Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]
-
Upload
dimos-tsiakas -
Category
Documents
-
view
25 -
download
2
Transcript of Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]
�
�
1/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
229�
�
�
�
17.1� Ερωτήσειςµεσύντοµηαπάντηση�
1)� Να�γράψετε�τις�ιδιότητες�των�πράξεων�στο�
� σύνολο�R�των�πραγµατικών�αριθµών.�
2)� Πότε�δύο�αριθµοί�λέγονται�αντίθετοι�και�
� πότε�αντίστροφοι;�
3)� Να�γράψετε�τις�ιδιότητες�των�αναλογιών.�
4)� Πότε�µπορούµε�να�διαγράψουµε�έναν�πα-�
� ράγοντα�από�µια�ισότητα;�
5)� Ποιους� περιορισµούς� πρέπει� να� θέσουµε�
� για�να�ορίζεται�ένα�κλάσµα;�
6)� Πότε�ένα�γινόµενο�είναι�ίσο�µε�µηδέν�και�
� πότε�είναι�διάφορο�του�µηδενός;�
17.2� Ερωτήσειςµεσύντοµηαπάντηση�
1)� Πώς�ορίζεται�η�δύναµη�αν;�
2)� Να�γράψετε�τις�ιδιότητες�των�δυνάµεων.�
3)� Να�γράψετε�τις�αξιοσηµείωτες�ταυτότητες.�
4)� Να�γράψετε�το�β΄�µέλος�για�την�παράστα-�
� ση:�
α3�+�β
3�+�γ
3�–�3αβγ�
17.3� Ερωτήσειςσυµπλήρωσηςκενού
Να�συµπληρώσετε�τις�προτάσεις.�
1)� Ο�αριθµός�α�έχει�αντίστροφο,�µόνο�αν�…�
� …………�Ο�αντίστροφος�του�α�είναι�ο�…�
� …………,�που�συµβολίζεται�και�µε�……�
� ………�
2)� Η�αφαίρεση�και�η�διαίρεση�ορίζονται�από�
� τις�ισότητες:�
� α�–�β�=�……………�και�α
,β=…………… �
� όπου��β�……………�
3)� Ισχύει�ότι:�
αβ�=�0�⇔�……………�
και�
αβ�≠�0��⇔��……………�
4)� Αν��αβ�=�αγ
��και�……………,�τότε�………�
� ……�
5)� ∆ύο�αριθµοί�µε�γινόµενο�1�λέγονται�……�
� ………�ενώ�δύο�αριθµοί�µε�άθροισµα�0�
� λέγονται�……………�
6)� Αν��αβ�≠�0,
��τότε�……………�
2/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
230� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�
17.4� Ερωτήσειςτουτύπου“Σωστό-Λάθος”
Να�χαρακτηρίσετε�τις�παρακάτω�προτάσεις�ως�
σωστές�(Σ)�ή�λανθασµένες�(Λ).�
1)� Οι�περιοδικοί�αριθµοί�είναι�ρητοί�και�οι�
� δεκαδικοί�αριθµοί�είναι�άρρητοι.�
� � � � � � � � � � ��� ���
2)� Κάθε�αριθµός�έχει�αντίστροφο.�
� � � � � � � � � � ��� ���
3)� Σύµφωνα�µε�την�επιµεριστική�ιδιότητα�εί-�
� ναι:�
� α(β�+�γ)�=�αβ�+�αγ���και���α(β�–�γ)�=�αβ�–�αγ�
� � � � � � � � � � ��� ���
4)� Το�κλάσµα�α
β�ορίζεται�αν�
�β�≠�0.�
� � � � � � � � � � ��� ���
5)� Αν��αβ�=�αγ,
��τότε�
�β�=�γ.� � Σ��� Λ���
6)� Ισχύει�η�ισοδυναµία:�
♦� αβ�=�0��⇔��α�=�0��και��β�=�0� Σ��� Λ���
♦� αβ�≠�0��⇔��α�≠�0��ή��β�≠�0� � Σ��� Λ���
7)� Αν�α γ
,β δ= �όπου�
�β,�δ,�β�+�δ�≠�0,
��τότε:�
α β γ δ α α γκαι
β δ β β δ
+ + += =
+
�
17.5� Ερωτήσειςσυµπλήρωσηςκενού
Να�συµπληρώσετε�τις�προτάσεις.�
1)� Ορίζουµε��αν�=�……………,
��α
1�=�………�
� ……�και��α0�=�……………,
��όπου�
�α�……�
� Είναι�ακόµα��α-ν
�=�……………�
2)� Ισχύει�ότι:�
� ακ�⋅�αλ�=�………,�� � α
κ� :� α
λ� =� ………,�
� (αβ)κ�=�………,� � �
κ
α
β
=………
�
� και��(α
κ)λ�=�
�………,
��όπου�κ�και�λ�είναι�
� ακέραιοι�αριθµοί.�
3)� Αν�ο�κ�είναι�ακέραιος,�τότε�
κ
α
β
−
=……
�
4)� Ισχύει�ότι:�
� ♦� (α�+�β)2�=�………,
��(α�–�β)
2�=�………�
� ♦� (α�+�β)3�=�………,
��(α�–�β)
3�=�………�
� ♦� αν�–�β
ν�=�………�
� ♦� α3�+�β
3�+�γ
3�–�3αβγ�=�…………�
� ♦� (α�+�β�+�γ)2�=�………�
5)� Αν��α�+�β�+�γ�=�0,
��τότε�………�
6)� Για�την�παραγοντοποίηση�µιας�παράστα-�
� σης�χρησιµοποιούµε�τις�ταυτότητες:�
� α2�–�β
2�=�……………�
� α3�–�β
3�=�……………�
� α3�+�β
3�=�……………�
� x2�+�(α�+�β)x�+�αβ�=�……………�
7)� Αν�γνωρίζουµε�τα��α�+�β
��και�αβ,�τότε�γρά-�
� φουµε:�
� α2�+�β
2�=�……………
��και�
� α3�+�β
3�=�……………�
17.6� Ερωτήσειςτουτύπου“Σωστό-Λάθος”
Να�χαρακτηρίσετε�τις�παρακάτω�προτάσεις�ως�
σωστές�(Σ)�ή�λανθασµένες�(Λ).�
1)� Είναι��α1�=�α
��και�
�α0�=�1
��για�κάθε�
�α�≠�0.�
� � � � � � � � � � ��� ���
2)� Ορίζουµε� ν
ν
1α .
α
−
= �Εποµένως:�
κ κ
α β
β α
−
=
�
� όπου��κ�∈
�Z.� � � � � � ��� ���
3/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
231�
3)� Ισχύει�ότι��(α
κ)λ�=�α
κ+λ.� � � Σ��� Λ���
4)� Ισχύει�ότι:�
� (α�+�β)2�=�α
2�+�β
2� � � � ��� ���
� (α�+�β)3�=�α
3�+�β
3� � � � ��� ���
� (α�–�β)2�=�α
2�–�β
2� � � � ��� ���
� (α�–�β)3�=�α
3�–�β
3� � � � ��� ���
5)� Ισχύει�ότι:�
� ♦��α3�+�β
3�+�γ
3�-�3αβγ�=�
� � 2 2 21(α β γ) (α β) (β γ) (γ α)
2 = + + − + − + − �
� � � � � � � � � � ��� ���
� ♦��αν�
�α�+�β�+�γ�=�0,
��τότε:�
α3�+�β
3�+�γ
3�=�3αβγ�
� � � � � � � � � � ��� ���
6)� Ισχύει�ότι:�
� α2�–�β
2�=�(α�–�β)(α�+�β)�� � Σ��� Λ���
� α3�+�β
3�=�(α�+�β)(α
2�–�αβ�+�β
2)�
� � � � � � � � � � ��� ���
� α3�–�β
3�=�(α�–�β)(α
2�+�αβ�+�β
2)�
� � � � � � � � � � ��� ���
� x2�+�(α�+�β)x�+�αβ�=�(x�+�α)(x�+�β)�
� � � � � � � � � � ��� ���
�
17.7� Ερωτήσειςµεσύντοµηαπάντηση�
1)� Πώς�λύνουµε�την�εξίσωση��αx�+�β�=�0;�
2)� Πότε�λέµε�ότι�ο�α�είναι�µεγαλύτερος�από�
� τον�β�και�πώς�τον�συµβολίζουµε;�
3)� Να�γράψετε�τις�ιδιότητες�των�ανισοτήτων.�
4)� Πώς�λύνουµε�την�ανίσωση��αx�+�β�>�0;�
5)� Πώς�συµβολίζουµε�µε�µορφή�διαστήµατος�
� τις�σχέσεις:�
� x�>�α,���x�<�α,���x�≤�α,���x�≥�β,���α�<�x�<�β�
α�≤�x�≤�β,���α�<�x�≤�β,���α�≤�x�<�β�
� και�πώς�παριστάνουµε�τα�διαστήµατα�αυ-�
� τά�πάνω�στον�άξονα�x´x;�Ποια�από�τα�πα-�
� ραπάνω�διαστήµατα�είναι�ανοικτά�και�ποια�
� κλειστά;�
17.8� Ερωτήσειςσυµπλήρωσηςκενού
Να�συµπληρώσετε�τις�προτάσεις.�
1)� Θεωρούµε�την�εξίσωση��αx�+�β�=�0.
��Η�εξί-�
� σωση�αυτή�έχει�µοναδική�λύση�όταν�…�
� …………,�είναι�αδύνατη�όταν�…………�
� και�……………�ενώ�είναι�αόριστη�αν�…�
� …………�και�……………�
2)� Ισχύει�ότι��α�>�β�⇔�……
��και�
�α�≤�β�⇔�…�
3)� ♦� Αν�οι�αριθµοί�α�και�β�είναι�οµόσηµοι,�
� � τότε�……………�και�……………�
� ♦� Αν�οι�αριθµοί�α�και�β�είναι�ετερόσηµοι,�
� � τότε�……………�και�……………�
� ♦� Για�κάθε�αριθµό�α� ισχύει�ότι�α2�……�
� � και�α2ν
�………,�όπου�ν�φυσικός�αριθ-�
� � µός.�
4)� Αν��α�>�β
��και�
�β�>�γ,
��τότε�……………�
5)� Αν��α�>�β
��και�
�γ�>�0,
��τότε�……………�
6)� Αν��α�>�β
��και�
�γ�………,
��τότε�…………�
7)� Αν��α�>�β
��και�
�γ�>�δ,
��τότε�……………�
8)� Αν��α�>�β�>�0
��και�
�γ�>�δ�>�0,
��τότε�………�
4/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
232� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�
9)� Ισχύει�ότι:�
� ♦��α2�+�β
2�………�
� ♦�α β
,β α+ …… � όπου�α�και� β� είναι� οµό-�
� ��σηµοι�αριθµοί�
� ♦�1
α 2α
+ ≥ �για�κάθε��α�………
��και�
� �1
α 2α
+ ≤ − �για�κάθε��α�………�
17.9� Ερωτήσειςµεσύντοµηαπάντηση�
Να�απαντήσετε�µε�σαφήνεια�και�λεπτοµέρεια�
στις�παρακάτω�ερωτήσεις.�
1)� Τι�ονοµάζουµε�απόλυτη�τιµή�ενός�αριθµού�
� α�και�πώς�τη�συµβολίζουµε;�
2)� Να� γράψετε� τις� ιδιότητες� των� απόλυτων�
� τιµών.�
3)� Τι�ονοµάζουµε�απόσταση�δύο�αριθµών�α�
� και�β,�πώς�συµβολίζεται�και�µε�τι�ισούται;�
4)� Τι�ονοµάζουµε�ν-οστή�ρίζα�ενός�αριθµού�
� α�≥�0��και�πώς�τη�συµβολίζουµε;�
5)� Να�γράψετε�τις�ιδιότητες�των�ν-οστών�
� ριζών.�
6)� Πώς�λύνετε�η�εξίσωση��xν�=�α
��και�πώς�η�
� εξίσωση��xν�=�α
ν,��όπου�ν�είναι�φυσικός�
� αριθµός;�
17.10� Ερωτήσειςσυµπλήρωσηςκενού
Να� συµπληρώσετε� τα� κενά� στις� παρακάτω�
προτάσεις.�
1)� Για�την�απόλυτη�τιµή�του�αριθµού�α,�ι-�
� σχύει�ότι� α……
= ……
�
2)� Αν��θ�>�0,
��τότε:�
� ♦� x θ= ⇔ ……… �
� ♦� x α= ⇔ ……… �
� ♦� x θ< ⇔ ……… �
� ♦� x θ> ⇔ ……… �
3)� Ισχύει�ότι:�
� ♦� αβ =………�
� ♦�α
β=……… �
� ♦� α β+ =……… �
4)� Για�την�απόσταση�δύο�αριθµών�α�και�β�
� ισχύει�ότι��d(α,�β)�=�…………�
17.11� Ερωτήσειςσυµπλήρωσηςκενού
Να�συµπληρώσετε�τα�κενά�στις�παρακάτω�
προτάσεις.�
1)� Αν��α�≥�0,
��τότε:�
ν
α x και α x= ⇔ …… = ⇔ …… �
2)� Έστω��α�≥�0.
��Ισχύει�ότι:�
( )ν
ν νν
α και α=…… =…… �
3)� Αν��α,�β�≥�0,
��τότε:�
νν
ααβ και (β 0)
β=……… =……… ≠ �
4)� Αν��α,�β�≥�0,
��τότε:�
( )κ
ν ννα και α β ………=……… = �
5)� Αν��α�≥�0
��και�µ,�ν�είναι�φυσικοί�αριθµοί,�
� τότε:�
νρµ µρνα και α=……… =……… �
5/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
233�
6)� Θεωρούµε�την�εξίσωση��xν�=�α.
��Ισχύει�ότι:�
� ♦� xν�=�α�⇔�………,�αν�α�>�0
��και�ο�ν�εί-�
� � ναι�περιττός�
� ♦� xν�=�α�⇔�………,�αν�
�α�>�0
��και�ο�ν�εί-�
� � ναι�άρτιος�
� ♦� xν�=�α�⇔�………,
��αν�
�α�<�0�και�ο�ν�εί-�
� � ναι�…………�
� ♦� η�εξίσωση��xν�=�α
��είναι�αδύνατη,�αν�…�
� � ……�και�ο�ν�είναι�…………�
7)� Ισχύει�ότι:�
� ♦� xν�=�α
ν�⇔�………,
��αν�ο�ν�είναι�……�
� ♦� xν�=�α
ν�⇔�………,
��αν�ο�ν�είναι�……�
�
17.12� Ερωτήσειςτουτύπου“Σωστό-Λάθος”
Να�χαρακτηρίσετε�τις�παρακάτω�προτάσεις�ως�
σωστές�(Σ)�ή�λανθασµένες�(Λ).�
1)� Ισχύει�ότι:�
α�<�β��⇔��β�–�α�>�0�
και�
α�≥�β��⇔��β�–�α�≤�0�
� � � � � � � � � � ��� ���
2)� Αν�οι�αριθµοί�α�και�β�είναι�οµόσηµοι,�τό-�
� τε��αβ�>�0
��και�
α0
β> �ενώ�αν�οι�α�και�β�εί-�
� ναι�ετερόσηµοι,�τότε��αβ�<�0
��και�
α0.
β< �
� � � � � � � � � � ��� ���
3)� Αν��α�<�β,
��τότε�
�αγ�<�βγ
��για�κάθε�
�γ�∈
�R
*.�
� � � � � � � � � � ��� ���
4)� Αν��α�<�β
��και�
�β�>�γ,
��τότε
��α�=�γ.�
� � � � � � � � � � ��� ���
5)� Αν��α�>�β
��και�
�γ�>�δ,
��τότε�
�αγ�>�βδ.�
� � � � � � � � � � ��� ���
6)� Ισχύει�ότι��α2�+�β
2�≥�2αβ
��για�κάθε�
�α,�β
�∈
�R.�
� � � � � � � � � � ��� ���
7)� Αν��α�>�0,
��τότε�
1α 2
α+ ≥ �και�αν�
�α�<�0,�
� τότε�1
α 2.α
+ ≤ − �� � � � Σ��� Λ���
8)� Αν��α�<�β,
��τότε�
�α2ν+1
�<�β2ν+1
,��όπου�
�ν�∈
�N
*.�
� � � � � � � � � � ��� ���
9)� Αν��α�<�β,
��τότε�
1 1.
α β> �� � Σ��� Λ���
10)�Η�ανίσωση��αx�+�β�>�0
��αληθεύει�για:�
βx ,
α
∈ − + ∞
�
� � � � � � � � � � ��� ���
17.13� Ερωτήσειςτουτύπου“Σωστό-Λάθος”
Να�χαρακτηρίσετε�τις�παρακάτω�προτάσεις�ως�
σωστές�(Σ)�ή�λανθασµένες�(Λ).�
1)� Ισχύει�ότι:�
α, αν α 0α , α 0
α, αν α 0
<= ≥
− ≥�
α 0 α 0, α α α= ⇔ = − ≤ ≤ �
και�
2 2α α= �
� για�κάθε��α�∈
�R.� � � � � ��� ���
6/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
234� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�
2)� Έστω��θ�∈
�R.
��Ισχύει�ότι:�
x θ x θ ή x θ= ⇔ = = − �
� � � � � � � � � � ��� ���
3)� Αν��α�∈
�R,
��τότε:�
x α x α Þ x α= ⇔ = = − �
� � � � � � � � � � ��� ���
4)� Αν��θ�>�0,
��τότε� x θ θ x θ< ⇔ − < < �και�
� x θ x θ Þ x θ.≥ ⇔ ≤ − ≥ � � Σ��� Λ���
5)� Ισχύει�ότι:�
α β α β+ = + �
� για�κάθε��α,�β
�∈
�R.� � � � ��� ���
6)� Αν��α,�β
�∈
�R,
��τότε:�
ααα β α β και , (β 0)
β β⋅ = ⋅ = ≠ �
� � � � � � � � � � ��� ���
7)� Η�απόσταση�δύο�αριθµών�α�και�β�δίνεται�
� από�τη�σχέση� d(α, β) α β .= − �
� � � � � � � � � � ��� ���
8)� Ισχύει�ότι:�
d(x, α) ε x α ε< ⇔ − < ⇔ �
⇔��x�∈
�(α�–�ε,�α�+�ε)�
� � � � � � � � � � ��� ���
9)� Ισχύει�ότι� α β α β .− ≤ − �� Σ��� Λ���
17.14� Ερωτήσειςτουτύπου“Σωστό-Λάθος”
Να�χαρακτηρίσετε�τις�παρακάτω�προτάσεις�ως�
σωστές�(Σ)�ή�λανθασµένες�(Λ).�
1)� Έστω��α�≥�0.
