TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES -...

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Problemas del Capítulo 6 TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES Roberto Jiménez Martínez, Fernando Cruz Roldán, Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 1 TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES FILTROS DIGITALES IIR 6.1.- Se desea diseñar un filtro digital paso banda a partir de las siguientes especificaciones: • Atenuación total en 0 y π radianes. • Banda de paso centrada en π/2 radianes. • Ancho de banda a 3 dB de 0.04π radianes Obtenga la función del sistema del filtro de coeficientes reales (por ubicación de polos y ceros) y la ecuación en diferencias. Suponga que la relación entre el módulo de los polos (r) y el ancho de banda a 3 dB (ΔΩ) es: 0.9 > r para r 2 1 ΔΩ 6.2.- Se desea diseñar un filtro notch causal y estable con las siguientes características: Frecuencia a eliminar: 0.05π radianes. Ancho de la banda eliminada a 3 dB: ± 0.01π radianes () 1 1 = = z z H Utilizando el método de ubicación de polos y ceros: a) Obtener la función del sistema del filtro de orden dos, considerando que la respuesta al impulso es real. b) Representar de manera aproximada el módulo de la respuesta en frecuencia. c) Dibujar, empleando diagramas de flujo, una realización del filtro según la forma directa III. d) Contabilizar en dicha estructura el número de registros de almacenamiento necesarios para coeficientes y datos, así como el de sumas (de dos en dos términos) y multiplicaciones (no considere las multiplicaciones por la unidad) que se realizan por cada muestra de salida. NOTA: suponga que la relación entre el módulo de los polos (r) y el ancho de banda a 3 dB (ΔΩ) es: 0.9 > r para r 2 1 ΔΩ y opere con cuatro cifras decimales. 6.3.- La función del sistema que se indica a continuación se corresponde con un filtro diseñado mediante el método de la invarianza de impulso, con 2 = d T , es decir, [] ( ) n h n h c d 2 2 = , donde () t h c es real. Se pide:

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Problemas del Capítulo 6 TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Roberto Jiménez Martínez, Fernando Cruz Roldán,

Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 1

TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

FILTROS DIGITALES IIR 6.1.- Se desea diseñar un filtro digital paso banda a partir de las siguientes especificaciones:

• Atenuación total en 0 y π radianes. • Banda de paso centrada en π/2 radianes. • Ancho de banda a 3 dB de 0.04π radianes

Obtenga la función del sistema del filtro de coeficientes reales (por ubicación de polos y ceros) y la ecuación en diferencias. Suponga que la relación entre el módulo de los polos (r) y el ancho de banda a 3 dB (ΔΩ) es:

0.9>r para r 21 ΔΩ−≈

6.2.- Se desea diseñar un filtro notch causal y estable con las siguientes características: • Frecuencia a eliminar: 0.05π radianes. • Ancho de la banda eliminada a 3 dB: ± 0.01π radianes • ( ) 11 ==zzH

Utilizando el método de ubicación de polos y ceros:

a) Obtener la función del sistema del filtro de orden dos, considerando que la respuesta al impulso es real.

b) Representar de manera aproximada el módulo de la respuesta en frecuencia. c) Dibujar, empleando diagramas de flujo, una realización del filtro según la forma

directa III. d) Contabilizar en dicha estructura el número de registros de almacenamiento

necesarios para coeficientes y datos, así como el de sumas (de dos en dos términos) y multiplicaciones (no considere las multiplicaciones por la unidad) que se realizan por cada muestra de salida.

NOTA: suponga que la relación entre el módulo de los polos (r) y el ancho de banda a 3 dB (ΔΩ) es:

0.9>r para r 21 ΔΩ−≈

y opere con cuatro cifras decimales.

6.3.- La función del sistema que se indica a continuación se corresponde con un filtro diseñado mediante el método de la invarianza de impulso, con 2=dT , es decir,

[ ] ( )nhnh cd 22 ⋅= , donde ( )thc es real. Se pide:

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 2

( )120140 1

11

3−−−− ⋅−

−⋅−

=zeze

zH..d

a) Encontrar la función del sistema ( )sHc de un filtro de tiempo continuo que pueda haber sido la base del diseño anterior. ¿Es única la solución? Justifique la respuesta.

b) Dibujar, empleando diagramas de flujo, unas realizaciones del filtro digital empleando la forma directa I y estructuras de orden uno conectadas en paralelo.

6.4.- La función del sistema que se indica a continuación se corresponde con un filtro diseñado mediante el método de la transformación bilineal, con 2=dT . Se pide:

( )11 501

15013

−− +−

−=

z.z.zH d

a) Encontrar la función de sistema ( )sHc de un filtro de tiempo continuo que pueda haber sido la base del diseño anterior. ¿Es única la solución?. Justifique la respuesta.

b) Dibujar, empleando diagramas de flujo, unas realizaciones del filtro digital empleando estructuras de orden uno conectadas en cascada y en paralelo.

6.5.- Considere un filtro paso bajo de Chebyshev cuya función de sistema es:

( ) ( )( ) ( )2121

41

848204996116493055481110018360

−−−−

+−⋅+−

+=

z.z.z.z.z.zHlp

Este sistema de cuarto orden fue diseñado para que cumpliese las siguientes especificaciones:

( ) π≤Ω≤≤Ω≤ 2001891250 .paraH. lp

( ) π≤Ω≤π≤Ω 30177830 .para.Hlp

Diseñe a partir de este un filtro paso alto cuya frecuencia de corte de la banda de paso sea Ωp = 0 6. π .

