonces, ω01 = ω02/2 y ∆ω = 2π/τ = cte. Luego, la distanciaentre cada una de las componentes espectrales cambia de modo inversamente pro-porcional al aumento del valor del período T , sin embargo, la forma de la envolventedel espectro no cambia mientras τ/T = cte.

- Sea τ = var, τ/T = cte, o sea, ω0 = 2π/T . Si se tienen dos señales con ancho depulso respectivamente diferentes, tales que τ1 = 2τ2, ∆ω1 = 2π/τ1 y ∆ω2 = 2π/τ2,entonces, ∆ω1 = ∆ω2/2. En este caso la distancia entre las componentes espec-trales es constante para cualquier valor de τ , cambiando la forma del espectro. Elancho de banda del lóbulo principal cambia de modo inversamente proporcionalal cambio del valor de τ . Los espectros correspondientes a cada uno de los casosanteriormente analizados están representados en la Figura 1.7.

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−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.2

00.20.40.60.8

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.2

00.20.40.60.8

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.2

00.20.40.60.8

T = 0.1

T = 0.15

T = 0.3

(a) Espectros para τ/T = var, τ = const.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0

0.5

1

1.5

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0

0.5

1

1.5

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0

0.5

1

1.5

τ/T = 1

τ/T = 2

τ/T = 0.5

(b) Espectros para τ/T = var, T = const.

Figura 1.7: Espectro de un tren de pulsos cuadrados

Serie trigonométrica de Fourier. A partir de la igualdad de Euler, ejθ = cos θ + j sin θ,entonces, la serie exponencial de Fourier que representa a la función x(t) en el intervalo(ti, tf ), de manera similar, se puede descomponer la señal original en la suma trigono-métrica del tipo:

x(t) = a0 +∞∑

n=1

an cos(nω0t)+∞∑

n=1

bn sin(nω0t) (1.33)

Se puede llegar de la serie exponencial de Fourier a su representación trigonométricareemplazando:

an = 2<xn, bn = −2j=xn, ∀n 6= 0, mientras, a0 = x0, b0 = 0, (1.34)

donde xn = (an − jbn)/2. Aplicando la definición (1.21) de los coeficientes xn notados en(1.34) se obtiene:

an =

tf∫

ti

x(t) cos (nω0t) dt

tf∫

ti

cos2 (nω0t) dt

=2

tf − ti

tf∫

ti

x(t) cos (nω0t) dt, n 6= 0

bn =

tf∫

ti

x(t) sin (nω0t) dt

tf∫

ti

sin2(nω0t)dt

=2

tf − ti

tf∫

ti

x(t) sin (nω0t) dt

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El coeficiente inicial, se calcula como

a0 =

tf∫

ti

x(t)dt

tf∫

ti

dt

=1

tf − ti

tf∫

ti

x(t)dt.

La serie trigonométrica de Fourier en (1.33) puede representarse de manera alternacomo:

x(t) =∞∑

n=0

cn cos (nω0t+ θn) , (1.35)

donde

cn =

√a2n + b2n = 2|xn| = 2

√xnx∗n, n 6= 0

x0, n = 0(1.36)

mientras,

θn = tan−1

(− bnan

)= tan−1

(=xn<xn

)(1.37)

La representación de una señal de energía por la serie de Fourier en un intervalofinito (ti, tf ) se puede extender para las señales periódicas (suponiendo que el valor de laenergía en cualquier intervalo o período T sea finito), para las cuales se cumple la con-dición, ejϕ = ej(ϕ+2π/T ). Todas las expresiones anteriores son válidas para las funcionesperiódicas reemplazando el intervalo de definición de las señales aperiódicas [ti, tf ] porel valor del período T de las funciones periódicas.

La representación en series de Fourier converge en x(t), en el sentido en que el errorcuadrático medio tiende a cero de manera uniforme y absoluta cuando la cantidad detérminos de la aproximación tiende a infinito, siempre y cuando la función x(t) cumplalas condiciones de Dirichlet [6]:

1. x(t) es absolutamente integrable sobre cualquier intervalo de análisis, esto es,

λ+T∫

λ

|x(t)| dt <∞

2. x(t) sólo tiene un número finito de máximo y mínimos sobre cualquier intervalofinito de análisis.

3. x(t) sólo tiene un número finito de discontinuidades de primer tipo sobre cualquierintervalo finito de análisis.

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Teorema 1.2 (Riemman). Si la función núcleo integral x(t) cumple las condicio-

nes de Dirichlet y, en forma general, si ésta es absolutamente integrable en el

intervalo (a, b), entonces tendrá lugar el siguiente límite [7]:

lımv→∞

b∫

a

x(ζ) cos(vζ)dζ = lımv→∞

b∫

a

x(ζ) sin(vζ)dζ = 0.

Como corolario del teorema 1.2 se tiene que los coeficientes an, bn y por tanto cntienden a cero cuando n→ ∞.

−1

0

1

−1

0

1

−1

0

1

−1

0

1

n = 1

n = 3

n = 5

n = 13

Figura 1.8: Efecto de Gibbs

En puntos de discontinuidad finita (delprimer tipo) en la función x(t), la serie deFourier converge en la media aritmética delos valores extremos de la discontinuidad.A medida que se aumentan los términosN de la serie, el valor del error cuadráticointegral decrece excepto en la vecindad in-mediata de la discontinuidad finita, en cu-ya cercanía la serie deja de converger, aun-que el error cuadrático medio tienda a ce-ro. Cualquiera que sea la cantidad máxi-ma finita de términos tomados de esta se-rie, la representación aproximativa siempretendrá un paso continuo entre los puntosextremos de la vecindad de la discontinui-dad. Este comportamiento se conoce comofenómeno de Gibbs [8]. En la Figura 1.8 semuestra la aproximación de una señal rectangular (−) y su respectivo error de aproxi-mación (−−).

Se considera, que los siguientes son los motivos principales por los cuales tieneamplia aplicación las series trigonométricas de Fourier [7]:

- Éstas son oscilaciones simples y están determinadas para todo valor de t.

- Las oscilaciones armónicas seno y coseno son las únicas funciones del tiempo queconservan su forma al pasar por cualquier dispositivo lineal; sólo varían su fase ysu amplitud.

- La descomposición en senos y cosenos permite aplicar el método simbólico usual-mente desarrollado para el análisis de circuitos lineales.

Dada un porción de la señal sobre el intervalo finito de tiempo T , es imposible dis-tinguir componentes de frecuencia que estén por debajo de la siguiente relación:

∆f =ω0

2π=

1

T(1.38)

El valor ∆f es llamado resolución de frecuencia de los datos.

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1.2.4. Otros conjuntos ortogonales

En la aproximación de señales continuas se emplean diferentes polinomios y funcionesespeciales ortogonales. Escogiendo adecuadamente estas funciones en la descomposi-ción ortogonal (1.18), se logra la representación de la señal, de manera aproximada, conun número pequeño de elementos de la serie.

De otra parte existen funciones, que conforman sistemas base completos φn(t),siendo ortonormales en los intervalos indicados con valor de peso

√w(t), esto es, que se

cumpla la condición:

φ(t) =√

w(t)ψn(t)

(1.39)

siendo w(t) la función de peso, ψn(t) las funciones sobre los cuales se forman los sistemasbase ortogonales. Como consecuencia de (1.39), la definición de ortogonalidad (1.17)sobre el intervalo T cambia por:

∫

T

ψm(t)ψ∗n(t)w(t)dt =

0, m 6= n

Pmn, m = n

donde

Pmm =∥∥∥√w(t)ψn(t)

∥∥∥2

=

∫

T

[√w(t)ψn(t)

]2dt. (1.40)

Así mismo, cambia la determinación de los coeficientes (1.21) en la serie generalizadade Fourier:

xn =1

∥∥∥√w(t)ψn(t)

∥∥∥2

∫

T

x(t)√w(t)ψ∗

n(t)dt. (1.41)

Polinomios de Legendre. Siendo T = [−1, 1] y w(t) = 1, se puede obtener un sistemaortogonal, empleando el procedimiento de Gram-Schmidt a la secuencia

t0, t1, t2, . . .

, y

como resultado se obtienen los polinomios normalizados:

ϕ0(t) = 1/√

2, ϕ1(t) =√

3/2t, ϕ2(t) =

√5

2

(3

2t2 − 1

2

),

ϕ3(t) =

√7

2

(5

2t3 − 3

2t

), ϕ4(t) =

√9

2

(35

8t4 − 15

4t2 +

3

8

), · · ·

ϕn(t) =

√2n+ 1

2Pn(t),

generando el polinomio

Pn(t) =1

2nn!

dn

dtn(t2 − 1

)n, (1.42)

el cual puede ser calculado en la siguiente forma recurrente:

nPn(t) = (2n− 1)tPn−1(t) − (n− 1)Pn−2(t).

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El intercambio τ = 1 − 2e−pt (p > 0, p ∈ R el factor de escala) transforma el intervaloT = [−1, 1] para la variable τ en el intervalo [0,∞) sobre el rango de la variable t. De lospolinomios (1.42) se puede obtener un sistema más de funciones ortonormales en [0,∞)y denominados funciones de Legendre

Pn(t) = [2p(2n+ 1)]1/2 e−ptPn(1 − 2e−2pt).

Ejemplo 1.6. Descomponer en polinomios de Legendre la funcion

x(t) = sgn(t), −1 < t < 1.

Por cuanto la funcion x(t) esta dada en el intervalo de tiempo [−1, 1], la descomposicion se realizaempleando los respectivos polinomios, antes que las funciones ortogonales, por lo que se obtiene:

P0(t) = 1, P1(t) = t, P2(t) =3

2t2 − 1

2, P3(t) =

5

2t3 − 3

2t, P4(t) =

1

8

(35t4 − 30t2 + 3

)

La serie generalizada de Fourier (1.25) para el caso de los polinomios de Legendre tendra la forma:

x(t) =∞∑

n=0

xnPn(t)

donde los respectivos coeficientes se determinan a partir de (1.41) como:

xn =2n+ 1

2

1∫

−1

x(t)Pn(t)dt

x0 =1

2

1∫

−1

x(t)dt =1

2

0∫

−1

x(t)dt−1∫

0

x(t)dt

= 0

x1 =3

2

1∫

−1

x(t)tdt =3

2

0∫

−1

x(t)tdt−1∫

0

x(t)tdt

= −3

2

x3 =7

2

1∫

−1

x(t)

(5

2t3 − 3

2t

)dt =

7

2

0∫

−1

x(t)

(5

2t3 − 3

2t

)−

1∫

0

x(t)

(5

2t3 − 3

2t

) dt =

7

8

x2 =5

2

1∫

−1

x(t)

(3

2t2 − 1

2

)dt = 0

De forma similar, xn = 0,∀n = 2k, k ∈ Z. Si se tiene en cuenta solamente los primeros cuatroelementos de la serie, esto es: x(t) = − 3

2 t + 78

(52 t

3 − 32 t), el error cuadratico medio obtenido

de aproximacion es ε2 ≈ 0.28. Para efectos de comparacion se puede tomar el ejemplo (1.5), sia = −b = 1, t1 = 0 y T = 2, con lo que ω0 = 2π/T = π, obteniendose los siguientes coeficientesde representacion:

xn =

0, n ∈ par

− 4

nπn ∈ impar

Al limitarse con los primeros cuatro elementos de la serie se obtiene

x(t) = −4

5sinπt− 4

3πsin 3πt

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Figura 1.9: Aproximación de la función en el ejemplo 1.5.

siendo el error cuadratico medio obtenido de aproximacion ε2 ≈ 0.0675. La Figura 1.9 ilustra lasdiferentes curvas de aproximacion.

Ejemplo 1.7. Descomponer en polinomios de Legendre la función x (t) = k1 sin (ω0t+θ0) ,−1 < t < 1.

En este caso, los respectivos coeficientes se determinan a partir de (1.41) como:

xk =2k + 1

2

1∫

−1

x (t)Pk (t) dt =2k + 1

2

1∫

−1

k1 sin (ω0t+ θ0)Pk (t) dt

x0 =k1

2

1∫

−1

sin (ω0t+ θ0) dt =−k1

2ω0(cos (ωo + θ0) − cos (θ0 − ω0))

x1 =3k1

2

1∫

−1

sin (ω0t+ θ0) tdt

integrando por partes:∫udv = uv −

∫vdu, siendo u = t, du = dt, dv = sin (ω0t+ θ0) , v = − 1

$0cos (ω0t+ θ0) ,

se obtiene que

x1 =3k1

2

(−1

ω0(cos (ω0 + θ0) − cos (θ0 − ω0)) +

1

ω20

(sin (ω0 + θ0) − sin (θ0 − ω0))

)

x2 =5k1

2

1∫

−1

sin (ω0t+ θ0)

(3

2t2 − 1

2

)dt =

=5k1

2

1∫

−1

3

2t2 sin (ω0t+ θ0) dt−

5k1

2

1∫

−1

1

2sin (ω0t+ θ0) dt

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Integrando el primer sumando:

u =3

2t2, du = 3tdt, dv = sin (ω0t+ θ0) , v = − 1

ω0cos (ω0t+ θ0) ,

con lo cual se obtiene

x2 = (cos (ω0+θ0) − cos (θ0−ω0))

(−15k1

4ω0+

15k1

2ω30

+5k1

4ω0

)+

15k1

2ω2(sin (ω0+θ0) − sin (θ0−ω0))

De esta manera, utilizando los primeros 10 términos de la serie de Legendre y haciendo k1 = 1,ω0 = 1 y θ0 = 0.

Polinomios de Chebyshev. Sea T = [−1, 1] y w(t) = [1−t2]−1/2, los siguientes polinomiosgeneran un sistema ortogonal:

ϕn(t) = 2n(2π)−1/2Tn(t), n = 0, 1, 2, , · · ·

donde

Tn(t) =

1

2n − 1cos(n arc cos t), n ≥ 1

1, n = 0(1.43)

que se calculan en forma recurrente (para n > 2):

Tn(t) = tTn−1(t) −1

4Tn−2(t).

Aplicando el intercambio anterior de variables τ = 1 − 2e−pt, p > 0, p ∈ R, de lospolinomios (1.43) se obtiene el sistema ortonormal base de funciones de Chebyshev:

Tn(t) = 2n( pπ

)1/2Tn(1 − 2e−pt),

para T = [0,∞) y w(t) = [e−2pt − 1]−12 .

Polinomios de Laguerre. Los siguientes polinomios generan un sistema ortogonal,para T = [0,∞) y w(t) = e−t:

ϕn(t) =1

n!Ln(t), n = 0, 1, · · ·

donde Ln(t) = etdn

dtn(tne−t),, que puede ser calculado en la forma recurrente:

Ln(t) = (2n− 1 − t)Ln−1(t) − (n− 1)2Ln−2(t).

Las respectivas funciones ortonormales de Laguerre, para T = [0,∞) y w(t) = 1,tienen la forma:

Ln(t) =e−t/2

n!Ln(t).

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Polinomios de Hermite. Definidos como

ϕn(t) =(2nn!

√π)−1/2

Hn(t), n = 0, 1, 2, · · ·

siendo T = (−∞,∞) y w(t) = e−t2. Donde

Hn(t) = (−1)net2 dn

dtn

(e−t

2), (1.44)

con la respectiva forma recurrente

Hn(t) = 2tHn−1(t) − 2(n− 1)Hn−2(t).

Los polinomios (1.44) conforman el sistema ortonormal en el intervalo T = (−∞,∞)y w(t) = 1:

Hn(t) =(2nn!

√π)−1/2

e−t2/2Hn(t).

Funciones de Walsh. Este sistema se nota por walm(t) : m = 0, 1, 2, · · · , N − 1, defini-do para T = [0, 1] y w(t) = 1. En la práctica se emplean conjuntos con N = 2m funciones.El sistema de Walsh es preferible definirlo a partir de las funciones elementales rectan-gulares de Rademascher [9]:

rn(t)M

=

sgn (sin(2nπt)) , n = 1, 2, · · ·1, n = 0

(1.45)

De la definición (1.45) queda claro el carácter discreto de las funciones de Rademas-cher, que toman dos valores únicamente: +1 en los subintervalos (k/2n, (k+1)/2n), k = 2l,l = 0, 1, · · · , y el valor de −1 en los demás subintervalos. El sistema de funciones (1.45)es ortogonal pero no completo al existir otras funciones ortogonales al sistema.

El sistema de funciones waln(t), n = 0, 1, 2, · · · , 2m − 1 es la ampliación del sistema(1.45) hasta hacerlo completo y se define como:

waln(t) =

N∏l=1

|rl(t)|κ(l) n = 1, 2, · · · ,

1, n = 0

(1.46)

siendo κ(l) el valor de l elemento en representación del valor κ en código Gray. Las pri-meras 8 funciones waln(t), n = 0, 1, 2, · · · , 7 en correspondencia con (1.46) se muestranen la Tabla 1.2.

Las siguientes son las principales propiedades de las funciones de Walsh:

1. Son digitales en el sentido en que toman solamente los valores 1,−1 con periodounitario.

2. Son orto-normales en el intervalo [−1/2, 1/2].

3. El conjunto es multiplicativo: waln(t)walm(t) = waln⊕m(t), para n⊕m la multiplicaciónpor módulo 2 de las respectivas descomposiciones binarias de n y m.

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lCódigo

binarioκ(l) wall(t)

0 000 000 wal0(t) = 11 001 001 wal1(t) = r1(t)2 010 011 wal2(t) = r1(t)r2(t)3 011 010 wal3(t) = r2(t)4 100 110 wal4(t) = r2(t)r3(t)5 101 111 wal5(t) = r1(t)r2(t)r3(t)6 110 101 wal6(t) = r1(t)r3(t)7 111 100 wal7(t) = r3(t)

Tabla 1.2: Obtención de las funciones waln(t)

4. El sistema se compone de dos subsistemas de funciones: pares e impares, notadasy definidas respectivamente como

calk(t) = wal2k(t), (1.47a)

salk(t) = wal2k−1(t), k = 1, 2, · · · (1.47b)

es k el orden de las funciones pares e impares, que caracterizan la cantidad decambios de signo en el intervalo (0, 1/2).

Cualquier función x(t) dada en el intervalo t ∈ (−1/2, 1/2) puede ser representadapor la serie generalizada de Fourier (1.25) compuesta de funciones de Walsh:

x(t) =∞∑

n=0

xn waln(t) (1.48)

cuyos coeficientes se determinan de acuerdo con (1.21) y (1.41):

xn =

1/2∫

−1/2

x(t)waln(t)dt

Al expresar el sistema waln(t) por sus respectivas componentes pares e impares seobtiene:

x(t) = a0 wal 0(t) +∞∑

n=1

an caln(t)+∞∑

n=1

bn saln(t)

Los coeficientes se determinan de acuerdo con (1.21):

an =

1/2∫

−1/2

x(t) caln(t)dt, bn =

1/2∫

−1/2

x(t) saln(t)dt

Los coeficientes xn (ó, en su defecto an y bn) de la serie Fourier-Walsh en (1.48)conforman el espectro de la señal x(t) en base Walsh, el cual es denominado S-espectro(sequency spectrum).

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Ejemplo 1.8. Determinar el S-espectro de la senal x(t) = sin 2πt,−∞ < t < ∞, empleando elsistema

waln(t), 0 ≤ t < 1, n = 0, 1, · · · , 31Debido a la imparidad de la funcion dada x(t) respecto al punto t = 1/2, todos los coeficientespara las funciones pares wal2n(t) = 0. Tambien son iguales a cero los coeficientes de las funcionesimpares de orden 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 y 31. Los demas coeficientes tienen el siguiente valor:

x1 =

1/2∫

−1/2

x(t)wal1(t)dt =

1/2∫

−1/2

sin (2πt) wal1(t)dt = 2

1/2∫

0

sin (2πt) dt =2

π≈ 0.637

x5 =

1/2∫

−1/2

sin (2πt) wal5(t)dt = 4

1/8∫

0

sin (2πt) dt− 2

3/8∫

1/8

sin (2πt) dt ≈ −0.264

x9 ≈ −0.052, x13 ≈ −0.127, x17 ≈ −0.012, x21 ≈ −0.005,

x25 ≈ −0.026, x29 ≈ −0.063

De igual manera se puede establecer el S-espectro de la senal x(t) = cos 2πt, para la cual se obtienelos siguientes coeficientes: x2 ≈ 0.637, x6 ≈ 0.264, x10 ≈ −0.052, x14 ≈ 0.127, x18 ≈ −0.012,x22 ≈ 0.005. Los demas coeficientes son iguales a cero.

En general, el S-espectro de la funcion x(t) = sin (2πt+ θ) puede ser obtenido a partir de larelacion: sin (2πt+ θ) = sin (2πt) cos θ + cos (2πt) sin θ por lo cual es claro, que cambiando eldesfase θ cambian los valores de los coeficientes de descomposicion de la serie de Walsh.

Funciones de Haar. Sistema notado por

har(i)m (t)

y definido para T = [0, 1] y w(t) = 1:

har(0)0 (t) = 1,

har(1)0 (t) =

1, 0 ≤ t ≤ 1/2

0, t = 1/2

−1, 1/2 < t < 1

har(i)m (t) =

2m/2, (i− 1)2−m ≤ t < (i− 1/2)2−m

−2m/2, (i− 1/2)2−m ≤ t < i2−m

0, otros valores de t

(1.49)

para m ≥ 1, 1 ≤ i ≤ 2m. El sistema ortonormal

har(i)m (t)

es completo.

Por cuanto, en la representación espectral de las señales es preferible que el sistemabase sea expresado en una función de un solo índice ordinal, entonces se emplea la

siguiente notación para el sistema base

har(i)m (t)

a través de las funciones de Rade-

mascher (1.45) [4]:

harn(t) =

2k/2rk+1(t) rectT (2kt− n(mod 2k)), n = 1, 2, 3, · · ·1, n = 0,

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siendo k el número del bit mayor diferente de cero en la representación binaria de n yT = 1.

La serie Haar-Fourier, teniendo en cuenta (1.15), se describe en la forma:

x(t) =∞∑

n=0

xn harn(t)

y los coeficientes de descomposición son determinados de la siguiente manera

xn =

1/2∫

−1/2

x(t) harn(t)dt

Ejemplo 1.9. Determinar el espectro de la serie Haar-Fourier para senal x(t) = sin 2πt, em-pleando el sistema harn(t), 0 ≤ t < 1, n = 0, 1, 2, · · · , 15. .

x0 =

1/2∫

−1/2

x(t)dt = 0,

xn =

1/2∫

−1/2

x(t) harn(t)dt =

1/2∫

−1/2

x(t)2k/2rk+1(t) rectT (2kt− n(mod 2k))dt, n > 1

dando como resultado: x1 = 0.637, x2 = x3 = 0, x4 = −0.0091, x5 = x6 = 0.0539, x7 = −0.0539,x8 = −0.0208, x9 = −0.0091, x10 = 0.0091, x11 = x12 = 0.0208, x13 = 0.0091, x14 = −0.0091,x15 = −0.0208.

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Problemas

Problema 1.9. Sean las señales y(t) y x(t) elementos de un espacio real de Hilbert, tales que son linealmenteindependientes, y por tanto la igualdad y = λx no tiene lugar para ningún valor real de λ. Demostrar ladesigualdad de Cauchy-Buniakovski

| (x, y) | < ‖x‖ · ‖y‖

Problema 1.10. Demostrar que un espacio real de Hilbert se cumple la desigualdad de Minkovski

‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖

Problema 1.11. En un espacio de Hilbert están dados los vectores u y v, tal que ‖ v ‖= 1. En analogía conla geometría de los vectores comunes en un plano, el vector w = (u, v) v se denomina proyección ortogonal delvector u en la dirección v. Demostrar que el vector y = u − w es ortogonal al vector v.

Problema 1.12. Empleando el método mostrado en el ejemplo 1.4, calcular los tres primeros vectores baseαi, i = 0, 1, 2, obtenidos mediante la ortonormalización del sistema de funciones 1, t, t2, · · · en el intervalo detiempo −1 ≤ t ≤ 1.

Problema 1.13. Encontrar los tres primeros coeficientes xi, i = 0, 1, 2 de la serie generalizada de Fourier,obtenida mediante la descomposición de la señal x(t) = et en el intervalo −1 ≤ t ≤ 1, tomando en calidadde sistema de funciones base φk, el analizado en el problema 1.12. Calcular la norma del error absoluto deaproximación en la forma,x −

2k=0

xkφk

Estimar el error relativo de aproximación, en la formax −

2k=0

xkφk

‖x‖

Problema 1.14. Hallar los coeficientes del polinomio de segundo orden y(t) = a + bt + ct2, de tal maneraque sea la aproximación, con el menor error cuadrático medio (1.19), de la función x(t) = et en el intervalo−1 ≤ t ≤ 1.

Problema 1.15. Demostrar la ortogonalidad del conjunto formado por el principio sgn[sin(2mπθ)], dondem ∈ Z.

Problema 1.16. Sea la señal representada por la serie exponencial de Fourier x (t) = ∞

−∞xnejnω0t,

entonces, demostrar que yn = xne−jnω0τ0 , donde yn son los coeficientes de Fourier de y(t).

Problema 1.17. Una señal compleja periódica x(t) en el intervalo de tiempo −T/2 ≤ t ≤ T/2 tiene laforma, x(t) = x1(t) + jx2(t). Demostrar que si la función x1(t) es par, mientras la función x2(t) es impar,entonces los coeficientes xn de la serie de Fourier, para cualquier n, serán valores reales.

Problema 1.18. Demostrar que si p y q son enteros, para p < q, y x 6= 0 (mod 2π), entonces, p≤n≤q

einx

≤ | csc(1/2x)|

Problema 1.19. Sea cn ≥ cn+1 ≥ 0 y lımn→∞

cn = 0. Demostrar que la serie ∞

n=−∞cnejnx converge cuando

se cumple que, x 6= 0 ( mod2π) y la convergencia es uniforme en cualquier conjunto compacto de números realesx 6= 0 (mod2π) .

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Problema 1.20. Calcular los coeficientes de la serie compleja de Fourier para las siguientes funcionesperiódicas dadas en el intervalo [−π, π]:

a). x(t) = t. b). x(t) = | sin t|. c). x(t) = sgn(t).

Problema 1.21. La señal x(s), que depende del argumento adimensional s en el intervalo −1/2 ≤ s ≤ 1/2,se representa por la dependencia x(s) = 16s2. Calcular los tres primeros coeficientes de la serie (1.48)

Problema 1.22. Calcular los coeficientes xi i = 0, 1, 2, de la serie generalizada de Fourier por funciones deWalsh (1.48), para la función del problema 1.13.

Problema 1.23. Hallar la expansión de la función x(t) = t en serie trigonométrica en el intervalo (0, 2).

Problema 1.24. Determinar el S-espectro de la secuencia periódica de pulsos rectangulares con amplituda = 2m, m ∈ Z, apertura τ = 1/a, y periodo unitario, empleando el sistema

waln(t), 0 ≤ t < 1, n = 0, 1, 2, . . . , N, N = 2k − 1, k ∈ Z, siendo k > m.

R. xi = 1, i = 0, 1, . . . , 2m − 1

0, i = 2m, 2m + 1, . . . , 2n − 1

Problema 1.25. Hallar el S-espectro de la señal pulso periódico (1.30) y demostrar que es finito (a diferenciadel espectro de Fourier en (1.31)). Demostrar que el S-espectro para la misma secuencia de entrada desplazadaen θ = 1/2k, tiene como coeficientes los siguientes:

xi = 1, i = 0, 1, 2, 3

−1 i = 8, 9, 10, 11

0, otros valores de i

Problema 1.26. Determinar el espectro de la de la serie Haar-Fourier para la secuencia periódica depulsos cuadrados con amplitud a = 2m, m ∈ Z, apertura τ = 1/a, y periodo unitario, empleando el sistemaharn(t), 0 ≤ t < 1, n = 0, 1, 2, . . . , N, N = 2k − 1, k ∈ Z, siendo m = 3 y k = 4.

R. x0 = 1, x1 = 1, x2 =√

2, x4 = 2, xi = 0, para los demás valores de i.

Ejercicio en el PC 1.1. Desarrollar un programa gráfico que convierta la serie trigonométrica deFourier utilizando desde 1 hasta 15 armónicos y 50 puntos por periodo.

Ejercicio en el PC 1.2. Desarrollar el código en Matlab de generación de las funciones de Walsh yobtener la representación gráfica para el caso de m = 3 y k = 4. del problema (1.25)

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n 4.11.3. Representación integral de señales 41

1.3. Representación integral de señales

La representación discreta analizada en el numeral §1.2 sirve en la descomposición deseñales periódicas o señales aperiódicas definidas sobre intervalos finitos de tiempo.Esta última restricción es superable al emplear la representación integral, que se daen forma de transformadas integrales y que se lleva a cabo para sistemas base conti-nuos. La generalización de (1.15) para cualquier sistema base o transformada directa

generalizada de Fourier se puede escribir, en el dominio T , como sigue:

v(s) =

∫

T

x(t)θ(s, t)dt, s ∈ S (1.50)

siendo s el parámetro generalizado del dominio S y θ(s, t) el núcleo base conjugado. Lafunción v(s) es una representación continua de x(t) análoga a los coeficientes xn en(1.15), y corresponde a la densidad, la cual caracteriza la distribución de x(t) con rela-ción a θ(s, t) en las diferentes regiones de S.

De manera similar, se determina la transformada inversa generalizada de Fourier

x(t) =

∫

S

v(s)φ(s, t)ds, t ∈ T (1.51)

Reemplazando x(t) de (1.51) en (1.50), e intercambiando el orden de integración seobtiene la condición de conjunta que deben cumplir los núcleos base conjugados:

x(t) =

∫

S

∫

T

x(τ)θ (s, τ)φ (t, s) dτds =

∫

T

K (t, τ)x(τ)dτ = fK x(t) (1.52)

donde K (t, τ) =∫S

θ (s, τ)φ (t, s) ds.

En forma general, el funcional lineal fKx(t) no es acotado ni continuo, por lo tantono es de esperar que exista una función, perteneciente a L2(T ) definida en τ , que cumplala condición (1.52) para cualquiera que sea la señal x(t). La solución a este problema estáen la representación de la señal x(t) empleando la función generalizada singular δ(t) dela siguiente forma:

fK x(t) = x(t) =

∫

T

δ (t− τ)x(τ)dτ, t ∈ T

Dado un núcleo base, de (1.52) se establece la restricción que debe cumplir el núcleoconjugado:

∫

S

φ (t, s) θ (s, τ) ds = δ (t− τ) (1.53)

De la misma manera, al reemplazar (1.50) en (1.51) se tiene la condición:∫

T

θ (s, t)φ (t, σ) ds = δ (s− σ) (1.54)

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que debe cumplir tanto θ (s, t), como φ (t, σ) para conformar un par de núcleos conjugadosbase. Sin embargo, el análisis de (1.53) y (1.54) muestra que ambos núcleos al mismotiempo no pueden pertenecer a L2(R).

Algunos núcleos base tienen la propiedad por la cual la transformada de la funciónen el dominio t siendo integrable y perteneciente a L2(T ), siempre generan funcionesen el dominio s también integrables (pertenecientes a L2(S)). La correspondencia com-pleta entre las funciones determinadas en los dominios de t y s se provee con núcleosautoconjugados (también denominados inversos o mutuos), esto es [10],

θ∗(s, t) = φ (t, s) (1.55)

La transformada integral de Fourier, o transformada de Fourier (TF), se obtiene asu-miendo en calidad de base (1.26) la función, φ (t, s) = ej2πst, a la cual le corresponde elnúcleo base conjugado, θ (t, s) = e−j2πst para los rangos T ⊂ (−∞,∞) y S ⊂ (−∞,∞).

1.3.1. Transformada de Fourier

0−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x(t)

xT (t)T

T

2T 3T 4T

Figura 1.10: Representación periódica de fun-ciones aperiódicas

El conjunto de las series de Fourier permiterepresentar la señal aperiódica en cualquie-ra de los puntos comprendidos en el inter-valo de tiempo [ti, tf ], o bien, de las señalesperiódicas.

Para el caso en que las funciones ape-riódicas extiendan su representación a to-do el eje del tiempo (−∞,∞) se obtendríaen cualquiera de los coeficientes del siste-ma (1.34) una indeterminación al reempla-zar En de (1.27).

La señal x(t) definida en el intervalo fi-nito de tiempo [ti, tf ] se puede representarcomo una suma de funciones exponencia-les en todo el intervalo (−∞,∞) por mediode una nueva función periódica xT (t) conperíodo T , y que corresponde a la señal x(t)repetida cada T segundos. La señal originalpuede obtenerse de nuevo haciendo T → ∞,es decir,

x(t) = lımT→∞

xT (t)

La serie exponencial de Fourier que representa a la función x(t) es:

xT (t) =∞∑

n=−∞xne

jnω0t,

donde

xn =1

T

T/2∫

−T/2

xT (t)e−jnω0tdt, ω0 =2π

T.

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Highlight

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Debido a que T → ∞, entonces, ω0 → 0. Luego, antes de llevar al límite, debenhacerse los siguientes ajustes para que las componentes xn no se hagan cero. Así,

ωnM

= nω0, y X(ωn)M

= Txn.

Entonces, las anteriores definiciones se convertirán respectivamente en:

xT (t) =1

T

∞∑

n=−∞X(ωn)e

jωnt y X(ωn) =

T/2∫

−T/2

xT (t)e−jωntdt.

La distancia entre las líneas adyacentes en el espectro de línea de xT (t) es ∆ω = 2π/T,la cual se puede reemplazar en la anterior serie, así:

xT (t) =

∞∑

n=−∞X(ωn)e

jωnt∆ω

2π.

Al realizar la operación del límite, cuando T → ∞, las líneas discretas del espectrode xT (t) se confunden formando un continuo. La suma infinita de la anterior expresiónresulta en la integral ordinaria de Riemann, así que:

x(t) = lımT→∞

xT (t) = lımT→∞

∞∑

n=−∞X(ωn)e

jωnt∆ω

2π

que se convierte en la expresión conocida como la Transformada Inversa de Fourier (TIF):

x(t) =1

2π

∞∫

−∞

X(ω)ejωtdωM

= F−1 X(ω) (1.56)

De igual manera, se puede obtener la Transformada Directa de Fourier (TDF):

X(ω) =

∞∫

−∞

x(t)e−jωtdtM

= F x(t) (1.57)

El par de transformadas (1.56) y (1.57) representa la señal x(t) como una sumacontinua de funciones exponenciales cuyas frecuencias están en el intervalo (−∞,∞).La amplitud relativa de los componentes a cualquier frecuencia ω es proporcional aX(ω). Si la señal x(t) representa voltaje, entonces, X(ω) tiene las dimensiones de voltajepor tiempo. Como la frecuencia tiene unidades de tiempo inverso, puede considerarse aX(ω) como un espectro de densidad de voltaje o, en forma más general, como la funcióndensidad espectral de x(t) (o simplemente FDE).

A cada señal se le puede hallar su respectiva FDE por medio de la TransformadaDirecta de Fourier dada en (1.57), cuyo sentido físico queda claro de (1.56) para la TIF.En esta relación el valor de x(t) se puede calcular, aproximadamente, cambiando laintegral por una sumatoria (método de los rectángulos [11]) de la siguiente manera:

x(t) ≈ ∆ω

2π

∞∑

k=−∞X(k∆ω)ejk∆ωt

≈ ∆ω

2π

( ∞∑

k=−∞X(k∆ω) cos(k∆ωt) + j

∞∑

k=−∞X(k∆ω) sin(k∆ωt)

)(1.58)

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La aproximación (1.58) muestra, que cualquier señal x(t) puede ser representadapor un conjunto infinito de sinusoides y cosinusoides con frecuencias k∆ω y, en formageneral, con coeficientes complejos. De la aproximación (1.58) se llega a la TIF, haciendo∆ω → 0. Al Interpretar las igualdades (1.56) y (1.57), teniendo en cuenta la forma ob-tenida en (1.58) se puede decir que cada señal es la suma de funciones exponencialescomplejas, cuya parte real son cosinusoides y la parte imaginaria son sinusoides concoeficientes x(k∆ω) determinados por la TDF.

La FDE de una señal dada x(t) se puede obtener representando gráficamente todo elconjunto de coeficientes X(k∆ω).

Ejemplo 1.10. Determinar la FDE de la funcion pulso cuadrado x(t) = a rectτ (t).

Usando la TDF (1.57), se obtiene:

X(ω) =

∞∫

−∞

a rectτ (t)e−jωtdt = a

τ/2∫

−τ/2

e−jωtdt

=a

jω(ejωτ/2 − e−jωτ/2) =

aτ sin(ωτ/2)

ωτ/2

X(ω) = aτ sinc(ωτ/2).

Existencia de la transformada de Fourier. Si una señal x(t) cumple las condiciones

de Dirichlet en cualquier intervalo de tiempo finito se puede demostrar la existencia dela Transformada de Fourier, esto es, si se cumplen las siguientes condiciones [6]:

1. x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en cualquier intervalo de tiempofinito,

2. x(t) tiene un número finito de discontinuidades finitas en cualquier intervalo detiempo finito,

3. x(t) es absolutamente integrable, esto es, se cumple (1.1).

Para la última condición, se puede decir que la transformada de Fourier se puedeusar para representar unívocamente cualquier señal real de energía. Estas condicionesson también suficientes para la convergencia de las series de Fourier en la representa-ción de cualquier señal de potencia en el intervalo de tiempo (0, T ).

Transformada de Fourier de señales periódicas. La función xT (t) periódica con pe-ríodo T puede expresarse por su serie exponencial de Fourier:

xT (t) =∑

n

xnejnω0t, donde ω0 =

2π

T.

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Versio


Tomando la TDF en la última ecuación

FxT (t) = F

∑

n

xnejnω0t

Si se tiene en cuenta la linealidad (1.3) de la transformada de Fourier, entonces:

FxT (t) =∑

n

xnFejnω0t

Además,

F−1 δ(ω ± ω0) =

1

2π

∞∫

−∞

δ(ω ± ω0)ejωtdω =

1

2πe∓jω0t,

luego, transformando ambos lados de la ecuación, se tiene

FF

−1δ(ω ± ω0)

=1

2πFe∓jω0t

o intercambiando términos,

Fe∓jω0t = 2πFF−1δ(ω ± ω0) = 2πδ(ω ± ω0)

entonces,

FxT (t) =∑

n

xnFe∓jnω0t

= 2π

∑

n

xnδ(ω ± ω0),

Es decir, la FDE de una señal periódica consiste en un conjunto de funciones im-pulsos multiplicados cada uno por el coeficiente 2π y localizados en las frecuencias ar-mónicas de la señal.

Propiedades de la TF

(a). Linealidad. Sea Xn(ω) = F xn(t), entonces

F

∑

n

anxn(t)

=∑

n

anXn(ω), ∀an = const. (1.59)

(b). Conjugada compleja.

Fx∗(t) = X∗(−ω)

(c). Simetría. Sea

x(t) = x<(t) + jx=(t)

siendo F x<(t) = X<(ω) y F x=(t) = X=(ω). Teniendo en cuenta la propiedad delinealidad (1.59), se obtiene, entonces:

X(ω) = X<(ω) + jX=(ω)

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0 .5 10

1

00

.5

1

0 .5 10

.5

1

00

1

x(t) X(ω)

X(t) x(ω)

−ωmax ωmax

Figura 1.11: Propiedad de dualidad de la TF

(d). Dualidad. Sea F x(t) = X(ω), entonces (Figura 1.11)

FX(t) = 2πx(−ω)

(e). Escala de coordenadas. Figura 1.12

Fx(αt) =X(ω/α)

|α|

−4 −2 0 2−1

−0.5

0

0.5

1

20 40 60

50

100

150

200

−4 −2 0 2−1

−0.5

0

0.5

1

20 40 60

5

10

15

20

25

30

t

t

Figura 1.12: Propiedad de escala de la TF

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(f). Desplazamiento en el tiempo (retardo).

Fx(t− t0) = X(ω)e−jωt0 (1.60)

(g). Desplazamiento de frecuencia (modulación).

Fx(t)e±jω0t = X(ω ∓ ω0)

Por cierto, la función delta desplazada en el tiempo t0:

Fδ(t− t0) =

∞∫

−∞

δ(t− t0)e−jωtdt = e−jωt0

Si t0 = 0, entonces, F δ(t) = 1.

En caso de tener solamente la parte real,

Fx(t)<e−jω0t = Fx(t) cos(ω0t) = F

x(t)

(ejω0t + e−jω0t

2

),

usando la propiedad de desplazamiento de frecuencia se obtiene:

Fx(t)<e−jω0t

=

1

2(X(ω + ω0) +X(ω − ω0))

(h). Diferenciación.

F

d

dtx(t)

= jωX(ω) (1.61)

(i). Integración.

F

t∫

−∞

x(τ)dτ

=

1

jωX(ω) + πX(0)δ(ω) (1.62)

donde X(0) =

∞∫

−∞

x(t)dt.

(j). Teorema de Rayleigh

Ex =

∞∫

−∞

X(ω)X(−ω)dω =1

2π

∞∫

−∞

|X(ω)|2dω

(k). Teorema de Parsevall

Ex =

∞∫

−∞

X(ω)X∗(ω)dω =1

2π

∞∫

−∞

|X(ω)|2dω = 2π

∞∫

−∞

x2 (t) dt

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Ejemplo 1.11. Hallar la TDF del pulso rectangular cuyo ancho de banda |∆f | < 1/τ .

1/τ∫

−1/τ

|X(f)|2df =

1/τ∫

−1/τ

(Aτ)2 sinc2 fτdf = 0.92A2τ

Función densidad espectral de potencia. Esta función describe la distribución de lapotencia en función de la frecuencia y es importante para el análisis de las señales depotencia x(t) que no sean periódicas, la cual se define como:

Sx(ω) = lımT→∞

|XT (ω)|2T

donde x( t) se supondrá que es finita en el intervalo (−T/2, T/2) y XT (ω) = Fx(t) rect(t/T ).Para el caso de las funciones periódicas se obtiene:

Sx(ω) = 2π∑

n

|xn|2δ(ω − nω0).

La densidad espectral de potencia de una función periódica es la serie de funcio-nes impulso cuyos coeficientes de peso corresponden a la magnitud de los respectivoscoeficientes de la serie de Fourier.

1.3.2. Extensiones del análisis espectral de Fourier

Análisis Cepstrum. El espectro X(ω) obtenido puede ser otra vez sometido al análisisespectral genera un nuevo espectro o espectro de segundo orden de x(t), que ha encon-trado aplicación en ciertos estudios geofísicos revelando rasgos de periodicidad de X(ω).Naturalmente el procedimiento puede continuarse prácticamente sin límite, pero espec-tros de orden superior no se prestan para su fácil y útil interpretación. La extensión delconcepto espectral puede formularse como sigue:

x(t) ↔ X(ω) ↔ x(t)

donde el término final denota el segundo espectro de la función x(t) dada inicialmente.El segundo espectro x(t) se denomina cepstrum y su argumento t, el cual tiene la mismadimensión que el argumento de x(t), es llamado quefrency.

Como ejemplos se pueden tomar los siguientes pares de funciones - imágenes:

rect(t) ↔ sinc(ω/2π), Λ(t) ↔ sinc2(ω/2π), δ(t) ↔ 1.

que son indefinidamente alternados, pero incrementando las ordenadas.Generalizando, para cualquier función x(t) se encuentra que la aplicación reiterativa

de la transformada de Fourier es de periodo 4, separada de un factor constante, así

x(t) ↔ X(ω) ↔ 2πx(−t) ↔ 2πX(−ω) ↔ (2π)2x(t)

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Aunque si x(t) es par, x(t) = x(−t), entonces el periodo puede ser 2.La definición de cepstrum es:

x(t) =

∣∣∣∣∣∣

∞∫

−∞

log |X(ω)|2e−itωdω

∣∣∣∣∣∣

2

(1.63)

considerando la función par x(t), entonces la paridad se extiende a la dependencia|X(ω)|2, y por tanto a log |X(ω)|2. Por lo cual, la definición (1.63) se puede escribir:

x(t) = 4

∞∫

0

log |X(ω)|2 cos tωdω

2

(1.64)

El análisis cepstrum es empleado en casos en que se tenga un carácter oscilatoriosignificativo en el espectro, como un caso muy frecuente. Ejemplos de sismología inclu-yen parámetros de fuentes sísmicas (oscilaciones debidas a fuentes finitas y a múltipleseventos), análisis de reverberación y análisis de interferencia (constructivas o destructi-vas).

Un método alterno para el análisis cepstrum, es determinar las frecuencias funda-mentales ω y se obtiene por medio del espectro de producto armónico, definido como(siendo A la amplitud):

∼ logN∑

n=1

|A(nω)| = log [|A(ω)| + |A(2ω)| + · · · + |A(Nω)|]

y no requiere una transformación de Fourier adicional.

Transformada de Hartley. Las expresiones de las Transformadas de Hartley son defi-nidas por el par de ecuaciones:

H(f) =1

2π

∞∫

−∞

x(t) cas(2πft)dt (1.65a)

x(t) =

∞∫

−∞

H(f) cas(2πft)df (1.65b)

donde cas(α) = cos(α) + sin(α).La ecuación (1.65a) es la forma analítica de la Transformada Directa de Hartley

(TDH) y la (1.65b) es la Transformada Inversa (TIH), usada para representar la funciónde frecuencia en el tiempo. Estas ecuaciones son similares a la transformadas directa einversa de Fourier dadas en (1.56) y (1.57).

La diferencia fundamental de estas dos transformadas es que la parte real cas(α)reemplaza en la transformada de Hartley el respectivo término exponencial complejoe±j2πft en el par de Transformadas de Fourier.

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10 20 30 40 50 600

0.5

1

(a) Ventanas Blackman (−−), Hamming(− ·) y Gaussiana (−)

0 400 10000

0.25

0.5

(b) Espectrograma de señal de ECG

Figura 1.13: Transformada enventanada de Fourier:

Transformada enventanada de Fourier. En la práctica es usual el empleo de los mé-todos de análisis de intervalos cortos de tiempo, en los cuales la señal en estudio seprocesa sobre intervalos definidos de tiempo finito con longitud Ta o apertura, como sien cada uno de ellos tuviese propiedades estadísticas independientes:

y [n] =∞∑

m=−∞G x [m]w [n−m], m ∈ Ta (1.66)

donde x[n] corresponde a la señal digitalizada, w[n] es la función de peso o función venta-

na centrada respecto a la apertura Ta escogida, de tal manera, que facilite la extracciónde las características de la bioseñal, G · es la transformación a la cual se somete lasecuencia aleatoria original, que emplea comúnmente las siguientes funciones: la corre-lación (Short Time Cross Correlation Function) y, la más usual, la transformada de Fourier(Short Time Fourier Transform) o Análisis de Tiempo Corto con empleo de la Transfor-mada de Fourier (TCTF).

La transformada de Fourier entrega el contenido espectral de la señal x(t), pero nopuede dar información que relacione cada componente de frecuencia con su localizaciónexacta en el tiempo. Una forma de localización en el tiempo se obtiene empleando elprocedimiento de TCTF.

En general, una ventana real y simétrica w(t) = w(−t) se traslada en el valor dedesplazamiento b y modula a la frecuencia s, para obtener el átomo de tiempo-frecuenciade la TCTF:

ws,b(t) = w(t− b)ejst (1.67)

donde ‖ w ‖= 1, tal que ‖ ws,b ‖= 1 para cualquier s, b ∈ L2(T ). En la práctica, se disponende diversas funciones ventana, entre las cuales están: blackman, Hamming, Gaussiana,representadas en la Figura 1.13(a), que se analizan con detalle en el numeral §3.3.2.

La transformada lineal de tiempo-frecuencia relaciona la señal con una familia deformas de onda que tienen su energía concentrada en regiones angostas, tanto en

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el tiempo, como en la frecuencia; éstas formas de onda son los átomos de tiempo-frecuencia [12], por lo que la transformada enventanada de Fourier de x ∈ L2(R), te-niendo en cuenta (1.67), está dada por el siguiente producto interno (1.12) en L2(R):

v(s) = 〈x,ws,b〉 =

∫ ∞

−∞x(t)w(t− b)e−jstdt (1.68)

La correspondiente densidad de la energía de la señal x(t) en el plano tiempo-frecuencia se obtiene calculando el espectrograma, representada en la Figura 1.13(b):

| v(s) |2=∫ ∞

−∞| x(t)w(t− b)e−jstdt |2 (1.69)

La expresión (1.69) mide la energía de la señal x(t) en la vecindad de (s, b) [12].

1.3.3. Transformada de Walsh

En la representación integral de señales, en calidad de sistema base continuo φ(s, t)se pueden emplear las funciones generalizadas de Walsh wal(µ, λ),−∞ < λ <∞,−∞ < µ <∞[9]. En particular, asumiendo µ > 0, entonces el par de transformadas Walsh-Fourier sedeterminan así

Xc(µ) =

∞∫

−∞

x(λ) cal(µ, λ)dλ, Xs(µ) =

∞∫

−∞

x(λ) sal(µ, λ)dλ, (1.70a)

x(λ) =

∞∫

0

[Xc(µ) cal(µ, λ) +Xs(µ) sal(µ, λ)] dµ (1.70b)

A manera de ilustración se puede calcular el S-espectro del problema (1.24) para unpulso rectangular de altura 2m y apertura 1/2m, en cuyo caso la transformada directaWalsh-Fourier será:

Xc(µ) =

1, 0 ≤ µ < 2m−1

0, µ ≥ 2m−1Xs(µ) =

1, 0 < µ ≤ 2m−1

0, µ > 2m−1

1.3.4. Integral de convolución

Se pueden formar nuevos sistemas bases a partir del desplazamiento en el tiempo de unsistema base original, así

φ(s, t) = φ(t− s) (1.71)

de tal manera, que el sistema base es función de una sola variable, correspondiente ala diferencia (t − s). Si se considera T, S ∈ (−∞,∞), entonces, la señal original será laintegral de convolución:

x(t) =

∞∫

−∞

v(s)φ(s− t)dsM

= v(t) ∗ φ(t) (1.72)

cuyas principales propiedades son las siguientes:

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(a). Conmutación

xm(t) ∗ xn(t) = xn(t) ∗ xm(t)

(b). Distribución

xk(t) ∗ (xm(t) + xn(t)) = xk(t) ∗ xm(t) + xk(t) ∗ xn(t)

(c). Asociación

xk(t) ∗ (xm(t) ∗ xn(t)) = (xk(t) ∗ xm(t)) ∗ xn(t)

(d). Convolución en el tiempo. Sea Fxi(t) = Xi(ω);

F xm(t) ∗ xn(t) = Xm(ω)Xn(ω) (1.73)

(e). Convolución en la frecuencia

F xm(t)xn(t) =1

2π(Xm(ω) ∗Xn(ω)) (1.74)

(f). Convolución con la función impulso

x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0)

Por cierto, αδ(t− τ1) ∗ βδ(t− τ2) = αβδ(t− τ1 − τ2).

Finalmente, se puede demostrar que:

d

dt(xm(t) ∗ xn(t)) = xm(t) ∗ d

dtxn(t) =

d

dtxm(t) ∗ xn(t)

El núcleo conjugado, en caso de existir, se puede hallar hallando la transformada deFourier de (1.72), aplicando (1.73), se obtiene:

X(f) = V (f)Φ(f)

luego V (f) = Θ(f)X(f), donde Θ(f) = 1/Φ(f). Por lo tanto el núcleo conjugado tambiéndepende de la diferencia de argumentos

vx(s) =

∞∫

−∞

x(t)θ(t− s)dt (1.75)

En calidad de ejemplo concreto, en (1.71) se puede analizar la función base

φ(t− s) = δ(t− s)

entonces Φ(f) = Θ(f) = 1, obteniéndose que

vx(s) =

∞∫

−∞

x(t)δ(t− s)dt = x(s) (1.76)

En otras palabras, la función original en el tiempo puede ser representada por simismo.

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Ejemplo 1.12. Sea v(t) = au(t) sinπt y φ(t) = δ(t) − δ(t− t0). Hallar x(t) = v(t) ∗ φ(t).

Desarrollando (1.72) se obtendra:

x(t) =

∞∫

−∞

(au(τ) sinπτ) (δ (t− τ) − δ(t− τ − t0)) dτ = (a sinπt)u(t) − (a sinπ(t− t0))u(t− t0)

x(t) =

0, t < 0

a sinπt, 0 < t < t00, t > t0

1.3.5. Transformada de Hilbert

Un siguiente caso de análisis de conformación de funciones base por la regla (1.71)corresponde al núcleo

φ(t− s) =−1

π(t− s)

De otra parte, sea la función

G(f, α) =

e−αf , f > 0

−e−αf , f < 0

cuya transformada inversa de Fourier corresponde a la expresión

F−1 G(α, f) =

∞∫

0

e−αfej2πftdf −0∫

−∞

e−αfej2πftdf =j4πt

α2 + (2πt)2= g(a, t)

Si se considera el límite de α→ 0, esto es,

lımα→0

g(α, t) =j

πt

luego

Φ(f) = F φ(t) = jF

lımα→0

g(α, t)

= j lımα→0

G(f, α) = j sgn(f)

entonces, de (1.55) la base conjugada es Θ(f) = −j sgn(f), que le corresponde la repre-

sentación en el tiempo θ(s− t) =1

π(s− t).

El par obtenido de transformadas se denomina Transformada de Hilbert cuya trans-formada directa es notada típicamente de la forma x(s) y se describe como

x(s) =1

π

∞∫

−∞

x(t)

s− tdt = x(t) ∗ 1

πt(1.77a)

x(t) =1

π

∞∫

−∞

x(s)

s− tds = x(s) ∗ 1

πs(1.77b)

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que permiten estudiar las funciones causales.La relación entre el par de transformadas de Fourier y el par de transformadas de

Hilbert se determina de la siguiente manera

X(f) = F x(s) = −j sgn(f)X(f) (1.78a)

X(f) = F x(s) = j sgn(f)X(f) (1.78b)

En análisis de señales se define la señal analítica compleja z(t):

z(t) = x(t) + jx(t) (1.79)

que de acuerdo con (1.78a) y (1.78b), posee la transformada unilateral de Fourier

Z(f) = Fu z(t) =

2X(f), f > 0

0, f < 0

Otra forma de construcción de una base a partir de una función consiste en sucontinuo cambio de escala o dilatación.

Sea

φ (t, s) = φ(st) (1.80)

siendo s > 0 el parámetro de escala, de tal manera que si s > 1, la escala se comprimemientras que para s < 1 la escala se expande. Si T, S ∈ (0,∞) se puede demostrar que elpar de transformadas generalizadas resultantes será:

x(t) =

∞∫

0

vx(s)φ(st)ds, t ≥ 0 (1.81a)

vx(s) =

∞∫

0

x(t)θ(st)dt, s ≥ 0 (1.81b)

1.3.6. Transformada continua wavelet

Una función wavelet corresponde al tipo de funciones base que tienen su energía con-centrada en intervalos cortos, tanto de tiempo, como de frecuencia. La función wavelet

madre ψ(t) ∈ L2(R) es la función, para la cual sus versiones trasladadas (1.71) y es-caladas (1.80) forman el conjunto de funciones base en la representación wavelet. Unafunción wavelet cumple las siguientes restricciones [13,14]:

– Valor medio igual a cero,∫∞−∞ ψ(t)dt = 0, esto es, Ψ(0) = 0, siendo Ψ(ω) = Fψ(t), lo

cual implica que la wavelet debe tener al menos una oscilación.