��Τότε�
2α β β α= ⇔ = �και�
� νν α β β α.= ⇔ = � � � � Σ��� Λ���
2)� Ισχύει�ότι�2ν2 2ν
x x και x x= = � για�κά-�
� θε��x�∈
�R.�� � � � � � ��� ���
3)� Αν��α�≥�0,
��τότε� ( )
ν
ν νν
α α α.= = �
� � � � � � � � � � ��� ���
4)� Αν��α,�β�≥�0,
��τότε� νν να β α β.+ = + �
� � � � � � � � � � ��� ���
5)� Αν��α,�β�≥�0,
��τότε:�
ν
νν νν
ν
α ααβ α β, (β 0)
β β= ⋅ = ≠ �
( )κ
ν κ νν ννα α και α β α β= = �
� � � � � � � � � � ��� ���
6)� Ισχύει�ότι:�
� ♦�µ ν µνα α
+
= �για�κάθε��α�≥�0.�
� � � � � � � � � � ��� ���
� ♦�µρ µνρ να α ,= �όπου�
�α�≥�0.� Σ��� Λ���
7)� Αν�ο�ρ�είναι�άρτιος�φυσικός�αριθµός,�τότε�
µρ µνρ ρα α= ��για�κάθε�
�α�∈
�R.�� ��� ���
8)� Ισχύει�ότι�α β1
,α βα β
−
=
−+
�(α�≠�β).�
� � � � � � � � � � ��� ���
9)� Η�εξίσωση��xν�=�α,
��µε�
�α�≥�0
��έχει�πάντα�
� µια�µοναδική�λύση.�� � � Σ��� Λ���
10)�Η�εξίσωση��xν�=�α,
��µε�
�α�<�0
��είναι�αδύνατη.�
� � � � � � � � � � ��� ���
11)�Ισχύει�ότι��xν�=�α
ν�⇔�x�=�α
���
�x�=�-
�α,
��όπου�
� ν�άρτιος�ακέραιος�αριθµός.� Σ��� Λ���
12)�Ισχύει�ότι:�
x2ν+1
�=�α2ν+1
��⇔��x�=�α�
� όπου��ν�∈
�N
*.�� � � � � ��� ���
7/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
235�
�
17.15� Αν��x�+�y�=�7
��και�
�xy�=�12,
��να�βρείτε�
την�τιµή�των�παραστάσεων:�
α)� Α�=�x2�+�y
2� � � β)� B�=�x
3�+�y
3�
γ)� Γ�=�x4�+�y
4�
17.16� Αν�α γ
,β δ= �να�αποδείξετε�ότι:�
α)�2
α βγ
δ δ= � � � � β)�
2
2
αβ (α β)
γδ (γ δ)
+=
+
�
γ)�α 1 βγ δ
β βδ
− −
= � � δ)�α µβ β
γ µδ δ
−
=
−
�
17.17� Να�απλοποιήσετε�το�κλάσµα:�
1 11 1
x xx x
1 11 1
x xx x
1 1
K :
1 1
− − = + − + +
�
17.18� Να�µετατρέψετε�σε�απλά�τα�παρακά-�
τω�σύνθετα�κλάσµατα:�
α)�
α x 2x
2α x α
α x 2α
2x x α
A
+
+
+
+
−
=
−
� β)�
( )
2 2
2
α β
β
1 1β α
2α
B
+−
=
−
�
γ)�
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
Γ
+ −
− +
+ −
− +
−
=
+
� δ)�
2 2
1 x 1 x
1 x 1 x
1 1
(x 1) (1 x)
∆
+ −
− +
+ −
+
=
+
�
17.19� Αν��α�+�β�+�γ�=�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α(β�–�γ)2�+�β(γ�–�α)
2�+�γ(α�–�β)
2�+�9αβγ�=�0�
17.20� Να�απλοποιήσετε�τις�παρακάτω�παρα-�
στάσεις:�
α)�2 2 2 2
2 2 2 2
βαy x
βαy x
αβ(x y ) xy(α β )A
αβ(x y ) xy(α β )
−+ + +
= ⋅
− + −+
�
β)�2 2 2
2 2 2
(α β γ 2βγ)(α β γ)B
(α β γ)(α γ β 2αγ)
− − − + −=
+ + + − −
�
γ)�2 2 2 2
2 2 2 2
(x x 1)(x x 1) (x x 1)(x x 1)Γ
(x x 1)(x x 1) (x x 1)(x x 1)
+ − − + − + + − −=
+ − + + − − + − −
�
δ)�5 2 3 4 4
4 2 2 3 3 2 2
x x y x y xy x y∆
x x y x y xy x xy y
+ − − += ⋅
− + − − +
�
17.21� Αν��α�+�β�+�γ�=�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
2 2α (β γ) βγ β (γ α) αγ
βγ(β γ) αγ(α γ)
+ − + −+ +
+ +
�
2 2 2
3 3 3
γ (α β) αβ 3(α β αβ 3αβγ)0
αβ(α β) α β γ
+ − + + −+ + =
+ + +
�
�
17.22� Να�απλοποιήσετε�την�παράσταση:�
α α β β γ γβ γ γ α α β
1 1 1A
1 1 1
= + +
+ + + + + +
�
17.23� Αν�λ µ ν
,α β β γ α γ
= =
− − −
�να�αποδείξε-�
τε�ότι��λ�+�µ�=�ν.�
17.24� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)�4 4 2 2
3 3
3 2 2 2 2 2
yx
y x1
x y x y2 x y
x 2x y xy xy y y x
− + ⋅ − + = +
− + + �
8/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
236� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�
β)�
2
2
2
α (1 x)
y α x
αy(1 x)
y α x
16αx y ω ω 1
3y ω 4 3 2α
−
+
−
+
++
⋅ − = − −
�
γ)�2 2
4αβ4αβ 4αβ
α β α β α β
4αβ 4αβ α β α β
α β α β α β α β
2α 2β: 2
2α 2β
+ + −
+ −
+ + − +
+ +
− = − − −
�
17.25� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
α)�1 1 γ
A (α β γ) :α β αβ
= − − + +
�
�2
2 2 2 2
1 1 2 γ:
αβα β α β
+ + −
�
β)� 21 α 1 αB α :
1 α 1 α
+ − = − − +
�
�1 α 1
: 1 11 α 1 α
+ − − − +
�
γ)�2 2
2 2 4
α α αΓ 1 1 1 :
β β β
= + − +
�
�2 3
2 4 6
α α α: 1
β β β
+ + +
�
17.26� Αν�είναι:�
2 2 2β γ αx
2βγ
+ −= �
και�
2 2 2
(α γ β)(α β γ)y
β γ α 2βγ
+ − + −=
+ − +
�
να�αποδείξετε�ότι:�
α)�(β γ α)(β γ α)
x 12βγ
+ − + ++ = �
β)�4βγ
y 1(β γ α)(β γ α)
+ =
+ − + +
�
γ)� (x�+�1)(y�+�1)�=�2�
17.27� Να�αποδείξετε�ότι:�
( )( ) ( )( )γβ γ αβ βα α
1 1
1 11 1
+ +
− −− −
�
( )( )βαγ γ
11
1 1
+ =
− −
�
17.28� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)�2 2
y
x
y
x
yx
y x
1
1x y x y x y1 1
x y x y 2xy
−
+ − + + + + ⋅ = + − +
�
β)�2 2
2
2 2
2
1 1
x x
1 1
x x
x x 22x
1 11 1
x x
x x
−+ =
− −
+ −
+ −
�
γ)�3 3 3 3
β β
α β α β
α β α β2αβ
β βα α
1 1− +
+ −− =
− +
+ −
�
17.29� Αν�2 2
1 12004,
α γ− = �να�βρείτε�την�τι-�
µή�της�παράστασης:�
α β 1 1 β γ 1 1A
αβ α β βγ γ β
+ += − − −
�
17.30� Αν�α β γ
,δ ε η= = �να�αποδείξετε�ότι:�
α)�2 2 2 2 2 2α δ β ε γ η
α δ β ε γ η
+ + ++ + =
+ + +
�
9/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
237�
�2 2(α β γ) (δ ε η)
α β γ δ ε η
+ + + + +=
+ + + + +
�
β)�3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
α δ β ε γ η
α δ β ε γ η
+ + ++ + =
+ + +
�
�3 3
2 2
(α β γ) (δ ε η)
(α β γ) (δ ε η)
+ + + + +=
+ + + + +
�
17.31� Αν�είναι:�
x�=�(α2�–�β
2)(α
2�+�β
2)2�
y�=�2αβ(α4�+�2α
2β2�+�β
4)�
και�
ω�=�α2�+�β
2�
να�αποδείξετε�ότι��x2�+�y
2�=�ω
6.�
17.32� Αν�α β γ
,β γ δ= = �να�αποδείξετε�ότι:�
α)�3 3 3
3 3 3
α β γ α
δβ γ δ
+ +=
+ +
�
β)� (α2�+�β
2�+�γ
2)(β
2�+�γ
2�+�δ
2)�=�(αβ�+�βγ�+�γδ)
2�
γ)�2 3
3
γ δ δ β δ
αγ
+ += �
δ)�3 3
3 3
2α 3β 2α 3δ
3α 4δ3α 4β
+ +=
−−
�
17.33� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)��12x
2(x�–�2)�–�4(3x�+�2)
2(x�–�1)�+�
��+�(6x�–�4)
2(x�+�2)�=�12x
3�–�12x
2�–�48x�+�48�
β)�2 24x (3x 2)
(x 2)(4x 4) (x 2)(3x 6)
+− +
+ − + −
�
�2(6x 4)
112(x 1)(x 2)
−+ =
− −
�
�
17.34� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)�
2xy 2xy
x y x y
1 1 1 1x y 2x y x 2y
y x
xy+ +
− −
− −
+ =
+ +
�
β)�
2 2 2 2
2
α β α ββ α1 1 1 1β α β α
2α 2β(α β)
+ ++ +
+ = +
+ +
�
17.35� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
α)�
( )
22
2 2
2
ββ ααβ α β α
βα 1 1β α β α
A :
−+
=
−+
�
β)�2 2 2
1 1x y ω
1 1x y ω
y ω x 2yωB 1
2yω x y ω
−
−
+ + −= − ⋅
+ −− �
γ)�2 2 2
2
1 1α β γ
1 1α β γ
β γ α 2βγΓ 1
2βγ (α β γ)
+
+
+ + −= + ⋅
+ +− �
δ)�( ) 2
2 2
3
1 1
x x
1
x
11 x 1 x x
∆1 x x 1 2x x1
−− − + = − − + − ++
�
17.36� Να�µετατρέψετε�σε�απλά�τα�παρακάτω�
σύνθετα�κλάσµατα:�
α)�
α β
α β
3α βA
α βα β
1−
+
−=
−+ +
+
�
β)�3 3
2
2 2
α β
α β
α βB
2βα β
1+
−
−=
− +
+
�
10/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
238� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�
17.37� Να�κάνετε�τις�πράξεις:�
α)�4 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x (x 1) x (x 1)A
(x 1) x x (x 1) 1
− − − −= + +
+ − + −
�
�2 2
4 2
x (x 1) 1
x (x 1)
− −+
− +
�
β)�2 2 2 2
2 2 2 2
(2α 3β) α 4α (3β α)B
4α (3β α) 9(α β )
− − − −= + +
− + −
�
�2 2
2 2
9β α
(2α 3β) α
−+
+ −
�
17.38� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
α)�
1 1β α
α β α β
α β α β
1
A+ −
− +
−
=
−
�
β)�
1
x 11
x
1
x 11
x
x1
1
Bx
x
1
+
−
+ −
+
=
− −
−
�
γ)�( )
2
2 2 2 2
γ1 1α β αβ
γ1 1 2αβα β α β
(α β γ)
Γ
+ − + +
=
+ + −
�
δ)�
( )
3 3 2 2
2 2 3 3 2 2
2
2
x y x y 1 1
x y x y x y
(x y) xy 1 1y x(x y) xy
∆
− −
+ +
+ −
− +
⋅ +
=
−
�
17.39� Να�αποδείξετε�ότι�ο�αριθµός:�
α�=�(ν3�+�3ν
2�+�ν)(ν
3�+�3ν
2�+�ν�+�2)�+�1�
µε��ν�∈
�N
*��είναι�τέλειο�τετράγωνο,�δηλαδή�τε-�
τράγωνο�φυσικού�αριθµού.�
17.40� Αν�α,�β�και�γ�είναι�οµόσηµοι�αριθµοί�µε:�
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
α β γ β γ α3
β γ α α β γ+ + = + + = �
να�αποδείξετε�ότι��α�=�β�=�γ.�
17.41� Αν�µ�και�ν�είναι�ακέραιοι�αριθµοί,�να�
αποδείξετε�ότι�ο�αριθµός:�
Α�=�µ2ν�+�µν
2�+�µ
2�+�ν
2�+�2µν�+�µ�+�ν�
είναι�άρτιος.�
17.42� Να�αποδείξετε�ότι�δεν�υπάρχουν�ακέ-�
ραιοι�x�και�λ�τέτοιοι,�ώστε:�
x2�+�2x�=�10λ
2�+�10λ�+�6�
17.43� ∆ίνεται�η�παράσταση:�
A(x)�=�x4�–�x
3�–�3x
2�+�5x�-�2�
α)� Να�κάνετε�γινόµενο�την�παράσταση�Α(x).�
β)� Να�λύσετε�την�εξίσωση��Α(x)�=�0.�
17.44� Να�κάνετε�γινόµενο�τις�παραστάσεις:�
α)� Α�=�α4�+�α
3�–�α
2�-�α�
β)� Β�=�α3�+�2α
2�-�1�
γ)� Γ�=�x3�–�3α
2x�+�2α
3�
δ)� ∆�=�x2�+�y
2�-�4x�+�4y�–�2xy�+�3�
17.45� Να�γράψετε�τον�αριθµό��α�=�2
2002�+�1�
ως�γινόµενο�δύο�ακέραιων�αριθµών.�
17.46� Αν�είναι��x�+�y�+�ω�=�2
��και:�
(x�–�1)(y�–�1)(ω�–�1)�=�2004�
α)� να�κάνετε�γινόµενο�την�παράσταση:�
Α�=�xy�+�ω�–�1�
β)� να�βρείτε�την�τιµή�της�παράστασης:�
1 1 1K
xy ω 1 yω x 1 ωx y 1= + +
+ − + − + −
�
11/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
239�
17.47� Ποιος�από� τους�αριθµούς� 33 και 2 �
είναι�µεγαλύτερος;�
17.48� Να�αποδείξετε�ότι:�
6 2 5 8 2 71
7 5 2
+ + +=
+ +
�
17.49� Αν�5 2 6 5 2 6
A ,2
− − += �να�απο-�
δείξετε�ότι��Α�=�-2.�
17.50� Αν�είναι:�
2 2 2 2x 2y α 4β και 2x y 4α β+ = + − = + �
να�αποδείξετε�ότι��x2�+�y
2�=�α
2�+�β
2.�
17.51� Να�συγκρίνετε�τους�αριθµούς:�
3 4α 2 και β 2= = �
17.52� ∆ίνεται�η�παράσταση:�
A(x) x 2 3 11 1 2x= − − + − − �
α)� Να�βρείτε�τα�Α(6)�και�Α(-5).�
β)� Να�βρείτε�το�πεδίο�ορισµού�Α�της�παρά-�
στασης�Α(x).�
17.53� Να�αποδείξετε�ότι:�
4 4
4
8 2 1 8 2 12
8 2 1
+ − − − −=
− +
�
17.54� Αν�είναι:�
2αβ
11 βx1 αx
x και Aα 1 αx 1 βx
−+−
= = ⋅
+ −
�
να�αποδείξετε�ότι��Α�=�1,
��(α�>�β�>�0).�
17.55� Αν�α,�β,�γ�και�δ�είναι�ακέραιοι�αριθµοί�
και� α β 2 γ δ 2,+ = + �να�αποδείξετε�ότι:�
α�=�γ���και���β�=�δ�
17.56� Έστω��α,�β
�∈
�R
��µε� α 1 και β 1≤ ≤ .�
Να�αποδείξετε�ότι:�
α)�
2
α β1 0
2
+ − ≥
�� � β)��αβ�≤�1�
γ)�
2
2 2 α β1 α 1 β 2 1
2
+ − + − ≤ −
�
17.57� Να�αποδείξετε�ότι:�
2 2α α β α α βα β
2 2
+ − − −
+ = + �
όπου��α,�β�≥�0
��και�
�α2�≥�β.�
17.58� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)� 4 2 3 1 3 και 4 2 3 3 1+ = + − = − �
β)�2 3 2 3
2
2 2 3 2 2 3
+ −+ =
+ + − −
�
17.59� Αν��α,�β�≥�0
��µε�
�1�≠�α�≠�β,
��να�απλο-�
ποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
α)�2
2
1 1 α 1 1A 1
α1 α2 2 α 2 2 α
+ = + − +
−+ − �
β)�
2
α α β β α βB αβ
α βα β
+ += − −+
�
17.60� Για�τις�πλευρές�α,�β�και�γ�ενός�τριγώ-�
νου�ΑΒΓ�ισχύει�η�σχέση:�
12/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
240� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�
2 2 2 2
2 2
2 2
βγ
α β
β γ β γ
(α β) (α β)
γ β2
αβ β
+
+ +
= ⋅ ⋅
+ +
�
Να�αποδείξετε�ότι�το�τρίγωνο�ΑΒΓ�είναι�ορ-�
θογώνιο.�
17.61� Αν��α,�β�>�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
2 β α α β β1αβ 1
α βα β α β
++ − = −+ +
�
17.62� Αν��α�>�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
( )( )( )4 81 α 1 α 1 α+ + + ⋅ �
( )( )16 161 α 1 α 1 α⋅ + − = − �
17.63� Να�λύσετε�την�εξίσωση:�
2000 3 2004x 6 x 2 6 x 2− + + + − = �
17.64� ∆ίνονται�οι�αριθµοί��α,�β,�γ
�∈
�R
��µε�
α,�β,�γ�≥�0.��Να�αποδείξετε�ότι:�
α)� αβ 1 2 αβ+ ≥ �
β)� 2 2α β 2 4 αβ+ + ≥ �
γ)� ( )2 2 2α β γ 3 2 αβ βγ γα+ + + ≥ + + �
17.65� Να�βρείτε�τους�αριθµούς:�
α)�55 5
α 5= �� � � β)�77 7β 7= �
γ)�3 88 8γ 8= �� � � δ)�
86 6δ 5= �
17.66� Να�απλοποιήσετε�την�παράσταση:�
3 3 3 3A 40 4 135 3 320 5 625= + + − �
17.67� Να�συγκρίνετε�τους�αριθµούς:�
3 4α 4 και β 3= = �
17.68� Να�αποδείξετε�ότι:�
( )( )2 3 6 2 2 3 2− − + = �
17.69� α)� Να�αποδείξετε�ότι:�
2(α2�+�β
2)�≥�(α�+�β)
2���για�κάθε�
�α,�β
�∈
�R�
β)� Αν�είναι:�
2004 x 2004 y 2 2004 ω+ + + = + �
να�αποδείξετε�ότι��x�+�y�≥�2ω.�
17.70� Να�λύσετε�την�εξίσωση:�
3x 2 x 6 2 x 2− + + + − = �
17.71� Να�αποδείξετε�ότι:�
3
3 3
3 25: 2
2 5 2 5
+ + + +
�
3 3
3
3 3 3
2 5 25 45 2
5 2 25 2 5
−+ + ⋅ = − +
�
όπου��x�≥�0.�
17.72� Αν��x,�y�>�0,
��να�απλοποιήσετε�την�πα-�
ράσταση:�
3 4 3
3
3 2 233
x 8y x yA : 1 2
xx 2 xy 4 y
−= −
+ + �
17.73� Να�αποδείξετε�ότι:�
2 4 2
x
x 1 x x 1
⋅
+ − + +
�
2 2
2 2
x x 1 x x 11
x x 1 x x 1
+ + − − +⋅ =
+ + + − +
�
�
13/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
241�
�
Αφιέρωµα στις ανισότητες, 1ο µέρος
17.74� Αν��α,�β
�∈
�R,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α)� 2(α2�+�β
2)�≥�(α�+�β)
2�
β)� α4�+�β
4�≥�αβ(α
2�+�β
2)���(µε�
�α,�β�≥�0)�
γ)� 2(α4�+�β
4�+�γ
4)�≥�
� ≥�(α2�+�β
2)αβ�+�(β
2�+�γ
2)βγ�+�(γ
2�+�α
2)γα�
17.75� Αν��α,�β�≥�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α)� α β 2 αβ+ ≥ � � β)� 1 αβ 2 αβ+ ≥ �
γ)��αβ(α�+�β)�≥�4αβ�–�α�-�β�
17.76� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)� x2� +� y
2� +�ω
2�≥� xy� +� yω�+�ωx
�� για� κάθε�
� x,�y,�ω�∈
�R�
β)�4 4 4
2 2 2
α β γ 1 1 1,
αβ βγ γαα β γ
+ +≥ + + �
� όπου��α,�β,�γ�>�0�
17.77� Αν��α,�β,�γ�≥�0
��και�
�α�+�β�+�γ�=�1,
��να�
αποδείξετε�ότι:�
α)� α β 2 αβ+ ≥ ���και�
��α2�+�β
2�+�γ
2�≥�αβ�+�βγ�+�γα�
β)� 2 2 2 1α β γ
3+ + ≥ �
γ)��(α�+�βγ)(β�+�γα)(γ�+�αβ)�≥�64α
2β2γ2�
17.78� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)� 2(x2�+�y
2)�≥�(x�+�y)
2��για�κάθε�
�x,�y
�∈
�R�
β)� α2�+�β
2�+�γ
2�+�δ
2�≥�αβ�+�βγ�+�γδ�+�δα
��για�
� κάθε��α,�β,�γ,�δ
�∈
�R�
17.79� Αν�οι�αριθµοί�α�και�β�είναι�θετικοί�και�
α,�β�<�x��να�αποδείξετε�ότι:�
2 2 2 2 2
α β α β
x αβ x α x β
+≤ +
− − −
�
17.80� Αν��α,�β,�γ�>�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α)�2 2α βγ β γα
α ββ γ γ α
+ ++ ≥ +
+ +
�
β)�2 2 2α βγ β γα γ αβ
α β γβ γ γ α α β
+ + ++ + ≥ + +
+ + +
�
γ)�2 2α β α β
2β 2α 2
++ ≥ �
δ)�2 2 2 2 2 2α β β γ γ α
α β γ2γ 2α 2β
+ + ++ + ≥ + + �
17.81� Αν��x,�y,�ω�>�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α)�2 2
x yx y
y x+ ≥ + �
β)� x3(y�+�ω)�+�y
3(ω�+�x)�+�ω
3(x�+�y)�≥�
� ≥�2xyω(x�+�y�+�ω)�
17.82� Αν��x,�y,�ω�>�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α)�2
2 2
x 2x y
3xyy(x xy y )
−≥
+ +
�
β)�2 2
2 2 2 2
x y
y(x xy y ) ω(y yω ω )+ +
+ + + +
�
�2
2 2
ω 3
x y ωx(ω ωx x )+ ≥
+ ++ +
�
17.83� Έστω��x,�y,�ω�≥�0
��µε�
�x�+�y�+�ω�=�1.
��Να�
αποδείξετε�ότι:�
14/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
242� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�
α)� α β 2 αβ+ ≥ �για�κάθε��α,�β�≥�0�
β)��(1�+�x)(1�+�y)(1�+�ω)�≥�
��≥�8(1�–�x)(1�–�y)(1�–�ω)�
17.84� Αν��α,�β,�γ�>�0
��και�
�α�+�β�+�γ�=�2,
��να�
αποδείξετε�ότι:�
αβ βγ γα1
α β β γ γ α+ + ≤
+ + +
�
17.85� Έστω�α,�β�και�γ�είναι�θετικοί�πραγµα-�
τικοί�αριθµοί�µε��α�+�β�+�γ�=�1.�
α)� Να�αποδείξετε�ότι:�
(α�+�βγ)(β�+�γα)(γ�+�αβ)�=�
=�(1�–�α)2(1�–�β)
2(1�–�γ)
2�
β)� Να�αποδείξετε�ότι:�
i)� (α�+�β)2�≥�4αβ�
ii)� (α�+�βγ)(β�+�γα)(γ�+�αβ)�≥�64α2β2γ2�
γ)� Να�αποδείξετε�ότι:�
1 1 1 1
α βγ β γα γ αβ 8αβγ+ + ≤
+ + +
�
17.86� Αν��α,�β,�γ�>�0
��και�
�αβγ�=�1,
��να�αποδεί-�
ξετε�ότι:�
α)� ( )2
(α β)(α γ) α β γ+ + ≥ + �
β)��(α�+�β)(β�+�γ)(γ�+�α)�≥�
� ( )( )( )β γα β γ α≥ ++ + �
17.87� Έστω��α,�β,�γ�>�0.