6.6.- La siguiente función de sistema se corresponde con un filtro de Chebyshev paso alto, de orden 2, con 0`8 dB de rizado en la banda de paso, y de pulsación de corte

2=ωc Krad/s:

( )62

2

102831967 ⋅++=

'ssssHc

a) Obtenga, a partir del filtro anterior, los coeficientes de la función de sistema Hd(z) de un filtro paso alto digital empleando la transformación que estime oportuno.

( )...zaza

...zbzbbzH d

−−−

+++=

−−

−−

22

11

22

110

1

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 3

Considere la pulsación de muestreo 8=ωd Krad/s, y opere con tres cifras decimales.

b) Dibuje, empleando diagramas de flujo, una realización del filtro según la forma directa IV.

c) Calcule el valor de ΩT en que se transforma la pulsación de corte del filtro analógico ωc , así como el valor del módulo de la respuesta en frecuencia (en dB's) para dicha pulsación:

( )TdHlog Ω⋅20

6.7.- La siguiente función de sistema se corresponde con un filtro paso bajo de Butterworth:

( )100210

1002 222

2

+⋅+=

ω+ω⋅+

ω⋅=

ssss

HsH

cc

coa

a) Compruebe que ωc = 10 rad/s se corresponde con la pulsación de corte a 3 dB. b) Empleando el método de la invarianza de impulso, obtenga, a partir del filtro

anterior, los coeficientes de la función de sistema Hd(z) de un filtro paso bajo digital.

( )...zaza

...zbzbbzHd

−−−

+++=

−−

−−

22

11

22

110

1

Considere la pulsación de muestreo 225 ⋅=ωd rad/s.

c) Dibuje, empleando diagramas de flujo, las realizaciones del filtro según las formas directas II y IV.

6.8.- Se desea diseñar un sistema para procesar una señal analógica xa(t) (limitada en banda a 3 kHz) con un filtro digital como se indica en la figura.

Los requisitos exigidos al módulo de la respuesta en frecuencia )j(H ω son:

• Debe ser mayor que 0'89125 en la banda de frecuencias comprendidas entre 0 y 800 Hz.

• No debe superar 0'17783 a partir de los 1400 Hz. a) Obtenga la plantilla de especificaciones del módulo de la respuesta en

frecuencia, expresada en dB's, del filtro discreto de respuesta al impulso h[n] real que cumpla lo indicado.

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 4

b) El diseño del filtro anterior se decide realizar a partir de un prototipo analógico y empleando la transformación bilineal. Obtenga la plantilla de especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia de dicho filtro analógico. Considere Td =2.

c) En la etapa de aproximación se elige un filtro elíptico de orden 2 cuya función de sistema es H sa ( ) . Calcule, operando con cuatro cifras decimales, los coeficientes de la función de sistema HD(z) correspondiente.

344408858076982307043860

2

2

's's''s')s(H a

+⋅+⋅

+⋅=

⋅⋅⋅−⋅−⋅−

⋅⋅⋅+⋅+⋅+=

−−

−−

zaza

zbzbb)z(H o

D 22

11

22

11

1

d) Dibuje, empleando diagramas de flujo, las realizaciones del filtro según la formas directas II y IV.

6.9.- Se desea diseñar un filtro digital para aproximar la siguiente función del sistema correspondiente a un sistema LTI causal:

( )84

12 ++

=ss

sH a

Considerando una pulsación de muestreo ω πs = 8 , se pide obtener la función de sistema Hd(z) del filtro digital y su correspondiente diagrama polo-cero empleando

a) el método de invarianza de impulso. b) el método de la transformación bilineal.

Nota: opere con cuatro cifras decimales.

6.10.- La función del sistema H(z) de la ecuación se corresponde con un filtro digital diseñado a partir de un prototipo analógico y empleando la transformación bilineal. Calcule la función del sistema de dicho filtro analógico y dibuje en ambos sistemas el diagrama polo-cero.

( ) ( )21

11

11

−−

−−

++

−=

zzzzzH

Nota: Considere Td = 2.

6.11.- Dada la respuesta al impulso de un filtro analógico

( ) ( )∑=

⋅⋅⋅=

N

k

tskc tueAth kp

1,

donde kA y kps son constantes, y N es el orden del filtro, el método de invarianza al

escalón transforma su función del sistema analógica )s(Hc en la función del sistema digital siguiente:

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 5

( ) ∑= −⋅

−⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅

=N

kTsp

Tsk

ieze

zs

eAzH

dkpk

dkp

1 1

1

1

1.

Del mismo modo, el método de invarianza a la rampa transforma la función del sistema analógica )(sH c en la siguiente función del sistema

( ) ( )( )∑

= −⋅

−⋅

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=N

kTsdp

Ts

p

kir

ze

zTs

e

sA

zHdkpk

dkp

k1 1

11

1

11.