– Norma energética finita, en concordancia con (1.14):∫∞−∞ | ψ(t) |2 dt <∞, ψ ∈ L2(R).

– Condición de Admisibilidad. Para las funciones cuadráticas integrables se cumpleque:

Cψ = 2π

∫

R

|Ψ(k)|2|k|−1dk <∞, (1.82)

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La condición (1.82) puede ser utilizada, tanto para analizar, como para reconstruiruna señal sin pérdida de información e implica que la TF de ψ(t) se desvanece enla frecuencia cero, |Ψ(ω)|2 |ω=0 = 0, esto es, las wavelets deben tener un espectro enforma pasa-banda.

La densidad (1.50) de la transformada wavelet (TW) se obtiene a partir de la re-presentación de la señal tomando los átomos de tiempo-frecuencia ψa,b, definidos en laforma de la versión trasladada y escalada de la wavelet madre ψ, de la siguiente manera:

ψa,b(t) =1√aψ

(t− b

a

)(1.83)

donde a ∈ R+ es el parámetro de escala y b ∈ R es el parámetro de traslación. El factor

de multiplicación a−1/2 es escogido de tal manera, que todas las funciones wavelet delsistema tengan una norma constante (unitaria) en el espacio L2(R), es decir, que secumpla ‖ψa,b‖L2 = ‖ψ‖L2 = 1, que corresponde a la norma energética definida en (1.13).

Teniendo en cuenta la densidad (1.50) y los átomos (1.83), la representación integralmediante las funciones base wavelet o Transformada Wavelet Continua (TWC) de unafunción x(t), t ∈ R se define como:

Wa,bx(t) , 〈x, ψa,b〉 =

∫ ∞

−∞x(t)

1√aψ∗(t− b

a

)dt (1.84)

La señal original se reconstruye, de acuerdo a (1.51), de la forma

x(t) =1

Cψ

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞〈x, ψa,b〉ψa,b(t)

dbda

a2(1.85)

El par de transformadas wavelet(1.84) y (1.85) pueden ser expresados en el espaciode Fourier:

Wa,b x(t) = a1/2

∞∫

−∞

Ψ∗ (ak)X (k) ejbkdk (1.86a)

X (k) = C−1ψ

∞∫

0

∞∫

−∞

a1/2Ψ (a, k) Wa,b x(t) e−jbkdbda

a2(1.86b)

En la TWC, se cumple el análogo a la igualdad de Parsevall:

∞∫

−∞

xm (t)x∗n(t)dt = C−1ψ

∞∫

0

∞∫

−∞

Wa,b xm (t)W∗a,b xn (t) dbda

a2

en la cual, particularmente, se muestra el principio de la conservación de la energía.De las expresiones (1.86a) y (1.86b), se observa que la TWC transforma de forma

isométrica el espacio con única dimensión de las señales al espacio wavelet de 2 di-mensiones X : L2(R) → W : L2(R × R

+), y por tanto, la información contenida en loscomponentes (densidad) wavelet tiene carácter redundante. Como consecuencia de estapropiedad, se tiene que la TWC de una señal aleatoria muestra una correlación, que en

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la señal original no existe, pero que se presenta en la misma transformada. Esta es talvez una de las mayores desventajas de la TWC en el análisis estadístico de señales, quepuede conllevar a la interpretación incorrecta de los resultados de la descomposición dela transformada wavelet.

La localización espacial y de escala de una función wavelet ψ implica la conser-vación de la capacidad de localización en el espacio de los componentes wavelet. Seauna función ψ localizada en el intervalo de espacio ∆t para a = 1, entonces los com-ponentes wavelet, que corresponden a la ubicación t0, se concentran en el denomina-do cono de incidencia: [t0 − (a∆t)/2, t0 + (a∆t)], que corresponde a la región espacial delocalización de todas las funciones wavelet expandidas en el punto t0. Además, si lafunción ψ dada está bien localizada en el intervalo ∆k del espacio de Fourier en lacercanía de kψ, siendo a = 1, entonces los componentes wavelet, que corresponden ala frecuencia (espacio de Fourier) k0 en la señal, se contendrán en el ancho de banda[kψ (k0 + (∆k/2a))−1 , kψ (k0 − (∆k/2a))−1].

En analogía con el espectro de Fourier, en el cual la energía Ex(k) = ||X(k)||2, sepuede determinar la respectiva norma energética en forma del espectro wavelet integralque pueda definirse como la energía contenida en todos los componentes wavelet de uncoeficiente de escala a dado:

WEx(a, b) =

∫|Wa,b x(t)|2 dt (1.87)

La expresión (1.86a) enlaza el espectro de Fourier con el espectro wavelet integral:

WEx(a, b) ∼ a

∫Ex(k) |Ψ (ak)|2 dk (1.88)

De la expresión (1.88) se deduce que el espectro wavelet es una versión suavizada delespectro de Fourier; el carácter del suavizado se deduce de la transformada de Fourierde la wavelet.

La norma (1.87) tiene el mismo comportamiento asintótico que el del respectivoespectro de Fourier. Así, si el espectro de Fourier sigue una dependencia exponencialdel tipo Ex(k) ∼ kα, por cuanto k ∼ 1/a, entonces el espectro wavelet integral tendrá lamisma dependencia exponencial: WEx(a) ∼ a−α.

De esta manera, se observa que los componentes wavelet contienen la información,tanto de la señal en análisis, como de la función wavelet empleada. Por lo tanto, laselección o síntesis de la transformada y de la adecuada función wavelet madre es latarea más importante en el empleo de la TW, y depende del tipo de información contenidaen la señal original, así como de la orientación de su proceso.

Comparación con la Transformada de Fourier. Realmente, el análisis wavelet surgecomo una necesidad de suplir toda la falencia presentada en el proceso de señales con elanálisis de Fourier. Aunque es importante conservar las posibilidades y particularidadesde cada una de las transformaciones.

La transformada de Fourier no pierde la información sobre la función en análisisx(t); sin embargo, debido a la falta de localización de las funciones base trigonométricas,esta información se dispersa sobre toda la representación espectral X(k). Así por ejem-plo, si la perturbación tiene estructura similar a la información útil, y por tanto ambas

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formas de representación espectral se traslapan, es prácticamente imposible diferenciarlos componentes de Fourier en cada uno de los casos (perturbación o señal útil).

El análisis de las funciones suaves con la transformada de Fourier es usual, pe-ro cuando se tienen funciones suaves, que incluyan singularidades (cambios abruptos,flancos con pendientes fuertes, etc.), al calcular la transformada de Fourier se tienenproblemas de convergencia, por ejemplo, aparece una serie de oscilaciones fuertes o fe-

nómeno de Gibss. La dificultad en la ubicación de las singularidades está relacionadacon los valores de fase de las componentes espectrales de Fourier. Por cierto, la únicaposibilidad de determinar la ubicación de la singularidad es con la reconstrucción dex(t) a partir de X(k). Así por ejemplo, si se considera un espectro con dependencia expo-nencial k−α, que muestra la irregularidad global de la función con el máximo exponentede singularidad α, en este caso, se pierde la información importante, particularmente,el hecho de que x(t) es suave casi en todo el intervalo de análisis, excepto en los puntosde singularidad. Si esos puntos de singularidad tienen carácter aleatorio (generalmente,condicionados por ciertos problemas en la medición), entonces es imposible filtrarlos,por cuanto sus valores influyen en todos los componentes espectrales.

De otra parte, la transformada de Fourier no tiene en cuenta, que cualquier compo-nente espectral de la señal puede evolucionar en el tiempo. La TF, por ejemplo, no podríadiferenciar una señal sin modular compuesta de dos componentes básicas espectrales,de una señal modulada por frecuencia y fase continúa que manipule los mismos dosvalores de frecuencia.

La diferencia básica entre la transformada wavelet y la TCTF dada en (1.66), quecorresponde a la implementación práctica de la TF, radica en la forma de análisis de lasrespectivas funciones átomos. En el caso de la TCTF, los átomos ws,b (1.68) se derivande una misma función envolvente w, trasladada adecuadamente, pero conservando lasoscilaciones de alta frecuencia. Además, independiente del valor de s, éstas poseen lamisma apertura de ventana. El algoritmos de cálculo discreto de la TCTF, por ser debanda constante, requiere la transformación del dominio del tiempo al dominio de lafrecuencia usando la transformada discreta (2.19b) para el caso de Fourier, que generalos respectivos coeficientes para frecuencias a igual separación, esto es, el ancho debanda para cada término espectral es el mismo.

La extracción de información con valores rápidos de cambio en el tiempo, que impli-can altos valores de frecuencia, se debe realizar sobre intervalos pequeños y muy bienfocalizados de tiempo, y no sobre todo el intervalo de definición de la señal en análisis.Viceversa, las componentes bajas de frecuencia implican intervalos amplios de análisisen el tiempo. En la TCTF, este problema se resuelve parcialmente empleando las trans-formada enventanada dada en (1.68). Sin embargo, en este caso, la resolución espacial,para cualquiera que sea la escala a, es constante y está limitada por la apertura Ta queabarca la ventana.

En el caso de la transformadas wavelet, las funciones base tienen una resolución deespacio ψ(t/a) que disminuye con el aumento del factor de escala a, y que aumenta conel valor de escala de resolución del espacio de frecuencia Ψ(ak). De esta manera, la TWbrinda un compromiso óptimo, desde el punto de vista del principio de indeterminacióny ajusta su resolución a la velocidad de la información, tanto para los cambios lentos,como para los cambios rápidos de la señal en el tiempo, como se muestra en la Figura1.14, en la cual se observa la localización tiempo-frecuencia para las transformadas:

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a) Shannon (con función base δ y discretización uniforme), b) Fourier, c) Fourier conventana Gabor y d) wavelet.

- ∆t

- ∆t

6

-?

6

-

6

6

-

?

6

-

6....................

....................

.......................

--

- 6

? ?

?

.

6

k

t

∆k ∆k

∆t

t

t

k

k

t

k

∆t1

∆t2 ∆k2

∆k1

∆k

∆t3

a) b)

c) d)

Figura 1.14: División del espacio de fase (t−k)para diferentes transformadas

Como resultado, en el caso de la TW, elancho de banda espectral se pueda variary, por tanto, ajustar. Esta propiedad de latransformada wavelet, es tal vez la ventajamás significativa que presentan frente a laTF, en el procesamiento de señales.

A diferencia de la transformada de Fou-rier, la TW conserva la capacidad de locali-zación de las señales en su reconstrucción,lo que permite el análisis focalizado de pro-cesos sobre intervalos definidos de tiempo.Así mismo, se puede reconstruir una partede la señal o extraer el aporte de alguna es-cala en particular. Se puede considerar queexiste relación entre el comportamiento lo-calizado de la señal y la capacidad de locali-zación de las componentes de la TW, enten-diendo esta propiedad como el hecho de que en la reconstrucción de parte de la señal,sean necesarios las componentes TW que pertenecen solamente a la correspondienteárea del espacio de la transformada (cono de incidencia). De esta manera, si la funciónx(t) es localmente suave, los correspondientes componentes TW serán relativamente pe-queños, en cambio, si x(t) contiene una singularidad, los respectivos componentes TWcrecerán significativamente, pero solo en la vecindad de la singularidad. En caso de te-ner perturbaciones que afecten los componentes TW, la reconstrucción de la señal estaráafectada de manera local en el tiempo, justo cuando se presentó la perturbación y nosobre toda la señal reconstruida, como ocurre con la TF.

Finalmente, cabe anotar que la TF presenta alta sensibilidad a errores de fase, de-bido a la interposición secuencial de las bases trigonométricas, lo cual no ocurre en latransformada wavelet. Más aún, en la TWC se puede corregir los errores de fase por sucarácter redundante.

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Problemas

Problema 1.27. Demostrar que el siguiente conjunto de señales es ortogonal y calcular su TF directa:

Φn(t) =sin Ω(t − nT )

Ω(t − nT ), n = 0,±1,±2, · · · ,−∞ < t < ∞.

Problema 1.28. Calcular los coeficientes de la serie de Fourier y la TF de la función dada en la forma,x(t) = ∞

n=−∞δ (t − nT ) .

Problema 1.29. Encontrar la TF de un pulso Gaussiano x(t) = ae−π(t/τ)2 y verificar el efecto de extensiónrecíproca de las gráficas para τ = 1 y τ = 2. Hallar la diferencia de densidades espectrales de energía en lospuntos de intersección.

Problema 1.30. Sea la señal x(t)a e−αt − eβtu(t). Hallar la expresión de la frecuencia límite ωl, en lacual la magnitud de la TF se disminuye en 10 veces con relación al valor del espectro para ω = 0.

Problema 1.31. Hallar la relación entre la densidad espectral X(ω) = F x(t), tal que x ∈ R, y ladensidad Y (ω) = F y(t), asumiendo y(t) = x(−t).

Problema 1.32. Las señales xp(t) = xp(−t) y xi(t) = −xi(−t) están relacionadas por la función y(t) porlas relaciones:

xp(t) = y(t) + y(−t)

xi(t) = y(t) − y(−t)

Hallar la relación entre los respectivos espectros Xk(ω) = F xk(t) , k ∈ p, i con la densidad Y (ω).

Problema 1.33. Sea X(ω) = F x(t). Hallar la señal y(t) = F−1 Y (ω), para cada uno de los siguientes

casos: a) Y (ω) = X2(ω), b) Y (ω) = X(ω)X∗(ω) y c) Y (ω) = X∗(ω).

Problema 1.34. Hallar la densidad espectral X(ω) correspondiente a la señal x(t), la cual se describe porla derivada de orden k de la función δ(t).

Problema 1.35. Calcular la siguiente expresión empleando el integral de convolución:

∞−∞

sin(πtP )

πt

sin(π(f − t)Q)

π(f − t)dt.

Problema 1.36. Calcular la transformada de Hilbert de las siguientes funciones

a) x(t) = cos 2πf0t,−∞ < t < ∞ b) x(t) =1

1 + t2,−∞ < t < ∞

c) x(t) = sinc(2πυt),−∞ < t < ∞ d) x(t) = rectT (t)

Problema 1.37. Demostrar que para el par de transformadas de Hilbert (1.77a) y (1.77b) se cumplex(t) = −x(t).

R. A partir de (1.78a) y (1.78b) se obtiene F x(s) = X(f).

Ejercicio en el PC 1.3. Calcular en Matlab la integral de convolución:

t∫

0

v(τ)φ (t− τ) dτ ≈ α

n∑

m=1

v(mα)φ(nα−mα),∀n,m ∈ Z.

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1.4. Representación de sistemas lineales continuos

En general las señales sufren cambios a su paso por los diferentes sistemas. Debidoa la gran clase de señales que se usan, es preferible tener un método común para ladescripción de las propiedades de transformación de los sistemas. De igual manera,debe analizarse la tarea inversa de síntesis de circuitos, que realicen una transformaciónespecífica. En esencia cualquier transformación debe entenderse como la imagen de unconjunto de señales en otro. En el caso de transformaciones lineales la descripción dela relación entrada-salida en grupos de reducidos elementos se puede generalizar a todoel sistema lineal empleando la propiedad de superposición. De otra parte, la presunciónde linealidad en la transformación, exige que la señal a la salida dependa estrictamentede la señal a la entrada y de ninguna manera de procesos remanentes o transitoriosexistentes en el sistema. Por lo tanto, el análisis de transformaciones se llevará a cabopara el caso de sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

1.4.1. Operadores en espacios integrables

El análisis de los sistemas puede llevarse a cabo a partir de las distintas formas derepresentación de las señales. En la forma discreta, se puede emplear la representaciónde transformaciones lineales sobre espacios de dimensión finita, correspondientes almodelo de señal dado en (1.15). Sin embargo, en este caso la implementación prácticade los métodos de análisis es compleja, en la medida en que se hace necesario una grancantidad de medida de los espacios de entrada en la descripción de cada transformación,sumado al hecho de que la misma cantidad de transformaciones puede ser muy alta.Por esta razón esta forma de análisis de sistemas es empleada en casos específicos deespacios de entrada con bajo número de dimensiones y transformaciones relativamentesimples.

El análisis de sistemas es preferible llevarlo a cabo, basados en la representaciónintegral de señales, empleando operadores lineales, los cuales se definen sobre la trans-formación limitada lineal definida sobre espacios integrables (L2(T )). La interpretaciónfísica de esta restricción tiene que ver con el cumplimiento de la condición de estabili-dad de los sistemas, que implica que a una señal a la entrada de energía finita le debecorresponder una señal de energía finita a la salida.

Empleando el modelo de las respectivas bases continuas en la representación ge-neralizada de Fourier dada en (1.50), las respectivas señales de entrada y salida sedescriben como

x(t) =

∫

S

vx(s)φ (t, s) ds, (1.89a)

y(t) =

∫

S

vy(s)φ (t, s) ds. (1.89b)

Así, que para el operador L se tendrá

y(t) = L x(t) =

∫

S

vy(s)ψ (t, s) ds

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n 4.11.4. Representación de sistemas lineales continuos 61

donde ψ (t, s) = L φ (t, s). De la expresión (1.50) se tiene que

vx(s) =

∫

T

y(t)θ(s, t)dt.

que al combinarla con (1.89b) resulta en

vy(s) =

∫

T

∫

S

vx(σ)ψ (t, σ) θ(s, t)dσdt =

∫

S

L (s, σ) vx (σ) dσ,

siendo el operador del núcleo definido por

L (s, σ) =

∫

T

ψ (t, σ) θ (s, t) dt (1.90)

En calidad de ejemplo se puede tomar la base dada en (1.75), para la cual se cumpleque φ (t, s) = δ (t− s), ∀T, S ∈ (−∞,∞). En este caso, de acuerdo a (1.76), se tiene quevx(s) = x(s) y vy(s) = y(s). La reacción a la función base ψ (t, σ) = h (t, s) es denominadarespuesta a impulso, que como función en el tiempo describe la reacción del operadorcuando a la entrada se tiene una función delta dado en el momento de tiempo s. Luego,de (1.90) se tiene

L (s, σ) =

∞∫

−∞

δ (s− t)h (t, σ) dt = h (s, σ) (1.91)

Con lo cual la salida (1.89b) se determina como

y(t) =

∫

T

h (t, τ)x (τ) dτ (1.92)

La expresión (1.92) es la primera forma de análisis de sistemas y corresponde alempleo en calidad de núcleo de su reacción a la función delta, conocido como el método

de la integral de superposición. En otras palabras, para describir el comportamiento deun sistema en el dominio del tiempo, se puede probar aplicando la función elementalδ(t) a la entrada; la salida resultante describirá la respuesta del sistema.

Otra base frecuentemente empleada para φ (t, s) = ej2πst,∀T, S ∈ (−∞,∞). En estecaso se obtiene que vx(s) = F x(s) = X(f) y vy(s) = F y(s) = Y (f). De acuerdo con(1.91), se tiene

ψ (t, s) =

∫

T

h(t, τ)ej2πsτdτ (1.93)

Por consiguiente de (1.91) y (1.92) se obtiene

Y (f) =

∞∫

−∞

H (f, ν)X(ν)dν (1.94)

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donde

H (f, ν) =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

h (t, τ) e−j2πftej2πντdtdτ

La función H(f, ν) es conocida como la función de transferencia y su cálculo es lasegunda forma de análisis de sistemas correspondiente al método de análisis espectral.

La condición de invariabilidad en el tiempo (1.4), implica que el operador dependasolo de la diferencia de los argumentos, y (t− t0) = L x (t− t0). En el caso de análisis delos sistemas lineales, esto implica que la respuesta a impulso h (t, τ) dependa solamentede la diferencia de los argumentos t−τ , esto es, h (t, τ) = h (t− τ), con lo que la expresión(1.92) se convierte en

y(t) =

∫

T

h (t− τ)x(τ)dτ (1.95)

Así mismo, la descripción en frecuencia del operador invariante en el tiempo contieneel ajuste de los argumentos en (1.94):

H (f, ν) =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

h (t− τ) e−j2πft+j2πντdtdτ

=

∞∫

−∞

h(σ)e−j2πfσ∞∫

−∞

ej2π(f−ν)τdτdσ = H(f)δ (f − ν)

y, por consiguiente

Y (f) =

∞∫

−∞

H(f)δ (f − ν)X(ν)dν = H (f)X (f) (1.96)

El tercer método de análisis de sistemas lineales está basado en su descripción através de ecuaciones diferenciales, también lineales, pero de orden finito (método de

ecuaciones diferenciales)

α0(t)y(t) + α1(t)dy

dt+ . . . αm(t)

dmy

dtm= β0(t)x(t) + β1(t)

dx

dt+ . . .+ βn(t)

dnx

dtn, (1.97)

siendo, respectivamente, las funciones de entrada y salida αm(t) y βn(t) de naturalezacontinua.

En los sistemas invariantes en el tiempo los parámetros de entrada y salida sonconstantes con lo cual la correspondiente función respuesta a impulso de (1.95) se de-termina como [10]:

h (t− τ) =

m∑

k=1

αkepk(t−τ), t ≥ τ

0, t < τ

(1.98)

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donde pk son las raíces del polinomio D (p) =∑m

k=1 αkpk = 0. Al operador (1.98), le corres-

ponde la función de transferencia (1.94) de la forma racional,

H(f) =m∑

k=1

αkj2πf − pk

=N(p)

D(p), αk, βk ∈ R (1.99)

para el polinomio del numerador de la forma, N (p) =∑n

k=1 βkpk.

1.4.2. Método de la integral de superposición

Si un sistema cumple la condición de linealidad (1.3) e invariabilidad en el tiempo (1.4),entonces, como se deduce de (1.8) cualquier señal x(t) puede ser aproximada por unasucesión infinita de funciones delta en el tiempo, esto es, teniendo en cuenta la propie-dad de selectividad de la función delta δ(t) en los instantes en que se determinen dentrode la sucesión infinita, entonces

x(t) =

∞∫

−∞

x(τ)δ (t− τ) dτ (1.100)

luego, la señal de salida y(t) se podrá determinar para cualquier x(t) dada, si se sabela reacción del sistema cuando a la entrada se tiene la función delta δ(t) (respuesta aimpulso h(t)).

Aplicando consecuentemente las siguientes propiedades de:

(a). Invariabilidad en el tiempo: δ (t− τ) =⇒ h (t− τ),

(b). Linealidad: x(τ)δ (t− τ) =⇒ x(τ)h (t− τ),

Se tiene que la señal de entrada

∞∫

−∞

x(τ)δ (t− τ) dτ genera la salida dada por la con-

volución:

∞∫

−∞

x(τ)h (t− τ) dτ.

De lo anterior, se puede decir que la respuesta y(t) de un sistema lineal e invarianteen el tiempo corresponde a la integral de superposición de la respuesta a impulso h(t) yde la entrada del sistema x(t), así:

y(t) =

∞∫

−∞

x(τ)h (t− τ) dτ = x(t) ∗ h(t) (1.101)

La integral de superposición (1.101) es, en general, la transformada de un sistemano causal, por cuanto la excitación del sistema en el momento t le corresponde valoresde salida y(τ), para −∞ < τ < t.

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Al ajustar el sistema a la condición de causalidad, el sistema deberá tener unarespuesta a impulso h(t) = 0, ∀t < τ, por lo que (1.101) se convierte en:

y(t) =

t∫

−∞

x(τ)h (t− τ) dτ

En cualquier sistema invariante en el tiempo siempre se podrá tomar el origen deltiempo igual a cero, esto es, si la señal de entrada satisface la condición x(t) = 0, ∀t < 0,entonces, la anterior ecuación toma la forma:

y(t) =

t∫

−∞

h (t− τ)x(τ)u(τ)dτ =

t∫

0

h (t− τ)x(τ)dτ =

t∫

0

h(τ)x (t− τ) dτ, t ≥ 0 (1.102)

En forma general, la ecuación (1.102) muestra que para cualquier función de entra-da x(t), la derivada de orden n en el tiempo de la función de salida es igual a:

dny

dtn=

∞∫

−∞

h(τ)dnx

dtn(t− τ) dτ

.

---s1 s2

s

h1(t) h2(t) h(t, τ)

Figura 1.15: Conexión en cascada de sistemas

Particularidades de la respuesta a impul-

so. Sean dos sistemas lineales s1 y s2 conrespuestas a impulso h1(t) y h2(t) respec-tivamente, cuya respuesta resultante h12(t)de su conexión en cascada, mostrada en laFigura 1.15, se define como:

h12(t) =

∞∫

−∞

h2(τ, z)h1(τ, z)dz

En forma general, la conexión cascada de s1 y s2 no es la misma de s2 y s1, porla diferencia de argumentos de las respuestas a impulso en el núcleo de la integral desuperposición, excepto cuando ambos sistemas sean invariables en el tiempo. En estecaso, entonces, se tiene

h12 (t− τ) =

∞∫

−∞

h2(t− z)h1(z − τ)dz

reemplazando υ = t− z, se encuentra la expresión

h12 (t− τ) =

∞∫

−∞

h1(t− υ − τ)h2(υ)dυ =

∞∫

−∞

h1(τ − λ)h2(λ− τ)dλ.

Este último integral corresponde a la función de respuesta a impulso h12 (t− τ) de laconexión en cascada de S2S1. Donde se puede afirmar que para los sistemas lineales einvariantes en el tiempo la conexión en cascada de los sistemas es conmutativa, esto es

h12 (t− τ) = h21 (t− τ) .

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Respuesta a escalón unitario. Se denomina a la reacción del sistema lineal cuando ala entrada existe una entrada del tipo escalón unitario u(t) (1.10), donde:

p(t)4= u(t) ∗ h(t) =

∞∫

−∞

u(τ)h (t− τ) dτ =

∞∫

0

h (t− τ) dτ

entonces,

p(t) =

t∫

−∞

h(λ)dλ; donde λ = t− τ (1.103)

Este resultado proporciona un método para determinar en laboratorio la respuesta aimpulso de un sistema. Aunque la función u(t) existe hasta el infinito, la mayoría de lossistemas tiene una respuesta relativamente corta. Entonces, empleando un generador deondas cuadradas de baja frecuencia con período mucho mayor al tiempo de duración dela respuesta a impulso, este prácticamente se percibirá como un escalón. De la ecuación(1.103) se deduce que la relación de las respuesta a impulso y la respuesta a escalón enun sistema lineal, h(t) = dp/dt.

Ejemplo 1.13. Encontrar la respuesta a impulso del sistema lineal dado por la ecuacion dife-

rencialdy(t)

dt+ a(t)y(t) = x(t), ∀t > 0, donde a(t) es una funcion dada apriori [15].

La funcion entrada-salida es preferible hallarla al resolver la ecuacion para y(t). Tomando t = 0como el tiempo en el cual la entrada es aplicada al sistema y considerando la linealidad de este,se tiene que y(t) = Γ0 = 0. Ademas, como x(t) = 0, ∀t < 0, entonces, tambien sera y(t) = 0.Ası, se podra resolver la ecuacion diferencial sujeta a esta condicion inicial. Preferiblemente setomara t = 0, o sea, y(0) = 0. Para resolver la ecuacion resultante y aplicando la condicion inicialse multiplican por un factor de integracion, obteniendose

d

dt

e

t∫

0

a(z)dzy(t)

= e

t∫

0

a(z)dzx(t)

integrando ambos lados en [0, t] se obtendra:

e

t∫

0

a(z)dzy(t) =

t∫

0

e

τ∫

0

a(z)dzx(τ)dτ =

t∫

0

e

τ∫

t

a(z)dzx(τ)dτ, t > 0

que corresponde a la relacion entrada/salida deseada. Teniendo en cuenta la definicion de res-puesta a impulso se obtendra

h(t) = e

τ∫

t

a(z)dzu (t− τ)

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que corresponde a una respuesta a impulso fısicamente realizable, y para el caso de a(t) = a = cte.se tendra que:

h(t) = e−a(t−τ)u (t− τ) ,

que describe un sistema invariante en el tiempo.

1.4.3. Método de análisis espectral

En el caso del análisis de los sistemas en el dominio de la frecuencia, sea la forma dela señal a la entrada x(t) = ejωt. Aceptando la linealidad del sistema, se analizará lasolución particular:

y(t) = K(ω)x(t) = K(ω)ejωt, K(ω) ∈ C (1.104)

Asumiendo que todos los parámetros que definen el sistema lineal (1.97) son inva-riables en el tiempo, αk(t), βk(t) = const. ∈ R, entonces se tendrá

β0x(t) + β1dx

dt+ . . .+ βn

dnx

dtn= α0y(t) + α1

dy

dt+ . . . αm

dmy

dtm, (1.105)

Dado qued(k)

dtkx(t) = (jω)kejωt, entonces,

β0ejωt + jωβ1e

jωt + · · · + (jω)n βnejωt = α0K(ω)ejωt + · · · + αm (jω)mK(ω)ejωt

(β0 + jωβ1 + · · · + (jω)n βn) ejωt = (α0 + α1jω + · · · + αm (jω)m)K(ω)ejωt

(β0 + jωβ1 + · · · + (jω)n βn) = (α0 + α1jω + · · · + αm (jω)m)K(ω)

Luego, entonces

K(ω) =

m∑k

βk(jω)k

n∑k

αk(jω)k=N(ω)

D(ω)= H(ω), (1.106)

De (1.106), se observa que la función K(ω) corresponde exactamente con la funciónde transferencia H(ω) definida en (1.99), la cual depende exclusivamente del sistema yno de la señal de entrada. A propósito, el mismo resultado se puede obtener al hallar latransformada de Fourier de (1.105):

F

β0x(t) + β1

dx

dt+ · · · + βn

dnx

dtn

= F

α0y(t) + α1

dy

dt+ · · · + αm

dmy

dtm

β0X(ω) + β1jωX(ω) + · · · + βn (jω)nX(ω) = α0Y (ω) + α1jωY (ω) + · · · + αm (jω)m Y (ω)

(β0 + β1jω + · · · + βn (jω)n)X(ω) = (α0 + α1jω + · · · + αm (jω)m)Y (ω)

Y (ω)

X(ω)=

n∑k=0

βk (jω)k

m∑k=0

αk (jω)k= H(ω)

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Versio


Físicamente, H(ω) indica que una manera de probar la condición de linealidad deun sistema invariable en el tiempo es aplicando a la entrada una sinusoide con valoresde amplitud, frecuencia y fase conocidos y constantes. En caso de linealidad, la salidadel sistema deberá ser otra sinusoide con la misma frecuencia de entrada y puede tenerdiferentes valores de fase y amplitud:

Y (ωk) = H(jωk)X(ωk)

Este proceso se hace repetitivo para el rango analizado de frecuencia. El cocientede estos dos coeficientes complejos corresponde a los valores de amplitud y fase de lafunción de transferencia. Por cuanto, en (1.104) la función de transferencia H(ω) seha supuesto una magnitud compleja, que por tanto se escribe en términos del módulo(respuesta de amplitud) y la fase (desfase), respectivamente como:

H(ω) = |H(ω)| ejθ(ω) = <H(ω) + =H(ω)

donde

|H(ω)| =√<H(ω)2 + =H(ω)2 (1.107a)

θ(ω) = arctan

(=H(ω)<H(ω)

)(1.107b)

Analizando (1.106) se puede llegar a la conclusión de que un sistema lineal e inva-riable en el tiempo actúa como dispositivo selectivo de frecuencia o filtro en las diferen-tes componentes espectrales aplicadas al sistema, esto es, algunas componentes puedenamplificarse, otras atenuarse y algunas permanecerán inalteradas. De hecho, cada com-ponente espectral puede tener un desfase característico al pasar por el sistema.

s

s s

s

R

y(t)Cx(t)

(a) Diagrama básico

0 w 0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 w −1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

|H(ω)| θ(ω)

−ω−ω

τ1τ2 = 2τ1

(b) Función de transferencia

Figura 1.16: Análisis espectral del circuito RC

Janu

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Versio


Ejemplo 1.14. Determinar la funcion de transferencia del sistema (circuito RC) mostrado enla Figura de 1.16(a).

Aplicando la relacion del divisor de voltaje, se tiene:

y(t) =Zc

R+ Zcejωt

donde la impedancia de la capacitancia es Zc = 1/jωC. Ası,

H(ω) =(1/jωC)

R+ (1/jωC)=

1

1 + jτω

siendo τ = RC. Al convertir en forma polar la anterior expresion se obtienen las respectivas

magnitud y desfase: |H(ω)| =(1 + (ωτ)2

)−1/2

, las cuales se muestran en la Figura 1.16(b)

Aceptando la forma de la señal de entrada en forma x(t) = ejωt, la convolución dadaen (1.101) se define como:

y(t) =

∞∫

−∞

h(τ)x (t− τ) dτ =

∞∫

−∞

h(τ)ejω(t−τ)dτ = ejωt∞∫

−∞

h(τ)e−jωτdτ

= ejωtF h(t) = ejωtH(ω)

Luego, la función de transferencia H(ω) corresponde a la TF de la función respuestaal impulso:

H(ω) = F h(t) =

∞∫

−∞

h(t)e−jωtdt (1.108)

Por último, aplicando la transformada inversa de Fourier a (1.96), la salida puedeser expresada en forma alterna como

y(t) =1

2π

∞∫

−∞

H(ω)X(ω)e−jωtdω

Ejemplo 1.15. Determinar la magnitud de respuesta de un filtro pasabajos RC (Figura 1.16(a))de la funcion rectτ (t), donde τ = 4RC.

Teniendo en cuenta la magnitud |X(ω)| = τ sinc(ωτ/2) de la FDE del pulso cuadrado obtenida

en (1.31) y la respuesta de amplitud obtenida |H(ω)| = |1 + jωRC|−1 = (√

1 + (ωτ/4)2)−1 en elejemplo 1.14, entonces, la magnitud de la salida sera:

|Y (ω)| = |X(ω)||H(ω)| =τ/T√

1 + (ωτ/4)2| sinc (ωT/2) |

Las graficas de la magnitud en las Figuras 1.17(a) y 1.17(b) muestran que este sistema atenualas altas frecuencias de la FDE a la entrada y permite el paso de frecuencia relativamente masbajas con menor atenuacion. Ademas, la transmision desigual de todas las componentes produceuna replica distorsionada de la senal de entrada.

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Versio


0 0

0.5

1

0 0

0.5

1

0 0

0.5

1

X(ω)H(ω)Y (ω)

−τ

−τ

−τ

τ

τ

ττRC = τP

τRC = 0.5τP

τRC = 2τP

(a) Análisis en frecuencia

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X(ω)Y (ω)

−0.9τ

−0.9τ

−0.9τ

−0.5τ

−0.5τ

−0.5τ

(b) Análisis en el tiempo

Figura 1.17: Respuesta del circuito RC a un pulso cuadrado

1.4.4. Método de ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones lineales diferenciales proporcionan otra representación de las caracte-rísticas de entrada-salida de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo. El ejemplomas sencillo, tal vez, corresponda al análisis de un circuito diferenciador, cuya señal desalida está relacionada con la entrada de la forma

y(t) =dx

dt,

Basados en la propiedad de diferenciación de la TF (1.61) se tiene que

Y (ω) = jωX(ω),

por lo que la función de transferencia del diferenciador ideal corresponde a

H(ω) = jω

El circuito RC del ejemplo 1.14 representado en la Figura 1.16(a), cuya función detransferencia es igual a

H(ω) =1

1 + jωτ, τ = RC

puede ser aproximado a un diferenciador, si se toma la condición ωτ 1, con lo que lafunción aproximada de transferencia del circuito será:

H(ω) ≈ jωτ

De manera alterna se puede calcular la función de transferencia de un circuitointegrador:

y(t) =

∫x(t)dt,

Janu

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Versio


cuya función de transferencia, basados en (1.62) es igual a

H(ω) = 1/jω

El circuito RC también puede ser configurado como integrador, observando la con-dición ωτ 1, obteniéndose la siguiente función de transferencia aproximada

H(ω) ≈ 1/jωτ

En forma general, el circuito RL también puede ser configurado, bien como dife-renciador, bien como integrador. En la práctica es preferible la implementación sobrecircuitos RC, por presentar menores pérdidas activas que las que usualmente registranlas inductancias.

1.4.5. Sistemas discriminantes de frecuencia

Se considera que la señal a su paso por un sistema no lineal no sufre distorsiones, sisu forma no cambia, cambiando solamente su escala o desplazamiento en el tiempo(típicamente retardo), esto es,

y(t) = kx(t− τ0)

siendo k el coeficiente de escala, y τ0 el retardo inherente al tiempo de proceso del siste-ma. La FDE a la salida del circuito estará dada por

F y(t) = Y (ω) = kX(ω)e−jωτ0

6

-

.....

...........................................................................................................................................

?

6

τ(ω)

τ0

ω0

|H(ω)|k

θ(ω)

Figura 1.18: Desfase lineal

con lo cual, la función de transferencia deun circuito sin distorsiones se determinacomo

H(ω) = ke−jωτ0

cuyas funciones de respuesta de amplitudy desfase, representadas en la Figura 1.18,tienen respectivamente la forma,

|H(ω)| = k, θ(ω) = ωτ0 (1.109)

De otra parte, la función de retardo de

grupo del sistema tiene uso amplio y es de-terminada por:

τ(ω) =dθ

dω(1.110)

En caso de no cumplirse alguna de las condiciones de (1.109) y (1.110), la forma dela señal de salida se diferenciará de la señal de entrada. De las condiciones de realizaciónfísica, se deduce que la respuesta de amplitud y cambio de fase de los sistemas linealescon parámetros constantes poseen las cualidades de simetría:

H(−ω) = H(ω), |H(−ω)| = |H(ω)|, θ(−ω) = −θ(ω) (1.111)

german

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Janu

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Versio


Modelos de filtración básica lineal. Basados en las condiciones (1.109), (1.110) y(1.111) se pueden establecer los siguientes modelos básicos de filtración

(a). Filtro pasabajos, el cual atenúa las componentes de alta frecuencia (por encimade una frecuencia denominada de corte) de la señal de entrada, dejando pasar lascomponentes de baja frecuencia

(b). Filtro pasaaltos, atenúa las bajas frecuencias, por debajo de valor de frecuenciamínimo establecido (frecuencia mínima) y deja pasar las frecuencias altas.

(c). Filtro pasabanda, deja pasar las señales comprendidas dentro de una banda espec-tral (banda de paso) establecida entre un valor mínimo de frecuencia (frecuenciamínima) y un valor máximo permitido (frecuencia máxima), atenuando todas lascomponentes que estén fuera de la banda de paso.

(d). Filtro rechazabanda, atenúan las señales comprendidas de una banda espectral(banda de rechazo) establecida entre un valor mínimo de frecuencia (frecuenciamínima de rechazo) y un valor máximo permitido (frecuencia máxima de rechazo),dejando pasar todas las componentes que estén fuera de la banda de rechazo.

? ? ? ?

?PPPq-:

-

- -

-

∑

Línea de retardo τ

Registro de desplazamiento

y(t)

x(t)

a0 a1 an−1 an× × × ×

Figura 1.19: Filtro transversal

La integral de convolución (1.101) en larespuesta a impulso se puede aproximar dela siguiente manera:

y(t) =

t∫

0

x (t− τ)h(τ)dτ ≈

≈t/∆τ∑

k=0

x(t− k∆τ)h(k∆τ)∆τ

Este resultado se puede realizar utili-zando una línea de retardo con derivacionescada k∆τ , la salida de cada derivación semultiplica por el factor prefijado h(k∆τ)∆τ .

Un ejemplo de filtro construido con una línea de retardo con derivaciones pondera-das y un sumador en la forma mostrada en la Figura 1.19 se denomina filtro transversal.

1.4.6. Representación de sistemas no lineales

Método de series funcionales. Este método, también conocido como el método de

Wiener [16], puede ser catalogado como heurístico y está basado en la posibilidad derepresentar sistemas no lineales invariantes en el tiempo en forma de series.

Sea un sistema dipolo con entrada x(t) y salida y(t), relacionadas por el operador delsistema T o respuesta:

y (t) = T x (t)

El operador T , en general, depende del carácter del sistema, su objeto de análisisy tipo de entradas. En el caso concreto, se escoge una clase de sistemas con memoria

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finita, cuando el operador es biyectivo. Esta restricción no tiene en cuenta sistemas,en los cuales existan puntos de equilibrio dependientes de las condiciones iniciales deentrada (sistemas con memoria infinita).

Una forma de representación de no linealidad en un sistema, más angosta que lascorrespondientes ecuaciones diferenciales no lineales, consiste en las series de Volterra[17]:

y (t) = h0 (t) +∑

k

∫· · ·∫hk (t, τ1, . . . , τk)x (λ1) . . . x (λk) dλ1 . . . dλk (1.112)

En el caso particular, de ecuaciones diferenciales de primer orden [18],

dy

dt= f (t, y (t)) + g (t, y (t) , x (t))

la representación (1.112) es viable, por ejemplo, cuando la función f (t, y (t)) con respectoa y se puede aproximar por la serie de Taylor, mientras la función g no depende de y(t).

A efectos de simplificación de análisis, la representación se puede limitar hasta sis-temas invariables en el tiempo, cuando se asume que, T x (t+ τ) = y (t+ τ) , ∀τ , por locual las serie funcional de Volterra toma una forma más simple,

y (t) = h0+

∞∫

−∞

h1 (λ1)x (t− λ1) dλ1 +

∞∫

−∞

∞∫

−∞

h2 (λ1, λ2)x (t− λ1)x (t− λ2) dλ1dλ2 + · · · (1.113)

.

-

-

-

-

-

JJ

JJ-

BBBBBBBBN

-

H1 : h1(λ)

H2 : h2(λ1, λ2)

Hk : hk(λ1, . . . , λk)

h0

y(t)x(t)

...

...

· · ·

Figura 1.20: Representación por series de Vol-terra

Las funciones hk (λ1, . . . , λk) son deno-minadas los núcleos de Volterra, que aligual que en los sistemas lineales repre-sentan la respuesta a la función delta. Elprimer término h0 se puede tomar comocomponente constante de la representa-ción, o bien, como las condiciones inicia-les, por cuanto y(t) = h0, cuando x(t) =0. En cuanto al segundo término de ladescomposición,

∫h1 (λ1)x (t− λ1) dλ1, si se

asume la condición de realización física,h1(t) = 0,∀t < 0, entonces éste correspondea la parte lineal del sistema. El tercer tér-mino

∫ ∫h2 (λ1, λ2)x (t− λ1)x (t− λ2) dλ1dλ2

corresponde a la convolución doble de laseñal de entrada x(t) con la respuesta a im-pulso h2 (λ1, λ2). Si se asume la independen-cia de los términos h2 (λ1λ2) = h(λ1)h(λ2),con lo cual el tercer término se escribe como,

∫ ∫h2 (λ1, λ2)x (t− λ1)x (t− λ2) dλ1dλ2 =

∫ ∫h (λ1)h (λ2)x (t− λ1)x (t− λ2) dλ1dλ2 =

∫h (λ1)x (t− λ1)dλ1

∫h (λ2)x (t− λ2)dλ2 = y (t) y (t) = y2 (t)

Janu

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Versio


esto es, el tercer término puede ser entendido como la descripción de un sistema cua-drático.

En general, asumiendo que todos los núcleos de Volterra cumplen las siguientescondiciones:

– Realización física. hk (λ1, . . . , λn) = 0,∀τk < 0, k = 1, . . . , n

– Simetría. hk (λ1, . . . , λn) = hk (λn, . . . , λ1) = · · · , esto es, el núcleo es el mismo cual-quiera que sea el orden de sus argumentos.

Entonces, un sistema no lineal dado con memoria finita puede ser representado porla serie de Volterra (1.113), en la cual cada término puede ser asociado a su respectivooperador elemental Hk (Figura 1.20),

y (t) = h0 +∑

k>0

Hk x (t) (1.114)

donde Hk x (t) =∫· · ·∫hk (λ1, . . . , λk)x (λ1) · · ·x (λk) dλ1 . . . dλk.

En el empleo de las series de Volterra para la representación de sistemas no linealescon memoria finita, se tiene por lo menos tres dificultades básicas [18]: Se puede o norepresentar un sistema dado en series de Volterra? como determinar los núcleos?, y apartir de la descripción del sistema de ecuaciones diferenciales, como obtener la serie?

La serie de Volterra es de la clase exponencial con memoria, así, si la excitacióndel sistema se cambia c veces, entonces de acuerdo con (1.114), la respectiva salida delsistema será,

y (t) = h0 +∑

k>0

Hk cx (t) = h0 +∑

k>0

ckHk x (t) (1.115)

La memoria de la última serie es consecuencia de la definición en (1.114) de cadaoperador elemental en forma de convoluciones, por lo tanto, la representación (1.115)puede ser entendida como la serie de Taylor con memoria. En este sentido, las res-tricciones en la representación de sistemas no lineales mediante la serie de Volterra,corresponden también al problema de convergencia inherente a la serie de Taylor.

Ejemplo 1.16. Analizar la convergencia del sistema invariable en el tiempo con funcion de no

linealidad dada por la expresion y(t) = z(t)(1 + z2(t)

)−1

, representado en la Figura 1.21.

- - -x(t) z(t) y(t)h(t) (·)2

Figura 1.21: Sistema cuadrático simple

La descomposicion de la funcion en analisis en la serie de Taylor tiene la forma

y (t) =∞∑

k=0

(−1)k(z (t))

2k+1 (1.116)

Janu

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Versio


Reemplazando por el nucleo basico de primer orden z (t) = h (t) ∗ x (t), se obtiene la respectivaserie de Volterra

y (t) =

∞∑

k=0

(−1)k

∞∫

−∞

h (λ)x (t− λ) dλ

2k+1

=

∞∑

k=0

H2k+1 x (t) (1.117)

donde los nucleos tienen la forma h2k+1 (λ1, . . . , λ2k+1) = (−1)kh (λ1) · · ·h (λ2k+1).

Por cuanto la serie de Taylor (1.116), obtenida para el sistema cuadratico simple, converge solopara valores de z(t) < 1, entonces la respectiva serie (1.117) converge en aquellos momentos deltiempo cuando |z(t)| ≥ 1. Lo anterior implica, que en el ejemplo del sistema cuadratico simple,la serie de Volterra se puede emplear para senales de entrada, cuya salida z(t) no exceda el valorde 1.

Cabe anotar que la convergencia de la serie de Taylor se exige en todo el dominio tde representación. Así por ejemplo, si en la Figura 1.21 en vez del elevador a cuadradose tiene un limitador bilateral del tipo y(t) = a sgn (z(t)), entonces para esta función conrompimiento en el punto t = 0, la serie de Taylor no existe en ese mismo punto, y por lotanto, tampoco hay la representación en series de Volterra.

Sea la clase de excitaciones de un sistema en análisis, tal que converja la serie(1.113), y que además el sistema pueda ser representado por la serie truncada (1.115)hasta los primeros n términos:

y (t) ' h0 +

n∑

k=1

Hk x (t)

Si el número de términos n está dado, entonces aparece la tarea de identificacióndel sistema, que determine el núcleo de Volterra hk (τ1, . . . , τk), para lo cual se puede es-coger como criterio de aproximación, el error cuadrático medio determinado en (1.19),cuya condición de minimización conlleva a un sistema de ecuaciones integrales para ladeterminación de los núcleos [18]. El sistema contiene términos de momentos estadísti-cos cruzados entre la entrada y la salida, cuyo cálculo se puede realizar prácticamentesolo de manera experimental, más aún asumiendo la condición (??) de ergodicidad delos procesos; cálculo que se hace más difícil en la medida en que crece el número n deaproximación.

En la práctica, es frecuente asumir el conocimiento de las ecuaciones diferencialesque describen el comportamiento del sistema, y para su solución se emplean diferen-tes formas del método de aproximaciones sucesivas, entre los cuales está el método de

iteraciones de Picard [17].Sea un sistema no lineal descrito por la ecuación diferencial de primer orden,

dy/dt+ y = x (t) − f (y) , y (0) = 0, (1.118)

siendo f (y) alguna función de dependencia no lineal, que permite ser representada en laserie de Taylor, f (y) =

∑nk>1 aky

k, donde n→ ∞. La suma de la serie se analiza a partir dek > 1, por cuanto se retiran los términos lineales de representación, que corresponden ak = 0, 1.

Janu

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Versio


La ecuación lineal dy/dt + y = x (t), obtenida de (1.118) para f(0) = 0, asumiendocondiciones iniciales cero, tiene solución,

y1 (t) =

t∫

0

h (t− τ)x (τ) dτ, h (τ) = e−τ

Al hallar la solución de de la ecuación diferencial (1.118) en la forma,

y (t) = y1 (t) −t∫

0

f (t (τ))h (t− τ) dτ,

se puede reemplazar la expresión de función f(y) por su respectiva representación enserie de Taylor, por lo cual,

y (t) = y1 (t) −n∑

k>1

ak

t∫

0

yk (τ)h (t− τ) dτ

La anterior descomposición permite la representación de la solución y(t) por la seriefuncional de Volterra, y (t) =

∑∞k=1 yk (t),

∞∑

k=1

yk (t) = y1 (t) −n∑

k>1

ak

t∫

0

yk (τ)h (t− τ) dτ

Empleando la relación recurrente conocida,

( ∞∑

k=1

vk

)n=

∞∑

k=1

v(n)k , v

(n)k =

k∑

rk=1

· · ·r2∑

r1=1

vr1vr2−r1+1 · · ·

se obtiene la solución en la forma,

∞∑

k=1

yk (t) = y1 (t) −∞∑

i=1

∞∑

k>1

ak

t∫

0

y(k)i (τ)h (t− τ) dτ

Si se considera el orden de los términos con respecto a la magnitud de la señal de

entrada, particularmente, si se considera que yi = Oxi, y

(k)i = O

xi+k−1

, entonces en

la anterior serie, igualando los términos de un mismo orden con relación a x, se obtieneen forma final,

yi (t) = −i∑

k=2

ak

t∫

0

y(k)i (τ)h (t− τ) dτ, i ≥ 2

Janu

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Versio


Problemas

Problema 1.38. Conformar las ecuaciones diferenciales de los circuitos representados en la Figura 1.22.

s

s s

sC2

R2

R1

y(t)x(t)

ss

sss

sss s

s

ss

R3R1

C1

R2

C2

x(t)x(t)

C1

R1

R2y(t) x(t)y(t) y(t)

C

Cf

R2

R1

Rf

a) d)c)b)

Figura 1.22: Circuitos de filtración

Problema 1.39. Determinar la respuesta a impulso para la siguiente función de entrada/salida dada por

y(t) =

∞0

et−zu(t − z)x(z)dz, ∀t ≥ 0.

R. h(t) =

∞0

e−(t−z)u(t − z)δ(z − τ)dz = e−(t−τ)u (t − τ).

En este caso la respuesta como función de t− τ , que de acuerdo a las definiciones (1.3) y (1.4), no depende de ty τ separadamente. Así, si el sistema es causal, entonces, la respuesta a impulso deberá ser h (t − τ) = 0, ∀t < τ ,de otra manera se tendría respuesta a impulso actuando antes de la aparición de la función δ (t − τ), lo que nocorresponde a la realidad.

Problema 1.40. Hallar la respuesta al impulso para la función entrada/salida

y(t) =

∞−∞

ztu(t − z)x(z)dz.

R. h(t) = τtu (t − τ) .

Problema 1.41. Encontrar la respuesta a impulso del ejemplo (1.13) cuando a es constante, directamenteresolviendo la ecuación con x(t) = δ(t).

Problema 1.42. Determinar la respuesta a impulso del del circuito de retención mostrado en la Figura1.23b).R. x(t) = δ(t), se obtendrá, y(t) = δ(t) − δ(t − t0) resultando en:

h(t) =

∞−∞

(δ(τ) − δ (τ − t0)) dτ = u(t) − u(t − t0),

La respuesta a impulso del sistema analizado se muestra en la Figura 1.23a).

Problema 1.43. Encontrar la respuesta a impulso h(t) de la conexión en cascada de los siguientes sistemas:z(t) = e−tx(t)u(t), siendo

y(t) =

t0

e−(t−λ)z(λ)u(λ)dλ, t ≥ 0.

Encontrar la respuesta a impulso del sistema obtenido intercambiando los sistemas S1 y S2 dados anteriormente.

Janu

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Draft

Versio


6

-

-

-6

- -h(t)

1

τ t

x(t)

retardoτ

integrador∑+

+

y(t) z(t)

a) b)

Figura 1.23: Circuito de retención

Problema 1.44. Determinar la respuesta a impulso y la respuesta al escalón unitario para cada uno de loscircuitos descritos por las siguientes ecuaciones diferenciales:

Tdy

dt− y = kx y = k x + T

dx

dt y = k x + 2k1T

dx

dt+ T 2 d2x

dt2 T 2 d2y

dt2+ 2k1T

dy

dt+ y = kx

T 2 d2y

dt2− 2k1T

dy

dt+ y = kx

1

ω2

d2y

dt2+ y = kx

Problema 1.45. Suponer que se intercambian la resistencia y el capacitor en el circuito RC de la Figura1.16(a). Determinar la nueva función de transferencia y justificar porque el sistema puede ser del tipo filtropasaaltos.

Problema 1.46. Para los filtros RC pasabajos y pasaaltos mostrados anteriormente, calcular el voltaje desalida y(t) correspondiente al voltaje de entrada x(t) =| sin 2πft |, 0 < t < 1, asumiendo RC = 1.

Problema 1.47. El circuito descrito en la Figura 1.24(a) es considerado un sistema con corriente i(t) comoentrada y el voltaje v(t) como salida. Encontrar:

(a). la relación de entrada/salida del sistema;

(b). probar las condiciones de linealidad y causalidad del sistema.

Problema 1.48. Hallar función de transferencia y la respectiva respuesta a impulso del filtro RC de tercerorden mostrado en la Figura 1.25a). Asumiendo los nominales R = 6.8 kΩ y C = 0.2µF , calcular las frecuenciasf1 y f2 [Hz] para las cuales el desfase introducido por el filtro es de −π/2 y −π [rad], respectivamente.

s

s s

sCx(t) y(t)

L L

R

(a) Circuito RLC

s s

s sx(t) y(t)

R0R1

L R2

C

(b) Filtro RLC

Figura 1.24:

Problema 1.49. Calcular la respuesta a impulso h(t) del sistema lineal, con función de transferencia (H0

y β son constantes),

H (ω) = H0 exp −jβ2ω2 , ω ≥ 0

H0 exp jβ2ω2 , ω < 0

Janu

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Versio


Problema 1.50. Hallar la función de transferencia y la respuesta a impulso del cuadripolo cruzado mostradoen la Figura 1.25b) con impedancias conocidas Zi, i = 1, 2, 3, 4.

s

s

s

s

s

s

s

s

................................................

.............................................

.......................................................................................................

R R R

C C Cx(t) y(t)

Z1

Z3

Z2

Z4

x(t) y(t)

b)a)

Figura 1.25:

Problema 1.51. La ecuación diferencial que relaciona la tensión de salida y(t) con la de entrada x(t) delsistema mostrado en la Figura 1.24(a) es

L2Cd3y

dt3+ RLC

d2y

dt2+ 2L

dy

dt+ Ry(t) = Rx(t)

(a). Encontrar la función de transferencia del sistema.

(b). Determinar la magnitud y el desplazamiento del sistema.

(c). Determinar b) para ω = 1/√

LC.

Problema 1.52. Encontrar las ecuaciones diferenciales del filtro RLC de baja frecuencia representado enla Figura 1.24(b). Hallar la respectiva función de transferencia y respuesta a impulso.