��Να�αποδείξετε�ότι:�
α)�2 2 2 2 2 2α β γ β γ α
α β β γ γ α α β β γ γ α+ + = + +
+ + + + + +
�
β)�2 2 2 2α β α β β γ β γ
, ,α β 2 β γ 2
+ + + +≥ ≥
+ +
�
�2 2γ α γ α
γ α 2
+ +≥
+
�
γ)�2 2 2α β γ α β γ
α β β γ γ α 2
+ ++ + ≥
+ + +
�
17.88� Αν��α,�β,�γ�>�0
��µε�
1 1 11,
α β γ+ + = �να�απο-�
δείξετε�ότι:�
α)�βγ
α βγ αα
+ ≥ + �
β)� α βγ β γα γ αβ+ + + + + ≥ �
� αβγ α β γ≥ + + + �
Πότε�ισχύει�η�ισότητα;�
17.89� Αν��x�>�0,
��y
�∈
�R
��και�
�x2�+�y
3�≥�x
3�+�y
4,�
να�αποδείξετε�ότι:�
α)� x�+�y2�≥�x
2�+�y
3� � β)� x
3�+�y
3�≤�2�
17.90� Αν�α�και�β�είναι�τυχαίοι�πραγµατικοί�
αριθµοί,�να�αποδείξετε�ότι:�
4 2 2 4 3 3α α β β α β β α
3 2
+ + +≥ �
17.91� Αν��α,�β,�γ�≥�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
2 2 2 2 2 2
2 2 2α(β γ ) β(γ α ) γ(α β )α β γ
8
+ + + + +≥ �
17.92� Αν��α,�β,�γ,�δ�≥�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
(α γ)(β δ) αβ γδ+ + ≥ + �
17.93� Αν��α,�β,�γ,�x,�y�>�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α)�x y
xy2
+≥ �
β)�β γ α
α β γ 8γα αβ βγ
+ + + ≥
�
15/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
243�
17.94� Αν��α,�β,�γ�≥�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
(α β) γ (β γ) α (γ α) β 6 αβγ+ + + + + ≥ �
17.95� Αν��α,�β,�γ�>�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α)�αβ α β
α β 4
+≤
+
�
β)�αβ βγ γα α β γ
α β β γ γ α 2
+ ++ + ≤
+ + +
�
17.96� Αν�α,�β�και�γ�είναι�θετικοί�αριθµοί�µε�
α�+�β�+�γ�=�3,��να�αποδείξετε�ότι:�
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
αβγα αβ β β βγ γ γ γα α+ + ≤
+ + + + + +
�
�
Αφιέρωµα στις ανισότητες, 2ο µέρος
17.97� Να�αποδείξετε�ότι:�
α) α2�+�β
2�≥�2αβ
��για�κάθε�
�α,�β
�∈
�R�
β)� α2�+�β
2�+�γ
2�≥�αβ�+�βγ�+�γα�
� για�κάθε��α,�β,�γ
�∈
�R�
γ)� α2�+�β
2�–�2α�–�4β�+�5�≥�0�
� για�κάθε��α,�β,�γ
�∈
�R�
δ)� (α�+�β�+�γ)2�≥�3(αβ�+�βγ�+�γα)�
� για�κάθε��α,�β,�γ
�∈
�R�
17.98� Αν��α,�β�>�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α)�α β
2β α+ ≥ �
β)�2 2α β α β
α β 2
+ +≥
+
�
γ)� (α2�+�β
2)(α
4�+�β
4)�≥�α
2β2(α�+�β)
2�
δ)�2 2 3 3α β α β α β
2 2 2
+ + +⋅ ≤ �
ε)�3 3 4 4α β α β α β
2 2 2
+ + +⋅ ≤ �
στ)�
33 3α β α β
2 2
+ + ≥
�
17.99� Αν��x,�y,�z�>�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α) i)�x y
2y x+ ≥ �
� ii)�x y y z z x
6z x y
+ + ++ + ≥ �
� iii)�1 1 1
(x y z) 9x y z
+ + + + ≥
�
β) i)�2 2
x y x y
x y 2
+ +≥
+
�
� ii)�2 2 2 2 2 2
x y y z z xx y z
x y y z z x
+ + ++ + ≥ + +
+ + +
�
17.100� Αν��α,�β,�γ�>�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α) i) αβ α β
α β 4
+≤
+
�
� ii) αβ βγ γα α β γ
α β β γ γ α 2
+ ++ + ≤
+ + +
�
β) i)� α3�+�β
3�≥�αβ(α�+�β)�
� ii)�3 3 3 3
1 1
α β αβγ α β αβγ+ +
+ + + +
�
� �3 3
1 1
αβγα β αβγ+ ≤
+ +
�
16/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
244� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�
γ) i)�2 2
α β 1 1 1
2 α βα β
+≤ +
+ �
� ii)�2 2 2 2 2 2
α β β γ γ α 1 1 1
α β γα β β γ γ α
+ + ++ + ≤ + +
+ + +
�
δ) i)�4 1 1
α β α β≤ +
+
�
� ii)�1 1 1 1 1 1 1
α β β γ γ α 2 α β γ
+ + ≤ + +
+ + + �
ε) i)� α3�+�β
3�+�γ
3�≥�3αβγ�
� ii)� 3α β γ 3 αβγ+ + ≥ �
17.101� Έστω�ότι�οι�x,�y�και�ω�είναι�τυχαίοι�
πραγµατικοί�αριθµοί�και��α,�β,�γ�>�0.
��Να�απο-�
δείξετε�ότι:�
α) i)�2 2 2x y (x y)
α β α β
++ ≥
+
�
� ii)�2 2 2 2x y ω (x y ω)
α β γ α β γ
+ ++ + ≥
+ +
�
β) Αν��α�+�β�+�γ�=�2,
��τότε:�
2 2 2α β γ1
β γ γ α β α+ + ≥
+ + +
�
γ)� Αν��α2�+�β
2�+�γ
2�=�3,
��τότε:�
1 1 1 3
1 αβ 1 βγ 1 γα 2+ + ≥
+ + +
�
δ)�α β γ
1β 2γ γ 2α α 2β
+ + ≥
+ + +
�
ε)� Αν��αβγ�=�1,
��τότε:�
2 2 2α β γ 3
β γ γ α β α 2+ + ≥
+ + +
�
στ)�Αν��α,�β�>�1,
��τότε�
2 2α β8.
β 1 α 1+ ≥
− −
�
ζ)� Αν��αβγ�=�1,
��τότε:�
3 3 3
1 1 1 3
2α (β γ) β (γ α) γ (α β)+ + ≥
+ + +
�
η) Αν��α�+�β�+�γ�=�1,
��τότε:�
2 2 2(α β) (β γ) (γ α)1
γ 1 α 1 β 1
+ + ++ + ≥
+ + +
�
17.102� Έστω�α,�β�και�γ�θετικοί�πραγµατικοί�
αριθµοί.�Να�αποδείξετε�ότι:�
α)�3 3
2 2
α β α β
3α αβ β
+ +≥
+ +
�
β) 3
2 2
α 2α β
3α αβ β
−≥
+ +
�
γ)�3 3
2 2 2 2
α β
α αβ β β βγ γ+ +
+ + + +
�
�3
2 2
γ α β γ
3γ γα α
+ ++ ≥
+ +
�
17.103� Αν��α�+�β�=�2,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α)� (αβ�–�1)(α�–�β)2�≤�0�
β)� (α2�+�β
2�–�2)(α
2�+�β
2)�≥�0�
Πότε� ισχύει� η� ισότητα� στις� παραπάνω� σχέ-�
σεις;�
17.104� Αν��α,�β�>�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
2 2α β1 1 (1 α)(1 β)
β α
+ + ≥ + +
�
Πότε�ισχύει�η�ισότητα;�
17.105� ∆ίνονται�οι�θετικοί�αριθµοί�α,�β�και�γ�
µε��α�+�β�+�γ�=�1.
��Να�αποδείξετε�ότι:�
17/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
245�
α)�α β
2β α+ ≥ � � � β)�
1 1 19
α β γ+ + ≥ �
17.106� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)� α2�–�2α�+�2�>�0
��για�κάθε�
�α�∈
�R�
β)� α2�–�6α�+�10�>�0
��για�κάθε�
�α�∈
�R�
γ)� 2α2�–�6α�+�5�>�0
��για�κάθε�
�α�∈
�R�
17.107� ∆ίνεται�η�παράσταση:�
Α(α,�β)�=�α3�+�2β
3�–�3αβ
2�
α)� Να�κάνετε�γινόµενο�την�παραπάνω�παρά-�
σταση.�
β)� Αν��α,�β�≥�0
��να�αποδείξετε�ότι:�
α3�+�2β
3�≥�3αβ
2�
17.108� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)� α2�–�α�+�1�>�0
��και�
�α2�+�α�+�1�>�0,�
β)� αν�α�>�0,��τότε�
�α7�+�1�≥�α
6�+�α.�
17.109� Αν�x�και�y�είναι�θετικοί�αριθµοί,�µε�
xy�≤�1,��να�αποδείξετε�ότι:�
1 11
1 x 1 y+ ≥
+ +
�
17.110� ∆ίνονται�οι�θετικοί�αριθµοί�α,�β�και�γ.�
Να�αποδείξετε�ότι:�
α)� α5�+�β
5�≥�α
2β2(α�+�β)�
β)� αν��αβγ�=�1,
��τότε:�
� i)�5 5
αβ γ
α β γα β αβ≤
+ ++ +
�
� ii)�5 5 5 5
αβ βγ
α β αβ β γ βγ+ +
+ + + +
�
� �5 5
γα1
γ α γα+ ≤
+ +
�
�
17.111� Αν�α,�β�και�γ�είναι�θετικοί�ρητοί�αριθ-�
µοί�µε��α�+�β�+� γ�=�1,
�� να�αποδείξετε�ότι� ο�
αριθµός� A (α βγ)(β γα)(γ αβ)= + + + �είναι�
επίσης�ρητός.�
17.112� ∆ίνεται�η�παράσταση:�
A(x) x 1 x 3= + + − �
α)� Να�γράψετε�την�παράσταση�Α(x)�χωρίς�το�
σύµβολο�της�απόλυτης�τιµής.�
β)� Να�λύσετε�την�εξίσωση��Α(x)�=�x�+�2.�
γ)� Να�λύσετε�την�ανίσωση��Α(x)�≤�x�+�2.�
17.113� Έστω�α,�β�και�γ�ακέραιοι�αριθµοί�µε�
αβ�+�βγ�=�2�+�γα�+�γ2.��Να�αποδείξετε�ότι:�
α β 3+ = �
17.114� Να�αποδείξετε�ότι:�
�
2
5 ψηφία10 ψηφία
44 4 88 8 66666
−−
… − … =���
�
17.115� Να�αποδείξετε�ότι:�
3 3 36 6 6 6 6 6 5+ + + + + < �
17.116� ∆ίνεται�η�συνάρτηση:�
2004 2004
x 1 x 1f (x)
x 1 x 1
− + = −
+ − �
α)� Να�βρείτε�το�πεδίο�ορισµού�Α�της�f�(x).�
β)� Να�εξετάσετε�αν�η�f�είναι�άρτια�ή�περιττή.�
γ)� Να�εξετάσετε�αν�η�f�διέρχεται�από�την�
αρχή�των�αξόνων.�
18/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
246� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�
17.117� ∆ίνεται�η�παράσταση:�
Ε(x)�=�x�+�x2�+�x
3�+�x
4�+�
4 3 2
1 1 1 1
xx x x+ + + + �
Αν�1
x 5,x
+ = �να�αποδείξετε�ότι:�
α)� 2
2
1x 23
x+ = �� � β)� 3
3
1x 110
x+ = �
γ)� 4
4
1x 527
x+ = � � δ)� E(x)�=�665�
17.118� ∆ίνεται�η�παράσταση:�
( ) ( )2 2
α β αβ 1A , µε α, β 0
α β αβ 1
+ − += ≥
+ − −
�
α)� Για�ποιες�τιµές�των�α�και�β�δεν�ορίζεται�η�
παράσταση�στο�Α;�
β)� Να�αποδείξετε�ότι�η�παράσταση�Α�είναι�
ανεξάρτητη�από�τις�τιµές�των�α�και�β.�
17.119� Να�αποδείξετε�ότι�ο�αριθµός:�
1 5B 4 2 5 10
2 2= + − + + + �
είναι�ακέραιος.�
17.120� Να� λύσετε� στο� σύνολο�Z� των� ακε-�
ραίων�τις�εξισώσεις:�
α)� 53x-1
�=�25x+5
� � � β)� 32x-1
�=�27-3x+7
�
γ)� 28x-1
�=�82x+3
� � � δ)� 9x+2
�=�3x+10
�
17.121� Η�διαφορά�των�τετραγώνων�δύο�δια-�
δοχικών�περιττών�ακεραίων�είναι�ίση�µε�8000.�
Να�βρείτε�τους�αριθµούς�αυτούς.�
17.122� Να�βρείτε�τους�αριθµούς�α,�β�και�γ�για�
τους�οποίους�ισχύει�ότι:�
2 2 2 1α 1 2 β 2 3 γ 3 (α β γ)
2− + − + − = + + �
17.123� ∆ίνεται�η�παράσταση:�
Α(x,�y)�=�x2�+�y
2�–�4x�–�4y�+�λ�
α)� Να�βρείτε�τη�µικρότερη�τιµή�του�λ�για�την�
οποία�είναι��Α(x,�y)�≥�0
��για�κάθε�
�x,�y
�∈
�R.�
Ποιες�είναι�στην�περίπτωση�αυτή�οι�τιµές�των�
x�και�y,�ώστε��Α(x,�y)�=�0;�
β)� Να� βρείτε� όλες� τις� τιµές� του� λ,�ώστε� να�
ισχύει��Α(x,�y)�≥�0
��για�κάθε�
�x,�y
�∈
�R.�
�
17.124� Να�αποδείξετε�ότι:�
x y x ω y x y ω
1 1
1 2 2 1 2 2− − − −
+ +
+ + + +
�
ω x ω y
11
1 2 2− −
+ =
+ +
�
17.125� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
α)� [ ]A (α β) [ (α β) 2β]-2(α β) 2β=− − − − − + + − + �
β)� [ ] [ ]{ }B ( α β) ( β) 3( β α) (2α β) 4α=− −−− + − − − − − + − − + �
17.126� Να�κάνετε�τις�πράξεις:�
α)��(α�+�β)(3α�–�β)�–�(4β�–�α)(2α�–�β)�-�
��-�2β(2α�+�β)�–�α(5α�–�11β)�
β)��(α�–�β)(α�+�β�–�2γ)�–�(γ�–�β)(β�+�γ�–�2α)�-�
��-�(α�–�γ)(γ�+�α�–�2β)�
19/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
247�
γ)� [ ] 2(x y)(3x y) xy x(2x y) 5x+ − − − − − �
δ)��(2x�+�3y)(3x�–�2y)�–�3(x�–�y)(x�+�y)�-�
��-�x(3x�+�5y)�–�2y
2�
17.127� Αν��x�=�0,4
��και�
�y�=�-2,5
��να�αποδεί-�
ξετε�ότι:�
( ) ( )
( ) ( )
23 5 22
22 1
1 3 7
x : x : yxy1
xy : x y
−
−
−
−
=
�
17.128� Να�υπολογίσετε� την� τιµή� της� παρά-�
στασης:�
( )2 20 17 11
100 50 149
60 40
(10 ) ( 0,25) ( 8)A 12 1,5 6
( 4) ( 1,25)
− −
−− −
= ⋅ ⋅
− −
�
17.129� Να�αποδείξετε�τις�παρακάτω�ταυτό-�
τητες:�
α)� (α�+�β)2�+�(β�+�γ)
2�+�(γ�+�α)
2�–�(α�+�β�+�γ)
2�=�
� =�α2�+�β
2�+�γ
2�
β)� (x�+�y)3�+�(x�–�y)
3�+�3(x�+�y)(x�–�y)
2�+�
� +�3(x�–�y)(x�+�y)2�=�8x
3�
γ)� (α�+�β�+�γ)2�+�(α�–�β�–�γ)
2�-�
� -�(α�+�β�–�γ)2�–�(α�–�β�+�γ)
2�=�8βγ�
δ)� (α�+�β�–�γ)2�–�(α�–�β�+�γ)
2�+�(α�–�β)
2�+�
� +�4αγ�=�(α�+�β)2�
ε)� α2β2�+�(α
2�+�β
2)(α�+�β)
2�–�(α
2�+�β
2�+�αβ)
2�=�0�
17.130� Να�αποδείξετε�ότι�αν��x�+�y�=�30
��και�
xy�=�200,��τότε:�
α)� x2�+�y
2�=�500�� � β)� x
3�+�y
3�=�9000�
17.131� Να�κάνετε�γινόµενο�τις�παραστάσεις:�
α)� α2�+�β
2�–�γ
2�+�2αβ�
β)� x2�+�y
2�-�16ω
2�–�2xy�
γ)� x2�–�y
2�–�α
2�–�2αy�
δ)� 4α2�–�β
2�+�4βx�–�4x
2�
ε)� 9�–�9α2�–�β
2�+�6αβ�
στ)�3x2�–�6xy�+�3y
2�–�27ω
2�
ζ)� x4�+�2x
3�+�x
2�–�y
2�
η)� y2�–�x
2�+�2x�-�1�
17.132� Χωρίς�να�υπολογίσετε�καµία�δύναµη,�
να�αποδείξετε�ότι:�
3 365 25
25 65 160090
+− ⋅ = �
17.133� Να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�αριθµη-�
τικής�παράστασης:�
Α�=�31�⋅�82�+�48
�⋅�125�+�43
�⋅�31�–�125
�⋅�67�
κάνοντας�πολλαπλασιασµό�µόνο�µία�φορά.�
17.134� Να�κάνετε�γινόµενο�τις�παραστάσεις:�
α)� Α�=�α2γ�–�α
2δ�+�β
2δ�–�β
2γ�
β)� Β�=�α2�–�β
2�–�2α�–�2β�
γ)� Γ�=�4x�–�4y�+�αy�-�αx�
δ)� ∆�=�x2�+�yω�–�xy�-�xω�
ε)� Ε�=�βγ�–�α2�+�αγ�-�αβ�
στ)�Ζ�=�α2β2�–�1�+�β
2�–�α
2�
ζ)� Η�=�xy2�–�x�–�y
2�+�1�
η)� Θ�=�x3�–�2x
2�–�x�+�2�
17.135� Αν��α�≠�0,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α)�
x y y ω ω xx y ω
y ω x
α α α1
α α α
+ + +
=
�
20/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
248� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�
β)�x y x ω y ω y x
1 1
1 α α 1 α α− − − −
+ +
+ + + +
�
�ω x ω y
11
1 α α− −
+ =
+ +
�
17.136� Να�κάνετε�γινόµενο�τις�παραστάσεις:�
α)� Α�=�β2�–�δ
2�+�αβ�–�βγ�+�γδ�–�δα�
β)� Β�=�β2�–�δ
2�+�αβ�+�βγ�+�γδ�+�δα�
17.137� Για�ποιες�τιµές�του�x�ορίζονται�τα�κλά-�
σµατα:�
α)�
3
x 1
1
x 3
1
A
1
−
−
−
=
−
� � β)�2
5
x 4
2x 9
x 2
1
B
x
−
−
−
−
=
+
�
Στη�συνέχεια�να�κάνετε�τα�κλάσµατα�αυτά�απλά.�
17.138� Να� αναλύσετε� σε� γινόµενο� παραγό-�
ντων�τις�παρακάτω�παραστάσεις:�
α)� Α�=�α4�–�5α
2β2�+�4β
4�
β)� Β�=�x4�+�y
4�–�11x
2y2�
γ)� Γ�=�x4�+�3x
2y2�+�4y
4�
δ)� ∆�=�x4�+�x
2�+�1�
ε)� Ε�=�9α4�+�26α
2β2�+�25β
4�
17.139� Να�απλοποιήσετε�τα�κλάσµατα:�
α)�2 3
2 2
αx αA
βx α β
−
=
−
�
β)�4 4
3 3 2 2
α x αxB
α x αx α x
−= ⋅
− +
�
γ)�2
2
x 9 x 3Γ
x 3x 6x 9
− += ⋅
−+ +
�
δ)�2
2
x x x 1∆
xx 2x 1
+ += ⋅
+ +
�
ε)�3 3
2
α βE
(α β) αβ
+=
− +
�
στ)�3 3 2
3 2 2
α β α α 1 α 1Z
α βα 1 α αβ β
− − + += ⋅ ⋅
−+ + +
�
17.140� Αν��(α�+�β)(β�+�γ)(γ�+�α)�=�2004,
��να�
υπολογίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�
2 2 3 2 2 3 2 2 3
3 3 3
(α β ) (β γ ) (γ α )K
(α β) (β γ) (γ α)
− + − + −=
− + − + −
�
17.141� Να�απλοποιήσετε�τα�κλάσµατα:�
α)�2
3 2
2(2α β 18β)(α 3)A
4α β 24α β 36αβ
− +=
+ +
�
β)�2 2
2 2 2
(µ ν) 2(µ ν)ρ ρB
µ 2µν ν ρ
− − − +=
− + −
�
γ)�4 2
4 2
(ν 1)(ν 4)Γ
ν 5ν 4
− −=
− +
�
17.142� Το�άθροισµα�δύο�διψήφιων�φυσικών�
αριθµών�διαιρείται�µε�τον�99.�Αν�τοποθετή-�
σουµε�τους�αριθµούς�δίπλα�–�δίπλα,�προκύ-�
πτει� ένας� τετραψήφιος� αριθµός.�Να�αποδεί-�
ξετε�ότι�και�ο�νέος�αυτός�αριθµός�διαιρείται�
µε�τον�99.�
17.143� Να� κάνετε� όλες� τις� δυνατές� πράξεις�
και�απλοποιήσεις:�
α)�2 2
2
x (2x 3) x 1A
9 3xx 1
− − += ⋅
−−
�
β)�2 2 2
2 2 2
α β γ 2αβ α β γB
α β γα γ β 2βγ
+ − + − += ⋅
+ −+ − +
�
γ)�3 2 2
2 3 2
x 2αx α x 3x 3αΓ
3αx 3α x αx
+ + −= ⋅
− +
�
21/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
249�
δ)�2 3 5
2 3 3
1 x x x 1∆
1 x x x x 1
− + −= ⋅
+ − − +
�
ε)�8
4 2 2
x 1E
(x 1)(x 1)(x 1)
−=
+ − +
�
στ)�2
αγ βγ αδ βδ αZ
γ δα αβ
+ + += ⋅
++
�
17.144� Αν��α�+�β�+�γ�=�2τ,
��να�αποδείξετε�ότι:�
α)� (τ�–�α)2�+�(τ�–�β)
2�+�(τ�–�γ)
2�+�τ
2�=�
� =�α2�+�β
2�+�γ
2�
β)� (τ�–�3α)3�+�(τ�–�3β)
3�+�(τ�–�3γ)
3�=�
� =�3(τ�–�3α)(τ�–�3β)(τ�–�3γ)�
17.145� Αν�ο�ν�είναι�ακέραιος�αριθµός,�να�απο-�
δείξετε�ότι:�
α)� ο�αριθµός��α�=�ν(ν�+�1)
��είναι�πάντα�άρτιος,�
β)� ο�αριθµός��β�=�(ν
2�+�ν�+�1)(ν
2�–�ν�–�1)
��εί-�
ναι�πάντα�περιττός.�
17.146� Αν��x,�y�≠�1
��και�
�x�≠�y,
��να�αποδεί-�
ξετε�ότι:�
( )( ) ( )( )y1 1 xx x y y
1 1 11
(x 1)(y 1) 1 1 1 1
+ + =
− −− − − −
�
�
17.147� Αν�ένας�αριθµός�α�είναι�άθροισµα�τε-�
τραγώνων�δύο�άνισων�φυσικών�αριθµών,�να�
αποδείξετε� ότι� και� ο� 2α� είναι� άθροισµα� τε-�
τραγώνων�δύο�άνισων�φυσικών�αριθµών.�
17.148� Να�απλοποιήσετε�τις�παρακάτω�παρα-�
στάσεις:�
α)�2 2
1 1 2yA :
x y x y x y
= +
+ − − �
β)�2
2 2
α α 2αB :
α 2β α 2β α 4β
= +
+ − − �
γ)�1 x 1 x 3 x
Γ x1 x 1 x 4x 4
+ − = − + − − +
�
δ)�2 2
2 2
α β α β∆ : :
β αβ α
= − +
�
�2 2
1 1 1 1: :
α βα β
− −
�
ε)�2
2 2
x y x y 4xE
x y x y x y
+ −= − − ⋅
− + − �
�2 2 2
x 2xy y xy y
4xy x y
− + +⋅ ⋅
−
�
17.149� Να�µετατρέψετε�σε�απλά�τα�παρακά-�
τω�σύνθετα�κλάσµατα:�
α)�
α β
α β
3α βA
α βα β
1−
+
−=
−+ +
+
�
β)�3 3
2
2 2
α β
α β
α βB
2βα β
1+
−
−=
− +
+
�
17.150� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)�
2xy 2xy
x y x y
1 1 1 1x y 2x y x 2y
y x
xy+ +
− −
− −
+ =
+ +
�
22/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
250� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�
β)�
2 2 2 2
2
α β α ββ α1 1 1 1β α β α
2α 2β(α β)
+ ++ +
+ = +
+ +
�
17.151� Να�εκτελέσετε�τις�πράξεις�και�να�βρεί-�
τε�την�τιµή�των�παρακάτω�παραστάσεων:�
α)�4 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x (x 1) x (x 1)A
(x 1) x x (x 1) 1
− − − −= + +
+ − + −
�
�2 2
4 2
x (x 1) 1
x (x 1)
− −+
− +
�
β)�2 2 2 2
2 2 2 2
(2α 3β) α 4α (3β α)B
4α (3β α) 9(α β )
− − − −= + +
− + −
�
�2 2
2 2
9β α
(2α 3β) α
−+
+ −
�
17.152� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
α)�
1 1β α
α β α β
α β α β
1
A+ −
− +
−
=
−
�
β)�
1
x 11
x
1
x 11
x
x1
1
Bx
x
1
+
−
+ −
+
=
− −
−
�
γ)�( )
2
2 2 2 2
γ1 1α β αβ
γ1 1 2αβα β α β
(α β γ)
Γ
+ − + +
=
+ + −
�
δ)�
( )
3 3 2 2
2 2 3 3 2 2
2
2
x y x y 1 1
x y x y x y
(x y) xy 1 1y x(x y) xy
∆
− −
+ +
+ −
− +
⋅ +
=
−
�
17.153� Να�αποδείξετε�ότι:�
2 2
y
x
y
x
yx
y x
1
1x y x y x y1 1
x y x y 2xy
−
+ − + ++ + =
+ − +�
17.154� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
α)�3 3 2 2
3 3
3αx 3α x 6α x x αA
x ααx α x
+ − += ⋅
−−
�
β)�2 2 2 2 2 2 2 2
2
(α β γ ) (α β γ ) βB
γ β4αβ 4αβγ
+ − − − += ⋅
−+
�
17.155� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
α)�3 3 3 3
β β
α β α β
α β α βA
β βα α
1 1− +
+ −= −
− +
+ −
�
β)� 2 2
2 2 2 3
1 1 1 2 1 1B α β
α β(α β) α β (α β)
= + + +
+ + �
γ)�2 2 4 4
3 3 2 2 2
1 α β α βΓ 2
α β β α αβ β
= − + ⋅
+ + �
�3 2 2
βαβ α
1
α 2α β αβ
− +
⋅
− +
�
δ)�3 3 3
1 1 1∆
(α β) α β
= + +
+ �
�4 2 2 5
3 1 1 6 1 1
α β(α β) α β (α β)
+ + + +
+ + �
17.156� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
α)�2
xA
αx 2α= −
−
�
23/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
251�
�2
2
2 3x x1
3 xx x 2αx 2α
+− +
++ − − �
β)�2
2
x xB 1 1
x yy
= − − +
− �
�3 2
3 2 2
x x xy1 1
y x xy y
++ − −
+ + �
γ)�2 2 2 2α αβ β α αβ β
Γα β α β
+ + − += − +
+ −
�
�3 2 2
2 2
2β β α
α β
− ++
−
�
δ)� 21 x 1 x∆ x :
1 x 1 x
+ − = − − +
�
�1 x 1
: 1 11 x 1 x
+ − − − +
�
17.157� Να�λύσετε�την�ανίσωση:�
x 2 3 x x 1+ − − ≤ + �
17.158� Αν�ισχύει�ότι:�
1x 1 y z 1 (x y z 3)
2− + + + = + + + �
να�αποδείξετε�ότι��x�=�2,
��y�=�1
��και�
�z�=�0.�
17.159� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)� 3 5 2 6+ > + �
β)� 2 2 3 6 5− > − �
17.160� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)�( )( )( )
3 7 13 7 5 72
2 3 6 2 2 3
+ − − −
=
− − +
�
β)� ( )5 2 3 47 2 3 8 2 3 13+ − − − = �
17.161� Αν�οι�αριθµοί�α�και�β�είναι�ακέραιοι,�
να�αποδείξετε�ότι�ο�αριθµός:�
2 2 2 2 2A α β (α β )(α β)= + + + �
είναι�φυσικός.�
17.162� Αν��α,�β,�γ,�δ�>�0
��και�
α γ,
β δ= �να�απο-�
δείξετε�ότι:�
2 2 2 2 2 2 2 2α γ β δ α β γ δ+ ⋅ + − + ⋅ + = �
=�(α�–�δ)(β�–�γ)�
17.163� Να�αποδείξετε�ότι:�
α)� 4 7 4 7 2+ − − = �
β)�6 11 6 11 2
23 2 2 3 2 2
− + +=
− − +
�
17.164� Να�αποδείξετε�ότι:�
( )( )
( )( )5 3 3 1 5
1
3 5 5 1 3
+ +=
+ +
�
17.165� Αν��α�+�β�+�γ�=�2004
��και� αβγ 1002,= �
µε��α,�β,�γ�>�0
��να�βρείτε�την�τιµή�της�παρά-�
στασης:�
α β γA
βγ γα αβ= + + �
17.166� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�
α)�4 32 3 4A α α ( α) α α α , α 0= − ⋅ > �
β)� ( )2
3 3 6 3 4 39B µ ν λ µ ν λ ,= �µε��µ,�ν,�λ�>�0�
24/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
252� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�
17.167� ∆ίνονται�δύο�διαδοχικοί�ακέραιοι�α�και�
β.�Να�αποδείξετε�ότι�ο�αριθµός:�
2 2 2 2A α α β β= + + �
είναι�φυσικός.�
17.168� Να�βρείτε�τις�τιµές�των�x�και�y�όταν:�
x2�+�y
2�–�2x�+�6y�+�10�=�0�
17.169� Ένας�αγρότης�διαθέτει�1800�€�για�την�
αγορά�σύρµατος�περίφραξης,�ποιότητας�Β.�Αν�
αντί�για�το�συγκεκριµένο�σύρµα�αγοράσει�
σύρµα�ποιότητας�Α�που�είναι�3�€�ακριβότερο�
ανά�µέτρο,�τότε�θα�πάρει�20�µέτρα�λιγότερο.�
Πόσο�κοστίζει�η�κάθε�ποιότητα�σύρµατος;�
17.170� Αν�µαθητής�απλοποίησε�το�κλάσµα:�
3 3
3 3
5 2A
5 3
+=
+
�
γράφοντας:�
3 3
3 3
5 2 5 2 7A
5 3 85 3
+ += = =
++
�
έχοντας�προφανώς�εφαρµόσει�την�ιδιότητα,�δεν�
ισχύουν.�Κι�όµως:�
125 8 133 7 19 7A !