Dada la siguiente función del sistema estable y causal

( )23

12 ++

=ss

sHc ,

se pide: a) Obtener la función del sistema digital )z(H1 resultante de aplicar al filtro analógico

dado, el método de invarianza al impulso (considere que [ ] ( )dcd TnhTnh ⋅⋅=1 ).

b) Obtener la función del sistema digital )(2 zH resultante de aplicar al filtro analógico dado, el método de invarianza al escalón.

c) Dibuje el diagrama de polos y ceros del filtro analógico dado. Al aplicar al filtro analógico inicial los métodos de invarianza al impulso, al escalón y a la rampa, todos los sistemas resultantes son causales. ¿Son estables dichos sistemas? Razone la respuesta.

Nota: considere 101==

dd T

f y opere con cuatro cifras decimales. Exprese las

funciones del sistema de la siguiente forma:

( )∑

=

=

⋅−

= N

k

kk

M

k

kk

za

zbzH

1

0

1.

6.12.- En el diagrama de bloques de la figura se conoce la función de transferencia del filtro discreto:

( ) ( ) ( ) ℜ∈−⋅−+−

=−−

−−

az.az

zzzH 11

21

501121

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 6

Determinar el valor de a y la frecuencia de muestreo a utilizar si se desea que la respuesta del sistema ante la entrada:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

610425

31025 33 ππππ tsentcostx

sea:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

321048 3 ππ tsenty

6.13.- Un filtro continuo paso bajo cuya pulsación de corte es ωc = 10π rad/s se va a utilizar como base para el diseño de un filtro discreto ( H(Ω) ). A su vez, dicho filtro discreto se usará formando parte del sistema mostrado en la siguiente figura:

a) Si el filtro discreto se obtiene por aplicación del método de la respuesta al impulso invariante al filtro continuo inicial con Td = 0,01, determinar la pulsación de corte de Heff(ω).

b) Si el filtro discreto se obtiene por aplicación de la transformación bilineal al filtro continuo inicial con Td = 2, determinar la pulsación de corte de Heff(ω).

6.14.- Se desea diseñar un filtro discreto paso banda que cumpla las siguientes especificaciones de respuesta de amplitud:

( )⎩⎨⎧

π=Ωπ=Ω

=Ω8020

21

2

1,,

spulsacionelasparaH D

El diseño del mismo, HD(z), se realizará mediante la conexión adecuada de dos filtros, H1(z) y H2(z), obtenidos por aplicación de la transformación bilineal a los filtros de Butterworth cuyas funciones del sistema son, respectivamente:

( ) ( )ba

as

ssH,s

sHω+

=ω+

ω= 21

a) Obtener la función del sistema del filtro discreto, HD(z).

b) Una vez diseñado el filtro se desea que ( ) 1=ΩDH para la pulsación 2π

=Ω .

Obtener la nueva expresión de la función del sistema, HD2(z), así como los nuevos valores de respuesta en amplitud (expresados en decibelios) para las pulsaciones 1Ω y 2Ω .

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 7

c) El filtro discreto diseñado en el apartado 2, HD2(z), se utiliza para el diseño del sistema de la siguiente figura en el que ms,Ts 1250= . Obtener la respuesta del sistema, y(t), si la señal de entrada es:

( ) ( )π+ω⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω⋅+= 72,0cos32

52 ttsentx ba

siendo skrada /4π=ω y skradb /4,6 π=ω

6.15.- La función del sistema H(s) de un filtro de tiempo continuo cumple la plantilla de especificaciones que se muestra en la figura 1:

( )22

22 ++

=ss

sH

Dicho filtro va a ser utilizado como base para el diseño de un filtro de tiempo discreto, HD(Ω), que a su vez forma parte del sistema mostrado en la figura 2:

a) Determinar la función del sistema del filtro de tiempo discreto, HD(z), obtenida por

aplicación del método de la respuesta al impulso invariante al filtro de tiempo continuo, H(s), con Td = 1/4 s.

b) Dibujar la estructura en forma directa II transpuesta del filtro digital HD(z). c) Obtener el valor de la pulsación de muestreo, ωs, que debería utilizarse si se desea

que la pulsación de corte de la banda de paso del filtro analógico resultante, Ha(ω), sea de 1 krad/s.

d) Obtener la plantilla de especificaciones del módulo de la respuesta en frecuencia expresada en dB’s del filtro analógico resultante, Ha(ω), si para el diseño del filtro

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 8

discreto se aplica el método de la transformación bilineal con Td=0,4 s. Considerar para este apartado msTs 1= .

6.16.- Se ha obtenido la función de transferencia H(z) de un filtro IIR por aplicación de la transformación bilineal, con dT 2= , a un filtro continuo cuya función de

transferencia es ( ) ( )2

3 2

0,13 s 1H s

s 0,9s 1,24s 0,52+

=+ + +

. El filtro así obtenido [H(z)] forma

parte del sistema de la figura. Determinar el valor de Ts para que cuando la señal de entrada sea ( ) ( )4

0x t A cos 10 t 0,2= + π , la señal de salida sea nula ( ( )y t 0= ).

FILTROS DIGITALES FIR 6.17.- Se pretende diseñar un filtro FIR de fase lineal tipo II (número de coeficientes par y simetría par en la respuesta al impulso). Se desea que la respuesta al impulso sea real, y que la función de sistema presente un cero en el punto del plano z

z j112

12

= +

Se pide:

a) Obtener la función de sistema que cumple los requisitos anteriores, sabiendo que el orden del filtro es el mínimo posible.

b) Dibujar la respuesta al impulso correspondiente.

c) Representar el filtro empleando diagramas de flujo mediante las conexiones:

c.1) Cascada (con subestructuras de orden dos).

c.2) Fase lineal.

d) Contabilizar en ambas estructuras el número de registros de almacenamiento, de multiplicaciones y sumas necesarios por muestra de salida (no considerar multiplicaciones por la unidad).