Problema 1.53. Hallar la función de transferencia del sistema anterior si la función a la salida del circuitode retardo se resta de la original.R. |H(ω)| = 2 sin(ωτ/2), θ(ω) = arctan [(sin ωτ) / (1 − cos ωτ)] .

Problema 1.54. Obtener la serie de salida y(t) cuando en la entrada existe la señal

x1(t) = 0, t ≤ 0

sin t, 0 < t < 2π

0, t ≥ 2π

, x2(t) = u(t)

Problema 1.55. Dada la respuesta a impulso h(t) = 1T

exp − tT de un circuito lineal, hallar la respectiva

salida y(t), asumiendo y(0− = 0), cuando a la entrada se tiene la señal x(t) = kt, k = const.

Ejercicio en el PC 1.4. Simular la función de transferencia de los filtros RC en régimen de trabajode integrado y diferenciador.

Ejercicio en el PC 1.5. Utilizando un mínimo de 50 puntos, calcule y dibuje la magnitud de la funciónde transferencia de un filtro transversal de cuatro derivaciones (con un retardo de T entre cada una de ellas)para la siguiente elección de pesos ak del filtro:

(a). +1,-1,+1,-1

(b). -1,+1,+1,-1

Ejercicio en el PC 1.6. Simular la función de transferencia de los filtros RC (Figura 1.16(a)) en susconfiguraciones de pasaaltos y pasabajos.

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Versio

n 4.11.5. Representación de sistemas con variables de estado 79

1.5. Representación de sistemas con variables de estado

1.5.1. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

A partir del método de ecuaciones diferenciales (1.97), que describe un sistema linealcon una entrada y una salida, en el numeral §1.4.2 se analiza la función de respuesta aimpulso h (t) como solución del sistema (1.105).

Sin embargo, el método de ecuaciones diferenciales puede emplearse directamenteen la representación los sistemas dinámicos lineales. En este segundo caso se debentener en cuenta los siguientes momentos:

– Las condiciones iniciales del sistema deben ser conocidas para determinar la res-puesta del sistema en cualquier intervalo de tiempo t0 ≤ t ≤ t1, que deben estar enun número tal que describan completamente la influencia de la señal de entradahasta el momento t0 sobre la señal de salida después del momento t0.

El estado del sistema se define como la cantidad mínima de elementos de referen-cia sobre el sistema necesaria para la descripción completa de la señal de salida,mientras las misma variables de referencia se denominan variables de estado. Enla práctica, el estado del sistema se describe por un vector de orden finito y, por lotanto, se habla de un sistema dinámico con dimensión finita.

– La solución de la ecuación diferencial puede ser obtenida sobre una base de ope-raciones básicas, compuesta por integradores, sumadores, dispositivos no lineales,amplificadores de ganancia variables etc. La conexión de estos dispositivos de ope-raciones básicas se considera el modelo del sistema dinámico.

La forma generalizada de la ecuación diferencial de orden m,

β0u(t) = α0y(t) + α1dy

dt+ . . . αm

dmy

dtm, (1.119)

implica la selección de y (t) , . . . , dm−1y/dtm−1

en calidad de variables de estado, y susolución se puede obtener empleando el procesador analógico equivalente repre-sentado en la Figura 1.26.

"""bbb

- - - - -

TTT

-

TTT

? ?

? ?

- -

TTT

-

TTT

? ?

?

6

...........................................

.? ? ?...........................................

...........................................

-u(t) y(t)β0

dmydtm

dm−1y(t0)

dtm−1

0

dm−1ydtm−1

dm−2y(t0)

dtm−2

0

dm−2ydtm−2

dydt

y (t0)

αn−1 αn−2 α1 α0

∫ ∫ ∫

Figura 1.26: Modelo de un sistema lineal de orden m.

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- - -

6

?- -

"""bbb

−u(t)t ≥ t0 t ≥ t0

y(t)

y (t0)dy

dtRC

dy

dt+ 1RC

∫

Figura 1.27: Modelo equivalente del circuito RC

Ejemplo 1.17. Sea el circuito RC representado en la Figura 1.14, en el cual la senales de saliday (t) y entrada u (t) estan relacionadas por la ecuacion diferencial

RCdy

dt+ y (t) = u (t) (1.120)

El calculo de la senal de salida (voltaje) en el intervalo t ≥ t0, implica el conocimiento de lasenal de entrada para t ≥ t0, ademas del voltaje inicial y (t0), presente en el condensador en elmomento t0. De esta manera, en este caso es suficiente introducir solamente una sola variable deestado, que es la que corresponde al voltaje y (t). Ası mismo, la ecuacion (1.120) corresponde ala ecuacion de estado del circuito RC en analisis, en concordancia con la cual, se representa elrespectivo en la Figura 1.27

Un sistema, dado por por la ecuación (1.119) de orden m, puede ser descrito ademáspor ecuaciones diferenciales de primer orden. Frecuentemente, tal sistema de ecuacionesdiferenciales, que es denominado ecuación vectorial diferencial de primer orden, es másfácil de analizar que la ecuación inicial de orden m. Así por ejemplo, en vez de la ecuación(1.119) se puede analizar el siguiente sistema:

x1 (t) = y (t)

x2 (t) =dy

dt=dx1

dt

x3 (t) =d2y

dt2=dx2

dt· · · · · ·

xn (t) =dm−1y

dtm−1=dxm−1

dt

por lo tanto, se tiene que

dum

dt=dmy

dtm= β0x (t) −

m∑

k=1

αk−1dk−1y

dtk−1= β0u (t) −

m∑

k=1

αk−1xk (t) , t ≥ t0 (1.121)

Si introduce el vector columna funcional x (t) ∈ xk : k = 1, . . . ,m , para t ≥ t0, enton-ces en vez de la ecuación (1.119) de orden m, se analiza la siguiente ecuación equivalentede primer orden y con dimensión m,

dx

dt= Ax (t) + Bu (t) (1.122)

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Versio


donde las matrices Am×m y Bn×1 tienen la forma

A =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · 1

−αm −αm−1 −αm−2 · · · −α1

,B =

00...β0

(1.123)

cuya solución requiere el vector de condiciones iniciales x (t0). El vector x (t) se denominavector de estado del sistema y la ecuación (1.123) corresponde a la ecuación de estado del

sistemas. La señal de salida y (t) del sistema lineal en análisis se determina por mediodel vector de estado en la forma,

y (t) = Cx (t) (1.124)

donde la matriz C1×m se define como,

C = [1 0 · · · 0]

La generalización de ecuación diferencial (1.119), para los sistemas lineales, corres-ponde a la ecuación (1.105) e incluye la diferenciación de la señal x (t), la cual debeevitarse en el análisis de sistemas estocásticos reales, entre otras razones porque esfrecuente en calidad de señal de entrada tomar el ruido blanco, cuyas derivadas en eltiempo no existen.

En este sentido, se puede representar de forma alterna la ecuación (1.105),

dmy

dtm+ αm−1

dm−1y

dtm−1− βm−1

du

dtm−1+ · · · + α1

dy

dt− β1

du

dt= β0u (t) − α0y (t) , t ≥ t0 (1.125)

La integración de ambas partes de la igualdad (1.125), con condiciones iniciales cero,da como resultado,

dm−1y

dtm−1+ αm−1

dm−2y

dtm−2− βm−2

dm−2u

dtm−2+ · · · + α1y (t) − β1u (t) = xm (t) , t ≥ t0 (1.126)

donde

xm (t) =

∫ t

t0

(−α0y (τ) + β0u (t)) dτ (1.127)

De la misma manera, la ecuación (1.126) se puede escribir en la forma

dm−1y

dtm−1+ αm−1

dm−2y

dtm−2− βm−1

dm−2u

dtm−2+ · · ·+ α2

dy

dt− β2

du

dt= xm (t)− α1y (t)− β1u (t) , t ≥ t0

cuya integración conlleva al la ecuación,

dm−2y

dtm−2+ αm−1

dm−3y

dtm−3− βm−1

dm−3u

dtm−3+ · · · + α2y (t) − β1u (t) = xm−1 (t) , t ≥ t0

donde

xm−1 (t) =

∫ t

t0

(xm (t) − α1y (τ) + β1u (t)) dτ (1.128)

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- -

6

?? ?

- -- -. .

TTT

T

TT

? ?

T

TT

6

T

TT

6

TTT

?

T

TT

6

6 6

-

- - -

∫y(t)

x1

t ≥ t0

∫ ∫u(t)

β0 β1 βm−1

α0 α1 αm−1

xm xm−1 x2

t ≥ t0

Figura 1.28: Modelo de un sistema de dimensión múltiple.

La secuencia descrita de operaciones se puede repetir m veces, y como resultado enel último paso se tiene,

y (t) = x1 (t) , x1 (t) =

∫ t

t0

(x2 (t) − αm−1y (τ) + βm−1u (t)) dτ (1.129)

El modelo del procesador analógico, que puede realiza estas transformaciones, semuestra en la Figura (1.28).

La señal de salida y (t) , t ≥ t0, se determina si además de tener la señal de entradau (t) , t ≥ t0, se fijan las condiciones iniciales xk (t0), k = 1, . . . ,m de las correspondientessalidas de los integradores. Por lo tanto, estas señales se pueden seleccionar en calidadde variables de estado del sistema dinámico descrito por la ecuación (1.105). En corres-pondencia con las expresiones (1.127), (1.128) y (1.129), las respectivas ecuaciones paraestas variables de estado tienen la forma,

x1 (t) = y (t)

x2 (t) =dx1

dt+ αm−1y (t) − βm−1u (t)

· · · · · ·

xm (t) =dum−1

dt+ α1 (t) − β1u (t)

dxmdt

= −α0y (t) + β0u (t)

El sistema de ecuaciones de estado obtenidas para el sistema (1.105), al ser repre-sentadas mediante la ecuación equivalente de primer orden (1.121), implica el cálculode nuevo de las correspondientes matrices en (1.123). En particular, se obtiene,

A =

−αm−1 1 0 · · · 0−αm−2 0 1 · · · 0· · · · · · · · · · · · · · ·−α1 0 0 · · · 1−α0 0 0 · · · 0

,B =

βm−1

βm−2...β1

β0

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- - --

6

-u(t) x(t) x(t)

Am×m

C1×m∫

m×1y(t)

Ax(t)

Bm×1Bu(t)

Figura 1.29: Modelo matricial de un sistema lineal con dimensión m

- -

- -

- -

a)

b)

u1(t) y1(t)

u2(t) y2(t)

u(t) y(t)

x1(t)m×1

x2(t)n×1

x(t)(m+n)×1

Figura 1.30: Ejemplo de sistemas conjuntos

La representación para la señal de salida sigue siendo la misma que se presentaen (1.124). La ilustración del modelo de sistema de dimensión múltiple mostrada enla Figura 1.28 puede ser simplificada, empleando dispositivos matriciales con variasentradas y salidas, como se observa en la Figura 1.29.

Las ecuaciones (1.122) y (1.124) se pueden emplear para la representación de sis-temas con parámetros variables en el tiempo descritos en forma generalizada por laexpresión (1.97). Sin embargo, en este caso las matrices (1.123) serán dependientes deltiempo, por lo cual la descripción del modelo se hace en la forma

dx

dt= A (t) x (t) + B (t)u (t)

y (t) = C (t)x (t)(1.130)

para t ≥ t0 y un vector dado de condiciones iniciales x (t0).

Ejemplo 1.18. Sea el par de sistemas unidos, como se muestra en la Figura 1.30a), descritospor el modelo

dxi

dt= Ai (t)xi (t) + Bi (t)ui (t)

yi (t) = Ci (t)xi (t) , ∀t ≥ t0; i ∈ 1, 2 ,

donde xiri×1(t), ri ∈ m,n. Hallar los parametros del modelo conjunto (Figura 1.30b)).

La ecuacion vectorial unica del sistema conjunto tiene la misma estructura que (1.130) con los

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siguientes vectores unicos de estado y de las senales de entrada y salida, respectivamente,

x (t) =

[x1 (t)· · ·

x2 (t)

], z (t) =

[z1 (t)· · ·

z2 (t)

], z ∈ u,y

con la correspondiente estructura de matriz de parametros,

P (t) =

[P1 (t) 0

0 P2 (t)

], P ∈ A,B,C , Pi ∈ Ai,Bi,Ci , i ∈ 1, 2

1.5.2. Solución de la ecuación de estado

El sistema diferencial de estado (1.130) tiene solución dependiendo de la clase de ecua-ción que se analice. En particular, se pueden considerar los siguientes casos:

Ecuación homogénea con coeficientes constantes. En vez del modelo (1.122), seconsidera la ecuación diferencial

dx

dt= Ax (t) , t ≥ t0 (1.131)

con condiciones iniciales x (t0) , t ≥ t0. Cuando x (t) =⇒ x (t) se considera una funciónescalar, para (1.131) se tiene la solución en la forma,

x (t) = eA(t−t0)x (t0) (1.132)

La misma estructura de solución se considera para el caso vectorial,

x (t) = eA(t−t0)x (t0)

donde eAt = I + At + (At)2

2! + · · · + (At)n

n! . Además, si la matriz A es de orden n × n, en-tonces cualquier polinomio o serie convergente de A, puede ser descrita en forma decombinación lineal de los términos I, A, . . . ,An.

Sea la notación de la función matricial Φ (t− t0) , eA(t−t0), denominada matriz de

transición de estado, y de la cual se necesitan las siguientes condiciones:

Φ (t0 − t0) = I

d

dtΦ (t− t0) = A (t)Φ (t− t0)

d

dtΦT (t, t0) = −AT (t0)Φ (t, t0)

Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial homogénea tiene forma

x (t) = Φ (t− t0)x (t0)

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Ecuación homogénea con coeficientes variables. Cuando las respectivas matricesson variables del tiempo de acuerdo al modelo (1.130). En este caso, se introduce lamatriz de transición de estado como función de dos variables, Φ (t, t0) = eA(t,t0), la cualcumple la siguiente ecuación diferencial:

d

dtΦ (t, t0) = A (t)Φ (t, t0) , Φ (t0, t0) = I

con las siguientes propiedades adicionales, para t0 < t1 < t2,

Φ (t2, t0) = Φ (t2, t1)Φ (t1, t0) ,

Φ−1 (t1, t0) = Φ (t0, t1)

En realidad, una expresión compacta para Φ (t, t0) es difícil de obtener. Sin embargo,en la práctica, es más importante que saber ésta expresión existe y que posee ciertaspropiedades. Si es necesario hallar la matriz de transición de estado, se recurre a méto-dos numéricos.

En general, la solución del caso homogéneo con parámetros variables se puede re-presentar en la forma,

x (t) = Φ (t, t0) x (t0) , t ≥ t0

Ecuación no homogénea con coeficientes variables. La solución general de (1.122)tiene la forma

x (t) = Φ (t, t0) x (t0) +

t∫

t0

Φ (t, τ)B (τ)u (τ) dτ (1.133)

donde la matriz de transición de estado Φ (t, t0) cumple las condiciones [19]:

Φ (t0, t0) = I, (Φ (t, τ))−1 = Φ (τ, t) ,

d

dtΦ (t, τ) = A (t)Φ (t, τ)

d

dtΦT (t, τ) = −AT (τ)ΦT (t, τ)

Φ (t, τ)Φ (τ, θ) = Φ (t, θ)

La solución (1.133) contiene dos componentes: la primera, que corresponde a lasoscilaciones libres, y la segunda, que corresponde alas oscilaciones forzadas. Por cierto,para que el sistema se mantenga estable, el primer término debe atenuarse en el tiem-po, de tal manera que el vector de estado se determine, más bien, por la componenteforzada, la cual puede ser obtenida como solución del mismo modelo (1.122), pero concondiciones iniciales nulas.

Los sistemas lineales con múltiples entradas y salidas que presenten parámetrosvariables, a partir de (1.92), pueden ser descritos por la matriz cuadrada de la respuestaimpulso h (t, τ) en la forma,

y (t) =

t∫

−∞

h (t, τ)u (τ) dτ (1.134)

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En muchos casos reales, cuando t0 → −∞, en (1.133) se puede despreciar el primertérmino, con lo cual de (1.122) y (1.133) se obtiene,

y (t) = C (t)

t∫

−∞

Φ (t, τ)B (τ) u (τ) dτ (1.135)

Así mismo, de las expresiones (1.134) y (1.135) se deduce que,

h (t, τ) =

C (t)Φ (t, τ)B (τ) , τ ≤ t

0, τ > t(1.136)

Se debe tener en cuenta que las tres matrices, que hacen parte de la definiciónde la respuesta a impulso en (1.136), dependen del método elegido de disposición delvector de estado del sistema considerado en cada caso concreto, y por lo tanto, paraun mismo sistema estas pueden ser diferentes. Sin embargo, la respuesta a impulsomatricial h (t, τ) para un sistema dado es única.

Relacionados con los sistemas dinámicos se tienen los tres siguientes conceptos:

1. Controlabilidad. El vector único de control u existe solo y únicamente cuando secumple,

rank

([An−1B

...An−1B... · · · ...B

])= n

2. Observabilidad. La única solución x (0) existe solo y únicamente cuando se cumple,

rank

([CT

...ATCT... · · · ...AT n−1CT

])= n

3. Identificabilidad. La única solución A existe solo y únicamente cuando se cumple,

rank

([x (0)

...Ax (0)... · · · ...An−1x (0)

])= n

En general, existe una transformación lineal de las coordenadas de estado, en laforma z = Fx, tal que del sistema conformado por las ecuaciones (1.122) y (1.124) seobtiene el modelo,

z = Az + Bu

y = CTx

donde

A =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · 1

−an −an−1 −an−2 · · · −a1

, B = FB, C =

10...0

,F =

CT

CTA...

CTAn−1

(1.137)

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Versio


En concordancia con los valores de las matrices en (1.137), el modelo (1.122) sepuede reemplazar por la ecuación diferencial escalar del tipo,

dny

dtn+ a1

dn−1

dtn−1+ · · · + any = b1

dn−1u

dtn−1+ · · · + bnu, bi =

i−1∑

k=0

ai−kgk + gi (1.138)

En los sistemas lineales, cuando las matrices A (t) ,B (t) y C (t) muestran depen-dencia del tiempo, se puede encontrar la correspondiente representación en forma deecuación diferencial (1.138), con los siguientes coeficientes:

bi (t) =i−1∑

k=0

i−k∑

l=0

Cn−1n+l−1ai−k−l

d

dtlgk (t) + gi (t)

La representación del sistema por las expresiones (1.137) y (1.138), frecuentementees más cómoda para su análisis en procesadores digitales.

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n 4.1

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n 4.1

Capítulo 2Representación de señales y

sistemas discretos

La reconstrucción completa de cualquier función continua xc(t) dada sobre un in-tervalo de análisis de tiempo Ta, puede realizarse si se dispone de la informaciónde sus valores instantáneos dados sobre el intervalo de análisis, de tal manera que

la distancia entre los valores sea infinitamente pequeña.

2.1. Discretización de señales continuas

2.1.1. Discretización uniforme

El empleo de sistemas discretos en campos donde las señales son continuas suponela previa adaptación, esto es, a la discretización de las señales continuas. El modeloconveniente del procedimiento ideal de discretización o muestreo de una señal continuaxc(t) está dado por su multiplicación con la señal periódica de discretización xd(t), enorden a obtener la señal discretizada x(t):

x(t) = xc(t)xd(t) =∑

k

xc(k∆t)δ(t− k∆t) (2.1)

donde xd (t) =∑∞

k=−∞ δ (t− k∆t), siendo ∆t el período de discretización. A partir de laexpresión (2.1) se observa que la señal discretizada x(t) se define solamente en los mo-mentos equidistantes de tiempo t = k∆t, luego entonces, parte de la información de laseñal original xc(t) sería perdida durante su discretización.

Teorema 2.1 (Discretización de Kotiélnikov). Si en una señal continua xc(t) no

se contienen componentes espectrales de frecuencia mayores a

Ω = 2πfmax[rad/s] (2.2)

donde fmax es el máximo valor de frecuencia para la cual X(ω) 6= 0, entonces, to-

da la información sobre esta señal estará enteramente contenida en los valores89

german

Highlight

german

Highlight

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n 4.190 Capítulo 2. Representación de señales y sistemas discretos

xc(n∆t), asegurando de que se cumpla:

∆t < 1/2fmax (2.3)

El teorema 2.1 permite representar la señal continua xc(t) en forma de la serie:

xc(t) =∞∑

k=−∞xc(k∆t)

sinωmax(t− k∆t)

ωmax(t− k∆t)(2.4)

Al comparar la serie (2.4) con la representación (1.25), se observa que las funcionesbase de descomposición serán las siguientes:

φk(t) =sinωmax(t− k∆t)


La serie de Kotiélnikov (2.4) permite el restablecimiento de la función xc(t), en cual-quier momento del tiempo t, en particular, para los momentos t = k∆t, se obtiene:

x(k∆t)=1

2π

ωmax∫

−ωmax

X(ω)ejk∆tωdω

Por cuanto el integral interior es igual a:

1

2π

ωmax∫

−ωmax

X(ω)ejk∆tωdω =ωmax

π


ωmax(t− k∆t)

Entonces, el valor buscado de la función en el punto t = k∆t será:

xc(k∆t) =ωmax

π

∞∫

−∞

xc(t)sinωmax(t− k∆t)

ωmax(t− k∆t)dt (2.6)

La comparación de los valores obtenidos en (2.6) con los valores definidos en (1.29),muestra que son los mismos coeficientes de la serie de Fourier, asumiendo que se cum-ple la relación, tf − ti = Ta = ωmax/π, y por lo tanto, determinan la función xc(t). Sinembargo, el restablecimiento de la función inicial xc(t) exige realizar la suma de la serie(2.4), en forma general, sobre una cantidad infinita de sumandos, lo cual prácticamentees imposible. De otra manera, el empleo del teorema de discretización conlleva inevita-blemente a errores de representación.

Sea la la descomposición infinita (2.4) aproximada por la siguiente serie truncada:

_xc(t) ≈

N/2∑

k=−N/2xc(k∆t)



donde _x corresponde a la versión aproximada de la señal continua original, determinada

a partir de N valores de discretización, tales que

N =Ta∆t

+ 1 = 2fmaxTa + 1 ≈ 2fmaxTa (2.8)

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n 4.12.1. Discretización de señales continuas 91

Se observa que el error de representación en la serie (2.7) es mayor en la medidaen que menor sea la cantidad N de sus sumandos, y viceversa. Por cuanto, la funciónsinc(·) = 0 en todos los valores m∆t, excepto en k = m, entonces los valores de _

x y xc(t)coincidirán en los puntos k∆t. Por el contrario, en la mitad de los intervalos se observarála influencia de la mayor cantidad de elementos de la serie truncada, por lo que el errorde representación será el mayor.

Otra fuente de distorsión, durante la discretización de señales está relacionada conel hecho de que las señales sean definidas sobre intervalos finitos de tiempo (soportecompacto), por lo que sus ancho de banda será infinito, haciendo imposible tomar unvalor real en (2.3). Sin embargo, las propiedades de los espectros reales son tales, quesobre un ancho de banda finito se concentra la mayoría significativa de su energía,por lo cual las componentes espectrales que estén por fuera de este ancho de bandaconsiderado pueden ser despreciadas.

El análisis detallado de las funciones base (2.5) muestra que su fde es igual a:

F φk(t) =

∞∫

−∞


ωmax(t− k∆t)e−jωtdt =

π

ωmaxe−jkω∆t, ω ≤ ωmax

0, ω > ωmax

cuya magnitud es constante, |F φk(t)| = π/ωmax,∀ω ∈ [0, ωmax].

Al aumentar el valor del ancho de banda de la señal continua, tal que ωmax → ∞,y por tanto, ∆t = π/ωmax

→ 0, por lo que se puede afirmar que al discretizar una señalcon espectro uniforme y ancho de banda infinito se obtiene la función delta definidaen (1.6), para la cual, el caso analizado corresponde al integral de Duhamel (1.8), cuyaaproximación (1.9), tiene como valores de descomposición los pulsos cuadrados de laforma

φk(t) = φk(t− k∆t) =

1/∆t, k∆t ≤ t ≤ (k + 1)∆t

0, k∆t > t, t > (k + 1)∆t

De acuerdo con la siguiente expresión:

X(π/∆t) =

Ta∫

0

x(t)ej2πn/∆tdt = ∆txn,

teniendo los valores discretizados de la función X(f) en los puntos, distanciados a in-tervalos 1/∆t en el dominio de la frecuencia [−fmax, fmax], se puede encontrar el númerode valores discretos necesario para la descripción de la función x(t):

N =2fmax1/Ta

= 2fmaxTa,

que corresponde al mismo número obtenido en (2.8), para el caso de discretización en eltiempo.

Las señales discretas son únicamente definidas para valores discretos del tiempo y,si explícitamente no se ha dicho lo contrario, estas pueden asumir cualquier valor, o sea,no todas las veces son digitales.

Los valores sucesivos son separados por la distancia del intervalo de discretización∆t, que para algunos efectos se tomará igual a 1, i.e.,

xc(n∆t) = xd[n]

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2.1.2. Funciones discretas singulares

sss

s s s s sss6

-

6

6

-

6 6 6 6 61

0 k − 1k k + 1 n

1

0 k − 1k k + 1

δ[n]

n

u[n]

· · ·

a)

b)

Figura 2.1: Funciones singulares

Pulso unitario discreto. Esta funcióncumple el mismo papel en los sistemas dis-cretos que la función delta definida en (1.6)para los sistemas continuos. El pulso uni-tario discreto se define como (Figura 2.1a)):

δ[n− k] =

1, n = k

0, n 6= k(2.9)

Por analogía al caso de representación(1.100) de una señal por medio de la fun-ción delta para los sistemas continuos, enlos sistemas discretos se puede representaruna señal por medio de la función de pulsodiscreto unitario (2.9):

x[n] =∞∑

i=−∞x[i]δ[n− i], (2.10)

Escalón unitaria discreta. Mostrada enla Figura 2.1b) y definida como:

u[n− k] =

0, n < k

1, n ≥ k(2.11)

Teniendo en cuenta (2.10) se obtiene u [n] =∑∞

i=−∞ u [i] δ [n− i], y por lo tanto

u[n] =

∞∑

i=0

δ[n− i],

Seno y coseno discreto. Definidas como:

xs[n] = a sin(nΩ + ϕ) = a sin

(2πn

p

)(2.12a)

xc[n] = a cos(nΩ + ϕ) = a cos

(2πn

p

)(2.12b)

donde a es la amplitud, Ω es la fase relativa, ω = Ω/T es la frecuencia absoluta, ϕ la fasey T el valor del periodo de discretización de la señal. Si p > 0 corresponde a un númeroracional del tipo p1/p2, entonces xs[n], xc[n] son funciones periódicas y se repetirán cadap1 muestras, esto es, x[n+mp1] = x[n]. Si por el contrario p1 es irracional, entonces estasfunciones discretas no serán periódicas.

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2.1.3. Transformada de Fourier de una señal discreta

En forma general, una señal discreta x[nT ] se puede representar mediante el par detransformadas de Fourier (1.57) de la forma:

x [nT ] = F−1X(ejωT

)=

T

2π

πT∫

− πT

X(ejωT

)ejωnTdω, (2.13)

X(ejωT ) = F x[kT ] =∞∑

k=−∞x[kT ]e−jkωT , (2.14)

en donde la variable ω en el argumento de X(·) o espectro discreto se ha cambiado porejωT para dar énfasis al hecho de que el espectro discreto es periódico con período 2π/T .

Esta es tal vez una de las más importantes diferencias entre la transformada de Fou-rier de una señal continua y la de una señal discreta. De hecho, la ecuación (2.14) corres-ponde a la representación en serie de Fourier de la señal continua periódica X(ejωT ),mientras la expresión (2.13) corresponde a los valores de la secuencia x[nT ] dada en elintegral (1.28) que se calcula en la serie de Fourier de la función periódica X(ejωT ).

00

0

x [nT ]

T

k − 1 k1 2 k + 1 · · ·· · · nT −ωmax ωmax 3ωmax 5ωmax

intervalofundamental

X(ejωT

)

Figura 2.2: Intervalo fundamental

En (1.26), la señal descrita es representada como la superposición de exponencialesdel tipo ejnΩ con varios armónicos. Una exponencial con frecuencia ω + 2πm, ∀m ∈ Z

pasará exactamente a través de los mismos tiempos de muestreo que la función expo-nencial con frecuencia ω, ejnΩ = ej(Ω+2πm)n. Por esta razón la transformada directa de

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Fourier de una señal discreta tiene que ser función periódica de la frecuencia. Así, larepresentación del espectro discreto se deberá realizar en un solo intervalo definido conel ancho ∆ω = 2π/T . Debido a la simetría de los espectros, este intervalo, generalmentese toma −π/T ≤ ω ≤ π/T y se denomina intervalo fundamental como se ilustra en laFigura2.2.

En la representación de procesos discretos es frecuente el empleo de la frecuencia

relativa, Ω = ωT, entonces, el par de transformadas de (2.13) y (2.14) serán:

X(ejΩ) =∞∑

n=−∞x[n]e−jnΩ, (2.15)

que le corresponde,

x[n] =1

2π

π∫

−π

X(ejΩ)ejnΩdΩ, (2.16)

Ejemplo 2.1. Hallar la transformada de Fourier directa de un pulso rectangular discreto,

p[n] =

1, |n| ≤ N/2

0, |n| > N/2

Aplicando (2.15) se obtiene:

P (ejΩ) =∞∑

n=−∞

p[n]ejnΩ =

N/2∑

n=−N/2

ejnΩ =sin[(n+ 1)Ω/2]

sin(Ω/2),

La ultima suma puede ser evaluada con ayuda de la expresion

N∑

n=M

an =aM − aN+1

1 − a

La funcion P (ejΩ) es llamada el nucleo de Dirichlet [15].

La TF (2.15) exige la convergencia de la sumatoria infinita dada en (2.16),

∣∣X(ejΩ)∣∣ =

∣∣∣∣∞∑

n=−∞x[n]e−jΩn

∣∣∣∣

≤∞∑

n=−∞|x[n]|

∣∣e−jΩn∣∣ =

∞∑n=−∞

|x[n]|

Si la suma∑∞

n=−∞ |x [n]| es finita, entonces∣∣X(ejΩ)

∣∣ también será finito. Así por ejem-plo, en el caso concreto de x[n] = anu[n], cuya transformada de Fourier se calcula como:

|X(ejΩ)|= |∞∑

n=−∞anu[n]e−jΩn| ≤

∞∑

n=0

|a|n|e−jΩ|n =1

1 − |a|

La anterior serie converse, si |a| < 1.

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Al utilizar el par de expresiones (2.15) y (2.16), es importante tener en cuenta laforma en que las propiedades de la señal discreta se manifiestan en la transformada deFourier y viceversa. Las siguientes son algunas de esas propiedades:

(a). Linealidad: Sea F αixi[n] = αiXi

(ejΩ), donde αi = cte, entonces

F

∑αkxk[n]

=∑

αkXk

(ejΩ)

(2.17)

(b). Desplazamiento en el tiempo:

Fx[n− k] = ejkΩX(ejΩ)

(2.18)

(c). Desplazamiento en la frecuencia:

Fx[n]ejnΩ0 = X(ej(Ω−Ω0)

)

(d). Convolución en el tiempo:

Fxk[n] ∗ xl[n] = Xk

(ejΩ)Xl(e

jΩ),

donde la convolución de dos secuencias discretas se definirá como:

xk[n] ∗ xl[n] =∞∑

i=−∞xk[i]xl[n− i]

(e). Convolución en la frecuencia:

Fxk[n]xl[n] =1

2πXk

(ejΩ)∗Xl(e

jΩ),

donde Xk

(ejΩ)∗Xl

(ejΩ)

=

π∫

−π

Xk

(ejv)Xl

(ej(Ω−v)) dv.

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Problemas

Problema 2.1. La señal análoga x(t) tiene espectro con frecuencia máxima fmax = 7.5 MHz, la cual parasu proceso es registrada en un intervalo de T = 60 µs, con ayuda de un dispositivo que discretiza la señal conun intervalo de muestreo en 4 veces menor que el establecido por la relación (2.3). La resolución de entrada deldispositivo de muestreo es configurable para los valores 8, 12 y 16 Bits por muestra. Hallar el monto de memoriarequerida en cada caso de resolución para la grabación del intervalo de señal.

Problema 2.2. Sea la señal de video x(t) = x0 exp (−αt) u(t). Seleccionar el valor del intervalo de muestreo∆, de tal manera que la magnitud de la densidad espectral en la frecuencia límite ωmax se disminuye hasta elvalor de 0.01X(0).

Problema 2.3. Dada la señal del problema anterior, estimar el valor X+(0), correspondiente al aporte enla componente espectral cero debido a las réplicas cercanas del espectro original de la señal, que se tienen en lasfrecuencias ±2π/∆.

Ejercicio en el PC 2.1. [Matlab ] Las funciones discretas de pulso unitario, escalón unitario y funciónrectangular ubicadas en la M posición de una arreglo de longitud N > M , respectivamente se generan de lasiguiente manera:

N=50; M=15; % Escala de tiempo%pulso unitario discretodelta=[zeros(1,M-1),1,zeros(1,N-M)];subplot(311),stem(delta)%Funcion escalon unitariou=[zeros(1,M-1),ones(1,N-M+1)];subplot(312),stem(u)%Funcion rectangularrect=[zeros(1,M-1),ones(1,M),zeros(1,N-2 * M+1)];subplot(313),stem(rect)

Ejercicio en el PC 2.2. [Matlab ] Representar la función discreta de pulso con diferentes formas deonda dadas por la expresión:

x(t) =∑

k

φ(t− τk)

%Funcion discreta de tren de pulsos de diferentes formast = 0 : 1/50E3 : 10E-3;% base de tiempotau = [0 : 1/1E3 : 10E-3 ; 0.75.^(0:10)]’;% form - forma de pulsos: ’gauspuls’,’rectpuls’,’tripuls’form=’gauspuls’; x = pulstran(t,tau,form,5E3,.5);% Salida gráficaplot(t,x)

Ejercicio en el PC 2.3. [Matlab ]. Sea una señal seno x(t) dada en el intervalo de tiempo [0, 1].Hallar su representación discretizada a una velocidad de muestreo 0.01.

%Representacion continua y discretizada del Senot=0:.01:1; % base de tiempoa=1; arm=2; phi=pi/8,% a - Amplitud, arm - armonico, phi - des faseomega=2* pi * arm; % frecuencia angularx=sin(omega * t+phi);subplot(211),plot(t,x), % Representacion continua (inte rpolada)subplot(212),stem(t,x), % Representacion discretizada

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n 4.12.2. Transformadas ortogonales discretas 97

2.2. Transformadas ortogonales discretas

2.2.1. Implementación de bases ortogonales discretas

La implementación de cualquier forma de representación integral de señales (por ejem-plo, la Transformada de Fourier (2.14)) sobre sistemas reales de proceso digital para unaseñal discreta dada x[n], se encuentra con dificultades insuperables. El problema básicoes la necesidad de disponer dispositivos de almacenamiento con memoria infinita parapoder guardar, tanto la infinita cantidad de valores de la serie de entrada x[n], como elconjunto de valores del continuo de la respectiva representación espectral H(ejΩ ).

Empleando el modelo de las respectivas bases continuas en la representación ge-neralizada de Fourier dada en (1.50), y a efectos de realización práctica, el conjunto detransformadas ortogonales discretas se define estrictamente sobre secuencias discre-tas x[n] con longitud finita N , o bien sobre secuencias periódicas con periodo N , de lasiguiente forma:

x[k] =1

PkNN−1∑

n=0

v[n]φ∗k[n], k = 0, 1, . . . , N − 1 (2.19a)

v[n] =N−1∑

k=0

x[k]φn[k], n = 0, 1, . . . , N − 1 (2.19b)

siendo Pk la potencia media de la base φk definida (1.40). El par de expresiones (2.19a)y (2.19b) es preferible representarlo en forma matricial:

xN×1 =1

PkNΦN×NvN×1 (2.20a)

vN×1 = ΦTN×NxN×1 (2.20b)

donde an×k corresponde a la matriz con dimensión n× k.Entre los diferentes conjuntos ortogonales analizados en la sección §1.2.4, en el

proceso digital de señales moderno encuentran aplicación las trasformadas discretasde Fourier con sus respectivos casos particulares de la T. Hartley y la T. discreta decosenos, la de Walsh y Haar, entre otras.

2.2.2. Transformada discreta de Fourier

En este caso, en calidad de sistema base se emplea la base ortogonal exponencial defi-nida en (1.26) en su forma discreta:

φk(n) = ejkn2π/N , W knN , n = 0, 1, . . . , N − 1 (2.21)

El término WN = ej2π/N se denomina factor de pivote y cumple la condición de orto-gonalidad:

N−1∑

n=0

W knN W−mn

N =

N, (k −m) = lN, l ∈ Z

0, (k −m) 6= lN(2.22)

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Así mismo, este factor es periódico con periodo N , tanto en el sentido de la variablede frecuencia n, como el de la variable de tiempo k:

W knN = W

(k+N)nN = W

k(n+N)N (2.23)

Teniendo en cuenta las expresiones (2.21), (2.22) y (2.23), se determina el par detransformadas discretas de Fourier (TDF) en función del factor de pivote de las siguientemanera:

x[k] =1

N

N−1∑

n=0

X(n)W knN , k = 0, 1, . . . , N − 1 (2.24a)

X[n] =N−1∑

k=0

x[k]W−knN , n = 0, 1, . . . , N − 1 (2.24b)

El sistema de transformadas (2.24a) y (2.24b) establecen la relación mutua e unívocaentre los valores de la serie de entrada x[k] y su representación discreta espectral X(n).por cuanto el factor de pivote es periódico, entonces el espectro discreto de Fourier de laseñal también es periódico:

X(n) = X (n+mN) , m = ±1,±2, . . . (2.25)

Las principales propiedades de la TDF se muestran en la Tabla 2.1.

Propiedad Descripción

Linealidad Sea F αix[k] = αiX[n], αi = cte,entonces, F ∑αlxl[k] =

∑αlXl[n]

Conjugada compleja Sea Fx[k] = X[n], siendo N ∈ par, x[k] ∈ R

X[N/2 + l] = X∗[N/2 − l], l = 0, 1, . . . , N/2 − 1

Retardo en el tiempo F x[k − l] = W−nlX[n], l = 1, 2, . . . , N − 1

Desplazamiento espectral Fx[k]W kl

= X[n− l]

Convolución en tiempo Fx1[k] ∗ x2[k] = X1[n]X2[n]

siendo x1[k] ∗ x2[k] =1

N

N−1∑n=0

x1[n]x2[l − n], l = 0, 1, . . . , N − 1

Convolución en frecuencia F x1[k]x1[k] =1

2πX1[n] ∗X2[k]

Tabla 2.1: Propiedades de la TDF

La TDF puede ser expandida utilizando la relación de Euler en la forma:

X(k) =N−1∑

n=0

x[n]e−j2πnk/N =N−1∑

n=0

x[n] (cos(2π/N)nk − j sin (2π/N)nk)

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u[n] v[n] U(k) V (k)parte real parte imaginaria parte real parte imaginaria

x[n] x[n] X(k) X(k)par 0 par 0

impar 0 0 par0 par 0 impar0 impar impar 0

Tabla 2.2: Paridad e imparidad en la TDF

El análisis de la anterior expresión da como resultado las propiedades sobre paridade imparidad de la transformada discreta de Fourier, mostradas en la Tabla (2.2). De otraparte, si x[n] es real pero no es ni par ni impar, se podrá demostrar que la respectivatransformada discreta de Fourier tendrá partes real par e imaginaria impar diferentesde cero. Además, para una secuencia compleja x[n] de longitud N , se tienen 2N gradosde libertad, una x[n] real tiene N grados y una x[n] real par posee solo N/2.

Sea dada la señal continua x(t) con base finita N = 2fmaxTc, siendo el valor defrecuencia máxima fmax en el intervalo de análisis Ta. La relación entre su transformadade Fourier (1.57) con la respectiva TDF en (2.24b), puede ser obtenida a partir de larepresentación para la señal continua en forma de la siguiente serie truncada (2.4):

x(t) =N−1∑

k=0

x (k∆t)sin 2πfmax (t− k∆t)

2πfmax (t− k∆t)

cuya densidad espectral es igual a:

X(ejω) =

∞∫

−∞

N−1∑

k=0

x(k∆t)sin 2πfmax(t− k∆t)

2πfmax(t− k∆t)e−jωtdt

=N−1∑

k=0

x(k∆t)

∞∫

−∞

sin 2πfmax(t− k∆t)

2πfmax(t− k∆t)e−jωtdt (2.26)

La integral (2.26) corresponde a la densidad espectral de la función desplazada en eltiempo de los valores discretos y que da como resultado ∆te−jk∆tω. De esta manera, setiene que

X(ejω) = ∆tN−1∑

k=0

x(k∆t)e−jkω∆t,−2πfmax ≤ ω ≤ 2πfmax

El espectro en los puntos ω = kΩ, k = 0,±1,±2, · · · ,±N/2, Ω = 2π/Ta se obtiene como

X(ejlΩ)= ∆tN−1∑

k=0

x(k∆t)e−jk∆tlΩ = ∆tN−1∑

k=0

x(k∆t)e−jkl2π/N (2.27)

Al comparar (2.24a) y (2.27), y teniendo en cuenta la propiedad de conjugada com-

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pleja (Tabla 2.1) se obtiene

x[k] =

1

TaX(ejkΩ

)k = 0, 1, · · · , N/2

1

TaX(ej(l−N/2)Ω

)k = l +N/2, l = 1, 2, · · · , N/2 − 1

q qq q q q q qqqqp

6

-

6

-

...........................................

....................................................

.......................................................

.............................................................

...........................................................

..................................................

...............................

........................

..........................

.................................

.....................

-

6

-

6

..........................

........................

.............................................................................................................. .................

...................................................................

.... ................................................................................................................... .............

.............................

.......................................................................................................

.............................

.......................................................................................................

.... ................................................................................................................... .............

t t

x(t) x (k4t)

ω ω

X (ω) X(ejkΩ

)a) b)

c) d)

Figura 2.3: Discretización de señales

La relación entre la TDF y la serie deFourier, teniendo en cuenta que tanto loscoeficientes de la serie de descomposicióncomo los valores discretos de la densidadespectral cumplen la relación en la forma,xk = X

(ejkΩ

)/Ta, por lo tanto

x[k] =

xk, k = 0, 1, · · · , N/2x−N/2+l, k = N/2 + l,

l = 1, 2, · · · , N/2 − 1

De esta manera, en caso de tener se-ñales con bases finitas N , los coeficientesx[k], k = 0, 1, 2, · · · , N/2 coinciden con loscoeficientes de la serie de Fourier. En la Fi-gura 2.3, se muestran respectivamente laseñal continua original en el tiempo (a), sucorrespondiente espectro (b), la señal dis-cretizada (c) y su espectro (d).

En el desarrollo de algoritmos de implementación práctica de la TDF es preferibleemplear su descripción matricial:

xN×1 =1

NWNXN×1 (2.28a)

XN×1 = WTNxN×1 (2.28b)

2.2.3. Extensiones de la transformada discreta de Fourier

Existen diferentes transformadas derivadas de la Transformada discreta de Fourier, quehan servido a la solución de diferentes problemas, entre las cuales están las siguientes:

TDF de datos reales. En la práctica, los datos a procesar son reales y el empleo dealgoritmos orientados a manejar datos complejos se torna ineficiente.

Sea la TDF de una secuencia real de datos con longitud 2N , entonces, dos secuenciasde longitud N pueden ser formadas correspondientemente para los índices de muestreopares e impares:

u[n] = x[2n]

v[n] = x[2n+ 1]

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Las dos TDF de longitud N pueden ser calculadas simultáneamente, empleando otratransformada discreta de Fourier, pero compleja de longitud N , formada artificialmentea partir de las señales reales en la forma

h[n] = u[n] + jv[n]

Las respectivas TDF de u[n] y v[n] se pueden calcular de la TDF h[n] usando laspropiedades de la Tabla (2.2), que asegura la existencia de las partes real e imaginariaen la TDF de u[n] y v[n].

La TDF de la señal original x[n] puede ser encontrada de las TDF de u[n] y v[n]empleando la propiedad de periodicidad (2.25), obteniendo

U(k) = Fu[n] = bX(k) +X(k +N/2)c

aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo mostrada en la Tabla (2.1):

V (k) = Fv[n] =⌊X(k)W k +X(k +N/2)W k+N/2

⌋/2

resolviendo ambas ecuaciones para X(k) se obtendrá

X(k) = U(k) + V (k)W k2N (2.29)

De las propiedades de la Tabla (2.2) se observa que si x[n] ∈ R, entonces, los valoresde X(k) para k = N, · · · , 2N − 1 son los mismos dados por (2.29), por lo tanto, la TDF dex[n] de longitud 2N puede ser encontrada de dos TDF de longitud N , así

H(k) = Fh[n] = R(k) + jI(k)

entonces U(k) será la parte par de R + j (parte impar de I), mientras V (k) será la partepar de I − j (parte impar de R).

Ambas partes U(k) y V (k) combinadas en (2.29) dan la TDF de la señal real x[n].La ventaja de esta representación puede consistir en menores exigencias de memoria acosta de unas cuantas operaciones de cálculo extras [20].

Transformada discreta de cosenos (TDC). Se define en la forma:

y (k) = α (k)N−1∑

n=0

x (n) cos

(π (2n+ 1) k

2N

), k = 0, 1, · · · , N − 1

y su inversa es definida como:

x (n) =N−1∑

k=0

α (k) y (k) cos

(π (2n+ 1) k

2N

), n = 0, 1, · · · , N − 1

donde α (k) =

√1

N, k = 0

√2

N, k 6= 0

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En forma vectorial, la transformada se expresa como:

y = CTx

donde los elementos de la matriz C están dados por:

C (n, k) =1√N,k = 0,0 ≤ n ≤ N − 1

C (n, k) =

√2

Ncos

(π (2n+ 1) k

2N

), 1 ≤ k ≤ N − 1, 0 ≤ n ≤ N − 1

El par correspondiente para la TDC bidimensional es:

Y (k, l) = α (k)α (l)N−1∑

k=0

N−1∑

l=0

X (m,n) cos

(π (2m+ 1) k

2N

)cos

(π (2n+ 1) l

2N

)

X (m,n) =N−1∑

m=0

N−1∑

n=0

α (k)α (l)C (k, l) cos

(π (2m+ 1) k

2N

)cos

(π (2n+ 1) l

2N

)

La TDC es adecuada para el empaquetamiento de información útil para el procesa-miento de imágenes, en el sentido en que concentra la mayoría de la energía en unospocos coeficientes.

Transformada discreta de Hartley. La forma discreta de la Transformada de Hartley(1.65b) está dada por el respectivo par de expresiones:

H[n] =1

N

N−1∑

k=0

x[k] cas (2πnk/N) (2.30a)

x[k] =N−1∑

n=0

H[k] cas (2πnk/N) (2.30b)

La obtención de la TH discreta está basada en su propiedad de ortogonalidad:

N−1∑

n=0

cas (2πnk/N) cas (2πnl/N) =

N, k = l

0, k 6= l

con lo cual, al reemplazar el valor H[n] dado por (2.30a) en la expresión alterna (2.30b)se obtiene

N−1∑

n=0

H[n] cas (2πnk/N) =N−1∑

n=0

N−1N−1∑

l=0

x[l] cas (2πnl/N) (2πnk/N)

=1

N

N−1∑

l=0

x[l]N−1∑

n=0

cas (2πnl/N) (2πnk/N) =

1

N

N−1∑l=0

x[l]N = x[k], k = l

0, k 6= l

que confirma la validez en la relación de la transformada inversa.El coeficiente N−1 en la TH discreta se toma por analogía con la TFD. De la anterior

relación se observa que la TH discreta corresponde a los reales, por cuanto se consideraque x[k] es solamente de los reales.

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2.2.4. Transformada discreta de Walsh

La transformada discreta de Walsh (TDW) toma como sistema base Wal la versióndiscretizada de las funciones de Walsh dadas en (1.46) walk[n] : k = 0, 1, · · · , N − 1, yn = 0, 1, · · · , N − 1, siendo N = 2m,m ∈ Z, con periodo de discretización uniforme igual a∆t = 1/2m. Las funciones discretas de Walsh walk[n], forman un sistema ortogonal:

N−1∑

k=0

waln[k]wall[k] =

N, n = l

0, n 6= l

Además cumplen la propiedad multiplicativa walk[n]wall[n] = walk⊕l[n], donde x[m⊕n]corresponde al corrimiento diádico de la secuencia x[m] en n elementos.

El respectivo par de transformadas TDW en correspondencia con (2.19a) y (2.19b)se determina como:

x[k] =1

N

2m−1∑

n=0

v[n]walk[n], k = 0, 1, . . . , 2m − 1 (2.31a)

v[n] =

2m−1∑

k=0

x[k] walk[n], n = 0, 1, . . . , 2m − 1 (2.31b)

De manera similar, a como ocurre con el espectro de la TDF, el espectro de la TDWtambién es periódico: v[k] = v[k+ lN ], l ∈ Z. Sin embargo, ambas transformadas discretasguardan diferencias, en particular, en cuanto a las propiedades de retardo y convolución.En el caso de la TDF, la operación de multiplicación de los coeficientes espectrales porla función de pivote W−kl conlleva al desplazamiento de la serie discreta de tiempo en lintervalos discretos, mientras en la DTW, la multiplicación por el núcleo walk[l] conllevaal desplazamiento diádico de la señal en el tiempo:

x[k]walk[l] =1

N

2m−1∑

n=0

v[n]walk[n]walk[l]

=1

N

2m−1∑

n=0

v[n]walk[n⊕ l] =1

N

2m−1∑

n=0

v[n⊕ l]walk[n]

siendo l = 0, 1, · · · , N,N = 2m−1, por lo que cualquier desplazamiento que ocurre en elmarco de la secuencia original, está condicionado por la operación lógica de suma pormódulo 2.

En general, la propiedad de multiplicación de secuencias en la TDW (FW ) se describede la forma:

x1[k]x2[k] = F−1W

1

N

N−1∑

n=0

v1[n]v2[l ⊕ n]

Al igual que en la TDF, la descripción matricial de la TDW es importante en el desa-rrollo de los respectivos algoritmos de implementación sobre procesadores digitales, y la

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cual la corresponde a la siguiente:

xN×1 =1

NvNWalN×1 (2.32a)

vN×1 = WalTNxN×1 (2.32b)

donde WalN es la matriz cuadrada de la transformación de Walsh de orden N , cuya fila kcorresponde a la función walk[n], n = 0, 1, · · · , N − 1. Esta matriz es naturaleza simétrica:WalTN = WalN , por lo que la expresión (2.32b) puede ser simplificada hasta

vN×1 = WalNxN×1

Los elementos de la matriz de transformación de Walsh solamente pueden tomarlos valores restringidos de walk[n] = ±1, por lo que en el cálculo del las transformadasTDW (2.32a) y (2.32b) estrictamente se realizan operaciones de suma y resta, esto es, noexisten las operaciones más exigentes de realización como la multiplicación, que es loque ocurre en el desarrollo matricial de la TDF, en la cual además, los valores del factorde pivote, en forma general, son de representación compleja. Por lo anterior, se deduceque hay ventaja en los costos computacionales de desarrollo de la TDW sobre la TDF.

2.2.5. Transformada discreta de Haar

La Transformada Discreta de Haar (TDH) emplea, en correspondencia con los casosanteriores, el sistema base Har que es la versión discretizada de las funciones de Haardadas en (1.49) hark[n], n = 0, 1, · · · , N − 1, k = 0, 1, · · · , N − 1, siendo N = 2m,m ∈ Z, conperiodo de discretización uniforme igual a ∆t = 1/2m. Las funciones discretas de Haarhark[n], forman un sistema ortogonal:

2m−1∑

n=0

hark[n]harl[n] =

N, k = l

0, k 6= l

La descripción matemática de las funciones discretas de Haar se pueden obtener de(1.49):

harn[l] =

2k/2rk+1[l] rectT (l2k

2m− n(mod 2k)), n = 1, · · · , 2m − 1

1, n = 0,

El respectivo par de transformadas TDH se determinan como:

x[k] =1

N

2m−1∑

n=0

v[n]hark[n], k = 0, 1, · · · , 2m − 1 (2.33)

v[n] =2m−1∑

k=0

x[k] hark[n], n = 0, 1, · · · , 2m − 1 (2.34)

La descripción matricial de la TDH, importante en el desarrollo de los respectivosalgoritmos de implementación sobre procesadores digitales, corresponde a la siguiente:

xN×1 =1

NvNHarN×1

vN×1 = HarTNxN×1

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donde HarN×1 es la matriz cuadrada de orden N , con elementos Harkn = hark[n].

2.2.6. Transformada discreta wavelet

La representación discreta de la señal x(t) mediante la serie (1.15), empleando la defini-ción de los respectivos átomos en (1.83), requiere los parámetros asociados a la trasla-ción y escala, respectivamente [14]:

x(t) =∑

n

∑

m

xm,nφm,n(t)

donde xm,n son los coeficientes de la representación discreta de la señal.En el análisis de funciones con estructura compleja y variada, es conveniente usar

átomos de representación φm,n(t) cuya forma sea igualmente flexible. La primera clase defunciones wavelets son las funciones ortogonales, cuyas ventajas de empleo se explicanen el numeral §1.2. Sin embargo, existen casos en los cuales no se requieren basesortogonales. Entonces, la representación se puede ampliar a los conjuntos que incluyanlos núcleos bases conjugados o conjuntos base duales cuya condición (1.53), en estecaso corresponde a la expresión:

〈φl(t), θk(t)〉 = δ(l − k)

El empleo de pares de núcleos autoconjugados hace que se cumpla la condición(1.55), que para las bases discretas implica la ortonormalidad entre los respectivos nú-cleos. Por lo tanto, las expansiones mediante funciones wavelets que emplean los nú-cleos autoconjugados se denominan biortogonales y que para la función x(t) tienen laforma,

x(t) =∑

k

〈x(t), θk(t)〉φk(t) (2.35)

Los filtros wavelet asociados a las bases ortogonales generalmente tienen desfase nolineal, pero al debilitar tal condición en el proceso de información, se pueden conseguirfiltros de fase lineal, tanto para el análisis como para la reconstrucción de señales [21].En el caso de los sistemas biortogonales, siendo estos más complejos en su desarrollo,a la vez que requieren almacenar un conjunto adicional al de la primera expansiónortogonal (el conjunto dual), se tiene mayor capacidad de generalización. Además, lasfunciones wavelets biortogonales generan filtros wavelet de longitud más corta y condesfase lineal, lo cual en el caso de las expansiones wavelet ortogonales, difícilmentepodría conseguirse sin relajar la misma condición de ortogonalidad.

Como se indicaba en el análisis de la TWC, el conjunto de funciones ψa,b, de formainherente, presenta amplia redundancia. En este sentido, es importante extraer un ciertosubconjunto discreto ψa,b ∈ F , tal que caracterice completamente el espacio L2(R). Engeneral, la familia de funciones φl : l ∈ L dadas en cualquier espacio de Hilbert H sedenomina marco, si existen las constantes cmin > 0, cmax <∞, denominadas extremos delos marcos, tales que para todas las funciones x en H se cumpla la desigualdad, análogaa (1.23):

cmin ‖x‖2 ≤∑

l∈L|〈x, φl〉|2 ≤ cmax ‖x‖2, cmin ∈ R

+, cmax ∈ R

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El conjunto de las funciones φl ∈ H, que conforman el marco caracteriza el espacioH de manera completa, y por tanto permite reconstruir la función x ∈ H, por métodosnuméricos estables a partir de los coeficientes 〈x, φl〉.