125 27 152 8 19 8
+ ⋅= = = =
+ ⋅
�
δηλαδή�ο�µαθητής�βρήκε�σωστό�αποτέλεσµα.�
Παρατηρώντας�ο�καθηγητής�το�αξιοπερίεργο�
αυτό�αποτέλεσµα�έθεσε�στους�µαθητές�το�εξής�
πρόβληµα:�
Να�βρείτε�τη�σχέση�ανάµεσα�στους�θετικούς�
αριθµούς�α,�β�και�γ�έτσι,�ώστε�να�ισχύει:�
3 3
3 3
α β α β
α γα γ
+ +=
++
”�
Ορισµένοι�µαθητές�βρήκαν�τη�συνθήκη:�
β�=�γ���ή���α�=�β�+�γ�
Μπορείτε�και�εσείς�να�λύσετε�το�παραπάνω�
πρόβληµα;�
17.171� Αν��αβγ�≠�0
��και�
�αβ�+�βγ�+�γα�=�0,
��να�
αποδείξετε�ότι:�
α)� α2�+�2βγ�=�(α�–�β)(α�–�γ)�
β)�2 2 2
2 2 2
α β γ1
α 2βγ β 2γα γ 2αβ+ + =
+ + +
�
17.172� ∆ίνεται�η�συνάρτηση:�
f (x) 2 1 x= − − �
µε�γραφική�παράσταση�Cf�.�
α)� Να�βρείτε�το�πεδίο�ορισµού�Α�της�f�(x).�
β)� Να� γράψετε� τον� τύπο� της� f�(x)� χωρίς� το�
σύµβολο�της�απόλυτης�τιµής.�
γ)� Να�χαράξετε�τη�γραφική�παράσταση�της�
f�(x).�
δ)� Να�βρείτε�τα�κοινά�σηµεία�της�Cf�µε�τους�
άξονες.�
ε)� Να�αποδείξετε�ότι�η�Cf�δεν�διέρχεται�από�
το�σηµείο��Α(2004,�-2002).�
στ)�Να�αποδείξετε�ότι�η�Cf�ορίζει�(δηµιουργεί)�
µε�τον�άξονα�x´x�ένα�ορθογώνιο�και�ισοσκε-�
λές�τρίγωνο,�του�οποίου�να�βρείτε�τα�µήκη�των�
πλευρών�καθώς�και�το�εµβαδόν.�
17.173� ∆ίνεται�η�συνάρτηση:�
f (x) x 3 1= − − �
µε�γραφική�παράσταση�Cf�.�
α)� Να�βρείτε�το�πεδίο�ορισµού�Α�της�f�(x).�
25/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
253�
β)� Να�βρείτε�τα�κοινά�σηµεία�της�Cf�µε�τους�
άξονες.�
γ)� Να�χαράξετε�τη�γραφική�παράσταση�της�
f�(x).�
δ)� Να�βρείτε�τον�άξονα�συµµετρίας�της�Cf�.�
17.174� Για�µια�συνάρτηση�f�(x)�ισχύει�ότι:�
1�+�f�(x)f
�(y)�=�xf
�(y)�+�yf
�(x)�
για�κάθε��x,�y
�∈
�R.
��Να�βρείτε�τον�τύπο�της�
f�(x).�
17.175� ∆ίνεται�η�εξίσωση:�
x2�–�(λ�+�2)x�–�λ
2�–�1�=�0,���όπου�
�λ�∈
�R�
α)� Να�αποδείξετε�ότι�η�εξίσωση�έχει�δύο�άνι-�
σες�ρίζες�για�κάθε�τιµή�του�λ.�
β)� Να�βρείτε�τις�τιµές�του�λ,�ώστε�η�µία�ρίζα�
της�εξίσωσης�να�είναι�η��x�=�5.
��Ποια�είναι�η�
άλλη�ρίζα�της�εξίσωσης�στην�περίπτωση�αυ-�
τή;�
γ)� Αν�x1�και�x2�είναι�οι�ρίζες�της�εξίσωσης,�
να�βρείτε�τις�τιµές�του�λ,�ώστε��x1�+�2x2�=�3.�
17.176� Ο�Γιώργος�µε�τη�Μαριάννα�έχουν�σχο-�
λάσει�από�το�σχολείο�και�κατευθύνονται�µέ-�
σα�από�το�πάρκο�προς�τη�λεωφόρο�για�να�πά-�
ρουν�το�λεωφορείο.�
�
Φτάνοντας�στη�λεωφόρο�βλέπουν�από�τα�δε-�
ξιά�τους�να�έρχεται�το�λεωφορείο.�Ο�Γιώργος�
σπεύδει� προς� το� µέρος� του� λεωφορείου� µε�
ταχύτητα�6�km/h�ενώ�η�Μαριάννα�προχωράει�
προς�την�αντίθετη�κατεύθυνση�µε�ταχύτητα�
4�km/h�για�να�προλάβει�το�λεωφορείο�στην�
επόµενη�στάση.�Τελικά�και�οι�δύο�µόλις�πρό-�
λαβαν�να�επιβιβαστούν.�Αν�το�λεωφορείο�κι-�
νείται�µε�ταχύτητα�60�km/h,�να�εξετάσετε�αν�
η�επιλογή�του�Γιώργου�να�βαδίσει�προς�το�
µέρος�του�λεωφορείου�είναι�σωστή.�
17.177� ∆ίνεται�η�συνάρτηση:�
f (x) 5 1 x x 2 3= − − + + − �
α)� Να�βρείτε�το�πεδίο�ορισµού�Α�της�f�και�να�
συγκρίνετε�τις�τιµές�f�(1)�και�f
�(6).�
β)� Να�εξετάσετε�αν�η�γραφική�παράσταση�Cf�
της�f�(x)�διέρχεται�από�το�σηµείο�
�Β(2,�3).�
γ)� Τέµνει�η�Cf�τον�άξονα�y´y�και�γιατί;�
17.178� Να�λύσετε�το�σύστηµα:�
2
2
2
1 α 2β
1 β 2γ (Σ)
1 γ 2α
+ =
+ = + =
�
17.179� Να�λύσετε�την�εξίσωση:�
(x�–�2004)2�–�1995(x�–�2003)�+�2004�=�
=�(x�–�2001)2�
�
26/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
318� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�
Ενότητα�17�
17.1� Είναι�θεωρία.�
17.2� Είναι�θεωρία.�
17.3� 1)� α�≠�0,��1,
α��α-1.�
2)� α�+�(-β),�� ⋅
1α ,
β��≠�0.�
3)� α�=�0��ή��β�=�0,
��α�≠�0�
�και
��β�≠�0.�
4)� α�≠�0,��β�=�γ.�
5)� αντίστροφοι,�αντίθετοι.�
6)� α�≠�0��και
��β�≠�0.�
17.4� 1)� Λ.� 2)� Λ.� � 3)� Σ.� � 4)� Σ.�
5)� Λ.� � 6)� Λ,�Λ.� � 7)� Σ.�
17.5� Είναι�βασικές�σχέσεις.�∆ες�το�Α΄�τεύχος.�
17.6� 1)� Σ.�� � 2)� Σ.� � 3)� Σ.�
4)� Λ,�Λ,�Λ,�Λ.� � 5)� Σ,�Σ.� 6)� Σ,�Σ,�Σ,�Σ.�
17.7� Είναι�θεωρία.�
17.8� Είναι�θεµελιώδεις�σχέσεις.�∆ες�το�Α΄�τεύχος.�
17.9� Είναι�θεωρία.�
17.10� Είναι�βασικές�ιδιότητες.�
17.11� Είναι�θεµελιώδεις�ιδιότητες.�∆ες�το�Α΄�τεύχος.�
17.12� 1)� Σ.� � 2)� Σ.� � 3)� Λ.� � 4)� Λ.�
5)� Λ.� � 6)� Σ.� � 7)� Σ.� � 8)� Σ.�
9)� Λ.� � 10)�Λ.�
17.13� 1)� Σ.� � 2)� Λ.� � 3)� Σ.� � 4)� Σ.�
5)� Λ.� � 6)� Σ.� � 7)� Σ.� � 8)� Σ.� � 9)� Λ.�
17.14� 1)� Σ.� � 2)� Λ.� � 3)� Σ.� � 4)� Λ.�
5)� Σ.� � 6)� Λ.� � 7)� Σ.� � 8)� Λ.�
9)� Λ.� � 10)�Λ.� � 11)�Σ.� � 12)�Σ.�
17.15� α)� Α�=�(x�+�y)2�–�2xy�=�72�–�2�⋅�12�
Απ:��Α�=�25�
β)� Β�=�(x�+�y)3�–�3xy(x�+�y)�=�343�–�3
�⋅�12
�⋅�7�
Απ:��Β�=�91�
γ)� Γ�=�(x2�+�y
2)2�–�2x
2y2�=�A
2�–�2(xy)
2�=�
� =�252�–�2
�⋅�144�=�625�–�288�
Απ:��Γ�=�337�
17.16� Έστω�α γ
λ.β δ= = �Τότε�
�α�=�λβ
��και�
�γ�=�λδ
��κ.λπ.�
17.17� Εκτελούµε�µε�προσοχή�τις�απαραίτητες�πράξεις�
και�κάνουµε�τα�σύνθετα�κλάσµατα�απλά.�
Απ:��2
xK =
x +1�
17.18� Εκτελούµε�µε�προσοχή�τις�πράξεις.�
Απ:��α)�x
A =α��β)�Β�=�α
2β�
γ)�2 2
2xyΓ =
x + y��δ)�∆�=�1�–�x
2�
17.19� Το�α΄�µέλος�δίνει:�
α(β2�–�2βγ�+�γ
2)�+�β(γ
2�–�2αγ�+�α
2)�+�
+�γ(α2�–�2αβ�+�β
2)�+�9αβγ�=�
=�(αβ2�+�βα
2)�+�(αγ
2�+�α
2γ)�+�(βγ
2�+�β
2γ)�+�3αβγ�=�
=�αβ(α�+�β)�+�αγ(α�+�γ)�+�βγ(β�+�γ)�+�3αβγ�=�
=�αβ(-γ)�+�αγ(-β)�+�βγ(-α)�+�3αβγ�=�0�
17.20� α)� Εκτελούµε�τις�πράξεις�στους�όρους�του�πρώ-�
του�κλάσµατος�και�παραγοντοποιούµε�µε�οµάδες.�
Απ:��Α�=�1�
27/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
319�
β)� Είναι:�
α2�–�β
2�–�γ
2�–�2βγ�=�α
2�–�(β�+�γ)
2�=�
=�(α�–�β�–�γ)(α�+�β�+�γ)��κ.λπ.�
Απ:��Β�=�1�
γ)� Είναι:�
♦�2 2 2 2(x x 1)(x x 1) x (x 1) x (x 1) + − − + = + − − − = �
��=�x
4�–�(x�–�1)
2�
♦�2 2 2 2(x x 1)(x x 1) x (x 1) x (x 1) + + − − = + + − + = �
��=�x
4�–�(x�+�1)
2�
♦�2 2 2 2(x x 1)(x x 1) (x x) 1 (x x) 1 + − + + = + − + + = �
��=�(x
2�+�x)
2�-�1�
♦��(x
2�–�x�+�1)(x
2�–�x�–�1)�=�…�=�(x
2�–�x)
2�–�1�
Απ:��2
1Γ =
x�
δ)�2 2
2 2
x(x y)(x y)(x xy y ) x y∆
x(x y)(x y)(x y) x xy y
− + − + +=…= ⋅
+ + − − +
�
Απ:��∆�=�1�
17.21� Είναι:�
α3�+�β
3�+�γ
3�=�3αβγ,���β�+�γ�=�-
�α,���γ�+�α�=�-
�β�
και���α�+�β�=�-�γ�
και�το�α΄�µέλος�δίνει:�
3 3 3 2 2α βγ β αγ γ αβ 3(α β αβ 3αβγ)
αβγ αβγ αβγ 3αβγ
− − − − − − + + −
+ + + =
− − −
�
3 3 3 2 2α β γ αβ βγ γα α β αβ 3αβγ
αβγ αβγ
+ + + + + + + −
= + = �
2 2 2α β 2αβ γ(β α) (α β) γ(α β)
αβγ αβγ
+ + + + + + +
= = = �
2( γ) γ( γ)0
αβγ
− + −= =…= �
17.22� Εκτελούµε�τις�πράξεις�στους�παρονοµαστές.�
Απ:��Α�=�1�
17.23� Γνωρίζουµε�γενικά�ότι�αν�α γ
,β δ= �τότε:�
α γ α γ
β δ β δ
+
= =
+
�
Σύµφωνα�µε�την�ιδιότητα�αυτή�παίρνουµε:�
λ µ λ µ λ µ
α β β γ (α β) (β γ) α γ
+ +
= = =
− − − + − −
�
Είναι�δηλαδή�λ λ µ
.α β α γ
+
=
− −
�Όµως�λ ν
,α β α γ
=
− −
�από�
την�υπόθεση.�Εποµένως:�
λ µ ν
α γ α γ
+
=
− −
�
δηλαδή��λ�+�µ�=�ν,
��αφού�οι�παρονοµαστές�των�δύο�κλα-�
σµάτων�είναι�ίσοι.�
17.24� Να�γίνουν�οι�πράξεις,�η�µετατροπή�των�κλασµά-�
των�σε�απλά�και�οι�απλοποιήσεις.�
17.25� α)� Α�=�αβ� � � β)� Β�=�2α�
γ)� Ο�διαιρέτης�δίνει:�
6 4 2 2 3 2 4 2
6 6
β β α β α α (β α)(β α )
β β
+ + + + +=…= �
Απ:��2 2
2
α - βΓ =
β�
17.26� α)� Είναι:�
2 2 2 2 2(β γ 2βγ) α (β γ) αx 1 κ.λπ.
2βγ 2βγ
+ + − + −+ =…= = �
β)�[ ][ ]
2 2 2
α (β γ) α (β γ)y 1 1
β γ α 2βγ
− − + −
+ = + =
+ − +
�
�2 2
2 2 2
α (β γ)1
β γ α 2βγ
− −= + =…=
+ − +
�
�2 2 2 2 2 2
2 2
α β γ 2βγ β γ α 2βγ
(β γ) α
− − + + + − +
= =
+ −
�
�4βγ
(β γ α)(β γ α)=
+ − + −
�
γ)� Με�βάση�τα�ερωτήµατα�(α)�και�(β).�
17.27� Το�α΄�µέλος�δίνει:�
2 2 2α (β γ) β (γ α) γ (α β)
(α β)(β γ)(γ α)
− + − + −
−
− − −
�
Όµως�ο�αριθµητής�γράφεται:�
α2(β�–�γ)�+�β
2γ�–�β
2α�+�γ
2α�–�γ
2β�=�
28/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
320� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�
=�α2(β�–�γ)�+�(β
2γ�–�γ
2β)�–�β
2α�+�γ
2α�=�
=�α2(β�–�γ)�+�βγ(β�–�γ)�–�α(β�–�γ)(β�+�γ)�=��
=�(β�–�γ)(α2�+�βγ�–�αβ�–�αγ)�=�…�=�
=�(β�–�γ)(α�–�β)(α�–�γ)�=�-�(α�–�β)(β�–�γ)(γ�–�α)�
17.28� Εκτελούµε�µε�προσοχή�τις�πράξεις,�µετατρέπου-�
µε�τα�σύνθετα�κλάσµατα�σε�απλά�και�απλοποιούµε.�
17.29� Είναι:�
2 2 2 2
2 2 2 2
α β β α β γ β γ β α β γA
αβ αβ βγ βγ α β β γ
+ − + − − −= ⋅ − ⋅ = − =…= �
2 2 2 2 2 2
2 2 2
γ (β α ) α (β γ )
α β γ
− − −
= =…= �
2 2 2 2
2 2 2 2 2
β γ α β 1 12004
α β γ α γ
−
= = − = �
Απ:��Α�=�2004�
17.30� Θέτουµε�λ�τους�ίσους�λόγους�της�αναλογίας,�οπό-�
τε��α�=�λδ,
��β�=�λε
��και�
�γ�=�λη.�
17.31� Είναι:�
♦� α4�+�2α
2β2�+�β
4�=�(α
2�+�β
2)2�
♦� x2�+�y
2�=�(α
2�–�β
2)2(α
2�+�β
2)4�+�4α
2β2(α
2�+�β
2)4�=�
� =�(α2�+�β
2)4(α
4�–�2α
2β2�+�β
4�+�4α
2β2)�=�…�=�
� =�(α2�+�β
2)4(α
2�+�β
2)2�=�(α
2�+�β
2)6�=�ω
6�
διότι��α4�+�2α
2β2�+�β
4�=�(α
2�+�β
2)2.�
17.32� Έστω�α β γ
λ.β γ δ= = = �Τότε:�
♦� α�=�βλ,��β�=�γλ,��γ�=�δλ�
♦� α�=�βλ�=�γλ2�=�δλ
3�
♦� β�=�γλ�=�δλ2�
δηλαδή��α�=�δλ
3,��β�=�δλ
2��και�
�γ�=�δλ.