6.18.- Para diseñar un filtro digital se emplea el método de la ventana. Observando dos ventanas diferentes (rectangular y Hamming) se obtienen los siguientes valores:

• Ventana a.1:

Amplitud máxima del lóbulo secundario: -46 dB.

Anchura del lóbulo principal: 0'098.

• Ventana a.2:

Amplitud máxima del lóbulo secundario: -13'5 dB.

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 9

Anchura del lóbulo principal: 0'056.

Una vez diseñado el filtro se comprueba que la banda de transición resultante es de mayor anchura si se emplea la ventana a.1.

Indique razonadamente si los datos indicados anteriormente se pueden corresponder con un diseño real y qué ventanas son las mencionadas como a.1 y a.2.

6.19.- Las siguientes funciones de transferencia representan dos filtros diferentes que cumplen la misma plantilla de especificaciones de respuesta en amplitud:

( ) 21

21

3633482.06744878.014981819.09274777.04981819.0) −−

−−

+−++

=zz

zzzHi

( ) ∑=

−=11

0)()

k

kzkhzHii con

h(0)= 0.54603280·10-2 = h(11) h(1)= -0.45068750·10-1 = h(10)

h(2)= 0.69169420·10-1 = h(9) h(3)= -0.55384370·10-1 = h(8)

h(4)= -0.63428410·10-1 = h(7) h(5)= 0.57892400 = h(6)

Para cada filtro:

a) Indique si se trata de un sistema FIR o IIR.

b) Dibuje un diagrama de bloques para cada filtro y escriba la correspondiente ecuación en diferencias.

c) Determine el número de operaciones y de registros de almacenamiento que se necesitan.

6.20.- Se pretende diseñar un filtro FIR de fase lineal tipo III (número de coeficientes impar y simetría impar en la respuesta al impulso). Se desea que la respuesta al impulso sea real, y que la función de sistema presente un cero en el punto del plano z.

21

1 =z

Se pide:

a) Obtener la función de sistema que cumple los requisitos anteriores, sabiendo que el orden del filtro es el mínimo posible.

b) Dibujar la respuesta al impulso correspondiente.

c) Representar el filtro empleando diagramas de flujo mediante las conexiones:

c.1) Forma directa.

c.2) Fase lineal.

d) Contabilizar en ambas estructuras el número de registros de almacenamiento (para coeficientes y datos), de multiplicaciones y sumas necesarios por muestra de salida (no considerar multiplicaciones por la unidad).

6.21.- Se pretende diseñar un filtro FIR de manera que el módulo de la respuesta en frecuencia )(ΩH del filtro diseñado satisfaga los siguientes requisitos:

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 10

• Debe ser mayor que 0'9 en la banda de frecuencias comprendidas entre 0 y 0'15π.

• No debe superar 0'01 a partir de 0'25π.

a) Represente la plantilla de especificaciones en escala semilogarítmica (eje de ordenadas expresado en dB's) del módulo de la respuesta en frecuencia del filtro deseado.

b) Para diseñar el filtro se decide emplear el método de la ventana con las siguientes funciones: rectangular, Hanning, Hamming y Blackman. Indique qué ventanas de las anteriores satisfacen los requisitos exigidos.

c) De las ventanas que cumplen las especificaciones iniciales, seleccione la que presente menor atenuación en la banda eliminada. Empleando dicha ventana, obtenga la anchura de la banda de transición y el orden del filtro resultante.

d) Represente la plantilla de especificaciones, en escala lineal, que cumplirá el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado.

e) Indique, especificando los valores oportunos, la expresión que permitiría calcular los coeficientes de la respuesta al impulso del filtro diseñado.

6.22.- Se desea diseñar un sistema para procesar una señal analógica x(t) (limitada en banda a 8 kHz) con un filtro digital como se indica en la figura.

Los requisitos exigidos al módulo de la respuesta en frecuencia )(ωH son:

• Debe ser mayor que 0'85 y menor que 1'1 en la banda de frecuencias comprendidas entre 0 y 2000 Hz.

• No debe superar 0'001 a partir de los 3400 Hz.

a) Represente la plantilla de especificaciones en escala semilogarítmica (eje de ordenadas expresado en dB's) del módulo de la respuesta en frecuencia que debe cumplir el filtro digital )(ΩDH .

b) Para diseñar el filtro se decide emplear el método de la ventana. A partir de la tabla adjunta, indique qué ventanas –considere sólo la rectangular, de Hanning, de Hamming y de Blackman- satisfacen los requisitos anteriores.

c) Seleccione la ventana de las indicadas en el apartado anterior que presente menor atenuación en la banda eliminada. Empleando dicha ventana, obtenga la anchura de la banda de transición y el orden del filtro resultante.

d) Represente la plantilla de especificaciones, en escala lineal, que cumplirá el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado.

e) Indique, especificando los valores oportunos, la expresión que permitiría calcular los coeficientes de la respuesta al impulso del filtro diseñado.