Sin embargo, es de resaltar que en forma general, un marco no corresponde a unconjunto base, y entonces las funciones que lo conforman pueden ser linealmente de-pendientes. Si el conjunto de funciones φl ∈ H que conforman un marco, son indepen-dientemente lineales, entonces el conjunto corresponde a un conjunto base (aunque nosiempre ortogonal) y se denomina base de Riesz.

En el caso de las wavelet, los marcos están formados por una familia de vectoresφφφk : k ∈ k que representan la señal x(t) a partir de sus productos internos 〈x, φk〉 :k ∈ k, donde k es un conjunto de índices que puede ser de tamaño finito o infinito [12].En este sentido, una familia de funciones wavelet ψm,n(t) ∈ L2(R) : m,n ∈ Z constituyeun marco, para toda función x ∈ L2(R) si se cumple que:

cmin ≤∑

m,n | 〈x(t), ψm,n(t)〉 |2‖ x(t) ‖2

≤ cmax (2.36)

Esto es, la energía normalizada de los coeficientes en (2.36) está acotada por losvalores de cmin y cmax, respectivamente.

En forma general, los parámetros a y b que determinan, de manera correspondientela escala y el desplazamiento de la función wavelet, toman valores discretos. El valor dea se selecciona igual al exponente entero (positivo o negativo) del parámetro fijo de ex-pansión de la escala a0 > 1, esto es, a = am0 ,m ∈ Z. El parámetro de desplazamiento debecambiar en sincronía con la escala y, por tanto, también depende de m: b = nb0a

m0 , n ∈ Z,

siendo b0 > 0 un valor a priori fijo. De esta manera, la familia de funciones discretaswavelet tiene la forma:

ψm,n (t) = a−m/20 ψ

(a−m0 (t− nb0a

m0 ))

= a−m/20 ψ

(a−m0 t− nb0

)

La implementación sobre sistemas reales de proceso digital vista en la sección §2.2.1,implica el uso de sistemas de conteo numérico binario, por lo que en el caso de la trans-formada wavelet discreta, la base exponencial de amplio uso es a0 = 2, con b0 = 1. Elconjunto base wavelet resultado es denominado diádico: ψm,n (t) = 2−m/2ψ

(2−m0 t− n

).

Entonces, el conjunto de funciones wavelet ψm,n(t) : m,n ∈ Z, algunas veces conformaun sistema base ortonormalizada en el espacio L2(R).

'&

$%

'

&

$

%

'

&

$

%

· · · ⊂ V ⊂ V ⊂ V ⊂ V · · ·

1 0 −1 −2

Figura 2.4: ARV: espacios anidados

Análisis de resolución variable. La resolución deuna señal dada en (1.38), corresponde a la descrip-ción cualitativa asociada con su contenido espec-tral. Por cuanto se considera que la mayor parte dela información de la señal está en los cambios len-tos, su versión sub-muestreada, que correspondea la salida de un filtro pasa-bajas, es usualmenteuna aproximación aceptable para el análisis de lasseñales.

El análisis de resolución variable (ARV) consiste en la representación de la señalx(t) dada en forma de aproximaciones sucesivas, cada una de las cuales es una versión

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más fina de la función x(t), que corresponden a diferentes niveles de resolución. Elanálisis ARV está fundamentado en la aproximación del espacio L2(R) por una serie desubespacios anidados secuencialmente, como se muestra en la Figura 2.4, Vl ∈ L2(R):· · · ,⊂ V2 ⊂ V1 ⊂ V0 ⊂ V−1 ⊂ V−2 ⊂ · · · , tales que cumplan las condiciones:

⋃

l∈Z

Vl = L2(R),⋂

l∈Z

Vl = 0 (2.37)

Una exigencia adicional que se impone, que está relacionada con el concepto deresolución variable, consiste en que todos los espacios sean versiones escala del espaciocentral V0, esto es,

x(t) ∈ Vl ⇔ x(2jt) ∈ V0 (2.38)

Otra particularidad que se exige al ARV está en la propiedad de invariabilidad de V0

en caso de desplazamiento de la función sobre una malla de valores enteros:

x(t) ∈ V0 ⇔ x(t− n) ∈ V0,∀n ∈ Z

Por último, se exige la existencia de una función γ ∈ V0, tal que el conjunto confor-mado γn = γ (t− n) : n ∈ Z sea del tipo base Riesz del espacio V0.

Si se tiene una secuencia Vl que cumpla las anteriores restricciones, entonces exis-tirá la función φ ∈ V0, tal que el conjunto de sus respectivas funciones réplica

φm,n(t) = 2−l/2φ

(2−lt− n

): n ∈ Z

conforman una base ortonormal del espacio Vl. La función φ es denominada función de

escala y cumple la condición,∫φ(t)dt = 1.

De esta manera, Vl es un espacio que aproxima L2(R) con resolución 2−l:

PVlx(t) =

∞∑

n=−∞〈x, φl,n〉φl,n (t) (2.39)

siendo PVlla proyección ortogonal en el espacio Vl. El cambio de un espacio al contiguo,

Vl → Vl−1, corresponde a un cambio con mayor escala (menor resolución), esto es, sellega a una versión más gruesa que representa la señal con la pérdida de cierta informa-ción. Esta particularidad orienta la implementación del análisis ARV, que en la prácticaconsiste en construir bases wavelet, empleando la diferencia de información entre losdiferentes niveles de escala. Para cualquier l ∈ Z se define el subespacio Wl que seaortogonal al complemento de Vl en Vl−1. Entonces,

Vl−1 = Vl ⊕Wl, Vl⊥Wl y Wl⊥Wk ∀l 6= k

Si se nota con PWlla proyección ortogonal en Wl, entonces de (2.39) resulta que

PVl−1x(t) = PVl

x(t) + PWlx(t)

La anterior relación muestra claramente que la aproximación con resolución 2l−1

puede ser descompuesta en dos términos: la aproximación con menos resolución 2−l ylos detalles de la resolución 2−(l−1), dados por PWl

x(t).

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Se puede demostrar que para cualquier secuencia de espacios, que cumplan con lascondiciones del ARV, existirá una función wavelet ψ(t), tal que la familia de funcionesψl,n(t) = 2−l/2ψ

(2−lt− n

): n ∈ Z

forma una base ortonormal del espacio Wl para cual-

quier resolución 2−l. De las condiciones (2.37) y (2.38) se deduce que L2 (R) = ⊕l∈Z

Wl, por

lo que se concluye que se tiene una descomposición del espacio L2 (R) en un conjunto desubespacios ortogonales. Lo anterior implica que cuando el índice de la resolución tomavalores desde −∞ hasta ∞, la familia de funciones

ψl,n(t) = 2−l/2ψ

(2−lt− n

): l, n ∈ Z

conforma una base ortonormal de todo el espacio L2(R)

La forma de anidado antes descrita de los espacios V0 ⊂ V−1, además el hecho deque φ−1,n es una base ortonormal del espacio V−1, conllevan a la siguiente relación:

φ =√

2∑

n∈Zhnφ (2t− n) =

∑

n∈Zhnφ−1,n (2.40)

donde hn = 〈φ, φ−1,n〉. Los coeficientes hn corresponden al filtro de la transformada wa-velet y de manera completa caracterizan la misma función φ. Dicho de otra manera, lafunción φ se puede obtener con cualquier precisión por medio de la iteración consecutivadel filtro hn.

La ortonormalidad del sistema de funciones φ(t − n) implica el cumplimiento de lasiguiente restricción, por parte de los coeficientes de filtración hn:

∑

n∈Zhnh

∗n+2k = δ0,k

De manera similar, los espacio anidados W0 ⊂ V−1 sugieren la existencia de un filtrogn, que corresponde a la función wavelet ψ:

ψ =∑

n∈Zgnφ−1,n, gn = 〈ψ, φ−1,n〉 (2.41)

Por cierto, ambos filtros gn y hn se relacionan por la expresión simple: gn = (−1)n h−n+1.El análisis de resolución variable conlleva al desarrollo jerárquico para el cálculo de

los coeficientes wavelet de la señal x(t) en consideración. Así, de las ecuaciones (2.40) y(2.41) se obtienen las siguientes ecuaciones iterativas:

clk = 〈x, φl,k〉 =∑

n∈Zhn−2k 〈x, φl−1,n〉 =

∑

n∈Zhn−2kc

l−1n

dlk = 〈x, ψl,k〉 =∑

n∈Zgn−2k 〈x, φl−1,n〉 =

∑

n∈Zgn−2kc

l−1n

Sean conocidos los productos escalares de una función dada x(t) con las funcionesescala φl,k, para un valor suficientemente pequeño de resolución 〈x, φl,k〉. A este nivelde escala (espacio Vl) se le puede notar de manera condicional como l = 0, V0, al cualle corresponde el coeficiente c0k = 〈x, φ0,k〉, desde donde se empezará el cálculo iterativode los demás coeficientes

clk = 〈x, φl,k〉 : l = 1, 2, 3, . . .

, empleando la expresión (2.40).

Mientras que empleando (2.41) se hallan los coeficientesdlk = 〈x, ψl,k〉 : l = 1, 2, 3, . . .

,

como se ilustra en la Figura 2.5.

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- - -......................................

AAAAU

AAAAU

AAAAU U

..................................................

-c0 = xk c1 c2 c3

d1 d2 d3

gg g

h h h

Figura 2.5: Diagrama de cálculo ARV

El algoritmo de análisis de resoluciónvariable se puede considerar como el cálcu-lo secuencial de aproximaciones gruesas dex, determinadas por los coeficientes clk, te-niendo en cuenta la información perdida alpasar a escalas mayores, la cual se refle-ja en los coeficientes dlk. En la práctica elmenor de los posibles valores de escala deresolución se determina por la cantidad de valores discretos I de la señal de análisis,preferiblemente que cumpla la condición I = 2L, L ∈ Z. Al realizar el cambio de un valordado de resolución al siguiente, la cantidad de coeficientes wavelet se disminuye en dosveces y el proceso se detiene hasta alcanzar una cantidad finita de niveles. Debido a laortogonalidad de la transformada wavelet se obtiene un número de coeficientes waveletigual al número de valores discretos de la función. En este caso el algoritmo tiene uncosto computacional del orden de O I log2 I operaciones. Por cuanto la función de re-solución, generalmente, está muy bien localizada en el espacio, entonces en calidad decoeficientes c0k = 〈x, φ0,k〉 se pueden tomar los mismos valores discretizados xk de lafunción original de análisis.

Desde el punto de vista de los espacios de funciones, este algoritmo corresponde ala descomposición del espacio V0 en una suma de subespacios ortogonales de funcioneswavelet que en forma secuencial aumentan la escala de resolución: V0 = W1⊕· · ·⊕WL−1⊕WL ⊕ VL.

La operación inversa de reconstrucción de la señal original a partir de los coeficienteswavelet se da por la expresión:

cl−1n =

∑

k∈Z

(hn−2kc

lk + gn−2kd

lk

)(2.42)

El proceso en (2.42) va de las escalas más gruesas hacia las más finas.En general, no todas las funciones wavelet pueden ser empleadas en el análisis de re-

solución variable. Por ejemplo, la wavelet ortogonal meyer, cumplen con las condicionesdel ARV, y muestran una buena regularidad C∞, sin embargo, no son suficientementelocalizadas en el espacio. otro ejemplo puede ser las wavelet basadas en funciones deajuste (spline) de orden m, que presenta mejor localización en el espacio (con un com-portamiento exponencial de caída a cero), pero con menor regularidad Cm−1. Un casoespecial corresponde a las wavelet tipo Daubechies con soporte compacto (Figura 2.6(a)),las cuales para un orden dado N son diferentes de cero en el intervalo con longitud 2N−1y presentan de manera correspondiente 2N coeficientes de filtración hn y gn diferentesde cero. Además, sin contar el caso N = 1 (que corresponde a la base Haar, que no esregular), las funciones φN y ψN son continuas y diferenciables (para N ≥ 3), por lo menoshasta el orden m ≥ N/5. La implementación de los algoritmos de análisis y reconstruc-ción empleando las wavelet Daubechies exige solamente una cantidad de operacionesdel orden I, que inclusive es más rápido que el algoritmo de la transformada rápida deFourier, el cual exige ON = I log2 I operaciones.

Por último, una de las propiedades más peculiares de las wavelet Daubechies está re-lacionada con los momentos de desvanecimiento. Los polinomios 1, t, t2, . . . , tN−1 pueden

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0 2 4 6 8−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5 N = 0N = 2N = 4N = 6

(a) wavelet Daubechies con diferente orden N

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(b) Aproximación con diferentes valores deiteración (Sym2)

Figura 2.6: Formación de las wavelet

ser representados de forma exacta por la combinación lineal de funciones de resolución

∑

n∈Z

φ (t− n) = 1,∑

n∈Z

(n+ α1)φ (t− n) = t,∑

n∈Z

(n2 + α2n+ α3

)φ (t− n) = t2, . . .

donde α1, α2, α3, . . . son constantes.

Propiedades del análisis wavelet

Las siguientes son las principales propiedades de las funciones wavelet empleadasen el proceso de señales:

Regularidad. Corresponde a una forma de medir la suavidad en las señales; unalto grado de regularidad indica la suavidad en la vecindad del punto donde se calcula.Una primera forma de medir la regularidad consiste en verificar la existencia de susderivadas hasta orden k.

La regularidad de ψ tiene influencia en el error inducido durante la umbralizaciónde los coeficientes wavelet. Cuando se reconstruye la señal a partir de sus coeficientes,se induce un error ε que perturba cada coeficiente 〈x, ψm,n〉 generando una componenteadicional wavelet εψm,n a la señal reconstruida. Si ψ es suave, entonces εψm,n será unerror que varía suavemente a lo largo de la reconstrucción de la señal [12].

La propiedad de regularidad en la TW está directamente relacionada con sus mo-

mentos de desvanecimiento, definidos como:∫ ∞

−∞tkψ(t)dt = 0, k = 0, 1, . . . ,K (2.43)

Si la wavelet tiene n momentos de desvanecimiento, se puede demostrar que la trans-formada wavelet puede ser interpretada como un operador diferencial de escala múltipley orden n [12].

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La expresión (2.43), cuando k = 0, corresponde a la condición de valor medio delas funciones wavelets, según la cual dos señales, que difieren únicamente por unaconstante, les corresponden los mismos coeficientes wavelet de refinamiento.

200 400 600 800 1000 1200 1400−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Esc

ala

200 600 1000 1400

50

99

127

Figura 2.7: Análisis de regularidad empleando transformada wavelet

En general, la TW se puede hacer insensible a los comportamientos polinomialesde mayor orden k, variando el respectivo momento de desvanecimiento. Sea la señal xa analizar que presenta varias singularidades, de tal manera que entre los valores sin-gulares contiguos su comportamiento sea suave, justamente, donde la señal puede seraproximada adecuadamente de forma local mediante alguna expansión polinomial, porejemplo la de Taylor que relaciona la diferenciabilidad de la señal con su aproximaciónlocal. De esta manera, se puede aproximar x a un polinomio pv en la vecindad de v de laforma,

x(t) = pv(t) + εv(t)

donde εv(t) corresponde a los términos residuales de descomposición [12]. La transfor-mada wavelet ignora el polinomio pv si existen sus primeros K momentos de desvaneci-miento, por lo que para los monomios de grado menor o igual a K se cumple que,

〈xk, ψm,n〉 = 0, k = 0, . . . ,K

Así los primeros K términos en la aproximación de Taylor de una función analíticano contribuyen a la formación de los coeficientes wavelet.

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Se puede demostrar que, W x(m,n) = W εv(m,n), por lo cual la transformadawavelet entrega máximos locales en aquellos instantes donde exista alguna singularidad.En la Figura 2.7 se observa los cambios en las escalas de descomposición de la waveletasociados a una discontinuidad presentada la detección de valores anómalos en señalesde electrocardiográficas.

Soporte compacto. El soporte de una función x(t), corresponde a todos los valoresdel intervalo de tiempo, tales que supp(x) = t ∈ R : x(t) 6= 0. Una función posee soporteacotado si existen dos números tmin, tmax ∈ R, tales que supp(x) ⊂ (tmin, tmax). Si elsoporte acotado es del tipo cerrado |tmax − tmin| <∞, se denomina soporte compacto.

La función de escalamiento ϕ tiene soporte compacto, si y solo si el filtro h tambiéntiene soporte compacto. Además, ambos soportes son iguales. Sea el valor del soportede h y ϕ igual a [N1, N2], entonces el de ψ es [12],

[(N1 −N2 + 1)/2, (N2 −N1 + 1)/2]

El soporte compacto de las funciones wavelet facilita la representación localizada delas señales por medio de la TW, importante en aplicaciones tales como la compresión, ladetección de señales y la reducción de perturbaciones.

El tamaño del soporte de una función y el número de sus momentos de desva-necimiento son a priori independientes. Sin embargo, la restricciones impuestas sobrelas wavelets ortogonales implica que para una función ψ con m momentos de desvaneci-miento, su soporte es al menos de tamaño 2m−1. Además, si x tiene pocas singularidadesaisladas y es regular entre estas, se debe seleccionar una wavelet con muchos momen-tos de desvanecimiento para producir un número alto de coeficientes wavelet pequeños,de tal forma que la energía se concentre en unos pocos coeficientes. Al incrementarse ladensidad de las singularidades es mejor reducir el tamaño de su soporte a costa de unmenor número de momentos de desvanecimiento. De hecho, las wavelets que solapanlas singularidades crean coeficientes de amplitud alta.

Simetría. Las funciones de escalamiento simétricas se utilizan para construir unabase wavelet regular sobre un intervalo dado, en lugar del eje real. En el caso ortogonal,solo la wavelet Haar tiene soporte compacto y es simétrico. Mientras en el caso de ana-lizar la estructura biortogonal (2.35), es posible sintetizar una función wavelet con susrespectivas funciones de escalamiento que sean simétricas o antisimétricas con soportecompacto; propiedad que es empleada en el procesamiento de imágenes.

Desfase lineal. En forma general, un filtro h es llamado con desfase lineal si secumple que:

H(ω) = Fh = HR(ω)ejτ0ω

donde τ0 ∈ R es la constante de desfase y HR es una función real de ω.Los filtros con respuesta de desfase lineal evitan la distorsión producida por el des-

fase no lineal y mantienen la forma de la señal, lo cual es usualmente importante enaplicaciones de voz, electrocardiografía e imágenes, entre otras. La ortogonalidad de las

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bases y la linealidad de la fase de los filtros son propiedades incompatibles, excepto pa-ra la wavelet Haar [12]. Sin embargo, se pueden usar las wavelets bi-ortogonales, quepresenten desfase lineal similar al caso de los filtros con respuesta a impulso infinita.El desfase lineal en los filtros simplifica la implementación del algoritmo piramidal al noexigir la respectiva compensación de fase.

Localización en el plano tiempo-frecuencia. La TW presenta alta capacidad derepresentación en tiempo-frecuencia de señales, con buenas propiedades de localizaciónen ambas variables. Si ψ está bien localizada en tiempo y frecuencia, entonces el marcogenerado por ψ tendrá esa misma propiedad [22]. Si ψ está bien localiza en tiempo yfrecuencia, entonces ψm,n estará bien localizada alrededor de am0 nb0 en tiempo y alrededorde a−m0 w0 en frecuencia.

Se ha encontrado que la representación en tiempo-frecuencia ρx(t, ω) de cualquierseñal x(t) debe cumplir las siguientes propiedades [21]:

– La distribución de tiempo-frecuencia debe ser real, y su integración sobre todo eldominio de tiempo-frecuencia es igual a la energía de la señal x(t).

– La energía de la señal en una determinada región R del plano (t, ω), es igual a laobtenida por integración de ρx(t, ω) sobre los límites de (∆t,∆ω) de la región R:

∫

∆t

∫

∆ωρx(t, ω)dωdt = Ex (∆t,∆ω)

donde Ex (∆t,∆ω) es la porción de la energía de la señal comprendida en la bandade frecuencia ∆ω y en el intervalo de tiempo ∆t.

– El pico de la representación de tiempo-frecuencia de una señal de frecuencia mo-dulada, que contiene una sola componente espectral, se refleja por la frecuenciaintermedia de la señal:

∂ρx(t, ω)

∂ω

∣∣∣∣ω=ωi(t)

= 0

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Problemas

Problema 2.4. Demostrar la ortogonalidad del factor de pivote WN = ej2π/N

Problema 2.5. Demostrar que para la siguiente función existe la transformada de Hartley

x(t) =∞

n=−∞

δ (t − n)

Problema 2.6. Hallar la transforma de Hartley de las siguientes funcionescos (πt/2) (u (t + 1) − u (t − 1)) t exp −πt2u(t)sgn(t) 1/ t2 + 2

Problema 2.7. Obtener la transformada Z de la señal discreta xk con término común xn = αn/n!, n ≥ 0.

Problema 2.8. Hallar la respectiva señal discreta a la cual le corresponde cada una de las siguientesTransformadas Z:

X(z) =1

1 − 0.3z−1X(z) = z−2

X(z) = 25/ 1 − 09z−1 1/ 1 − 0.4z−1 1 − 0.6z−1

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n 4.12.3. Transformadas ortogonales discretas rápidas 115

2.3. Transformadas ortogonales discretas rápidas

2.3.1. Definición

En las técnicas de proceso digital de señales es frecuente la necesidad de intercambioentre la representación espectral y la respectiva representación de valores en el tiempo, yviceversa. En este caso se deberían emplear las respectivas TDF, TDW y TDH, sin embar-go, su cálculo directos acorde a las expresiones (2.24a), (2.24b), (2.31a), (2.31b), (2.33) y(2.34) implica la realización de un volumen muy grande de operaciones, generando altasexigencias en los recursos computacionales de proceso digital.

Las anteriores restricciones estimularon la búsqueda de algoritmos de cálculo conmínimos costos computacionales para el cálculo de las transformadas ortogonales dis-cretas; estos algoritmos reciben el nombre de algoritmos de transformadas rápidas, cu-yo uso disminuyen, de manera significativa, la cantidad de operaciones aritméticas enla implementación de las transformadas ortogonales discretas, disminuyendo, tanto elrespectivo tiempo de cálculo, como la cantidad de memoria de los sistemas de procesodigital.

La mayoría de los algoritmos de transformadas rápidas se desarrollan basados endos principios: la descomposición de arreglos mono-dimensionales en arreglos de bi-dimensionales, o en la factorización de las respectivas matrices de las transformadas

El primer método consiste en romper la secuencia inicial en dos secuencias mascortas, el cálculo de sus respectivos espectros y, a partir de estos se realiza la com-posición del espectro de la secuencia original. El método está basado en la suposiciónde que la cantidad total de operaciones necesaria para el cálculo del espectro de lassecuencias secundarias es menor que el cálculo directo sobre la secuencia original de(2.19b), de la cual se observa que para una secuencia original de longitud N-par serequieren N2 multiplicaciones y N(N − 1) adiciones. Al desdoblar la secuencia originalen dos secuencias secundarias de longitud N/2, sus espectros requerirán N2/2 sumas yN(N/2 − 1) adiciones, por lo que el volumen de operaciones se reduce el volumen inicialde operaciones prácticamente en dos. Por cuanto, el cálculo del espectro de la secuenciaoriginal a partir de las secundarias, no exigen mayor costo computacional, el método sepuede replicar desdoblando consecutivamente las secuencias secundarias, con lo que sereduce el volumen inicial de operaciones significativamente.

El segundo método de factorización consiste en la representación de las matrices delas transformadas ΦN en forma de multiplicación de dos más sencillas que contienen

principalmente elementos nulos: Φ(1)N ,Φ

(2)N , . . . ,Φ

(k)N siendo k el orden de factorización. De

esta manera, los coeficientes se calculan por la ecuación matricial:

xN×1 =1

NΦ

(1)N Φ

(2)N · · · Φ(k)

N vN×1

que debe ser implementada en varias etapas: inicialmente se calcula v(1)N×1 = Φ

(k)N vN×1,

luego,v(2)N×1 = Φ

(k−1)N v

(1)N×1, y así sucesivamente hasta

v(k)N×1 = xN×1 =

1

NΦ

(1)N v

(k−1)N×1

La economía en la cantidad de operaciones se obtiene por cuanto en cada etapa se

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realiza un volumen pequeño de operaciones, debido a que cada Φ(i)N , i = 1, 2, · · · , k, es del

tipo matriz descargada.

2.3.2. Transformada rápida discreta de Fourier

Uno de los métodos más efectivos en la reducción del cálculo numérico de la TDF con-siste en el cambio de variables, descomponiendo su representación mono-dimensionalen multi-dimensional, en otras palabras, representar un problema complejo por variosmás simples.

Sea dada la secuencia inicial de representación X[n], n = 0, 1, · · · , N , tal que secumpla la condición N = 2m, m ∈ Z. La secuencia primaria se desdobla en las secun-darias X1[n] y X2[n], tal que X1[n] = X[2n], n = 0, 1, · · · , N/2 − 1 (elementos pares) yX2[n] = X[2n+ 1],n = 0, 1, · · · , N/2− 1 (elementos impares). Tomando en cuenta (2.24a) larespectiva TDF se puede representar en la forma:

x[k] =2

N

N/2−1∑

n=0

X[2n]W 2knN +

2

N

N/2−1∑

n=0

X[2n+ 1]W(2n+1)kN

Observando que, para el factor de pivote, se cumple que

W 2N =

[e−j2π/N

]2= e−j 2π

N/2con lo que los coeficientes de representación inicial pueden escribirse como:

x[k] =2

N

N/2−1∑

n=0

X1[n]W 2knN/2 +

2

NW kN

N/2−1∑

n=0

X2[n]W knN/2

Sin embargo, xl[k] = F−1 Xl[n], por lo que se puede deducir que

x[k] = x1[k] +W kNx2[k], 0 ≤ k ≤ N/2 − 1 (2.44)

En la expresión (2.44) se determina solamente la primera mitad de los coeficientes.El factor de pivote cumple las propiedades de periodicidad,

Wl+N/2N/2 = W l

N/2

y antisimetría

Wl+N/2N = e−j2π l+N/2

N = e(−j2πl

M )e(−jπ) = −e(−j2π lN ) = −W l

N

Por lo que la descripción completa del arreglo de coeficientes (2.44) es la siguiente:

x[k] =

x1[k] +W k

Nx2[k], 0 ≤ k ≤ N/2 − 1

x1[k −N/2] +Wk−N/2N x2[k −N/2], N/2 ≤ k ≤ N − 1

El procedimiento analizado puede ser replicado sobre cada una de las secuenciassecundarias X1[k] y X2[k], cada una de las cuales se subdividen en las respectivas se-cuencias derivadas xmn[k], m = 0, 1, · · · , N/4 − 1, n = 1, 2 (conservando los elementos

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pares en unas secuencias y los impares en las alternas), de tal manera que los respec-tivos elementos de representación serán x[k]n = xm1[k] +W k

N/2xn2[k], 0 ≤ k ≤ N − 1. Esteproceso de desdoblamiento de las series se continúa hasta que la longitud de la seriederivada disminuya a N = 2. En la Figura 2.8 se muestra el diagrama de grafos queindica la dirección de las operaciones, para el caso de N = 8, en la cual se observa quelos elementos finales no están dispuestos de manera lógica acordes al ordinal de la serie.En particular, los elementos internos de cada serie, están invertidos en su orden.

r

rr r

rr r

rrrrrr

rrr

rr

rrrrrrr

rrrr

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

rrd

rd

ZZ

ZZ

ZZZ

ZZ

ZZZ

ZZ

ZZ

ZZZ

ZZ

ZZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

@@

@

@@

@

@@

@.................................

.................................

.................................

>

>

>

>

>

>

>

> @@

@

@@

@

.................................

-

x[0]

x[1]

x[2]

x[3]

x[4]

x[5]

x[6]

x[7]

W 0

W 0

W 0

W 0

W 2

W 0

W 2

W 0

W 1

W 2

W 3

X0[0]

X0[1]

X0[7]

X0[6]

X0[5]

X0[4]

X0[3]

X0[2]

X1[0]

X1[1]

X1[2]

X1[3]

X1[4]

X1[5]

X1[6]

X1[7]

X2[1]

X2[2]

X2[3]

X2[0]

X2[4]

X2[5]

X2[6]X2[7]

b

a

a + b

a − b

W

a W k aW k

Figura 2.8: Secuencia de operaciones de la transformada rápida de Fourier (N = 8)

El algoritmo mostrado para el desarrollo de la Transformada rápida de Fourier (TRF)(2.28a), puede se emplea para el cálculo de la transformada en el sentido inverso (2.28b)

X∗[n] =N−1∑

k=0

x∗[k]W knN , n = 0, 1, . . . , N − 1 (2.45)

La expresión (2.45) corresponde al algoritmo de la TDF vista sin tener en cuentala constante 1/N . Conociendo el conjugado X∗[n] es relativamente simple determinar lasecuencia X[n].

Una forma alterna del desdoblamiento de las secuencias originales consiste en sub-dividir la secuencia inicial en las mismas dos secuencias secundarias, pero de la si-guiente manera:

X1[n] = X[n], n = 0, · · · , N/2 − 1y X2[n] = X[n+N/2], n = 0, 1, · · · , N/2 − 1

En otras palabras, la primera secuencia recoge las primeros N/2 elementos de X[n],mientras los respectivos N/2 términos.

La trasformada de Fourier de la secuencia X[n], teniendo en cuenta la forma desubdivisión propuesta, es la siguiente:

x[k] =2

N

N/2−1∑

n=0

X[n]WnkN +

2

N

N−1∑

n=N/2

X[n]WnkN =

2

N

N/2−1∑

n=0

X1[n]WnkN +

2

N

N/2−1∑

n=0

X2[n]W(n+N/2)kN

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luego

x[k] =2

N

N/2−1∑

n=0

[X1[n] +X2[n]e(−jπk)

]WnkN (2.46)

Los coeficientes pares se determinan como:

x[2k] =2

N

N/2−1∑

n=0

(X1[n] +X2[n])W 2nkN = x[2k] =

2

N

N/2−1∑

n=0

(X1[n] +X2[n])WnkN/2

Mientras, los impares se determinan de la siguiente forma:

x[2k + 1] =2

N

N/2−1∑

n=0

(X1[n] −X2[n])WnNW

nkN/2

De manera similar al primer método expuesto, la transformada de cada una de lassecuencias secundarias puede ser calculada replicando el desdoblamiento, y así sucesi-vamente , hasta obtener finalmente la ultima secuencia de longitud mínima N = 2. Lacantidad de operaciones en ambos métodos expuestos es igual a N logN .

El algoritmo de la transformada rápida de Fourier puede ser calculado empleando elmétodo de factorización de matrices.

Transformada rápida de Hartley. El cálculo de la TDH presenta un problema análogoal de la computación de la transformada de Fourier, debido a que se tienen que de-sarrollar N2 operaciones aritméticas para computar la TDH en un conjunto de datoscompuesto de N elementos.

La TRF usa el proceso de permutación que permite rápidamente calcular la trans-formada de los pares de datos (reales e imaginario), y combinarlos de nuevo para hacerla transformada completa en vez de hacer la computación de un conjunto de datos com-plejos.

La permutación es particularmente rápida cuando la cantidad de datos es gran-de. Si se supone los 2 elementos pares semejantes, usando el proceso de mariposa sepuede computar la transformada de Fourier de un conjunto de datos, el cual tomaráaproximadamente N logN [s] en realizar la transformada de punto N del conjunto.

La Transformada de Hartley de datos pares (a, b) es 12(a+ b, a− b), cuya computación

es fácil, se puede, entonces, superponer esta secuencia de 2 elementos para calcularla Transformada de Hartley de la entrada de un conjunto de datos. Sin embargo, paraesto se requiere de la expresión que relacione la TDH en términos de longitudes mediassubsecuentes.

Las expresiones de descomposición general de la TDH se basa en el apareamientode datos:

H(f) = H1(f) +H2(f) cos(2πf/Ng) +H2(Ng − f) sin(2πf/Ng)

Análogamente, el mismo método de descomposición puede ser empleado en la Trans-formada de Fourier:

X(f) = F1(f) + F2(f)e(2πf/Ng)

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donde Ng = N/2 es el número de elementos en la secuencia de media longitud para unconjunto de N elementos.

La expresión de descomposición de la transformada rápida de Hartley (TRH) difie-re de la TRF en que los elementos multiplicados por el término trigonométrico no sonsimétricos en la fórmula de descomposición para TRH, el término multiplicado por loscoeficientes trigonométricos involucran términos solo en X(f) en la expresión de des-composición de TRH, en la cual ambos H(f) y H(Ng) tienen coeficientes de senos; estasimetría se vuelve aparente cuando se expresa la transformada discreta como una ope-ración de matrices; los términos de la matriz TRF son simétricos, mientras, los términoscorrespondientes a la TRH son asimétricos. Esto genera problemas de computación, por-que el procesamiento de la matriz asimétrica es difícil de implementar, se puede tratarcon esta asimetría utilizando un término independiente como un índice para los ele-mentos multiplicados por los coeficientes del senos, este índice decrece mientras que losotros índices aumentan; este comportamiento es llamado índice de regresión.

Comparación de los algoritmos de TRF y TRH. La Transformada de Fourier se puedeobtener a partir de la Transformada de Hartley. De hecho, frecuentemente es más rápidogenerar la Transformada de Fourier y el espectro de potencia a partir de la TRH que conla TRF, debido a que en el cálculo del procedimiento de mariposa se emplean cantidadesreales y no imaginarias, que requieren de operaciones de punto flotante.

Se pueden relacionar las partes imaginarias y reales de la TRF al final del calculousando estas ecuaciones:

Fn(f) = H(f) +H(N − f)

Fg(f) = H(f) −H(N − f)

donde Fn(f) es la parte real de la transformada compleja de Fourier y Fg(f) es la parteimaginaria.

El cálculo del espectro de potencia directamente de la TRH se realiza mediante larelación:

S(f) =[H(f)2 +H(N − f)2

]/2

El cálculo de la convolución de un par de funciones se puede realizar empleandolas Transformadas de Hartley ó Fourier. Sin embargo el empleo de la TRH resulta sersuperior a la TRF en términos de velocidad para cualquier implementación dada. Lasecuaciones siguientes resumen la función de convolución para las transformadas deHartley y Fourier respectivamente:

f1(t) ∗ f2(t) = H1(f)H2p(f) +H(−f)H2i(f), (Hartley)

f1(t) ∗ f2(t) = F1(f) · F2(f), (Fourier)

Los subíndices p e i en la ecuación de Hartley denotan las partes pares e impa-res de la transformada. Si la función es par o impar, entonces la convolución para latransformada de Hartley se reduce a la ecuación:

fm(t) ∗ xn(t) = Hm(f)Hn(f)

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2.3.3. Transformada rápida discreta de Walsh

Los algoritmos de la transformada rápida de Walsh existen para cualquier forma deordenamiento de las funciones. En este caso se analiza el método basado en la transfor-mada rápida de Hadamar, cuyo algoritmo puede ser obtenido, bien por factorización dela matriz de Hadamar AN , o bien por su división. Sin embargo, es preferible analizar elsegundo algoritmo por su simpleza.

La matriz de Hadamar de orden N se denomina la matriz cuadrada AN con elemen-tos amn = 1,−1, m, n = 0, 1, · · · , N − 1, de tal manera, que ANAT

N = NIN , siendo IN lamatriz unidad. De la definición de la matriz de Hadamar, se deduce la ortogonalidad desus filas, esto es,

∑N−1n=0 anmakm = 0, n 6= k.

La matriz de Hadamar de orden 2m se puede obtener de una matriz de Hadamar demenor orden, empleando la expresión recurrente:

A2n =

∣∣∣∣A2n−1 A2n−1

A2n−1 −A2n−1

∣∣∣∣ (2.47)

Sea dada la señal x[k], k = 0, 1, · · · , N − 1. Entonces

vN×1 = ANxN×1 (2.48)

Empleando la propiedad (2.47), la transformada (2.48) se representa como:

∣∣∣∣∣∣∣∣

v[0]v[1]· · ·v[N − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣=

1

N

∣∣∣∣AN/2 AN/2

AN/2 −AN/2

∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

x[0]x[1]· · ·x[N − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣

la cual se puede romper en dos matrices

∣∣∣∣∣∣∣∣

v[0]v[1]· · ·v[N2 − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣=

1

NAN/2

∣∣∣∣∣∣∣∣

x1[0]x1[1]· · ·x1[

N2 − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣∣∣

v[N2 ]

v[N2 + 1]· · ·v[N − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣=

1

NAN/2

∣∣∣∣∣∣∣∣

x1[N2 ]

x1[N2 + 1]

· · ·x1[N − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣(2.49)

donde x1[k] = x[k] + x[k + N/2 − 1], k = 0, 1, · · · , N/2 − 1 y x1[k] = x[k − N/2] − x[k], paralos valores k = N/2, N/2 + 1, · · · , N − 1. Aplicando nuevamente la misma división sobre elúltimo par de matrices se obtiene:

∣∣∣∣∣∣∣∣

v[0]v[1]· · ·v[N2 − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣= 1

N

∣∣∣∣AN/4 AN/4

AN/4 −AN/4

∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

x1[0]x1[1]· · ·x1[

N2 − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣∣∣

v[N2 ]

v[N2 + 1]· · ·v[N − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣= 1

N

∣∣∣∣AN/4 AN/4

AN/4 −AN/4

∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

x1[N2 ]

x1[N2 + 1]

· · ·x1[N − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣

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Cada una de estas matrices puede ser dividida de manera consecutiva en otras dosmatrices como se muestra en (2.49). En el caso de la primera matriz se tiene

∣∣∣∣∣∣∣∣

v[0]v[1]· · ·v[N4 − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣=

1

NAN/4

∣∣∣∣∣∣∣∣

x2[0]x2[1]· · ·x2[

N4 − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣∣∣

v[N4 ]

v[N4 + 1]· · ·v[N2 − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣=

1

NAN/4

∣∣∣∣∣∣∣∣

x2[N4 ]

x2[N4 + 1]

· · ·x2[

N2 − 1]

∣∣∣∣∣∣∣∣,

siendo x2[k] = x1[k] + x1[k +N/4 − 1], k = 0, 1, . . . , N/4 − 1 y x2[k] = x1[k −N/4] − x1[k], parak = N/4, N/4 + 1, · · · , N/2 − 1. La segunda matriz se divide de manera similar.

El procedimiento de división puede realizarse consecutivamente hasta la longitudN/(N − 1) = 2, para la cual se tiene la matriz base

A2 =

∣∣∣∣1 11 −1

∣∣∣∣

En la Figura 2.9(a) se muestra el diagrama de grafos correspondiente al algoritmopresentado para la transformada rápida de Hadamar, el cual requiere N log2N operacio-nes, para el cálculo de una secuencia de longitud N = 2m, m ∈ Z. El algoritmo presentadotambién es aplicable a la transformada rápida de Hadamar-Walsh en sentido inverso.

r rr rr rr rr rr rr rr r

dddd

dd

dd

dddd

rrrrrrrr

rrrrrrrrrr

rrrrrr@@

@@

@@

@@@

@@

@@

@@

@@@

@@

@@

@@

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@@

@@@@@

@@

@@

@@

--

--

-

-

--

@

@@

@@

@@

@@@

x0[0]

x0[1]

x0[2]

x0[3]

x0[4]

x0[5]

x0[6]

x0[7]

x1[0]

x1[1]

x1[2]

x1[3]

x1[4]

x1[5]

x1[6]

x1[7]

x2[0]

x2[1]

x2[2]

x2[3]

x2[4]

x2[5]

x2[6]

x2[7]

x3[0]

x3[1]

x3[2]

x3[3]

x3[4]

x3[5]

x3[6]

x3[7]

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

X[1]

X[2]

X[3]

X[4]

X[5]

X[6]

X[7]

X[0]

(a) Transformada rápida de Hadamar

r rr rdddd

dddrrrr

rr

rrrrrrrr

r rr rr rr rr rr r

@@

@@

@@

@@@

@@

@@

@@

@@@

@

@@

@@

@@

@@

@@ --

@

@@

@@

@@

@@@

@@

@@

@@

@@@

--

--

--

x0[0]

x0[1]

x0[6]

x0[7]

x0[2]

x0[3]

x0[4]

x0[5]

x1[0]

x1[1]

x1[2]

x1[3]

x1[4]

x1[5]

x1[6]

x1[7]

x2[0]

x2[1]

x2[2]

x2[3]

x3[0]

x3[1]

1/8

1/8X[1]

X[0]

X[2]

X[3]

√2/8√2/8

1/4

1/4

1/4

1/4

X[4]

X[5]

X[6]

X[7]

(b) Transformada rápida modificada de Hadamar

Figura 2.9: Diagrama de implementación de la transformada de Hadamar (N = 8)

2.3.4. Transformada rápida discreta de Haar

En el caso de la implementación de la transformada rápida de Haar, este se puedellevar a cabo empleando la transformada modificada de Hadamar [23]:

vN×1 =1

NAMN xN×1, N = 2m,m ∈ Z (2.50)

donde AMN es la matriz ortogonal, definida por la relación recurrente:

AM2k =

∣∣∣∣AM

2k−1 AM2k−1

2(k−1)/2I2k−1 −2(k−1)/2I2k−1

∣∣∣∣ , k = 1, 2, · · · ,m (2.51)

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siendo I2k−1 la matriz unitaria de orden 2k−1; AM1 = 1

En calidad de ejemplo se analiza la matriz ortogonal para N = 8:

AM8 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1 1 1 1 11 −1 1 −1 1 −1 1 −1√2 0 −

√2 0

√2 0 −

√2 0

0√

2 0 −√

2 0√

2 0 −√

22 0 0 0 −2 0 0 00 2 0 0 0 −2 0 00 0 2 0 0 0 −2 00 0 0 2 0 0 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

El algoritmo de la Transformada modificada de Hadamar, que es similar al analizadopara el caso de la TDW rápida, tiene la estructura mostrada en la Figura 2.9(b). Lacantidad de operaciones es de 2(N − 1) sumas (o restas), N multiplicaciones y log2(N − 1)inversiones binarias, por lo que de los algoritmos rápidos vistos para las transformadasortogonales discretas el algoritmo de la transformada de Haar es el más económico encuanto a costo computacional.

El cálculo de la transformada modificada de Hadamar en sentido inverso se deter-mina de la relación:

xN×1 =[AMN

]−1vN×1

Debido a que la matriz ortogonal AMN no es simétrica, entonces AM

N 6=[AMN

]−1, y por tan-

rrdddd

dddrrrr

rr

rrrrrrrr

rrrr

rr rrrrrr

rr

rrrr

@@

@@

@@

@@@

@@

@@

@@

@@@

@

@@

@@

@@

@@

@@ --

@

@@

@@

@@

@@

@@

@@@ -

-

--

@@

@@@ -

-

x0[0]

x0[1]

x0[6]

x0[7]

x0[2]

x0[3]

x0[4]

x0[5]

x1[0]

x1[1]

x1[2]

x1[3]

x1[5]

x1[6]

x1[7]

x1[4]

x2[0]

x2[1]

x2[2]

x2[3]

x2[4]

x2[5]

x2[6]

x2[7]

x3[0]

x3[1]

1/8

1/8

1/4

1/4

1/4

1/4inversor

binario

N = 4

√2/8√2/8

inversor

binario

N = 2

X[1]

X[0]

X[2]

X[3]

X[4]

X[5]

X[6]

X[7]

Figura 2.10: Diagrama de la transformada rápida de Haar (N = 8)

to los respectivos grafos del par de transformadas rápidas de Hadamar, en los sentidosinverso y directo, no coincidirán. En otras palabras es necesario sintetizar un algoritmodiferente de cálculo para cada uno de los sentidos de la transformada rápida de Ha-damar. En la Figura 2.10 se muestra la secuencias de operaciones en el cálculo de latransformada de Haar, basado en los algoritmos de la transformada rápida modificadade Hadamar antes explicada.

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Versio

n 4.12.4. Filtración ortogonal discreta 123

2.4. Filtración ortogonal discreta

2.4.1. Respuesta discreta a impulso

Los sistemas lineales en tiempo discreto se describen por medio de ecuaciones de dife-rencias con parámetros constantes:

N∑

n=0

any[k − n] =M∑

m=0

bmx[k −m] (2.52)

donde a0 = 1, an 6= 0, y[k−l], x[k−l], corresponde a los valores de las señales discretizadasde salida y entrada, respectivamente. Si ese cumple que ak 6= 0, para algún k 6= 0,entonces el sistema se denomina recursivo. La señal a la salida de tal sistema depende nosolamente de las señales de entrada, sino de valores de la señal de salida en momentosanteriores. En cambio, si los coeficientes an = 0, n = 1, 2, . . . , N , entonces se habla desistemas no recursivos, cuya señal de salida se determina solamente por la acción deentrada en el momento actual de tiempo.

La respuesta a impulso de un sistema discreto h[n] se define a la señal de salidacuando en calidad de la señal de entrada de tiene la función x[n] = δ[n], definida en (2.9).En concordancia con la definición dada en (1.101), la señal a la salida de un sistemadiscreto lineal e invariante en el tiempo se define como:

y[n] =∞∑

k=−∞h[n, k]x[k] =

∞∑

k=−∞h[n− k]x[k], (2.53)

Teniendo en cuenta que la condición de realización física del sistema implica h[n, k] =0,∀k > n, entonces se obtiene que:

y[n] =∞∑

k=0

h[k]x[n− k], n = 0, 1, . . . (2.54)

En los filtros no recursivos la respuesta a impulso contiene una cantidad finita deelementos, que no excede el valor de M + 1, donde M es el límite superior de la suma en(2.53), correspondiente a los elementos de la entrada; estos sistemas se denominan derespuesta a impulso finita (RIF):

hRIF [n] =N∑

i=n0

αiδ[n− i],donde n0, N <∞

Por el contrario, los sistema discreto recursivos poseen respuesta a impulso infinitay se denominan de respuesta a impulso infinita (RII):

hRII =N∑

i=n0

αiδ[n− i], cuando |N − n0| → ∞ (2.55)

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2.4.2. Función de transferencia discreta

Como en los sistemas continuos, los sistemas discretos lineales e invariantes en el tiem-po con respuesta a impulso dada h[n], se determinará la señal de salida y[n], para el casode tener una señal de entrada de la forma x[n] = cos[nΩ ], o sea;

y[n] =∞∑

i=−∞h[i]x[n− i] =

∞∑

i=−∞h[i]ej(n−i)Ω = ejnΩ

∞∑

i=−∞h[i]e−jiΩ

teniendo en cuenta (1.93), entonces

y[n] = ejnΩ H(ejΩ),

donde H(ejΩ) es la respuesta de frecuencia o función de transferencia discreta, que enforma general, puede ser compleja como se demostró en el caso de los sistemas conti-nuos, así

Y(ejΩ)

= X(ejΩ)H(ejΩ), (2.56)

entonces,

y[n] = x[n] ∗ h[n] (2.57)

BBBBBBBBBN

?

? ?

?

?

@@

@R

x[n] h[n]

∗

y[n]

TDF(D) TDF(D)

TDF(I)

x[n] h[n]

X ejΩ H ejΩ

×

Y ejΩ

y[n]

a) b)

Figura 2.11: Análisis de sistemas discretos

Los métodos de análisis de sistemasdiscretos, básicamente, corresponden a losmismos métodos de los continuos y que es-tán representados en la Figura 2.11.

De acuerdo, al desarrollo matemáticodescrito de la función de transferencia pue-den existir varios métodos para su determi-nación. El primer método emplea la funciónde impulso unitario δ[n] como señal de en-trada, un segundo método emplea la fun-ción exponencial ejnΩ en correspondenciacon la definición y, por último, sin especi-ficar la señal de entrada se puede analizarla ecuación diferencial que describe el sis-tema [24].

El método matricial es común en la des-cripción de sistemas discretos, en el cual eloperador H se representa en forma de ma-triz. Sean en calidad de funciones propiasdel operador, las siguientes funciones dis-cretas φm[k], m, k = 0, 1, · · · , N − 1, esto es

H φm[k] = H(m)φm[k],

El proceso de filtración digital discretapuede ser entendido como la multiplicación de los coeficientes v[n] obtenidos de la re-presentación de la señal de entrada en base φm[k] por los respectivos coeficientes de la

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función de transferencia H(m). La multiplicación corresponde a los coeficientes espec-trales de la señal de entrada.

Las restricciones de implementación práctica hacen que en el proceso de señales seutilicen solamente bases discretas del tipo ortogonal, para los cuales la señal de salidapuede ser representada por la siguiente expresión matricial:

YN×1 =1

PkNΦTNHNΦNXN

donde Y y X se forman de las respectivas señales discretizadas de salida y entra-da, Φ matriz ortogonal, con filas determinadas por las funciones discretas ortogonalesφm[k], i, k = 0, 1, · · · , N − 1, donde N es el conjunto de la base y K es la matriz ortogonalcompuesta por los coeficientes H(m).

Por lo anterior, la transformación lineal discreta se representa por la matriz

H =1

NΦTHΦ (2.58)

2.4.3. Filtros discretos de Walsh

La ecuación representativa del sistema (2.52), en este caso tiene la forma

N∑

n=0

any[k ⊕ n] =M∑

m=0

bmx[k ⊕m]

donde a0 = 1, an 6= 0, x[k] y y[k] son las versiones discretizadas de entrada y salida, res-pectivamente. El diagrama estructural de los filtros de Walsh, corresponde al diagrama3.2(a), en el cual, las líneas de retardo corresponden al desplazamiento diádico en unaunidad de tiempo (N +M + 1).

La respuesta a impulso de los filtros de Walsh se halla por definición excitando elsistema con la señal singular:

δ[n⊕ k] =

1, n⊕ k = 00, 0 ≤ n⊕ k ≤ N − 1

La salida del filtro será:

y[n] = H x[n] = H

N−1∑

k=0

x[k]δ[n⊕ k]

=

N−1∑

k=0

x[k]H δ[n⊕ k]

luego, y[n] =N−1∑k=0

x[k]h[n⊕ k].

La función de transferencia puede ser hallada a partir de los valores propios del filtrode Walsh descritos en (1.47a):

H call[k] = Hc(l)call[k] (2.59)

H sall[k] = Hs(l)sall[k] (2.60)

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Reemplazando en (2.52) la señal de entrada por las funciones call[k] y sall[k], el ante-rior sistema toma la forma:

Hc(l) =M∑

m=0

bmcall[m]

/(1 +

N∑

n=1

ancall[n]

)

Hs(l) =M∑

m=0

bmsall[m]

/(1 +

N∑

n=1

ansall[n]

)

Si se conocen los coeficientes de transferencia Hc(l), Hs(l) y el espectro ax(l) + bx(l)de la señal de entrada x[k], k = 0, 1, · · · , N − 1 se puede hallar el espectro de salida

ay(l) + by(l) = Hc(l)ax(l) +Hs(l)bx(l)

cuya transformada de Fourier-Walsh, resulta en la señal de salida del filtro:

y[k] =N−1∑

l=0

(Hc(l)ax(l)call[k] +Hs(l)bx(l)sall[k])

La relación entre los coeficientes de transferencia Hc,s(l) y la respuesta a impulsoh[n], se establece hallando la transformada directa de Fourier-Walsh de la expresióngeneral del filtro (2.52):

ay(l) =N−1∑

k=0

x[k]1

N

N−1∑

n=0

h(n⊕ k)cali[n]

by(l) =N−1∑

k=0

x[k]1

N

N−1∑

n=0

h(n⊕ k)sali[n]

Sea m = n ⊕ k. Por cuanto call[m ⊕ k] = call[m] call[k], así mismo, teniendo en cuentaque sall[m⊕ k] = sall[m] sall[k], se encuentra ay(l) = ah(l)ax(l)N y by(l) = bh(l)bx(l)N , dondeah(l) + bh(l) es el espectro de la respuesta a impulso.

De lo anterior se puede inferir que los respectivos de coeficientes de transferenciaHc,s(l) están relacionados con la respuesta a impulso por las relaciones:

Hc(l) =

N−1∑

m=0

h[m]call[m]

Hs(l) =

N−1∑

m=0

h[m]sall[m]

De las expresiones (2.59) y (2.60) se puede generalizar el operador del filtro de Walsh:Hwl = H(l)wl[k], l, k = 0, 1, · · · , N−1, siendo wl[k] = N−1/2 walk[k] el sistema de funcionesortonormales discretas, que corresponde a los vectores propios del operador de filtración,el cual puede ser representado por la matriz de orden N , acorde con la expresión (2.58):

H = WTKW

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Por cuanto la matriz W es simétrica el operador de filtración de Walsh tiene la forma:

H = WKW (2.61)

La síntesis del respectivo filtro se puede realizar en correspondencia con la siguienteexpresión:

Y = WKWX (2.62)

Ejemplo 2.2. Determinar la funcion de transferencia H(ejΩ ) del sistema representado en laFigura2.12(a), donde |α| < 1.

- -

6

∑x[n] y[n]

y[n− 1]

retenedoramplificadorK T

(a) Diagrama

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

α = .75

α = .5

α = .25

(b) Magnitud

Figura 2.12: Sistema recursivo de primer orden

Metodo 1. De acuerdo al sistema presentado, la respuesta a impulso dada sera h[n] = αnu[n],luego, la funcion de transferencia se determina como:

H(ejΩ) =

∞∑

n=−∞

h[n]e−jnΩ =

∞∑

n=0

αne−jnΩ =

H(ejΩ) =∞∑

n=0

(αe−jΩ

)n=

1

1 − αe−jΩ

Metodo 2. Sea x[n] = ejnΩ la senal de entrada, luego, la senal a la salida del sistema sera y[n] =H(ejΩ)ejnΩ, que aplicando (2.18), y[n− 1] = H

(ejΩ)ejΩ(n−1) por lo que la ecuacion recurrente

del filtro sera:

y[n] = x[n] + αy[n− 1]

Reemplazando

H(ejΩ)ejnΩ = ejnΩ + αH(ejΩ)ejΩ(n−1) =ejnΩ

ejnΩ − αejΩ(n−1)=

1

1 − αe−jΩ

A partir de la ecuacion recurrente obtenida y empleando las expresiones (2.18) y (2.56) se obtiene

Y (ejΩ) = X(ejΩ)

+ αejΩY(ejΩ).

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Debido a que Y(ejΩ)

= H(ejΩ)X(ejΩ), entonces

H(ejΩ) =Y (ejΩ )

X(ejΩ )=

1

1+αe−jΩ

Finalmente, se puede demostrar que el modulo y la fase de H(ejΩ)

respectivamente seran (Figura2.12(b)):

∣∣H(ejΩ)∣∣ = 1√

1 + α2 − 2α cos Ω

mientras

Ω(ejΩ) = arctan

( −α sinΩ

1 − α cos Ω

).