��Αντικαθιστούµε�τις�
τιµές�αυτές�στα�δύο�µέλη.�
17.33� α)� Εκτελούµε�µε�προσοχή�(και�υποµονή)�τις�πρά-�
ξεις.�
β)� Κάνουµε�οµώνυµα�τα�κλάσµατα�και�ο�αριθµητής�εί-�
ναι�το�πρώτο�µέλος�του�ερωτήµατος�(α).�Αυτό�ισούται�µε:�
12x2(x�–�1)�–�48(x�–�1)�=�12(x�–�1)(x
2�–�4)�=�
=�12(x�–�1)(x�–�2)(x�+�2)�
17.34� Εκτελούµε�τις�απαραίτητες�πράξεις.�
17.35� α)�2
1A
(α β)=
−
� � β)� Β�=�x�+�y�–�ω�
γ)� Γ�=�1� � � � � � δ)� ∆�=�1�
17.36� α)�2α
Aα β
=
+
� � � β)� Β�=�α�
17.37� α)� Το�πρώτο�κλάσµα�δίνει�2
2
x x 1,
x x 1
+ −
+ +
�το�δεύ-�
τερο�2
2
x x 1
x x 1
− +
+ +
�και�το�τρίτο�2
2
x x 1.
x x 1
− +
+ +
�
Απ:��Α�=�1�
β)� Το�πρώτο�κλάσµα�δίνει�α β
,α β
−
+
�το�δεύτερο�α 3β
3(α β)
+
+
�
και�το�τρίτο�3β α
.3(α β)
−
+
�
Απ:��Β�=�1�
17.38� α)�α β
A4
+
= � � � β)� Β�=�x�
γ)� Γ�=�αβ� � � � � � δ)�x y
∆xy
−
= �
17.39� Θα�κάνουµε�ένα�απλό�τέχνασµα.�Θέτουµε:�
ν3�+�3ν
2�+�ν�=�y�
οπότε:�
α�=�y(y�+�2)�+�1�=�y2�+�2y�+�1�=�(y�+�1)
2�=�
=�(ν3�+�3ν
2�+�ν�+�1)
2�=�λ
2�
όπου��λ�=�ν
3�+�3ν
2�+�ν�+�1
�∈
�N.�
17.40� Καθεµία�από�τις�δύο�παραστάσεις�είναι�ίση�µε�3.�
Προσθέτουµε�κατά�µέλη�και�χρησιµοποιούµε�την�ταυ-�
τότητα��x2�+�y
2�=�(x�+�y)
2�–�2xy.
��Έτσι�παίρνουµε:�
2 2
α β α β β γ β γ2 2
β α β α γ β γ α
− − ⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ +
�
2
γ α γ α2 6
α γ α γ
+ − − ⋅ ⋅ = ⇔
�
2 2 2
α β β γ γ α0
β α γ β α γ
⇔ − + − + − = ⇔
�
29/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
321�
α β β γ γ ακαι και
β α γ β α γ
⇔ = = = ⇔
�
⇔��(α2�=�β
2��και
��β
2�=�γ
2��και
��γ
2�=�α
2)��⇔�
⇔��(α�=�β��και
��β�=�γ�
�και
��γ�=�α)��⇔��α�=�β�=�γ�
διότι�οι�α,�β�και�γ�είναι�οµόσηµοι.�
17.41� Έχουµε:�
Α�=�(µ2ν�+�µν
2)�+�(µ
2�+�ν
2�+�2µν)�+�µ�+�ν�=�
=�µν(µ�+�ν)�+�(µ�+�ν)2�+�(µ�+�ν)�=�
=�(µ�+�ν)(µν�+�µ�+�ν�+�1)�
∆ιακρίνουµε�τις�περιπτώσεις:�
♦� Αν�οι�µ�και�ν�είναι�συγχρόνως�άρτιοι�ή�συγχρόνως�
� περιττοί,�τότε�ο��µ�+�ν
��είναι�άρτιος.�Εποµένως�ο�Α�
� είναι�άρτιος,�αφού�ο�πρώτος�του�παράγοντας�είναι�
� άρτιος.�
♦� Έστω�ότι�ο�µ�είναι�άρτιος�και�ο�ν�περιττός�ή�αντί-�
� στροφα.�Τότε�ο�µ�+�ν�είναι�περιττός,�ο��µ�+�ν�+�1
��εί-�
� ναι�άρτιος�και�ο�µν�είναι�άρτιος.�
� Άρα�ο��µν�+�(µ�+�ν�+�1)
��είναι�άρτιος,�οπότε�και�ο�Α�
� θα�είναι�άρτιος.�
17.42� Έστω�ότι�υπάρχουν.�
♦� Αν��x�=�2µ
��(άρτιος),�τότε�η�σχέση�γράφεται:�
2µ(µ�+�1)�=�5λ(λ�+�1)�+�3,��άτοπο�
� διότι�το�πρώτο�µέλος�είναι�άρτιος�και�το�δεύτερο�
� είναι�περιττός�αριθµός.�Τονίζουµε�ότι�ο��ν(ν�+�1)
��εί-�
� ναι�πάντα�άρτιος,��ν�∈
�Z.
♦� Αν�ο�x�είναι�περιττός,�τότε�το�α΄�µέλος�της�δοσµέ-�
� νης�είναι�περιττός�και�το�β΄�µέλος�είναι�άρτιος,�άτοπο.�
17.43� α)� Επειδή�η�παράσταση�Α(x)�έχει�πέντε�όρους,�
γράφουµε��5x�=�3x�+�2x
��και�οµαδοποιούµε�ανά�δύο:�
A(x)�=�x4�–�x
3�–�3x
2�+�5x�–�2�=�
=�x4�–�x
3�–�3x
2�+�3x�+�2x�–�2�=�
=�x3(x�–�1)�–�3x(x�–�1)�+�2(x�–�1)�=�
=�(x�–�1)(x3�–�3x�+�2)�=�(x�–�1)(x
3�–�x�–�2x�+�2)�=�
2(x 1) x(x 1) 2(x 1) = − − − − = �
[ ](x 1) x(x 1)(x 1) 2(x 1)= − − + − − = �
[ ] 2 2(x 1)(x 1) x(x 1) 2 (x 1) (x x 2)= − − + − = − + − = �
=�(x�–�1)2(x
2�+�2x�–�x�–�2)�=�
[ ]2(x 1) x(x 2) (x 2)= − + − + = �
=�(x�–�1)2(x�+�2)(x�–�1)�=�(x�–�1)
3(x�+�2)�
β)� Σύµφωνα�µε�το�πρώτο�ερώτηµα�είναι:�
Α(x)�=�0��⇔��(x�–�1)3(x�+�2)�=�0��⇔�
⇔��[(x�–�1)3�=�0�
�ή�
�x�+�2�=�0]��⇔�
⇔��(x�–�1�=�0��ή��x�+�2�=�0)��⇔��(x�=�1�
���x�=�-2)�
17.44� Η�άσκηση�αυτή�παρουσιάζει�ορισµένες�ιδιαιτερό-�
τητες�σε�κάποια�σηµεία,�οπότε�πρέπει�να�µελετηθεί�µε�
ιδιαίτερη�προσοχή.�
α)� Έχουµε:�
Α�=�α4�+�α
3�–�α
2�–�α�=�α(α
3�+�α
2�–�α�–�1)�=�
2 2α α (α 1) (α 1) α(α 1)(α 1) = + − + = + − = �
=�α(α�+�1)(α�–�1)(α�+�1)�=�α(α�+�1)2(α�–�1)�
β)��Β�=�α
3�+�3α
2�–�1�=�α
3�+�α
2�+�α
2�–�1�=�
��=�α
2(α�+�1)�+�(α�–�1)(α�+�1)�=�(α�+�1)(α
2�+�α�+�1)�
γ)��Γ�=�x
3�–�3α
2x�+�2α
3�=�x
3�–�α
2x�–�2α
2x�+�2α
3�=��
��=�x(x
2�–�α
2)�–�2α
2(x�–�α)�=�
��=�x(x�–�α)(x�+�α)�–�2α
2(x�–�α)�=�
� 2 2 2(x α) x(x α) 2α (x α)(x αx 2α ) = − + − = − + − = �
��=�(x�–�α)(x
2�–�αx�+�2αx�–�2α
2)�=�
� [ ](x α) x(x α) 2α(x α)= − − + − = �
��=�(x�–�α)(x�–�α)(x�+�2α)�=�(x�–�α)
2(x�+�2α)�
Τονίζουµε�ότι�το�µυστικό�στην�παραγοντοποίηση�του�
x2�+�αx�–�2α
2��είναι�να�γράψουµε�στη�θέση�του�αx�το�
-αx�+�2αx��και�να�παραγοντοποιήσουµε�µε�οµάδες.�
δ)� Είναι:�
∆�=�x2�+�y
2�–�4x�+�4y�–�2xy�+�3�=�
=�(x2�+�y
2�–�2xy)�–�4x�+�4y�+�3�=�
=�(x�–�y)2�–�4(x�–�y)�+�4�–�1�=�
2(x y) 4(x y) 4 1 = − − − + − = �
17.45� Επειδή:�
x2�+�y
2�=�(x�+�y)
2�–�2xy�
και�
x2�-�y
2�=�(x�-�y)(x�+�y)�
παίρνουµε:�
30/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
322� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�
α�=�22002
�+�1�=�(21001
)2�+�1
2�=�(2
1001�+�1)
2�–�2
�⋅�21001
�=�
=�(21001
�+�1)2�–�2
1002�=�(2
1001�+�1)
2�–�(2
501)2�=�
=�(21001
�+�1�–�2501)(2
1001�+�1�+�2
501)�=�
=�(21001
�–�2501�+�1)(2
1001�+�2
501�+�1)�
Καθένας�από�τους�παραπάνω�παράγοντες�είναι�ακέραιος.�
17.46� α)� Είναι:�
x�+�y�+�ω�=�2��⇔��ω�=�2�–�x�–�y��������(1)�
Εποµένως:�
(1)
A xy ω 1 xy (2 x y) 1= + − == + − − − = �
=�xy�+�1�–�x�–�y�=�(xy�–�x)�+�1�–�y�=�
=�x(y�–�1)�–�(y�–�1)�=�(y�–�1)(x�–�1)�
β)� Σύµφωνα�µε�το�ερώτηµα�(α)�είναι:�
xy�+�ω�–�1�=�(x�–�1)(y�–�1)�
yω�+�x�–�1�=�(y�–�1)(ω�–�1)�
και�
ωx�+�y�–�1�=�(ω�–�1)(x�–�1)�
Εποµένως:�
1 1 1K
xy ω 1 yω x 1 ωx y 1= + + =
+ − + − + −
�
1 1 1
(x 1)(y 1) (y 1)(ω 1) (ω 1)(x 1)= + + =
− − − − − −
�
(ω 1) (x 1) (y 1) x y ω 3
(x 1)(y 1)(ω 1) (x 1)(y 1)(ω 1)
− + − + − + + −
= = =
− − − − − −
�
2 3 1
2004 2004
−
= = − �
17.47� Είναι:�
♦�6 23 6
3 3 9= = �� � ♦�6 3 6
2 2 8= = �
Άρα� 33 2.> �
17.48� Ο�αριθµητής�δίνει:�
( ) ( )2 2
1 5 1 7 2 5 7+ + + =…= + + �
17.49� Βρίσκουµε�ότι� �Α2�=�4
��και�επειδή�
�Α�<�0,
��θα�
είναι��Α�=�-2.�
Άλλος�τρόπος�
Είναι:�
( )2
5 2 6 3 2 3 2− = − = − �
και��� 5 2 6 3 2+ =…= + �
17.50� Είναι:�
(x�+�2y)2�=�α
2�+�4β
2���και���(2x�–�y)
2�=�4α
2�+�β
2�
Προσθέτουµε�κατά�µέλη.�
17.51� Και�τα�δύο�ριζικά�έχουν�το�ίδιο�υπόρριζο,�το�2.�
Για�να�συγκρίνουµε�λοιπόν�τους�α�και�β�προσπαθούµε�
να�τους�γράψουµε�ως�ριζικά�της�ίδιας�τάξης.�Επειδή�
ΕΚΠ(3,�4)�=�12,��γράφουµε:�
♦�3 4 43 12
α 2 2 16⋅
= = = � ♦�4 3 34 12β 2 2 8⋅
= = = �
Από�τη�νέα�µορφή�των�α�και�β�συµπεραίνουµε�ότι��α�>�β.�
17.52� α)� Α(6)�=�1��και��Α(-5)�=�2.�
β)� Πρέπει:�
x 3 3 0 και 11 1 2x 0− − ≥ − − ≥ �
Απ:��Α�=�[-1,�-1]�
∪�
[5,�6]�
17.53� Παίρνουµε�το�τετράγωνο�του�α΄�µέλους.�
17.54� Είναι:�
♦�2α β
xα β
−
= �
♦�2α β β 2α β
1 αx 1β β
− − −
− = − = �
♦�2α β β 2α β
1 αx 1β β
− + −
+ = + = �
♦�β 2α β α β(2α β)1 αx
1 αx β αβ 2α β
− − − −−=…= =…=
+ −+ −
�
♦�
2
2
α β(2α β)α β(2α β)1 βx
1 βx (β α)α β(2α β)
+ −+ −+ =…= =…=− −− −
�
Οπότε:�
α β(2α β)1 βx
1 βx β α
+ −+
=
− −
�
31/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
323�
17.55� Παίρνουµε� α γ (δ β) 2.− = − �Αν��β�≠�δ,
��τότε:�
α γ2, Üτοπο
δ β
−
=
−
�
Άρα��β�=�δ,
��οπότε�
�α�=�γ.�
17.56� α)� Είναι:�
2 2α β (α β)1 0 1
2 4
+ + − ≥ ⇔ ≤ ⇔
�
2
α β 4 α β 2 (1)⇔ + ≤ ⇔ + ≤ �
Όµως:�
α β α β 1 1 2+ ≤ + ≤ + ≤ �
Είναι�λοιπόν� α β 2,+ ≤ �οπότε�ισχύει�η�σχέση�(1).�Συ-�
νεπώς�ισχύει�και�η�δοσµένη�ανισότητα.�
β)� Έχουµε:�
α 1, β 1 και α , β 0≤ ≤ ≥ �
Έτσι:�
α β 1 αβ 1 1 αβ 1⋅ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ �
Άρα��αβ�≤�1.�
γ)� Τα�δύο�µέλη� της�ανισότητας� είναι�θετικοί�αριθµοί�
ή�µηδέν.�Έτσι�έχουµε:�
2
2 2 α β1 α 1 β 2 1
2
+ − + − ≤ − ⇔
�
( )2
22
2 2 α β1 α 1 β 4 1
2
+ ⇔ − + − ≤ − ⇔
�
2
2 2 2 2 4 (α β)1 α 1 β 2 (1 α )(1 β ) 4
4
− +⇔ − + − + − − ≤ ⋅ ⇔ �
2 2 2 2 2 2 2 22 α β 2 1 α β α β 4 α β 2αβ⇔ − − + − − + ≤ − − − ⇔ �
2 2 2 22 1 α β α β 2 2αβ⇔ − − + ≤ − ⇔ �
(β)2 2 2 21 α β α β 1 αβ⇔ − − + ≤ − ⇐⇒ �
( )2
2 2 2 2 21 α β α β (1 αβ)⇔ − − + ≤ − ⇔ �
⇔��1�–�α2�–�β
2�+�α
2β2�≤�1�+�α
2β2�–�2αβ��⇔�
⇔��α2�+�β
2�–�2αβ�≥�0��⇔��(α�–�β)
2�≥�0�
η�οποία�ισχύει.�Η�ισότητα�ισχύει�µόνο�όταν��α�=�β.�
17.57� Έστω:�
2 2α α β α α βA
2 2
+ − − −
= + �
Τότε:�
2
2 2
2α α β α α β
A 22 2
+ − + − = + ⋅
�
2
2 2α α β α α β
2 2
− − − − ⋅ + =
�
( )2
2 22 2α α βα α β α α β2
2 4 2
− −+ − − −
= + + = �
( ) ( )2 2 2 2α α β α α β α α β2
2 4
+ − + − − − +
= + = �
βα 2 α β
2= + ⋅ = + �
Εποµένως:�
2A α β A α β= + ⇔ = + �
17.58� α)� Είναι:�
♦� ( )2
24 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3+ = + + = + + = �
� ( )2
3 1 3 1= + = + �
♦� ( )2
4 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3− = + − = + − = �
� ( )2
3 1 3 1= − = − �
Άλλος�τρόπος�(µε�ισοδυναµίες)�
β)� Πρόκειται�για�έξυπνο�(και�δύσκολο)�θέµα.�
Αντί�να�κάνουµε�πράξεις,�επιχειρούµε�να�εκµεταλλευ-�
τούµε�το�πρώτο�ερώτηµα.�Αν�πολλαπλασιάσουµε�τους�
όρους�των�δύο�κλασµάτων�µε� 2, �τότε�οι�παρονοµα-�
στές�γίνονται�αντίστοιχα:�
♦� ( )2 2 2 3 2 4 2 3+ + = + + = �
� 2 3 1 3 3= + + = + �
♦� ( )2 2 2 3 2 4 2 3− − = − − = �
� ( )2 3 1 3 3= − − = − �
32/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
324� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�
Εποµένως:�
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
+ −+ =
+ + − −
�
( ) ( )2 2 3 2 2 3
3 3 3 3
+ −
= + =
+ −
�
2 3 2 32
3 3 3 3
+ −= + =
+ − �
( )( ) ( )( )
( )( )2 3 3 3 2 3 3 3
2
3 3 3 3
+ − + − +
= ⋅ =
+ −
�
( ) ( )6 2 3 3 3 3 6 2 3 3 3 32
9 3
− + − + + − −
= ⋅ =
−
�
3 32 2
6
+
= = �
17.59� α)� Θα�βρούµε�πρώτα�το�άθροισµα�των�δύο�κλα-�
σµάτων�στην�παρένθεση,�διότι�οι�παρονοµαστές�τους�
είναι�συζυγείς.�Έτσι:�
2
2
1 1 α 1 1A 1
1 α α2 2 α 2 2 α
+ = + − + = −+ −
�
( ) ( )
( )( )
2
2
2 2 α 2 2 α α 1 α 1
1 α α2 2 α 2 2 α
− + + + += − ⋅ = −+ −
�
( )
2
2 22
4 α 1 α 1
1 α α2 2 α
+ + = − ⋅ = −−
�
2
2
4 α 1 α 1
4 4α 1 α α
+ += − ⋅ =
− − �
24 α 1 α 1
4(1 α) (1 α)(1 α) α
+ += − ⋅ =
− − + �
21 α 1 α 1
1 α (1 α)(1 α) α
+ += − ⋅ =
− − + �
2 2(1 α) (α 1) α 1 1 α α 1 α 1
(1 α)(1 α) α (1 α)(1 α) α
+ − + + + − − +
= ⋅ = ⋅ =
− + − +
�
2α α α 1 α(1 α)(α 1)1
(1 α)(1 α) α (1 α)(1 α)α
− + − +
= ⋅ = =
− + − +
�
β)� Είναι:�
2
α α β β α βB αβ
α βα β
+ += − = −+
�
( )2
2
α βα α β β α αβ β αβ
(α β)α β
++ − ⋅ − ⋅
= ⋅ =
−+
�
( )( )( )
2
2
α α β β α β β α α β
α β (α β)
+ − − +
= =
+ −
�
( ) ( ) ( )2
α α β β α β α β
(α β)
− − − + = =−
�
( ) ( ) ( )( )2
α β (α β) α β α β α β
(α β) α β
− − + − +
= = =
− −
�
( ) ( )22
α β α β1
α β α β
− −
= = =
− −
�
διότι:�
♦� ( )2
α αβ α α β α β α β⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = �
♦� ( )2
β αβ β α β α β β α⋅ = ⋅ ⋅ = = �
17.60� Εκτελούµε�µε�προσοχή�τις�πράξεις:�
2 2 2 2
2 2
2 2
βγ
α β
β γ β γ
(α β) (α β)
γ β2
αβ β
+
+ +
= ⋅ ⋅ ⇔
+ +
�
2 2
2
2
βγ
α β
β γ
(α β)
βγ
2α
β
+
+
⋅
⇔ = ⋅ ⇔
+
�
( )( )2
διότι x x x x⋅ = = �
2
2 2
2
2
β γ
α β
(α β) γ
(α β)
γ2
αβ
+
+ +
+
⇔ = ⋅ ⇔ �
2 2
2 2 2
γ β γ(α β)2
α β (α β) (α β) γ
+⇔ = ⋅ ⇔
+ + + �
γ 0
2 2 2
γ γ(α β)2
α α 2αβ β γ
≠+⇔ = ⋅
+ + +
⇐⇒ �
2 2 2
1 2(α β)
α α 2αβ β γ
+⇔ = ⇔
+ + +
�
⇔��α2�+�2αβ�+�β
2�+�γ
2�=�2α
2�+�2αβ��⇔��β
2�+�γ
2�=�α
2�
Στο�τρίγωνο�λοιπόν�ΑΒΓ�ισχύει�το�Πυθαγόρειο�θεώρη-�
µα,�οπότε�αυτό�είναι�ορθογώνιο.�
33/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
325�
17.61� Η�παρένθεση�στο�α΄�µέλος�δίνει�τελικά:�
( )α β (α β)
α β
− −
+
�
17.62� Είναι:�
( )( )16 16 81 α 1 α 1 α κ.λπ.+ − = − �
17.63� Πρέπει:�
x�–�6�≥�0,���x�+�6�≥�0���και���6�–�x�≥�0�
οπότε��x�=�6.