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 11

6.23.- Dado un filtro FIR de coeficientes reales y de longitud M+1, que cumple que [ ] 0≠nh para Mn0 ≤≤ , este sistema es de fase lineal si su respuesta al impulso

satisface que [ ] [ ]nMhnh −±= para Mn0 ≤≤ . Se pide:

a) Deducir de la condición anterior la siguiente igualdad: ( ) ( )1M zHzzH −− ⋅±= .

b) Indicar razonadamente cómo están distribuidos los polos y los ceros si el filtro cumple que [ ] [ ]nMhnh −−= , y M+1 es un número par.

c) Indicar razonadamente si el sistema del apartado anterior puede ser un filtro paso-todo.

d) Indicar razonadamente si el filtro del apartado “b” es, de todos los que tienen el mismo módulo de la respuesta en frecuencia, el sistema de fase mínima.

6.24.- Se desea diseñar un filtro FIR de longitud impar (M+1) y fase cero con las siguientes especificaciones:

• )(ΩH debe ser mayor que 0'88 y menor que 1'09 en la banda de frecuencias [0, 0.2π] radianes.

• )(ΩH no debe superar 0'01 a partir de 0.3π radianes.

a) Para diseñar el filtro se decide emplear el método de la ventana. Indique qué ventanas (entre rectangular, Hanning, Hamming, Blackman y Kaiser) permiten diseñar el filtro con los requisitos anteriores.

b) Seleccione la ventana de las indicadas en el apartado anterior que presente menor orden –indicando su valor-. Empleando dicha ventana, obtenga la anchura de la banda de transición que tendrá el filtro diseñado.

c) Represente la plantilla de especificaciones, en escala lineal, que cumplirá el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado.

d) Indique, especificando los valores oportunos, la expresión que permitiría calcular los coeficientes de la respuesta al impulso del filtro diseñado.

6.25.- Se pretende diseñar un filtro FIR empleando el método de la ventana, de manera que se satisfagan los siguientes requisitos:

• Pulsación de corte del filtro ideal: 0.5π radianes.

• El filtro deseado debe tener longitud 21, con [ ] 0≠nh sólo para 1010 ≤≤− n .

a) Represente la plantilla de especificaciones en escala lineal del módulo de la respuesta en frecuencia que satisfará el filtro digital cuando se emplean las siguientes ventanas:

a.1) Rectangular.

a.2) Hanning.

a.5) Kaiser, con β = 10.

b) Seleccione de los anteriores, el filtro que presente la banda de transición más estrecha, y el filtro que presente mayor atenuación en la banda eliminada. Indique para ambos cómo se obtendría la respuesta al impulso del filtro final diseñado.

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 12

6.26.- Se pretende diseñar un filtro FIR paso banda de fase cero empleando el método de la ventana, de manera que se satisfagan los siguientes requisitos:

• Pulsaciones de corte de la banda de paso: 0.5π y 0.7π radianes. • Pulsaciones de corte de la banda eliminada: 0.3π y 0.9π radianes. • Desviación en la banda de paso: 0.001. • Desviación en la banda eliminada: 0.01.

a) Indique qué ventanas (entre rectangular, Hanning, Hamming y Blackman) permiten diseñar el filtro con los requisitos anteriores.

b) Seleccione la ventana de las indicadas en el apartado anterior que presente mayor atenuación en la banda eliminada –indicando su valor-. Empleando dicha ventana, obtenga la longitud necesaria para cumplir las especificaciones anteriores.

c) Represente la plantilla de especificaciones, en escala lineal, que cumplirá el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado.

d) Indique, especificando los valores oportunos, la expresión que permitiría calcular los coeficientes de la respuesta al impulso de un filtro causal obtenido a partir del filtro diseñado. ¿Presenta el filtro causal fase lineal? Si la respuesta es afirmativa, ¿qué tipo de filtro es? Justifique las respuestas.

6.27.- Se pretende diseñar un filtro FIR paso bajo empleando el método de la ventana, de manera que se satisfagan los siguientes requisitos:

• Pulsación de corte del filtro ideal: 0.5π radianes. • El filtro deseado debe tener longitud 21, con [ ] 0≠nh sólo para 1010 ≤≤− n .

a) Represente la plantilla de especificaciones en escala lineal del módulo de la respuesta en frecuencia que satisfará el filtro digital cuando se emplea la ventana de Kaiser, con β = 9.

b) Indique cómo se obtendría la respuesta al impulso del filtro final diseñado.

c) Indique qué ventanas (entre Hanning, Hamming y Blackman) podrían emplearse para obtener un filtro con la misma anchura -como máximo- para la banda de transición que la del filtro diseñado en el apartado “a”. Indique la longitud necesaria para cada una de ellas.

d) Indique qué ventanas (entre Hanning, Hamming y Blackman) podrían emplearse para obtener un filtro con al menos la misma atenuación en la banda eliminada que la del filtro diseñado en el apartado “a”. Indique la longitud necesaria para cada una de ellas.