2.4.4. Función de convolución discreta

Cualquier secuencia discreta correspondiente a la señal de entrada de la forma

x[k] = · · · + x[−2]δ[k + 2] + x[−1]δ[k + 1] + x[0]δ[k] + x[1]δ[k − 1] · · ·

se podrá representar en términos de la función de impulso unitario (2.9):

x[k] =

∞∑

i=−∞x[i]δ[k − i]

La secuencia de salida y[n] empleando la propiedad de linealidad (2.17) tendrá laforma:

y[k] =∞∑

i=−∞x[i]h[k − i],

donde el k término de la secuencia de salida se define como

y[k] =∞∑

i=−∞x[i]h[k − i] (2.63)

La sumatoria (2.63) se conoce como convolución discreta y se representa de la forma:

y[k] = x[k] ∗ h[k] = h[k] ∗ x[k]

La sumatoria (2.63), generalmente, se conoce como acíclica o aperiódica. Si la se-ñales de entrada x[n] es de longitud M y la respuesta a impulso h[n] es de longitud N ,entonces la respuesta y[n] será de longitud N +M − 1.

La convolución cíclica se define como [16]:

y[k] =N−1∑

i=0

x[i]h[k − i]

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En este caso, las secuencias de entrada se consideran de igual longitud N . Además,x[n] y h[n] se asumen periódicamente extendidas fuera del rango [0, N − 1], que resultatambién en una salida y[n] periódica. Una notación alterna empleada durante el desa-rrollo de los algoritmos de cálculo y basada en la operación de módulo es

y[〈k〉N ] =N−1∑

i=0

x [〈i〉N ]h[〈k − i〉N ]

donde 〈n〉N es el residuo de n módulo N . (Cuando la base es obvia ésta se omitirá).La convolución discreta en (2.63) se define como lineal si está determinada para

todos los valores de i en el intervalo (−∞,∞). Si la señal x[i] es cero para i fuera delintervalo [N1, N2], entonces, se denominará señal de longitud (N = N2 −N1 + 1), que porconveniencia se notará por N . De igual manera, si la respuesta h[v] es cero fuera de[M1,M2] se denominará de longitud (M = M2 −M1 + 1). Para el caso de dos señales finitaslos términos de la suma (2.63) M2 +N2 < I < M1 +N1 resultarán ser cero, por lo que laseñal de salida será de longitud (M2 +N2−N1−M1 +1) que corresponde a la menor sumade las longitudes de las señales que conforman la convolución. En este caso, la primeracomponente diferente de cero ocurre cuando i−M1 = N1 ó i = M1 +N1 y el último cuandoi−M2 = N2 ó i = M2 +N2.

Ejemplo 2.3. Determinar la convolucion y[n] para las funciones discretas dadas h[n] = anu[n]y x[n] = bnu[n].

Empleando (2.63) se obtendra

y[n] =∞∑

i=−∞

h[i]x[n− i] =∞∑

i=−∞

aiu[i]bn−iu[n− i] =

=

n∑

i=0

aibn−iu[n]

=

bn

n∑

i=0

(ab

)iu[n] =

= bn1 − (a/b)n+1

1 − a/bu[n] =

bn+1(1 − (a/b)n+1)

b− au[n] =

y[n] =b

b− abnu[n] − a

b− aanu[n].

Cálculo de la convolución discreta

Convolución lineal. La convolución lineal discreta de (1.101) puede ser escrita pormedio de la multiplicación de matrices, donde las señales de entrada y salida corres-ponden a vectores columnas y es la matriz con columnas correspondientes a versionesdesplazadas de la respuesta, en la forma (donde N1 = M1 = 0):

y[0]y[1]·y[N2 +M2]

=

h[0] 0 · · 0h[1] h[0] · 0 0· · · · ·0 · · · h[M2]

x[0]x[1]·

x[N2]

(2.64)

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Segmentación de la señal de entrada. Frecuentemente, es necesario trabajarcon secciones cortas de una señal de entrada de longitud larga. Existen 2 métodos decálculo de la convolución en este caso. El primero denominado de traslapo aditivo de

salida [24], en el cual la señal de entrada es representada por una suma de bloques conlongitud L, de la forma:

xm[n] =

x[n], mL ≤ n ≤ mL+ L− 1

0, otros casos(2.65)

La sustitución de (2.65) en (1.101) dará como resultado

y[n] = h[n] ∗∞∑

m=−∞xm[n], (2.66)

definiendo ym[n] = h[n] ∗ xm[n], entonces, la ecuación (2.66) será

y[n] =∞∑

m=−∞ym[n] (2.67)

Cada una de las convoluciones en (2.67) corresponde a una entrada de longitud fmaxy a una respuesta h de longitud M , dando una salida ym de longitud fmax +M − 1. Estossegmentos de salida se traslapan y adicionan de acuerdo a (2.67).

El método de traslapo aditivo de salida puede ser descrito empleando la notaciónmatricial de (2.64), donde los bloques de salida corresponden al seccionamiento de lamatriz H. El segundo método de seccionamiento es denominado de traslapo selectivo, enel cual los segmentos de entrada se convolucionan con h[·] y los apropiados valores desalida son escogidos o seleccionados. El algoritmo se toma en cuenta que la respuesta deuna señal de longitud M con la respuesta a impulso h[n] solo dura M − 1 tiempos comose ilustra en la matriz (2.68), donde para un ejemplo concreto se enmarcan las partesde la matriz que deben ser calculadas. Las demás partes como se observa son cero.

y (0)y (1)y (2)y (3)y (4)y (5)y (6)y (7)

=

h (0) 0 0 0 0 0 0 0h (1) h (0) 0 0 0 0 0 0h (2) h (1) h (0) 0 0 0 0 0

0 h (2) h (1) h (0) 0 0 0 00 0 h (2) h (1) h (0) 0 0 00 0 0 h (2) h (1) h (0) 0 00 0 0 0 h (2) h (1) h (0) 00 0 0 0 0 h (2) h (1) h (0)

x (0)x (1)x (2)x (3)x (4)x (5)x (6)x (7)

(2.68)

trtry (5)y (6)y (7)

=

h (0) 0 0 0 0 0 0 0h (1) h (0) 0 0 0 0 0 0h (2) h (1) h (0) 0 0 0 0 0

0 h (2) h (1) h (0) 0 0 0 00 0 h (2) h (1) h (0) 0 0 0

x (3)x (4)x (5)x (6)x (7)

La Transformada de la convolución lineal definida en (1.101) será el producto de lastransformadas Z de la entrada x y la respuesta h, así

Y (z) = H(z)X(z) (2.69)

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Convolución circular. Se define como la convolución de las señales x[n] en la forma

y[n] =N−1∑

m=0

h 〈n−m〉x[m], n = 0, 1, · · · , N − 1

y[n] = h 〈n〉 ⊗ x[n] (2.70)

En (2.70) los índices son evaluados por módulo N . La convolución circular se notapor el símbolo ⊗. Cabe anotar, que mientras la convolución circular de dos señales delongitud N da una salida de longitud también N , en la convolución lineal la salida es de2N − 1.

La representación matricial de la convolución circular corresponde a reemplazar losvalores cero en las columnas de (2.68) por los valores de la señal cíclicamente desplaza-dos, por lo que la matriz se denomina circular:

y (0)y (1)y (2)y (3)y (4)y (5)y (6)y (7)

=

h (0) h (7) h (6) h (5) h (4) h (3) h (2) h (1)h (1) h (0) h (7) h (6) h (5) h (4) h (3) h (2)h (2) h (1) h (0) h (7) h (6) h (5) h (4) h (3)h (3) h (2) h (1) h (0) h (7) h (6) h (5) h (4)h (4) h (3) h (2) h (1) h (0) h (7) h (6) h (5)h (5) h (4) h (3) h (2) h (1) h (0) h (7) h (6)h (6) h (5) h (4) h (3) h (2) h (1) h (0) h (7)h (7) h (6) h (5) h (4) h (4) h (2) h (1) h (0)

x (0)x (1)x (2)x (3)x (4)x (5)x (6)x (7)

(2.71)

La Transformada de la convolución circular determinada en (2.67), será

Fy[·] = FHFx[·] (2.72)

Debido a la relación de la convolución circular con la TDF en (2.72), mientras la linealocurre con la transformada Z en (2.69), y por cuanto preferentemente se desarrollanalgoritmos discretos para el cálculo de la TDF, se hace necesario obtener la relaciónentre ambos tipos de convolución. Del análisis de las matrices (2.64) y (2.71) se puedededucir que para el cálculo de la convolución lineal a partir de la circular para unaentrada de longitud N y respuesta a impulso de longitud M , se deberá agregar M − 1ceros a la entrada y N − 1 a la respuesta h, con lo cual las señales, que forman laconvolución, tendrán igual longitud M+N−1, lo mismo que la salida y, que correspondea la convolución lineal. Esta operación se muestra en la siguiente matriz:

y (0)y (1)y (2)y (3)y (4)

=

h (0) 0 0 0 h (1)h (1) h (0) 0 0 0

0 h (1) h (0) 0 00 0 h (1) h (0) 00 0 0 h (1) h (0)

x (0)x (1)x (2)x (3)

0

2.4.5. Representación generalizada discreta

En forma general, la relación entre la transformada Z y la TDF puede verse por ejemploevaluando para una secuencia discreta de longitud N la ecuación (2.15) en el punto

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z = ejθ, o sea, en el punto de círculo unitario con ángulo igual a la frecuencia relativa θ:

XL(z) =N−1∑

n=0

x[n]z−n

De esta relación se puede ver que la TDF de x[n] puede ser obtenida evaluando latransformada Z en los valores z = ej2πk/N = ejθ, esto es,

z = ej2πk/N = ejθ∣∣∣z=e−jθ

= X(e−jθ

)

De la última equivalencia resulta que los coeficientes de la TDF de una secuenciafinita son los valores de la transformada Z de la misma secuencia de N igualmenteespaciados puntos alrededor de un círculo unitario en el plano z, y lo que es mas impor-tante, los coeficientes de la TDF en forma directa de una secuencia de duración finitason la única representación de esa secuencia por cuanto la TDF en forma inversa puedeser usada para reconstruir exactamente la secuencia deseada a partir de los coeficientesde la respectiva forma directa de la TDF.

Uno de los principales métodos de análisis de los sistemas discretos es la transfor-mada Z , que permite reemplazar la solución de las ecuaciones iterativas lineales porla solución de ecuaciones algebraicas. El empleo de estas transformadas en las ecua-ciones iterativas es análogo al empleo las transformadas de Laplace en la solución deecuaciones diferenciales [15].

La transformada Z de una secuencia dada x[n] se define como

Z x[n] , X(z) =∞∑

n=−∞x[n]z−n (2.73)

En la mayoría de los casos prácticos cuando x[n] = 0 y n ≤ 0, la transformada Z seconvierte en lateral:

XL(z) =∞∑

n=0

x[n]z−n

Al expresar la variable compleja z en forma trigonométrica z = rejθ, entonces latransformada Z se puede escribir así:

X(z) =

∞∑

n=−∞x[n]r−ne−jnθ (2.74)

Esta función se determina en aquellos puntos donde la serie (2.74) converge, queocurre si se cumple la condición:

∞∑

n=−∞

∣∣x[n]r−n∣∣ <∞ (2.75)

La región en el plano complejo z sobre la cual se cumple la condición (2.75) sedenomina región de convergencia de la transformada Z , en caso contrario, región de

divergencia.

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La serie (2.73) se puede dividir en dos partes así:

∞∑

n=−∞x[n]z−n =

−1∑

n=−∞x[n]z−n+

∞∑

n=0

x[n]z−n

La primera serie converge cuando |z| < Rx+, y la segunda cuando |z| < Rx−. De estamanera, la región de convergencia de la transformada Z se determina por las desigual-dades:

Rx− < |z| < Rx+ (2.76)

que conforma un anillo en el plano de la variable compleja z. La serie de potencia (2.73)definida en el anillo (2.76) corresponde a la serie de Laurent, por lo que, para el estudiode la Transformada Z se pueden emplear los métodos convencionales de la Teoría deVariable Compleja [25].

Propiedades de la Transformada Z

(a). Linealidad: Sea Z xi[n] = Xi(z), para αi=const, entonces

Z

∑

i

αixi[x]

=∑

i

αiXi(z)

(b). Desplazamiento:

Z x[n+m] =

∞∑

n=−∞x[n+m]z−n = zm

∞∑

n=−∞x[n+m]z−(n+m) = zmX(z)

(c). Multiplicación por una secuencia exponencial

Zω−nx[n]

=

∞∑

n=−∞ω−nx[n]z−n =

∞∑

n=−∞x[n]ω−nz−n = X(z + ω)

(d). Convolución discreta: Sea la salida de un sistema lineal invariante en el tiempodada por la convolución y [k] =

∑n x [k]h [n− k], entonces,

Y (z) =∞∑

n=−∞

[ ∞∑

k=−∞x[k]h[n− k]

]z−n =

∞∑

k=−∞x[k]z−k

∞∑

n=−∞h[n− k]z−(n−k)

Por lo cual se obtiene

Y (z) = X(z)∞∑

n=0

h[n]z−n

que de acuerdo a la definición de la transformada Z será

Y (z) = H(z)X(z)

Janu

ary 1

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Draft

Versio


(e). Multiplicación. Sea Z xi[n] = Xi(z),

Z x1[n]x2[n] =1

2πj

∮

Γ

X2

(zv

)X1(v)v

−1dv

donde Γ es el contorno hasta donde se extiende el radio de convergencia.

(f). Diferenciación

dX(z)

dz=

d

dz

( ∞∑

n=−∞x[n]z−n

)= −

∞∑

n=−∞nx[n]z−n−1 = −1

zX(z)

Frecuentemente, se hace necesario determinar la secuencia x[n] por su transformadaZ , esto es, hallar su transformada inversa Z y que se define por:

x[n] =1

2πj

∫

Γ

X(z)zn−1dz

donde Γ es el contorno cerrado que abarca todos los polos de la función X(z), donde laintegración se lleva a cabo en sentido contrario al de las manecillas del reloj [2].

Se definen como polos, aquellos puntos donde la función X(z) tiende a infinito. Si elnúcleo de la integral tiene la forma

X0(z) = X(z)zn−1 =M(z)

k∏i=1

(z − pi)mi

donde k,mi ∈ Z+ son enteros positivos, entonces, los valores de la secuencia x[n] se

pueden calcular por medio de la teoría de residuos [2]:

x[n] =k∑

i=1

Re zz=pi

[X0(z)]

Si el polo pi tiene orden mi, entonces el residuo de la función X0(z) en el punto pi, sedefine como:

Rezz=pi

[X0(z)] =1

(mi − 1)!lımz→pi

dmi−1

dzmi−1((z − pi)

miX0(z))

En particular, si mi = 1, entonces:

Rez=pi

[X0(z)] = lımz→pi

[(z − pi)X0(z)]

La función de transferencia discreta de un filtro digital dada en (2.56) puede serrepresentada en función de la transformada Z

Y (z) = H(z)X(z)

Janu

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Versio


siendo X(z) y Y (z) las respectivas trasformadas Z de las secuencias de entrada y sa-lida del filtro. La función de transferencia H(z) corresponde a la transformada Z de larespuesta a impulso dada en (2.53).

La transformada Z de las formas no recursiva y recursiva de (2.52), respectivamentees la siguiente

Y (z) =M∑

n=0

bnz−nX(z)

Y (z)N∑

n=0

anz−n = X(z)

M∑

m=0

bmz−m

Por lo cual, las respectivas funciones de transferencia serán:

H(z) =M∑

n=0

bnz−n (2.77a)

H(z) =

M∑m=0

bmz−m

N∑n=0

anz−n(2.77b)

Los coeficientes de las respectivas funciones de transferencia (2.77b) y (2.77a), deforma unívoca, determinan los filtros recursivos y no recursivos.

Descomponiendo los polinomios del numerador y denominador de (2.77b) en múlti-plos elementales, se obtiene (para M ≤ N )

H(z) = H0

zN−MM∏i=1

(z − zi)

N∏i=1

(z − pi)

(2.78)

donde zi son los ceros y pi son los respectivos polos de la función (2.77b). La función detransferencia del filtro no recursivo (2.77a) no tiene polos.

En forma general, un filtro digital se puede representar empleando los diagramasde polos y ceros. Si los ceros (polos) son valores complejos, estos se encuentran en pa-res de complejos conjugados en numerador (denominador) de la descomposición (2.78).Conociendo la disposición de los polos en el plano complejo z, se puede determinar laestabilidad del filtro.

Se puede demostrar que cualquier filtro recursivo es estable si el valor absoluto desus polos es menor que uno [1]. Los filtros no recursivo siempre serán estables.

La respuesta a impulso, de acuerdo, a su definición para los filtros recursivos puedeexpresarse por la relación:

H (z) =

N∑n=0

anz−n

M∑m=0

bmz−mZ δ (t) = z−1 + Y1z

−2 + Y2z−3 + . . .+

Janu

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Versio


La última serie de potencia z−1, en forma general, es infinita. La función de peso enel caso de los filtros no recursivos es finita. La respuesta a impulso se puede relacionar através de la transformada Z con la función de transferencia por la relación en la forma,h [n] = Z −1 H (z)

La función de transferencia del filtro digital puede ser representada también en laforma:

H (z) =N (z)

D (z)

que puede ser representada por

H(z−1)

= N (z)D(z−1)

= A+ jB, H (z) = N(z−1)D (z) = A− jB (2.79)

donde A y B son las partes real e imaginaria del producto.El desfase del sistema acorde con la definición de (1.107b) será [1,25]:

φ (ω) =1

2jln

H (z)

H (z−1)

=

1

2jln

A− jB

A+ jB

que genera un retardo de grupo (1.110) del tipo

τ(ejω)

= −A− jB

A2 +B2

donde x denota d/dω

Janu

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Versio


Problemas

Problema 2.9. Calcular la TDF directa del pulso discreto δ[n]: X ejΩ = ∞

i=−∞δ [n] e−jnΩ .

R=1.

- -

6

∑x[n] y[n]

retardoτ

atenuadorK

Figura 2.13:

Problema 2.10. Determinar la respuesta del filtro recursivo empleado en la detección de señales periódicas(previo conocimiento de T ), ilustrado en la Figura 2.13 para los siguientes casos: a) K = 1, b) K < 1.

R. a). h(t) =∞

n=0

δ(t − nT ), b). h(t) =∞

n=0

knδ(t − nT ).

Problema 2.11. Demostrar que el sistema discreto con respuesta a impulso ∞

i=0 αn−1δ [n − i] es del tipoRII.

h[n] =∞

i=0

αn−1δ[n − i] =∞

i=0

u[i]αn−iδ[n − i] = αnu[n].

Problema 2.12. Hallar la respuesta a escalón unitario discreta p[n], que corresponde a la respuesta deun dispositivo discreto cuando la secuencia de entrada es la función escalón unitaria discreta dada en (2.11),aplicado al ejemplo (2.2), suponiendo α < 1.R. p[n] = 1 + α + . . . + αn = αn+1 − 1/(α − 1), donde p[∞] = 1/(1 −∞).

Problema 2.13. Demostrar que la respuesta a escalón unitario de un filtro digital es:

p (t) = y [z]x[t]=1 = H (z)1

1 − z−1

Ejercicio en el PC 2.4. [Matlab ] Representar las siguientes señales:

(a). x(t) = a sin(ω0t+ ϕ) exp(−bt), b > 0,

(b). x(t) = rectT (t)Λ(t, T/4) cos(aΩ0t+ ϕ), a > 1, siendo Λ(t, T ) la función triangular con periodo T.

Ejercicio en el PC 2.5. [Matlab ] Hallar la convolución de las funciones sinc(t) y Dirichlet:

diric(t, n) =

−1t

2π(n−1), t = 0,±2π,±4π, · · ·

sin(nt/2)

n sin(t/2), t 6= 0,±2π,±4π, · · ·

%Convolucion discretaN=200; n=0:pi/N:2 * pi; h=sinc(n); x=diric(n,16)/max(diric(n,16));subplot(211),plot(n,x,n,h)y=conv(x,h);n=-2 * pi:pi/N:2 * pi; subplot(212),plot(n,y)

Janu

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Versio

n 4.1

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Versio

n 4.1

Capítulo 3Filtración digital

El filtro digital es el sistema que realiza la transformación selectiva de componen-tes espectrales y comprende tanto los algoritmos como los dispositivos digitalesque permiten transformar una señal digital en otra. Los filtros digitales poseen

una serie de ventajas con respecto a los análogos: las funciones de transferencia de losdigitales son más estables y flexibles para su cambio, se puede obtener una función decambio de fase lineal en un amplio ancho de banda, brindan un alto factor de calidad y,por último, son preferibles en las frecuencias mas bajas, donde el volumen de los filtrosanálogos es muy grande. Aunque, para los filtros digitales son conocidas algunas restric-ciones, entre ellas la superposición de frecuencias, el error de cuantificación y redondeo,etc., todas estos problemas pueden ser llevados a su mínima expresión realizando uncorrecto diseño de los filtros.

3.1. Características de los filtros digitales

3.1.1. Clasificación

Las siguientes propiedades aplican a los filtros digitales lineales:

(a). Linealidad. La condición de linealidad (1.3) se transcribe de la siguiente manera

K (b1x1 [n] + b2x2 [n]) = b1K x1 [n] + b2K x2 [n]

(b). Invariabilidad. Se cumple la condición dada en (1.4),

K x [n− k] = y [n− k] , ∀k ∈ Z+

(c). Causalidad. Se denominará físicamente realizable si de la condición:x1 [n] = x2 [n] , n 6 k

x1 [n] 6= x2 [n] , n > k

resulta que

K x1 [n] = K x2 [n] , n 6 k139

Janu

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Versio

n 4.1140 Capítulo 3. Filtración digital

(d). Estabilidad. Un filtro digital se denomina estable si la salida de este a cualquierseñal de entrada limitada por nivel es también limitada o convergente:

N∑

k=−∞|h [k]| <∞ (3.1)

Sea la secuencia de entrada finita y acotada x [n], tal que x [n] 6 µ < ∞,∀n. En-tonces, la respuesta a impulso del sistema definida en (2.53) con la condición (3.1)es igual a:

|y [n]| =

∣∣∣∣∣

∞∑

k=−∞h [k]x [n− k]

∣∣∣∣∣

6

N∑

k=−∞|h [k]| |x [n− k]| 6 µ

∞∑

k=−∞h [k] <∞

esto es, la secuencia de salida también será limitada.

Por cuanto, x [nT ] = 0 cuando x [nT ] = δ [nT ], se puede demostrar que (3.1) siemprese cumplirá, si al representar la respuesta a impulso de un filtro recursivo en formaquebrada racional de potencias z−1, entonces, para la realización física se exige queel orden del polinomio del numerador sea menor o igual al orden del polinomio deldenominador.

En el análisis de la estabilidad de los algoritmos de filtración digital es necesariotener en cuenta que el proceso de información con filtros digitales pertenece a la clase detareas matemáticas incorrectas [1], o sea, problemas cuya solución posee un alto gradode sensibilidad y que al menor cambio en los valores de entrada, el algoritmo se tornainestable. Si los datos de entrada (los parámetros de los filtros, las realizaciones de losprocesos de entrada, etc.) son conocidos aproximadamente, entonces, esta inestabilidadconlleva prácticamente a la ambigüedad (a veces inexistencia) de una solución dentrode los intervalos de precisión dados y, además, a la dificultad de interpretación de losresultados obtenidos. Esta particularidad se recalca cuando se resuelvan tareas quetienen que ver con el control de sistemas óptimos, optimización del tiempo de cálculo,sistemas automáticos de medición y otros.

Ejemplo 3.1. Demostrar la invariabilidad del filtro con senal de salida

y [n] = K x [n] − x [n− 1] , n > 0

Esta clase de filtros de primer orden de iteracion se emplea en la practica para la extraccion de lascomponentes de baja frecuencia de los procesos. La respuesta del filtro a una entrada retrasadaen k tiempos sera

K x [n− k] = x [n− k] − x [n− k − 1] .

Mientras, la respuesta retrasada sera

y [n− k] = x [n− k] − x [n− k − 1]

Janu

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Versio

n 4.13.1. Características de los filtros digitales 141

De donde se observa, que

y [n− k] = K x [n− k] ,esto es, el filtro es invariable en el tiempo.

Sin embargo, en el caso del siguiente filtro

y [n] = α[n]x2 [n] + 2x [n− 1] , α > 0

se obtiene que la respuesta a una entrada retrasada sera

K x [n− k] = α[n]x2 [n− k] + 2x [n− k − 1] ,

que sera diferente de la respuesta retrasada:

y [n− k] = α [n− k]x2 [n− k] + 2x [n− k − 1]

por lo que se puede afirmar que el filtro no es invariable en el tiempo.

Ejemplo 3.2. Determinar si cumple la condición de realización física el filtro de segundo gradode iteración:

y [n] = x [n+ 1] − 2x [n] − x [n− 1]

Sean dos secuencias de entrada x1 [n] y x2 [n]. Debido a que la salida en el momento n depende dela señal de entrada en el tiempo [n+ 1], entonces, x1 [n+ 1] 6= x2 [n+ 1], por tanto, y1 [n] 6= y2 [n]o sea, el filtro no es físicamente realizable.

De acuerdo a la definición dada en (2.52), para los filtros no recursivos se cumpleque su salida se determina solamente por los valores de entrada del proceso:

y [n] = K · · · , x [n− 1] , x [n] , x [n+ 1]

Mientras para los filtros recursivos en el cálculo de los valores de la señal de saliday [n] se emplean sus valores pasados, así como los valores pasados y actuales de la señalde entrada:

y [n] = K y [n− 1] , · · · , y [n−N ] , x [n] , x [n−M ]

Sea un filtro digital recursivo con función de transferencia (2.77b):

H(z) =

M∑m=0

bmz−m

N∑n=0

anz−n=

(M∑m=0

bmzM−m

)zN−M

N∑n=0

anzN−n

tal que a0 > 0. De los coeficientes del polinomio A(z) se construye la matriz representadaen la Tabla 3.1.

Las dos primeras filas de esta matriz se forman directamente de los coeficientes A(z):a0n = an, mientras, los elementos de la tercera y cuarta filas se calculan por la expresión:

a1n =

∣∣∣∣a00 a0N−na0N a0n

∣∣∣∣ = a00a0n − a0Na0(N−n), n = 0, 1, · · · , N − 1

Janu

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Versio


Filas Coeficientes

1 a00 a01 a02 · · · a0N−2 a0N−1 a0N

2 a0N a0N−1 a0N−2 · · · a02 a01 a00

3 a10 a11 a12 · · · a1N−2 a1N−1

4 a1N−1 a1N−2 a1N−3 · · · a11 a10

5 a20 a21 a22 · · · a2N−2

6 a2N−2 a2N−3 a2N−4 · · · a20

......

......

......

......

......

k − 1 a((k+1)/2−1)0 · · · a((k+1)/2−1)N

k a(k/2−1)N · · · a(k/2−1)0

......

......

......

2N − 3 a(2N−3)0 a(2N−3)1 a(2N−3)2

Tabla 3.1: Coeficientes A(z)

De igual manera, se calculan las quinta y sexta filas

a2n =

∣∣∣∣a10 a1(N−n−1)

a1(N−1) a1n

∣∣∣∣ = a10a1n − a1(N−1)a1(N−n−1), n = 0, 1, · · · , N − 2

y así sucesivamente, hasta la última fila, la cual contendrá solamente 3 elementos.Se dice que un filtro recursivo es estable solo si cumplen las siguientes condiciones:

1. A (1) > 0; (−1)N A (−1) > 0;

2. a00 > |a0N |, |a10| >∣∣a1(N−1)

∣∣ |a20| >∣∣a2(N−2)

∣∣ , . . . ,∣∣a(2N−3)0

∣∣ >∣∣a(2N−3)2

∣∣.

-

-

.... ............................................ ............................................................................................................................................................................................................................................................................................

∆ω

ω

|H(ω)|6

Figura 3.1: Ancho de banda

Ancho de banda espectral. De formaideal, un filtro debería tener el flanco agudomostrado en la Figura 3.1 entre sus bandasde paso y de rechazo o supresión, con locual el ancho de banda del filtro se mediríasin ninguna ambigüedad como la banda depaso o selectividad de frecuencia. Sin em-bargo, la envolvente de la respuesta de am-plitud no tiene tales puntos de demarcaciónpronunciados llevando a la ambigüedad enla ubicación de los extremos de la banda depaso y de la de supresión como se nota en laFigura 3.1. En la práctica, el ancho de ban-da se toma en el intervalo de frecuencias,en el cual la respuesta de amplitud H (ω)no decrece a valores menores a 1/

√2veces

de su valor máximo.

Janu

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Versio


De manera Adicional, en la banda de paso, la magnitud oscila alrededor del valormáximo y en la banda de rechazo también lo hace cerca del cero. Por lo tanto, en elcálculo de filtros se deben fijar también los siguientes parámetros: valor máximo de laspulsaciones Hρ en la banda de paso, valor mínimo de supresión en la banda de rechazoHς y las frecuencias límites de corte ωc que determinan los extremos de las bandas.

Un parámetro importante es la pendiente de caída de la respuesta de frecuencia quedetermina la velocidad de cambio del módulo de la función de transferencia (o magnitud)desde la banda de paso hasta la banda de supresión.

En general, se denomina filtro pasabajos real aquel que deja pasar a su salida com-ponentes espectrales relativamente bajas en el sentido de que su relación de amplitudesH (ω) es mucho mayor a frecuencias bajas que a las altas. De manera similar, se definenen la práctica los demás tipos de filtros: FPA, pasabandas, etc.

3.1.2. Realización de filtros digitales

El diseño de los filtros digitales consiste de varias etapas. La primera, corresponde a lasíntesis, durante la cual se realiza el desarrollo del esquema del filtro para obtener larespuesta requerida donde se supone que las señales de entrada también están dadas.

- -

?

× y[n]x[n]

b

y [n] = x [n− 1]

y [n] =k∑

i=1

xi [n]

y [n] = bx [n]

HHj

-*

-

- -

Elemento

y[n]

z−1x[n]

x1[n]

x2[n]

x3[n]

y[n]

Notación simbólica

Retardo

Sumador

Multiplicador

Modelo

Tabla 3.2: Notaciones simbólicas

El proceso de determinación de la señal de salida dependiendo de las señales deentrada dadas se denomina análisis del filtro digital. Durante la síntesis del filtro seescoge su forma de realización e implementación en correspondencia con el algoritmode funcionamiento. La selección de la misma forma de realización depende de variosfactores, pero principalmente de la esencia del trabajo al que esté destinado.

De acuerdo a la descripción dada en (2.52) de los filtros digitales en forma de ecua-ciones de diferencias con parámetros constantes, sus elementos principales son los ele-mentos de retardo en un intervalo de discretización, sumadores y los multiplicadorespor las respectivas constantes. Las notaciones simbólicas de estos elementos, así comosu formulación matemática se muestran en la Tabla (3.2). Las formas básicas de reali-zación de los filtros recursivos son las siguientes: directa, canónica directa, paralela, decascada (o secuencial) y de escalera.

Janu

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Versio


(a). Forma directa. La notación de la función de transferencia en la forma (2.77b):

H(z) =

M∑m=0

bmz−m

N∑n=0

anz−n, an, bn ∈ R

se denomina forma directa de realización de los filtros digitales. La estructura rea-lización sobre procesadores digitales de los sistemas recursivos se muestra en laFigura 3.2(a), la cual consta de M + N líneas de retardo con tiempo de retardoT , correspondiente al tiempo de discretización del sistema, M + 1 amplificadorescon ganancia bm,m = 0, 1, · · · ,M , N amplificadores con ganancia an, n = 1, 2, · · · , Ny un sumador. En el caso de los filtros no recursivos, la respectiva estructura deimplementación se muestra en la Figura 3.2(b), en la cual se observan M líneas deretardo, M + 1 amplificadores con ganancia bm, m = 0, 1, · · · ,M y un sumador.

?

?

- -

- -

-

- -

-

?

?

?

-?

x[k]

T

T

T

b0

b1

b2

bM

∑

−a1

−a2

−aN

T

T

T

y[k]

(a) Estructuras discretas recursivas

?

?

- -

- -

-

- -

-

?

-

x[k]

T

T

T

b0

b1

b2

bM

∑ y[k]

(b) Estructuras discretas no recur-sivas

Figura 3.2: Forma directa de realización

Acorde con la función de transferencia del filtro digital presentada en (1.98), éstapuede ser representada de la siguiente manera:

H (z) =N (z)

D (z)(3.2)

donde

N(z) =1

A(z)=

1N∑n=0

anz−n, D(z) = B(z) =

M∑

m=0

bmz−m

Janu

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Versio


(b). Forma directa canónica. De la notación (3.2) se observa que un filtro digital recur-sivo se puede representar por la multiplicación secuencial de dos filtros dados porlas relaciones:

w[k] = x[k] −N∑

n=0

anw[k − n]

y[k] =

M∑

m=0

bmw[k −m]

donde w[k] es la salida del primer filtro, que entra al primero y y[k] es la salidadel segundo filtro. En este caso, se observa que las líneas de retardo en ambospolinomios se hace común, por lo que el total de dispositivos de retardo es N ,considerando que M ≤ N , como se muestra en la Figura 3.3.

?

?

?

-

6

- -

6

-

-

- --

-

-−a1

−a2

−aN

T

T

T

b0

b1

b2

bM

∑ ∑x[k] y[k]

Figura 3.3: Estructura canónica directa

(c). Forma paralela. La estructura del filtro recursivo en forma paralela se muestra en laFigura 3.4. Por cuanto, tanto el numerador, como el denominador de la función detransferencia (2.77b) de un filtro digital corresponde a polinomios algebraicos concoeficientes reales, entonces su función de transferencia puede ser descompuestaen fracciones simples:

H(z) =

K1∑

k

H1k

(z−1)

+

K2∑

k

H2k

(z−1)

= b0 +

K1∑

k

D0k

C0k + C1kz−1+

K2∑

k

B0k +B1kz−1

A0k +A1kz−1 +A2kz−2

donde K1 y K2, respectivamente, son los números que determinan la cantidad decomponentes singulares de primer orden (para el caso de las raíces reales) y las delsegundo (para las raíces complejas), en las que se descompone la función inicial.

Janu

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Versio


---?

? -

66

---?

? -

66

-

-

?

6

--

∑

∑

∑

∑

∑

T

T

T

T

B0

B01

B0k

B11

B1k

A11

A21

A2k

A1k

x[k] y[k]

Figura 3.4: Forma paralela de realización

En el caso de la notación paralela, el retardo de grupo definido en (1.110) será:

τ (z) =M∑

m=0

<zd

dzlnPk (z)

−

N∑

k=1

1

2j<zd

dzlnQk (z)

(d). Forma secuencial. Al descomponer los polinomios del numerador y denominador de(3.2) en multiplicandos elementales se obtendrá (para M ≤ N ):

H (z) =

∏Mi=1 (z − z0i)∏Ni=1 (z − p0i)

=

L1∏

k=1

H1k

(z−1) L2∏

k=1

H2k

(z−1)

(3.3)

=∏

k

B0k +B1kz−1 +B2kz

−2

1 +A1kz−1 +A2kz−2

∏

k

D0k +D1kz−1

1 + C1kz−1

donde z0i son los ceros y p0i son los polos de la función (1.98). La notación de lafunción de transferencia en la forma (3.3) se denomina de cascada o secuencial,que corresponde a la forma más efectiva de realización de un filtro recursivo, des-de el punto de vista de minimizar del error cuadrático medio de representación(cuantificación) y su estructura se muestra en la Figura 3.5.

El término H1k

(z−1)

corresponde a funciones de primer orden de z−1 con paressimples de polos y ceros, ambos reales, mientras H2k

(z−1)

corresponde a funciones

Janu

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Draft

Versio


---?

? -

66

-

-

--?

? -

66

- -

∑ ∑

T

T

B01

B11A11

A21

∑ ∑

T

T

B0k

B1k

A2k

A1k

x[k]

y[k]

Figura 3.5: Forma secuencial

racionales de segundo orden z−1 de con pares de polos y ceros, de carácter comple-jo. Los coeficientes A1k, A2k, B1k, B2k son constantes, algunos de los cuales puedenser cero; L1, L2 son números enteros que determinan la cantidad de polos y ceros.

Las funciones H1k

(z−1)

y H2k

(z−1)

y se pueden analizar como funciones elemen-tales de transferencia de sistemas lineales discretos de primer y segundo ordenrespectivamente, funciones que en conjunto conforman el sistema inicial (3.3).

Cada uno de los circuitos básicos que conforman (3.3), puede ser implementadoempleando la realización directa o canónica. Sin embargo, hay que tener en cuen-ta que por su estructura, el filtro digital realizado en forma secuencial puede serinestable aún cuando sus polos por módulo sean menores que uno, pero que seencuentren muy cercanos a la círculo unitario, entre otras causa debido a los pro-blemas de representación de contenidos, cuyo error se ve severamente acentuado.

(e). Forma de escalera. La función de transferencia de un filtro digital recursivo puede

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-

? - -

?

?

-

6

6

6

?

?

?

6

6

-

?

6

x[k] ∑ ∑

T

T

T

T

∑ ∑

− 1

mn

− 1

m2

−1

y[k]

1

m3

1

m1

Figura 3.6: Forma en escalera

se descompuesta en una cadena racional de la forma (Figura 3.6):

H(z) =1

1 +1

m1z +1

m2z +1....

...1

mN−1z + 1mNz

Las formas más empleadas de realización de los filtros no recursivos son la directay la secuencial, sin embargo, la más simple de implementar es la directa.

En la implementación de las diferentes estructuras de filtros digitales, durante elanálisis de las respuestas de frecuencia de los filtros recursivos con polos dentro de lazona de convergencia ocurre que para ciertas relaciones entre las frecuencias de dis-cretización, componentes espectrales de la señal de entrada y algunos parámetros delos filtros, los algoritmos de filtración recursiva se caracterizan por ser inestables. Parael caso de los recursivos, durante el cálculo de las características aparecen indefini-

ciones del tipo0

0ó

∞∞ . Para todos estos filtros digitales con parámetros constantes se

nota la pérdida de inestabilidad a medida que aumenta la pendiente de los flancos en larespuesta de frecuencia debido al efecto de Gibbs.

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n 4.13.2. Síntesis de filtros recursivos 149

3.2. Síntesis de filtros recursivos

La aproximación durante la síntesis de filtros digitales en principio, no se diferencia delprocedimiento de similar naturaleza en los filtros análogos. Por esto, la teoría de aproxi-mación de los filtros digitales está basada (por lo menos para los métodos y algoritmos)en su similar para la filtración análoga. El diseño de filtros con función de transferenciadada se divide en dos etapas: la aproximación y la síntesis propiamente dicha. En laprimera etapa se forma la función de transferencia del filtro análogo, que contenga lasmismas características dinámicas que con cierto grado de precisión se aproximen a lasrequeridas. En la segunda etapa se definen los valores de los coeficientes de la funciónde transferencia.

3.2.1. Cálculo de plantillas de filtros análogos

Debido a la amplia experiencia ganada en los últimos durante el desarrollo de la teo-ría de síntesis de filtros análogos, es natural que sus métodos básicos de cálculo seanempleados en la síntesis de filtros digitales.

Un filtro análogo tiene función generalizada de transferencia definida en (1.96) y(1.99) de la forma:

Ha(s) =Y (s)

X(s)=Na(s)

Da(s),

donde F (s) = L f(t), siendo L la transformada de Laplace con variable compleja de laforma s = σ + jω.

Un filtro análogo con función de transferencia Ha(s) es físicamente realizable y esta-ble si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Ha(s) debe corresponder a una función quebrada racional de variable compleja s.

2. La potencia del polinomio numerador no debe exceder la potencia del polinomiodivisor.

3. Los polos de la función Ha(s) deben estar ubicados en el plano izquierdo.

El diseño de filtros recursivos a partir de plantillas de filtros análogos implica elpaso de la función de transferencia análoga Ha(s) a la función de transferencia H(z)del filtro digital. El cambio se realiza en dos etapas: Inicialmente se escoge la funciónde transferencia físicamente realizable que sea similar en las características exigidas,luego se realiza el cambio de la plantilla escogida a la función de transferencia del filtrodiscreto, conservando la similitud con la plantilla del filtro análogo. Este paso debecumplir las siguientes condiciones:

1. El eje imaginario s = jω del plano s se refleja en el círculo unitario |z| = 1 del planoz.

2. El semiplano <s < 0 del plano s se refleja en la parte interior del circulo unitario|z| < 1 del plano z.

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El cálculo de la función de transferencia análoga se realiza sobre la plantilla de lafunción de transferencia normalizada de un filtro ideal pasabajos, con frecuencia decorte ωc = 1. Entre las diferentes plantillas normalizadas pasabajos de aproximación defiltros análogos están las aproximaciones de Butterworth, Chebyshev y elípticos (Kauer-Zolotarev), representados en la Figura 3.7, calculados par un orden N = 4, oscilación de3 dB en la banda de paso y un rechazo de 40 dB en la banda de rechazo. Luego utilizandolas transformaciones respectivas se puede obtener las función de transferencia real delos filtros pasabajos, pasabandas, rechazabandas o pasaaltos. La síntesis de los filtrosdigitales se puede realizar, tanto en el tiempo como en la frecuencia.

3.2.2. Síntesis de filtros recursivos en el tiempo

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0ButterworthChebyshevEliptico

Figura 3.7: Respuesta de frecuencia de filtrosanálogos

Método de la invariabilidad de la res-

puesta a impulso. Este método se basaen que los valores discretos de la respues-ta a impulso del filtro digital h[nT ] se tomanigual a los valores de la función homólogade un filtro análogo con la respuesta a im-pulso determinada en los mismos valorescorrespondientes de tiempo. La respuesta aimpulso del filtro escogido como prototipoanálogo se halla experimental o analítica-mente, en base a la función de transferen-cia dada. Si esta función está dada en laforma (2.77b), donde N es la potencia delpolinomio del denominador de la funciónracional quebrada, entonces, se podrá des-componer en la forma de quebrados comu-nes [26]:

Ha(s) = Ha0 +P∑

p=1

Rrps− βp

+ 2<

L∑

k=1

(Rrk + jIrk) exp(βk + jγk)

(3.4)

donde lıms→a

Ha(s), N +P +2L, (P +L) = b(N + 1) /2c, bxc es la parte entera de x, los valores

Rrp = <resp , Rrk = <resk corresponden a la parte real del residuo con relación al ppolo y al k cero.

De la misma manera, Irk = =resk, es la parte imaginaria del residuo con relaciónal k cero. La constante βp es el valor del p polo simple de la función H(s); βk y yk corres-ponden a la parte real e imaginaria del k polo complejo de Ha(s). La función de respuestaa impulso discreta del filtro análogo (3.4) se escribirá en la forma [26]:

h(t) =P∑

p=1

Rrp + 2<

L∑

k=1

(Rrk + jIrk) exp(βk + jγk)

En correspondencia con el principio de invariabilidad, es necesario que se cumplala condición:

h [nt] = h(tn), n = 0, 1, 2, · · · ,

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Entonces, la respuesta a impulso discreta de las componentes de la primera sumacorresponde a la expresión hp(tn) = Rrpe

(βpnT ), a la cual le corresponde un filtro digitalcon función de transferencia

Hp(z) =∞∑

n=0

h [nT ] z−n =Rrp

1 − z−1 exp(βpT ).

De igual manera, se obtendrán las funciones de transferencia de la segunda suma

Hk(z) =Rrk + jIrk

1 − z−1 exp(βkT + jγkT ),

2<

Rrk + jIrk1 − z−1 exp(βkT + jγkT )

=

A1kz−1 +A0k

B2kz−2 +B1kz−1 + 1

donde,

A1k = 2 exp(βkT )(Rrk cos γkT + Irk sin γkT ), A0k + 2Rrk, B1k = 2 exp(βkT ) cos γkT.

La función de transferencia discreta del filtro digital a sintetizado tomará la forma:

H(z) = Hp(z) +Hk(z) =Rrp

1 − z−1 exp(βpT )=

Rrk + jIrk1 − z−1 exp(βkT + jγkT )

.

.

- -

-

-

?

6

Hp(z)

Hk(z)

∑x[k] y[k]

Figura 3.8: Diagrama de un sistema

El diagrama funcional del filtro digitalque realiza la función de transferencia deltipo descrito resulta ser la conexión para-lela de 2 filtros digitales con funciones detransferencia respectivas Hp(z) y Hk(z) (Fi-gura 3.8). Este método analizado de síntesisda buenos resultados cuando se diseñanfiltros digitales cuyas funciones de transfe-rencia no tengan ceros.

Método basado en la transformada ζ bilineal. La aplicación del método de síntesisde filtración digital en base a la invariabilidad de la repuesta a impulso discreta de losfiltros análogo y digital tiene una serie de inconvenientes: primero, es necesario deter-minar la respuesta a impulso discreta del filtro análogo, que no es tarea fácil cuandose sintetizan filtros de alto orden, segundo, la diferencia sustancial de las respuestasde frecuencia entre los filtros sintetizado y análogo; si la respuesta del último tiene unagran amplitud en frecuencias ω > ω2/2, donde ω2 es la frecuencia de discretización y,tercero, la dependencia del coeficiente de amplificación del filtro digital de la frecuenciade discretización. Las particularidades descritas introducen errores apreciables en lascaracterísticas de los filtros digitales y prácticamente limitan su aplicación.

A fin de evitar tales errores, que aparezcan cuando se emplea la transformada Z

estándar, se propuso el empleo de la transformación del tipo en [26]:

s =2

Ttanh

(s1T

2

)

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la cual, después de realizar el reemplazo de s por su valor, a partir de la relación inversaz−1 = exp(−s1T ), toma la forma:

s =2

T

1 − z−1

1 + z−1, (3.5)

Esta transformación algebraica se denomina z−bilineal y corresponde a la represen-tación del plano complejo s en el plano complejo z de círculo unitario, donde, por cierto,la parte izquierda del plano s se representa en la parte exterior con respecto al círculounitario del plano z.

La función de transferencia H(ω) del filtro digital se obtiene como resultado de re-emplazar (3.5) en la expresión para la función de transferencia del correspondiente filtroanálogo Ha(s), o sea:

H(z) = Ha(s)|S= 2T

1−z−1

1+z−1

Por cuanto la transformación de (3.5) es algebraica, para la implementación del filtrodigital cuya función de transferencia es obtenida en base a la transformada bilineal, sepuede realizar por medio del diagrama funcional de las formas paralelo o serial. Con estemétodo se puede realizar la síntesis de algoritmos de filtros digitales de cualquier tipo.

Método de los z−patrones. La transformación z = exp(sT ), es de carácter no linealy para su aproximación, con el objeto de obtener realizaciones linealizadas entre losoperadores z y s fueron obtenidas expresiones analíticas aproximativas denominadas delos z−patrones. Este método se desarrolla basados en la relación z = exp(sT ), con lo

cual, s−1 =T

ln z. Representado la función ln z en forma de serie, se obtiene

ln z = 2

(z − 1

z + 1+

z − 1

3(z + 1)3+ · · · + (z − 1)2n+1

(2n+ 1)(z + 1)2n+1 + · · ·

). (3.6)

Teniendo en cuenta (3.6), la relación (3.3) será:

s−1 =T

2

1

u+ 13u

3 + 15u

5 + · · · + 12n+1u

2n+1 + · · ·

=T

2

(1

u− 1

3u− 4

45u3 − 44

945u5 + · · ·

)(3.7)

donde u = (z − 1)/(z + 1). Tomando el hecho de que (3.7) converge de manera rápida, sepuede limitar su análisis al primer término. Así:

s−2 =T

2

(1

u− 2

3

)≈ T 2

12

z2 + 10z + 1

(z − 1)2

De esta manera, se puede obtener un z−patrón para cualquier orden del operadors−1. Por ejemplo, el respectivo z−patrón para el operador s−2, se obtiene elevando al

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Operador z−Patrón

en el plano s

s−1 T

2

z + 1

z − 1

s−2 T 2

12

z2 + 10z + 1

(z − 1)2

s−3 T 3

2

z(z + 1)

(z − 1)3

s−4 T 4

6

z(z2 + 4z + 1)

(z − 1)4− T 4

120

s−5 T 5

24

z(z3 + 11z2 + 11z + 1)

(z − 1)5

s−6 T 6

120

z(z4 + 26z3 + 66z2 + 26z + 1)

(z − 1)6+

T 6

30240

Tabla 3.3: z−Patrones

cuadrado ambas partes de (3.7), con lo que se obtiene:

s−2 =T 2

4

(1

u2− 1

u

(u

3+

4u3

45+

44u5

945+ · · ·

)+ · · ·

)

=T 2

4

(1

u2− 2

3− 8u2

45− 88u4

945− · · ·

)

De igual manera, que en el caso anterior la serie se limita a los dos primeros térmi-nos, por lo que se obtiene:

s2 ≈ T 2

4

(1

u2− 2

3

)≈ T 2

12

z2 + 10z + 1

(z − 1)2

De manera similar se pueden obtener los z−patrones para cualquier orden del ope-rador s−k. En la Tabla (3.3) se muestran los respectivos z−patrones hasta el orden 6.En [26] se demuestra que para la k potencia del z−patrón se obtiene la relación:

s−k =Nk(z)

(z − 1)k

donde Nk(z) es un polinomio de z.El siguiente paso consiste en que la función de transferencia del filtro análogo cono-

cido se describe por potencias de s−1 en vez de s. Luego, cada potencia tomada indivi-dualmente se reemplaza por la respectiva expresión de z−patrón de la Tabla (3.3). Altener estos miembros, se tiene la expresión para z−1 que básicamente es la función detransferencia del filtro digital buscado.

Como en el caso de los dos métodos de síntesis analizados anteriormente, el orden dela función de transferencia H(z) del filtro digital sintetizado con respecto a la potenciade z−1 es idéntico al orden de la función de transferencia del filtro análogo tomadoinicialmente Ha(s). Debido a que el carácter del reemplazo del z−patrón es enteramentealgebraico, entonces, no hay necesidad en darse la función de transferencia del filtro

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análogo en forma de operaciones de multiplicación o su descomposición en quebradoselementales. La interpretación física de este método en el dominio de las frecuencias secomplica, por cuanto cada mayor potencia del operador s−1 se aproxima por otra funciónmas exacta de z. Debido a que la transformada basada en los patrones tiene carácter nolineal y para ellos, en general, es cierta la relación:

Ψ(ω1, ω2) 6= Ψ(ω1)Ψ(ω2)

donde Ψ es el operador de transformación por el método de los patrones Z, entonces,el carácter exacto de la aproximación dependerá de los z−patrones s−1 para y de laexpresión general para Ha(s). De otra parte, la función de transferencia resultante delfiltro digital obtenida por medio de los z−patrones corresponde a la notación (2.77b),entonces, es mejor realizar estos filtros en forma directa. El método de z−patrones sesuele emplear para la síntesis de prototipos análogos de bajo orden.

Método de acople con la transformada Z. Este método consiste en que la función detransferencia del filtro digital en síntesis tendrá polos y ceros que corresponderán a lospolos y ceros del prototipo análogo inicial. La representación de la transformada paralos polos y ceros del filtro análogo será:

s→ exp(sT ) = z

donde los polos o ceros reales se transforman por la expresión:

s− β → 1 − z−1 exp(βT )

s− α→ 1 − z−1 exp(αT )

y los polos o ceros complejos se encuentran de las relaciones:

(s− β)2 + γ2 → 1 − 2z−1 exp(βT ) + z−2 exp(2βT )

(s− αk)2 + γ2

k → 1 − 2z−1 exp(αkT ) + z−2 exp(2αkT )

Después de realizar transformaciones algebraicas, la función de transferencia delfiltro digital puede ser escrita en la forma:

H(z) =

I∏i=1

(1 +A1iz−1)

K∏k=1

(1 +A1kz−1 +A2kz

−2)

∏(1 +B1pz−1)

L∏l=1

(1 +B1lz−1 +B2lz−2)

, (3.8)

donde

A1l = exp(αiT ), A1k = −2 exp(αkT ) cos(γkT ), A2k = exp(2αkT )

A1p = exp(βiT ), β1l = 2 exp(βlT ) cos(γlT ), β2l = exp(2βlT )

Los polos de la función de transferencia (3.8) son similares a los que se obtienencuando se emplea la transformada Z estándar. De la relación (3.8) se deduce que larelación del filtro digital sintetizado por el método de la transformada Z acoplada es po-sible tanto para los algoritmos de funcionamiento con notación paralela, al descomponer(3.8) en quebrados simples, como para la secuencial. Este método se puede emplear parala síntesis de los filtros digitales de todos los tipos.

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3.2.3. Síntesis de filtros recursivos en la frecuencia

En el diseño de filtros digitales en el dominio de la frecuencia, también se realizan lastareas de aproximación y de síntesis propiamente dicha. En el primer caso, es necesarioresolver la tarea de aproximación de las características reales de un filtro análogo alas características de un filtro ideal. Para la síntesis de filtros de baja frecuencia lasrespuestas de frecuencia se tomarán de acuerdo a la definiciones dadas en (1.109) ycomo se represente en la Figura 1.18. En calidad de criterio de estimación de calidadde la aproximación se empleará el criterio de máxima uniformidad de la respuesta defrecuencia del filtro, el cual se caracteriza por que los valores de sus derivadas de |Ha(jω)|son cero cuando ω → 0.

Dadas las características de los filtros ideales de (1.109), todas las derivadas dela respuesta de frecuencia |Ha(jω)| son cero en las frecuencias ω < ω0. El empleo deeste criterio para la síntesis de filtros análogos se puede ilustrar, por ejemplo, para loscasos conocidos y ampliamente usados de los filtros de Butterworth y Chebyshev. Estosfiltros se distinguen por satisfacer las respuestas de frecuencia y con suficiente grado deprecisión, a las características aproximativas de los filtros llamados ideales.

El filtro de Butterworth tiene una ganancia constante en la banda de paso, mientrasdecrece de forma monótona en la banda de supresión. El filtro de Chebyshev se caracte-riza por tener una respuesta de frecuencia uniformemente ondular en la banda de pasoy decreciente en forma monótona en la banda de supresión.

Método de aproximación de Butterworth. Sea la representación de la respuesta afrecuencia y desfase de un filtro ideal definida de la siguiente manera

Ha (jω) =

exp(−jkω/ωn), 0 ≤ ω

ωn≤ 1

0,ω

ωn> 1

donde k/ωn es el retardo introducido por el filtro, ωn es la frecuencia propia del filtro. Estefiltro podrá ser realizado por una cantidad finita de elementos sumadores que provean elcálculo de la exponente, para esto, usando la representación de Ha(ω) en la forma [26]:

Ha(jω) = exp(α(ω2) + jφ(ω))

donde α(ω2) es la ganancia del filtro y que es función par, φ(ω) es la función del desfasee impar. Luego, se halla el cuadrado de la respuesta de frecuencia en la forma:

(Ha(jω)2) = Ha(jω)Ha(−jω)Ha(jω)

Ha(−jω)= Ha(ω

2)A(jω)

donde H2(ω2) = Ha(jω)Ha(−jω) = |Ha(jω)|2 = exp(2α(ω2)) es el cuadrado de la ganancia

del filtro y que corresponde a una función racional de ω2; A(jω) = Ha(jω)/Ha(−jω).Después se aproxima la función Ha(ω

2) por la relación de tipo

Ha(ω2) =

1 +A0ω2 + · · · +Arω

2r

1 + C0ω2 + · · · + Cqω2q(3.9)

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para la cual se cumplen las siguientes condiciones a) Ha(0) = 1; b) todas las primeras nderivadas de la función Ha(ω

2) son cero para ω = 0. Diferenciando (3.9) n veces e igua-lando cada resultado obtenido a cero de acuerdo con la segunda condición, se podrándeterminar los valores de los coeficientes en la expresión (3.9). En definitiva, la funciónaproximativa será

Ha(ω2) =

1 +A0ω2n +An+1ω

2n+2 + · · ·1 + Cnω2n + Cn+1ω2n+1 + · · · ,

Generalmente, se seleccionan varios de los coeficientes de la siguiente manera:

An = 0, An+1 = 0, Cn+1 = 0, i ≥ 1

El coeficiente Cn determina la ganancia deseada en la frecuencia de corte ωc. Comoresultado la función aproximativa para la respuesta de frecuencia del filtro tendrá forma:

Ha(ω2) =

1

1 + Cnω2n(3.10)

El polinomio característico de (3.10) puede ser representado por diferentes funcio-nes, entre ellos los polinomio de Butterwoth y cuyos raíces están ubicadas en la parteizquierda del plano complejo s. Los primeros 10 polinomios de este tipo se muestran enla Tabla 3.4 con los valores de sus raíces correspondientes.