��Το�
�x�=�6
��ικανοποιεί�την�εξίσωση.�
Απ:��x�=�6�
17.64� α)� Με�ισοδυναµίες.�
β)� Είναι:�
2 2α β 2 2αβ 2 2(αβ 1) 4 αβ+ + ≥ + = + ≥ �
λόγω�του�ερωτήµατος�(α).�
γ)� Είναι:�
2 2 2 2α β 2 4 αβ, β γ 2 4 βγ+ + ≥ + + ≥ �
και�
2 2γ α 2 4 γα+ + ≥ �
Προσθέτουµε�κατά�µέλη.�
17.65� α)� Έχουµε:�
( )5 4 1 4 4 45
55 5 55 5 5 5 5 5 5α 5 5 5 5 5
⋅ ⋅
= = = = = �
διότι�5 5x x= �και�γενικά� νν
γ γ,= �αν��γ�≥�0.�
β)� Εργαζόµαστε�όπως�στο�ερώτηµα�(α).�Έτσι:�
( )7 6 7 6 67
77 77 7 7 7β 7 7 7 7⋅
= = = = �
γ)� Είναι:�
( )3
33 5 3 5 58
88 8 8 8 8γ 8 8 8
⋅
= = = �
δ)� Είναι:�
( )8 7 7 76
66 66 6 6 6 6δ 5 5 5 5
⋅
= = = = �
17.66� Επειδή�η�τάξη�της�ρίζας�είναι�3�και:�
23�=�8,���3
3�=�27,���4
3�=�64���και���5
3�=�125�
Προσπαθούµε�να�γράφουµε�τα�υπόρριζα�(40,�135,�320)�
ως�γινόµενο�παραγόντων,�από�τους�οποίους�ο�ένας�του-�
λάχιστον�παράγοντας�να�είναι�κάποιος�από�τους�8,�27,�
64,�125�κ.λπ.�(Αυτή�είναι�µια�γενική�τακτική�που�ακο-�
λουθούµε�σε�ανάλογα�θέµατα.)�Είναι�όµως:�
40�=�5�⋅�8,���135�=�5
�⋅�27���και���320�=�5
�⋅�64�
Εποµένως:�
3 3 3 3A 5 8 4 5 27 3 5 64 5 5 125= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = �
3 3 3 3 3 3 3 3 35 8 4 5 27 3 5 5 64 5 5 125= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = �
3 3 3 35 2 4 5 3 3 5 4 5 5 5= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = �
3 3 3 3 3 3 32 5 12 5 12 5 25 5 26 5 25 5 5= + + − = − = �
∆ηλαδή�είναι� 3A 5.= �
17.67� Θα�προσπαθήσουµε�να�δηµιουργήσουµε�ριζικά�
µε�την�ίδια�τάξη.�Επειδή��ΕΚΠ(3,�4)�=�12,
��γράφουµε:�
♦�3 4 124 63 12
α 4 4 4 256⋅
= = = = �
♦�4 3 34 12β 3 3 27⋅
= = = �
Επειδή�τώρα��256�>�27,
��θα�είναι�και�
�α�>�β.
��Πραγµατικά�
είναι:�
( ) ( )12 12
12 1212 12α 256 256 και β 27 27= = = = �
και�επειδή��α12�>�β
12��θα�είναι�α�>�β�διότι�
�α,�β�>�0.�
17.68� Επειδή�το�πρώτο�µέλος:�
( )( )A 2 3 6 2 2 3= − − + �
θέλουµε�να�δώσει�2,�σκεφτόµαστε�ότι�το�Α2�πρέπει�να�
είναι�ίσο�µε�4.�Έτσι:�
( )( )2
2A 2 3 6 2 2 3
= − − + = �
( ) ( ) ( )2
2 2
2 3 6 2 2 3= − − + = �
( )( )( )2 3 6 2 2 12 4 3 4 3= − + − + + = �
( )( )( )2 3 8 4 3 7 4 3= − − + = �
( )( )( )4 2 3 2 3 7 4 3= − − + = �
( )( )4 4 3 4 3 7 4 3= + − + = �
( )( ) ( )2
24 7 4 3 7 4 3 4 7 4 3
= − + = − = �
=�4(49�–�16�⋅�3)�=�4
�⋅�1�=�4�
Άρα��Α
2�=�4,
��οπότε�
�Α�=�2
��(αφού�
�Α�>�0).�
34/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
326� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�
Άλλος�τρόπος�
Είναι:�
( )( )6 2 2 3 2 6 18 2 2 6− + = + − − = �
( )2
6 3 2 2 2 6 2 6 2= + − = + = + = �
6 2 2 12 8 4 3 2 2 3= + + = + = + �
Άρα�το�πρώτο�µέλος�δίνει:�
( )( )2 2 3 2 3 2 2 3 2 3− ⋅ + = − + = �
2 4 3 2 1 2= − = ⋅ = �
Άλλος�τρόπος�
Είναι:�
♦� ( )6 2 3 2 2 2 3 1− = ⋅ − = − �
♦� ( ) ( )2 3 6 2 2 3 2 3 1− − = − ⋅ − = �
� ( ) ( )4 2 3 3 1 3 1 2 3 3 1= − − = + − − = �
� ( ) ( ) ( )2 2
3 1 3 1 3 1 3 1 2 3= − − = − = + − = �
� ( )4 2 3 2 2 3 (1)= − = − �
Άρα:�
( )( ) (1)
2 3 6 2 2 3− − + == �
( )( ) ( )2
22 2 3 2 3 2 2 3 2(4 3) 2 = − + = − = − = �
17.69� α)� Θα�εργαστούµε�µε�τη�µέθοδο�των�ισοδυνα-�
µιών.�Είναι:�
2(α2�+�β
2)�≥�(α�+�β)
2��⇔��2α
2�+�2β
2�≥�α
2�+�2αβ�+�β
2��⇔�
⇔��α2�–�2αβ�+�β
2�≥�0��⇔��(α�–�β)
2�≥�0�
η�οποία�ισχύει.�
β)� Θα�βασιστούµε�στο�πρώτο�ερώτηµα.�Θέτουµε:�
2004 x α και 2004 y β+ = + = �
Εποµένως:�
♦� α β 2004 x 2004 y 2 2004 ω+ = + + + = + �
♦� ( ) ( )22
2 2α β 2004 x 2004 y+ = + + + = �
��=�2
�⋅�2004x�+�y�
♦� 2 2 22(α β ) (α β) 2(2 2004 x y)+ ≥ + ⇔ ⋅ + + ≥ �
� ( )2
2 2004 ω 4 2004 2(x y) 4(2004 ω)≥ + ⇔ ⋅ + + ≥ + ⇔�
��⇔��4
�⋅�2004�+�2(x�+�y)�≥�4
�⋅�2004�+�4ω��⇔�
��⇔��2(x�+�y)�≥�4ω��⇔��x�+�y�≥�2ω�
Η�ισότητα�ισχύει�µόνο�αν��α�=�β,
��δηλαδή�αν�
�x�=�y�=�ω.�
17.70� Για�να�ορίζονται�τα�ριζικά�πρέπει:�
x 2 0 x 2
x 6 0 x 6 x 2
2 x 0 x 2
− ≥ ≥
+ ≥ ⇔ ≥ − ⇔ = − ≥ ≤
�
Η�µοναδική�λοιπόν�–�πιθανή�–�ρίζα�της�εξίσωσης�είναι�
�x�=�2.
��Με�µια�απλή�δοκιµή�διαπιστώνουµε�ότι�το�
�x�=�2�
είναι� πραγµατική� ρίζα� της� εξίσωσης� αυτής,� αφού� για�
x�=�2��παίρνουµε:�
3x 2 x 6 2 x− + + + − = �
30 8 0 0 2 0 2= + + = + + = �
17.71� Θέτουµε� 35 α,= �οπότε� 23
25 α .= �Έτσι�το�α΄�
µέλος�γίνεται:�
2 2
2
3 α 2α α 4: 2 α
2 α 2 α α 2 α 2α
− + + + ⋅ = + + − +
�
2 23 4 2α α α 2α 2α (α 2)(α 2):
2 α 2 α α 2 α(α 2)
+ + − + − +
= + ⋅ =
+ + − +
�
2
2
3 2 α α α 2
2 α α 2α 4 α 2 α
+ −= ⋅ + ⋅ =
+ + + −
�
2 2
3 3(α 2)α α
α 2α 4 (α 2α 4)(α 2)
−
= + = + =
+ + + + −
�
( )33
3
3(α 2) 3(α 2) 3(α 2)α α α
α 8 35 8
− − −
= + = + = + =
− −−
�
=�-α�+�2�+�α�=�2�
17.72� Θέτουµε�για�ευκολία� 3 3x α, y β= = �και�παίρ-�
νουµε:�
♦��x�=�α
3,��y�=�β
3�
♦�3 4 3
3
3 2 233
x 8y x yA : 1 2
xx 2 xy 4 y
−= − = + +
�
�( )
( ) ( )
43 3 3
22 33 3 3 3
yx 8y x: 1 2
xx 2 x y 4 y
−= − =
+ ⋅ +�
�4 3 3 3
2 2 2 2
α 8β α β α(α 8β ) α 2β: 1 2 :
α 2αβ 4β α α 2αβ 4β α
− − − = − ⋅ = = + + + +
�
35/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
327�
�2 2
2 2
α(α 2β)(α 2αβ 4β ) α
α 2αβ 4β α 2β
− + +
= ⋅ =
+ + −
�
� ( )2 2 2
232 23
2 2
α (α 2β)(α 2αβ 4β )α x x
(α 2αβ 4β )(α 2β)
− + +
= = = =
+ + −
�
17.73� Πολλαπλασιάζουµε�µε�τους�συζυγείς�των�παρο-�
νοµαστών�και�παίρνουµε:�
2 2
2 4 2 2 2
x x x 1 x x 1
x 1 x x 1 x x 1 x x 1
+ + − − +
⋅ =
+ − + + + + + − +
�
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 4 2 2 2
2 2 2
2 2 4 2 2 2
x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
(x 1) x x 1 x x 1 x x 1
+ + + + + + − − +
= ⋅ =
+ − + + + + − − +
�
( )2 4 2
4 2 4 2
x x 1 x x 1
x 2x 1 x x 1
+ + + +
= ⋅
+ + − − −
�
( ) ( )2 2
2 2 2 2
2 2
x x 1 2 (x x 1)(x x 1) x x 1
x x 1 (x x 1)
+ + − + + − + + − +
⋅ =
+ + − − +
�
( )2 4 2
2
x x 1 x x 1
x
+ + + +
= ⋅ �
2 4 3 2 3 2 2 2x x 1 2 x x x x x x x x 1 x x 1
2x
+ + − − + + − + + − + + − +
= = �
2 4 2 2 4 2x 1 x x 1 x 1 x x 1
x x
+ + + + + − + +
= ⋅ = �
( )2
2 2 4 2
2
(x 1) x x 1
x
+ − + +
= = �
4 2 4 2 2
2 2
x 2x 1 x x 1 x1
x x
+ + − − −= = = �
17.74� α)� Με�πράξεις�παίρνουµε��(α�–�β)
2�≥�0,
��που�
ισχύει.�
β)� Είναι:�
2 2 2(α)
4 4 2 2 2 2 (α β )α β (α ) (β )
2
++ = + ≥ = �
2 2
2 2 2 2 2 2α β 2αβ(α β ) (α β ) αβ(α β )
2 2
+= + ≥ + = + �
γ)� Με�εφαρµογή�του�ερωτήµατος�(β).�
17.75� α)� Υψώνουµε�στο�τετράγωνο.�
β)� Όµοια.�
γ)� Η�ανίσωση�γράφεται:�
αβ(α�+�β)�+�(α�+�β)�≥�4αβ��⇔��(α�+�β)(αβ�+�1)�≥�4αβ�
Εφαρµόζουµε�τώρα�τα�ερωτήµατα�(α)�και�(β).�
17.76� α)� Με�βάση�τις�ανισότητες:�
α2�+�β
2�≥�2αβ,���β
2�+�γ
2�≥�2βγ���και���γ
2�+�α
2�≥�2γα�
Άλλος�τρόπος�
Είναι:�
x2�+�y
2�+�ω
2�–�xy�–�yω�–�ωx�=�
2 2 21
(x y) (y ω) (ω x) 02 = − + − + − ≥ �
β)� Γίνεται�ισοδύναµη�µε�την�ανισότητα:�
α4�+�β
4�+�γ
4�≥�αβγ(α�+�β�+�γ)�
Σύµφωνα�µε�το�ερώτηµα�(α)�έχουµε:�
α4�+�β
4�+�γ
4�≥�α
2β2�+�β
2γ2�+�γ
2α2�=�
=�(αβ)2�+�(βγ)
2�+�(γα)
2�=�
=�αβ�⋅�βγ�+�βγ
�⋅�γα�+�γα
�⋅�αβ�=�αβγ(α�+�β�+�γ)�
17.77� α)� Είναι�ισοδύναµη�µε�την� ( )2
α β 0,− ≥ �που�
ισχύει.�Είναι:�
α2�+�β
2�≥�2αβ,���β
2�+�γ
2�≥�2βγ���και���γ
2�+�α
2�≥�2γα�
Προσθέτουµε�κατά�µέλη.�
β)� Αρκεί:�
2
2 2 2 (α β γ)α β γ
3
+ ++ + ≥ �
αφού��1�=�(α�+�β�+�γ)
2.��Αυτή�γίνεται:�
α2�+�β
2�+�γ
2�≥�αβ�+�βγ�+�γα,��ισχύει�
γ)� Είναι:�
α�+�βγ�=�1�–�β�–�γ�+�βγ�=�…�=�
=�(1�–�β)(1�–�γ)�=�(α�+�γ)(α�+�β)�≥�
2 αγ 2 αβ 4α βγ κ.λπ.≥ − = �
17.78� α)� Με�ισοδυναµίες.�
β)� Είναι:�
♦��αβ�+�βγ�+�γδ�+�δα�=�…�=�(α�+�γ)(β�+�δ)�
♦�2 2
2 2 2 2 (α γ) (β δ)(α γ ) (β δ )
2 2
+ ++ + + ≥ + ≥ �
�2(α γ)(β δ)
(α γ)(β δ)2
+ +≥ = + +
��διότι�
�x2�+�y
2�≥�2xy.�
36/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
328� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�
17.79� Προφανώς:�
x2�–�αβ�>�0,���x
2�–�α
2�>�0,���x
2�–�β
2�>�0�
Το�β΄�µέλος�γράφεται:�
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
α(x β ) β(x α ) (α β)(x αβ)
(x α )(x β ) (x α )(x β )
− + − + −
=
− − − −
�
και�η�ανισότητα,�µετά�τις�απλοποιήσεις,�γίνεται:�
x2(α�–�β)
2�≥�0,��που�ισχύει�
17.80� α)� Η�ανισότητα�ισοδύναµα�γίνεται:�
2 2α βγ β γαβ α 0
β γ γ α
+ +− + − ≥ ⇔
+ + �
2 2 2 2α β β α0
β γ γ α
− −⇔ + ≥ ⇔
+ +
�
2 2 1 1(α β ) 0
β γ γ α
⇔ − − ≥ ⇔
+ + �
⇔��(α2�–�β
2)(α�–�β)�≥�0��⇔��(α�–�β)
2(α�+�β)�≥�0�
β)� Με�κυκλική�εφαρµογή�του�ερωτήµατος�(α).�
γ)� Είναι�ισοδύναµη�µε�την:�
α3�+�β
3�≥�αβ(α�+�β)��⇔�
⇔��(α�+�β)(α2�–�αβ�+�β
2)�≥�αβ(α�+�β)��⇔�
⇔��(α�–�β)(α�–�β)2�≥�0,��που�ισχύει�
δ)� Το�α΄�µέλος�γράφεται:�
2 2 2 2 2 2α β β γ γ α
2β 2α 2γ 2β 2α 2γ
+ + + + + ≥
�
α β β γ γ αα β γ
2 2 2
+ + +≥ + + = + + �
17.81� α)� Γίνεται:�
x3�+�y
3�≥�xy(x�+�y)��⇔��…��⇔��(x�+�y)(x�–�y)
2�≥�0�
που�ισχύει.�
β)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�είναι:�
2 2 2 2 2 2x y y ω ω x
y x ω y x ω
+ + + + + ≥
�
≥��(x�+�y)�+�(y�+�ω)�+�(ω�+�x)��⇔�
2 2 2 2 2 2x x y y ω ω2(x y ω)
y ω ω x x y
⇔ + + + + + ≥ + + ⇔
�
2 2 2x (y ω) y (ω x) ω (x y)2(x y ω)
yω ωx xy
+ + +⇔ + + ≥ + + �
17.82� α)� Γίνεται��(x�+�y)(x�–�y)2�≥�0,��που�ισχύει.�
β)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�το�α΄�µέλος�είναι�µεγαλύ-�
τερο�ή�ίσο�από�xy yω ωx
.3xyω
+ +
�Αρκεί:�
xy yω ωx 3
3xyω x y ω
+ +≥ ⇔
+ +
�
1 1 1(x y ω) 9
x y ω
⇔ + + + + ≥ ⇔ … ⇔
�
x y y ω ω x6, που ισχύει
y x ω y x y
⇔ + + + + + ≥
�
17.83� α)� Είναι�ισοδύναµη�µε�την� ( )2
α β 0,− ≥ �που�
ισχύει.�
β)� Είναι:�
1�+�x�=�(x�+�y�+�ω)�+�x�=�(x�+�y)�+�(x�+�ω)�=�
(1 ω) (1 y) 2 (1 ω)(1 y)= − + − ≥ − − �
Όµοια:�
1 y 2 (1 x)(1 ω) και 1 ω 2 (1 x)(1 y)+ ≥ − − + ≥ − − �
Πολλαπλασιάζουµε�και�τις�τρεις�σχέσεις�κ.λπ.�
17.84� Ισχύει�ότι:�
αβ α β βγ β γ γα γ α, και
α β 4 β γ 4 γ α 4
+ + +≤ ≤ ≤
+ + +
�
Προσθέτουµε�κατά�µέλη�κ.λπ.�
17.85� α)� Είναι:�
♦� α�+�β�+�γ�=�1��⇔��α�=�1�–�β�-�γ�
♦� α�+�βγ�=�1�–�β�–�γ�+�βγ�=�1�–�β�–�γ(1�–�β)�=�
� =�(1�–�β)(1�–�γ)��κ.λπ.�
β)� i)� Ισοδύναµα�γίνεται��(α�–�β)
2�≥�0,
��που�ισχύει.�
ii)� Είναι:�
1�–�α�=�β�+�γ,���1�–�β�=�γ�+�α���και���1�–�γ�=�α�+�β�
και�από�το�ερώτηµα�(α)�το�α΄�µέλος�γίνεται:�
(i)2 2 2(α βγ)(β γα)(γ αβ) (α β) (β γ) (γ α)+ + + = + + + ≥ �
≥�4αβ�⋅�4βγ
�⋅�4γα�=�64α
2β2γ2�
37/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
329�
γ)� Είναι:�
(α)1 1 1
α βγ β γα γ αβ+ + ==…=
+ + +
�
1 1 1
(α β)(α γ) (β γ)(β α) (γ α)(γ β)= + + =…=
+ + + + + +
�
2(α β γ)
(α β)(β γ)(γ α)
+ +
=
+ + +
�
Όµως:�
♦��α�+�β�+�γ�=�1�
♦� (α β)(β γ)(γ α) 2 αβ 2 βγ 2 γα 8αβγ+ + + ≥ ⋅ ⋅ = �
διότι:�
2(α β) 4αβ α β 2 αβ κ.λπ.+ ≥ ⇔ + ≥ �
17.86� α)� Είναι�ισοδύναµη�µε�την�ανισότητα:�
2α αγ αβ βγ αβ αγ 2α βγ+ + + ≥ + + ⇔ �
( )2
2α 2α βγ βγ 0 α βγ 0⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ �
που�ισχύει.�
β)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�έχουµε�τη�συνθήκη:�
αβγ�=�1�
17.87� α)� Είναι:�
♦�2 2 2 2α β α β
α βα β α β α β
−
− = = −
+ + +
�
♦�2 2 2 2β γ γ α
β γ, γ αβ γ β γ γ α γ α
− = − − = −
+ + + +
�
Προσθέτουµε�κατά�µέλη�κ.λπ.�
β)� Αρκεί��2(α
2�+�β
2)�≥�(α�+�β)
2��κ.λπ.�
γ)� Από�το�ερώτηµα�(α)�παίρνουµε:�
2 2 2 2 2 2 2 2 2α β γ 1 α β β γ γ α
α β β γ γ α 2 α β β γ γ α
+ + ++ + = + + ≥
+ + + + + + �
1 α β β γ γ α α β γ
2 2 2 2 2
+ + + + + ≥ + + =
�
Σχόλιο�
Αν��x�=�y,
��τότε�
1x (x y).
2= + �Έτσι�αν�Α�και�Β�είναι�τα�
δύο�µέλη�στο�ερώτηµα�(α),�τότε��Α�=�Β
��και�συνεπώς:�
1A (A B) κ.λπ.