6.28.- Se pretende diseñar un filtro FIR de manera que se satisfagan los siguientes requisitos:

• Frecuencia de corte de la banda de paso: 3kHz • Frecuencia de corte de la banda eliminada: 5kHz • Frecuencia de muestro: 20 kHz • Desviación de la banda de paso: 0.15 • Desviación de la banda eliminada: 0.015

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 13

a) Represente la plantilla de especificaciones en escala semilogarítmica (eje de ordenadas en dB’s) del módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital deseado.

b) Para diseñar el filtro se decide emplear el método de las ventanas con las siguientes funciones: rectangular, Hanning, Hamming, Blackman y Kaiser. Indique que ventanas de las anteriores satisfacen los requisitos exigidos.

c) De las ventanas que cumplen las especificaciones iniciales, obtenga el orden requerido para cada uno de los filtros resultantes.

d) Seleccione de los anteriores, los dos filtros que representen menor orden. Represente las plantillas de especificaciones, en escala lineal, que cumplirán los módulos de la respuesta en frecuencia.

6.29.- En el diseño de un sistema de comunicaciones se necesita un filtro capaz de realizar un desplazamiento de fase de la señal de entrada para las frecuencias comprendidas entre 1 kHz y 3 kHz, con una atenuación superior a 52 dBs para frecuencias por debajo de 0,5 kHz y por encima de 3,5 kHz. Sabiendo que la respuesta en frecuencia de un desplazador de fase ideal (transformador de Hilbert) es:

( )1 2

2 1 1 2

1 2

,,

0 , yd

jH j

⎧− Ω < Ω < Ω⎪

Ω = − Ω < Ω < −Ω Ω < Ω⎨⎪ Ω < Ω Ω < Ω < π⎩

Obtener:

a) La respuesta al impulso del transformador de Hilbert, indicando si tiene o no simetría y en caso de tenerla de qué tipo.

Para implementar el transformador real se opta por realizar el diseño de un sistema FIR utilizando el método de las ventanas.

b) Si la frecuencia de muestreo utilizada es de 8 kHz, indicar las posibles ventanas

que pueden utilizarse así como el orden (M) del sistema que se obtendría para cada uno de los casos.

c) Utilizando la ventana de menor orden exceptuando la de Kaiser, obtener el valor de h[2], h[M-2] y h[2M].

d) Si se utiliza la ventana de Kaiser obtener el valor del factor de forma necesario e indicar el tipo de sistema de fase lineal que se obtiene. ¿Podría ser un sistema de fase lineal de cualquiera de los cuatro tipos? Razona la respuesta.

6.30.- En el diseño de un audífono digital se necesita un sistema capaz de realizar la derivada de la señal de entrada para las frecuencias comprendidas entre cero y 3,6kHz, con una atenuación superior a 40 dBs para las frecuencias superiores a 4 kHz. Sabiendo que la respuesta en frecuencia de un diferenciador digital ideal es:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

π<Ω<Ω

Ω<ΩΩ=Ω

c

c

,

,jH

0

siendo Ωc la frecuencia de corte del derivador ideal, obtener:

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 14

a) La respuesta al impulso del derivador digital ideal, indicando si tiene o no

simetría y en caso de tenerla de que tipo.

Para implementar el derivador se opta por realizar el diseño de un sistema FIR de fase lineal utilizando el método de las ventanas.

b) Sabiendo que la frecuencia de muestreo utilizada es de 16kHz, indicar las posibles ventanas que pueden utilizarse así como el orden del sistema que se obtendría para cada uno de los casos.

c) Utilizando la ventana de menor orden exceptuando la de Kaiser, obtener el valor de h[2], h[M-2] y h[2M].

d) Si se utiliza la ventana de Kaiser obtener el valor del factor de forma necesario e indicar el tipo de sistema de fase lineal que se obtiene. ¿Podría ser un sistema de fase lineal de cualquiera de los cuatro tipos? Razona la respuesta.

6.31.- Se desea diseñar un filtro paso alto, utilizando el sistema de la figura 1, con las siguientes especificaciones: - Banda atenuada: ( ) s/krad,.H a π≤ω≤≤ω 70010

- Banda de paso: ( ) s/krad,H. a π≥ω≤ω≤ 81850 El filtro discreto se obtendrá por aplicación del método de las ventanas y la frecuencia de muestreo empleada será de dos veces y media la frecuencia de corte de la banda de paso.

a) Represente la plantilla de especificaciones en escala semilogarítmica (eje de ordenadas expresado en dB's) del módulo de la respuesta en frecuencia que debe cumplir el filtro analógico equivalente )(Ha ω

b) Represente la plantilla de especificaciones en escala semilogarítmica (eje de ordenadas expresado en dB's) del módulo de la respuesta en frecuencia que debe cumplir el filtro digital )(HD Ω .

c) Para diseñar el filtro se decide emplear el método de la ventana. A partir de la tabla adjunta, indique qué ventanas –considere sólo la rectangular, de Hanning, de Hamming y de Blackman- satisfacen los requisitos anteriores.

d) Seleccione la ventana de las indicadas en el apartado anterior que presente menor atenuación en la banda eliminada. Empleando dicha ventana, obtenga la anchura de la banda de transición y el orden del filtro resultante.

e) Represente la plantilla de especificaciones, en escala lineal, que cumplirá el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital diseñado.

f) Obtener la expresión de la respuesta al impulso del filtro digital así como el valor de los coeficientes h[0], h[M] y h[M+15].

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 15

Figura 1 6.32.- Se desea obtener la respuesta al impulso de un filtro FIR paso bajo que cumpla las siguientes especificaciones:

( ) π≤Ω≤∀≤Ω≤ 25.00029.1H93.0

Atenuación mínima de 50 dBs para π≤Ω≤π45.0 Determinar:

a) Ventanas que pueden utilizarse para el diseño y longitud de las mismas. b) Valor de h[9], h[25] y h[50] si se utiliza la ventana de longitud intermedia.

6.33.- La figura representa el módulo (en dB) de parte de la respuesta en frecuencia de una ventana rectangular de orden M. Determinar razonadamente el valor de M.

ESTRUCTURAS DE FILTROS DITALES

6.34.- En la figura siguiente se representa una realización en la forma acoplada de una función del sistema que presenta una pareja de polos conjugados. Se pide:

a) Obtener su función del sistema. Dibujar una estructura equivalente según la forma directa IV.

b) Dibujar la forma traspuesta a la dada en la figura, demostrando que tiene la misma H(z).

c) Considerando la estructura de la figura, realizar un algoritmo en seudocódigo que permita el cálculo de la salida y[n] a partir de la entrada x[n].

d) Indicar el número de operaciones y de registros de almacenamiento que se necesitan en cada una de las estructuras obtenidas.

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 16

6.35.- Para la función de sistema indicada en la ecuación siguiente dibuje, empleando diagramas de flujo, una realización en cascada y en paralelo con sistemas de segundo orden.

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )121

211

21

211

811

43

11321

21

1111

211110−−−−

−−−

−−⋅+−⋅−⋅−

+⋅−⋅−⋅=

zjzjzz

zzzzH

6.36.- Determine la función de sistema y la respuesta al impulso de los filtros siguientes:

Obtenga la forma transpuesta del primer grafo, verificando que tiene la misma función de sistema.

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 17

6.37.- Determine d1 y a2 en función de b1 y b2 para que los dos sistemas siguientes sean equivalentes:

6.38.- Para la siguiente función de sistema

( )2

811

43

21

121

−−

−−

+−

++=

zzzzzH

dibuje, empleando diagramas de flujo, todas las posibles realizaciones en cascada y en paralelo empleando sistemas de primer orden.

6.39.- El diagrama de flujo de la figura muestra un sistema no computable; es decir, no es posible calcular la salida empleando las ecuaciones en diferencias representadas en el diagrama ya que presenta lazos cerrados que no contienen elementos de retardo.

a) Escriba la ecuación en diferencias del filtro y obtenga la correspondiente

función del sistema. b) De la función de sistema represente una nueva estructura que sí sea

computable.

6.40.- Considere un sistema LTI causal cuya función de sistema es:

( ) ( ) ( )2311

211

41

151

11

1−−−

+−⋅+

+=

zzz

zzH

a) Dibuje un diagrama de flujo del sistema para cada una de las siguientes formas: i) Directa I. ii) Directa II.

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 18

iii)Cascada empleando secciones de primer y segundo orden con la forma directa II.

iv) Paralelo empleando secciones de primer y segundo orden con la forma directa II.

v) Forma directa II traspuesta. b) Obtenga la ecuación en diferencias para la estructura v) del apartado "a" y

demuestre que tiene la misma función de sistema.

6.41.- Un sistema lineal e invariante se puede realizar empleando el siguiente diagrama de flujo:

a) Escriba la ecuación en diferencias que lo caracteriza. b) Calcule la función de sistema. c) En la estructura anterior, ¿cuantas multiplicaciones y sumas reales son

necesarias para calcular cada muestra de la señal de salida?.(Suponga que x[n] es real y no contabilice las multiplicaciones por uno).

d) La estructura anterior requiere cuatro registros de almacenamiento (unidades de retardo). ¿Es posible reducir este número empleando una estructura diferente?. Si responde afirmativamente, dibuje dicha estructura, y en caso contrario explique porqué no se puede reducir.

6.42.- Un sistema LTI cuya función de sistema es

( )( )

( ) ( ) ( )H z

z

z z z z z z=

+

− + ⋅ + + ⋅ − +

− − − − − −

0 2 1

1 2 1 1

1 6

1 78

2 1 12

2 12

1 2

.

se puede realizar empleando el diagrama de flujo de la figura.

a) Encuentre todos los coeficientes del diagrama de la figura. ¿Es única la solución? b) Defina todas las variables de nudo que crea convenientes y escriba las ecuaciones

en diferencias que caracterizan a cada una de las secciones.

6.43.- La estructura de la figura es una sección LDI de dos polos y puede ser empleada en la realización de bancos de osciladores digitales. Para obtener la secuencia de salida se pueden elegir dos opciones: x1i[n] ó x2i[n], dependiendo de la función del sistema que se desee.

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 19

Se pide:

a) Obtener la función del sistema ( ) ( ) ( )zXzXzH i11 = .

b) Obtener la función del sistema ( ) ( ) ( )zXzXzH i22 = .

c) Representar ambos filtros empleando diagramas de flujo mediante la forma directa IV.

d) Contabilizar en todas las estructuras el número de registros de almacenamiento necesarios para coeficientes y datos, así como el de multiplicaciones y sumas necesarios por muestra de salida (no considerar multiplicaciones por la unidad).

6.44.- La estructura de la figura representa una realización obtenida a partir de la representación en variables de estado de un sistema con dos polos.

Se pide:

a) Obtener la función del sistema ( ) ( ) ( )H z Y z X z= . b) Representar el filtro mediante la forma directa II empleando diagramas de flujo. c) Contabilizar en ambas estructuras el número de registros de almacenamiento

necesarios para coeficientes y datos, así como el de sumas (de dos en dos términos) y multiplicaciones (no considere las multiplicaciones por la unidad) que se realizan por cada muestra de salida.

El filtro anterior se puede caracterizar por las siguientes ecuaciones matriciales:

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]1 1

2 2

1 1 1 2 11 1 0 0

s n s nx n

s n s n⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]nxnsns

ny +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

2

1213

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Tratamiento Digital de Señales

Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 20

en las que [ ]1s n y [ ]2s n representan el valor en el instante n de los nodos (registros)

1s y 2s respectivamente, y [ ]1 1s n + y [ ]2 1s n + el valor de dichos registros en el

instante 1n + . Sabiendo que [ ] [ ]1 21 1 0s s− = − = , se pide:

d) Calcular las cuatro primeras muestras de la respuesta al impulso ( [ ]0h , [ ]1h ,

[ ]2h y [ ]3h ).

e) Considerando la estructura de la figura, realizar un algoritmo en seudocódigo que permita el cálculo de la salida [ ]y n a partir de la entrada [ ]x n .

6.45.- La estructura de la figura representa una realización obtenida a partir de la representación en variables de estado de un sistema estable con dos polos.

Se pide:

a) Obtener la función del sistema ( ) ( ) ( )zXzYzH = . b) Contabilizar en dicha estructura el número de multiplicaciones y sumas –

realizadas de dos en dos elementos- por cada muestra de entrada. No considere las multiplicaciones por la unidad.

c) Sabiendo que el filtro digital se ha obtenido empleando la transformación bilineal –con 2=dT -, se pide encontrar la función del sistema analógico ( )sH c que ha sido la base del diseño anterior. Comente la causalidad de ambos sistemas, analógico y digital.

6.46.- Dada la estructura de la figura, donde +ℜ∈a y 10 << a ,

se pide:

a) Obtener la función del sistema ( ) ( ) ( )zXzYzH d = .

b) Representar el filtro mediante la forma directa IV empleando diagramas de flujo. c) Contabilizar en ambas estructuras el número de registros de almacenamiento

necesarios para coeficientes y datos, así como el de sumas (de dos en dos

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 21

términos) y multiplicaciones (no considere las multiplicaciones por la unidad) que se realizan por cada muestra de salida.

d) Dibujar el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro dado. e) Si el filtro ha sido diseñado mediante el método de la transformación bilineal, con

2=dT , se pide encontrar la función del sistema ( )sHc de un filtro de tiempo continuo que pueda haber sido la base del diseño anterior. Dibujar el diagrama de polos y ceros de ( )sHc .

6.47.- En la estructura de la figura:

a) Determine la función de sistema ( ) ( ) ( )zXzYzH = y la ecuación en

diferencias que relaciona la salida ( [ ]ny ) y la entrada ( [ ]nx ).

b) Dibuje el diagrama de polos y ceros del filtro anterior si 5021 ,bb == . A la vista de dicho diagrama indique de que tipo de filtro se trata, razona la respuesta.

c) Realice el sistema anterior mediante la forma directa II transpuesta.

6.48.- La estructura en celosía es ampliamente utilizada en procesado de voz y en el diseño de filtros adaptativos. Un sistema en celosía presenta una serie de etapas conectadas tal como se muestra en la figura a. La estructura de cada una de las etapas se representa en la figura b siendo mk el parámetro de la celosía correspondiente a la etapa m_ésima conocido como coeficiente de reflexión.

a) Obtener la función del sistema, ( ) ( ) ( )zXzYzH = para un sistema en

celosía de una única etapa en función de su coeficiente de reflexión.

b) Dada ( ) 2121

531 −− ++= zzzH , obtener los parámetros y dibujar la

estructura en celosía para dicho sistema.

Figura a

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 22

Figura b

6.49.- En el sistema cuyo diagrama de flujo se representa en la siguiente figura:

a) Suponiendo que parte de reposo inicial, determine la función de sistema y la ecuación en diferencias que relaciona la salida [ ]( )ny y la entrada

[ ]( )nx .

b) Determine la función de transferencia del sistema a conectar en cascada con el anterior para que el conjunto sea un filtro paso todo con ganancia en continua unidad.

6.50.- Los diagramas de flujo de las siguientes figuras representan la estructura de diseño de dos filtros digitales. Determinar:

a) Función del sistema ( ) ( ) ( )zXzYzH 111 = de la figura 1 y ecuación en diferencias que relacionan la salida [ ]( )ny1 y la entrada [ ]( )nx1 .

b) Valor de la transmitacia “α” de la estructura de la figura 2 para que ambos filtros presenten la misma función del sistema.

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Problemas del Cap. 6 (Curso 08/09) – Pág. 23

6.51.- La respuesta al impulso de un sistema LTI es:

⎩⎨⎧ ≤≤

=resto

nanh

n

070

][

a) Dibuje el diagrama de flujo empleando la forma directa.

b) Demuestre que la correspondiente función de sistema se puede expresar como

( ) ( )( ) az

azzazH >

−−

= −

1

88

11

c) Dibuje el diagrama de flujo de otro sistema que tenga la misma H(z) y que sea un sistema FIR en cascada con un sistema IIR (suponga 1<a ).

d) Indique qué realización requiere:

i) más registros de almacenamiento (datos y coeficientes).

ii) más operaciones (multiplicaciones y sumas por muestra de salida).