La función que provee el máximo nivel de uniformidad de aproximación entre lasrespuestas de frecuencia requeridas se representan por medio de polinomios de Butte-rworth Bn(s) en la forma:

Ha(s) =1

1 +Bn(s),

La forma como cambia el coeficiente de supresión (cantidad inversa a la ganancia),el desfase y el retardo de un filtro Butterworth de cualquier orden en función de ω, agrosso modo, se pueden considerar lineal por intervalos.

Después de seleccionado el filtro correspondiente análogo de Butterworth se deberealizar la transformación de la función de transferencia del filtro análogo a la del filtrodigital. Si el denominador de (3.10) se escoge en forma de polinomio de funciones trigo-nométricas, entonces, para la obtención de la función de transferencia del filtro digitales recomendable emplear la relación entre estas funciones y polinomios de potencia zmostrados en la Tabla 3.5.

La función de transferencia del filtro digital obtenida por este método corresponde alalgoritmo de funcionamiento con notación directa. Este método es usado básicamentepara la síntesis de filtros de baja frecuencia y pasabandas.

Ejemplo 3.3. Sea la respuesta de frecuencia de filtros pasabajos Butterworth, aproximadas porlas siguientes expresiones (siendo ωc la frecuencia de corte requerida):

1. |Ha(ω)| =1

1 +

(sinωT/2

sinωcT/2

)2n .

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Orden Polinomio de Butterworth Valores de las Raíces

1 1 + s −12 1 + 1.4142s+ s2 −.707107 ± j.707107

3 1 + 2.0s+ 2.0s2 + s3−1−5.000 ± j0.866025

4 1 + 2.6131s+ 3.4142s2 + 2.6131s3 + s4−.38268 ± j0.923880−0.92388 ± j0.38268

51 + 3.2361s+ 5.2361s2 + 5.2361s3

+3.2361s4 + s5

−1−.80901 ± j0.951057−.80901 ± j0.587785

61 + 3.8637s+ 7.4641s2 + 9.1416s3

+7.4641s4 + 3.8637s5 + s6

−.258819, j0.965926−.707107, j0.707107−0.96592, j0.258819

71 + 4.494s+ 10.0978s2 + 14.592s3

+14.592s4 + 10.097s5 + 4.494s6 + s7

−1−.222521 ± j0.944928−.62349 ± j0.781832−0.90096 ± j0.19509

81 + 5.1528s+ 13.1371s2 + 21.8462s3

+25.6884s4 + 21.8462s5 + 13.1371s6

+5.1528s7 + s8

−0.19509 ± j0.980785−.55557 ± j0.83147−.0707107 ± j0.707107−0.83147 ± j0.55557−0.980785 ± j0.19509

91 + 5.7588s+ 16.5817s2 + 31.1634s3

+41.9864s4 + 41.9864s5 + 31.1634s6

+16.5817s7 + 5.7588s8 + s9

−1−0.173648 ± j0.98480−.0500000 ± j0.86602−0.766044 ± j0.64278−0.939693 ± j0.342020

10

1 + 6.3925s+ 20.4317s2 + 42.8021s3

+64.8824s4 + 74.2334s5 + 64.8824s6

+42.8021s7 + 20.4317s8

+6.3925s9 + s10

−0.156435 ± j0.98768−.0453991 ± j0.89100−.0707107 ± j0.70710−0.891007 ± j0.45399−0.987688 ± j0.15643

Tabla 3.4: Aproximación de Butterworth

2. |Ha(ω)|2 =1

1 +

(tan ωT

2

tan ωcT2

)2n

3. |Ha(ω)|2 =1

1 +

cotωT

2

cotωcT

2

2n

+

tanωT

2

tanωcT

2

2n

Caso 1. Empleando la relacion entre la funcion sin2 (·) con el polinomio en el plano z y despe-jando se hallara:

|H(ω)|2 =(−4z)2n

γ1(z − 1)2n + (−4z)2n

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Versio


Funcion RacionalTrigonometrica

Polinomio enPotencias z

sin2

(ωT

2

)− (z − 1)2

4z

sec2

(ωT

2

)4z

(z + 1)2

tan2

(ωT

2

)− (z − 1)2

(z + 1)2

cos2(ωT

2

)(z + 1)2

4z

cosec2

(ωT

2

)− 4z

(z − 1)2

cot2(ωT

2

)− (z + 1)2

(z − 1)2

Tabla 3.5: Polinomios de potencia

siendo γ1 = sin2

(ωcT

2

)−1

.

Caso 2. llevando a cabo los mismos cambios algebraicos se obtendra:

|H(ω)|2 =γ2(z + 1)2n

γ2(z + 1)2n + (−1)n(z − 1)2n

donde γ2 = tan2n(ωcT

2).

Caso 3. utilizando las relaciones de la Tabla 4.5, la transformacion dara como resultado:

|H(z)|2 =(z − 1)2n(z + 1)2n

(z − 1)2n(z + 1)2n + (−1)nγ3(z + 1)4n + (−1)nγ4(z − 1)4n

donde γ3 = tan2n(ωc1T

2), γ4 = cot2n(

ωc2T

2), y ωc1, ωc2 son las frecuencias inferior y superior

respectivamente del filtro pasabanda.

Método de los polinomios de Chebyshev. El empleo de la aproximación por Chebys-hev en la síntesis de filtros análogos se basa en la siguiente representación de la res-puesta de frecuencia:

|Ha(ω)|2 =1

1 + ε2T 2n(ω)

siendo Tn(ω) el polinomio de Chebyshev de n orden potencia y ε2 es el coeficiente depérdida en la banda de paso. Los primeros 10 polinomios de Chebyshev se muestran enla Tabla 3.6.

El procedimiento de obtención de la función de transferencia de un filtro digital em-pleando la aproximación de Chebyshev es similar al caso antes analizado para el métodode Butterworth. Al determinar el cuadrado de la magnitud del filtro pasabajos análogode Chebyshev |Ha(ω)|2 en forma de un polinomio trigonométrico, después, empleando losdatos de la Tabla 3.6 se encuentra la función respectiva del filtro digital de Chebyshev.

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Orden Polinomio de Chebyshev

0 11 ω2 2ω2 − 13 4ω3 − 3ω4 8ω4 − 8ω2 + 15 16ω5 − 20ω3 + 5ω6 32ω6 − 48ω4 + 18ω2 − 17 64ω7 − 112ω5 + 56ω3 − 7ω8 128ω8 − 256ω6 + 160ω4 − 32ω2 + 19 256ω9 − 576ω7 + 432ω2 − 120ω3 − 9ω10 512ω10 − 1280ω8 + 1120ω6 − 400ω4 + 50ω2 − 1

Tabla 3.6: Polinomios de Chebyshev

Ejemplo 3.4. Sea el filtro pasabajos de Chebyshev

|Ha(ω)|2 =1

1 + ε2T 2n

tan(ωT )

2

tanωcT

2

2n

donde ε2 es el coeficiente de perdidas en la banda de paso del filtro y T 2n(·) es el polinomio

de Chebyshev de n potencia y primer orden. El cuadrado de la magnitud del filtro digital seobtendra en la forma:

|H(z)|2 =1

1 + ε2T 2n

(z − 1

jγ5(z + 1)

)

donde γ5 = tan(ωcT

2). Determinando las raıces del polinomio de Chebyshev T 2

n(·) en la funcion

de transferencia obtenida se hallaran sus polos con lo que despues se podra pasar a la etapa derealizacion del filtro digital.

Método de funciones elípticas. En el proceso digital de señales, se pueden emplearfiltros con características de la mejor manera aproximados a las del filtro ideal. En estecaso se exige brindar que en la banda de rechazo halla la máxima supresión no menora un valor dado o que la banda de paso tenga el menor ancho posible cuando sea dadoel coeficiente de supresión.

Los mejores resultados para esta aproximación se pueden obtener empleando losdenominados filtros elípticos [1]. El cálculo simplificado de estos filtros se puede llevar acabo partiendo de la expresión de la respuesta de frecuencia exigida:

|Ha(ω)|2 =1

1 + ε2R2(ω)

donde la función R2(ω) cumple las siguientes condiciones:

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- es racional y el número de polos corresponde al de ceros;

- los ceros determinan la banda de paso;

- es función par o impar con respecto a la frecuencia ω.

La interrelación entre los parámetros de diseño de los filtros (r, s y ε) se establecepor las relaciones:

ε2 = r2 − 1, M2 =1 − s2

s2(r2 − 1)

donde r y s son la amplitud pico a pico de las desviaciones de la magnitud del filtro conrespecto a su valor medio en la banda de paso y de supresión respectivamente. M es elcoeficiente que determina el valor de rechazo en la banda de supresión.

Las expresiones para la función característica del filtro digital elíptico son del tipo:

R2k(ω) = M

(x2 − s201)(x2 − s202) · · · (x2 − s20k)

(x2 − s2p1)(x2 − s2p2) · · · (x2 − s2pk)

, ∀k ∈ par,

R2k(ω) = Mx

(x2 − s201)(x2 − s202) · · · (x2 − s20k)

(x2 − s2p1)(x2 − s2p2) · · · (x2 − s2pk)

, ∀k ∈ impar,

donde x = tan(ωT2

)/tan

(ωcT2

), ωc es la frecuencia de corte del filtro de baja frecuencia,

s0k, spk son los ceros y polos de la función característica. Los valores necesarios de losparámetros (n, r, s, ωc, ω1, · · · , ωk) de un filtro de este tipo pueden ser calculados por mediode integrales elípticas en el PC.

Particularidades de los métodos de síntesis de filtros recursivos. Durante la sín-tesis de filtros es necesario determinar principalmente dos parámetros: el tipo de filtro(FPB, FPA, etc.) y la forma de realización del filtro (hardware o software). En algunoscasos, sobretodo en la síntesis de filtros digitales en el computador se puede emplear elmétodo directo que pasa de los algoritmos de un filtro pasabajos conocido por un valordado de frecuencia de corte ωc a los algoritmos de los filtros digitales de baja frecuen-cia, pasabandas o de alta frecuencia con las frecuencias exigidas de corte ωreq, como semuestra en la Tabla 3.7.

Para la realización práctica de las funciones de transferencia obtenidas de los filtrosdigitales en este caso, después de su descomposición en fracciones simples se puedeemplear cualquiera de los diagramas funcionales: directo o secuencial. El procedimientode síntesis del filtro digital requerido basado en el traspaso directo del filtro pasabajoses el siguiente:

1. Se escoge la función de transferencia del filtro digital pasabajos H(z) con frecuenciade corte ωc;

2. Se fija la frecuencia de corte requerida del FPB o del FPA, o bien se fijan las fre-cuencias baja ω1 y alta ω2 de corte del filtro pasabandas;

3. Se calculan los parámetros α y k del filtro por las relaciones de la Tabla 3.7;

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FiltroOperador del

F iltro RequeridoParámetros

Pasabajos(z−1 − α

)/(1 − αz−1

)α =

sin

((ωreq − ωc)T

2

)

sin

((ωreq + ωc)T

2

)

Pasaaltos(z−1 + α

)/(1 + αz−1

)α = −

cos

((ωreq − ωc)T

2

)

cos

((ωreq + ωc)T

2

)

Pasabanda −

z−2 − 2αk

k + 1z−1 +

k − 1

k + 1k − 1

k + 1z−2 − 2αk

k + 1z−1 + 1

α =

cos

((ω2 + ω1)T

2

)

cos

((ω2 − ω1)T

2

) ,

k =

cot

((ω2 − ω1)T

2

)

tan

((ωreq)T

2

)

Supresor

z−2 − 2α

1 + kz−1 +

1 − k

1 + k1 − k

1 + kz−2 − 2α

1 + kz−1 + 1

α =

cos

((ω2 − ω1)T

2

)

cos

((ω2 + ω1)T

2

) ,

k =

tan

((ω2 − ω1)T

2

)

tan

((ωreq)T

2

)

Tabla 3.7: Operadores de filtración

4. El operador z−1 del filtro inicial pasabajos se cambia por el correspondiente opera-dor del filtro que esta siendo sintetizado a partir de la Tabla 3.7.

Ejemplo 3.5. En el caso 2 del ejemplo 3.3 fue mostrado como por medio de un prototipo analogo

de filtro pasabanda |Ha(ω)|2 se puede sintetizar el FPB digital con el cuadrado de la respuesta a

impulso del tipo |H(z)|2. Ahora, empleando los datos de la Tabla 3.7 se puede efectuar el cambioa un pasabandas obteniendo:

|Hnn(z)|2 =γ3(z

2 + 1)2n

γ3(z2 + 1)2n + (−1)n(z2 − 2αz + 1)2n

donde γ3 = tan2n

((ω2 − ω1)T

2

). Este metodo de cambio directo del algoritmo de FPB recursivo

digital a los algoritmos de otro tipo son muy comodos de emplear, mas aun cuando se realiza anivel de software.

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n 4.1

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n 4.13.3. Síntesis de filtros no recursivos 163

3.3. Síntesis de filtros no recursivos

3.3.1. Condición de desfase lineal

En el proceso digital de señales, es importante conservar la linealidad del desfase, talcomo se determina en (1.109), en particular en casos tales como el análisis cruzadode espectros, el análisis de señales con estructuras sensibles a cualquier distorsión deforma, etc. A diferencia de los filtros recursivos, los no recursivos pueden ser construidoscon desfase lineal.

A partir de la definición de no recursividad dada en (2.77a), se determina la respec-tiva salida del filtro como:

y[n] =M−1∑

k=0

h[k]x[n− k]

De tal manera, que la función de transferencia del filtro no recursivo se puede ex-presar en términos de su respuesta a impulso como:

H(z) =

M−1∑

k=0

h[k]z−k

que en términos de descomposición espectral se describe como

H(ejωT ) = |H(ω)| e−jθ(ω) =M−1∑

k=0

h[k]e−jωkT (3.11)

Los filtros no recursivos mantienen la condición de linealidad de fase cuando cum-plen la condición (1.109), esto es, a partir de la definición (1.107b) se tiene que:

θ(ω) = arctan

(=H(ω)<H(ω)

), −τω, τ = const.

La función de transferencia (3.11) se puede representar en términos de la siguienteserie trigonométrica:

H(ejωT ) =M−1∑

k=0

h[k] cos (kωT ) − jM−1∑

k=0

h[k] sin (kωT )

Por lo que se tiene que

M−1∑k=0

h[k] sin (kωT )

M−1∑k=0

h[k] cos (kωT )

= tan(ωτ)

que resulta en la siguiente igualdad

M−1∑

k=0

h[k] sin (ωτ − kωT ) = 0

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La solución de la anterior igualada cumple las siguientes condiciones:

τ = (M − 1)T

2, h[k] = h[M − 1 − k], k = 0, 1, 2, · · · ,M − 1 (3.12)

De la expresión (3.12) se concluye que cualquier filtro no recursivo tiene desfaselineal (y por tanto, retardo de grupo constante) si su respuesta a impulso discreta essimétrica con relación a su punto medio: (M − 1)T/2 para las funciones h[k] definidasobre arreglos impares, y (M − 1)T/2 para el caso de los pares.

En algunos casos, es suficiente solamente la condición de constancia del retardo degrupo (1.110). Los filtros de este tipo tienen desfase determinado por la relación:

θ(ω) = θ0 − τω

La solución de (3.11) para θ0 = ±π/2 cumple las siguientes condiciones:

τ = (M − 1)T

2, h[k] = −h[M − 1 − k], k = 0, 1, 2, · · · ,M − 1

Esto es, la respuesta a impulso discreta es antisimétrica con relación a su punto me-dio: (M − 1)T/2 para las funciones h[k] definida sobre arreglos impares (obligatoriamenteh[(N − 1)/2] = 0), y (M − 1)T/2 para el caso de los pares.

De lo anterior se deduce que existen cuatro diferentes variantes de realización de losfiltros no recursivos con desfase lineal: de acuerdo a la cantidad de valores que definenla respuesta impulso (par o impar) y de acuerdo a la condición de simetría o asimetríadel respectivo arreglo de h[k].

Precisamente, el empleo de las condiciones de simetría o antisimetría en la res-puesta a impulso, conduce a la simplificación del proceso de síntesis de las respectivasfunciones de transferencia de los filtros digitales. Particularmente, en el caso en que lafunción respuesta a impulso h[k] sea simétrica e impar, se obtiene la siguiente funciónde transferencia:

H(ejωT ) =(M−3)/2∑k=0

h[k] exp(−jωkT ) + h(M−1

2

)exp

(−jω

(M−1

2

)T)+

+M−1∑

k=(M+1)/2

h[k] exp (−jωkT )

Teniendo en cuenta la solución (3.12), y realizando el siguiente cambio de índicesM − 1 − k = m, la segunda sumatoria se puede representar en la forma:

M−1∑

k=(m+1)/2

h[k] exp (−jωkT ) =M−1∑

k=(M+1)/2

h[M − 1 − k] exp (−jωkT ) =

=

(M−3)/2∑

m=0

h[m] exp (−j(M −m− 1)ωT )

factorizando el término exp (−j(M − 1)ωT/2) se obtiene:(

(M−3)/2∑k=0

h[k]ej[(M−1)/2−k]ωT + h

(M − 1

2

)+

(M−3)/2∑k=0

h[k]e−j[(M−1)/2−k]ωT

)=

=(e−j(

M−12 )ωT

) (M−1)/2∑k=0

an cos(kωT )

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2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

2 4 6 8 10 12

−0.5

0

0.5

2 4 6 8 10

−0.5

0

0.5

M = 11, θ = 0 M = 11, θ = 0.5

M = 12, θ = 0 M = 12, θ = 0.5

Figura 3.9: Casos de respuesta a impulso para los filtros no recursivos

siendo

a0 = h [(M − 1) /2] , ak = 2h [(M − 1) /2 − k]

Similares relaciones se obtienen para las tres otras variantes de filtros no recursi-vos lineales, las cuales se muestran en la Tabla 3.8, en la cual los coeficientes bk sedeterminan por la relación:

bk = 2h

[M

2− k

], k = 1, 2, · · ·

Respuesta a impulso orden filtro Función de transferencia

simétrica impar exp(−jM−1

2 ωT) (M−1)/2∑

k=0

ak cos (kωT )

par exp(−jM−1

2 ωT)M/2∑

k=1

bk cos(

2k−12 ωT

)

antisimétrica impar exp(−j(

M−12 ωT − k

2

)) (M−1)/2∑k=1

ak sin (kωT )

par exp(−j(

M−12 ωT − k

2

))M/2∑k=1

bk sin(

2k−12 ωT

)

Tabla 3.8: Funciones de transferencia en filtros no recursivos lineales

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3.3.2. Cálculo de filtros con series de Fourier

La definición de la función de transferencia de filtro digital, teniendo en cuenta ( 2.14),implica su periodicidad con periodo ωd = 2π/T , por lo cual su respectiva descomposiciónen series de Fourier da como resultado:

H(ejωT

)=

∞∑

k=−∞h[k]e−jωT (3.13)

donde

h[k] =1

ωd

ωs/2∫

−ωs/2

H(ejωT

)ejkωTdω (3.14)

De las anteriores expresiones se observa que los coeficientes de la serie de Fou-rier pueden ser tomados en calidad de valores de la respuesta a impulso del filtro norecursivo, por lo cual las ecuaciones (3.13) y (3.14) pueden ser empleadas como basepara la síntesis de filtros no recursivos. Sin embargo, la función de transferencia (3.13)tiene orden infinito, por lo que su implementación física es imposible. El desarrollo, sobreprocesadores digitales reales, de la función (3.13) exige que la cantidad de términos dela sumatoria sea truncada hasta un valor M , tal que h[k] = 0,∀|k| > (M − 1)/2, entonces:

H(z) =

(M−1)/2∑

k=−(M−2)/2

h[k]z−k

El retardo propio de los dispositivos de proceso reales puede ser tenido en cuentamultiplicando la función de transferencia por el correspondiente factor de desplazamien-to de tiempo:

H(z) = z−(M−1)/2

(M−1)/2∑

k=−(M−2)/2

h[k]z−k (3.15)

Los filtros con función de transferencia (3.15) tienen magnitud de la forma:

|H(ω)| =

∣∣∣∣∣∣

(M−1)/2∑

k=0

ak cos(kωT )

∣∣∣∣∣∣(3.16)

Ejemplo 3.6. Sintetizar el filtro pasabajos con magnitud:

∣∣H(ejωT )∣∣ =

1, |ω| ≤ ωc

0, ωc < |ω| ≤ ωd/2(3.17)

siendo ωc y ωd los valores de la frecuencia de corte y discretizacion, respectivamente.

Los valores de la funcion de respuesta a impulso de este filtro se calculan a partir de (3.14):

h[k] =1

ωc

ωd∫

−ωc

ejωkT dω = ωcsinc (ωckT ) (3.18)

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Cuando k = 0, el correspondiente valor de la respuesta a impulso es igual a:

h[0] = lımε→0

sin (ωcεT )

επ=ωcT

πlımε→0

sin (ωcεT )

ωcεT=ωcT

π=

2ωc

ωd

La expresion (3.14) tambien puede ser empleada en el caso de sıntesis de filtros pasaaltos, pasa-banda y rechazabandas. Sea por ejemplo, el caso de sıntesis del siguiente filtro pasaaltos:

|H(ejωT

)| =

0, 0 ≤ ω ≤ ωc

1, ωc ≤ ω ≤ ωd/2(3.19)

Con lo que los valores de su respuesta a impulso seran:

h[k] =1

ωd

ωd/2∫

−ωd/2

∣∣H(ejωT

)∣∣ ejωkT dω =1

ωd

−ωc∫

−ωc/2

ejωkT dω +

ωd/2∫

ωc

ejkωT dω

=

=1

ωd

ωd/2∫

ωc

(ejkωT + e−jkωT

)dω =

2

ωd

ωd/2∫

ωc

cos (kωT ) dω =2

kωdTsin(kωT )

∣∣∣∣ωd/2

ωc

=1

kπ(sin(kπ) − sin(kωcT )) =

sin(kωcT )

kπ(3.20)

Cuando k = 0, se tiene

h[0] = lımε→0

1

επ(sin(επ) − sin(εωcT )) = 1 − lım

ε→0

sin(εωcT )

επ= 1 − ωcT

Tlımε→0

sin(εωcT )

εωcT=

= 1 − ωcT

π= 1 − 2ωc

ωd

De lo anterior resulta que, para k ≥ 1, los valores de las respectivas funciones de respuestaimpulso, tanto para los filtros pasabajos, como para los pasaaltos, que tengan los mismo valoresde frecuencia de corte y discretizacion, se diferencian solamente por el signo del valor discreto.Ası mismo, se observa que la respuesta a impulso de un filtro pasaaltos se puede obtener al restarde el valor unitario la respuesta a impulso del filtro complementario pasabajos.

De manera similar, se calculan los valores de la respuesta a impulso de un filtro pasabandasdescrito por la magnitud:

∣∣H(ejωT

)∣∣ =

0, 0 ≤ ω ≤ ωc1

1, ωc1 ≤ ω ≤ ωc2

0, ωc2 ≤ ω ≤ ωd/2

(3.21)

de acuerdo a la siguiente expresion:

h[k] =

1

kπ(sin(ωc2kT ) − sin (ωc1kT )) , k ≥ 1

2(ωc2 − ωc1)

ωd, k = 0

(3.22)

Mientras para el filtro complementario rechazabanda con magnitud

∣∣H(ejωT

)∣∣ =

1, 0 ≤ ω ≤ ωc1

0, ωc1 ≤ ω ≤ ωc2

1, ωc2 ≤ ω ≤ ωd/2

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cuyos valores de respuesta a impulso seran

h[k] =

1

kπ(sin(ωc1kT ) − sin (ωc2kT )) , k ≥ 1

1 − 2(ωc2 − ωc1)

ωd, k = 0

Los anteriores resultados muestran que entre los filtros rechazabanda y los pasabanda existe lamisma relacion complementaria que la que hay entre los pasabandas y los pasaaltos.

Fenómeno de Gibbs. Al emplear la magnitud (3.16), en la implementación real de losfiltros no recursivos, se presenta el fenómeno de Gibbs, que consiste en la aparición defluctuaciones en la cercanía inmediata del punto de discontinuidad; la misma amplitudde las fluctuaciones no depende del orden de truncamiento M , mas si su frecuencia.

El fenómeno de Gibbs puede ser explicado al describir la función de respuesta aimpulso truncada hM [k] como la multiplicación de su versión infinita h[k] por una funcióndefinida w[k] sobre un intervalo finito de tiempo:

hM [k] = h[k]w[k]

tal que, la función w[k], denominada ventana cumple la siguiente restricción

w[k] =

κ[k] 6= 0, 0 ≤ k ≤M − 1

0, M − 1 < k < 0

A partir de la propiedad de convolución de la transformada Z , la respectiva funciónde transferencia truncada corresponde a:

HM

(ejωT

)= Z h[k]w[k] =

T

2π

π/T∫

−π/T

H(ejωT )W(e−j(ω−θ)T

)dω

El caso más simple de análisis de función ventana w[k] y que encuentra mayoraplicación en la práctica corresponde a la ventana rectangular definida como:

w[k] =

κ 6= 0, 0 ≤ k ≤M − 1

0, M − 1 < k < 0

cuya transformada de Fourier es igual a:

W(ejωT

)= ejω(M−1)T/2 sin (MωT/2)

MωT/2= ejω(M−1)T/2sinc(MωT/2)

En la parte superior de la Figura 3.10(a), se observa el efecto Gibbs en el tiempo paradiferentes longitudes de ventana (M = 64 y M = 320), al cual le corresponde el espectromostrado en la parte inferior que contiene el lóbulo principal y los lóbulos laterales dela magnitud del espectro de la ventana. La oscilatorio de los lóbulos laterales condicionalas fluctuaciones del fenómeno de Gibbs.

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0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

−50

−40

−30

−20

−10

0

0 5 10 15 20 25 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Espectro de ventana

ventana en el tiempo

M = 64

M = 64

M = 320

M = 320

−13 dB

(a) Ventana rectangular

2 4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−80

−60

−40

−20

0

bartletthamminghanning

bartletthamminghanning

Espectro de ventana

ventana en el tiempo

(b) Ventanas mejoradas

Figura 3.10: Ventanas de proceso

Las simulaciones presentadas en la Figura 3.10(a), muestran que al aumentar lacantidad de elementos discretos de la ventana, disminuyen los lóbulos laterales y el ló-bulo principal se hace mas agudo, mientras las fluctuaciones en el tiempo se atenúanmucho más rápido en el tiempo. Sin embargo, el exagerado aumento del número de ele-mentos de discretización M conlleva al incremento significativo del costo computacional.En la síntesis de filtros digitales empleando las series de Fourier se emplean una seriede funciones ventanas, que son mucho mas efectivas que la rectangular. Entre las ven-tanas que encuentran aceptación están las de Bartlett, Hamming y Hanning, mostradasen la Figura 3.10(b).

Funciones mejoradas de ventana

El valor de la distorsión espectral se puede mantener dentro de un mínimo, si secumplen las siguientes propiedades:

(a). Alta concentración en el lóbulo central (principal), que requiere una ventana ampliade tiempo.

(b). Pequeños o insignificantes lóbulos laterales, que requieren una ventana de tiempoalisada sin cortes abruptos de los flancos.

La ventana rectangular lleva a una ventana espectral (función - seno), la cual cumpleel punto a), pero no es efectiva en el punto b), teniendo oscilaciones de alta frecuencia, yademás con lóbulos laterales negativos. Aunque la ventana rectangular deja la funciónde tiempo sin distorsión, esto puede llevar a severas distorsiones en el dominio de lafrecuencia. El efecto indeseable es debido a los cortes abruptos de los flancos de laventana rectangular, que introduce altas frecuencias. Por esto un cierto compromisodebe ser conseguido en el diseño de una ventana que disminuya gradualmente haciaambos flancos del intervalo del registro; realmente se realiza una cierta distorsión de laseñal en el tiempo, pero al mismo tiempo se evitan las oscilaciones de alta frecuencia en

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el dominio de la frecuencia. Una ventana que mantenga ambos dominios sin distorsiónes imposible de sintetizar.

No hay un procedimiento directo para derivar la forma de la mejor ventana en todoslos sentidos, en vez de esto la aproximación es basada en un compromiso entre diferen-tes factores e inclusive el procedimiento puede emplear el mecanismo de prueba y error.Esto explica los grandes esfuerzos hechos en este campo.

La mayoría de las ventanas de w(t) son reales y pares, por lo que su transformada defourier W (ω) es también real y par. Una condición adicional aplicada sobre forma de lasventanas está en su simetría o antisimetría con respecto al valor medio de su intervalode definición T o apertura. Estas condiciones se hacen necesarias en la implementaciónde filtros no recursivos lineales.

Se distinguen los siguientes tipos de ventanas:

Ventanas trigonométricas

1. Ventana Rectangular. Conocida también como ventana Bartlett:

w(t) =

1

T, 0 ≤ t ≤ T

0, |t| > T

a la cual le corresponde la siguiente transformada de Fourier

W (ω) = 2sin(ωT )

ωT= 2 sinc

(ωT

π

)

El proceso de registros con longitud finita sin realizar ninguna operación sobre elcontenido de los datos originales equivale al empleo de la función ventana rectan-gular. En este caso, aunque su implementación es la mas simple, el término sincen W (ω) genera amplios lóbulos laterales, que genera distorsión adicional en lascomponentes espectrales.

La ventana rectangular es la más usada comúnmente y los efectos espectralesindeseables son compensados alisando en el dominio de la frecuencia. Una versiónmodificada de la ventana rectangular es la ventana trapezoidal.

2. Ventanas tipo sinc. Basadas en el empleo de la función sinc como función de alisa-miento de los datos. Entre las principales están:

– Ventana Fourier - Kernel o Ventana Daniell

w(t) =

1

Tsinc(t/T ), 0 ≤ t ≤ T

0, |t| > T

Para el caso de una ventana truncada en el tiempo 0 ≤ t ≤ T , la transformadano puede ser expresada en forma cerrada pero puede ser escrita en forma deuna serie infinita convergente:

W (ω) =1

π

∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)(2n+ 1)!

((π − ωT )2n+1 + (π + ωT )2n+1

)

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que se aproxima a la función rectangular válida en el caso hacer infinito suapertura.

– Ventana de Fejér.

w(t) =

1

Tsinc2(t/T ), 0 ≤ |t| ≤ T

0, t > T

Sobre valores finitos de apertura de ventana, la correspondiente transformadade Fourier W (ω) conlleva a series infinitas convergentes, las cuales se aproxi-man a la función triangular:

W (ω) =1

2π2

∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)(2n+ 1)!

((2π + ωT )2n+2 + (2π − ωT )2n+2 − 2(ωT )2n+2

)

3. Ventanas tipo Coseno Están basadas en las propiedades envolventes de la funcióncoseno. Corresponden a las ventanas más usadas, entre las cuales están:

Ventana Hanning. Conocida como ventana Tukey o simplemente ventana Coseno.

w(t) =

1

2π(1 + cos(πt/T )) , 0 ≤ |t| ≤ T

0, t > T

cuya transformada de Fourier puede expresarse como:

W (ω) = sinc

(ωT

π

)+

1

2

(sinc

(ωT

π+ 1

)+ sinc

(ωT

π− 1

))

A diferencia de la ventana rectangular, la transformada de la ventana tipo cosenoW (ω) se representa por la suma de tres funciones sinc, desplazadas una de otra. Dela ecuación anterior, es de suponer que los lóbulos laterales de las tres funcionessinc al ensancharse se cancelan unos con otros, lo cual es favorable. Así mismo,se observa que si la apertura T puede llegar a ser muy pequeña, el espectro dela ventana se puede aproximar a una constante. Este caso corresponde a bajaresolución y alta estabilidad del espectro. El caso contrario de análisis, cuando laapertura T se amplia significa alta resolución, pero baja estabilidad. La ventaja deuna ventana móvil es que muestra el desarrollo espectral con el tiempo. La ventanaHanning es equivalente a la ventana coseno cuadrado:

w(t) =

1

2πcos

(πt

2T

), 0 ≤ |t| ≤ T

0, t > T

Algunas veces es usada también media ventana coseno y es llamada Ventana Han-

ning Modificada.

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Ventana Hamming

w(t) =

1

T

(0.54 + 0.46 cos

(πt

T

)), 0 ≤ |t| ≤ T

0, t > T

W (ω) = 1.08sinc

(ωT

π

)+ 0.46

(sinc

(ωT

π+ 1

)+ sinc

(ωT

π− 1

))

En general, Las ventanas Hanning y Hamming pueden escribirse como:

w(t) =

1

T

(1 − 2a+ 2a cos

(πt

T

)), 0 ≤ |t| ≤ T

0, t > T

donde a = 0.25 para la ventana de Hanning y a = 0.23 para la ventana de Hamming.Una pequeña modificación en los factores de peso realiza una buena eliminación delos efectos de los lóbulos laterales. Las ventanas espectrales Hanning y Hammingcorresponden a un promedio sobre tres valores consecutivos de la función espectralde la ventana rectangular. Este promedio tiene como consecuencia que las ventanasespectrales para las ventanas Hanning y Hamming tengan muchos lóbulos lateralespequeños, donde el lóbulo central es más amplio para las ventanas Hanning yHamming que para la ventana rectangular. La ventana Hamming es consideradacomo una de las de mejor comportamiento y por tal razón es bastante usada.

Ventana rectangular coseno envolvente. A menudo se busca un dato de la ventanael cual es suficientemente plano sobre la mayor parte de duración de la señal (se-mejante a la ventana rectangular), pero cerca de los dos extremos de la señal nola envuelve (semejante a una ventana coseno). Esto puede ser realizado fácilmentepor combinación de las ventanas rectangular y Hanning de tal manera que la ven-tana comienza a la izquierda con el lado izquierdo de la ventana coseno, seguidapor una ventana rectangular sobre la mayor parte de la señal y al final a la derechacon el lado derecho de la ventana coseno

w1(t) =1

2T

(1 + cos

(5πt

T

)),−T ≤ |t| ≤ −4T

5

w2(t) =1

T,−4T

5≤ |t| ≤ 4T

5

w3(t) =1

2T

(1 + cos

(5πt

T

)),4T

5≤ |t| ≤ T

La correspondiente ventana espectral es:

W (ω) =sin(ωT ) + sin(4ωT/5)

ωT(1 − (ωT/5π)2

)

Ventanas de potencia. Estas están asociadas a alguna función de potencia de t, entrelas cuales están:

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1. Ventana Triangular. Conocida como ventana Bartlett, la cual se obtiene como uncaso especial de la ventana Parzen, haciendo m = 1:

w(t) =

1

T

(1 −

( |t|T

)), 0 ≤ |t| ≤ T

0, t > T

que le corresponde la transformada de Fourier

W (ω) = sinc2

(ωT

2π

)

Esta ventana a diferencia de las otras ventanas no tiene lóbulos laterales negativos.Otro caso especial de la ventana de potencia es obtenido haciendo m = 2 de la cualresulta una ventana parabólica.

2. Ventana de Parzen.

w(t) =

1

T

(1 −

( |t|mT

)), 0 ≤ |t| ≤ T ,m ∈ Z

+

0, t > T

El número de términos en la respectiva transformada de Fourier depende del expo-nente m:

W (ω) =2 sin(ωT )

ωT− 2

(ωT )m+1

ωT∫

0

tm cos tdt

La integral puede simplificarse, si se lleva fuera la integración sucesiva:

ωT∫

0

tm cos tdt = f(ωT ) sinωT + f ′(ωT ) cosωT − f ′(0)

donde

f(t) = m!N∑

0

(−1)ntm−2n

(m− 2n)!, n = 0, 1, · · · , N, N =

m/2, m ∈ par

(m− 1)/2, m ∈ impar

La ventana de Parzen aparece frecuentemente con la siguiente descripción:

w(t) =

1

T

(1 − 6

(t

T

)2

+ 6

( |t|T

)3), 0 ≤ |t| ≤ T

2

2

T

(1 − |t|

T

),

T

2≤ |t| ≤ T

0, |t| > 0

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3. Ventana de Cappelini. Corresponde a una de las ventanas más cercanas al óptimopotencial en la minimización de las pulsaciones de Gibbs, y se determina como:

w(n) =

wc

(3n

N − 1

), |n| ≤ N − 1

2

0, |n| =N − 1

2

donde

wc(t) =

0.828217t3 − 1.67363t2 + 0.041186t+ 0.99938, 0 ≤ t ≤ 0.75

0.065062t3 + 0.372793t2 − 1.701521t+ 1.496611, 0.75 ≤ t ≤ 1.5

Ventanas exponenciales. Las ventanas del tipo exponencial contienen la variable tiem-po en el exponente.

1. Ventana de Gauss.

w(t) =

1

Te−at

2, 0 ≤ |t| ≤ T

0, |t| > T

donde a es una constante positiva. En el caso de análisis de aperturas de tiempoinfinito, la curva Gaussiana es auto-recíproca. Para un intervalo de tiempo finito laTF es:

W (ω) =1

T

√π

ae−ω

2/4aerf(T√a)

donde la función de error erf T se define como

erf (x) =2√π

x∫

0

e−y2dy

Esta ventana espectral no tiene lóbulos laterales negativos y no presenta oscilacio-nes lo cual puede conducir a máximos y mínimos espurios en el espectro calculado.

2. Ventana de Kaiser. Una de las ventanas más efectivas empleadas en la síntesis defiltros no recursivos:

w(n) =

I0(β)/I0(α), |n| ≤ N−1

2

0, |n| > N − 1

2

(3.23)

donde I0(β) es la función modificada de Bessel de primer tipo y orden cero, con

argumento, β = α√

1 − (2n/(N − 1))2, α es un parámetro independiente. El valor deesta función se puede calcular empleando la serie convergente:

I0(λ) = 1 +

∞∑

k=1

(1

k!

(λ

2

)k)2

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En la práctica, el cálculo se puede aproximar por la siguiente expresión:

I0(λ) =

1 + 3.5156229t2 + 3.0899424t4 + 1.2067492t6

+0.2659732t8 + 0.03600768t10 + 0.0045813t12,t = λ

3.75 , λ ≤ 3.75

eλ√λ(0.39894228 + 0.01328592t1 + 0.00225319t21

−0.00157565t31 + 0.00916281t41 − 0.2057706t51+0.02635537t61 − 0.01647633t71 + 0.00392377t81),

t1 = 3.75/λ, λ > 3.75

A diferencia de las demás ventanas, cuya forma solamente se determina por elparámetro tiempo t (o tiempo normalizado t/T ), la ventana de Kaiser cuenta conun parámetro adicional α. Combinando adecuadamente ambos parámetros se ob-tiene mucho mayor flexibilidad en el diseño de filtros con cualquier respuesta defrecuencia realmente implementable, como se muestra en la Figura 3.11.

10 20 30 40 50 600

0.5

1

0 0.5 1 1.5

−80

−60

−40

−20

0

0 0.5 1 1.5

−80

−60

−40

−20

0

1.333.867.04

1.333.867.04

3163127

ventana de tiempo: M = 63

F. Transferencia: β = var y M = 63

F. Transferencia: M = var y β = 3.86

β = 0

β = 0

M = 15

Figura 3.11: Ventana de Kaiser

Sin embargo, el empleo de la ventana de Kaiser está limitado por la selección delos parámetros β y el tiempo normalizado N . Kaiser propuso el siguiente algoritmopara la selección de estos parámetros:

Sea dado un filtro pasabajos, para el cual las pulsaciones de la respuesta de fre-cuencia en la banda de paso (0, ωp) no excede el valor Ap (dado en [dB]), con rechazono menor a Az [dB] en la banda de rechazo (ωz, ωd/2) y con ancho de banda de tran-

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sición Bt = ωz − ωp. Los respectivos coeficientes del filtro Kaiser se calcula de lasiguiente manera:

a) Empleando la expresión (3.18) se calcula la respuesta a impulso h[n], quecorresponde a la función de transferencia de un filtro ideal pasabajos (3.17),donde ωc = (ωp + ωz)/2 es la frecuencia de corte condicional.

b) De los valores dados Ap y Az se calculan los respectivos coeficientes en veces:

δ1 = 10−0.05Az , δ2 =100.05Ap − 1

100.05Ap + 1

De los cuales se halla el menor δ = δ1, δ2.c) Obtenido el valor δ, que caracteriza la desviación de la aproximación para la

respuesta de frecuencia ideal, se calcula el valor que caracteriza la banda derechazo:

Azi = −20 lg δ

d) Se determina el parámetro α de acuerdo con la expresión:

α =

0, Ap ≤ 21

0.5842(Ap − 21)0.4 + 0.07886(Ap − 21), 21 ≤ Ap ≤ 50

0.1102(Ap − 8.7), Ap > 21

e) Del valor dado Ap se obtiene el parámetro D, e igual a:

D =

0.9222, Ap ≤ 21

(Ap − 7.95)/14.36, Ap > 21

f ) Se estima el orden del filtro Kaiser de la condición:

N = 2 bωdD/2Btc + 1,

siendo bλc la parte entera de λ.

g) De acuerdo a (3.23) se calculan los valores de la función ventana de Kaiser, apartir de los cuales e calculan los coeficientes del filtro:

h[n] = w

(∣∣∣∣N − 1

2− i

∣∣∣∣)h

(∣∣∣∣N − 1

2− i

∣∣∣∣), n = 0, 1, · · · , N − 1

La función de transferencia del filtro real de Kaiser tiene la forma:

H(z) = z−(N−1)/2

(N−1)/2∑

n=0

a′[n]

2

(zn + z−n

)

donde a′[0] = h[0] y a′[n] = 2h[n], n = 1, · · · , N − 1.

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El anterior algoritmo es aplicable a los diferentes tipos básicos de filtros: Enel caso de los pasaaltos, los coeficientes de la respuesta a impulso se calculanempleando las expresiones (3.19) y (3.20), ajustando los valores ωc = (ωp +ωz)/2 y Bt = (ωp − ωz). En el diseño de los pasabandas y rechazabandas, loscoeficientes de la respuesta a impulso se calculan empleando las expresiones(3.21) y (3.22). Sin embargo, en el primer caso, el ajuste de los valores es elsiguiente: ωc1 = ωp1 − Bt/2, ωc2 = ωp2 + Bt/2 y Bt = minωp1 − ωz1, ωz2 − ωp2,mientras para el rechazabanda el ajuste es: ωc1 = ωp1 +Bt/2, ωc2 = ωp2 −Bt/2 yBt = minωz1 − ωp1, ωp2 − ωz2.

Métodos de empleo de ventanas

Los procedimientos prácticos aplicando ventanas pueden resumirse en dos métodos al-ternativos:

1. Método 1. La señal de entrada es multiplicada por la función ventana seleccionada.La transformada de Fourier de la serie ponderada es suavizada debido al efecto dela convolución compleja con el espectro de la ventana. apropiada.

2. Método 2. La señal discretizada de entrada se multiplica por la ventana rectan-gular con peso 1, esto es no se altera el contenido de la serie de entrada en laapertura de ventana, luego se realiza el suavizado o alisamiento de las compo-nentes espectrales obtenidas. Por ejemplo se puede aplicar la ventana espectralHamming (este aplanamiento es hecho para contrarrestar las alta frecuencias in-troducidas por la ventana de tiempo rectangular) sobre tres puntos con pesos:w[k − 1] = 0.23;w[k] = 0.54;w[k + 1] = 0.23.

Los dos métodos son equivalentes, únicamente que los pasos se toman en ordendiferente.

En cuanto a la selección de la ventana concreta a ser aplicada, la solución corres-ponde a un compromiso entre varios factores, de los cuales los más significativos son:Ancho de banda de la ventana espectral y los lóbulos laterales del espectro de ventana.

La ventana espectral debe concentrarse en el lóbulo central alrededor de ω = 0 ytener únicamente pequeños lóbulos laterales. Los lóbulos laterales negativos deben pre-feriblemente ser lo más pequeños posibles. Esa condición es clara, cuando se consideraque la ventana espectral por su convolución con el espectro de la señal útil toma elpapel de una función de peso. Desde este punto de vista la ventana rectangular es es-trecha. Pero la forma rectangular de esta ventana de tiempo es indeseable, por las altasfrecuencias que son introducidas (fenómeno de Gibbs).

Las pruebas empíricas muestran que el ancho de banda de la ventana espectral esun parámetro muy significativo más que el tipo de ventana usado. El ancho de bandapuede ser del mismo orden o tan preciso como se quiera para investigar el espectro. Soloque el ancho de banda pequeño, podría disminuir la estabilidad de la estimación espec-tral. Es aconsejable iniciar con un pequeño T e incrementarlo mientras que el espectrono se afecte en su longitud. En razón, a lograr una buena resolución espectral hay dosalternativas, conservar un T constante y buscar entre diferentes tipos de ventana o dejarun T variable y mantener un tipo de ventana constante. El último procedimiento es elmás eficiente.

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3.3.3. Discretización de la función de transferencia

La respuesta de frecuencia de un FPB con frecuencia de corte ωc y con desplazamientode frecuencia nulo φ (jω) = 0 tiene la forma

|H (jω) | =

1, |ω| ≤ ωc

0, |ω| > ωc

La respuesta a impulso de este filtro puede ser descrita de la forma

h (t) =1

2π

∫ ∞

−∞ejωtdω =

1

π

∫ ∞

0cosωtdω = sinc

(ωct

πt

)(3.24)

Si a la entrada del filtro se halla la señal x (t), entonces, se cumplirá:

Y (jω) =

X (jω)H (jω) , |ω| ≤ ωc

0, |ω| > ωc

Suponiendo que la función de entrada está limitada a un rango de frecuencias, estoes, X (jω) = 0 para |ω| > ωβ. Luego, X (jω)H (jω) = 0 para |ω| > ωβ. Si HN (jω) correspondeal intervalo fundamental H (jω) con periodo T = 2π/ωd, donde, ωd ≥ 2ωβ entonces, la TFde la señal de salida se puede representar de la forma:

Y (jω) = H (jω)X (jω) = HN (jω)X (jω) ,∀ω

Si la función H (jω) permite representar HN (jω) en forma de la siguiente serie expo-nencial

HN (jω) =∞∑

n=−∞hne

−j2πωn/ωd

donde hn = 0 cuando n→ ∞, entonces, las respectiva respuesta a impulso será:

hN (t) =∞∑

n=−∞hnδ

(t+

2πn

ωd

)

Tomando en cuenta, que x (t) es función del tiempo, para la obtención de la señalde salida x (t) es necesario calcular la convolución de las funciones x (t) ∗hn (t). Comoresultado se obtendrá:

y (t) =∞∑

n=−∞hnx

(t+

2πn

ωc

)

o, pasándolo al plano discreto para t = 2πm/ωs, se obtiene

y

[2πm

ωd

]=

∞∑

n=−∞hnx

[2π (m+ n)

ωd

]

Con esta relación es difícil trabajar, por cuanto se necesita una cantidad infinita demuestras discretas.

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Sea la función aproximativa de H (jω) en la forma

HN (jω) =N∑

n=−Nhn exp(−2πjωn

ωd) (3.25)

entonces

hN (t) =

N∑

n=−Nhnδ

(t+

2πn

ωd

)(3.26)

determinando la convolución de las dos funciones x (t) ∗hn (t), se hallará y (t) en la forma:

y (t) = x (t) ∗hn (t) =N∑

n=−Nhn

∫ ∞

−∞x (t) δ

(t− τ +

2πn

ωd

)dt

y (t) =

N∑

n=−Nhnx

(t+

2πn

ωd

)(3.27)

o, pasando al plano discreto, cuando t = 2πm/ωd se obtendrá

y

[2πm

ωd

]=

N∑

n=−Nhnx

[2π (m+ n)

ωd

](3.28)

La relación (3.28) es la fórmula básica de filtración digital no recursiva, mientraslas relaciones (3.25) y (3.26) describen sus características de frecuencia y tiempo res-pectivamente. Analizando, (3.25), es importante anotar, que debido a que la función detransferencia del filtro ideal en la práctica se escoge en forma de función par o impar,entonces la función aproximativa HN (jω) puede ser representada para las funcionespares como

HN (ω) = h0 + 2

N∑

n=−Nhn cos

ωnωs

(3.29)

y para las impares

HN (ω) = 2jN∑

n=−Nhn cos

ωnωs

(3.30)

En general, los puntos principales que hay que tener en cuenta en la síntesis defiltros no recursivos son los siguientes:

- El método de selección de los coeficientes hn para el tipo dado de la función H (ω) yel carácter de las señales a procesar;

- La estimación de los errores de aproximación de H (ω) por HN (ω).

- Proveer la condición de eliminación del efecto de traslapo de las señales a la salidadel filtro.

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3.3.4. Optimización de filtros no recursivos

El cálculo de los filtros no recursivos empleando las series de Fourier conlleva a que,en los puntos de corte abrupto en la función de transferencia resultante, aparecen laspulsaciones de Gibbs, en cuya disminución se emplean diferentes tipos de ventanas. Sinembargo, estas oscilaciones se distribuyen de manera no homogénea a lo largo del espec-tro con lo cual, en algunos puntos la compensación con ventanas es muy buena, pero enotras regiones parcialmente se cumplen parcialmente las exigencias de atenuación. Laredistribución de las pulsaciones de la respuesta de frecuencia se puede realizar direc-tamente sobre una malla dada de frecuencias discretas de la función de transferencia,utilizando diferentes métodos numéricos de optimización.

El primer método sencillo de optimización está basado en la implementación directade una una malla de N valores discretos H[k] de la función de transferencia (3.25),relacionada con la respectiva función respuesta a impulso de la forma:

H (jωT ) =

N−1∑

n=0

h[n] exp(−jωnT ) (3.31a)

h[n] =1

N

N−1∑

k=0

H[n]W kn, ωk = 2πk/N, k = 0, 1, · · · , N − 1,W = ej2π/N (3.31b)

Por lo que los valores de la respuesta a impulso se pueden hallar calculando latransformada discreta inversa de Fourier de la función de transferencia del filtro:

H(z) =N−1∑

n=0

h[n]z−n∣∣z=Wn =

N−1∑

n=0

(1

N

N−1∑

k=0

H[k]W kn

)z−n

=1

N

N−1∑

k=0

h[k]N−1∑

n=0

(W knz−n

)=

1

N

N−1∑

n=0

(W kz−1

)n

=1

N

N−1∑

k=0

H[k]1 −WNkz−N

1 −W kz−1=

1 − z−N

N

N−1∑

k=0

H[k]

1 −(ej2πk/n

)z−1

Luego

Hd

(ejωT

)=

1 − e−jNωT

N

N−1∑

k=0

H[k]

1 − e−jωT ej2πk/N=e−jNωT/2

(ejNωT/2 − e−jNωT/2

)

N·

·N−1∑

k=0

H[k]

e−jωT/2ejπk/N[ejωT/2e−jπk/N − e−jωT/2

]

= e−jω(N−1

2T)

N−1∑

k=0

H[k]e−jπk/N sin

(nωT

2

)

sin

(ωT

2− πk

N

)

Se puede demostrar que si H[k] son los valores de la función de transferencia en los

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puntos W k, entonces se obtiene

H(ejωT

)=

|H(0)|N

sinNωT/2

NωT/2+

+

M∑

k=1

|H[k]|N

sin

(N

(ωT

2− kπ

N

))

sin

(ωT

2− kπ

N

) +

sin

(N

(ωT

2+kπ

N

))

sin

(ωT

2+kπ

N

)

(3.32)

donde M = (N − 1)/2 para valores impares de N y M = N/2 − 1 para valores pares de N .Los valores de la función de transferencia H(ejωT ) del filtro no recursivo, calculado

por el método de la discretización de la función de transferencia, coinciden con los va-lores de la función de transferencia exigida Hd[k], solamente en los puntos W k. en losdemás puntos ambas funciones divergen. debido a esto , en la práctica se emplean mo-dificaciones del método de la discretización de la función de transferencia, que permitandisminuir las pulsaciones de la función de aproximación H(ejω).

Disminución de las pulsaciones de Gibbs. Estas oscilaciones están directamente re-lacionadas con el cambio abrupto en la definición de la función de transferencia. Sise genera una banda de transición mas suave y extendida, entonces las fluctuacionesdisminuirán en los valores intermedios entre la malla discreta de frecuencias. Los di-ferentes métodos se diferencian por el criterio de error dado en la optimización de latarea.

La expresión (3.32) que aproxima la función de transferencia exigida Hd[k], es unafunción lineal respecto de H[k] y para selección de sus valores óptimos en la banda detransición se emplean métodos lineales de optimización.

En general, la función de transferencia (3.32) puede ser representada de la forma:

H(ejωT ) =M∑

k=0

|H[k]|Sk(ejωT ) (3.33)

donde

Sk(ejωT ) =

1

N

sinNωT/2

sinωT/2, k = 0

1

N

sin

(N

(ωT

2− kπ

N

))

sin

(ωT

2− kπ

N

) +

sin

(N

(ωT

2+kπ

N

))

sin

(ωT

2+kπ

N

)

, k ≥ 1

Sea B(ejωT ), la componente de la suma (3.33), que corresponde a los discretos fijosde frecuencia, tales que:

H(ejωT ) = B(ejωT ) +

M2∑

k=M1

|H[k]|Sk(ejωT )

Janu

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Draft

Versio


donde |H[k]| , k = M1,M1 + 1, · · · ,M2 es la componente flexible de la banda de transición,cuyos valores cambian acordes al criterio de optimización.

Sea W [ω] la función de peso, que caracteriza el error de aproximación, siendo δ > 0su máximo valor en las bandas de paso y rechazo. Entonces, se necesita seleccionaraquellos valores de los parámetros xi = |H[M1 − 1 + i]| , i = 1, 2, · · · , L = (M2−M1 +1), conlas siguientes restricciones:

∣∣W (ωl)(H(ejωlT

)−Hd

(ejωlT

))∣∣ ≤ δ, l = 0, 1, · · · , N − 1 (3.34)

tal que se cumpla que δ sea la mínima posible. Las restricciones (3.34) se pueden re-plantear de la siguiente manera:

W (ωl)(H(ejωlT

)−Hd

(ejωlT

))≤ δ,

W (ωl)(H(ejωlT

)−Hd

(ejωlT

))≥ −δ,

Como resultado se obtiene la siguiente tarea de programación lineal: Encontrar losvalores x1, · · · , xL de la función de transferencia discreta, con las siguientes restricciones:

L∑i=1

(W (ωl)SM1+1+i

(ejωlT

))xi − δ ≤W (ωl)

(Hd

(ejωlT

)−B

(ejωlT

))

−L∑i=1

(W (ωl)SM1+1+i

(ejωlT

))xi − δ ≤W (ωl)

(Hd

(ejωlT

)+B

(ejωlT

)),

siendo ωl = 2πl/N, l = 0, 1, · · · , N − 1, 0 < xi < 1, i = 1, · · · , L, tal que el máximo valor delerror de aproximación δ en las bandas de paso y rechazo, sea el mínimo posible.

Medidas de distancia de error. Se pueden construir diferentes clases de filtros ópti-mos no recursivos, de acuerdo al criterio de error escogido, determinado por la medida dedistancia entre la función de aproximación H

(ejωlT

)y la función aproximada Hd

(ejωlT

),

definida sobre espacios p-integrables como:

‖H −Hd‖Lp=

1

ωd

ωd∫

0

(H(ejωT

)−Hd

(ejωT

))pdω (3.35)

La solución generalizada de (3.35) es una tarea muy compleja de programación nolineal. En el caso de p = 2 la norma corresponde al criterio del error cuadrático medio ylos respectivos coeficientes se hallan resolviendo el respectivo sistema lineal de ecuacio-nes algebraicas. El filtro que minimiza el máximo valor del error de aproximación en lasbandas de paso y rechazo corresponde a la aproximación de Chebyshev [16.nosach].

Sea Hd(ejωT ) la función de transferencia ideal, que hay que aproximar por medio de

la función H(ejωT , θ) sobre un subconjunto cerrado $ de intervalo (0, ωd/2), y W (ω) unafunción positiva de medición ponderada, que caracteriza el valor absoluto del error entodas las bandas de frecuencia. Entonces, el error ponderado de aproximación se podrárepresentar en la forma:

E(ω, θ) =∣∣W (ω)

(H(ejωT , θ

)−Hd

(ejωT

))∣∣

donde θ es un vector de parámetros desconocidos.

Janu

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Versio


La aproximación de Chebyshev consiste en la selección de los valores del vector θ enla función H(ejωT , θ), tales que el máximo valor del error,

δ(θ) = maxω∈$

∣∣W (ω)(H(ejωT , θ

)−Hd

(ejωT

))∣∣ (3.36)

sea el mínimo posible.La función H(ejωT , θ), se puede representar en forma de multiplicación de las si-

guientes componentes:

H(ejωT , θ

)= P

(ejωT

)Q(ejωT , θ

)

donde P(ejωT

)es alguna función de medida ponderada, y Q

(ejωT , θ

)corresponde a las 4

distintas estructuras de funciones de transferencia obtenidas para los filtros recursivosy mostradas en la Tabla 3.8, que en general se puede representar en forma de unacombinación lineal de cosenos:

Q(ejωT , θ

)=

N−1∑

n=0

θn cos (nωT ) , 0 ≤ ω ≤ ωd/2 (3.37)

Si la respuesta impulso h[n] es simétrica, en caso de tener un valor N impar, enton-ces P

(ejωT

)= 1, θn = an, mientras para el caso de N par, se tiene:

Q(ejωT , θ

)=

N−1∑

n=0

b(n) cos

(ω

(n− 1

2

)T

)= cos

ωT

2

N−1∑

n=0

bn cosnωT

donde los coeficientes bn y bn se relacionan de la forma:

b1 = b0 + b1/2, · · · , bn =(bn−1 + bn

)/2, · · · , bN = bN−1/2

con función de medida ponderada P(ejωT

)= cosωT/2.

Si, por el contrario, la respuesta a impulso es antisimétrica, en el caso de N imparse tiene:

H(ejωT , θ

)=

N∑

n=1

cn sin(nωT ) = sin(ωT )

N−1∑

n=0

cn cos(nωT )

donde

c1 = c0 − c2/2, · · · , cn = (cn−1 − cn+1) /2, · · · , cN = cN−1/2

siendo P(ejωT

)= sinωT/2. De igual manera, se tendrá para el caso N par:

H(ejωT , θ

)=

N∑

n=1

dn sin

(n− 1

2

)ωT = sin

ωT

2

N−1∑

n=0

dn cos(nωT )

donde

d1 = d0 − d1/2, · · · , dn =(dn−1 − dn

)/2, · · · , dN = dN−1/2

siendo P(ejωT

)= sinωT/2.

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Versio


-

?

?

?

@

@@

@

@@

?

@

@@

@

@@

-

?

?

Malla inicial de puntos

extremos con

N + 1 frecuencias

Cálculo del valor óptimo

δ sobre puntos extremos

Interpolación Q ejωT , θsobre N puntos

Cálculo del error E(ω)

determinación de valores

máximos, cuando

|E (ω, θ)| > δ

> N + 1puntosextremos

Seleccionar N + 1

mayores extremos

puntosextremoscambian?

Si

No

Si

No

La mejor aproximación

Figura 3.12: Diagrama del algoritmo Remez

Sean las siguientes notaciones:

W (ω) = W (ω)P(ejωT

)(3.38a)

Hd

(ejωT

)= Hd

(ejωT

)/P(ejωT

)(3.38b)

Entonces el error ponderado de aproxi-mación (3.36) tendrá la forma:

E(ω, θ) = W (ω)(H(ejωT , θ

)− Hd

(ejωT , θ

))

El principal algoritmo de solución de latarea de aproximación de Chebyshev es elsegundo algoritmo de Remez, que se basaen el teorema de la alternancia de Chebys-

hev, cuya modificación en la aproximaciónde una función con un polinomio trigono-métrico se formula de la siguiente manera:

Sea la función Q(ejωT , θ

)una combina-

ción lineal de N funciones coseno del ti-po (3.37). Para que esta aproximación seala mejor aproximación por Chebyshev de lafunción Hd

(ejωT

)dentro del espacio cerrado

$, es necesario y suficiente, que exista porlo menos N + 1 puntos ω0, ω1, · · · , ωN , paralos cuales

E(ωi+1, θ) = −E(ωi, θ), i = 0, 1, · · · , N − 1

donde |E (ωi, θ)| = maxω∈$

E(ω, θ), para los valo-

res i = 0, 1, · · · , N .Las frecuencias ω0, ω1, · · · , ωN se deno-

minan puntos de la alternancia de Chebys-

hev . Este teorema de alternancia es bási-co para la realización de diferentes algorit-mos efectivos de cálculo de la solución de laaproximación de Chebyshev.

Si los puntos de alternancia conforman la malla de valores ordenados ω0 < ω1 < ω2 <· · · , < ωN para un valor desconocido δ, entonces en cada punto ωk se deben cumplir lasrestricciones,

W (ωk)(H(ejωkT , θ

)−H

(ejωkT

))= (−1)k δ, k = 0, 1, · · · , N (3.39)

las cuales conforman un sistema lineal de ecuaciones lineales con N + 1 ecuaciones yN + 1 variables desconocidas θ0, θ1, · · · , θN−1, δ, y el cual, se puede demostrar que tieneuna única solución.

El algoritmo de cálculo del filtro óptimo basado en el segundo algoritmo de Remezse realiza por el siguiente procedimiento:

Janu

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Versio


1. En el intervalo (0, ωd/2) se conforman la función de transferencia deseada Hd(ejωT ),

la función de ponderación W (ω) y se determina el orden N del filtro.

2. A partir del sistema (3.38a) se determinan las funciones Hd(ejωT ), W (ω) y P (ω) que

hacen parte de la tarea equivalente de aproximación

3. Este punto corresponde a un proceso iterativo, que da como resultado los puntos dealternancia de Chebyshev. Inicialmente, y de manera arbitraria se escoge la mallaconstituida por N + 1 valores extremos ω0 < ω1 < ω2 <, · · · , < ωN , ubicados sobreel intervalo (0, ωd/2), con los cuales se resuelve el sistema de ecuaciones (3.39), quetiene la forma matricial:

1 cosω0T cos 2ω0T · · · cos(N − 1)ω0T1

W(ejω0T )1 cosω1T cos 2ω1T · · · cos(N − 1)ω1T − 1

W(ejω1T )· · · · · · · ·1 cosωNT cos 2ωNT · · · cos(N − 1)ωNT

(−1)N

W(ejωN T )

θ0θ1...θN−1

δ

=

Hd

(ejω0T

)

Hd

(ejω1T

)

...

Hd

(ejωNT

)

La solución de este sistema empleando métodos de cálculo de algebra lineal esbastante complejo. En la práctica, el valor de δ se calcula de la expresión:

δ =a0Hd

(ejω0T

)+ a1Hd

(ejω1T

)+ · · · + aNHd

(ejωNT

)

a0/W (ω0) − a1/W (ω1) + · · · + (−1)NaN/W (ωN )

donde

ak =N∏

i=0i6=k

1

(xk − xi), k = 0, 1, · · · , N, xi = cosωi

A partir del valor obtenido de δ se determinan los valores de la función de aproxi-mación Q

(ejωT , θ

), e iguales a:

Qk = Hd

(ejωkT

)− (−1)kδ

W (ωk), k = 0, 1, · · · , N − 1

Empleando la expresión de la interpolación de Lagrange en forma baricéntrica, seobtiene

Q(ejωkT

)=

N−1∑k=0

βkx− xk

Qk

N−1∑k=0

βkx− xk

donde

βk =N∏

i=0i6=k

1

(xk − xi), k = 0, 1, · · · , N, x = cosω,

Janu

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Versio


Sobre el intervalo (0, ωd/2), se selecciona una malla densa de puntos, en cada unode los cuales se calcula el valor de error E(ω, θ). Si para todas las frecuencias de lamalla se cumple que:

E(ω, θ) ≤ δ

se considera hallada la función óptima de aproximación. Si por el contrario, existenpuntos de la malla para los cuales E(ω, θ) > δ, se escogen una nueva malla de N +1puntos. Las nuevas frecuencias ω0 < ω1 < ω2 <, · · · , < ωN , se seleccionan en lospuntos extremos de la función |E(ω, θ)|. En cada iteración del algoritmo de Remezel valor de δ se incrementa hasta, un valor que no exceda el límite superior. Eldiagrama del algoritmo de Remez se muestra en la Figura 3.12.

4. De los coeficientes obtenidos para la función de aproximación (3.37) se determinala respuesta a impulso del filtro h[n], n = 0, 1, · · · , N − 1.

En general, los parámetros de los filtros están fuertemente relacionados entre sí.Por ejemplo, el orden del filtro influye en las frecuencias de corte y rechazo, así como enlas variaciones de amplitud de las respuesta de frecuencia. El orden de un filtro idealpasabajos se puede clacular por la aproximación de Kaiser:

N ≈ −20 log√δ1δ2 − 13

14.6∆f+ 1

donde ∆f es el ancho de banda de transición, δ1 y δ2 son las variaciones permitidas enlas bandas de paso y rechazo, respectivamente.

Otra expresión empleada corresponde a la planteada en [27]:

N ≈ D∞(δ1, δ2) − f(δ1, δ2) (∆f)2

∆f+ 1

siendo

D∞(δ1, δ2) =(0.005309 (log δ1)

2 + 0.07114 log δ1 − 0.4761)

log δ2−

−(0.00266 (log δ1)

2 + 0.5941 log δ1 + 0.4278)

f(δ1, δ2) = 11.012 + 0.51244(log δ1 − log δ2)

3.3.5. Filtros no recursivos en el proceso de señales aleatorias

Sin perder el sentido de generalidad y para facilitar los procedimientos matemáticos seharán las siguientes consideraciones:

- La señal discreta en el tiempo de entrada x [t] del filtro se caracteriza por ser unafunción generalizada;

- El espectro de la señal de entrada es limitado a un ancho de banda finito;

- Los espectros de la señal útil y de la perturbación no se traslapan.

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Versio


En gran cantidad de casos prácticos, el espectro de la señal de entrada X (f) sepuede considerar que consiste del espectro de la señal de entrada en el intervalo (−fc, fc),mientras para la perturbación esta dado en ((−fβ , fc) , (fc, fβ)), adicionalmente X (f) = 0,para |fc| > fβ donde |fc| > fc. Se supondrá que al pasar la señal de entrada por el FPBdigital la interferencia se suprimirá. Consecuentemente, en el caso ideal la función detransferencia de este filtro para las frecuencias f > fc será H (f) = 0. Pero debido a queH (fc) 6= 0 entonces, en la frecuencia infinitamente cercana a fc, la función H (f) tendráun rompimiento, lo que conlleva a la formación de oscilaciones inestables a la salida delfiltro.

Con este fin, para eliminar cualquier tipo de estas oscilaciones, en la frecuenciacercana a la frecuencia cercana a la frecuencia de corte fc, se debe escoger la fun-ción aproximativa HN (fc) de tal manera, que HN (fc) 6= 0 en el intervalo de frecuencias(fc, fc + ∆f) donde ∆f > 0 y depende de la cantidad N . Ciertas componentes indeseablesdel espectro de frecuencia (fc, fc + ∆f) pueden aparecer en la señal de salida.

La tercera consideración realizada antes, sirve para eliminar este factor de la etapade diseñó del filtro, o sea, existe tal valor ∆f > 0, en el cual, el espectro de la señal a laentrada del filtro en las frecuencias [−fc,−∆f,−fc] y [fc, fc + ∆f ] es igual a cero: X (f) = 0.Escogiendo apropiadamente la función HN (f), que no tenga rompimientos se provee laestabilidad necesaria en el trabajo del filtro.

El método de síntesis de un filtro no recursivo comienza escogiendo el tipo de fun-ción de transferencia del filtro ideal H (f) en el ancho de banda (−fc, fc), y escogiendo,después, el carácter de la pendiente de inclinación de la función aproximativa HN (f).Después, basados en la descripción analítica de la función HN (f) se calcula la respuestaa impulso del filtro h (t) teniendo en cuenta (3.24). La señal de salida del filtro se deter-mina de la expresión (1.101). Sin embargo, el cálculo h (t) a partir de (3.24) dificulta elempleo de este método en la práctica; dificultad que se puede disminuir de la siguientemanera:

Sea la representación de la función hN (t) del filtro a sintetizar en la forma:

hN (t) = k (t)x (t) (3.40)

donde k (t) es una función de ayuda dada analíticamente, x (t) es la función generalizadade entrada del filtro.

Si la función k (t) y x (t) cumple las condiciones de Dirichlet en la cualquier intervalode tiempo (ver sección §1.3.1) y, por tanto, pueden ser hallados sus respectivas TF,entonces, empleando Parsevall (1.24):

∫ ∞

∞k (t)x (t) =

∫ ∞

∞K (f)X (f) = H (f) (3.41)

se encontrará que la función de transferencia exigida del filtro a sintetizar puede serdeterminada escogiendo apropiadamente las funciones K (f)y X (f), en el intervalo defrecuencias en que estemos interesados, se puede demostrar que la función de transfe-rencia H (f)del filtro fuera del intervalo se determina completamente por el carácter dela función de ayuda K (f). sea la función X (f) determinada en la forma:

X(f) =

1, |f | ≤ (freq + fc) /20

0, |f | > (freq + fc) /20(3.42)

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Versio


para la cual, x (t) toma la forma sinc (π (freq + fc)).Teniendo en cuenta (3.42) se encuentra que x (f) = 0 para todo |f | > (freq + fc) /2

entonces, de (3.41) se obtendrá:

H (f) =

∫ f+(freq+fc)/2

f−(freq+fc)/2K (f) df

De esta manera, la síntesis del filtro digital no recursivo se cumple por el siguienteprocedimiento:

1. Se parte de la expresión analítica (3.42) para la densidad espectral de potenciageneralizada de la señal de entrada X (f);

2. Se escoge la función de ayuda K (f), teniendo en cuenta, la pendiente de caídaexigida de la respuesta de frecuencia del filtro en síntesis;

3. Se determinan las componentes de la respuesta a impulso (3.40) del filtro a sinte-tizar a partir de la F−1 K (f) y F−1 X (f);

4. Se determina la función h (t) = k (t)x (t);

5. Se determina la función de transferencia HN (f) del filtro sintetizado;

6. Se obtiene la función de transferencia H (z) del filtro digital.

Para evitar la aparición de oscilaciones en el trabajo del filtro se exige, que en lasfrecuencias cercanas a la frecuencia de corte, la función sea suave, esto es, que seaabsolutamente diferenciable:

H (f) =

1, 0 ≤ f < fc

decreciente monótona fc ≤ f < freq

0, f ≥ freq

H(−f), f < 0

El cumplimiento de esta exigencia se realiza escogiendo aproximadamente la funciónde ayuda K (f).

En la síntesis de algoritmos de los filtros pasabandas, se puede emplear el siguienteprocedimiento:

1. Se escoge la función de transferencia de un filtro ideal pasabanda en la forma:

H(fc,fc

)=

1, fc1 ≤ f < fc2

0, f ≤ fc1, f > fc2

H (−f1, f2) , f < 0

2. La función H (f) se aproxima por la diferencia de las funciones de transferencia dedos FPB: H1 (f) y H2 (f), con las respectivas frecuencias de corte: fc1 y fc2

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Versio


3. Se determina la respuesta a impulso del filtro pasabanda en la forma

h (f) = h2 (f) − h1 (f) , donde hi (t) = F−1 Hi (f) , i = 1, 2

4. Se calculan los coeficientes de paso de los filtros pasabandas

hn =1

fch

(−nfs

)= fs

(h2

(−nfs

)− h1

(−nfs

))

Ejemplo 3.7. Sintetizar un filtro pasabandas con frecuencia central ±f0, ancho de banda ∆fy ancho de banda de transicion ∆fT .

Como base en la sıntesis de este filtro pasabandas se escoge un FPB del tipo:

H (f) =

1, 0 ≤ f < ∆f(1 + cos

(f − ∆f)π

∆f

)/2, ∆f ≤ f ≤ ∆f + ∆fT

0, f ≤ ∆f + ∆fT

|H (−f)| , f < 0

entonces, de acuerdo con (3.24) se tendra

hPB (t) =sin (2π∆ft) + sin (2π (∆f + ∆fT ))

2πt(1 − 4 (∆fT )

2t2) (3.43)

para f ≥ 0, H (f, f0) = H (f − f0) y para f ≥ 0, H (f, f0) = H (f + f0). Entonces

H (f, f0) = H (f − f0) +H (f + fo) (3.44)

Para determinar h (t) se halla la transformada inversa de cada uno de los miembros de (3.44),que empleando la propiedad de desplazamiento de (1.60) dara:

h (t) = hPB (t) (exp (2πjfot) + exp (−2πjfot)) = 2hn (t) cos 2πjfot (3.45)

Los coeficientes de peso para el filtro pasabandas se determinan por la relacion

hn = 2hPB cos 2πfo

fs(3.46)

donde

hPB =1

fsh

(−nfs

).

Durante la síntesis de un filtro pasabanda con varias bandas de paso de igual anchode banda e igual pendiente de caída, la función de transferencia se puede fácilmenteencontrar con ayuda de la relación (3.45). Suponiendo que las frecuencias centrales(±f1, ± f2,, · · · ,±fk) de las bandas del filtro buscado, están dispuestas de tal manera queno haya traslapo, su respuesta a impulso se puede representar en la forma:

h (t, t1, t2, · · · , tk) = 2hPB (t)

(k∑

i=1

cos 2πfit

)

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Versio


entonces, los valores discretos de los coeficientes del filtro se determinan por la relación:

hn =1

fsh

(−nfs, f1, f2, · · · , fk

)= 2hPB (t)

(k∑

i=1

cos 2πfifs

).

El método de síntesis de los algoritmos de los filtros no recursivos de alta frecuenciase diferencia de los filtros pasabanda, en que la respuesta a impulso del filtro pasaaltoshPA se determina como la diferencia entre las respuestas a impulso generalizadas de laseñal de entrada x (t) y la de un filtro pasabajos hipotético, así:

HPA (t) = x (t) − h1 (t)

Ejemplo 3.8. Analizar el empleo del metodo de sıntesis de filtros digitales no recursivos en lossiguientes casos:

1. Sea la funcion k (t) en (3.40) dada con funcion de transferencia:

|K (f)| = |K1 (f)| =

1

∆f, | f | ≤ ∆f/2

0, |f | > ∆f/2

entonces, se podra escribir la expresion

k1 (t) =

∫ ∆f /2

−∆f /2

1

∆fexp (2πjft) df =

2

∆f

∫ ∆f /2

0

cos (2π∆ft) df

=1

π∆ft(sin 2πft) |∆f/2

0 = sinc (π∆ft)

Si la funcion espectral generalizada de la senal a procesar esta dada en la forma de larelacion (3.42), entonces, la respuesta a impulso del filtro digital toma la forma

h1 (t) = k1 (t)x (t) =sinπ∆ft sinπ (fc + fT )

π2∆ft2

o, pasando a frecuencia angular, ∆ω = 2π∆ft, ωT = 2πfT :

h1 (t) =2 sin

∆ωT

2sin

(ωc + ωT )

2t

π∆ωt2=

cosωct− cosωT t

π∆ωt2

La funcion de transferencia del filtro sintetizado se escribira como:

|H1 (f)| =

1, f ≤ fc

0, f ≤ fT

f + fT

∆f, −fT ≤ f ≤ −fc

fc − f

∆f, fc ≤ f ≤ fT

2. Sea la funcion k (t) escogida de tal manera que su funcion de transferencia sea de la forma:

|K (f)| = |K2 (f)| =

π

2∆fcos

πf

∆f, |f | ≤ ∆f

2

0, |f | > ∆f

2

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Versio


La funcion de peso para la anterior expresion se obtendra como:

k2 (t) =

∫ ∆f2

−∆f2

π

2∆fcos

πf

∆fexp (2πjft) df =

cosπ∆ft

1 − 4∆f2t2

suponiendo que la funcion espectral generalizada de la senal de entrada sea similar a (3.42),entonces, la respuesta a impulso del filtro sintetizado sera del tipo:

h2 (t) = k2 (t)x (t) =cosπ∆ft sinπ (fc + fT ) t

πt (1 − 4∆f2t2)

o pasando a frecuencia angular se hallara:

h2 (t) =π (sinωct+ sinωT t)

2t (π2 − ∆ω2t2)

El calculo de los coeficientes de peso del filtro dado se lleva a cabo de acuerdo con (3.46).Como resultado se obtendra

hn =1

fsh2

(−nfs

)=

1

fs

cosπ∆f

(−nfs

)sinπ (fc + fT )

(−nfs

)

π

(−nfs

)(1 − 4∆f2

(−nfs

)2)

=

cosnπτd sinnπ (2τc + τT )

(−nfs

)

nπ (1 − 4τ2dn

2)

donde τ = f/fs, τc = fc/fs, τT = fT /fs τd = ∆f/fs. El valor de se calcula empleandola resolucion de la indefinicion por L’hopital, de donde se obtiene que ho = 2τc + τd =(fT + fc) /fs. Como resultado la funcion de transferencia H2 (f) del filtro sintetizado sedetermina por la relacion:

|H2 (f)| =

1, |f | ≤ fc

0, |f | ≤ fT

1

2

(1 + cos

π (f + fc)

∆f

), fc ≤ f ≤ fT

1

2

(1 + cos

π (f + fc)

∆f

), fT ≤ f ≤ −fc

3. Sea dada la funcion

|K3 (f)| =

2

∆fcos2

πf

∆f, f ≤ ∆f

2

0, f >∆f

2

empleando el metodo de sıntesis dado y teniendo en cuenta como en los ejemplos anterioresla funcion espectral generalizada de la senal de entrada, se obtiene

K3 (t) =1

1 − ∆f2t2sincπ∆ft

h3 (t) = k3 (t)x (t) =1

1 − ∆f2t2sincπ∆ft sinπ (fc + fT ) t

π2∆ft2=

1

1 − ∆f2t2h1 (t)

donde es la respuesta a impulso del ejemplo del caso 1.

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La funcion de transferencia H3 (t) del filtro se obtiene en forma de

|H3 (f)| =

1, |f | ≤ ∆f

0, | f | ≤ ∆f1

2πsin

((2πf − fc

∆f

)+fT − f

∆f

), fc ≤ f ≤ fT

1

2πsin

((2πf + fc

∆f

)+fT − f

∆f

), −fT ≤ f ≤ −fc

4. Sea dada la funcion k (f) con funcion de transferencia del tipo:

K3 (f) =

3π

4∆fcos3

πf

∆f, |f | ≤ ∆f

2

0, |f | > ∆f

2

realizando transformaciones en similares a las llevadas a cabo antes, se encuentra que

k4 (t) =9

(9 − 4∆f2t2)

cosπ∆ft

(1 − 4∆f2t2)

h4 (t) = k4 (t)x (t) =9

(9 − 4∆f2t2)

(cosπ∆ft sinπ (fc + fT ) t

(1 − 4∆f2t2)πt

)

=9

(9 − 4∆f2t2)h2 (t)

donde la funcion es del mismo tipo a la obtenida en el el punto 2.

5. Sea la transformada de la funcion dada como:

|K3 (f)| =

3

2∆f

(1 − 4πf2

∆f2

), |f | ≤ ∆f

2

0, |f | > ∆f

2

La funcion de peso para el filtro sintetizado, teniendo en cuenta la senal de entrada dad enlos anteriores ejemplos, es de la forma

h5 (t) = k5 (t)x (t) =3

2π4∆f4(sinπ (fc + fT ) t (2 sinπ∆ft− 2π∆ft cosπ∆ft))

La pendiente de caıda de la respuesta de frecuencia de este filtro en la banda de frecuenciafc ≤ f ≤ fT se determina por el polinomio de tercer orden y es cercana a la pendiente decaıda de la funcion del filtro H2 (f).

3.4. Filtración adaptativa

Básicamente, se pueden identificar dos alcances diferentes en la deducción de algorit-mos recursivos para la operación de filtros adaptativos lineales [28], como se explica acontinuación.

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n 4.13.4. Filtración adaptativa 193

3.4.1. Esquema del gradiente estocástico

Se puede usar un filtro transversal como la base estructural de la implementación deun filtro adaptativo lineal. Para el caso de entradas estacionarias, la función de costo,también llamada índice de desempeño, se define como el error cuadrático medio (estoes, el valor cuadrático medio de la diferencia entre la respuesta deseada y la salida delfiltro transversal). La función de costo es precisamente una función de segundo ordende los pesos del filtro transversal. La dependencia del error cuadrático medio con lospesos desconocidos puede verse como un paraboloide multidimensional con un únicopunto mínimo definido. Este paraboloide se denomina como la superficie de desempeño

del error; los pesos correspondientes al punto mínimo de la superficie definen la soluciónde Wiener óptima.

Para desarrollar un algoritmo recursivo que actualice los pesos del filtro transversaladaptativo, se procede en dos etapas. Primero se modifica el sistema de las ecuaciones

de Wiener-Hopf mediante el uso del método del descenso máximo. Esta modificaciónrequiere el uso del vector gradiente, cuyo valor depende de dos parámetros: la matriz

de correlación de las entradas del filtro transversal, y el vector de correlación cruzada

entre la respuesta deseada y las mismas entradas. A continuación, se usan valoresinstantáneos para estas correlaciones con el fin de obtener una estimación del vectorgradiente, haciendo que éste asuma un carácter estocástico en general. El algoritmoresultante es ampliamente conocido como el algoritmo del mínimo valor cuadrático medio

(LMS - least mean square), cuya esencia puede ser descrita en palabras como se muestraa continuación para el caso de un filtro transversal que opera con valores reales:

valor actualizadodel vectorde pesos

=

valor antiguodel vectorde pesos

+

tasade

aprendizaje

vectorde

entrada

señalde

error

donde la señal de error se define como la diferencia entre alguna respuesta deseada y larespuesta real del filtro transversal producida por el vector de entrada.

En un ambiente no estacionario, la orientación de la superficie de desempeño delerror varía continuamente con el tiempo. En este caso, el algoritmo LMS tiene la tareaadicional de seguimiento continuo del fondo de la superficie de desempeño del error. Enrealidad, el seguimiento ocurrirá siempre y cuando los datos de entrada varíen lenta-mente en comparación con la tasa de aprendizaje del algoritmo LMS.

El esquema de gradiente estocástico también puede ser analizado en el contexto deuna estructura en celosía. El algoritmo de filtración adaptativa resultante es llamadoalgoritmo de gradiente adaptativo en celosía (GAL - gradient adaptive lattice).

Para presentar los algoritmos basados en el alcance del gradiente estocástico, sedebe revisar primero la teoría del filtro de Wiener, como se muestra a continuación.

Filtro de Wiener. Wiener formuló el problema de estimación en tiempo continuo delmínimo error cuadrático medio, en su clásico trabajo sobre interpolación, extrapolacióny suavizado de series de tiempo. La extensión de la teoría de Wiener de tiempo continuoa tiempo discreto es simple, y de uso más práctico para su implementación en procesa-dores digitales de señal. Un filtro de Wiener puede ser un filtro de respuesta al impulsoinfinita (IIR - infinite impulse response) o un filtro de respuesta al impulso finita (FIR -

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-?

?- - - -

?

-

-

AAAU

>

>

>

?

>

6

z−1

z−1

z−1

w0[k]

w1[k]

wn[k]

wN [k]

∑ ∑

d[k]

x[k]

y[k] e[k]

−

+

Figura 3.13: Filtración de Wiener.

finite impulse response). En general, la formulación de un filtro de Wiener IIR da comoresultado un conjunto de ecuaciones no lineales, mientras que la formulación de unfiltro de Wiener FIR da como resultado un conjunto de ecuaciones lineales que tienensolución en forma cerrada. La mayor desventaja de los filtros FIR comparados con los IIRes que los primeros pueden necesitar un gran número de coeficientes para aproximaruna respuesta deseada.

La teoría del filtro de Wiener trata de ser óptima al tomar en cuenta las caracte-rísticas estadísticas de la señal y del ruido. Los parámetros del filtro son optimizadoscon referencia a un criterio de desempeño. La salida es el mejor resultado que se puedeobtener bajo las condiciones impuestas y con la información provista. El filtro de Wie-ner es una herramienta conceptual poderosa que cambió los esquemas tradicionales delprocesamiento de señales [29].

La Figura 3.13 muestra el diagrama general de un filtro transversal con coeficienteso pesos wi, i = 0, 1, 2, . . . ,M − 1, entrada x(n), y salida d(n). Si se asume que la señaldeseada está disponible, se puede calcular el error de estimación entre la salida y laseñal deseada como,

e(n) = d(n) − d(n) (3.47)

Dado que d(n) es la salida de un filtro FIR lineal, esta puede ser expresada como laconvolución de la entrada x(n) con la secuencia de pesos wi

d(n) =M−1∑

k=0

wkx(n− k) (3.48)

La secuencia de los pesos puede ser expresada como un vector de M × 1

w = [w0, w1, . . . , wM−1]T (3.49)

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Los M valores de entrada también pueden ser expresados como un vector de M × 1

x(n) = [x(n), x(n− 1), . . . , x(n−M + 1)]T (3.50)

La ecuación (3.48) puede ser escrita en forma vectorial como:

d(n) = wTx(n) (3.51)

El error de estimación está dado entonces por

e(n) = d(n) − wTx(n) (3.52)

La teoría del filtro de Wiener estima la secuencia de pesos que minimiza el valorcuadrático medio de la estimación del error. El error cuadrático medio (MSE - mean–

squared error) está definido como

J(w) = E[e2(n)] (3.53)

= E[d(n) − wTx(n)d(n) − xT(n)w]= E[d2(n)] − wTE[x(n)d(n)] − E[d(n)xT(n)]w

+ wTE[x(n)x(n)]w

Bajo la suposición de que el vector de entrada x(n) y la respuesta deseada d(n) sonestacionarias, las expresiones de los valores esperados tienen las siguientes interpreta-ciones [30]:

– E[d2(n)] es la varianza de d(n), expresada como σ2d, con la suposición adicional de

que la media de d(n) es cero.

– E[x(n)d(n)] es la correlación cruzada entre el vector de entrada x(n) y la respuestadeseada d(n), la cual es un vector de M × 1:

Θ = E[x(n)d(n)] (3.54)

– E[d(n)xT(n)] es simplemente la traspuesta de E[x(n)d(n)]; por lo tanto

ΘT = E[d(n)xT(n)] (3.55)

– E[x(n)xT(n)] representa la autocorrelación del vector de entrada x(n) calculado comoel producto del vector con él mismo, escrito como

Φ = E[x(n)xT(n)] (3.56)

Con las interpretaciones mencionadas arriba, la expresión del MSE en la ecuación(3.53) queda simplificada como

J(w) = σ2d − wTΘ − ΘTw + wTΦw (3.57)

Esta expresión indica que el MSE es una función de segundo orden del vector de pesosw. Para determinar el vector de pesos óptimo, denotado por w0, se puede diferenciar

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J(w) con respecto a w, igualarlo a cero, y resolver la ecuación resultante. Para realizaresta diferenciación, se deben determinar primero las siguientes derivadas [29]:

d

dw(ΘTw) = Θ,

d

dw(wTΘ) = Θ,

d

dw(wTΦw) = 2Φw

Ahora, la derivada de J(w) con respecto a w es

dJ(w)

dw= −2Θ + 2Φw (3.58)

Al igualar esta expresión a cero, se obtiene la condición para el filtro óptimo como

Φw0 = Θ (3.59)

Esta ecuación se conoce como la ecuación de Wiener–Hopf. Para el filtro óptimo, todoslos elementos del vector de entrada x(n) y la estimación del error e(n) son mutuamenteortogonales, y además la salida del filtro d(n) y el error son mutuamente ortogonales(esto es, el valor esperado de sus productos es igual a cero). El filtro óptimo se obtienecomo

w0 = Φ−1Θ (3.60)

Una dificultad con la solución planteada previamente es que las cantidades estadísticasΦ y Θ deben ser conocidas, o al menos estimadas posteriormente. Esto se puede hacermediante métodos de procesamiento adaptativo .

Si se reemplaza la solución óptima para w en la expresión del MSE, se puede calcularel mínimo MSE que suministra la solución de Wiener [29,31]:

Jmín = σ2d − ΘTΦ−1Θ (3.61)

Esta expresión indica que el conjunto de parámetros óptimos remueven parte de la po-tencia de la señal deseada a través de la correlación cruzada entre x(n) y d(n), asumiendoque ambas señales son estacionarias [31].

Algoritmo de adaptación del mínimo valor cuadrático medio. La implementaciónadaptativa del filtro de Wiener se basa en la resolución de la ecuación

∂J(w)

∂w= 0 (3.62)

iterativamente, usando un método de descenso máximo. La dependencia del error Jen los parámetros del filtro es parabólica, con un mínimo absoluto en el valor óptimow0 = Φ−1Θ .

En la versión adaptativa, el parámetro del filtro w se hace dependiente del tiempo,w(n), y es actualizado de un instante de tiempo al otro así:

w(n+ 1) = w(n) + ∆w(n) (3.63)

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donde ∆w(n) es un término de corrección que se debe escoger adecuadamente paraasegurar que eventualmente el peso w(n) variante en el tiempo convergerá a su valoróptimo

w(n) → w0 = Φ−1Θ como n→ ∞

La forma más simple de escoger el término de corrección ∆w(n), es el método del des-censo máximo. La esencia del método es esta: Se requiere que el cambio w → w + ∆w

mueva el índice de desempeño más cerca a su mínimo que antes; esto es, ∆w debe sertal que

J(w + ∆w) ≤ J(w) (3.64)

Por consiguiente, si siempre se hace esta exigencia, la repetición del procedimientollevará a valores cada vez más pequeños de J hasta que se alcance el valor más pequeño.Asumiendo que ∆w es suficientemente pequeño, se puede expandir el primer términode la ecuación (3.64) y obtener la condición

J(w) + ∆w∂J(w)

∂w≤ J(w) (3.65)

Si ∆w se selecciona como el gradiente negativo −µ( ∂J∂w ), entonces esta desigualdad estarágarantizada. Al aplicar esto al filtro adaptativo se tiene,

w(n+ 1) = w(n) + ∆w(n) = w(n) − µ∂J(w(n))

∂w(3.66)

Con el fin de determinar un gradiente que se pueda calcular, se emplean estimacio-nes instantáneas de Φ y Θ ignorando los valores esperados, obteniendo así un gradienteinstantáneo dado por,

∂J(w(n))

∂w= −2e(n)x(n) = −2d(n)x(n) + 2x2(n)w(n) (3.67)

entonces el algoritmo para ajustar los pesos queda como

w(n+ 1) = w(n) + 2µe(n)x(n) (3.68)

En resumen, los cálculos requeridos se realizan en el siguiente orden:

1. En el tiempo n, el peso del filtro w(n) está disponible.

2. Calcular la salida del filtro: d(n) = w(n)x(n).

3. Calcular el error de estimación: e(n) = d(n) − d(n).

4. Calcular el peso siguiente del filtro: w(n+ 1) = w(n) + 2µe(n)w(n).

5. Ir al instante de tiempo siguiente: n→ n+ 1.

Las siguientes observaciones están en orden:

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1. El error de salida e(n) es realimentado y usado para controlar la adaptación delpeso del filtro.

2. El filtro trata de decorrelacionar la señal secundaria de la salida e(n). Si el pesow(n) ha alcanzado más o menos su valor óptimo, entonces w(n + 1) ' w(n), y laecuación de adaptación implica también que e(n)x(n) ' 0.

3. Realmente, el peso w(n) nunca alcanza el límite teórico w0 = Φ−1Θ. En lugar deello, se estabiliza alrededor de este valor, y fluctúa continuamente alrededor de él.

4. La aproximación de ignorar el valor esperado en el gradiente se conoce como laaproximación estocástica. Esta aproximación complica los aspectos matemáticosdel problema considerablemente. En realidad, la ecuación diferencial

w(n+ 1) = w(n) + 2µe(n)x(n) = w(n) + 2µ(d(n) − w(n)x(n))x(n) (3.69)

hace que w(n) dependa de la variable aleatoria x(n) de una manera altamente nolineal, y es muy difícil discutir aún el comportamiento promedio de w(n).

Estimación de los mínimos cuadrados. De acuerdo con este método, se minimiza unafunción de costo o índice de desempeño que está definida como la suma de los errores

cuadráticos ponderados, donde el error se define como la diferencia entre alguna res-puesta deseada y la salida real del filtro. El método de los mínimos cuadrados puede serformulado teniendo en cuenta ya sea la estimación en bloque o la estimación recursiva.En la estimación en bloque los datos de entrada son organizados en forma de bloquesde igual longitud (duración), y el filtrado de los datos ocurre bloque por bloque. En laestimación recursiva, por otro lado, las estimaciones de interés (esto es, los pesos delfiltro transversal) son actualizados muestra por muestra.

La estimación de mínimos cuadrados recursiva (RLS) puede ser vista como un casoespecial del filtro de Kalman. Una característica distintiva del filtro de Kalman es lanoción de estado, la cual provee una medida de todas las entradas aplicadas al filtrohasta un instante de tiempo específico. Así, en el corazón del algoritmo de filtración deKalman existe una recursión que se puede describir como sigue [30]:

valor actualizadodel

estado

=

valor antiguodel

estado

+

gananciade

Kalman

vectorde

innovación

donde el vector de innovación representa información nueva puesta en el proceso defiltración al momento del cálculo. La familia de mínimos cuadrados recursivos de losalgoritmos de filtración adaptativa lineal se puede clasificar en tres categorías diferentes,dependiendo del enfoque que se tome [30]:

1. Algoritmo RLS estándar, el cual asume el uso del filtro transversal como la baseestructural del filtro adaptativo lineal. Este algoritmo goza de las mismas virtu-des y sufre de las mismas limitaciones que el algoritmo estándar de filtración deKalman. Las limitaciones incluyen la falta de robustez numérica y excesiva com-plejidad computacional.

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2. Algoritmos RLS de raíz cuadrada, los cuales están basados en la descomposición–

QR de la matriz de datos entrante. Estos algoritmos son numéricamente establesy robustos. Se denominan filtros adaptativos de raíz cuadrada, porque en sentidomatricial representan la raíz cuadrada del algoritmo RLS estándar.

3. Algoritmos RLS rápidos. El algoritmo RLS estándar y los algoritmos RLS de raíz cua-drada tienen una complejidad computacional que aumenta como el cuadrado de M ,donde M es el número de pesos ajustables (grados de libertad) en el algoritmo. Talesalgoritmos son denominados algoritmos O(M2). En contraste, el algoritmo LMS esuna algoritmo O(M). Por consiguiente, existe una fuerte motivación para modificarla formulación del algoritmo RLS de tal forma que su complejidad computacionalasuma una forma O(M). Este objetivo se puede alcanzar, para el caso del proce-samiento temporal, primero en virtud de la redundancia inherente en la estructura

Toeplitz de la matriz de entrada y, segundo aprovechando esta redundancia a tra-vés del uso de la predicción lineal de los mínimos cuadrados hacia atrás y hacia

adelante. Los algoritmos resultantes se conocen como las algoritmos RLS rápidos;estos combinan las características deseables de estimación lineal recursiva de losmínimos cuadrados con una complejidad computacional O(M). Se pueden identifi-car dos tipos de algoritmos RLS rápidos, dependiendo de la estructura de filtraciónutilizada:

– Filtros adaptativos de orden recursivo, los cuales están basados en una estruc-tura de celosía para hacer las predicciones hacia adelante y hacia atrás.

– Filtros transversales rápidos, en los que las predicciones lineales hacia adelan-te y hacia atrás se realizan usando filtros transversales separados.

Filtro de Kalman. El filtro de Kalman, basado en la formulación en el espacio de es-tados de sistemas dinámicos lineales, provee una solución recursiva al problema de lafiltración lineal óptima. Este aplica en ambientes tanto estacionarios como no estacio-narios. La solución es recursiva en vista de que cada estimación del estado actualizadaes calculada a partir de la estimación previa y de los nuevos datos de entrada, así quesólo es necesario almacenar la estimación anterior. Además de eliminar la necesidad dealmacenar todo el pasado observado de los datos, el filtro de Kalman es computacional-mente más eficiente que calcular directamente la estimación a partir de todo el pasadoobservado de los datos en cada paso del proceso de filtración [28].

Considérese un sistema dinámico de tiempo discreto lineal, descrito por el diagramade bloques de la Figura 3.14. El concepto de estado es fundamental para esta descrip-ción. El vector de estado o simplemente estado, notado por xk, se define como el mínimoconjunto de datos que es suficiente para describir únicamente el comportamiento diná-mico no forzado del sistema; el subíndice k denota tiempo discreto. En otras palabras,el estado es la mínima cantidad de datos en el comportamiento pasado del sistema queson necesarios para predecir su comportamiento futuro. Típicamente, el estado xk esdesconocido. Para estimarlo, se usa un conjunto de datos observados, notados por elvector yk.

En términos matemáticos, el diagrama de bloques de la Figura ?? incorpora el si-guiente par de ecuaciones:

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- - -

6

-

6

Fk+1,k

Xk+1wkz−1I

xkHk

yk∑∑

Vk

+

+-

Figura 3.14: Sistema dinámico de tiempo discreto.

1. Ecuación de proceso

xk+1 = Fk+1,kxk + wk, (3.70)

donde Fk+1,k es la matriz de transición que toma el estado xk del tiempo k al tiempok+1. El ruido del proceso wk se asume aditivo, blanco y gaussiano, con media ceroy matriz de covarianza definida por:

E[wnwTk] =

Qk para n = k,0 para n 6= k,

(3.71)

donde el superíndice T denota trasposición de matriz. La dimensión del espacio deestados se denota por M .

2. Ecuación de medición

yk = Hkxk + vk, (3.72)

donde yk es el observable en el tiempo k y Hk es la matriz de medición. El ruidode medición vk se asume aditivo, blanco y gaussiano, con media cero y matriz decovarianza definida por:

E[vnvTk] =

Rk para n = k,0 para n 6= k.

(3.73)

Por otra parte, el ruido de medición vk no está correlacionado con el ruido delproceso wk. La dimensión del espacio de medición se denota por N .

El problema del filtrado de Kalman, o sea, el problema de resolver conjuntamentelas ecuaciones de proceso y de medición para un estado desconocido de una maneraóptima se puede plantear ahora formalmente como:

Usar todos los datos observados, que consisten en los vectores y1,y2, . . . ,yk, paraencontrar por cada k ≥ 1 la estimación mínima del error cuadrático medio delestado xi.

El problema es llamado filtración si i = k, predicción si i > k, y alisamiento si 1 ≤ i < k.Sea x−

k la estimación a priori del estado, que está disponible en el tiempo k. Teniendocomo objetivo un estimador lineal, se puede expresar la estimación a posteriori xk comouna combinación lineal de la estimación a priori y la medición nueva, como se muestraen [28]

xk = G(1)k x−

k + Gkyk, (3.74)

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donde los factores matriciales que multiplican G(1)k y Gk están por determinar. Para

encontrar estas dos matrices, se invoca al principio de ortogonalidad. El vector de error

del estado se define como

xk = xk − xk (3.75)

Al aplicar el principio de ortogonalidad en este caso, se tiene

E[xkyTi ] = 0 para i = 1, 2, . . . , k − 1 (3.76)

Usando las ecuaciones (3.72), (3.74) y (3.75) en (3.76), se tiene

E[(xk − G(1)k x−k − GkHkxk − Gkwk)y

Ti ] = 0 para i = 1, 2, . . . , k − 1 (3.77)

Dado que el ruido del proceso wk y el ruido de medición vk no están correlacionados, sesigue que

E[wkyTi ] = 0

Usando esta relación y reagrupando términos, se puede reescribir la ecuación (3.77)como

E[(I − GkHk − G(1)k )xky

Ti + G

(1)k (xk − x−

k )yTi ] = 0 (3.78)

donde I es la matriz identidad. Del principio de ortogonalidad, se nota que

E[(xk − x−k )yT

i ] = 0

De acuerdo con esto, la ecuación (3.78) se simplifica a

(I − GkHk − G(1)k )E[xky

Ti ] = 0 para i = 1, 2, . . . , k − 1 (3.79)

Para valores arbitrarios del estado xk y del observable yi, la ecuación (3.79) sólo puede

ser satisfecha si los factores de escala G(1)k y Gk están relacionados como sigue [28]:

G(1)k = I − GkHk (3.80)

Al sustituir la ecuación (3.80) en la ecuación (3.74), se puede expresar la estimación aposteriori del estado en el tiempo k como

xk = x−k + Gk(yk − Hkx

−k ) (3.81)

en la que la matriz Gk es llamada la ganancia de Kalman [28].Existe el problema de derivar una fórmula explícita para Gk. Dado que por el prin-

cipio de ortogonalidad se tiene que

E[(xk − xk)yTk] = 0 (3.82)

se sigue que

E[(xk − xk)yTk] = 0 (3.83)

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donde yTk es una estimación de yk dadas las estimaciones previas y1,y2, . . . ,yk−1. Se

define el proceso de innovación

yk = yk − yk (3.84)

El proceso de innovación representa una medida de la información “nueva” contenidaen yk; también puede ser expresado como

yk = yk − Hkx−k (3.85)

= Hkxk + vk − Hkx−k

= Hkx−k + vk

Así, al sustraer la ecuación (3.83) de la (3.82) y usando la ecuación (3.84), se puedeescribir

E[(xk − xk)yTk] = 0 (3.86)

Usando las ecuaciones (3.72) y (3.81), se puede expresar el vector de error del estadoxk − xk como

xk − xk = x−k − Gk(Hkx

−k + vk) (3.87)

= (I − GkHk)x−k − Gkvk

Entonces, al sustituir las ecuaciones (3.85) y (3.87) en (3.86), se obtiene

E[(I − GkHk)x−k − Gkvk(Hkx

−k + vk)] = 0 (3.88)

Dado que el ruido de medición vk es independiente del estado xk y por consiguiente delerror x−

k , el valor esperado de la ecuación (3.88) se reduce a [28]

(I − GkHk)E[xkxT−k ]HT

k − GkE[vkvTk] = 0 (3.89)

Se define la matriz de covarianza a priori

P−k = E[(xk − x−

k )(xk − x−k )T] (3.90)

= E[x−k · xT−k ]

Entonces, llamando las definiciones de covarianza de las ecuaciones (3.73) y (3.90), sepuede reescribir la ecuación (3.89) y resolverla para Gk, con el fin de obtener la fórmuladeseada

Gk = P−k HT

k[HkP−k HT

k + Rk]−1

(3.91)

La ecuación (3.91) es la fórmula deseada para calcular la ganancia de Kalman Gk, quese define en términos de la matriz de covarianza a priori P−

k .Para completar el procedimiento de estimación recursiva, se considera la propaga-

ción de la covarianza del error, la cual describe los efectos del tiempo en las matricesde covarianza de los errores de estimación. Esta propagación involucra dos etapas decálculo [28]:

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1. La matriz de covarianza a priori P−k en el tiempo k está definida por la ecuación

(3.90). Dada P−k , calcular la matriz de covarianza a posteriori Pk, la cual, en el

tiempo k, está definida por

Pk = E[xkxTk] (3.92)

= E[(xk − xk)(xk − xk)T]

2. Dada la matriz de covarianza a posteriori “vieja”, Pk−1, calcular la matriz de cova-rianza a priori “actualizada” P−

k .

Para proceder con la primera etapa, se sustituye la ecuación (3.87) en la (3.92) y senota que el ruido del proceso vk es independiente del error de estimación a priori x−k .Entonces, se obtiene

Pk = (I − GkHk)E[x−k xT

k](I − GkHk)T + GkE[vkv

Tk]G

Tk (3.93)

= (I − GkHk)P−k (I − GkHk)

T + GkRkGTk

Al expandir los términos en la ecuación (3.93) y al usar luego la ecuación (3.91), sepuede reformular la dependencia de la matriz de covarianza a posteriori Pk en la matrizde covarianza a priori P−

k en forma simplificada como

Pk = (I − GkHk)P−k − (I − GkHk)P

−k HT

kGTk + GkRkG

Tk (3.94)

= (I − GkHk)P−k − GkRkG

Tk + GkRkG

Tk

= (I − GkHk)P−k (3.95)

Para la segunda etapa de la propagación de la covarianza del error, primero se reco-noce que la estimación a priori del estado está definida en términos de la estimación aposteriori “vieja” como sigue:

x−k = Fk,k−1xk−1 (3.96)

Se usan las ecuaciones (3.70) y (3.96) para expresar el error de estimación a priori enotra forma:

x−k = xk − x−

k (3.97)

= (Fk,k−1xk−1 + wk−1) − (Fk,k−1xk−1)

= Fk,k−1(xk−1 − xk−1) + wk−1

= Fk,k−1xk−1 + wk−1

De acuerdo con esto, al usar la ecuación (3.97) en la (3.90) y notando que el ruido delproceso wk es independiente de xk−1, se obtiene

P−k = Fk,k−1E[xk−1x

Tk−1]F

Tk,k−1 + E[wk−1w

Tk−1] (3.98)

= Fk,k−1Pk−1FTk,k−1 + Qk−1

lo que define la dependencia de la matriz de covarianza a priori P−k en la matriz de

covarianza a posteriori “vieja” Pk−1 [28].

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Adaptación de los mínimos cuadrados recursivos. El objetivo del algoritmo de adap-tación de los mínimos cuadrados recursivos (RLS - recursive least squares) es escogerlos coeficientes del filtro adaptativo de tal forma que la señal de salida y(k), durante elperíodo de observación, sea lo más parecida posible a la señal deseada en el sentido delos mínimos cuadrados. El proceso de minimización requiere la información de la señalde entrada hasta ahora disponible. También, la función objetivo que se busca minimizares determinística [31].

El filtro adaptativo FIR genérico implementado en forma directa se muestra en laFigura 3.13. El vector de información de la señal de entrada en un instante dado detiempo k está dado por:

x(k) = [x(k)x(k − 1) · · ·x(k −N)]T (3.99)

donde N es el orden del filtro. Los coeficientes wj(k), para j = 1, 0, . . . , N , son adaptadosayudando a la minimización de la función objetivo dada. En el caso de los algoritmosbasados en los mínimos cuadrados, la función objetivo es determinística y está dadapor [31]:

εd(k) =k∑

i=0

λk−ie2(i) (3.100)

=

k∑

i=0

λk−i[d(i) − xT(i)w(k)]2

donde w(k) = [w0(k)w1(k) · · ·wN (k)]T es el vector de coeficientes del filtro adaptativo y e(i)es la salida del error a posteriori en el instante i (El error a posteriori se calcula conel vector de coeficientes actualizado, esto es, tomando en cuenta el vector de entradax(k) más reciente). El parámetro λ es un factor exponencial de ponderación que se debeelegir dentro de un rango 0 λ ≤ 1. Este parámetro también se llama el factor deolvido, en vista de que la información del pasado distante tiene un efecto creciente menosimportante en la actualización de los coeficientes [31].

Se debe notar que en el desarrollo del algoritmo LMS y otros basados en éste, seutilizó el error a priori. En los algoritmos RLS, e(k) se usa para denotar el error a poste-riori mientras que e′(k) denota el error a priori, ya que el error a posteriori es la primeraelección en el desarrollo de los algoritmos basados en el RLS [31].

Como se puede notar, cada error consiste en la diferencia entre la señal deseada y lasalida del filtro, usando los coeficientes más recientes w(k). Derivando εd(k) con respectoa w(k), se obtiene:

∂εd(k)

∂w(k)= −2

k∑

i=0

λk−ix(i)[d(i) − xT(i)w(k)] (3.101)

igualando este resultado a cero, es posible encontrar un vector óptimo w(k) que minimiceel error cuadrático medio, a través de la siguiente relación:

−k∑

i=0

λk−ix(i)xT(i)w(i)+k∑

i=0

λk−ix(i)d(i) =

00...0

(3.102)

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la expresión resultante para el vector de coeficientes óptimos w(k) está dada por:

w(k) =

[k∑

i=0

λk−ix(i)xT(i)

]−1 k∑

i=0

λk−ix(i)d(i) (3.103)

= R−1D (k)pD(k)

donde RD(k) y pD(k) son la matriz determinística de correlación de la señal de entrada yel vector determinístico de correlación cruzada entre la señal de entrada y la de salida,respectivamente [31].

En la ecuación (3.104) se asumió que RD(k) es no singular. Sin embargo, si RD(k) essingular, se puede usar una inversa generalizada [31] con el fin de obtener una soluciónpara w(k) que minimice εd(k). Ya que se asume que en la mayoría de las aplicacionesprácticas la señal de entrada tiene excitación persistente, los casos que requieren unainversión generalizada no se discuten aquí [31].

El cálculo directo de la inversa de RD(k) resulta en un algoritmo con una comple-jidad computacional O(N3). En el algoritmo RLS convencional, el cálculo de la matrizinversa se evita a través del uso del lema de la inversión de la matriz [31]. La inversa dela matriz determinística de correlación puede ser calculado de la siguiente forma:

SD(k) = R−1D (k) =

1

λ

[SD(k − 1) − SD(k − 1)xT(k)SD(k − 1)

λ+ xT(k)SD(k − 1)x(k)

](3.104)

A continuación se describe el algoritmo RLS convencional completo:Inicialización

SD(−1) = δI

donde δ puede ser el inverso de la potencia estimada de la señal de entrada.

pD(−1) = x(−1) = [0 0 . . . 0]T

Hacer para k ≥ 0

SD(k) =1

λ

[SD(k − 1) − SD(k − 1)x(k)xT(k)SD(k − 1)

λ+ xT(k)SD(k − 1)x(k)

]

pD(k) = λpD(k − 1) + d(k)x(k)

w(k) = SD(k)pD(k)

Si es necesario, calcular

y(k) = wT(k)x(k)

e(k) = d(k) − y(k)

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n 4.1

Apéndice AAlgoritmos de análisis espectral de

Fourier

El criterio básico de optimización de los algoritmos analizados será el tiempo decálculo. En general, se pueden obtener soluciones dependientes del hardwareempleado. Por este motivo, las características específicas del hardware tienen que

ser tenidas en cuenta cuando se evalúa algún algoritmo de implementación sobre pro-cesadores digitales. Los parámetros como el número de operaciones de multiplicacióny adiciones, complejidad de indexación, empleo de registros de memoria y el tiempo derealización de operaciones condicionales deben ser también analizados.

A efectos de ilustrar los algoritmos desarrollados en este capítulo, se brinda el dia-grama de flujo de cálculo y la implementación de sus subrutinas en Matlab .

A.1. Algoritmos de la transformada discreta de Fourier

A.1.1. Cálculo numérico de la transformada de Fourier

El espectro de una función x(t) corresponden al conjunto los coeficientes ak y bk queconforman la serie trigonométrica de Fourier (1.33), los cuales pueden ser calculadosnuméricamente, a partir de la aproximación del respectivo integral (1.58), que en formatrigonométrica se expresa como:

an ≈ 2

T

K∑

k=1

x(k∆t) cos(2nπ

Tk∆t)∆t

≈ 2

K

K∑

k=1

x(k∆t) cos(2nπk

K),∀n 6= 0,

en el caso de n = 0 se tiene a0 ≈ 2K

∑Kk=1 x (k∆t), donde ∆t = T/K, siendo ω0 = 2π/T . El

parámetro k corresponde al tiempo, mientras n al eje de las frecuencias.207

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n 4.1208 Capítulo A. Algoritmos de análisis espectral de Fourier

De la misma forma se puede obtener para bn:

bn ≈ 2

K

K∑

k=1

x(k∆t) sin

(2nπ

k

K

)

siendo n ≥ K, teniendo en cuenta la condición del error de transposición de frecuencias.La forma alterna de la serie compleja de Fourier dada en las expresiones de (1.35)

puede ser empleada y se describe como:

x(t) = a0

K∑

k=1

Mk cos(2πkto + ϕk)

donde

Mk =√a2k + b2k (A.1a)

ϕk = − arctan(bkak

) (A.1b)

El valor de Mk corresponde al módulo (1.36) y ϕk a la fase (1.37) de los armónicos.

6

-

................................

..........................

...................................................................................................................

......................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................................

..........

.........................

...................................

...........................................

· · · · · · · · · · · · · · ·

y(t)

y1

y2 y3

ykyN

∆1 ∆2 ∆k∆3 ∆N

t

Figura A.1: Señal discretizada

El análisis espectral de las funcionesaperiódicas (finitas), esto es, de las funcio-nes completamente determinadas en el in-tervalo [0, t0] consiste en el cálculo de lascomponentes de su densidad espectral, queen forma general puede ser compleja:

X(jω) = Xc(jω) + jXs(jω) = M(ω)ejϕ(ω)

siendo M(ω) y ϕ(ω) respectivamente el mó-dulo y la fase del sistema, donde:

Xc(ω) =

t0∫

0

x(t) cos(2πf0t)dt (A.2a)

Xs(ω) =

t0∫

0

x(t) sin(2πf0t)dt (A.2b)

El algoritmo del análisis espectral numérico consiste en encontrar los coeficientesak y bk (ó Mk y ϕk en (A.1a) y (A.1b)), donde k = 1, . . . ,K, para la función periódica y(t)dada en el intervalo [0, T ] a partir de un conjuntos de valores discretos dados como semuestra en la figura A.1. Esto es equivalente al cálculo de los integrales de ak y bk conmétodos de cálculo numérico (por ejemplo, por el método de Simpson):

ak =2

K

K−1∑

i=1

xi cos (2πkf0i∆t) (A.3a)

bk =2

K

K−1∑

i=1

xi sin (2πkf0i∆t) (A.3b)

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n 4.1A.1. Algoritmos de la transformada discreta de Fourier 209

donde ∆t = T/K es el paso de integración correspondiente a la disposición de la señaldiscretizada. Para las funciones finitas se tiene:

Xc = ∆tK−1∑

i=0

xi cos (2πfi∆t) (A.4a)

Xs = ∆t

K−1∑

i=0

xi sin (2πfi∆t) (A.4b)

Análisis numérico generalizado del espectro. Se basa en que la relación que puedeestablecerse entre las funciones periódicas y las funciones finitas. Para esto suponiendoque t0 = T y haciendo f = kf0 (en las funciones finitas f ∈ R, mientras para las funcionesperiódicas se limita el dominio de k ∈ Z) a partir de (A.1a)-(A.4b) se obtiene:

Ak0 =Xc

∆t=akK

2=

K−1∑

i=1

xi cos (2πif∆t) (A.5a)

Bk0 =Xs

∆t=bkK

2=

K−1∑

i=1

xi sin (2πif∆t) (A.5b)

El análisis espectral con precisión mejorada está basado en la representación a prioride x(t) en los intervalos entre los nodos. Si esta representación es imposible de obtener,se pueden utilizar las fórmulas (A.5a) y (A.5b), que dan el menor error medio cuadrático.Si se toma x(t) = const. en los intervalos entre los valores discretizados, entonces sepuede obtener para Ak y Bk los valores con precisión mejorada serán:

AK1 = KfAKo, BK1 = KfBKo (A.6)

donde

Kf =

sin (πf∆t)

πf∆t= sinc (πf∆t) , ∀f 6= 0

1, f = 0(A.7)

Las expresiones en (A.6), teniendo en cuenta el coeficiente KI de (A.7), se obtienencomo resultado de la integración de (A.1a) y (A.1b). Si en los intervalos entre los nodosla función x(t) se aproxima linealmente, entonces, los valores obtenidos de A y B serán:

Ak2 = K2fAk0 (A.8a)

Bk2 = K2fBk0 (A.8b)

El análisis espectral secuencial se cumple de acuerdo al siguiente algoritmo:

1. Se introduce la cantidad N de intervalos de división de x(t), los valores N1 dela primera muestra diferente de cero y M de la última muestra de la señal x(t)diferente de cero.

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2. Se organiza un ciclo de entrada de todos los valores discretizados de la señal xidonde i = N1, . . . ,M . El empleo de valores discretos diferentes de cero permitedisminuir el tiempo de cálculo, si la función tomar el valor x(T ) = 0 en el puntoinicial o final del intervalo [0, T ] ó [0, t0]. Sin embargo, los discretos xi = 0 cuandoN1 ≤ i ≤M deberán ser introducidos.

3. Se introduce el paso ∆t.

4. A las variables C y S le es asignado un valor de cero, luego, se asigna un valor a f ,para encontrar p = πf∆t.

5. Se halla A0 y B0 por medio de un ciclo en el cual se calculan

C = C + xi cos(2ip), S = S + xi sin(2ip)

donde i = N1, N1 + 1, . . . ,M , a la salida del ciclo A0 = C y B0 = C.

6. Para el valor dado de f se encuentran los parámetros necesarios ak, bk,Mk, jk, XC , XS

ó X y ϕ. Por ejemplo, para el cálculo de X y ϕ se pueden emplear las siguientesexpresiones:

X

∆t= M =

√A2

0 +B20 , φ = −Q = arc cos

(A0

K

)[rad]

para B0 > 0, y f = Q[rad], para B0 < 0. Con las expresiones (A.7) y (A.8b) puedencalcularse los valores calculados de A1, B1, S1 = KfS y A2, B2, S2 = K2

fS para elcaso de la aproximación por segmentos lineales.

7. Se retorna al punto 4 para repetir los cálculos de un nuevo valor de frecuencia f .

De esta manera, el cálculo secuencial del espectro permite encontrar la frecuencia yfase de cualquier armónico. En este caso es necesario almacenar en memoria todos losvalores de la señal discretizada x(t) cons us respectiva malla de valores de tiempo. Elprograma del método secuencial de cálculo numérico del espectro es el siguiente:

Algoritmo A.1. Analisis espectral secuencial

N=input(’introducir cantidad de intervalos de division: ’)N1=input(’introducir el numero de la primera muestra: ’)M=input(’introducir el numero de la ultima muestra diferente de cero: ’)X= [zeros(1,M)];for i=N1:M

X(i)=input(’introducir la muestra: ’)endt=input(’introducir el paso: ’) f=1;f=input(’introduzca la frecuencia:’)while f > 0

C=0; S=0;p=pi*t*f; w=2*p;

endfor i = N1:M

Z = w * i; C = C + X(i) * cos(Z);S = S + X(i) * sin(Z);

end R = power(C * C + S * S,0.5);f =-abs(C / R)-pi * t * f; if S < 0

f = -f;k = sin(p) / p; R1 = k * R; R2 = k * R1;

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disp(’en caso muestras equidistantes s(f)= ’), R * t;disp(’en caso de aproximacion rectangular ’), R1 * t;disp(’en caso de aproximacion lineal quebrada ’), R2 * t;disp(’fase [rad]’), f;end

Ejercicio en el PC A.1. (control). Encontrar la función densidad espectral del pulso cuadrado dadopor los valores xi = 1, i = 0, . . . , 7 y xi = 0, cuando i = 8, . . . , 31 para ∆t = 0.12510−6s, y valor de lafrecuencia f = 250000Hz.Se introducen los valores (N1 = 0, M = 7) y se obtieneS0 = 9.0176419510E − 7, S1 = 9.00316316210E − 7, S2 = 8.9887076210E − 7, f = −39.375.

Aunque, hoy en día, la capacidad de memoria de los PC aumenta notablemente,de todas maneras, la cantidad de valores discretos a procesar puede llegar al orden deunos ciento y hasta unidades de miles. Sin embargo, al aumentar significativamente sunúmero, el tiempo de cálculo hace que el algoritmo A.1, prácticamente, no tenga sentidoutilizarlo cuando la cantidad de discretos excede las decenas.

Método paralelo de análisis espectral. Consiste en el cálculo simultáneo (parale-lo) de los M armónicos. En este caso, es necesario introducir al PC los coeficientes ai ybi (ó Ai y Bi, respectivamente). Sin embargo, no es necesario almacenar todos los valoresde la señal discretizada xi, por cuanto cada muestra se emplea para el cálculo de todoslos armónicos a medida que este se vaya introduciendo. El método paralelo de análisisespectral se realiza de acuerdo al siguiente algoritmo:

1. Se introduce la cantidad necesaria de armónicos M , el número del armónico inicialkS, la cantidad total N de valores discretos de x(t) y el número del primer, IS, yúltimo, IF , discretos con valores diferentes a cero.

2. Todos los elementos de los arreglos A(k) y B(k) se igualan a cero y se calculaR = 2B/N .

3. Se organiza el ciclo de introducción de xi = X con la variable iterativa I, que cambiacon un paso unitario desde el valor de IS hasta IF . En este ciclo, se introduce xi,se calcula Z = RI y se realiza el siguiente ciclo interno.

4. Se organiza un ciclo de cálculo de Ai y Bi con la variable iterativa k, la cual cambiacon un paso dado igual a 1, desde 0 hasta M − 1. Al principio del ciclo se calculaW = Z(k + S), donde S = IS y, luego:

A(K) =A(K) + X * cos (W)B(K) =B(K) + X * sin (W)

Los valores de Ak corresponden a las variable de los arreglos A(k), mientras Bk alos de B(k) después de la salida de los ciclos. Para el armónico número cero, sehace k + S = 0 y se calcula solamente A0 sumando todos los xi.

5. Se realiza el ciclo de salida de Ak, Bk, Mk y ϕk = Qk k = 0, . . . ,M − 1 teniendo encuenta el desplazamiento del índice en la cantidad S, o sea, de la salida en vez delíndice k los valores k+S. A medida que se efectúa la salida de los valores se calcula

M2 =M+S∑

i=k+S

M2i

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6. Si M1 = 0, cuando los cálculos se comienzan desde el primer armónico, se halla elcoeficiente de no linealidad con respecto al primer armónico:

KA =

√M2

2 +M33 + . . .+M2

M

M1=

√M2 −M2

1

M1

7. Haciendo S = 1 se realiza la interpolación geométrica o extrapolación, o sea, por losvalores dados de t calcular

x(t) =A0

2+

2

N

( ∞∑

k=1

Ak cos (2πk∆t) +∞∑

k=1

Ak sin (2πkf∆t)

)

empleando la serie truncada de Fourier con M armónicos.

En caso de calcular por este algoritmo una nueva serie de armónicos hay necesidadde repetir la entrada de los nuevos valores discretizados de xi. Si la memoria del PC essuficiente, se puede prever la disposición en la memoria de xi dentro del arreglo X(i) quecontenga solamente las muestras diferentes de cero (yi 6= 0). En este caso, en el punto3 se puede prever un ciclo adicional para la entrada de el campo muestral ni desde elarreglo X(i) . Esta variante de realización correspondería al método secuencial-paralelode análisis espectral. El programa correspondiente al método secuencial/paralelo decálculo numérico del espectro es el siguiente:

Algoritmo A.2. Análisis secuencial/paralelo espectral

% interpolacion/extrapolacion trigonometricaN = input(’cantidad total de muestras N = ’);V = input(’numero de muestras inicial IS = ’);G = input(’numero de muestras final IF = ’);G = G-V; Y = zeros(1,G); A = zeros(1,N/2); B = zeros(1,N/2);R = 2 * pi / N; for i =1:G

i = i+V;X(i) = input(’introduzca x = ’);

end S = 0; d = 0; while d=1while S=1

M = input(’numero de componentes del espectro M = ’);S = input(’numero de la primera componente ks = ’);f = input(’frecuencia F0 = ’)a = 0; b = 0; c = 0;for k = 1:M

A(k) = 0;B(k) = 0;

endfor i = 1:G

a = a + X(i);Z(i) = R * (i + V);for k = 1:M

w = Z(i) * (k + S - 1);A(k) = A(k) + X(i) * cos(w);B(k) = B(k) + X(i) * sin(w);

endendm0 = a / N; s0 = m0 / f;disp(’componente constante M0 = ’), disp(m0)disp(’densidad espectral en el punto cero S0 = ’), disp(s0)for k = 1:M

u = sqrt((A(k)*A(k))+(B(k)*B(k)));Q = -abs(A(k)/u);if B(k) < 0

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Q =-Q;endo = k + S - 1; b = b + u * u;if k + S == 2

c = u;endam(k) = (u*2/N);de(k) = (u/N/f);q(k) = (Q);

enddisp(’Amplitud M’), amdisp(’Densidad espectral s’), dedisp(’Desplazamiento de fase q’), q

endS = 0;disp(’Coeficiente de armonicos kr’), disp(sqrt(b-c*c)/c)d = input(’1 - Calcular x(t), 0 - no hay necesidad’)

endt = input(’tiempo T = ’); x = 0; p = 2 * pi * t * f;for k = 1:M

w = p * k;x = x + A(k)*cos(w)+B(k)*sin(w);

end x = m0 + x*2/Ndisp(’valor de x(t) = ’), disp(x)

Ejercicio en el PC A.2. (control): En el caso del ejemplo dado en el anterior programa, se toman losvalores xi = 1, i = 0, .., 7 y xi = 0, i = 8, .., 31 para ∆t = 0.125.10−6 s y f = 250000 Hz), fijando M = 5y MS = 1, con lo cual se obtiene:

M0 = 0.25 S0 = 1.10E − 6 KR = 0.81369M1 = 0.45088 S1 = 9.0176.10E − 7 Q1 = −39.375M2 = 0.32036 S2 = 6.40729.10E − 7 Q2 = −78.75M3 = 0.15224 S3 = 3.0449.10E − 7 Q3 = −118.125M4 = 2.23345X10E − 12 S4 = 4.466892.10E − 18M5 = 0.09375 S5 = 1.87503.10E − 7 Q5 = −16.875

En el programa A.2 se puede prever la entrada del valor de frecuencia de discre-tización f0 = F1 para las señales periódicas, el cual determina la distancia entre lasdiferentes componentes espectrales kf0.

A.1.2. Cálculo numérico de la TDF

Si la secuencia de datos de entrada dada x[n] tiene longitud N , entonces, existirán má-ximo N términos en su TDF X(k). Sin embargo, existen aplicaciones donde no todos losN valores de la TDF son necesarios, o bien, varios de sus valores son cero, por lo quese pueden no tener en cuenta. Para obtener un cálculo eficiente, los requerimientos alalgoritmo deben ser muy concretos. Si el número completo de frecuencias es L, perosolamente M son requeridas y se tienen N datos de entrada diferentes de cero, entoncesla TDF puede ser descrita como:

X(k) =N−1∑

n=0

x [n]Wnk, W = e−j2π/2, k = 0, . . . ,M − 1 (A.9)

De esta manera, el número de multiplicaciones complejas requeridas es igual a N2.En la mayoría de los casos M = L, pero hay situaciones donde M < L. En casos muyespeciales, todos los tres valores son diferentes. En [2], se muestra que los algoritmos

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eficientes para N = L = M no son generalmente, los más eficientes para el caso deM N .

Cálculo directo de la TDF. Una forma obvia de calcular la TDF es directamente im-plementando su integral de definición, computando los valores deseados de X(k) deacuerdo con la expresión (A.9). En el caso en que x[n] sea complejo, se notan sus par-tes real X[n] e imaginaria Y [n], a las cuales les corresponde la transformada con losrespectivas términos A[k] y B[k], así:

x [n] = X[n] + jY [n] (A.10a)

X [K] = A[K] + jB[K] (A.10b)

donde X, Y, A y B son función de valor real y argumentos de variables integras. Reem-plazando (A.10b) en la suma (A.9) se obtiene

A[K] + jB[K] =N−1∑

n=0

[X[n] + Y [n]] [cos (Qnk) + j sin (Qnk)] (A.11)

donde

A[K] =N−1∑

n=0

X[n] cos (Qnk) + Y [n] sin (Qnk)

B[K] =

N−1∑

n=0

Y [n] cos (Qnk) −X[n] sin (Qnk)

mientras, Q = 2B/N , 0 < k < N − 1.El programa que implementa la expresión de la TDF en (A.11) es el siguiente:Algoritmo A.3. Calculo directo de TDF

N = input(’Ingrese el valor de N = ’); n=1:N;harm = input(’Ingrese el valor de armonicos = ’);dc = input(’Ingrese el valor de dc = ’);Q=6.2832/N;X(n)=sin(2*pi*harm*n/N)+dc; Y(1:N)=0; % X y Y son vectores de entradafigure(1) subplot(3,2,1),stem(X),xlabel(’Vector de entrada X’);subplot(3,2,2),stem(Y),xlabel(’Vector de entrada Y’);

% Procedimiento TDFfor k = 1:N

A(k) = 0; B(k) = 0; % A y B son vectores de salidafor j = 1:N

A(k)=A(k)+X(j)*cos(Q*(j-1)*(k-1))...+Y(j)*sin(Q*(j-1)*(k-1));B(k)=B(k)+Y(j)*cos(Q*(j-1)*(k-1))...-X(j)*sin(Q*(j-1)*(k-1));

endM(k)=sqrt(A(k)^2+B(k)^2); % Magnitud de la salidaP(k)=atan(B(k)/A(k)); % Fase de la salida

end% Representacion de datos de salida

subplot(3,2,5),stem(M),xlabel(’Magnitud’);subplot(3,2,6),stem(P),xlabel(’Fase’);AR=real(A);BR=real(B);subplot(3,2,3),stem(AR),xlabel(’Parte real de A’);subplot(3,2,4),stem(BR),xlabel(’Parte real de B’);

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Ejercicio en el PC A.3. Realizar el programa anterior y comparar los tiempos de ejecución en el casodel algoritmo que implementa la expresión de la TDF en (A.11).

El cálculo de todos los N valores de A y B para las secuencias complejas requierede 4N2 multiplicaciones de punto flotante, 4N2 adiciones algebraicas de punto flotante y4N2 operaciones con funciones trigonométricas, además, de numerosas multiplicacionesy adiciones con enteros. Un primer paso para aumentar la velocidad de este algoritmoconsiste en calcular por aparte los argumentos de las funciones trigonométricas y de losarreglos como muestra el siguiente procedimiento:

% Procedimiento TDFfor k=1:N

W=Q*(k-1);AT=X(1);BT=Y(1);for J=2:N

D=W*(J-1);C=cos(D);S=-sin(D);AT=AT+C*X(J)-S*Y(J);BT=BT+C*Y(J)+S*X(J);

endA(k)=AT;B(k)=BT;

endA,B % Arreglos de salida

Sin embargo, el procedimiento desarrollado sigue siendo ineficiente, por cuanto, enJ se evalúan las funciones trigonométricas 2N2 cuando realmente se tiene solamente Ndiferente valores. Una solución alterna consiste en formar una tabla de ayuda con losvalores de las funciones trigonométricas previamente computadas como se muestra acontinuación: cuando realmente se tiene solamente N diferente valores. Una soluciónalterna consiste en formar una tabla de ayuda con los valores de las funciones trigono-métricas previamente computadas como se muestra a continuación:

% Procedimiento TDF - Tabla de ayudafor K=1:N

C(K)=cos(Q*(K-1));S(K)=-sin(Q*(K-1));

end for K=1:NAT=X(1);BT=Y(1);I=K;for J=2:N

AT = AT + C(I) * X(J) - S(I) * Y(J);BT = BT + C(I) * Y(J) + S(I) * X(J);I=I+K-1;if I>N

I=I-N; % Evaluacion del modulo Nend

endA(K)=AT;B(K)=BT;M(K)=sqrt(A(K)^2+B(K)^2);% Magnitud de la salidaP(K)=atan(B(K)/A(K)); % Fase de la salida

end

En el anterior procedimiento, existe el problema de indexación con los argumen-tos de los senos y cosenos. Para utilizar una tabla de tamaño razonable y con pocaredundancia el índice debe de ser evaluado por módulo N , lo cual se realiza en la ope-ración condicional dentro del segundo ciclo interior, aumentando ligeramente el tiempo

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de cálculo del programa. Una siguiente reducción del tamaño de la tabla puede ser rea-lizada, aunque a expensas de una mayor complicación de indexación.

En caso de que la operación condicional consuma relativamente mucho más tiem-po que las operaciones matemáticas del ciclo, entonces, se puede mejorar la velocidadsimplemente determinando concretamente las N operaciones incrementando así el có-digo del programa, por lo que esta limitación hace posible su empleo para valores muypequeños de N . Esta solución empieza a ser aceptable en varios sistemas modernos conalta velocidad de operación matemática.

Una versión modificada del ejemplo de operaciones concretas es la siguiente:

% Procedimiento TDF -indexaciónfor K=1:N

W=Q*(K-1);AT=0;BT=0;J=0;while J<N,

D=W*J;C=cos(D);S=-sin(D);J=J+1;AT=AT+C*X(J)-S*Y(J);BT=BT+C*Y(J)+S*X(J);

endA(K)=AT;B(K)=BT;M(K)=sqrt(A(K)^2+B(K)^2);% Magnitud de la salidaP(K)=atan(B(K)/A(K)); % Fase de la salida

end

Algoritmo de Goertzel. A fin de obtener un mayor desempeño de la TDF, se debenbuscar diferentes soluciones al cálculo directo. En particular, la solución polinomialbasada en que la TDF misma es la transformada Z de x[n] evaluada sobre un ciclounitario. La transformada Z modificada de x[n] dada por X (z) =

∑N−1n=0 x [n] zn, puede

evaluar (A.9) para zk, lo que se puede escribir como

X(z) = Z(z)z=WkN

= F x [n] ,W kN = e−2πk/N

El método más eficiente de cálculo polinomial es el de Horner [3], según el cual unasecuencia de operaciones puede ser escrita en la forma de la ecuación diferencial lineal

y [m] = zy [m− 1] + x [N −m] (A.12)

con condicional inicial y[−1] = 0, que obtiene como resultado final para m = N , el arreglo

X [z] = y [N ]

-

-

-

6

retardoz−1

y[n]x[N − n]

∑

Figura A.2: Algoritmo de Goertzel

reemplazando z = W kN , el anterior algoritmo

de cálculo se conoce como el Algoritmo de

Goertzel [4], el cual se puede analizar comoun filtro de primer orden que tiene comoentrada la secuencia de datos en orden in-vertido y con solución completa para n = N .El diagrama del filtro recursivo se muestraen la Figura A.2 y el siguiente procedimien-to corresponde a su realización:

Algoritmo A.4. Algoritmo de Goertzel (Primer orden)

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N = input(’Ingrese el valor de N = ’);Q=pi/N;

% X e Y, vectores entradafor K=1:N

S=sin(Q*(K-1));C=cos(Q*(K-1));AT=0;BT=0;for J=1:N

T=C*AT+S*BT+X(N-J+1);BT=-S*AT+C*BT+Y(N-J+1);AT=T;

endA(K)=AT; B(K)=BT;

endA,B % Vectores de salida

La comparación del algoritmo A.4 con el procedimiento de cálculo directo A.3 mues-tra que la cantidad de operaciones de multiplicación y adiciones de punto flotante son lasmismas. Sin embargo, las funciones trigonométricas son evaluadas para cada frecuen-cia una sola vez en el algoritmo de Goertzel, por lo que la cantidad total de operacioneses 2N menor que 2N2 para el cálculo directo, disminuyendo así mismo los errores dediscretización.

De todas maneras, el algoritmo de Goertzel no mejora substancialmente la eficienciade cálculo para la TDF, debido a que la constante de retroalimentación es compleja y serequieren por tanto para cada dato 4 operaciones de multiplicación reales.

De otra parte, usando la igualdad de Euler, W k = e−j2πk/N = cos(2πk/N)−j sin(2πk/N),la expresión (A.12) se lleva a la forma,

Y [m] = WKY [m− 1] +X [N −m] = (cos−j sin)Y [m− 1] +X [N −m]

que se puede ampliar en

Y [m] = 2 cosY [m− 1] − Y [m− 2] +X [N −m] − (cos +j sinX) [N + 1 −m]

= q [m] − (cos +j sin) q [m− 1] (A.13)

donde

q [m] = (2 cos) q [m− 1] − q [m− 2] +X [N −m] (A.14)

La expresión (A.14) tiene coeficientes expresados en forma más simple que requierensolo una multiplicación por iteración. Los demás pasos de cálculo han sido evacuadosen (A.13), que se evalúan solamente una vez después que m sea igual a N , lo que sedemuestra de:

X(k) = Y [n] = q [N ] − (cos +j sin) q [N − 1]

con condiciones iniciales igual a cero para (A.14): q[0] = q[1] = 0. Se puede demostrar quela secuencia de entrada de la ecuación iterativa puede entrar en orden natural sin serinvertida, y las ecuaciones (A.13) y (A.14) se convertirán respectivamente en:

q [m] = (2 cos) q [m− 1] − q [m− 2] +X [m]

Y [m] = q [m] − (cos−j sin) q [m− 1]

El algoritmo de cálculo de la TDF basado en el último par de expresiones se denomi-na algoritmo de Goertzel de segundo orden y le corresponde el siguiente procedimiento:

Algoritmo A.5. Algoritmo de Goertzel (Segundo orden)

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x = input(’\nIngrese el vector de coeficientes X = ’);y = input(’\nIngrese el vector de coeficientes Y = ’);n = length(x); q = 6.2832/ n ; for k = 1 : n

s = sin( q * (k-1) );c = cos( q * (k-1) );cc = 2 * c;a2 = 0;a1 = x(1);b2 = 0;b1 = y(1);for j = 2 : n

t = a1;a1 = cc * a1 - a2 + x(j);a2 = t;t = b1;b1 = cc * b1 - b2 + y(j);b2 = t;

enda(k)= c * a1 - a2 - s * b1;b(k)= s * a1 + c * b1 - b2;

enddisp(’Los vectores resultado son :’);a,b % Vectores de salida

El proceso de la parte real e imaginaria de la secuencia de entrada, en A.5, es para-lelo por lo que en caso de tener secuencias reales el tiempo prácticamente se reduce ala mitad. En comparación con el algoritmo de Goertzel de primer orden, el programa A.5reduce a la mitad el número de multiplicaciones, tiene el mismo número de sumas y solo2N evaluaciones trigonométricas que pueden ser calculadas previamente y almacenadasen un arreglo o tabla si existe espacio disponible.

A.2. Cálculo de la transformada rápida de Fourier

A.2.1. Representación de dimensión múltiple de índices

Uno de los métodos más efectivos en la reducción del tiempo de cálculo numérico en laTDF es el cambio de variables, descomponiendo su representación unidimensional enmultidimensional, en otras palabras, representar un problema complejo por varios mássimples, lo que en este caso es posible, teniendo en cuenta la estructura de la TDF, cuyanotación es la siguiente:

X(n) =N−1∑

k=0

x(k)e−j2πnk/N =N−1∑

k=0

x(k)WnkN , n = 0, 1, . . . , N − 1 (A.15)

Por conveniencia se han realizado los siguientes reemplazos: k → kT y n → NT . Lanotación (A.15) implica un sistema de ecuaciones de orden N . Así, por ejemplo paraN = 4 se tendrá el siguiente sistema:

X (0) = x0 (0)W 04 + x0 (1)W 0

4 + x0 (2)W 04 + x0 (3)W 0

4

X (1) = x0 (0)W 14 + x0 (1)W 1

4 + x0 (2)W 14 + x0 (3)W 1

4

X (2) = x0 (0)W 24 + x0 (1)W 2

4 + x0 (2)W 24 + x0 (3)W 2

4

X (3) = x0 (0)W 34 + x0 (1)W 3

4 + x0 (2)W 34 + x0 (3)W 3

4 (A.16)

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n 4.1A.2. Cálculo de la transformada rápida de Fourier 219

El análisis de (A.16) indica que es necesario realizar N(N−1) sumas y N2 multiplica-ciones (en forma general, todas operaciones complejas), el cual puede ser representadoen forma matricial como:

X (0)X (1)X (2)X (3)

=

W 04 W 0

4 W 04 W 0

4

W 04 W 1

4 W 24 W 3

4

W 04 W 2

4 W 44 W 6

4

W 04 W 3

4 W 64 W 9

4

x0 (0)x0 (1)x0 (2)x0 (3)

(A.17)

que en forma compacta, describe el siguiente sistema matricial:

X(n) = WnkN x(k)

El término WnkN = e−j2πnk/N o factor de pivote posee las propiedades de periodicidad

WnkN = W

nkmod(N)N (A.18)

y antisimetría

Wk+N/2N = −W k

N (A.19)

Ejercicio en el PC A.4. En el caso analizado de N = 4, aplicando (A.18) se obtiene el respectivo

valor W 64 = exp

(−j 2π

46

)= exp (−j3π) = exp (−jπ) = exp

(−j 2π

42

)= W 2

4 .

El siguiente algoritmo permite analizar la periodicidad en N para el factor de pivote:

% Periodicidad del factor de pivoteN=4; % Base de análisisfor n=1:3*Nm(n)=exp(-j*2*pi*n/N);

endm % round(real(m)) formato de salida

>>ans =

0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1

La primera reducción de operaciones se obtiene utilizando la propiedad de periodi-cidad (A.18) del factor de pivote, así:

WnkN = W

nk mod (N)N

Por lo que la matriz (A.17) puede ser escrita como:

X(0)X(1)X(2)X(3)

=

1 1 1 11 W 1 W 2 W 3

1 W 2 W 0 W 2

1 W 3 W 2 W 1

x(0)x(1)x(2)x(3)

(A.20)

que reduce la cantidad de argumentos a calcular hasta N − 1. El segundo paso consisteen la descomposición de la matriz (A.20) empleando la factorización del término Wk,

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en particular, se podrá encontrar un método compacto de representación binaria de losíndices de la exponente k y n, tales que

ν = 2m−1νm−1 + 2m−2νm−2 + . . .+ ν0, ν ∈ k, n, ∀(k, n) ∈ Z, ν1, ν0 ∈ 0, 1, (A.21)

donde m = (2m−1nm−1 + 2m−2nm−2 + . . .+n0)(2m−1km−1 + 2m−2km−2 + . . .+ k0). La represen-

tación binaria en (A.21) impone inicialmente, la restricción sobre la longitud de la TDF,que deberá cumplir la condición N = 2m,m ∈ Z.

La expresión de la TDF obtenida a partir de (A.21) se define como:

X(nm−1, nm−2, . . . , n0) =1∑

k0=1

1∑

k1=1

. . .1∑

km−1=1

x(km−1, km−2, . . . , k0)WpN (A.22)

Por cuanto, se cumple que W a+b=W aW b el factor de pivote W pN se descompone en

W pN = W (2m−1nm−1+2m−2nm−2+...+n0)(2m−1km−1+2m−2km−2+...+k0)

= W (2m−1nm−1+2m−2nm−2+...+n0)(2m−1km−1)W (2m−1nm−1+2m−2nm−2+...+n0)(2m−2km−2) . . .

. . .W (2m−1nm−1+2m−2nm−2+...+n0)k0

(A.23)

A su vez, teniendo en cuenta que W 2m

N = WNN = 1, el primer término de (A.23) se

simplifica en

W (2m−1nm−1+2m−2nm−2+...+n0)(2m−1km−1) = W2m(2m−2nm−2km−1)N W

2m(2m−3nm−2km−1)N . . .

. . .W2m(n1km−1)N W

2m−1(n0km−1)N

= W2m−1(n0km−1)N

De manera similar, el segundo término de (A.23) se reduce a

W (2m−1nm−1+2m−2nm−2+...+n0)(2m−2km−2) = W2m(2m−3nm−1km−2)N W

2m(2m−4nm−2km−2)N . . .

. . .W2m−1(n1km−2)N W

2m−2(n0km−2)N

= W(2n1+n0)2m−2(n0km−2)N

y así sucesivamente, se encontrará que cada factor de descomposición agrega un términoque no se cancela, por lo que la expresión TDF en (A.22) puede ser escrita como:

X(nm−1, nm−2, . . . , n0) =1∑

k0=0

1∑k1=0

. . .1∑

km−1

x(km−1, km−2, . . . , k0)W2m−1(n0km−1)W (2n1+n0)2m−2km−2 . . .

. . .W (2m−1nm−1+2m−2nm−2+...+n0)k0

Realizando cada una de las sumatorias separadamente y etiquetando cada uno delos resultados intermedios se obtiene la siguiente ecuación recursiva:

x1 (n0, km−2, . . . , k0) =1∑

km−1=0

x0 (km−1, km−2, . . . , k0)W2m−1(n0km−1)

x2(n0, n1, km−3, . . . , k0) =1∑

km−2=0

x1(n0, km−2, . . . , k0)W(2n1+n0)2m−2km−2

......

xm(n0, n1, . . . , nm−1) =1∑

k0=0

xm−1(n0, n1, . . . , k0)W(2m−1nm−1+2m−2nm−2+···+n0)k0

X(nm−1, nm−2, . . . , n0) = xm(n0, n1, . . . , nm−1)

(A.24)

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donde x0(k) = x(k) es el vector original de entrada. La expresión (A.24) representa laformulación del algoritmo básico de TRF en base binaria.

Como ejemplo de ilustración, se desarrolla el algoritmo concreto para N = 4, que deacuerdo a (A.21) le corresponde la representación υ = 2υ1+υ0, υ ∈ k, n , con la siguientedescomposición:

X(n0, n1) =1∑

k0=0

1∑

k1=0

x0(k1, k0)W(2n1+n0)(2k1+k0) (A.25)

El factor de pivote se puede descomponer de acuerdo a (A.23) como:

W (2n1+n0)W (2k1+k0) = W (2n1+n0)2k1W (2n1+n0)k0

=(W 4n1k1

)W 2n1k0W (2n1+n0)k0

= W 2n0k1W (2n1+n0)k0

por lo que se puede escribir la TDF (A.25) en la forma:

X(n0, n1) =1∑

k0=0

1∑

k1=0

x0(k1, k0)W2n0k1

W (2n1+n0)k0

En forma general, cuando la longitud de la TDF no sea prima, N puede ser factori-zado como N = N1N2. Los dos nuevos índices de las variables ni = 0, . . . , Ni − 1; i ∈ 1, 2podrán ser representadas linealmente en la variable inicial n, si;

n = 〈α1n1 + α2n2〉N (A.26)

De la anterior expresión no queda claro si todos los valores de n están representados,o si la representación es única, esto es, uno a uno. En [5] se demuestra que existirásiempre un αi, tal que la representación (A.26) sea biyectiva. Sin embargo, se analizandos casos:

Caso 1. N1 y N2 son relativamente primos, esto es, (N1, N2) = 1 (donde (M,L) = L esla notación del máximo común divisor entre M y N ). La representación entera de(A.26) será única solamente si se cumple

(α1 = aN2) y/o (α2 = bN1) y (a,N1) = (α2, N2) = 1 (A.27)

Caso 2. N1 y N2 (N1, N2) > 1 no son números primos, entonces, se deberá cumplir:

(α1 = aN2) y (α2 6= bN1) y (a,N1) = (K2, N2) = 1 (A.28)

Para el primer caso, la representación (A.26) es denominada factor de representación

prima (FRP) cuando

K1 = aN2 y K2 = bN1 (A.29)

mientras, para el segundo caso se denomina factor de representación común (FRC), cuan-do:

K1 = aN2 ó K2 = bN1, pero no ambos (A.30)

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De hecho, el FRC puede ser empleado siempre. De igual manera, se pueden definirlos índices de representación α3 y α4 en el eje de las frecuencias:

k = 〈α3K1 + α4K2〉N (A.31)

con las mismas condiciones definidas en (A.27) y (A.28).El siguiente paso, teniendo definidos los índices de representación consiste en la

definición de TDF por medio de arreglos bidimensionales a la entrada y salida del sistema

x(n1, n2) = x[α1n1 + α2n2] (A.32a)

X(k1, k2) = X(α3k1, α4k2) (A.32b)

que aplicados a la definición de TDF (A.9) resulta en

X =

N2−1∑

n2=0

N1−1∑

n1=0

xWα1α3n1k1Wα1α4n1k2Wα2α3n2k1Wα2α4n2k2 (A.33)

Aunque todos los multiplicandos exponenciales tienen una misma base, permitiendoreducir así a un solo término, el análisis del algoritmo de la TDF por (A.33) muestra querequiere la misma cantidad de operaciones que el segundo algoritmo directo en (A.10b).Sin embargo, para reducir los cálculos las constantes αi pueden ser escogidas de talmanera que se cumpla la condición [5]:

〈α1α4〉N = 0 ó 〈α2α3〉N = 0 (A.34)

si Ni son relativamente primos, ambos términos de (A.34) se pueden tomar igual a cero.Un ejemplo de FRC es usado en el algoritmo de Cooley-Tukey (con factores comunesN = 2M ), en particular, el algoritmo de base 4 de la TRF para una longitud de N = 16 dela TDF:

n = 4n1 + n2

k = α1 + 4α2

n1 0 1 2 3 k1 0 1 2 30 0 4 8 12 0 0 1 2 31 1 5 9 13 1 4 5 6 72 2 6 10 14 2 8 9 10 113 3 7 11 15 3 12 13 14 15

K1 K2

Figura A.3: Arreglos de índices

Los arreglos correspondientes de los ín-dices son se muestran en la Figura A.3. Eneste caso, debido a que los factores N soncomunes, solamente una de las condicio-nes de (A.34) pueden ser escogidos, luego,(A.32b) será

X =3∑

n2=0

3∑

n1=0

xWn1k14 Wn2k1Wn2k1

16 Wn2k24

donde WN = e−j2π/N . La suma interior por n1 representa las 4 TDF de longitud N = 4,W16 representa las 16 operaciones de multiplicación complejas y la suma exterior por n2

representa otras 4 TDF de longitud 4.

A.2.2. Algoritmo de Cooley-Tukey

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b

bu

-

-

@@

@@

@@R

x[1]

x1[0]

x1[1]

x[0]

Figura A.4: Diagrama mariposa

Este algoritmo de cálculo de la TDF queemplea el principio de representación su-cesiva y que por caracterizarse por su altavelocidad de cálculo (comúnmente conoci-do como FFT Fast Fourier Transform). Enel algoritmo de TRF se emplea el FRC enlos índices de frecuencia y tiempo dados en(A.26) y (A.31) con las condiciones (A.30) re-sultando en los siguientes índices de repre-sentación [6]:

n = N2n1 + n2 (A.35a)

k = k1 +N1k2 (A.35b)

que reemplazando en (A.33) da como resultado

X =

N2−1∑

n2=0

N1−1∑

n1=0

xWn1k1N1

WNn2k2Wn2k2N2

(A.36)

La representación (A.35b) y la TDF en la forma (A.36) son los fundamentos para eldesarrollo del algoritmo de la TRF.

Decimación en frecuencia. La manera más común y eficiente de implementación dela TRF emplea todas las M se le denomina base raíz del sistema, que se encuentrarelacionada con la longitud total de la TDF N por la relación N = RM . Las bases raízR = 2 y R = 4 son las más comunes debido a que no se requieren operaciones demultiplicación y, muy ocasionalmente, se emplean otras de orden supeior 2R.

Para el caso de la TRF de base 2 los índices de representación (A.35b) son:

n = (N/2)n1 + n2 (A.37a)

k = k1 + 2k2 (A.37b)

la primera suma por n1 de (A.36) tiene la forma,

x(k1, n2) =l∑

n1=0

x(n1, n2)(−1)n1k1 (A.38)

la cual se ilustra en la Figura A.4. La suma exterior dada para k2 y n2 será

X(k1, k2) =

N/2−1∑

n2=0

y(k1, n2)Wn2k2N/2 (A.39)

donde y(K1, n2) = x (K1, n2)WK1n2N corresponde a una función mixta que entrevera tér-

minos entre una y otra suma. Las ecuaciones (A.37b) y (A.38) se ilustran en la FiguraA.5(a) y muestran como una TDF de longitud N puede ser calculada por medio de dosTDF de longitud N/2. Esta es la idea básica contenida en el algoritmo de base 2 de la

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(a) (b)

Figura A.5: diagrama de flujo de la TDF para N = 8

FFT y al proceso de obtención se le denomina decimación en frecuencia (DEF) por cuantolas dos TDF de longitud N/2 dan el total da la TDF como se ilustra en la figura A.5(b).Una de ellas da los términos pares y la otra impares.

El diagrama de flujo de la TDF de longitud N = 2 en (A.38) se muestra en la figuraA.4, por su forma es llamado de mariposa. La implementación en Matlab del procedi-miento de mariposa para la TDF de longitud 2 es la siguiente:

% % MariposaT=x(1)+x(2)x(2)=x(1)+x(2) % parte realx(1)=TT=y(1)+y(2)y(2)=y(1)-y(2) % parte imaginariay(1)=T

La variable T es denominada de almacenamiento temporal y tiene como fin evitarel uso de arreglos de memorias auxiliares mayores. El algoritmo de base 2 de la TRF,que puede ser implementado para cualquier longitud N = 2M , prevé un ciclo exteriorpara M dimensiones o etapas de desmembramiento de la longitud total (el ciclo por k delsiguiente programa). El siguiente ciclo por j se lleva a cabo para las N2 TDF de longitud2. El ciclo interior por i contiene las TDF de longitud 2 (mariposas) y el cálculo concretodel término de entreveración. En el algoritmo se contiene, además un desplazamientoen las direcciones de acuerdo a los índices de representación en (A.39).

Algoritmo A.6. Transformada Rápida de Fourier

N2 = N;for k = 1 : M

N1 = N2; N2 = N2 / 2;e = 2 * pi / N1; A = 0.;for j = 1 : N2;

S = - sin(A);C = cos(A);A = j * e;for i = j : N1 : N

L = i + N2 ;xt = x(i) - x(L);x(i) = x(i) + x(L);yt = y(i)- y(L);y(i) = y(i) + y(L);x(L) = xt * C + yt * S;

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y(L) = yt * C - xt * S;end

endend

El algoritmo A.6 contiene M = log2N etapas cada una con N/2 multiplicaciones queda un total de multiplicaciones complejas para la FFT de (N/2) log2N . A partir de laaparición de la FFT algunos mejoramientos han sido realizados. El primero y, tal vez, elmás importante consiste en el empleo de otras bases. El algoritmo de base 4 de la FFTno exige multiplicaciones. En particular, su implementación es la siguiente:

Algoritmo A.7. mariposa base 4

R1=x(1)+x(3)R2=x(1)-x(3)R3=x(2)+x(4)R4=x(2)-x(4)S1=y(1)+y(3)S2=y(1)-y(3)S3=y(2)+y(4)S4=y(2)-y(4)x(1)=R1+R3x(3)=R1-R3x(2)=R2+S4x(4)=R2-S4y(1)=S1+S3y(3)=S1-S3y(2)=S2-R4y(4)=S2+R4

Donde el arreglo x contiene la parte real, mientras el arreglo y contiene la parte com-pleja de los datos. El número de multiplicaciones para las FFT de base 2 y 4 correspondeal número del término de entreveración, esto es, N en cada M etapas. Como se tiene eldoble de etapas para la base 2 con relación al de base 4 el número de multiplicacionesde la FFT de base dos tiene que aumentar al doble. Aunque realmente varias multiplica-ciones en el algoritmo de base 2 son por 1 y no se llevan a cabo, con lo que el factor deaumento es menor que dos.

El número de sumas también es menor para el algoritmo de base 4 A.7. Por cuanto setiene menos etapas, la cantidad de datos por transferir es menor también. El programade la base 4 consiste en adaptar la correspondiente mariposa del siguiente programa conalgunos otros cambios menores.

Algoritmo A.8. TRF - base 4

x = input(’\n Introduzca el vector X : ... ’)y = input(’\n Introduzca el vector Y : ... ’)n = length(x); m = log2(n); n2 = n;for k = 1 : m % ciclo 1

n1 = n2; n2 = round(n2/2);e = pi * 2/n1; a = 0;for j = 1 : n2 % ciclo 1

b = a + a; c = a + b;co1 = cos(a); co2 = cos(b); co3 = cos(c);si1 = sin(a); si2 = sin(b); si3 = sin(c);a = j * e;for i = j : n1 : n % ciclo 1

i1 = i + n2; i2 = i1 + n2; i3 = i2 + n2;if (i1 > n)

i1 = n ;endif (i2 > n)

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i2 = n ;endif (i3 > n)

i3 = n ;endr1 = x(i) + x(i2); r3 = x(i) - x(i2);s1 = y(i) + y(i2); s3 = y(i) - y(i2);r2 = x(i1) + x(i3); r4 = x(i1) - x(i3);s2 = y(i1) + y(i3); s4 = y(i1) - y(i3);x(i) = r1 + r2; r2 = r1 -r2;r1 = r3 - s4; r3 = r3 + s4;y(i) = s1 + s2; s2 = s1 - s2;s1 = s3 + s4; s3 = s3- r4;x(i1) = co1 * r3 + si1 * s3;y(i1) = co1 * s3 - si1 * r3;x(i2) = co2 * r2 + si2 * s2;y(i2) = co2 * s2 - si2 * r2;x(i3) = co3 * r1 + si3 * s1;y(i3) = co3 * s1 - si3 * r1;

endend

end disp(’Los vectores resultado son : ......’); x,y

La TRF de longitud 8 también puede ser desarrollada para obtener menores multi-plicaciones. Sin embargo, la reducción de las etapas no es proporcional al factor y lareducción en el número de adiciones es casi inexistente [2]. Para el caso de la base 16 eldecremento en el número de multiplicaciones es neutralizado por el incremento en uncódigo muy largo de programación y del número de adiciones. En general, el empleo demayores bases raíz es poco frecuente, por cuanto generalmente se requieren substan-cialmente muchas más multiplicaciones en las mariposas y no llevan a la reducción enlas multiplicaciones del término de entreveración.

La segunda forma de reducción de cálculo de la TRF es evitar la multiplicación inne-cesaria en el término de entreveración por ±1, o por ±j, que ocurre cuando el exponentede WN es cero o múltiplo de N/4. Esto se puede realizar haciendo una mariposa apartepara los casos especiales como se muestra en el siguiente programa.

Algoritmo A.9. TRF - mariposa interna

x = input(’\nIntroduzca el vector X : ... ’);y = input(’\nIntroduzca el vector Y : ... ’);n = length(x); m = log2(n); n2 = n;for k = 1 : m % Ciclo 1

n1 = n2;n2 = round(n2 / 2);for i = 1 : n1 : n % Mariposa aparte

l = i + n2 ;if (l > n)

l = n ;endxt = x(i) - x(l);x(i) = x(i) + x(1);yt = y(i) - y(l);y(i) = y(i) + y(l);x(l) = xt;y(l) = yt;

endwhile (k == m)e =$ $ 2 * pi / n1;a = e;

for w = 2 : n2 % ciclo 2s = -1 * sin (a);c = cos (a);a = w * e;

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for i = w : n1 : n % Ciclo 3l = i + n ;if (l > n)

l = n ;endxt = x(i) - x(l);x(i) = x(i) + x(l);yt = y(i) - y(l);y(i) = y(i) + y(l);x(l) = xt * c - yt * s;y(l) = xt * s + yt * c;

endend

endenddisp(’Los vectores resultado son : ......’);x,y

Cuando el exponente de WN es N/8 o algún múltiplo, una pequeña reducción adicio-nal es posible. Puesto que las partes real e imaginaria de W a la N/8 potencia son igualesentonces se puede hacer lo siguiente: Sea C la parte real de W y S la imaginaría, la partereal de los datos X y Y la imaginaría. El producto de W veces los datos es entonces

(C + jS)(X + jY ) = R+ jI

R = CX − SY

I = CY + SX (A.40)

que requiere cuatro multiplicaciones y dos adiciones todas reales. Si la W tiene expo-nente N/8 o algún múltiplo y C = S = 1/

√2. En este caso, el anterior producto toma la

forma:

(C + jC)(X + jY ) = R+ jI

R = C(X − Y )

I = C(X + Y ) (A.41)

que requiere solamente dos multiplicaciones y dos adiciones todas reales. Este es unode los algoritmos más efectivos cuando se poseen procesadores de propósito general.

El tercer método para la reducción de multiplicaciones consiste en disminuir el nú-mero de multiplicaciones a expensas del aumento de adiciones en (A.40) de la siguientemanera (4 multiplicaciones y 2 sumas reales):

Z = C(X − Y )

D = C + S

E = C − S

luego la parte real e imaginaría del producto se puede escribir como (3 multiplicacionesy 5 sumas reales)

R = DY + Z

I = EX − Z (A.42)

una especie de tabla de ayuda puede ser calculada previamente para C, D y E. En estecaso, se requerirá tres multiplicaciones y tres sumas todas reales para cada multiplica-ción compleja. Si la multiplicación es mucho más lenta este algoritmo será más rápido[5]. La implementación se presenta en el siguiente programa:

Algoritmo A.10. TRF con tabla de ayuda

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% Inicializacion de la tabla de senos y cosenosx = input(’\nIntroduzca el vector X : ... ’)y = input(’\nIntroduzca el vector Y : ... ’)n = length(x); m = log2(n); p = pi / n ;for k = 1 :

round(n/2) % tabla de ayudaa = (k - 1) * p ;wr(k)= cos(a) ;wi(k)= -1 * sin(a);

end% Transf. rapida de Fourier de base 2n2 = n ;for k = 1 : m % ciclo 1

n1 = n2 ;n2 = round(n2 / 2) ;ie = n / n1 ; ia = 1 ;for j = 1 : n2 % ciclo 2

a = round(a);s = wi(a) ;c = wr(a) ;ia = ia + ie ;for i = j : n1 : n % ciclo 3

l = i + n2 ;if ( l > n )

l = n ;endxt = x(i) - x(l) ;x(i) = x(i) + x(l) ;yt = y(i) - y(l) ;y(i) = y(i) + y(l) ;x(l) = xt * c - yt * s ;y(l) = xt * s + yt * c ;

endend

enddisp(’Los vectores resultado son : ......’);x,y

Realmente, esta última forma de reducción debe de llevar a la reducción del tiempode cálculo cuando no se analizan operaciones extras de hardware.

En algunos procesadores digitales especializados, puede ocurrir que las operacionesde multiplicación y suma estén acopladas entre ellas, de tal manera que la reducción deuna multiplicación para agregar una suma puede no conllevar a la disminución de ve-locidad, ante este hecho, la presencia del comando condicional, más bien puede reducirel desempeño del algoritmo.

Existen varias formas de mejorar la velocidad de ejecución y versatilidad del progra-ma A.10. En particular, para este ultimo caso, la longitud de los datos muchas veces esdiferente a la condición de múltiplo de 2, por lo que se requerirán la mezcla de dimen-siones de longitud diferente, sin embargo, esto generalmente conlleva a la pérdida deeficiencia. Otra solución consiste en que si hay valores innecesarios, o muchos de ellosson cero, cierta ventaja se puede tomar recortando varias operaciones innecesarias [7].

Una alternativa que puede ser empleada consiste en la representación de los ele-mentos de salida en vez de los de entrada como hasta ahora se ha hecho. Este algoritmoes llamado Decimación en el tiempo (DET). Sin embargo el desempeño es básicamente elmismo que el del DEF [4,8].

En general, el número de multiplicaciones siempre decrece con el aumento de labase. Además, la reducción debida al cambio de 2 a tres mariposas no es tan notoriacomo de 1 a 2 y más aún esta decrece con el aumento de las bases.

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A.2.3. Acomodación de datos en la TRF

La selección del valor de N dentro de la serie 2M ,M ∈ Z+, trae de por si cierta inco-

modidad en la realización de la TRF. Existen varias maneras de salvar este momento yuna de ellas consiste en su cálculo aproximado rellenando de ceros simétricamente lospuntos que hagan falta hasta la cantidad inmediatamente superior múltiplo de 2M . Losprocedimientos de TRF, por lo general, permiten efectuar la TDF en sus formas directae inversa de los arreglos u = Xi + jYi y vk = Xk + jYk , brindando así la transforma-ción de Xi −→ Xk, Yi −→ Yk y viceversa. El mejoramiento de la precisión de la TRF sepuede alcanzar con un proceso especial de los datos de entrada o salida. El procesoen los datos de entrada consiste en la multiplicación de cada una de las muestras porlos coeficientes de peso Wi, escogidos de tal manera, que puedan brindar una aproxi-mación dada a y(t) durante su integración. Los valores de Wi = 1 corresponden a laaproximación escalonada y, por tanto, a la integración por el método de rectángulos.Si Wi = 1/2, 1, 1, . . . , 1, 1, 1/2, entonces la integración es efectuada por el método de lostrapecios. Cuando Wi = 1/3, 4/3, 2/3, 4/3, 2/3, . . . , 4/3, 1/3, la aproximación de y(t) será pa-rabólica, esto es, el método de integración empleado será el de Simpson. En si, se puedeefectuar cualquier tipo de aproximación polinomial de más alto grado escogiendo la seriede valores de Wi correspondientes. De manera análoga, para el aumento de precisión dela TRF por medio del proceso de los datos de salida, se lleva a cabo multiplicando Xk yYk por el coeficiente Kk = sin(πk/N)/(πk/N) e introduciendo la corrección de desplaza-miento de fase ∆ϕk = πk/N . Es importante anotar que no se podrán utilizar ambos tiposde aproximación (a la entrada y salida simultáneamente) por cuanto ellos son variantesalternativas de mejoramiento de la aproximación de y(t). El efecto de Gibbs, que se ob-serva en la interpolación geométrica de la serie de Fourier de las funciones quebradaso con rompimientos, disminuye significativamente en caso de utilizar cualquiera de losmétodos de aumento de precisión antes descritos de la TRF.

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Analisis de Señales y Sistemas (German Castellanos)

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