2= + �
17.88� α)� Γίνεται:�
βγα βγ α 2 βγ
α+ ≥ + + ⇔ �
1 1βγ βγ 1 2 βγ
β γ
⇔ ≥ − − + ⇔ … ⇔
�
( )2
β γ 2 βγ 0 β γ 0, που ισχύει⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ �
β)� Η�υπόθεση�δίνει:�
1 1 1αβγ αβγ
α β γ
+ + = ⇔
�
βγ γα αβαβγ (1)
α β γ⇔ + + = �
Εφαρµόζουµε�τώρα�το�ερώτηµα�(α)�τρεις�φορές�(κυκλι-�
κά)�και�προσθέτουµε�κατά�µέλη.�Με�βάση�τη�σχέση�(1)�
παίρνουµε�τη�ζητούµενη.�
17.89� α)� Είναι:�
♦� x2�+�1�≥�2x,
��οπότε�
�x3�+�x�≥�2x
2.�
♦� y2�+�1�≥�2y,
��οπότε�
�y4�+�y
2�≥�2y
3.�
Με�πρόσθεση�παίρνουµε:�
x3�+�y
4�+�x�+�y
2�≥�2(x
2�+�y
3)�
Αλλά��x2�+�y
3�≥�x
3�+�y
4.��Με�πρόσθεση�προκύπτει:�
x�+�y2�≥�x
2�+�y
3�
β)� Είναι:�
(α)2 4 2 2(x 1) (y 1) 2x 2y 2(x y )+ + + ≥ + = + ≥ �
≥�2(x2�+�y
3)�=�(x
2�+�y
3)�+�(x
2�+�y
3)�≥�x
2�+�y
3�+�x
3�+�y
4�
Άρα��2�≥�x
3�+�y
3.�
17.90� Η�ανισότητα�γίνεται:�
2α4�+�2α
2β2�+�2β
4�≥�3α
3β�+�3αβ
3��⇔�
⇔��(2α4�–�2α
3β)�+�(2β
4�–�2αβ
3)�≥�α
3β�+�αβ
3�–�2α
2β2��⇔�
⇔��2α3(α�–�β)�–�2β
3(α�–�β)�≥�αβ(α
2�+�β
2�–�2αβ)��⇔�
⇔��2(α�–�β)(α3�–�β
3)�–�αβ(α�–�β)
2�≥�0��⇔�
⇔��2(α�–�β)2(α
2�+�αβ�+�β
2)�–�αβ(α�–�β)
2�≥�0��⇔��…��⇔�
2 2 2 2(α β) 0(α β) (α αβ β⇔ − ≥ + + − + �
που�ισχύει�
38/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
330� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�
17.91� Είναι:�
♦� α(β2�+�γ
2)�≥�α(2βγ)�=�2αβγ�≥�0�
♦� β(γ2�+�α
2)�≥�2αβγ�≥�0�
♦� γ(α2�+�β
2)�≥�2αβγ�≥�0�
Πολλαπλασιάζουµε�κατά�µέλη.�
17.92� Υψώνουµε�στο�τετράγωνο�και�παίρνουµε:�
( )2
αδ βγ 2 αβγδ 0 αδ βγ 0, που ισχύει+ − ≥ ⇔ − ≥ �
17.93� α)� Με� ισοδυναµίες� γίνεται� ( )2
x y 0,− ≥ � που�
ισχύει.�
β)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�έχουµε:�
β αβ γ βγ α γαα 2 , β 2 και γ 2
γα γα αβ αβ βγ βγ+ ≥ + ≥ + ≥ �
Πολλαπλασιάζουµε�κατά�µέλη.�
17.94� Είναι:�
♦� (α β) γ 2 αβ γ 2 αβγ,+ ≥ ⋅ = �
� διότι� α β 2 αβγ.+ ≥ �
♦� (β γ) α 2 αβγ, (γ α) β 2 αβγ+ ≥ + ≥ �
Προσθέτουµε�κατά�µέλη�κ.λπ.�
17.95� α)� Ισοδύναµα�γίνεται:�
4αβ�≤�(α�+�β)2��⇔��…��⇔��(α�–�β)
2�≥�0,��που�ισχύει�
β)� Με�εφαρµογή�του�ερωτήµατος�(α)�τρεις�φορές�και�
πρόσθεση�κατά�µέλη.�
17.96� Σε� τέτοιου�είδους�θέµατα�βασιζόµαστε�σε�κά-�
ποια�απλή,�πιθανόν�βασική�ανισότητα.�
Είναι:�
(α�–�β)2�≥�0��⇔��α
2�–�2αβ�+�β
2�≥�0��⇔�
⇔��α2�+�β
2�≥�2αβ��⇔��α
2�+�αβ�+�β
2�≥�3αβ�>�0��⇔�
2 2
1 1
α αβ β 3αβ⇔ ≤
+ +
�
Ισχύουν�λοιπόν�οι�ανισότητες:�
2 2 2 2
1 1 1,
α αβ β 3αβ β βγ γ≤
+ + + +
�
2 2
1 1και
γ γα α 3γα≤
+ +
�
Οι�σχέσεις�αυτές�µε�πρόσθεση�δίνουν:�
2 2 2 2 2 2
1 1 1
α αβ β β βγ γ γ γα α+ + ≤
+ + + + + +
�
1 1 1
3αβ 3βγ 3γα≤ + + �
Όµως:�
♦��α�+�β�+�γ�=�3�
♦�1 1 1 γ α β α β γ 3 1
3αβ 3βγ 3γα 3αβγ 3αβγ 3αβγ αβγ
+ + + +
+ + = = = = �
Άρα:�
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
α αβ β β βγ γ γ γα α αβγ+ + ≤
+ + + + + +
�
17.97� α)� Είναι�η��(α�–�β)2�≥�0,��που�ισχύει.�
β)� Είναι:�
α2�+�β
2�≥�2αβ,���β
2�+�γ
2�≥�2βγ�
και�
γ2�+�α
2�≥�2γα�
Προσθέτουµε�κατά�µέλη�κ.λπ.�
Άλλος�τρόπος�
Πολλαπλασιάζουµε�µε�2�και�η�ανισότητα�είναι� ισοδύ-�
ναµη�µε�την��(α�–�β)
2�+�(β�–�γ)
2�+�(γ�–�α)
2�≥�0,
��που�ισχύει.�
γ)� Ισοδύναµα�γίνεται:�
(α�–�1)2�+�(β�–�2)
2�≥�0,���που�ισχύει�
δ)� Ισοδύναµα�γίνεται:�
(α�–�β)2�+�(β�–�γ)
2�+�(γ�–�α)
2�≥�0,���που�ισχύει�
17.98� Με�τη�µέθοδο�των�ισοδυναµιών.�
17.99� α)� ii),� iii)�Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�(i),�που�
είναι�απλό.�
β)� ii)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(β)�(i),�που�είναι�απλό.�
39/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
331�
17.100� α)� ii)�Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�(i)�που�είναι�
απλό�(και�βασικό).�
β)� ii)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(β)�(i),�αφού:�
♦��α3�+�β
3�+�αβγ�≥�αβ(α�+�β)�+�αβγ�=�αβ(α�+�β�+�γ)�
♦�3 3
1 1
α β αβγ αβ(α β γ)≤
+ + + +
�κ.λπ.�
γ)� ii)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(γ)�(i)�που�είναι�απλό.�
δ)� ii)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(δ)�(i)�που�είναι�απλό.�
ε)� Είναι:�
♦��α3�+�β
3�+�γ
3�–�3αβγ�=�
� 2 2 21(α β γ) (α β) (β γ) (γ α) 0
2 = + + − + − + − ≥ �
� αφού��α�+�β�+�γ�>�0
��και�η�αγκύλη�δεν�είναι�αρνητική.�
♦� Στο�πρώτο�σκέλος�βάζουµε�αντί�α,�β�και�γ�τα� 3α, �
� 3 3β και γ. �Πρόκειται�για�σηµαντική�ανισότητα.�
17.101� α)� Το�ερώτηµα�(i)�είναι�απλό.�Το�ερώτηµα�
(ii)�µε�βάση�το�(i)�δίνει:�
[ ]22 2 2 2 2(i) (x y) ωx y ω (x y) ω
κ.λπ.α β γ α β γ (α β) γ
+ +++ + ≥ + ≥
+ + + �
β)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�(ii).�
γ)� Το�α΄�µέλος�µε��1�=�1
2��και�την�(α)�(ii)�δίνει:�
2
2 2 2
(1 1 1) 9 9
3 (αβ βγ γα) 3 (α β γ ) 6
+ +…≥ ≥ =
+ + + + + +
�
αφού:�
α2�+�β
2�+�γ
2�≥�αβ�+�βγ�+�γα��⇔�
2 2 2
1 1
3 αβ βγ γα 3 α β γ⇔ ≤
+ + + + + +
�
δ)� Το�πρώτο�µέλος�γράφεται:�
2 2 2 2α β γ (α β γ)1
αβ 2γα γβ 2αβ αγ 2βγ 3(αβ βγ γα)
+ ++ + ≥ ≥
+ + + + +
�
αφού:�
(α�+�β�+�γ)2�≥�3(αβ�+�βγ�+�γα)�
σύµφωνα�µε�το�(α)�(ii).�
ε)� Το�α΄�µέλος:�
2 33 αβγ(α β γ) α β γ 3
2(α β γ) 2 2 2
+ + + +…≥ = ≥ =
+ +
�
σύµφωνα�µε�το�(α)�(ii).�
στ)�Το�α΄�µέλος:�
2 2(α β) x
α β 2 x 2
+…≥ =
+ − −
�
όπου��x�=�α�+�β.�
�Αλλά:�
2
2 2x8 x 8x 16 0 (x 4) 0
x 2≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
−
�
που�ισχύει.�
ζ)� Είναι�δύσκολο,�αφού�είναι�θέµα�της�∆ιεθνούς�Μα-�
θηµατικής�Ολυµπιάδας�του�1995.�
Θέτουµε:�
1 1 1α , β και γ
x y ω= = = �
οπότε��xyω�=�1
��και�καταλήγουµε�στο�ερώτηµα�(ε).�
η)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�(ii).�
17.102� α),�β)� Με�ισοδυναµίες.�
γ)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(β).�
Άλλος�τρόπος�
Με�βάση�το�ερώτηµα�(α).�
Έστω�Α�το�α΄�µέλος.�Τότε:�
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
α (α β ) β βα β
α αβ β α αβ β α αβ β
− += =…= − +
+ + + + + +
�
Ονοµάζουµε�Α�το�α΄�µέλος,�οπότε:�
2Α�=�Α�+�Α�=�(αρχικό�α΄�µέλος)�+�(νέο�α΄�µέλος)�=�
3 3 3 3 3 3(α)
2 2 2 2 2 2
α β β γ γ α0
α αβ β β βγ γ γ γα α
+ + += + + + ≥
+ + + + + +
�
α β β γ γ α 2(α β γ)
3 3 3 3
+ + + + +≥ + + = �
αφού:�
3 3
2 2
α β α β
α αβ β 3
+ +≥
+ +
�
από�το�ερώτηµα�(α).�
40/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
332� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�
17.103� α)� Αρκεί��αβ�–�1�≤�0�⇔�αβ�≤�1.��Αλλά�
�β�=�2�–�α,�
οπότε:�
αβ�≤�1��⇔�α(2�–�α)�≤�1��⇔��(α�–�1)2�≥�0,��ισχύει�
β)� Αρκεί:�
α2�+�β
2�–�2�≥�0�⇔�α
2�+�β
2�≥�2�
Όµως��β�=�2�–�α,
��οπότε:�
α2�+�β
2�≥�2��⇔��α
2�+�(2�–�α)
2�≥�2��⇔�
⇔��2α2�–�4α�+�2�≥�0��⇔��(α�–�1)
2�≥�0,��ισχύει�
Η�ισότητα�ισχύει�όταν��α�=�β�=�1.�
17.104� Μετά�τις�πράξεις�ισοδύναµα�παίρνουµε:�
2 2
3 3α βα β α β αβ(α β)
β α+ ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ … ⇔ �
⇔��(α�+�β)(α�–�β)2�≥�0,��ισχύει�
Η�ισότητα�ισχύει�µόνο�αν��α�=�β.�
17.105� α)� Προκύπτει�η�ισοδύναµη�ανισότητα:�
(α�–�β)2�≥�0,��ισχύει�
β)� Είναι��1�=�α�+�β�+�γ,
��οπότε�παίρνουµε:�
α β γ α β γ α β γ9
α β γ
+ + + + + ++ + ≥ ⇔ … ⇔ �
α β β γ γ α6
β α γ β α γ
⇔ + + + + + ≥
�
που�ισχύει�λόγω�του�ερωτήµατος�(α).�
17.106� α)� Παίρνουµε��(α�–�1)2�+�1�>�0,��που�ισχύει.�
β)� Παίρνουµε��(α�–�3)
2�+�1�>�0,
��που�ισχύει.�
γ)� Παίρνουµε:�
(α2�–�2α�+�1)�+�(α
2�–�4α�+�4)�>�0��⇔�
⇔��(α�–�1)2�+�(α�–�2)
2�>�0,��ισχύει�
∆εν�γίνεται�συγχρόνως��α�–�1�=�0
��και�
�α�–�2�=�0,
��οπότε�
το�ίσον�µε�µηδέν�δεν�µπορεί�να�συµβεί.�
17.107� α)� Είναι:�
Α(α,�β)�=�α3�+�2β
3�–�3αβ
2�=�(α
3�–�αβ
2)�+�(2β
3�–�2αβ
2)�=�
=�α(α2�–�β
2)�–�2β
2(α�–�β)�=�
=�α(α�–�β)(α�+�β)�–�2β2(α�–�β)�=�(α�–�β)(α
2�+�αβ�–�2β
2)�=�
2 2 2(α β) (α β ) (αβ β ) = − − + − = �
[ ](α β) (α β)(α β) β(α β)= − − + + − = �
=�(α�–�β)(α�–�β)(α�+�β�+�β)�=�(α�–�β)2(α�+�2β)�
β)� Επειδή��α,�β�≥�0
��θα�είναι�
�α�+�2β�≥�0.
��Είναι�όµως�
(α�–�β)2�≥�0
��για�κάθε�
�α,�β
�∈
�R
��και�έτσι:�
(α�+�2β)(α�–�β)2�≥�0�
Σύµφωνα�λοιπόν�µε�το�ερώτηµα�(α)�είναι:�
α3�+�2β
3�–�3αβ
2�=�(α�+�2β)(α�–�β)
2�≥�0�
Εποµένως��α3�+�2β
3�≥�3αβ
2.�
17.108� α)� Είναι:�
♦�
2
2 1 3α α 1 α 0
2 4
− + = − + >
�
♦�
2
2 1 3α α 1 α 0
2 4
+ + = + + >
�
β)� Είναι:�
α7�+�1�≥�α
6�+�α��⇔��α
6(α�–�1)�–�(α�–�1)�≥�0��⇔��…��⇔�
⇔��(α�–�1)2(α�+�1)(α
2�+�α�+�1)(α
2�–�α�+�1)�≥�0�
που�ισχύει.�
17.109� Είναι�ισοδύναµη�µε�την��xy�≤�1,��που�ισχύει.�
17.110� α)� Με�ισοδυναµίες�προκύπτει:�
(α�+�β)(α2�+�αβ�+�β
2)(α�–�β)
2�≥�0�
β)� i)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�είναι:�
5 5 2 2
αβ αβ 1
α β αβ α β (α β) αβ αβ(α β) 1≤ = =
+ + + + + +
�
αβγ γ
αβ(α β) αβγ α β γ= =
+ + + +
�
ii)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(i).�(Το�ερώτηµα�είχε�προτα-�
θεί�στη�∆.Μ.Ο.�–�1996.)�
17.111� Είναι:�
α�+�βγ�=�α(α�+�β�+�γ)�+�βγ�=�α2�+�αβ�+�αγ�+�βγ�=�
=�α(α�+�β)�+�γ(α�+�β)�=�(α�+�β)(α�+�γ)�
Απ:��Α�=�(α�+�β)(β�+�γ)(γ�+�α)�
∈�
Q�
41/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
333�
Άλλος�τρόπος�
Είναι:�
♦� α�=�1�–�β�-�γ�
♦� α�+�βγ�=�1�–�β�–�γ�+�βγ�=�1�–�β�–�γ(1�–�β)�=�
� =�(1�–�β)(1�–�γ)�
Απ:��Α�=�(1�-�β)(1�-�γ)(1�-�α)�
∈�
Q�
17.112� α)�Με�τη�βοήθεια�πίνακα�προσήµου.�
Απ:��
∈ ∈ ∞
-2x + 2, αν x < -1
A(x) = 4, αν x [-1, 3]
2x - 2, αν x (3, + )
�
β)� x�=�2��ή�
�x�=�4� � � γ)� x
�∈
�[2,�4]�
17.113� Παίρνουµε:�
β(α�+�γ)�=�2�+�γ(α�+�γ)��⇔��(α�+�γ)(β�–�γ)�=�2�
Όµως�οι�µοναδικοί�ακέραιοι�µε�γινόµενο�2�είναι�οι�–1,�
-2�ή�οι�1�και�2.�Άρα:�
(α�+�γ�=�-1���και���β�–�γ�=�-2)�
ή�
(α�+�γ�=�-2���και���β�–�γ�=�-1)�
ή�
(α�+�γ�=�1���και���β�–�γ�=�2)�
ή�
(α�+�γ�=�2���και���β�–�γ�=�1)�
Με�πρόσθεση�κατά�µέλη�των�δύο�σχέσεων�(στην�κάθε�
περίπτωση)�παίρνουµε:�
α�+�β�=�-3���ή���α�+�β�=�3�
Άρα� α β 3.+ = �
17.114� Έστω��α�=�4444444444�–�88888.��Τότε:�
α�=�4444444444�–�44444�–�44444�=�
=�4444400000�–�44444�=�44444�⋅�10
5�–�44444�=�
=�44444(105�–�1)�=�44444
�⋅�99999�=�
=�(4�⋅�11111)(9
�⋅�11111)�=�
=�36�⋅�11111
2�=�(6
�⋅�11111)
2�=�66666
2�
17.115� Είναι:�
♦� 6 6 6 6 6 9 6 9 9 3+ + < + + = + = = �
♦�3 33 3 33 3 3 36 6 6 6 6 8 6 8 8 2+ + < + + = + = = �
Με�πρόσθεση�παίρνουµε�τη�ζητούµενη.�
17.116� α)� Α�=�R�–�{-1,�1}.�
β)� Είναι:�2004 2004
x 1 x 1f ( x)
x 1 x 1
− − − + − = − = − + − −
�
2004 2004
x 1 x 1f (x)
x 1 x 1
+ − = − = − − +
�
Απ:��Περιττή�
γ)� Είναι��f�(0)�=�(-1)
2004�–�(-1)
2004�=�0.�
Απ:��Ναι�
17.117� �
�
�
�
�
�
17.118� α)� Πρέπει:�
α�+�β�–�αβ�–�1�=�0��⇔��(α�–�1)�+�(β�–�αβ)�=�0��⇔�
⇔��(α�–�1)�–�β(α�–�1)�=�0��⇔��(α�–�1)(1�–�β)�=�0�
Απ:��α�=�1��ή��β�=�1�
β)� Είναι:�
( ) ( )α β 2 αβ αβ 2 αβ 1A 1
α β αβ 1
+ + − + +
= =
+ − −
�
17.119� Είναι:�
1 5 8 2 2 2 5 2 10B
2
+ − + + +
= = �
( )2
1 5 1 2 5
2
+ − + +
= = �
( )1 5 1 2 5 21
2 2
+ − + +
= = − = − ∈� �
Σηµείωση�
Το�θέµα�αυτό�τέθηκε�σε�µαθηµατικό�διαγωνισµό�της�
Ρουµανίας�το�2003.�
42/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
334� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�
17.120� α)� Η�εξίσωση�γράφεται:�
53x-1�=�5
2x+10��⇔��3x�–�1�=�2x�+�10�
Απ:��x�=�11�
β)� x�=�2� � � γ)� x�=�5� � δ)� x�=�2�
17.121� Είναι:�
(2ν�+�1)2�–�(2ν�–�1)
2�=�800��⇔��…��⇔��8ν�=�8000��⇔�
⇔��ν�=�1000�
Απ:��1999,�2000�
17.122� Πρόκειται�για�σχετικά�έξυπνο�θέµα,�που�τέθηκε�
σε�µαθηµατικό�διαγωνισµό.�
Η�δοσµένη�σχέση�γίνεται:�
2 22 α 1 4 β 2 6 γ 3 α β γ− + − + − = + + ⇔ �
( ) ( ) ( )2 2α 2 α 1 β 4 β 2 γ 6 γ 3 0⇔ − − + − − + − − = ⇔ �
( )2
2α-1 1 2 α 1
⇔ + − − + �
( )2
2 2 2β 2 2 4 β 2
+ − + − − + �
( )2
2 2 2γ 3 3 6 γ 3 0
+ − + − − = ⇔ �
( ) ( ) ( )2 22
α 1 1 β 4 2 γ 9 3 0⇔ − − + − − + − − = ⇔ �
( )α 1 1 και β 4 2 και γ 9 3⇔ − = − = − = ⇔ �
⇔��(α�–�1�=�1��και
����4�=�4�
�και
��γ�–�9�=�9)��⇔�
⇔��(α�=�2,��β�=�8,��γ�=�18)�
17.123� Είναι��Α(x,�y)�=�(x�–�2)2�+�(y�–�2)2�+�λ�–�8.�
α)� Πρέπει:�
λ�–�8�=�0��⇔��λ�=�8�
Απ:��λ�=�8,��x�=�2,��y�=�2�
β)� Πρέπει:�
λ�–�8�≥�0��⇔��λ�≥�8�
Απ:��λ�∈
�[8,�+∞)�
17.124� Όλα�δείχνουν�ότι�δεν�πρέπει�να�επιχειρήσουµε�
την�εκτέλεση�πράξεων.�Για�το�λόγο�αυτό�πολλαπλασιά-�
ζουµε�τους�όρους� του�πρώτου�κλάσµατος�µε�2-x,� τους�
όρους�του�δεύτερου�κλάσµατος�µε�2-y�και�του�τρίτου�µε�
2-ω.�Έτσι,�τελικά,�το�α΄�µέλος�είναι�ίσο�µε:�
x y ω
x y ω y x ω ω x y
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
− − −
− − − − − − − − −
+ + =
+ + + + + +
�
x y ω
x y ω
2 2 21
2 2 2
− − −
− − −
+ += =
+ +
�
17.125� α)� Α�=�2α�� � β)� Β�=�4β�
17.126� α)� β2� � � � β)� 0�
γ)� -y2�� � � � � δ)� y
2�
17.127� Με� εφαρµογή� των� ιδιοτήτων� των� δυνάµεων.�
Ο�αριθµητής�δίνει�(xy)4�και�ο�παρονοµαστής�(xy)
10.�
17.128� Με�εφαρµογή�των�ιδιοτήτων�των�δυνάµεων.�
Απ:��Α�=�3�
17.129� Εκτελούµε�τις�πράξεις�στο�α΄�µέλος.�
17.130� α)� x2�+�y2�=�(x�+�y)2�–�2xy�
β)� x3�+�y
3�=�(x�+�y)
3�–�3xy(x�+�y)�
17.131� α)� (α�+�β)2�–�γ2�
Απ:��(α�+�β�–�γ)(α�+�β�+�γ)�
β)� (x�–�y)2�–�(4ω)
2�
Απ:��(x�–�y�–�4ω)(x�–�y�+�4ω)�
γ)� x2�–�(y�+�α)
2�
Απ:��(x�–�y�–�α)(x�+�y�+�α)�
δ)� (2α)2�–�(β�–�2x)
2�
Απ:��(2α�–�β�+�2x)(2α�+�β�–�2x)�
ε)� 32�–�(3α�–�β)
2�
Απ:��(3�–�3α�+�β)(3�+�3α�–�β)�
στ)� 2 23 (x y) (3ω) − − �
Απ:��3(x�–�y�–�3ω)(x�–�y�+�3ω)�
ζ)� (x2�+�x)
2�–�y
2�
Απ:��(x2�+�x�–�y)(x
2�+�x�+�y)�
η)� y2�–�(x�–�1)
2�
Απ:��(y�–�x�+�1)(y�+�x�–�1)�
43/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
335�
17.132� Το�α΄�µέλος�δίνει:�
2 2(65 25)(65 65 25 25 )25 65
90
+ − ⋅ +− ⋅ = �
=�652�–�2
�⋅�65
�⋅�25�+�25
2�=�(65�–�25)
2�=�40
2�=�1600�
17.133� Είναι:�
Α�=�31(82�+�43)�+�125(48�–�67)�=�
=�31�⋅�125�–�125
�⋅�19�=�125(31�–�19)�=�
=�125�⋅�12�=�1500�
17.134� α)� Α�=�α2(γ�–�δ)�–�β2(γ�–�δ)�=�(γ�–�δ)(α2�–�β2)�
Απ:��Α�=�(γ�–�δ)(α�–�β)(α�+�β)�
β)� Β�=�(α�–�β)(α�+�β)�–�2(α�–�β)�
Απ:��Β�=�(α�–�β)(α�+�β�–�2)�
γ)� Γ�=�4(x�–�y)�–�α(x�–�y)�
Απ:��Γ�=�(x�–�y)(4�–�α)�
δ)� ∆�=�(x2�–�xy)�+�yω�–�xω�=�x(x�–�y)�–�ω(x�–�y)�
Απ:��∆�=�(x�–�y)(x�–�ω)�
ε)� Ε�=�(βγ�+�αγ)�–�α2�–�αβ�=�γ(α�+�β)�–�α(α�+�β)�
Απ:��Ε�=�(α�+�β)(γ�–�α)�
στ)�Ζ�=�(α2β2�–�α
2)�+�β
2�–�1�=�α
2(β
2�–�1)�+�(β
2�–�1)�
Απ:��Ζ�=�(β�–�1)(β�+�1)(α2�+�1)�
ζ)� Η�=�(xy2�–�y
2)�–�x�+�1�=�y
2(x�–�1)�–�(x�–�1)�
Απ:��Η�=�(x�–�1)(y�–�1)(y�+�1)�
η)� Θ�=�x2(x�–�2)�–�(x�-�2)�
Απ:��Θ�=�(x�–�2)(x�–�1)(x�+�1)�
17.135� α)� Το�α΄�µέλος�δίνει:�
α(x-y)(x+y)�
⋅�α(y-ω)(y+ω)�
⋅�α(ω-x)(ω+x)
�=�…�=�α0�=�1�
β)� Ο�παρονοµαστής�του�πρώτου�κλάσµατος�γίνεται:�
αx-x�+�α
x-y�+�α
x-ω�=�α
x(α
-x�+�α
-y�+�α
-ω)�
και�έτσι�το�πρώτο�κλάσµα�δίνει:�
x
x y ω
α
α α α
−
− − −
+ +
�
Όµοια�µετασχηµατίζουµε�και�τα�άλλα�κλάσµατα.�
17.136� α)� Είναι:�
Α�=�β2�–�δ
2�+�(αβ�–�δα)�+�(γδ�–�βγ)�=�
=�(β�–�δ)(β�+�δ)�+�α(β�–�δ)�–�γ(β�–�δ)�=�
=�(β�–�δ)(β�+�γ�+�α�–�γ)�
β)� Όµοια:�
Β�=�(β2�–�δ
2)�+�(αβ�+�αδ)�+�(βγ�+�γδ)�=�…�=�
=�(β�+�δ)(β�–�δ�+�α�+�γ)�
17.137� α)� Είναι:�
x 1 3 x 4
x 1 x 1
x 3 1 x 4
x 3 x 3
A
− − −
− −
− − −
− −
= = �
Πρέπει:�
x�≠�1,���x�≠�3���και���2x�–�8�≠�0��⇔��x�≠�4�
� Απ:� ♦� x�≠�1,��x�≠�3,�
�x�≠�4�
� � ♦�x - 3
A =x -1
�
β)�
2
2
2
x 9
x 4
x 9
x 2
B
−
−
−
−
= �κ.λπ.�
� Απ:� ♦� x�≠�2,��x�≠�-2,�
�x�≠�-3,��x�≠�3�
� � ♦�1
B =x + 2
�
17.138� α)� Είναι:�
Α�=�(α4�–�4α
2β2�+�4β
4)�–�α
2β2�=�…�=�(α
2�–�2β
2)2�–�(αβ)
2�
Απ:��Α�=�(α2�–�2β
2�-�αβ)(α
2�–�2β
2�+�αβ)�
β)� Β�=�(x4�+�y
4�–�2x
2y2)�–�9x
2y2�=�(x
2�–�y
2)2�–�(3xy)
2�
Απ:��Β�=�(x2�–�y
2�–�3xy)(x
2�–�y
2�+�3xy)�
γ)� Γ�=�x4�+�4x
2y2�+�4y
4�-�x
2y2�=�(x
2�+�2y
2)2�–�(xy)
2�
Απ:��Γ�=�(x2�+�2y
2�–�xy)(x
2�+�2y
2�+�xy)�
δ)� ∆�=�(x4�+�2x
2�+�1)�–�x
2�=�(x
2�+�1)
2�–�x
2�
Απ:��∆�=�(x2�+�1�–�x)(x
2�+�1�+�x)�
ε)� Ε�=�(9α4�+�25β
4�+�30α
2β2)�-�4α
2β2�=�
� =�(3α2�+�5β
2)2�–�(2αβ)
2�
Απ:��Ε�=�(3α2�+�5β
2�–�2αβ)(3α
2�+�5β
2�+�2αβ)�
17.139� α)�α
Aβ
= �� β)� Β�=�1� � γ)� Γ�=�1�
44/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
336� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�
δ)� ∆�=�1� � ε)� Ε�=�α�+�β� � στ)�Ζ�=�1�
17.140� Αν��x�+�y�+�ω�=�0,��τότε��x3�+�y3�+�ω3�=�3xyω.�
Έτσι:�
2 2 2 2 2 23(α β )(β γ )(γ α )K
3(α β)(β γ)(γ α)
− − −
= =…=
− − −
�
=�(α�+�β)(β�+�γ)(γ�+�α)�
Απ:��Κ�=�2004�
17.141� α)� Α�=�α�–�3� � � β)�µ ν ρ
Bµ ν ρ
− −
=
− +
�
γ)� Γ�=�ν2�+�1,
��διότι�
�ν4�–�5ν
2�+�4�=�(ν
2�–�1)(ν
2�–�4)
��κ.λπ.�
17.142� Έστω:�
αβ 10α β και γδ 10γ δ= + = + �
οι�δύο�αριθµοί,�µε� αβ γδ 99λ.+ = �Είναι:�
( )αβγδ 100αβ γδ 99αβ αβ γδ= + = + + = �
( )99αβ 99λ 99 αβ λ πολ99= + = + = �
17.143� α)� Α�=�1� � β)� Β�=�1� � γ)�1
Γα
= �
δ)�1
∆x 1
=
+
� � � ε)� Ε�=�1� � στ)�Ζ�=�1�
17.144� α)� Εκτελούµε�τις�πράξεις.�
β)� Το�άθροισµα�των�βάσεων�είναι�0.�
17.145� α)� Είναι��ν�=�2κ��ή��ν�=�2κ�+�1,��οπότε��α�=�2λ,�
µε��λ�∈
�Z.�
β)� Είναι:�
♦� ν2�+�ν�+�1�=�ν(ν�+�1)�+�1�=�άρτιος�+�1�=�περιττός�
♦� ν2�–�ν�–�1�=�ν(ν�–�1)�–�1�=�άρτιος�–�περιττός�=�περιττός�
Αλλά�το�γινόµενο�περιττών�είναι�πάντα�περιττός.�
17.146� Το�α΄�µέλος�δίνει:�
2 21 x y
(x 1)(y 1) (x 1)(x y) (y 1)(y x)+ + =
− − − − − −
�
2 2x y x (y 1) y (x 1)
(x 1)(y 1)(x y)
− + − − −
=
− − −
�
Ο�αριθµητής�δίνει:�
x�–�y�+�xy(x�–�y)�–�(x2�–�y
2)�=�(x�–�y)(1�+�xy�–�x�–�y)�=�
[ ](x y) (1 x) y(1 x) (x y)(1 x)(1 y)= − − − − = − − − = �
=�(x�–�y)(x�–�1)(y�–�1)�
17.147� Έστω��α�=�x2�+�y2.��Τότε:�
2α�=�2x2�+�2y
2�=�(x
2�+�y
2�+�2xy)�+�(x
2�+�y
2�–�2xy)�=�
=�(x�+�y)2�+�(x�–�y)
2�
17.148� α)�x
Ay
= �� β)� Β�=�1� � γ)� Γ�=�3�
δ)� ∆�=�α�–�β� � � ε)� Ε�=�y�-�x�
17.149� α)�2α
Aα β
=
+
� � β)� Β�=�α�
17.150� Να�γίνουν�προσεκτικά�οι�πράξεις.�
17.151� α)� Α�=�1� � � β)� Β�=�1�
17.152� α)�α β
A4
+
= � � β)� Β�=�x�
γ)� Γ�=�αβ� � � � � δ)�x y
∆4xy
−
= �
17.153� Να�γίνουν�κατάλληλα�οι�πράξεις�στις�παρενθέσεις.�
Οι�λύσεις�των�θεµάτων�απαιτούν�επιµονή,�προσοχή�και�
παρατηρητικότητα.�Αν�συναντήσετε�δυσκολίες,�να�ανα-�
τρέξετε�ξανά�στα�λυµένα�θέµατα�ή�να�συµβουλευτείτε�
τον�µαθηµατικό�σας.�(Μπορείτε�να�επικοινωνήσετε�και�
µε�τους�συγγραφείς�σε�κάθε�σας�δυσκολία.)�
17.154� α)� Α�=�3� � � β)� Β�=�-�α�
�
�
�
45/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
337�
17.155� α)� Α�=�2αβ� � β)� Β�=�1�
γ)� Γ�=�1� � � � � δ)�3 3
1∆
α β= �
Στο�∆�να�γίνουν�πρώτα�οι�πράξεις�στα�δύο�τελευταία�
κλάσµατα.�
17.156� α)�1
Aα
= �� � β)� Β�=�2�
γ)� Γ�=�1� � � � � δ)� ∆�=�2x�
17.157� α)� Με�τη�βοήθεια�πίνακα.�
Απ:��x�
∈�
[-6,�2]�
∪�
[4,�+∞)�
17.158� Θέτουµε� x 1 α, y β και z 1 γ,− = = + = �οπό-�
τε��x�=�α
2�+�1,
��y�=�β
2��και�
�z�=�γ
2�–�1.
��Έτσι,�η�σχέση�
γίνεται:�
2 2 21
α β γ (α β γ 3)2
+ + = + + + ⇔ … ⇔ �
⇔��(α�–�1)2�+�(β�–�1)
2�+�(γ�–�1)
2�=�0��⇔��…��⇔�
⇔��(α�=�1,��β�=�1,
��γ�=�1)��κ.λπ.�
17.159� α)� Με�ισοδυναµίες:�
( ) ( )2 2
3 5 2 6+ > + ⇔ �
3 5 2 15 2 6 2 12⇔ + + > + + ⇔ �
15 12, ισχύει⇔ > �
β)� Είναι:�
( ) ( )2 2
2 2 3 6 5− > − ⇔ �
8 3 4 6 6 5 2 30⇔ + − > + − ⇔ �
4 6 2 30 2 6 30 24 30⇔ < ⇔ < ⇔ < �
που�ισχύει.�
17.160� α)� Ο�αριθµητής�µετά�τις�πράξεις�δίνει:�
( ) ( )2 2
32 10 7 8 2 7 5 7 1 7+ − + = + − + = �
( )5 7 1 7 4= + − + = �
Ο�παρονοµαστής�δίνει:�
( ) ( )2
2 3 6 2 2 3 6 2− + = − ⋅ + = �
2 3 8 4 3 2 2 3 2 3 2 4 3 2= − ⋅ + = − ⋅ + = − = �
β)� Εργαζόµαστε�όπως�στο�ερώτηµα�(α).�
17.161� Το�υπόρριζο�είναι�ίσο�µε��(α
2�+�αβ�+�β
2)2�
�και�
έτσι��Α�=�α
2�+�αβ�+�β
2,��αφού�
�α2�+�αβ�+�β
2�≥�0.�
17.162� Έστω�α γ
λ.β δ= = �Τότε�
�α�=�λβ
��και�
�γ�=�λδ.
��Το�
α΄�µέλος�δίνει:�
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2λ (β δ ) β δ λ β β λ δ δ+ ⋅ + − + ⋅ + = �
=�λ(β2�+�δ
2)�–�βδ(λ
2�+�1)�
διότι��β,�δ,�λ�>�0.
��Το�β΄�µέλος�γίνεται:�
(λβ�–�δ)(β�–�λδ)�=�λβ2�–�λ
2βδ�–�βδ�+�λδ
2�=�
=�λ(β2�+�δ
2)�–�βδ(λ
2�+�1)�
17.163� α)� Αν�ονοµάσουµε�Α�το�πρώτο�µέλος,�τότε:�
( ) ( )2A 4 7 2 4 7 4 7 4 7= + − + ⋅ − + − = �
8 2 16 7 2= − − = �
β)� Αν�το�πρώτο�µέλος�είναι�Β,�τότε:�
( ) ( )
( ) ( )2 6 11 2 36 11 6 11
B
3 2 2 2 9 8 3 2 2
− − − + +=…= =
− − − + +
�
12 10 1
6 2 2
−
= =
−
�
17.164� Το�α΄�µέλος�γράφεται:�
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )3 3 5 1 5 3 3 5 5
1
5 5 3 1 3 5 5 3 3
+ ⋅ + + +
= =
+ ⋅ + + +
�
17.165� Είναι:�
2 2 2α β γA
αβγ βγα γαβ= + + = �
2 22 β γα α β γ 20042
1002αβγ αβγ αβγ αβγ
+ +
= + + = = = �
Απ:��Α�=�2�
17.166� α)� Α�=�α�⋅�α�=�α
2�
β)� 3 3 6 8 69 9B µ νλ µ ν λ µνλ= ⋅ = �
46/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
338� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�
17.167� Παρατηρούµε�καταρχήν�ότι��α2�+�α
2β2�+�β
2�≥�0�
για�κάθε�α�και�β,�οπότε�η�παράσταση�Α�έχει�νόηµα.�
Επειδή�οι�α�και�β�είναι�διαδοχικοί�ακέραιοι�αριθµοί�και�
η�παράσταση��α2�+�α
2β2�+�β
2��είναι�µια�συµµετρική�παρά-�
σταση,�δεν�βλάπτεται�η�γενικότητα�αν�θεωρήσουµε�ότι�
β�=�α�+�1.��Για�να�είναι�ο�Α�φυσικός�αριθµός,�αρκεί�να�
αποδείξουµε�ότι�το�υπόρριζο��α2�+�α
2β2�+�β
2��είναι�τετρά-�
γωνο�ενός�ακέραιου�αριθµού.�Όµως:�
α2�+�α
2β2�+�β
2�=�α
2�+�α
2(α�+�1)
2�+�(α�+�1)
2�=�
=�α2�+�α
2(α
2�+�2α�+�1)�+�(α
2�+�2α�+�1)�=�
=�α2�+�α
4�+�2α
2�+�α
2�+�α
2�+�2α�+�1�=�
=�(α2)2�+�α
2�+�1�+�2α
3�+�2α�+�2α
2�=�(α
2�+�α�+�1)
2�
Άρα:�
2 2 2 2 2 2A α α β β (α α 1)= + + = + + = �
2 2α α 1 α α 1= + + = + + �
διότι:�2
2 1 3α α 1 α 0
2 4
+ + = + + >
�
για�κάθε�αριθµό�α.�Εποµένως�ο�Α�είναι�φυσικός�αριθµός.�
17.168� Η�παράσταση�γράφεται:�
(x�–�1)2�+�(y�+�3)
2�=�0�
Απ:��x�=�1,�
�y�=�-3�
17.169� Έστω�x�η�αξία�του�σύρµατος�Β.�Τότε:�
1800 180020, x 0
x x 3= + >
+
�
Απλοποιούµε�µε�το�20�και�καταλήγουµε�στην�εξίσωση�
x2�+�3x�–�270�=�0,
��µε�
�∆�=�33
2.�
Απ:��15�€�
17.170� Είναι:�
3 3
2 2
3 3
α β α β(α β)(α αβ β )(α γ)
α γ α γ
+ += ⇔ + − + + =
+ +
�
=�(α�+�β)(α�+�γ)(α2�–�αγ�+�γ
2)��⇔�
⇔��α2�–�αβ�+�β
2�=�α
2�–�αγ�+�γ
2��⇔�
⇔��β2�–�αβ�+�αγ�–�γ
2�=�0��⇔�
⇔��(β�–�γ)(β�+�γ)�–�α(β�–�γ)�=�0��⇔�
⇔��(β�–�γ)(β�+�γ�–�α)�=�0��⇔��(β�=�γ��ή��α�=�β�+�γ)�
Σχόλιο
Είναι��5�=�2�+�3,
��οπότε�θα�ισχύει:�
3 3
3 3
5 2 5 2 7
5 3 5 3 8
+ += =
+ +
�
17.171� α)� Είναι:�
♦� βγ�=�-�αβ�-�γα�
♦� α2�+�2βγ�=�α
2�+�βγ�+�βγ�=�α
2�+�βγ�–�αβ�–�γα�=�
� =�α(α�–�β)�–�γ(α�–�β)�=�(α�–�β)(α�–�γ)�
β)� Όµοια�παίρνουµε:�
β2�+�2γα�=�(β�–�α)(β�–�γ)���και���γ
2�+�2αβ�=�(γ�–�α)(γ�–�β)�
Το�πρώτο�µέλος�τελικά�δίνει:�
2 2 2α β γ
(α β)(γ α) (β γ)(α β) (γ α)(β γ)− − − =
− − − − − −
�
2 2 2α (β γ) β (γ α) γ (α β)1
(α β)(β γ)(γ α)
− + − + −
= − =
− − −
�
διότι�οι�πράξεις�στον�παρονοµαστή�δίνουν�τον�αριθµητή.�
17.172� α)� Α�=�R�
β)�1 x, αν x 1
f (x)3 x, αν x 1
+ <=
− ≥�
γ)� Φαίνεται�στο�παρακάτω�σχήµα.�
�
δ)� Για��x�=�0
��και�για�
�f�(x)�=�0.�
Απ:��Κ(0,�1),��Λ(-1,�0),
��Μ(3,�0)�
ε)� ∆ιότι��f�(2004)�≠�-2002.�
στ)�Οι�σχηµατιζόµενες�γωνίες�της�Cf�µε�τον�άξονα�x´x�
είναι�ίσες�µε�45°�και�135°,�οπότε�το�τρίγωνο�είναι�τελι-�
κά�ορθογώνιο�και�ισοσκελές.�
17.173� α)� Α�=�R�
β)� Μ(0,�2),��Α(2,�0),
��Β(4,�0)�
47/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
339�
γ)� Είναι:�
x 2, αν x 3f (x)
x 4, αν x 3
− + <=
− ≥�
Η�γραφική�παράσταση�φαίνεται�στο�παρακάτω�σχήµα.�
�
δ)� Η�ευθεία�µε�εξίσωση��x�=�3,
��διότι�το�τρίγωνο�ΚΑΒ�
είναι�ισοσκελές��(ΚΑ�=�ΚΒ)
��και�έτσι�η�µεσοκάθετη�του�
ΑΒ�(η�ευθεία��x�=�3)
��είναι�άξονας�συµµετρίας.�
17.174� Για��y�=�x
��έχουµε:�
( )221 f (x) 2xf (x) f (x) x 0 f (x) x+ = ⇔ − = ⇔ = �
που�είναι�δεκτή,�διότι�επαληθεύει�την�αρχική�σχέση.�
17.175� α)� Είναι��∆�=�(λ�+�2)
2�+�4(λ
2�+�1)�>�0
��για�κάθε�
λ�∈
�R.�
β)� Πρέπει�η�εξίσωση�να�επαληθεύεται�για��x�=�5.
��Έτσι:�
25�–�5λ�–�10�–�λ2�–�1�=�0��⇔��λ
2�+�5λ�–�14�=�0�
♦� Για��λ�=�-7
��παίρνουµε:�
x2�+�5x�–�50�=�0��⇔��(x�=�5�
���x�=�-10)�
♦� Για��λ�=�2
��παίρνουµε:�
x2�–�4x�–�5�=�0��⇔��(x�=�5�
���x�=�-1)�
Απ:� ♦� λ�=�-7��(µε�ρίζες�
�
x�=�5,�
�x�=�-10)�
�ή�
� � ♦� λ�=�2�
�(µε�ρίζες��
x�=�5,�
�x�=�-1)�
γ) Είναι:�
1 2 2
1 2 1
2 2
1 2 1 2
x x λ 2 x 1 λ
x 2x 3 x 2λ 1
x x (λ 1) x x (λ 1)
+ = + = −
+ = ⇔ = +
= − + = − +
�
Άρα:�
x1x2�=�-λ2�–�1��⇔��(1�–�λ)(2λ�+�1)�=�-λ
2�–�1��⇔��…��⇔�
⇔��λ2�–�λ�–�2�=�0�
Απ:��λ�=�-1��ή��λ�=�2�
17.176� Έστω�ότι�τα�δύο�παιδιά�βλέπουν�το�λεωφορείο�
όταν�βρίσκονται�στο�Μ,�οι�στάσεις�βρίσκονται�στις�θέ-�
σεις�Α,�Β,��ΜΑ�=�α
��και�
�ΜΒ�=�β.
��Ο�Γιώργος�προτιµάει�
τη�στάση�Α�και�η�Μαριάννα�τη�στάση�Β.�
�
♦� Για�να�διανύσει�η�Μαριάννα�την�απόσταση��ΜΒ�=�β�
� και� να� φτάσει� έτσι� στη� στάση� Β� θα� χρειαστεί�β
4�
� ώρες,�διότι�βαδίζει�µε�ταχύτητα�4�km/h.�
♦� Για�να�φτάσει�ο�Γιώργος�στη�στάση�Α,�θα�πρέπει�
� να�διανύσει�την�απόσταση��ΜΑ�=�α
��και�για�να�το�
� πετύχει�αυτό�θα�χρειαστεί�α
6�ώρες.�
♦� Για�να�πάει�το�λεωφορείο�από�τη�στάση�Α�στη�στά-�
� ση�Β�θα�χρειαστεί�α β
60
+
�ώρες�διότι�κινείται�µε�τα-�
� χύτητα�60�km/h.�
Όση�όµως�ώρα�θέλει�η�Μαριάννα�για�να�φτάσει�από�το�
Μ�στο�Β,�τόση�ώρα�θέλει�και�ο�Γιώργος�για�να�βαδίσει�
µέχρι�το�Α�και�µε�το�λεωφορείο�πια�να�φτάσει�στο�Β.�
Πρέπει�λοιπόν:�
β α α β15β 10α (α β)
4 6 60
+= + ⇔ = + + ⇔ �
α 1414β 11α 1
β 11⇔ = ⇔ = > �
Είναι�λοιπόν�α
1,β> �δηλαδή�
�α�>�β,
��που�σηµαίνει�ότι�ο�
Γιώργος�περπάτησε�µεγαλύτερη�απόσταση�απ’�ότι�η�
Μαριάννα.�Άρα�η�επιλογή�του�Γιώργου�δεν�ήταν�σωστή.�
17.177� α)� Πρέπει� 5 1 x 0 και x 2 3 0.− − ≥ + − ≥ �
Απ:��Α�=�[1,�6],�
� f(1) = f(6) = 5 �
48/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas
340� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�
β)� Είναι� f (2) 4 1 3.= + = �
Απ:��Ναι�
γ)� Όχι�διότι��0�∉
�Α.�
17.178� Σύµφωνα� µε� την� ανισότητα��x2� +� y
2� ≥� 2xy,�
παίρνουµε:�
1�+�α2�≥�2α,���1�+�β
2�≥�2β���και���1�+�γ
2�≥�2α�
Εποµένως:�
♦� 2β�=�1�+�α2�≥�2α,
��οπότε�
�β�≥�α�
♦� 2γ�=�1�+�β2�≥�2β,
��οπότε�
�γ�≥�β�
♦� 2α�=�1�+�γ2�≥�2γ,
��οπότε�
�α�≥�γ�
Είναι�λοιπόν��α�≥�γ,
��γ�≥�β
��και�
�β�≥�α,
��δηλαδή�
�α�=�β�=�γ.�
Αλλά�τότε:�
1�+�α2�=�2β��⇔��1�+�α
2�–�2α�=�0��⇔�
⇔��(1�–�α)2�=�0��⇔��α�=�1�
Άρα�η�µοναδική�λύση�του�συστήµατος�είναι�η:�
(α,�β,�γ)�=�(1,�1,�1)�
17.179� Έστω��x�–�2004�=�ω.
��Τότε:�
ω2�–�1995(ω�+�1)�+�2004�=�(ω�+�3)
2��⇔�
⇔��ω2�–�1995ω�–�1995�+�2004�=�ω
2�+�6ω�+�9��⇔�
⇔��-2001ω�=�0��⇔��ω�=�0�
Απ:��x�=�2004�
�
49/49
algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas