Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

49
1/49 algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Transcript of Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

Page 1: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

1/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Xaralampos
Sticky Note
Αυτές οι σημειώσεις είναι ένα επαναληπτικό Κεφάλαιο από την Άλγεβρα Α ΄Λυκείου των Στεργίου - Νάκη, εκδόσεις Σαββάλας που δεν συμπεριλήφθηκε στο βιβλίο. Ελπίζουμε ότι στη νέα έκδοση του 2008- 2009 θα συμπεριλάβουμε τόσο αυτό το υλικό , όσο και αρκετές ακόμα νέες ασκήσεις που θα είναι χρήσιμες στους μαθητές σας. Μπάμπης Στεργίου
Page 2: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

229�

17.1� Ερωτήσειςµεσύντοµηαπάντηση�

1)� Να�γράψετε�τις�ιδιότητες�των�πράξεων�στο�

� σύνολο�R�των�πραγµατικών�αριθµών.�

2)� Πότε�δύο�αριθµοί�λέγονται�αντίθετοι�και�

� πότε�αντίστροφοι;�

3)� Να�γράψετε�τις�ιδιότητες�των�αναλογιών.�

4)� Πότε�µπορούµε�να�διαγράψουµε�έναν�πα-�

� ράγοντα�από�µια�ισότητα;�

5)� Ποιους� περιορισµούς� πρέπει� να� θέσουµε�

� για�να�ορίζεται�ένα�κλάσµα;�

6)� Πότε�ένα�γινόµενο�είναι�ίσο�µε�µηδέν�και�

� πότε�είναι�διάφορο�του�µηδενός;�

17.2� Ερωτήσειςµεσύντοµηαπάντηση�

1)� Πώς�ορίζεται�η�δύναµη�αν;�

2)� Να�γράψετε�τις�ιδιότητες�των�δυνάµεων.�

3)� Να�γράψετε�τις�αξιοσηµείωτες�ταυτότητες.�

4)� Να�γράψετε�το�β΄�µέλος�για�την�παράστα-�

� ση:�

α3�+�β

3�+�γ

3�–�3αβγ�

17.3� Ερωτήσειςσυµπλήρωσηςκενού

Να�συµπληρώσετε�τις�προτάσεις.�

1)� Ο�αριθµός�α�έχει�αντίστροφο,�µόνο�αν�…�

� …………�Ο�αντίστροφος�του�α�είναι�ο�…�

� …………,�που�συµβολίζεται�και�µε�……�

� ………�

2)� Η�αφαίρεση�και�η�διαίρεση�ορίζονται�από�

� τις�ισότητες:�

� α�–�β�=�……………�και�α

,β=…………… �

� όπου��β�……………�

3)� Ισχύει�ότι:�

αβ�=�0�⇔�……………�

και�

αβ�≠�0��⇔��……………�

4)� Αν��αβ�=�αγ

��και�……………,�τότε�………�

� ……�

5)� ∆ύο�αριθµοί�µε�γινόµενο�1�λέγονται�……�

� ………�ενώ�δύο�αριθµοί�µε�άθροισµα�0�

� λέγονται�……………�

6)� Αν��αβ�≠�0,

��τότε�……………�

2/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 3: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

230� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�

17.4� Ερωτήσειςτουτύπου“Σωστό-Λάθος”

Να�χαρακτηρίσετε�τις�παρακάτω�προτάσεις�ως�

σωστές�(Σ)�ή�λανθασµένες�(Λ).�

1)� Οι�περιοδικοί�αριθµοί�είναι�ρητοί�και�οι�

� δεκαδικοί�αριθµοί�είναι�άρρητοι.�

� � � � � � � � � � ��� ���

2)� Κάθε�αριθµός�έχει�αντίστροφο.�

� � � � � � � � � � ��� ���

3)� Σύµφωνα�µε�την�επιµεριστική�ιδιότητα�εί-�

� ναι:�

� α(β�+�γ)�=�αβ�+�αγ���και���α(β�–�γ)�=�αβ�–�αγ�

� � � � � � � � � � ��� ���

4)� Το�κλάσµα�α

β�ορίζεται�αν�

�β�≠�0.�

� � � � � � � � � � ��� ���

5)� Αν��αβ�=�αγ,

��τότε�

�β�=�γ.� � Σ��� Λ���

6)� Ισχύει�η�ισοδυναµία:�

♦� αβ�=�0��⇔��α�=�0��και��β�=�0� Σ��� Λ���

♦� αβ�≠�0��⇔��α�≠�0��ή��β�≠�0� � Σ��� Λ���

7)� Αν�α γ

,β δ= �όπου�

�β,�δ,�β�+�δ�≠�0,

��τότε:�

α β γ δ α α γκαι

β δ β β δ

+ + += =

+

17.5� Ερωτήσειςσυµπλήρωσηςκενού

Να�συµπληρώσετε�τις�προτάσεις.�

1)� Ορίζουµε��αν�=�……………,

��α

1�=�………�

� ……�και��α0�=�……………,

��όπου�

�α�……�

� Είναι�ακόµα��α-ν

�=�……………�

2)� Ισχύει�ότι:�

� ακ�⋅�αλ�=�………,�� � α

κ� :� α

λ� =� ………,�

� (αβ)κ�=�………,� � �

κ

α

β

=………

� και��(α

κ)λ�=�

�………,

��όπου�κ�και�λ�είναι�

� ακέραιοι�αριθµοί.�

3)� Αν�ο�κ�είναι�ακέραιος,�τότε�

κ

α

β

=……

4)� Ισχύει�ότι:�

� ♦� (α�+�β)2�=�………,

��(α�–�β)

2�=�………�

� ♦� (α�+�β)3�=�………,

��(α�–�β)

3�=�………�

� ♦� αν�–�β

ν�=�………�

� ♦� α3�+�β

3�+�γ

3�–�3αβγ�=�…………�

� ♦� (α�+�β�+�γ)2�=�………�

5)� Αν��α�+�β�+�γ�=�0,

��τότε�………�

6)� Για�την�παραγοντοποίηση�µιας�παράστα-�

� σης�χρησιµοποιούµε�τις�ταυτότητες:�

� α2�–�β

2�=�……………�

� α3�–�β

3�=�……………�

� α3�+�β

3�=�……………�

� x2�+�(α�+�β)x�+�αβ�=�……………�

7)� Αν�γνωρίζουµε�τα��α�+�β

��και�αβ,�τότε�γρά-�

� φουµε:�

� α2�+�β

2�=�……………

��και�

� α3�+�β

3�=�……………�

17.6� Ερωτήσειςτουτύπου“Σωστό-Λάθος”

Να�χαρακτηρίσετε�τις�παρακάτω�προτάσεις�ως�

σωστές�(Σ)�ή�λανθασµένες�(Λ).�

1)� Είναι��α1�=�α

��και�

�α0�=�1

��για�κάθε�

�α�≠�0.�

� � � � � � � � � � ��� ���

2)� Ορίζουµε� ν

ν

1α .

α

= �Εποµένως:�

κ κ

α β

β α

=

� όπου��κ�∈

�Z.� � � � � � ��� ���

3/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 4: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

231�

3)� Ισχύει�ότι��(α

κ)λ�=�α

κ+λ.� � � Σ��� Λ���

4)� Ισχύει�ότι:�

� (α�+�β)2�=�α

2�+�β

2� � � � ��� ���

� (α�+�β)3�=�α

3�+�β

3� � � � ��� ���

� (α�–�β)2�=�α

2�–�β

2� � � � ��� ���

� (α�–�β)3�=�α

3�–�β

3� � � � ��� ���

5)� Ισχύει�ότι:�

� ♦��α3�+�β

3�+�γ

3�-�3αβγ�=�

� � 2 2 21(α β γ) (α β) (β γ) (γ α)

2 = + + − + − + − �

� � � � � � � � � � ��� ���

� ♦��αν�

�α�+�β�+�γ�=�0,

��τότε:�

α3�+�β

3�+�γ

3�=�3αβγ�

� � � � � � � � � � ��� ���

6)� Ισχύει�ότι:�

� α2�–�β

2�=�(α�–�β)(α�+�β)�� � Σ��� Λ���

� α3�+�β

3�=�(α�+�β)(α

2�–�αβ�+�β

2)�

� � � � � � � � � � ��� ���

� α3�–�β

3�=�(α�–�β)(α

2�+�αβ�+�β

2)�

� � � � � � � � � � ��� ���

� x2�+�(α�+�β)x�+�αβ�=�(x�+�α)(x�+�β)�

� � � � � � � � � � ��� ���

17.7� Ερωτήσειςµεσύντοµηαπάντηση�

1)� Πώς�λύνουµε�την�εξίσωση��αx�+�β�=�0;�

2)� Πότε�λέµε�ότι�ο�α�είναι�µεγαλύτερος�από�

� τον�β�και�πώς�τον�συµβολίζουµε;�

3)� Να�γράψετε�τις�ιδιότητες�των�ανισοτήτων.�

4)� Πώς�λύνουµε�την�ανίσωση��αx�+�β�>�0;�

5)� Πώς�συµβολίζουµε�µε�µορφή�διαστήµατος�

� τις�σχέσεις:�

� x�>�α,���x�<�α,���x�≤�α,���x�≥�β,���α�<�x�<�β�

α�≤�x�≤�β,���α�<�x�≤�β,���α�≤�x�<�β�

� και�πώς�παριστάνουµε�τα�διαστήµατα�αυ-�

� τά�πάνω�στον�άξονα�x´x;�Ποια�από�τα�πα-�

� ραπάνω�διαστήµατα�είναι�ανοικτά�και�ποια�

� κλειστά;�

17.8� Ερωτήσειςσυµπλήρωσηςκενού

Να�συµπληρώσετε�τις�προτάσεις.�

1)� Θεωρούµε�την�εξίσωση��αx�+�β�=�0.

��Η�εξί-�

� σωση�αυτή�έχει�µοναδική�λύση�όταν�…�

� …………,�είναι�αδύνατη�όταν�…………�

� και�……………�ενώ�είναι�αόριστη�αν�…�

� …………�και�……………�

2)� Ισχύει�ότι��α�>�β�⇔�……

��και�

�α�≤�β�⇔�…�

3)� ♦� Αν�οι�αριθµοί�α�και�β�είναι�οµόσηµοι,�

� � τότε�……………�και�……………�

� ♦� Αν�οι�αριθµοί�α�και�β�είναι�ετερόσηµοι,�

� � τότε�……………�και�……………�

� ♦� Για�κάθε�αριθµό�α� ισχύει�ότι�α2�……�

� � και�α2ν

�………,�όπου�ν�φυσικός�αριθ-�

� � µός.�

4)� Αν��α�>�β

��και�

�β�>�γ,

��τότε�……………�

5)� Αν��α�>�β

��και�

�γ�>�0,

��τότε�……………�

6)� Αν��α�>�β

��και�

�γ�………,

��τότε�…………�

7)� Αν��α�>�β

��και�

�γ�>�δ,

��τότε�……………�

8)� Αν��α�>�β�>�0

��και�

�γ�>�δ�>�0,

��τότε�………�

4/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 5: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

232� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�

9)� Ισχύει�ότι:�

� ♦��α2�+�β

2�………�

� ♦�α β

,β α+ …… � όπου�α�και� β� είναι� οµό-�

� ��σηµοι�αριθµοί�

� ♦�1

α 2α

+ ≥ �για�κάθε��α�………

��και�

� �1

α 2α

+ ≤ − �για�κάθε��α�………�

17.9� Ερωτήσειςµεσύντοµηαπάντηση�

Να�απαντήσετε�µε�σαφήνεια�και�λεπτοµέρεια�

στις�παρακάτω�ερωτήσεις.�

1)� Τι�ονοµάζουµε�απόλυτη�τιµή�ενός�αριθµού�

� α�και�πώς�τη�συµβολίζουµε;�

2)� Να� γράψετε� τις� ιδιότητες� των� απόλυτων�

� τιµών.�

3)� Τι�ονοµάζουµε�απόσταση�δύο�αριθµών�α�

� και�β,�πώς�συµβολίζεται�και�µε�τι�ισούται;�

4)� Τι�ονοµάζουµε�ν-οστή�ρίζα�ενός�αριθµού�

� α�≥�0��και�πώς�τη�συµβολίζουµε;�

5)� Να�γράψετε�τις�ιδιότητες�των�ν-οστών�

� ριζών.�

6)� Πώς�λύνετε�η�εξίσωση��xν�=�α

��και�πώς�η�

� εξίσωση��xν�=�α

ν,��όπου�ν�είναι�φυσικός�

� αριθµός;�

17.10� Ερωτήσειςσυµπλήρωσηςκενού

Να� συµπληρώσετε� τα� κενά� στις� παρακάτω�

προτάσεις.�

1)� Για�την�απόλυτη�τιµή�του�αριθµού�α,�ι-�

� σχύει�ότι� α……

= ……

2)� Αν��θ�>�0,

��τότε:�

� ♦� x θ= ⇔ ……… �

� ♦� x α= ⇔ ……… �

� ♦� x θ< ⇔ ……… �

� ♦� x θ> ⇔ ……… �

3)� Ισχύει�ότι:�

� ♦� αβ =………�

� ♦�α

β=……… �

� ♦� α β+ =……… �

4)� Για�την�απόσταση�δύο�αριθµών�α�και�β�

� ισχύει�ότι��d(α,�β)�=�…………�

17.11� Ερωτήσειςσυµπλήρωσηςκενού

Να�συµπληρώσετε�τα�κενά�στις�παρακάτω�

προτάσεις.�

1)� Αν��α�≥�0,

��τότε:�

ν

α x και α x= ⇔ …… = ⇔ …… �

2)� Έστω��α�≥�0.

��Ισχύει�ότι:�

( )ν

ν νν

α και α=…… =…… �

3)� Αν��α,�β�≥�0,

��τότε:�

νν

ααβ και (β 0)

β=……… =……… ≠ �

4)� Αν��α,�β�≥�0,

��τότε:�

( )κ

ν ννα και α β ………=……… = �

5)� Αν��α�≥�0

��και�µ,�ν�είναι�φυσικοί�αριθµοί,�

� τότε:�

νρµ µρνα και α=……… =……… �

5/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 6: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

233�

6)� Θεωρούµε�την�εξίσωση��xν�=�α.

��Ισχύει�ότι:�

� ♦� xν�=�α�⇔�………,�αν�α�>�0

��και�ο�ν�εί-�

� � ναι�περιττός�

� ♦� xν�=�α�⇔�………,�αν�

�α�>�0

��και�ο�ν�εί-�

� � ναι�άρτιος�

� ♦� xν�=�α�⇔�………,

��αν�

�α�<�0�και�ο�ν�εί-�

� � ναι�…………�

� ♦� η�εξίσωση��xν�=�α

��είναι�αδύνατη,�αν�…�

� � ……�και�ο�ν�είναι�…………�

7)� Ισχύει�ότι:�

� ♦� xν�=�α

ν�⇔�………,

��αν�ο�ν�είναι�……�

� ♦� xν�=�α

ν�⇔�………,

��αν�ο�ν�είναι�……�

17.12� Ερωτήσειςτουτύπου“Σωστό-Λάθος”

Να�χαρακτηρίσετε�τις�παρακάτω�προτάσεις�ως�

σωστές�(Σ)�ή�λανθασµένες�(Λ).�

1)� Ισχύει�ότι:�

α�<�β��⇔��β�–�α�>�0�

και�

α�≥�β��⇔��β�–�α�≤�0�

� � � � � � � � � � ��� ���

2)� Αν�οι�αριθµοί�α�και�β�είναι�οµόσηµοι,�τό-�

� τε��αβ�>�0

��και�

α0

β> �ενώ�αν�οι�α�και�β�εί-�

� ναι�ετερόσηµοι,�τότε��αβ�<�0

��και�

α0.

β< �

� � � � � � � � � � ��� ���

3)� Αν��α�<�β,

��τότε�

�αγ�<�βγ

��για�κάθε�

�γ�∈

�R

*.�

� � � � � � � � � � ��� ���

4)� Αν��α�<�β

��και�

�β�>�γ,

��τότε

��α�=�γ.�

� � � � � � � � � � ��� ���

5)� Αν��α�>�β

��και�

�γ�>�δ,

��τότε�

�αγ�>�βδ.�

� � � � � � � � � � ��� ���

6)� Ισχύει�ότι��α2�+�β

2�≥�2αβ

��για�κάθε�

�α,�β

�∈

�R.�

� � � � � � � � � � ��� ���

7)� Αν��α�>�0,

��τότε�

1α 2

α+ ≥ �και�αν�

�α�<�0,�

� τότε�1

α 2.α

+ ≤ − �� � � � Σ��� Λ���

8)� Αν��α�<�β,

��τότε�

�α2ν+1

�<�β2ν+1

,��όπου�

�ν�∈

�N

*.�

� � � � � � � � � � ��� ���

9)� Αν��α�<�β,

��τότε�

1 1.

α β> �� � Σ��� Λ���

10)�Η�ανίσωση��αx�+�β�>�0

��αληθεύει�για:�

βx ,

α

∈ − + ∞

� � � � � � � � � � ��� ���

17.13� Ερωτήσειςτουτύπου“Σωστό-Λάθος”

Να�χαρακτηρίσετε�τις�παρακάτω�προτάσεις�ως�

σωστές�(Σ)�ή�λανθασµένες�(Λ).�

1)� Ισχύει�ότι:�

α, αν α 0α , α 0

α, αν α 0

<= ≥

− ≥�

α 0 α 0, α α α= ⇔ = − ≤ ≤ �

και�

2 2α α= �

� για�κάθε��α�∈

�R.� � � � � ��� ���

6/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 7: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

234� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�

2)� Έστω��θ�∈

�R.

��Ισχύει�ότι:�

x θ x θ ή x θ= ⇔ = = − �

� � � � � � � � � � ��� ���

3)� Αν��α�∈

�R,

��τότε:�

x α x α Þ x α= ⇔ = = − �

� � � � � � � � � � ��� ���

4)� Αν��θ�>�0,

��τότε� x θ θ x θ< ⇔ − < < �και�

� x θ x θ Þ x θ.≥ ⇔ ≤ − ≥ � � Σ��� Λ���

5)� Ισχύει�ότι:�

α β α β+ = + �

� για�κάθε��α,�β

�∈

�R.� � � � ��� ���

6)� Αν��α,�β

�∈

�R,

��τότε:�

ααα β α β και , (β 0)

β β⋅ = ⋅ = ≠ �

� � � � � � � � � � ��� ���

7)� Η�απόσταση�δύο�αριθµών�α�και�β�δίνεται�

� από�τη�σχέση� d(α, β) α β .= − �

� � � � � � � � � � ��� ���

8)� Ισχύει�ότι:�

d(x, α) ε x α ε< ⇔ − < ⇔ �

⇔��x�∈

�(α�–�ε,�α�+�ε)�

� � � � � � � � � � ��� ���

9)� Ισχύει�ότι� α β α β .− ≤ − �� Σ��� Λ���

17.14� Ερωτήσειςτουτύπου“Σωστό-Λάθος”

Να�χαρακτηρίσετε�τις�παρακάτω�προτάσεις�ως�

σωστές�(Σ)�ή�λανθασµένες�(Λ).�

1)� Έστω��α�≥�0.

��Τότε�

2α β β α= ⇔ = �και�

� νν α β β α.= ⇔ = � � � � Σ��� Λ���

2)� Ισχύει�ότι�2ν2 2ν

x x και x x= = � για�κά-�

� θε��x�∈

�R.�� � � � � � ��� ���

3)� Αν��α�≥�0,

��τότε� ( )

ν

ν νν

α α α.= = �

� � � � � � � � � � ��� ���

4)� Αν��α,�β�≥�0,

��τότε� νν να β α β.+ = + �

� � � � � � � � � � ��� ���

5)� Αν��α,�β�≥�0,

��τότε:�

ν

νν νν

ν

α ααβ α β, (β 0)

β β= ⋅ = ≠ �

( )κ

ν κ νν ννα α και α β α β= = �

� � � � � � � � � � ��� ���

6)� Ισχύει�ότι:�

� ♦�µ ν µνα α

+

= �για�κάθε��α�≥�0.�

� � � � � � � � � � ��� ���

� ♦�µρ µνρ να α ,= �όπου�

�α�≥�0.� Σ��� Λ���

7)� Αν�ο�ρ�είναι�άρτιος�φυσικός�αριθµός,�τότε�

µρ µνρ ρα α= ��για�κάθε�

�α�∈

�R.�� ��� ���

8)� Ισχύει�ότι�α β1

,α βα β

=

−+

�(α�≠�β).�

� � � � � � � � � � ��� ���

9)� Η�εξίσωση��xν�=�α,

��µε�

�α�≥�0

��έχει�πάντα�

� µια�µοναδική�λύση.�� � � Σ��� Λ���

10)�Η�εξίσωση��xν�=�α,

��µε�

�α�<�0

��είναι�αδύνατη.�

� � � � � � � � � � ��� ���

11)�Ισχύει�ότι��xν�=�α

ν�⇔�x�=�α

���

�x�=�-

�α,

��όπου�

� ν�άρτιος�ακέραιος�αριθµός.� Σ��� Λ���

12)�Ισχύει�ότι:�

x2ν+1

�=�α2ν+1

��⇔��x�=�α�

� όπου��ν�∈

�N

*.�� � � � � ��� ���

7/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 8: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

235�

17.15� Αν��x�+�y�=�7

��και�

�xy�=�12,

��να�βρείτε�

την�τιµή�των�παραστάσεων:�

α)� Α�=�x2�+�y

2� � � β)� B�=�x

3�+�y

3�

γ)� Γ�=�x4�+�y

4�

17.16� Αν�α γ

,β δ= �να�αποδείξετε�ότι:�

α)�2

α βγ

δ δ= � � � � β)�

2

2

αβ (α β)

γδ (γ δ)

+=

+

γ)�α 1 βγ δ

β βδ

− −

= � � δ)�α µβ β

γ µδ δ

=

17.17� Να�απλοποιήσετε�το�κλάσµα:�

1 11 1

x xx x

1 11 1

x xx x

1 1

K :

1 1

− − = + − + +

17.18� Να�µετατρέψετε�σε�απλά�τα�παρακά-�

τω�σύνθετα�κλάσµατα:�

α)�

α x 2x

2α x α

α x 2α

2x x α

A

+

+

+

+

=

� β)�

( )

2 2

2

α β

β

1 1β α

B

+−

=

γ)�

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

Γ

+ −

− +

+ −

− +

=

+

� δ)�

2 2

1 x 1 x

1 x 1 x

1 1

(x 1) (1 x)

+ −

− +

+ −

+

=

+

17.19� Αν��α�+�β�+�γ�=�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α(β�–�γ)2�+�β(γ�–�α)

2�+�γ(α�–�β)

2�+�9αβγ�=�0�

17.20� Να�απλοποιήσετε�τις�παρακάτω�παρα-�

στάσεις:�

α)�2 2 2 2

2 2 2 2

βαy x

βαy x

αβ(x y ) xy(α β )A

αβ(x y ) xy(α β )

−+ + +

= ⋅

− + −+

β)�2 2 2

2 2 2

(α β γ 2βγ)(α β γ)B

(α β γ)(α γ β 2αγ)

− − − + −=

+ + + − −

γ)�2 2 2 2

2 2 2 2

(x x 1)(x x 1) (x x 1)(x x 1)Γ

(x x 1)(x x 1) (x x 1)(x x 1)

+ − − + − + + − −=

+ − + + − − + − −

δ)�5 2 3 4 4

4 2 2 3 3 2 2

x x y x y xy x y∆

x x y x y xy x xy y

+ − − += ⋅

− + − − +

17.21� Αν��α�+�β�+�γ�=�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

2 2α (β γ) βγ β (γ α) αγ

βγ(β γ) αγ(α γ)

+ − + −+ +

+ +

2 2 2

3 3 3

γ (α β) αβ 3(α β αβ 3αβγ)0

αβ(α β) α β γ

+ − + + −+ + =

+ + +

17.22� Να�απλοποιήσετε�την�παράσταση:�

α α β β γ γβ γ γ α α β

1 1 1A

1 1 1

= + +

+ + + + + +

17.23� Αν�λ µ ν

,α β β γ α γ

= =

− − −

�να�αποδείξε-�

τε�ότι��λ�+�µ�=�ν.�

17.24� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)�4 4 2 2

3 3

3 2 2 2 2 2

yx

y x1

x y x y2 x y

x 2x y xy xy y y x

− + ⋅ − + = +

− + + �

8/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 9: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

236� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�

β)�

2

2

2

α (1 x)

y α x

αy(1 x)

y α x

16αx y ω ω 1

3y ω 4 3 2α

+

+

++

⋅ − = − −

γ)�2 2

4αβ4αβ 4αβ

α β α β α β

4αβ 4αβ α β α β

α β α β α β α β

2α 2β: 2

2α 2β

+ + −

+ −

+ + − +

+ +

− = − − −

17.25� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

α)�1 1 γ

A (α β γ) :α β αβ

= − − + +

�2

2 2 2 2

1 1 2 γ:

αβα β α β

+ + −

β)� 21 α 1 αB α :

1 α 1 α

+ − = − − +

�1 α 1

: 1 11 α 1 α

+ − − − +

γ)�2 2

2 2 4

α α αΓ 1 1 1 :

β β β

= + − +

�2 3

2 4 6

α α α: 1

β β β

+ + +

17.26� Αν�είναι:�

2 2 2β γ αx

2βγ

+ −= �

και�

2 2 2

(α γ β)(α β γ)y

β γ α 2βγ

+ − + −=

+ − +

να�αποδείξετε�ότι:�

α)�(β γ α)(β γ α)

x 12βγ

+ − + ++ = �

β)�4βγ

y 1(β γ α)(β γ α)

+ =

+ − + +

γ)� (x�+�1)(y�+�1)�=�2�

17.27� Να�αποδείξετε�ότι:�

( )( ) ( )( )γβ γ αβ βα α

1 1

1 11 1

+ +

− −− −

( )( )βαγ γ

11

1 1

+ =

− −

17.28� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)�2 2

y

x

y

x

yx

y x

1

1x y x y x y1 1

x y x y 2xy

+ − + + + + ⋅ = + − +

β)�2 2

2

2 2

2

1 1

x x

1 1

x x

x x 22x

1 11 1

x x

x x

−+ =

− −

+ −

+ −

γ)�3 3 3 3

β β

α β α β

α β α β2αβ

β βα α

1 1− +

+ −− =

− +

+ −

17.29� Αν�2 2

1 12004,

α γ− = �να�βρείτε�την�τι-�

µή�της�παράστασης:�

α β 1 1 β γ 1 1A

αβ α β βγ γ β

+ += − − −

17.30� Αν�α β γ

,δ ε η= = �να�αποδείξετε�ότι:�

α)�2 2 2 2 2 2α δ β ε γ η

α δ β ε γ η

+ + ++ + =

+ + +

9/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 10: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

237�

�2 2(α β γ) (δ ε η)

α β γ δ ε η

+ + + + +=

+ + + + +

β)�3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

α δ β ε γ η

α δ β ε γ η

+ + ++ + =

+ + +

�3 3

2 2

(α β γ) (δ ε η)

(α β γ) (δ ε η)

+ + + + +=

+ + + + +

17.31� Αν�είναι:�

x�=�(α2�–�β

2)(α

2�+�β

2)2�

y�=�2αβ(α4�+�2α

2β2�+�β

4)�

και�

ω�=�α2�+�β

2�

να�αποδείξετε�ότι��x2�+�y

2�=�ω

6.�

17.32� Αν�α β γ

,β γ δ= = �να�αποδείξετε�ότι:�

α)�3 3 3

3 3 3

α β γ α

δβ γ δ

+ +=

+ +

β)� (α2�+�β

2�+�γ

2)(β

2�+�γ

2�+�δ

2)�=�(αβ�+�βγ�+�γδ)

2�

γ)�2 3

3

γ δ δ β δ

αγ

+ += �

δ)�3 3

3 3

2α 3β 2α 3δ

3α 4δ3α 4β

+ +=

−−

17.33� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)��12x

2(x�–�2)�–�4(3x�+�2)

2(x�–�1)�+�

��+�(6x�–�4)

2(x�+�2)�=�12x

3�–�12x

2�–�48x�+�48�

β)�2 24x (3x 2)

(x 2)(4x 4) (x 2)(3x 6)

+− +

+ − + −

�2(6x 4)

112(x 1)(x 2)

−+ =

− −

17.34� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)�

2xy 2xy

x y x y

1 1 1 1x y 2x y x 2y

y x

xy+ +

− −

− −

+ =

+ +

β)�

2 2 2 2

2

α β α ββ α1 1 1 1β α β α

2α 2β(α β)

+ ++ +

+ = +

+ +

17.35� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

α)�

( )

22

2 2

2

ββ ααβ α β α

βα 1 1β α β α

A :

−+

=

−+

β)�2 2 2

1 1x y ω

1 1x y ω

y ω x 2yωB 1

2yω x y ω

+ + −= − ⋅

+ −− �

γ)�2 2 2

2

1 1α β γ

1 1α β γ

β γ α 2βγΓ 1

2βγ (α β γ)

+

+

+ + −= + ⋅

+ +− �

δ)�( ) 2

2 2

3

1 1

x x

1

x

11 x 1 x x

∆1 x x 1 2x x1

−− − + = − − + − ++

17.36� Να�µετατρέψετε�σε�απλά�τα�παρακάτω�

σύνθετα�κλάσµατα:�

α)�

α β

α β

3α βA

α βα β

1−

+

−=

−+ +

+

β)�3 3

2

2 2

α β

α β

α βB

2βα β

1+

−=

− +

+

10/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 11: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

238� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�

17.37� Να�κάνετε�τις�πράξεις:�

α)�4 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x (x 1) x (x 1)A

(x 1) x x (x 1) 1

− − − −= + +

+ − + −

�2 2

4 2

x (x 1) 1

x (x 1)

− −+

− +

β)�2 2 2 2

2 2 2 2

(2α 3β) α 4α (3β α)B

4α (3β α) 9(α β )

− − − −= + +

− + −

�2 2

2 2

9β α

(2α 3β) α

−+

+ −

17.38� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

α)�

1 1β α

α β α β

α β α β

1

A+ −

− +

=

β)�

1

x 11

x

1

x 11

x

x1

1

Bx

x

1

+

+ −

+

=

− −

γ)�( )

2

2 2 2 2

γ1 1α β αβ

γ1 1 2αβα β α β

(α β γ)

Γ

+ − + +

=

+ + −

δ)�

( )

3 3 2 2

2 2 3 3 2 2

2

2

x y x y 1 1

x y x y x y

(x y) xy 1 1y x(x y) xy

− −

+ +

+ −

− +

⋅ +

=

17.39� Να�αποδείξετε�ότι�ο�αριθµός:�

α�=�(ν3�+�3ν

2�+�ν)(ν

3�+�3ν

2�+�ν�+�2)�+�1�

µε��ν�∈

�N

*��είναι�τέλειο�τετράγωνο,�δηλαδή�τε-�

τράγωνο�φυσικού�αριθµού.�

17.40� Αν�α,�β�και�γ�είναι�οµόσηµοι�αριθµοί�µε:�

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

α β γ β γ α3

β γ α α β γ+ + = + + = �

να�αποδείξετε�ότι��α�=�β�=�γ.�

17.41� Αν�µ�και�ν�είναι�ακέραιοι�αριθµοί,�να�

αποδείξετε�ότι�ο�αριθµός:�

Α�=�µ2ν�+�µν

2�+�µ

2�+�ν

2�+�2µν�+�µ�+�ν�

είναι�άρτιος.�

17.42� Να�αποδείξετε�ότι�δεν�υπάρχουν�ακέ-�

ραιοι�x�και�λ�τέτοιοι,�ώστε:�

x2�+�2x�=�10λ

2�+�10λ�+�6�

17.43� ∆ίνεται�η�παράσταση:�

A(x)�=�x4�–�x

3�–�3x

2�+�5x�-�2�

α)� Να�κάνετε�γινόµενο�την�παράσταση�Α(x).�

β)� Να�λύσετε�την�εξίσωση��Α(x)�=�0.�

17.44� Να�κάνετε�γινόµενο�τις�παραστάσεις:�

α)� Α�=�α4�+�α

3�–�α

2�-�α�

β)� Β�=�α3�+�2α

2�-�1�

γ)� Γ�=�x3�–�3α

2x�+�2α

3�

δ)� ∆�=�x2�+�y

2�-�4x�+�4y�–�2xy�+�3�

17.45� Να�γράψετε�τον�αριθµό��α�=�2

2002�+�1�

ως�γινόµενο�δύο�ακέραιων�αριθµών.�

17.46� Αν�είναι��x�+�y�+�ω�=�2

��και:�

(x�–�1)(y�–�1)(ω�–�1)�=�2004�

α)� να�κάνετε�γινόµενο�την�παράσταση:�

Α�=�xy�+�ω�–�1�

β)� να�βρείτε�την�τιµή�της�παράστασης:�

1 1 1K

xy ω 1 yω x 1 ωx y 1= + +

+ − + − + −

11/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 12: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

239�

17.47� Ποιος�από� τους�αριθµούς� 33 και 2 �

είναι�µεγαλύτερος;�

17.48� Να�αποδείξετε�ότι:�

6 2 5 8 2 71

7 5 2

+ + +=

+ +

17.49� Αν�5 2 6 5 2 6

A ,2

− − += �να�απο-�

δείξετε�ότι��Α�=�-2.�

17.50� Αν�είναι:�

2 2 2 2x 2y α 4β και 2x y 4α β+ = + − = + �

να�αποδείξετε�ότι��x2�+�y

2�=�α

2�+�β

2.�

17.51� Να�συγκρίνετε�τους�αριθµούς:�

3 4α 2 και β 2= = �

17.52� ∆ίνεται�η�παράσταση:�

A(x) x 2 3 11 1 2x= − − + − − �

α)� Να�βρείτε�τα�Α(6)�και�Α(-5).�

β)� Να�βρείτε�το�πεδίο�ορισµού�Α�της�παρά-�

στασης�Α(x).�

17.53� Να�αποδείξετε�ότι:�

4 4

4

8 2 1 8 2 12

8 2 1

+ − − − −=

− +

17.54� Αν�είναι:�

2αβ

11 βx1 αx

x και Aα 1 αx 1 βx

−+−

= = ⋅

+ −

να�αποδείξετε�ότι��Α�=�1,

��(α�>�β�>�0).�

17.55� Αν�α,�β,�γ�και�δ�είναι�ακέραιοι�αριθµοί�

και� α β 2 γ δ 2,+ = + �να�αποδείξετε�ότι:�

α�=�γ���και���β�=�δ�

17.56� Έστω��α,�β

�∈

�R

��µε� α 1 και β 1≤ ≤ .�

Να�αποδείξετε�ότι:�

α)�

2

α β1 0

2

+ − ≥

�� � β)��αβ�≤�1�

γ)�

2

2 2 α β1 α 1 β 2 1

2

+ − + − ≤ −

17.57� Να�αποδείξετε�ότι:�

2 2α α β α α βα β

2 2

+ − − −

+ = + �

όπου��α,�β�≥�0

��και�

�α2�≥�β.�

17.58� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)� 4 2 3 1 3 και 4 2 3 3 1+ = + − = − �

β)�2 3 2 3

2

2 2 3 2 2 3

+ −+ =

+ + − −

17.59� Αν��α,�β�≥�0

��µε�

�1�≠�α�≠�β,

��να�απλο-�

ποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

α)�2

2

1 1 α 1 1A 1

α1 α2 2 α 2 2 α

+ = + − +

−+ − �

β)�

2

α α β β α βB αβ

α βα β

+ += − −+

17.60� Για�τις�πλευρές�α,�β�και�γ�ενός�τριγώ-�

νου�ΑΒΓ�ισχύει�η�σχέση:�

12/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 13: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

240� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�

2 2 2 2

2 2

2 2

βγ

α β

β γ β γ

(α β) (α β)

γ β2

αβ β

+

+ +

= ⋅ ⋅

+ +

Να�αποδείξετε�ότι�το�τρίγωνο�ΑΒΓ�είναι�ορ-�

θογώνιο.�

17.61� Αν��α,�β�>�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

2 β α α β β1αβ 1

α βα β α β

++ − = −+ +

17.62� Αν��α�>�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

( )( )( )4 81 α 1 α 1 α+ + + ⋅ �

( )( )16 161 α 1 α 1 α⋅ + − = − �

17.63� Να�λύσετε�την�εξίσωση:�

2000 3 2004x 6 x 2 6 x 2− + + + − = �

17.64� ∆ίνονται�οι�αριθµοί��α,�β,�γ

�∈

�R

��µε�

α,�β,�γ�≥�0.��Να�αποδείξετε�ότι:�

α)� αβ 1 2 αβ+ ≥ �

β)� 2 2α β 2 4 αβ+ + ≥ �

γ)� ( )2 2 2α β γ 3 2 αβ βγ γα+ + + ≥ + + �

17.65� Να�βρείτε�τους�αριθµούς:�

α)�55 5

α 5= �� � � β)�77 7β 7= �

γ)�3 88 8γ 8= �� � � δ)�

86 6δ 5= �

17.66� Να�απλοποιήσετε�την�παράσταση:�

3 3 3 3A 40 4 135 3 320 5 625= + + − �

17.67� Να�συγκρίνετε�τους�αριθµούς:�

3 4α 4 και β 3= = �

17.68� Να�αποδείξετε�ότι:�

( )( )2 3 6 2 2 3 2− − + = �

17.69� α)� Να�αποδείξετε�ότι:�

2(α2�+�β

2)�≥�(α�+�β)

2���για�κάθε�

�α,�β

�∈

�R�

β)� Αν�είναι:�

2004 x 2004 y 2 2004 ω+ + + = + �

να�αποδείξετε�ότι��x�+�y�≥�2ω.�

17.70� Να�λύσετε�την�εξίσωση:�

3x 2 x 6 2 x 2− + + + − = �

17.71� Να�αποδείξετε�ότι:�

3

3 3

3 25: 2

2 5 2 5

+ + + +

3 3

3

3 3 3

2 5 25 45 2

5 2 25 2 5

−+ + ⋅ = − +

όπου��x�≥�0.�

17.72� Αν��x,�y�>�0,

��να�απλοποιήσετε�την�πα-�

ράσταση:�

3 4 3

3

3 2 233

x 8y x yA : 1 2

xx 2 xy 4 y

−= −

+ + �

17.73� Να�αποδείξετε�ότι:�

2 4 2

x

x 1 x x 1

+ − + +

2 2

2 2

x x 1 x x 11

x x 1 x x 1

+ + − − +⋅ =

+ + + − +

13/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 14: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

241�

Αφιέρωµα στις ανισότητες, 1ο µέρος

17.74� Αν��α,�β

�∈

�R,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α)� 2(α2�+�β

2)�≥�(α�+�β)

2�

β)� α4�+�β

4�≥�αβ(α

2�+�β

2)���(µε�

�α,�β�≥�0)�

γ)� 2(α4�+�β

4�+�γ

4)�≥�

� ≥�(α2�+�β

2)αβ�+�(β

2�+�γ

2)βγ�+�(γ

2�+�α

2)γα�

17.75� Αν��α,�β�≥�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α)� α β 2 αβ+ ≥ � � β)� 1 αβ 2 αβ+ ≥ �

γ)��αβ(α�+�β)�≥�4αβ�–�α�-�β�

17.76� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)� x2� +� y

2� +�ω

2�≥� xy� +� yω�+�ωx

�� για� κάθε�

� x,�y,�ω�∈

�R�

β)�4 4 4

2 2 2

α β γ 1 1 1,

αβ βγ γαα β γ

+ +≥ + + �

� όπου��α,�β,�γ�>�0�

17.77� Αν��α,�β,�γ�≥�0

��και�

�α�+�β�+�γ�=�1,

��να�

αποδείξετε�ότι:�

α)� α β 2 αβ+ ≥ ���και�

��α2�+�β

2�+�γ

2�≥�αβ�+�βγ�+�γα�

β)� 2 2 2 1α β γ

3+ + ≥ �

γ)��(α�+�βγ)(β�+�γα)(γ�+�αβ)�≥�64α

2β2γ2�

17.78� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)� 2(x2�+�y

2)�≥�(x�+�y)

2��για�κάθε�

�x,�y

�∈

�R�

β)� α2�+�β

2�+�γ

2�+�δ

2�≥�αβ�+�βγ�+�γδ�+�δα

��για�

� κάθε��α,�β,�γ,�δ

�∈

�R�

17.79� Αν�οι�αριθµοί�α�και�β�είναι�θετικοί�και�

α,�β�<�x��να�αποδείξετε�ότι:�

2 2 2 2 2

α β α β

x αβ x α x β

+≤ +

− − −

17.80� Αν��α,�β,�γ�>�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α)�2 2α βγ β γα

α ββ γ γ α

+ ++ ≥ +

+ +

β)�2 2 2α βγ β γα γ αβ

α β γβ γ γ α α β

+ + ++ + ≥ + +

+ + +

γ)�2 2α β α β

2β 2α 2

++ ≥ �

δ)�2 2 2 2 2 2α β β γ γ α

α β γ2γ 2α 2β

+ + ++ + ≥ + + �

17.81� Αν��x,�y,�ω�>�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α)�2 2

x yx y

y x+ ≥ + �

β)� x3(y�+�ω)�+�y

3(ω�+�x)�+�ω

3(x�+�y)�≥�

� ≥�2xyω(x�+�y�+�ω)�

17.82� Αν��x,�y,�ω�>�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α)�2

2 2

x 2x y

3xyy(x xy y )

−≥

+ +

β)�2 2

2 2 2 2

x y

y(x xy y ) ω(y yω ω )+ +

+ + + +

�2

2 2

ω 3

x y ωx(ω ωx x )+ ≥

+ ++ +

17.83� Έστω��x,�y,�ω�≥�0

��µε�

�x�+�y�+�ω�=�1.

��Να�

αποδείξετε�ότι:�

14/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 15: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

242� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�

α)� α β 2 αβ+ ≥ �για�κάθε��α,�β�≥�0�

β)��(1�+�x)(1�+�y)(1�+�ω)�≥�

��≥�8(1�–�x)(1�–�y)(1�–�ω)�

17.84� Αν��α,�β,�γ�>�0

��και�

�α�+�β�+�γ�=�2,

��να�

αποδείξετε�ότι:�

αβ βγ γα1

α β β γ γ α+ + ≤

+ + +

17.85� Έστω�α,�β�και�γ�είναι�θετικοί�πραγµα-�

τικοί�αριθµοί�µε��α�+�β�+�γ�=�1.�

α)� Να�αποδείξετε�ότι:�

(α�+�βγ)(β�+�γα)(γ�+�αβ)�=�

=�(1�–�α)2(1�–�β)

2(1�–�γ)

2�

β)� Να�αποδείξετε�ότι:�

i)� (α�+�β)2�≥�4αβ�

ii)� (α�+�βγ)(β�+�γα)(γ�+�αβ)�≥�64α2β2γ2�

γ)� Να�αποδείξετε�ότι:�

1 1 1 1

α βγ β γα γ αβ 8αβγ+ + ≤

+ + +

17.86� Αν��α,�β,�γ�>�0

��και�

�αβγ�=�1,

��να�αποδεί-�

ξετε�ότι:�

α)� ( )2

(α β)(α γ) α β γ+ + ≥ + �

β)��(α�+�β)(β�+�γ)(γ�+�α)�≥�

� ( )( )( )β γα β γ α≥ ++ + �

17.87� Έστω��α,�β,�γ�>�0.

��Να�αποδείξετε�ότι:�

α)�2 2 2 2 2 2α β γ β γ α

α β β γ γ α α β β γ γ α+ + = + +

+ + + + + +

β)�2 2 2 2α β α β β γ β γ

, ,α β 2 β γ 2

+ + + +≥ ≥

+ +

�2 2γ α γ α

γ α 2

+ +≥

+

γ)�2 2 2α β γ α β γ

α β β γ γ α 2

+ ++ + ≥

+ + +

17.88� Αν��α,�β,�γ�>�0

��µε�

1 1 11,

α β γ+ + = �να�απο-�

δείξετε�ότι:�

α)�βγ

α βγ αα

+ ≥ + �

β)� α βγ β γα γ αβ+ + + + + ≥ �

� αβγ α β γ≥ + + + �

Πότε�ισχύει�η�ισότητα;�

17.89� Αν��x�>�0,

��y

�∈

�R

��και�

�x2�+�y

3�≥�x

3�+�y

4,�

να�αποδείξετε�ότι:�

α)� x�+�y2�≥�x

2�+�y

3� � β)� x

3�+�y

3�≤�2�

17.90� Αν�α�και�β�είναι�τυχαίοι�πραγµατικοί�

αριθµοί,�να�αποδείξετε�ότι:�

4 2 2 4 3 3α α β β α β β α

3 2

+ + +≥ �

17.91� Αν��α,�β,�γ�≥�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

2 2 2 2 2 2

2 2 2α(β γ ) β(γ α ) γ(α β )α β γ

8

+ + + + +≥ �

17.92� Αν��α,�β,�γ,�δ�≥�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

(α γ)(β δ) αβ γδ+ + ≥ + �

17.93� Αν��α,�β,�γ,�x,�y�>�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α)�x y

xy2

+≥ �

β)�β γ α

α β γ 8γα αβ βγ

+ + + ≥

15/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 16: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

243�

17.94� Αν��α,�β,�γ�≥�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

(α β) γ (β γ) α (γ α) β 6 αβγ+ + + + + ≥ �

17.95� Αν��α,�β,�γ�>�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α)�αβ α β

α β 4

+≤

+

β)�αβ βγ γα α β γ

α β β γ γ α 2

+ ++ + ≤

+ + +

17.96� Αν�α,�β�και�γ�είναι�θετικοί�αριθµοί�µε�

α�+�β�+�γ�=�3,��να�αποδείξετε�ότι:�

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

αβγα αβ β β βγ γ γ γα α+ + ≤

+ + + + + +

Αφιέρωµα στις ανισότητες, 2ο µέρος

17.97� Να�αποδείξετε�ότι:�

α) α2�+�β

2�≥�2αβ

��για�κάθε�

�α,�β

�∈

�R�

β)� α2�+�β

2�+�γ

2�≥�αβ�+�βγ�+�γα�

� για�κάθε��α,�β,�γ

�∈

�R�

γ)� α2�+�β

2�–�2α�–�4β�+�5�≥�0�

� για�κάθε��α,�β,�γ

�∈

�R�

δ)� (α�+�β�+�γ)2�≥�3(αβ�+�βγ�+�γα)�

� για�κάθε��α,�β,�γ

�∈

�R�

17.98� Αν��α,�β�>�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α)�α β

2β α+ ≥ �

β)�2 2α β α β

α β 2

+ +≥

+

γ)� (α2�+�β

2)(α

4�+�β

4)�≥�α

2β2(α�+�β)

2�

δ)�2 2 3 3α β α β α β

2 2 2

+ + +⋅ ≤ �

ε)�3 3 4 4α β α β α β

2 2 2

+ + +⋅ ≤ �

στ)�

33 3α β α β

2 2

+ + ≥

17.99� Αν��x,�y,�z�>�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α) i)�x y

2y x+ ≥ �

� ii)�x y y z z x

6z x y

+ + ++ + ≥ �

� iii)�1 1 1

(x y z) 9x y z

+ + + + ≥

β) i)�2 2

x y x y

x y 2

+ +≥

+

� ii)�2 2 2 2 2 2

x y y z z xx y z

x y y z z x

+ + ++ + ≥ + +

+ + +

17.100� Αν��α,�β,�γ�>�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α) i) αβ α β

α β 4

+≤

+

� ii) αβ βγ γα α β γ

α β β γ γ α 2

+ ++ + ≤

+ + +

β) i)� α3�+�β

3�≥�αβ(α�+�β)�

� ii)�3 3 3 3

1 1

α β αβγ α β αβγ+ +

+ + + +

� �3 3

1 1

αβγα β αβγ+ ≤

+ +

16/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 17: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

244� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�

γ) i)�2 2

α β 1 1 1

2 α βα β

+≤ +

+ �

� ii)�2 2 2 2 2 2

α β β γ γ α 1 1 1

α β γα β β γ γ α

+ + ++ + ≤ + +

+ + +

δ) i)�4 1 1

α β α β≤ +

+

� ii)�1 1 1 1 1 1 1

α β β γ γ α 2 α β γ

+ + ≤ + +

+ + + �

ε) i)� α3�+�β

3�+�γ

3�≥�3αβγ�

� ii)� 3α β γ 3 αβγ+ + ≥ �

17.101� Έστω�ότι�οι�x,�y�και�ω�είναι�τυχαίοι�

πραγµατικοί�αριθµοί�και��α,�β,�γ�>�0.

��Να�απο-�

δείξετε�ότι:�

α) i)�2 2 2x y (x y)

α β α β

++ ≥

+

� ii)�2 2 2 2x y ω (x y ω)

α β γ α β γ

+ ++ + ≥

+ +

β) Αν��α�+�β�+�γ�=�2,

��τότε:�

2 2 2α β γ1

β γ γ α β α+ + ≥

+ + +

γ)� Αν��α2�+�β

2�+�γ

2�=�3,

��τότε:�

1 1 1 3

1 αβ 1 βγ 1 γα 2+ + ≥

+ + +

δ)�α β γ

1β 2γ γ 2α α 2β

+ + ≥

+ + +

ε)� Αν��αβγ�=�1,

��τότε:�

2 2 2α β γ 3

β γ γ α β α 2+ + ≥

+ + +

στ)�Αν��α,�β�>�1,

��τότε�

2 2α β8.

β 1 α 1+ ≥

− −

ζ)� Αν��αβγ�=�1,

��τότε:�

3 3 3

1 1 1 3

2α (β γ) β (γ α) γ (α β)+ + ≥

+ + +

η) Αν��α�+�β�+�γ�=�1,

��τότε:�

2 2 2(α β) (β γ) (γ α)1

γ 1 α 1 β 1

+ + ++ + ≥

+ + +

17.102� Έστω�α,�β�και�γ�θετικοί�πραγµατικοί�

αριθµοί.�Να�αποδείξετε�ότι:�

α)�3 3

2 2

α β α β

3α αβ β

+ +≥

+ +

β) 3

2 2

α 2α β

3α αβ β

−≥

+ +

γ)�3 3

2 2 2 2

α β

α αβ β β βγ γ+ +

+ + + +

�3

2 2

γ α β γ

3γ γα α

+ ++ ≥

+ +

17.103� Αν��α�+�β�=�2,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α)� (αβ�–�1)(α�–�β)2�≤�0�

β)� (α2�+�β

2�–�2)(α

2�+�β

2)�≥�0�

Πότε� ισχύει� η� ισότητα� στις� παραπάνω� σχέ-�

σεις;�

17.104� Αν��α,�β�>�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

2 2α β1 1 (1 α)(1 β)

β α

+ + ≥ + +

Πότε�ισχύει�η�ισότητα;�

17.105� ∆ίνονται�οι�θετικοί�αριθµοί�α,�β�και�γ�

µε��α�+�β�+�γ�=�1.

��Να�αποδείξετε�ότι:�

17/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 18: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

245�

α)�α β

2β α+ ≥ � � � β)�

1 1 19

α β γ+ + ≥ �

17.106� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)� α2�–�2α�+�2�>�0

��για�κάθε�

�α�∈

�R�

β)� α2�–�6α�+�10�>�0

��για�κάθε�

�α�∈

�R�

γ)� 2α2�–�6α�+�5�>�0

��για�κάθε�

�α�∈

�R�

17.107� ∆ίνεται�η�παράσταση:�

Α(α,�β)�=�α3�+�2β

3�–�3αβ

2�

α)� Να�κάνετε�γινόµενο�την�παραπάνω�παρά-�

σταση.�

β)� Αν��α,�β�≥�0

��να�αποδείξετε�ότι:�

α3�+�2β

3�≥�3αβ

2�

17.108� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)� α2�–�α�+�1�>�0

��και�

�α2�+�α�+�1�>�0,�

β)� αν�α�>�0,��τότε�

�α7�+�1�≥�α

6�+�α.�

17.109� Αν�x�και�y�είναι�θετικοί�αριθµοί,�µε�

xy�≤�1,��να�αποδείξετε�ότι:�

1 11

1 x 1 y+ ≥

+ +

17.110� ∆ίνονται�οι�θετικοί�αριθµοί�α,�β�και�γ.�

Να�αποδείξετε�ότι:�

α)� α5�+�β

5�≥�α

2β2(α�+�β)�

β)� αν��αβγ�=�1,

��τότε:�

� i)�5 5

αβ γ

α β γα β αβ≤

+ ++ +

� ii)�5 5 5 5

αβ βγ

α β αβ β γ βγ+ +

+ + + +

� �5 5

γα1

γ α γα+ ≤

+ +

17.111� Αν�α,�β�και�γ�είναι�θετικοί�ρητοί�αριθ-�

µοί�µε��α�+�β�+� γ�=�1,

�� να�αποδείξετε�ότι� ο�

αριθµός� A (α βγ)(β γα)(γ αβ)= + + + �είναι�

επίσης�ρητός.�

17.112� ∆ίνεται�η�παράσταση:�

A(x) x 1 x 3= + + − �

α)� Να�γράψετε�την�παράσταση�Α(x)�χωρίς�το�

σύµβολο�της�απόλυτης�τιµής.�

β)� Να�λύσετε�την�εξίσωση��Α(x)�=�x�+�2.�

γ)� Να�λύσετε�την�ανίσωση��Α(x)�≤�x�+�2.�

17.113� Έστω�α,�β�και�γ�ακέραιοι�αριθµοί�µε�

αβ�+�βγ�=�2�+�γα�+�γ2.��Να�αποδείξετε�ότι:�

α β 3+ = �

17.114� Να�αποδείξετε�ότι:�

2

5 ψηφία10 ψηφία

44 4 88 8 66666

−−

… − … =���

17.115� Να�αποδείξετε�ότι:�

3 3 36 6 6 6 6 6 5+ + + + + < �

17.116� ∆ίνεται�η�συνάρτηση:�

2004 2004

x 1 x 1f (x)

x 1 x 1

− + = −

+ − �

α)� Να�βρείτε�το�πεδίο�ορισµού�Α�της�f�(x).�

β)� Να�εξετάσετε�αν�η�f�είναι�άρτια�ή�περιττή.�

γ)� Να�εξετάσετε�αν�η�f�διέρχεται�από�την�

αρχή�των�αξόνων.�

18/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 19: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

246� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�

17.117� ∆ίνεται�η�παράσταση:�

Ε(x)�=�x�+�x2�+�x

3�+�x

4�+�

4 3 2

1 1 1 1

xx x x+ + + + �

Αν�1

x 5,x

+ = �να�αποδείξετε�ότι:�

α)� 2

2

1x 23

x+ = �� � β)� 3

3

1x 110

x+ = �

γ)� 4

4

1x 527

x+ = � � δ)� E(x)�=�665�

17.118� ∆ίνεται�η�παράσταση:�

( ) ( )2 2

α β αβ 1A , µε α, β 0

α β αβ 1

+ − += ≥

+ − −

α)� Για�ποιες�τιµές�των�α�και�β�δεν�ορίζεται�η�

παράσταση�στο�Α;�

β)� Να�αποδείξετε�ότι�η�παράσταση�Α�είναι�

ανεξάρτητη�από�τις�τιµές�των�α�και�β.�

17.119� Να�αποδείξετε�ότι�ο�αριθµός:�

1 5B 4 2 5 10

2 2= + − + + + �

είναι�ακέραιος.�

17.120� Να� λύσετε� στο� σύνολο�Z� των� ακε-�

ραίων�τις�εξισώσεις:�

α)� 53x-1

�=�25x+5

� � � β)� 32x-1

�=�27-3x+7

γ)� 28x-1

�=�82x+3

� � � δ)� 9x+2

�=�3x+10

17.121� Η�διαφορά�των�τετραγώνων�δύο�δια-�

δοχικών�περιττών�ακεραίων�είναι�ίση�µε�8000.�

Να�βρείτε�τους�αριθµούς�αυτούς.�

17.122� Να�βρείτε�τους�αριθµούς�α,�β�και�γ�για�

τους�οποίους�ισχύει�ότι:�

2 2 2 1α 1 2 β 2 3 γ 3 (α β γ)

2− + − + − = + + �

17.123� ∆ίνεται�η�παράσταση:�

Α(x,�y)�=�x2�+�y

2�–�4x�–�4y�+�λ�

α)� Να�βρείτε�τη�µικρότερη�τιµή�του�λ�για�την�

οποία�είναι��Α(x,�y)�≥�0

��για�κάθε�

�x,�y

�∈

�R.�

Ποιες�είναι�στην�περίπτωση�αυτή�οι�τιµές�των�

x�και�y,�ώστε��Α(x,�y)�=�0;�

β)� Να� βρείτε� όλες� τις� τιµές� του� λ,�ώστε� να�

ισχύει��Α(x,�y)�≥�0

��για�κάθε�

�x,�y

�∈

�R.�

17.124� Να�αποδείξετε�ότι:�

x y x ω y x y ω

1 1

1 2 2 1 2 2− − − −

+ +

+ + + +

ω x ω y

11

1 2 2− −

+ =

+ +

17.125� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

α)� [ ]A (α β) [ (α β) 2β]-2(α β) 2β=− − − − − + + − + �

β)� [ ] [ ]{ }B ( α β) ( β) 3( β α) (2α β) 4α=− −−− + − − − − − + − − + �

17.126� Να�κάνετε�τις�πράξεις:�

α)��(α�+�β)(3α�–�β)�–�(4β�–�α)(2α�–�β)�-�

��-�2β(2α�+�β)�–�α(5α�–�11β)�

β)��(α�–�β)(α�+�β�–�2γ)�–�(γ�–�β)(β�+�γ�–�2α)�-�

��-�(α�–�γ)(γ�+�α�–�2β)�

19/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 20: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

247�

γ)� [ ] 2(x y)(3x y) xy x(2x y) 5x+ − − − − − �

δ)��(2x�+�3y)(3x�–�2y)�–�3(x�–�y)(x�+�y)�-�

��-�x(3x�+�5y)�–�2y

2�

17.127� Αν��x�=�0,4

��και�

�y�=�-2,5

��να�αποδεί-�

ξετε�ότι:�

( ) ( )

( ) ( )

23 5 22

22 1

1 3 7

x : x : yxy1

xy : x y

=

17.128� Να�υπολογίσετε� την� τιµή� της� παρά-�

στασης:�

( )2 20 17 11

100 50 149

60 40

(10 ) ( 0,25) ( 8)A 12 1,5 6

( 4) ( 1,25)

− −

−− −

= ⋅ ⋅

− −

17.129� Να�αποδείξετε�τις�παρακάτω�ταυτό-�

τητες:�

α)� (α�+�β)2�+�(β�+�γ)

2�+�(γ�+�α)

2�–�(α�+�β�+�γ)

2�=�

� =�α2�+�β

2�+�γ

2�

β)� (x�+�y)3�+�(x�–�y)

3�+�3(x�+�y)(x�–�y)

2�+�

� +�3(x�–�y)(x�+�y)2�=�8x

3�

γ)� (α�+�β�+�γ)2�+�(α�–�β�–�γ)

2�-�

� -�(α�+�β�–�γ)2�–�(α�–�β�+�γ)

2�=�8βγ�

δ)� (α�+�β�–�γ)2�–�(α�–�β�+�γ)

2�+�(α�–�β)

2�+�

� +�4αγ�=�(α�+�β)2�

ε)� α2β2�+�(α

2�+�β

2)(α�+�β)

2�–�(α

2�+�β

2�+�αβ)

2�=�0�

17.130� Να�αποδείξετε�ότι�αν��x�+�y�=�30

��και�

xy�=�200,��τότε:�

α)� x2�+�y

2�=�500�� � β)� x

3�+�y

3�=�9000�

17.131� Να�κάνετε�γινόµενο�τις�παραστάσεις:�

α)� α2�+�β

2�–�γ

2�+�2αβ�

β)� x2�+�y

2�-�16ω

2�–�2xy�

γ)� x2�–�y

2�–�α

2�–�2αy�

δ)� 4α2�–�β

2�+�4βx�–�4x

2�

ε)� 9�–�9α2�–�β

2�+�6αβ�

στ)�3x2�–�6xy�+�3y

2�–�27ω

2�

ζ)� x4�+�2x

3�+�x

2�–�y

2�

η)� y2�–�x

2�+�2x�-�1�

17.132� Χωρίς�να�υπολογίσετε�καµία�δύναµη,�

να�αποδείξετε�ότι:�

3 365 25

25 65 160090

+− ⋅ = �

17.133� Να�υπολογίσετε�την�τιµή�της�αριθµη-�

τικής�παράστασης:�

Α�=�31�⋅�82�+�48

�⋅�125�+�43

�⋅�31�–�125

�⋅�67�

κάνοντας�πολλαπλασιασµό�µόνο�µία�φορά.�

17.134� Να�κάνετε�γινόµενο�τις�παραστάσεις:�

α)� Α�=�α2γ�–�α

2δ�+�β

2δ�–�β

2γ�

β)� Β�=�α2�–�β

2�–�2α�–�2β�

γ)� Γ�=�4x�–�4y�+�αy�-�αx�

δ)� ∆�=�x2�+�yω�–�xy�-�xω�

ε)� Ε�=�βγ�–�α2�+�αγ�-�αβ�

στ)�Ζ�=�α2β2�–�1�+�β

2�–�α

2�

ζ)� Η�=�xy2�–�x�–�y

2�+�1�

η)� Θ�=�x3�–�2x

2�–�x�+�2�

17.135� Αν��α�≠�0,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α)�

x y y ω ω xx y ω

y ω x

α α α1

α α α

+ + +

=

20/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 21: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

248� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�

β)�x y x ω y ω y x

1 1

1 α α 1 α α− − − −

+ +

+ + + +

�ω x ω y

11

1 α α− −

+ =

+ +

17.136� Να�κάνετε�γινόµενο�τις�παραστάσεις:�

α)� Α�=�β2�–�δ

2�+�αβ�–�βγ�+�γδ�–�δα�

β)� Β�=�β2�–�δ

2�+�αβ�+�βγ�+�γδ�+�δα�

17.137� Για�ποιες�τιµές�του�x�ορίζονται�τα�κλά-�

σµατα:�

α)�

3

x 1

1

x 3

1

A

1

=

� � β)�2

5

x 4

2x 9

x 2

1

B

x

=

+

Στη�συνέχεια�να�κάνετε�τα�κλάσµατα�αυτά�απλά.�

17.138� Να� αναλύσετε� σε� γινόµενο� παραγό-�

ντων�τις�παρακάτω�παραστάσεις:�

α)� Α�=�α4�–�5α

2β2�+�4β

4�

β)� Β�=�x4�+�y

4�–�11x

2y2�

γ)� Γ�=�x4�+�3x

2y2�+�4y

4�

δ)� ∆�=�x4�+�x

2�+�1�

ε)� Ε�=�9α4�+�26α

2β2�+�25β

4�

17.139� Να�απλοποιήσετε�τα�κλάσµατα:�

α)�2 3

2 2

αx αA

βx α β

=

β)�4 4

3 3 2 2

α x αxB

α x αx α x

−= ⋅

− +

γ)�2

2

x 9 x 3Γ

x 3x 6x 9

− += ⋅

−+ +

δ)�2

2

x x x 1∆

xx 2x 1

+ += ⋅

+ +

ε)�3 3

2

α βE

(α β) αβ

+=

− +

στ)�3 3 2

3 2 2

α β α α 1 α 1Z

α βα 1 α αβ β

− − + += ⋅ ⋅

−+ + +

17.140� Αν��(α�+�β)(β�+�γ)(γ�+�α)�=�2004,

��να�

υπολογίσετε�την�τιµή�της�παράστασης:�

2 2 3 2 2 3 2 2 3

3 3 3

(α β ) (β γ ) (γ α )K

(α β) (β γ) (γ α)

− + − + −=

− + − + −

17.141� Να�απλοποιήσετε�τα�κλάσµατα:�

α)�2

3 2

2(2α β 18β)(α 3)A

4α β 24α β 36αβ

− +=

+ +

β)�2 2

2 2 2

(µ ν) 2(µ ν)ρ ρB

µ 2µν ν ρ

− − − +=

− + −

γ)�4 2

4 2

(ν 1)(ν 4)Γ

ν 5ν 4

− −=

− +

17.142� Το�άθροισµα�δύο�διψήφιων�φυσικών�

αριθµών�διαιρείται�µε�τον�99.�Αν�τοποθετή-�

σουµε�τους�αριθµούς�δίπλα�–�δίπλα,�προκύ-�

πτει� ένας� τετραψήφιος� αριθµός.�Να�αποδεί-�

ξετε�ότι�και�ο�νέος�αυτός�αριθµός�διαιρείται�

µε�τον�99.�

17.143� Να� κάνετε� όλες� τις� δυνατές� πράξεις�

και�απλοποιήσεις:�

α)�2 2

2

x (2x 3) x 1A

9 3xx 1

− − += ⋅

−−

β)�2 2 2

2 2 2

α β γ 2αβ α β γB

α β γα γ β 2βγ

+ − + − += ⋅

+ −+ − +

γ)�3 2 2

2 3 2

x 2αx α x 3x 3αΓ

3αx 3α x αx

+ + −= ⋅

− +

21/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 22: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

249�

δ)�2 3 5

2 3 3

1 x x x 1∆

1 x x x x 1

− + −= ⋅

+ − − +

ε)�8

4 2 2

x 1E

(x 1)(x 1)(x 1)

−=

+ − +

στ)�2

αγ βγ αδ βδ αZ

γ δα αβ

+ + += ⋅

++

17.144� Αν��α�+�β�+�γ�=�2τ,

��να�αποδείξετε�ότι:�

α)� (τ�–�α)2�+�(τ�–�β)

2�+�(τ�–�γ)

2�+�τ

2�=�

� =�α2�+�β

2�+�γ

2�

β)� (τ�–�3α)3�+�(τ�–�3β)

3�+�(τ�–�3γ)

3�=�

� =�3(τ�–�3α)(τ�–�3β)(τ�–�3γ)�

17.145� Αν�ο�ν�είναι�ακέραιος�αριθµός,�να�απο-�

δείξετε�ότι:�

α)� ο�αριθµός��α�=�ν(ν�+�1)

��είναι�πάντα�άρτιος,�

β)� ο�αριθµός��β�=�(ν

2�+�ν�+�1)(ν

2�–�ν�–�1)

��εί-�

ναι�πάντα�περιττός.�

17.146� Αν��x,�y�≠�1

��και�

�x�≠�y,

��να�αποδεί-�

ξετε�ότι:�

( )( ) ( )( )y1 1 xx x y y

1 1 11

(x 1)(y 1) 1 1 1 1

+ + =

− −− − − −

17.147� Αν�ένας�αριθµός�α�είναι�άθροισµα�τε-�

τραγώνων�δύο�άνισων�φυσικών�αριθµών,�να�

αποδείξετε� ότι� και� ο� 2α� είναι� άθροισµα� τε-�

τραγώνων�δύο�άνισων�φυσικών�αριθµών.�

17.148� Να�απλοποιήσετε�τις�παρακάτω�παρα-�

στάσεις:�

α)�2 2

1 1 2yA :

x y x y x y

= +

+ − − �

β)�2

2 2

α α 2αB :

α 2β α 2β α 4β

= +

+ − − �

γ)�1 x 1 x 3 x

Γ x1 x 1 x 4x 4

+ − = − + − − +

δ)�2 2

2 2

α β α β∆ : :

β αβ α

= − +

�2 2

1 1 1 1: :

α βα β

− −

ε)�2

2 2

x y x y 4xE

x y x y x y

+ −= − − ⋅

− + − �

�2 2 2

x 2xy y xy y

4xy x y

− + +⋅ ⋅

17.149� Να�µετατρέψετε�σε�απλά�τα�παρακά-�

τω�σύνθετα�κλάσµατα:�

α)�

α β

α β

3α βA

α βα β

1−

+

−=

−+ +

+

β)�3 3

2

2 2

α β

α β

α βB

2βα β

1+

−=

− +

+

17.150� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)�

2xy 2xy

x y x y

1 1 1 1x y 2x y x 2y

y x

xy+ +

− −

− −

+ =

+ +

22/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 23: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

250� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�

β)�

2 2 2 2

2

α β α ββ α1 1 1 1β α β α

2α 2β(α β)

+ ++ +

+ = +

+ +

17.151� Να�εκτελέσετε�τις�πράξεις�και�να�βρεί-�

τε�την�τιµή�των�παρακάτω�παραστάσεων:�

α)�4 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x (x 1) x (x 1)A

(x 1) x x (x 1) 1

− − − −= + +

+ − + −

�2 2

4 2

x (x 1) 1

x (x 1)

− −+

− +

β)�2 2 2 2

2 2 2 2

(2α 3β) α 4α (3β α)B

4α (3β α) 9(α β )

− − − −= + +

− + −

�2 2

2 2

9β α

(2α 3β) α

−+

+ −

17.152� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

α)�

1 1β α

α β α β

α β α β

1

A+ −

− +

=

β)�

1

x 11

x

1

x 11

x

x1

1

Bx

x

1

+

+ −

+

=

− −

γ)�( )

2

2 2 2 2

γ1 1α β αβ

γ1 1 2αβα β α β

(α β γ)

Γ

+ − + +

=

+ + −

δ)�

( )

3 3 2 2

2 2 3 3 2 2

2

2

x y x y 1 1

x y x y x y

(x y) xy 1 1y x(x y) xy

− −

+ +

+ −

− +

⋅ +

=

17.153� Να�αποδείξετε�ότι:�

2 2

y

x

y

x

yx

y x

1

1x y x y x y1 1

x y x y 2xy

+ − + ++ + =

+ − +�

17.154� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

α)�3 3 2 2

3 3

3αx 3α x 6α x x αA

x ααx α x

+ − += ⋅

−−

β)�2 2 2 2 2 2 2 2

2

(α β γ ) (α β γ ) βB

γ β4αβ 4αβγ

+ − − − += ⋅

−+

17.155� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

α)�3 3 3 3

β β

α β α β

α β α βA

β βα α

1 1− +

+ −= −

− +

+ −

β)� 2 2

2 2 2 3

1 1 1 2 1 1B α β

α β(α β) α β (α β)

= + + +

+ + �

γ)�2 2 4 4

3 3 2 2 2

1 α β α βΓ 2

α β β α αβ β

= − + ⋅

+ + �

�3 2 2

βαβ α

1

α 2α β αβ

− +

− +

δ)�3 3 3

1 1 1∆

(α β) α β

= + +

+ �

�4 2 2 5

3 1 1 6 1 1

α β(α β) α β (α β)

+ + + +

+ + �

17.156� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

α)�2

xA

αx 2α= −

23/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 24: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

251�

�2

2

2 3x x1

3 xx x 2αx 2α

+− +

++ − − �

β)�2

2

x xB 1 1

x yy

= − − +

− �

�3 2

3 2 2

x x xy1 1

y x xy y

++ − −

+ + �

γ)�2 2 2 2α αβ β α αβ β

Γα β α β

+ + − += − +

+ −

�3 2 2

2 2

2β β α

α β

− ++

δ)� 21 x 1 x∆ x :

1 x 1 x

+ − = − − +

�1 x 1

: 1 11 x 1 x

+ − − − +

17.157� Να�λύσετε�την�ανίσωση:�

x 2 3 x x 1+ − − ≤ + �

17.158� Αν�ισχύει�ότι:�

1x 1 y z 1 (x y z 3)

2− + + + = + + + �

να�αποδείξετε�ότι��x�=�2,

��y�=�1

��και�

�z�=�0.�

17.159� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)� 3 5 2 6+ > + �

β)� 2 2 3 6 5− > − �

17.160� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)�( )( )( )

3 7 13 7 5 72

2 3 6 2 2 3

+ − − −

=

− − +

β)� ( )5 2 3 47 2 3 8 2 3 13+ − − − = �

17.161� Αν�οι�αριθµοί�α�και�β�είναι�ακέραιοι,�

να�αποδείξετε�ότι�ο�αριθµός:�

2 2 2 2 2A α β (α β )(α β)= + + + �

είναι�φυσικός.�

17.162� Αν��α,�β,�γ,�δ�>�0

��και�

α γ,

β δ= �να�απο-�

δείξετε�ότι:�

2 2 2 2 2 2 2 2α γ β δ α β γ δ+ ⋅ + − + ⋅ + = �

=�(α�–�δ)(β�–�γ)�

17.163� Να�αποδείξετε�ότι:�

α)� 4 7 4 7 2+ − − = �

β)�6 11 6 11 2

23 2 2 3 2 2

− + +=

− − +

17.164� Να�αποδείξετε�ότι:�

( )( )

( )( )5 3 3 1 5

1

3 5 5 1 3

+ +=

+ +

17.165� Αν��α�+�β�+�γ�=�2004

��και� αβγ 1002,= �

µε��α,�β,�γ�>�0

��να�βρείτε�την�τιµή�της�παρά-�

στασης:�

α β γA

βγ γα αβ= + + �

17.166� Να�απλοποιήσετε�τις�παραστάσεις:�

α)�4 32 3 4A α α ( α) α α α , α 0= − ⋅ > �

β)� ( )2

3 3 6 3 4 39B µ ν λ µ ν λ ,= �µε��µ,�ν,�λ�>�0�

24/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 25: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

252� ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ�

17.167� ∆ίνονται�δύο�διαδοχικοί�ακέραιοι�α�και�

β.�Να�αποδείξετε�ότι�ο�αριθµός:�

2 2 2 2A α α β β= + + �

είναι�φυσικός.�

17.168� Να�βρείτε�τις�τιµές�των�x�και�y�όταν:�

x2�+�y

2�–�2x�+�6y�+�10�=�0�

17.169� Ένας�αγρότης�διαθέτει�1800�€�για�την�

αγορά�σύρµατος�περίφραξης,�ποιότητας�Β.�Αν�

αντί�για�το�συγκεκριµένο�σύρµα�αγοράσει�

σύρµα�ποιότητας�Α�που�είναι�3�€�ακριβότερο�

ανά�µέτρο,�τότε�θα�πάρει�20�µέτρα�λιγότερο.�

Πόσο�κοστίζει�η�κάθε�ποιότητα�σύρµατος;�

17.170� Αν�µαθητής�απλοποίησε�το�κλάσµα:�

3 3

3 3

5 2A

5 3

+=

+

γράφοντας:�

3 3

3 3

5 2 5 2 7A

5 3 85 3

+ += = =

++

έχοντας�προφανώς�εφαρµόσει�την�ιδιότητα,�δεν�

ισχύουν.�Κι�όµως:�

125 8 133 7 19 7A !

125 27 152 8 19 8

+ ⋅= = = =

+ ⋅

δηλαδή�ο�µαθητής�βρήκε�σωστό�αποτέλεσµα.�

Παρατηρώντας�ο�καθηγητής�το�αξιοπερίεργο�

αυτό�αποτέλεσµα�έθεσε�στους�µαθητές�το�εξής�

πρόβληµα:�

Να�βρείτε�τη�σχέση�ανάµεσα�στους�θετικούς�

αριθµούς�α,�β�και�γ�έτσι,�ώστε�να�ισχύει:�

3 3

3 3

α β α β

α γα γ

+ +=

++

”�

Ορισµένοι�µαθητές�βρήκαν�τη�συνθήκη:�

β�=�γ���ή���α�=�β�+�γ�

Μπορείτε�και�εσείς�να�λύσετε�το�παραπάνω�

πρόβληµα;�

17.171� Αν��αβγ�≠�0

��και�

�αβ�+�βγ�+�γα�=�0,

��να�

αποδείξετε�ότι:�

α)� α2�+�2βγ�=�(α�–�β)(α�–�γ)�

β)�2 2 2

2 2 2

α β γ1

α 2βγ β 2γα γ 2αβ+ + =

+ + +

17.172� ∆ίνεται�η�συνάρτηση:�

f (x) 2 1 x= − − �

µε�γραφική�παράσταση�Cf�.�

α)� Να�βρείτε�το�πεδίο�ορισµού�Α�της�f�(x).�

β)� Να� γράψετε� τον� τύπο� της� f�(x)� χωρίς� το�

σύµβολο�της�απόλυτης�τιµής.�

γ)� Να�χαράξετε�τη�γραφική�παράσταση�της�

f�(x).�

δ)� Να�βρείτε�τα�κοινά�σηµεία�της�Cf�µε�τους�

άξονες.�

ε)� Να�αποδείξετε�ότι�η�Cf�δεν�διέρχεται�από�

το�σηµείο��Α(2004,�-2002).�

στ)�Να�αποδείξετε�ότι�η�Cf�ορίζει�(δηµιουργεί)�

µε�τον�άξονα�x´x�ένα�ορθογώνιο�και�ισοσκε-�

λές�τρίγωνο,�του�οποίου�να�βρείτε�τα�µήκη�των�

πλευρών�καθώς�και�το�εµβαδόν.�

17.173� ∆ίνεται�η�συνάρτηση:�

f (x) x 3 1= − − �

µε�γραφική�παράσταση�Cf�.�

α)� Να�βρείτε�το�πεδίο�ορισµού�Α�της�f�(x).�

25/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 26: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

253�

β)� Να�βρείτε�τα�κοινά�σηµεία�της�Cf�µε�τους�

άξονες.�

γ)� Να�χαράξετε�τη�γραφική�παράσταση�της�

f�(x).�

δ)� Να�βρείτε�τον�άξονα�συµµετρίας�της�Cf�.�

17.174� Για�µια�συνάρτηση�f�(x)�ισχύει�ότι:�

1�+�f�(x)f

�(y)�=�xf

�(y)�+�yf

�(x)�

για�κάθε��x,�y

�∈

�R.

��Να�βρείτε�τον�τύπο�της�

f�(x).�

17.175� ∆ίνεται�η�εξίσωση:�

x2�–�(λ�+�2)x�–�λ

2�–�1�=�0,���όπου�

�λ�∈

�R�

α)� Να�αποδείξετε�ότι�η�εξίσωση�έχει�δύο�άνι-�

σες�ρίζες�για�κάθε�τιµή�του�λ.�

β)� Να�βρείτε�τις�τιµές�του�λ,�ώστε�η�µία�ρίζα�

της�εξίσωσης�να�είναι�η��x�=�5.

��Ποια�είναι�η�

άλλη�ρίζα�της�εξίσωσης�στην�περίπτωση�αυ-�

τή;�

γ)� Αν�x1�και�x2�είναι�οι�ρίζες�της�εξίσωσης,�

να�βρείτε�τις�τιµές�του�λ,�ώστε��x1�+�2x2�=�3.�

17.176� Ο�Γιώργος�µε�τη�Μαριάννα�έχουν�σχο-�

λάσει�από�το�σχολείο�και�κατευθύνονται�µέ-�

σα�από�το�πάρκο�προς�τη�λεωφόρο�για�να�πά-�

ρουν�το�λεωφορείο.�

Φτάνοντας�στη�λεωφόρο�βλέπουν�από�τα�δε-�

ξιά�τους�να�έρχεται�το�λεωφορείο.�Ο�Γιώργος�

σπεύδει� προς� το� µέρος� του� λεωφορείου� µε�

ταχύτητα�6�km/h�ενώ�η�Μαριάννα�προχωράει�

προς�την�αντίθετη�κατεύθυνση�µε�ταχύτητα�

4�km/h�για�να�προλάβει�το�λεωφορείο�στην�

επόµενη�στάση.�Τελικά�και�οι�δύο�µόλις�πρό-�

λαβαν�να�επιβιβαστούν.�Αν�το�λεωφορείο�κι-�

νείται�µε�ταχύτητα�60�km/h,�να�εξετάσετε�αν�

η�επιλογή�του�Γιώργου�να�βαδίσει�προς�το�

µέρος�του�λεωφορείου�είναι�σωστή.�

17.177� ∆ίνεται�η�συνάρτηση:�

f (x) 5 1 x x 2 3= − − + + − �

α)� Να�βρείτε�το�πεδίο�ορισµού�Α�της�f�και�να�

συγκρίνετε�τις�τιµές�f�(1)�και�f

�(6).�

β)� Να�εξετάσετε�αν�η�γραφική�παράσταση�Cf�

της�f�(x)�διέρχεται�από�το�σηµείο�

�Β(2,�3).�

γ)� Τέµνει�η�Cf�τον�άξονα�y´y�και�γιατί;�

17.178� Να�λύσετε�το�σύστηµα:�

2

2

2

1 α 2β

1 β 2γ (Σ)

1 γ 2α

+ =

+ = + =

17.179� Να�λύσετε�την�εξίσωση:�

(x�–�2004)2�–�1995(x�–�2003)�+�2004�=�

=�(x�–�2001)2�

26/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 27: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

318� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�

Ενότητα�17�

17.1� Είναι�θεωρία.�

17.2� Είναι�θεωρία.�

17.3� 1)� α�≠�0,��1,

α��α-1.�

2)� α�+�(-β),�� ⋅

1α ,

β��≠�0.�

3)� α�=�0��ή��β�=�0,

��α�≠�0�

�και

��β�≠�0.�

4)� α�≠�0,��β�=�γ.�

5)� αντίστροφοι,�αντίθετοι.�

6)� α�≠�0��και

��β�≠�0.�

17.4� 1)� Λ.� 2)� Λ.� � 3)� Σ.� � 4)� Σ.�

5)� Λ.� � 6)� Λ,�Λ.� � 7)� Σ.�

17.5� Είναι�βασικές�σχέσεις.�∆ες�το�Α΄�τεύχος.�

17.6� 1)� Σ.�� � 2)� Σ.� � 3)� Σ.�

4)� Λ,�Λ,�Λ,�Λ.� � 5)� Σ,�Σ.� 6)� Σ,�Σ,�Σ,�Σ.�

17.7� Είναι�θεωρία.�

17.8� Είναι�θεµελιώδεις�σχέσεις.�∆ες�το�Α΄�τεύχος.�

17.9� Είναι�θεωρία.�

17.10� Είναι�βασικές�ιδιότητες.�

17.11� Είναι�θεµελιώδεις�ιδιότητες.�∆ες�το�Α΄�τεύχος.�

17.12� 1)� Σ.� � 2)� Σ.� � 3)� Λ.� � 4)� Λ.�

5)� Λ.� � 6)� Σ.� � 7)� Σ.� � 8)� Σ.�

9)� Λ.� � 10)�Λ.�

17.13� 1)� Σ.� � 2)� Λ.� � 3)� Σ.� � 4)� Σ.�

5)� Λ.� � 6)� Σ.� � 7)� Σ.� � 8)� Σ.� � 9)� Λ.�

17.14� 1)� Σ.� � 2)� Λ.� � 3)� Σ.� � 4)� Λ.�

5)� Σ.� � 6)� Λ.� � 7)� Σ.� � 8)� Λ.�

9)� Λ.� � 10)�Λ.� � 11)�Σ.� � 12)�Σ.�

17.15� α)� Α�=�(x�+�y)2�–�2xy�=�72�–�2�⋅�12�

Απ:��Α�=�25�

β)� Β�=�(x�+�y)3�–�3xy(x�+�y)�=�343�–�3

�⋅�12

�⋅�7�

Απ:��Β�=�91�

γ)� Γ�=�(x2�+�y

2)2�–�2x

2y2�=�A

2�–�2(xy)

2�=�

� =�252�–�2

�⋅�144�=�625�–�288�

Απ:��Γ�=�337�

17.16� Έστω�α γ

λ.β δ= = �Τότε�

�α�=�λβ

��και�

�γ�=�λδ

��κ.λπ.�

17.17� Εκτελούµε�µε�προσοχή�τις�απαραίτητες�πράξεις�

και�κάνουµε�τα�σύνθετα�κλάσµατα�απλά.�

Απ:��2

xK =

x +1�

17.18� Εκτελούµε�µε�προσοχή�τις�πράξεις.�

Απ:��α)�x

A =α��β)�Β�=�α

2β�

γ)�2 2

2xyΓ =

x + y��δ)�∆�=�1�–�x

2�

17.19� Το�α΄�µέλος�δίνει:�

α(β2�–�2βγ�+�γ

2)�+�β(γ

2�–�2αγ�+�α

2)�+�

+�γ(α2�–�2αβ�+�β

2)�+�9αβγ�=�

=�(αβ2�+�βα

2)�+�(αγ

2�+�α

2γ)�+�(βγ

2�+�β

2γ)�+�3αβγ�=�

=�αβ(α�+�β)�+�αγ(α�+�γ)�+�βγ(β�+�γ)�+�3αβγ�=�

=�αβ(-γ)�+�αγ(-β)�+�βγ(-α)�+�3αβγ�=�0�

17.20� α)� Εκτελούµε�τις�πράξεις�στους�όρους�του�πρώ-�

του�κλάσµατος�και�παραγοντοποιούµε�µε�οµάδες.�

Απ:��Α�=�1�

27/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 28: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

319�

β)� Είναι:�

α2�–�β

2�–�γ

2�–�2βγ�=�α

2�–�(β�+�γ)

2�=�

=�(α�–�β�–�γ)(α�+�β�+�γ)��κ.λπ.�

Απ:��Β�=�1�

γ)� Είναι:�

♦�2 2 2 2(x x 1)(x x 1) x (x 1) x (x 1) + − − + = + − − − = �

��=�x

4�–�(x�–�1)

2�

♦�2 2 2 2(x x 1)(x x 1) x (x 1) x (x 1) + + − − = + + − + = �

��=�x

4�–�(x�+�1)

2�

♦�2 2 2 2(x x 1)(x x 1) (x x) 1 (x x) 1 + − + + = + − + + = �

��=�(x

2�+�x)

2�-�1�

♦��(x

2�–�x�+�1)(x

2�–�x�–�1)�=�…�=�(x

2�–�x)

2�–�1�

Απ:��2

1Γ =

x�

δ)�2 2

2 2

x(x y)(x y)(x xy y ) x y∆

x(x y)(x y)(x y) x xy y

− + − + +=…= ⋅

+ + − − +

Απ:��∆�=�1�

17.21� Είναι:�

α3�+�β

3�+�γ

3�=�3αβγ,���β�+�γ�=�-

�α,���γ�+�α�=�-

�β�

και���α�+�β�=�-�γ�

και�το�α΄�µέλος�δίνει:�

3 3 3 2 2α βγ β αγ γ αβ 3(α β αβ 3αβγ)

αβγ αβγ αβγ 3αβγ

− − − − − − + + −

+ + + =

− − −

3 3 3 2 2α β γ αβ βγ γα α β αβ 3αβγ

αβγ αβγ

+ + + + + + + −

= + = �

2 2 2α β 2αβ γ(β α) (α β) γ(α β)

αβγ αβγ

+ + + + + + +

= = = �

2( γ) γ( γ)0

αβγ

− + −= =…= �

17.22� Εκτελούµε�τις�πράξεις�στους�παρονοµαστές.�

Απ:��Α�=�1�

17.23� Γνωρίζουµε�γενικά�ότι�αν�α γ

,β δ= �τότε:�

α γ α γ

β δ β δ

+

= =

+

Σύµφωνα�µε�την�ιδιότητα�αυτή�παίρνουµε:�

λ µ λ µ λ µ

α β β γ (α β) (β γ) α γ

+ +

= = =

− − − + − −

Είναι�δηλαδή�λ λ µ

.α β α γ

+

=

− −

�Όµως�λ ν

,α β α γ

=

− −

�από�

την�υπόθεση.�Εποµένως:�

λ µ ν

α γ α γ

+

=

− −

δηλαδή��λ�+�µ�=�ν,

��αφού�οι�παρονοµαστές�των�δύο�κλα-�

σµάτων�είναι�ίσοι.�

17.24� Να�γίνουν�οι�πράξεις,�η�µετατροπή�των�κλασµά-�

των�σε�απλά�και�οι�απλοποιήσεις.�

17.25� α)� Α�=�αβ� � � β)� Β�=�2α�

γ)� Ο�διαιρέτης�δίνει:�

6 4 2 2 3 2 4 2

6 6

β β α β α α (β α)(β α )

β β

+ + + + +=…= �

Απ:��2 2

2

α - βΓ =

β�

17.26� α)� Είναι:�

2 2 2 2 2(β γ 2βγ) α (β γ) αx 1 κ.λπ.

2βγ 2βγ

+ + − + −+ =…= = �

β)�[ ][ ]

2 2 2

α (β γ) α (β γ)y 1 1

β γ α 2βγ

− − + −

+ = + =

+ − +

�2 2

2 2 2

α (β γ)1

β γ α 2βγ

− −= + =…=

+ − +

�2 2 2 2 2 2

2 2

α β γ 2βγ β γ α 2βγ

(β γ) α

− − + + + − +

= =

+ −

�4βγ

(β γ α)(β γ α)=

+ − + −

γ)� Με�βάση�τα�ερωτήµατα�(α)�και�(β).�

17.27� Το�α΄�µέλος�δίνει:�

2 2 2α (β γ) β (γ α) γ (α β)

(α β)(β γ)(γ α)

− + − + −

− − −

Όµως�ο�αριθµητής�γράφεται:�

α2(β�–�γ)�+�β

2γ�–�β

2α�+�γ

2α�–�γ

2β�=�

28/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 29: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

320� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�

=�α2(β�–�γ)�+�(β

2γ�–�γ

2β)�–�β

2α�+�γ

2α�=�

=�α2(β�–�γ)�+�βγ(β�–�γ)�–�α(β�–�γ)(β�+�γ)�=��

=�(β�–�γ)(α2�+�βγ�–�αβ�–�αγ)�=�…�=�

=�(β�–�γ)(α�–�β)(α�–�γ)�=�-�(α�–�β)(β�–�γ)(γ�–�α)�

17.28� Εκτελούµε�µε�προσοχή�τις�πράξεις,�µετατρέπου-�

µε�τα�σύνθετα�κλάσµατα�σε�απλά�και�απλοποιούµε.�

17.29� Είναι:�

2 2 2 2

2 2 2 2

α β β α β γ β γ β α β γA

αβ αβ βγ βγ α β β γ

+ − + − − −= ⋅ − ⋅ = − =…= �

2 2 2 2 2 2

2 2 2

γ (β α ) α (β γ )

α β γ

− − −

= =…= �

2 2 2 2

2 2 2 2 2

β γ α β 1 12004

α β γ α γ

= = − = �

Απ:��Α�=�2004�

17.30� Θέτουµε�λ�τους�ίσους�λόγους�της�αναλογίας,�οπό-�

τε��α�=�λδ,

��β�=�λε

��και�

�γ�=�λη.�

17.31� Είναι:�

♦� α4�+�2α

2β2�+�β

4�=�(α

2�+�β

2)2�

♦� x2�+�y

2�=�(α

2�–�β

2)2(α

2�+�β

2)4�+�4α

2β2(α

2�+�β

2)4�=�

� =�(α2�+�β

2)4(α

4�–�2α

2β2�+�β

4�+�4α

2β2)�=�…�=�

� =�(α2�+�β

2)4(α

2�+�β

2)2�=�(α

2�+�β

2)6�=�ω

6�

διότι��α4�+�2α

2β2�+�β

4�=�(α

2�+�β

2)2.�

17.32� Έστω�α β γ

λ.β γ δ= = = �Τότε:�

♦� α�=�βλ,��β�=�γλ,��γ�=�δλ�

♦� α�=�βλ�=�γλ2�=�δλ

3�

♦� β�=�γλ�=�δλ2�

δηλαδή��α�=�δλ

3,��β�=�δλ

2��και�

�γ�=�δλ.

��Αντικαθιστούµε�τις�

τιµές�αυτές�στα�δύο�µέλη.�

17.33� α)� Εκτελούµε�µε�προσοχή�(και�υποµονή)�τις�πρά-�

ξεις.�

β)� Κάνουµε�οµώνυµα�τα�κλάσµατα�και�ο�αριθµητής�εί-�

ναι�το�πρώτο�µέλος�του�ερωτήµατος�(α).�Αυτό�ισούται�µε:�

12x2(x�–�1)�–�48(x�–�1)�=�12(x�–�1)(x

2�–�4)�=�

=�12(x�–�1)(x�–�2)(x�+�2)�

17.34� Εκτελούµε�τις�απαραίτητες�πράξεις.�

17.35� α)�2

1A

(α β)=

� � β)� Β�=�x�+�y�–�ω�

γ)� Γ�=�1� � � � � � δ)� ∆�=�1�

17.36� α)�2α

Aα β

=

+

� � � β)� Β�=�α�

17.37� α)� Το�πρώτο�κλάσµα�δίνει�2

2

x x 1,

x x 1

+ −

+ +

�το�δεύ-�

τερο�2

2

x x 1

x x 1

− +

+ +

�και�το�τρίτο�2

2

x x 1.

x x 1

− +

+ +

Απ:��Α�=�1�

β)� Το�πρώτο�κλάσµα�δίνει�α β

,α β

+

�το�δεύτερο�α 3β

3(α β)

+

+

και�το�τρίτο�3β α

.3(α β)

+

Απ:��Β�=�1�

17.38� α)�α β

A4

+

= � � � β)� Β�=�x�

γ)� Γ�=�αβ� � � � � � δ)�x y

∆xy

= �

17.39� Θα�κάνουµε�ένα�απλό�τέχνασµα.�Θέτουµε:�

ν3�+�3ν

2�+�ν�=�y�

οπότε:�

α�=�y(y�+�2)�+�1�=�y2�+�2y�+�1�=�(y�+�1)

2�=�

=�(ν3�+�3ν

2�+�ν�+�1)

2�=�λ

2�

όπου��λ�=�ν

3�+�3ν

2�+�ν�+�1

�∈

�N.�

17.40� Καθεµία�από�τις�δύο�παραστάσεις�είναι�ίση�µε�3.�

Προσθέτουµε�κατά�µέλη�και�χρησιµοποιούµε�την�ταυ-�

τότητα��x2�+�y

2�=�(x�+�y)

2�–�2xy.

��Έτσι�παίρνουµε:�

2 2

α β α β β γ β γ2 2

β α β α γ β γ α

− − ⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ +

2

γ α γ α2 6

α γ α γ

+ − − ⋅ ⋅ = ⇔

2 2 2

α β β γ γ α0

β α γ β α γ

⇔ − + − + − = ⇔

29/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 30: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

321�

α β β γ γ ακαι και

β α γ β α γ

⇔ = = = ⇔

⇔��(α2�=�β

2��και

��β

2�=�γ

2��και

��γ

2�=�α

2)��⇔�

⇔��(α�=�β��και

��β�=�γ�

�και

��γ�=�α)��⇔��α�=�β�=�γ�

διότι�οι�α,�β�και�γ�είναι�οµόσηµοι.�

17.41� Έχουµε:�

Α�=�(µ2ν�+�µν

2)�+�(µ

2�+�ν

2�+�2µν)�+�µ�+�ν�=�

=�µν(µ�+�ν)�+�(µ�+�ν)2�+�(µ�+�ν)�=�

=�(µ�+�ν)(µν�+�µ�+�ν�+�1)�

∆ιακρίνουµε�τις�περιπτώσεις:�

♦� Αν�οι�µ�και�ν�είναι�συγχρόνως�άρτιοι�ή�συγχρόνως�

� περιττοί,�τότε�ο��µ�+�ν

��είναι�άρτιος.�Εποµένως�ο�Α�

� είναι�άρτιος,�αφού�ο�πρώτος�του�παράγοντας�είναι�

� άρτιος.�

♦� Έστω�ότι�ο�µ�είναι�άρτιος�και�ο�ν�περιττός�ή�αντί-�

� στροφα.�Τότε�ο�µ�+�ν�είναι�περιττός,�ο��µ�+�ν�+�1

��εί-�

� ναι�άρτιος�και�ο�µν�είναι�άρτιος.�

� Άρα�ο��µν�+�(µ�+�ν�+�1)

��είναι�άρτιος,�οπότε�και�ο�Α�

� θα�είναι�άρτιος.�

17.42� Έστω�ότι�υπάρχουν.�

♦� Αν��x�=�2µ

��(άρτιος),�τότε�η�σχέση�γράφεται:�

2µ(µ�+�1)�=�5λ(λ�+�1)�+�3,��άτοπο�

� διότι�το�πρώτο�µέλος�είναι�άρτιος�και�το�δεύτερο�

� είναι�περιττός�αριθµός.�Τονίζουµε�ότι�ο��ν(ν�+�1)

��εί-�

� ναι�πάντα�άρτιος,��ν�∈

�Z.

♦� Αν�ο�x�είναι�περιττός,�τότε�το�α΄�µέλος�της�δοσµέ-�

� νης�είναι�περιττός�και�το�β΄�µέλος�είναι�άρτιος,�άτοπο.�

17.43� α)� Επειδή�η�παράσταση�Α(x)�έχει�πέντε�όρους,�

γράφουµε��5x�=�3x�+�2x

��και�οµαδοποιούµε�ανά�δύο:�

A(x)�=�x4�–�x

3�–�3x

2�+�5x�–�2�=�

=�x4�–�x

3�–�3x

2�+�3x�+�2x�–�2�=�

=�x3(x�–�1)�–�3x(x�–�1)�+�2(x�–�1)�=�

=�(x�–�1)(x3�–�3x�+�2)�=�(x�–�1)(x

3�–�x�–�2x�+�2)�=�

2(x 1) x(x 1) 2(x 1) = − − − − = �

[ ](x 1) x(x 1)(x 1) 2(x 1)= − − + − − = �

[ ] 2 2(x 1)(x 1) x(x 1) 2 (x 1) (x x 2)= − − + − = − + − = �

=�(x�–�1)2(x

2�+�2x�–�x�–�2)�=�

[ ]2(x 1) x(x 2) (x 2)= − + − + = �

=�(x�–�1)2(x�+�2)(x�–�1)�=�(x�–�1)

3(x�+�2)�

β)� Σύµφωνα�µε�το�πρώτο�ερώτηµα�είναι:�

Α(x)�=�0��⇔��(x�–�1)3(x�+�2)�=�0��⇔�

⇔��[(x�–�1)3�=�0�

�ή�

�x�+�2�=�0]��⇔�

⇔��(x�–�1�=�0��ή��x�+�2�=�0)��⇔��(x�=�1�

���x�=�-2)�

17.44� Η�άσκηση�αυτή�παρουσιάζει�ορισµένες�ιδιαιτερό-�

τητες�σε�κάποια�σηµεία,�οπότε�πρέπει�να�µελετηθεί�µε�

ιδιαίτερη�προσοχή.�

α)� Έχουµε:�

Α�=�α4�+�α

3�–�α

2�–�α�=�α(α

3�+�α

2�–�α�–�1)�=�

2 2α α (α 1) (α 1) α(α 1)(α 1) = + − + = + − = �

=�α(α�+�1)(α�–�1)(α�+�1)�=�α(α�+�1)2(α�–�1)�

β)��Β�=�α

3�+�3α

2�–�1�=�α

3�+�α

2�+�α

2�–�1�=�

��=�α

2(α�+�1)�+�(α�–�1)(α�+�1)�=�(α�+�1)(α

2�+�α�+�1)�

γ)��Γ�=�x

3�–�3α

2x�+�2α

3�=�x

3�–�α

2x�–�2α

2x�+�2α

3�=��

��=�x(x

2�–�α

2)�–�2α

2(x�–�α)�=�

��=�x(x�–�α)(x�+�α)�–�2α

2(x�–�α)�=�

� 2 2 2(x α) x(x α) 2α (x α)(x αx 2α ) = − + − = − + − = �

��=�(x�–�α)(x

2�–�αx�+�2αx�–�2α

2)�=�

� [ ](x α) x(x α) 2α(x α)= − − + − = �

��=�(x�–�α)(x�–�α)(x�+�2α)�=�(x�–�α)

2(x�+�2α)�

Τονίζουµε�ότι�το�µυστικό�στην�παραγοντοποίηση�του�

x2�+�αx�–�2α

2��είναι�να�γράψουµε�στη�θέση�του�αx�το�

-αx�+�2αx��και�να�παραγοντοποιήσουµε�µε�οµάδες.�

δ)� Είναι:�

∆�=�x2�+�y

2�–�4x�+�4y�–�2xy�+�3�=�

=�(x2�+�y

2�–�2xy)�–�4x�+�4y�+�3�=�

=�(x�–�y)2�–�4(x�–�y)�+�4�–�1�=�

2(x y) 4(x y) 4 1 = − − − + − = �

17.45� Επειδή:�

x2�+�y

2�=�(x�+�y)

2�–�2xy�

και�

x2�-�y

2�=�(x�-�y)(x�+�y)�

παίρνουµε:�

30/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 31: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

322� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�

α�=�22002

�+�1�=�(21001

)2�+�1

2�=�(2

1001�+�1)

2�–�2

�⋅�21001

�=�

=�(21001

�+�1)2�–�2

1002�=�(2

1001�+�1)

2�–�(2

501)2�=�

=�(21001

�+�1�–�2501)(2

1001�+�1�+�2

501)�=�

=�(21001

�–�2501�+�1)(2

1001�+�2

501�+�1)�

Καθένας�από�τους�παραπάνω�παράγοντες�είναι�ακέραιος.�

17.46� α)� Είναι:�

x�+�y�+�ω�=�2��⇔��ω�=�2�–�x�–�y��������(1)�

Εποµένως:�

(1)

A xy ω 1 xy (2 x y) 1= + − == + − − − = �

=�xy�+�1�–�x�–�y�=�(xy�–�x)�+�1�–�y�=�

=�x(y�–�1)�–�(y�–�1)�=�(y�–�1)(x�–�1)�

β)� Σύµφωνα�µε�το�ερώτηµα�(α)�είναι:�

xy�+�ω�–�1�=�(x�–�1)(y�–�1)�

yω�+�x�–�1�=�(y�–�1)(ω�–�1)�

και�

ωx�+�y�–�1�=�(ω�–�1)(x�–�1)�

Εποµένως:�

1 1 1K

xy ω 1 yω x 1 ωx y 1= + + =

+ − + − + −

1 1 1

(x 1)(y 1) (y 1)(ω 1) (ω 1)(x 1)= + + =

− − − − − −

(ω 1) (x 1) (y 1) x y ω 3

(x 1)(y 1)(ω 1) (x 1)(y 1)(ω 1)

− + − + − + + −

= = =

− − − − − −

2 3 1

2004 2004

= = − �

17.47� Είναι:�

♦�6 23 6

3 3 9= = �� � ♦�6 3 6

2 2 8= = �

Άρα� 33 2.> �

17.48� Ο�αριθµητής�δίνει:�

( ) ( )2 2

1 5 1 7 2 5 7+ + + =…= + + �

17.49� Βρίσκουµε�ότι� �Α2�=�4

��και�επειδή�

�Α�<�0,

��θα�

είναι��Α�=�-2.�

Άλλος�τρόπος�

Είναι:�

( )2

5 2 6 3 2 3 2− = − = − �

και��� 5 2 6 3 2+ =…= + �

17.50� Είναι:�

(x�+�2y)2�=�α

2�+�4β

2���και���(2x�–�y)

2�=�4α

2�+�β

2�

Προσθέτουµε�κατά�µέλη.�

17.51� Και�τα�δύο�ριζικά�έχουν�το�ίδιο�υπόρριζο,�το�2.�

Για�να�συγκρίνουµε�λοιπόν�τους�α�και�β�προσπαθούµε�

να�τους�γράψουµε�ως�ριζικά�της�ίδιας�τάξης.�Επειδή�

ΕΚΠ(3,�4)�=�12,��γράφουµε:�

♦�3 4 43 12

α 2 2 16⋅

= = = � ♦�4 3 34 12β 2 2 8⋅

= = = �

Από�τη�νέα�µορφή�των�α�και�β�συµπεραίνουµε�ότι��α�>�β.�

17.52� α)� Α(6)�=�1��και��Α(-5)�=�2.�

β)� Πρέπει:�

x 3 3 0 και 11 1 2x 0− − ≥ − − ≥ �

Απ:��Α�=�[-1,�-1]�

∪�

[5,�6]�

17.53� Παίρνουµε�το�τετράγωνο�του�α΄�µέλους.�

17.54� Είναι:�

♦�2α β

xα β

= �

♦�2α β β 2α β

1 αx 1β β

− − −

− = − = �

♦�2α β β 2α β

1 αx 1β β

− + −

+ = + = �

♦�β 2α β α β(2α β)1 αx

1 αx β αβ 2α β

− − − −−=…= =…=

+ −+ −

♦�

2

2

α β(2α β)α β(2α β)1 βx

1 βx (β α)α β(2α β)

+ −+ −+ =…= =…=− −− −

Οπότε:�

α β(2α β)1 βx

1 βx β α

+ −+

=

− −

31/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 32: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

323�

17.55� Παίρνουµε� α γ (δ β) 2.− = − �Αν��β�≠�δ,

��τότε:�

α γ2, Üτοπο

δ β

=

Άρα��β�=�δ,

��οπότε�

�α�=�γ.�

17.56� α)� Είναι:�

2 2α β (α β)1 0 1

2 4

+ + − ≥ ⇔ ≤ ⇔

2

α β 4 α β 2 (1)⇔ + ≤ ⇔ + ≤ �

Όµως:�

α β α β 1 1 2+ ≤ + ≤ + ≤ �

Είναι�λοιπόν� α β 2,+ ≤ �οπότε�ισχύει�η�σχέση�(1).�Συ-�

νεπώς�ισχύει�και�η�δοσµένη�ανισότητα.�

β)� Έχουµε:�

α 1, β 1 και α , β 0≤ ≤ ≥ �

Έτσι:�

α β 1 αβ 1 1 αβ 1⋅ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ �

Άρα��αβ�≤�1.�

γ)� Τα�δύο�µέλη� της�ανισότητας� είναι�θετικοί�αριθµοί�

ή�µηδέν.�Έτσι�έχουµε:�

2

2 2 α β1 α 1 β 2 1

2

+ − + − ≤ − ⇔

( )2

22

2 2 α β1 α 1 β 4 1

2

+ ⇔ − + − ≤ − ⇔

2

2 2 2 2 4 (α β)1 α 1 β 2 (1 α )(1 β ) 4

4

− +⇔ − + − + − − ≤ ⋅ ⇔ �

2 2 2 2 2 2 2 22 α β 2 1 α β α β 4 α β 2αβ⇔ − − + − − + ≤ − − − ⇔ �

2 2 2 22 1 α β α β 2 2αβ⇔ − − + ≤ − ⇔ �

(β)2 2 2 21 α β α β 1 αβ⇔ − − + ≤ − ⇐⇒ �

( )2

2 2 2 2 21 α β α β (1 αβ)⇔ − − + ≤ − ⇔ �

⇔��1�–�α2�–�β

2�+�α

2β2�≤�1�+�α

2β2�–�2αβ��⇔�

⇔��α2�+�β

2�–�2αβ�≥�0��⇔��(α�–�β)

2�≥�0�

η�οποία�ισχύει.�Η�ισότητα�ισχύει�µόνο�όταν��α�=�β.�

17.57� Έστω:�

2 2α α β α α βA

2 2

+ − − −

= + �

Τότε:�

2

2 2

2α α β α α β

A 22 2

+ − + − = + ⋅

2

2 2α α β α α β

2 2

− − − − ⋅ + =

( )2

2 22 2α α βα α β α α β2

2 4 2

− −+ − − −

= + + = �

( ) ( )2 2 2 2α α β α α β α α β2

2 4

+ − + − − − +

= + = �

βα 2 α β

2= + ⋅ = + �

Εποµένως:�

2A α β A α β= + ⇔ = + �

17.58� α)� Είναι:�

♦� ( )2

24 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3+ = + + = + + = �

� ( )2

3 1 3 1= + = + �

♦� ( )2

4 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3− = + − = + − = �

� ( )2

3 1 3 1= − = − �

Άλλος�τρόπος�(µε�ισοδυναµίες)�

β)� Πρόκειται�για�έξυπνο�(και�δύσκολο)�θέµα.�

Αντί�να�κάνουµε�πράξεις,�επιχειρούµε�να�εκµεταλλευ-�

τούµε�το�πρώτο�ερώτηµα.�Αν�πολλαπλασιάσουµε�τους�

όρους�των�δύο�κλασµάτων�µε� 2, �τότε�οι�παρονοµα-�

στές�γίνονται�αντίστοιχα:�

♦� ( )2 2 2 3 2 4 2 3+ + = + + = �

� 2 3 1 3 3= + + = + �

♦� ( )2 2 2 3 2 4 2 3− − = − − = �

� ( )2 3 1 3 3= − − = − �

32/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 33: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

324� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�

Εποµένως:�

2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

+ −+ =

+ + − −

( ) ( )2 2 3 2 2 3

3 3 3 3

+ −

= + =

+ −

2 3 2 32

3 3 3 3

+ −= + =

+ − �

( )( ) ( )( )

( )( )2 3 3 3 2 3 3 3

2

3 3 3 3

+ − + − +

= ⋅ =

+ −

( ) ( )6 2 3 3 3 3 6 2 3 3 3 32

9 3

− + − + + − −

= ⋅ =

3 32 2

6

+

= = �

17.59� α)� Θα�βρούµε�πρώτα�το�άθροισµα�των�δύο�κλα-�

σµάτων�στην�παρένθεση,�διότι�οι�παρονοµαστές�τους�

είναι�συζυγείς.�Έτσι:�

2

2

1 1 α 1 1A 1

1 α α2 2 α 2 2 α

+ = + − + = −+ −

( ) ( )

( )( )

2

2

2 2 α 2 2 α α 1 α 1

1 α α2 2 α 2 2 α

− + + + += − ⋅ = −+ −

( )

2

2 22

4 α 1 α 1

1 α α2 2 α

+ + = − ⋅ = −−

2

2

4 α 1 α 1

4 4α 1 α α

+ += − ⋅ =

− − �

24 α 1 α 1

4(1 α) (1 α)(1 α) α

+ += − ⋅ =

− − + �

21 α 1 α 1

1 α (1 α)(1 α) α

+ += − ⋅ =

− − + �

2 2(1 α) (α 1) α 1 1 α α 1 α 1

(1 α)(1 α) α (1 α)(1 α) α

+ − + + + − − +

= ⋅ = ⋅ =

− + − +

2α α α 1 α(1 α)(α 1)1

(1 α)(1 α) α (1 α)(1 α)α

− + − +

= ⋅ = =

− + − +

β)� Είναι:�

2

α α β β α βB αβ

α βα β

+ += − = −+

( )2

2

α βα α β β α αβ β αβ

(α β)α β

++ − ⋅ − ⋅

= ⋅ =

−+

( )( )( )

2

2

α α β β α β β α α β

α β (α β)

+ − − +

= =

+ −

( ) ( ) ( )2

α α β β α β α β

(α β)

− − − + = =−

( ) ( ) ( )( )2

α β (α β) α β α β α β

(α β) α β

− − + − +

= = =

− −

( ) ( )22

α β α β1

α β α β

− −

= = =

− −

διότι:�

♦� ( )2

α αβ α α β α β α β⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = �

♦� ( )2

β αβ β α β α β β α⋅ = ⋅ ⋅ = = �

17.60� Εκτελούµε�µε�προσοχή�τις�πράξεις:�

2 2 2 2

2 2

2 2

βγ

α β

β γ β γ

(α β) (α β)

γ β2

αβ β

+

+ +

= ⋅ ⋅ ⇔

+ +

2 2

2

2

βγ

α β

β γ

(α β)

βγ

β

+

+

⇔ = ⋅ ⇔

+

( )( )2

διότι x x x x⋅ = = �

2

2 2

2

2

β γ

α β

(α β) γ

(α β)

γ2

αβ

+

+ +

+

⇔ = ⋅ ⇔ �

2 2

2 2 2

γ β γ(α β)2

α β (α β) (α β) γ

+⇔ = ⋅ ⇔

+ + + �

γ 0

2 2 2

γ γ(α β)2

α α 2αβ β γ

≠+⇔ = ⋅

+ + +

⇐⇒ �

2 2 2

1 2(α β)

α α 2αβ β γ

+⇔ = ⇔

+ + +

⇔��α2�+�2αβ�+�β

2�+�γ

2�=�2α

2�+�2αβ��⇔��β

2�+�γ

2�=�α

2�

Στο�τρίγωνο�λοιπόν�ΑΒΓ�ισχύει�το�Πυθαγόρειο�θεώρη-�

µα,�οπότε�αυτό�είναι�ορθογώνιο.�

33/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 34: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

325�

17.61� Η�παρένθεση�στο�α΄�µέλος�δίνει�τελικά:�

( )α β (α β)

α β

− −

+

17.62� Είναι:�

( )( )16 16 81 α 1 α 1 α κ.λπ.+ − = − �

17.63� Πρέπει:�

x�–�6�≥�0,���x�+�6�≥�0���και���6�–�x�≥�0�

οπότε��x�=�6.

��Το�

�x�=�6

��ικανοποιεί�την�εξίσωση.�

Απ:��x�=�6�

17.64� α)� Με�ισοδυναµίες.�

β)� Είναι:�

2 2α β 2 2αβ 2 2(αβ 1) 4 αβ+ + ≥ + = + ≥ �

λόγω�του�ερωτήµατος�(α).�

γ)� Είναι:�

2 2 2 2α β 2 4 αβ, β γ 2 4 βγ+ + ≥ + + ≥ �

και�

2 2γ α 2 4 γα+ + ≥ �

Προσθέτουµε�κατά�µέλη.�

17.65� α)� Έχουµε:�

( )5 4 1 4 4 45

55 5 55 5 5 5 5 5 5α 5 5 5 5 5

⋅ ⋅

= = = = = �

διότι�5 5x x= �και�γενικά� νν

γ γ,= �αν��γ�≥�0.�

β)� Εργαζόµαστε�όπως�στο�ερώτηµα�(α).�Έτσι:�

( )7 6 7 6 67

77 77 7 7 7β 7 7 7 7⋅

= = = = �

γ)� Είναι:�

( )3

33 5 3 5 58

88 8 8 8 8γ 8 8 8

= = = �

δ)� Είναι:�

( )8 7 7 76

66 66 6 6 6 6δ 5 5 5 5

= = = = �

17.66� Επειδή�η�τάξη�της�ρίζας�είναι�3�και:�

23�=�8,���3

3�=�27,���4

3�=�64���και���5

3�=�125�

Προσπαθούµε�να�γράφουµε�τα�υπόρριζα�(40,�135,�320)�

ως�γινόµενο�παραγόντων,�από�τους�οποίους�ο�ένας�του-�

λάχιστον�παράγοντας�να�είναι�κάποιος�από�τους�8,�27,�

64,�125�κ.λπ.�(Αυτή�είναι�µια�γενική�τακτική�που�ακο-�

λουθούµε�σε�ανάλογα�θέµατα.)�Είναι�όµως:�

40�=�5�⋅�8,���135�=�5

�⋅�27���και���320�=�5

�⋅�64�

Εποµένως:�

3 3 3 3A 5 8 4 5 27 3 5 64 5 5 125= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = �

3 3 3 3 3 3 3 3 35 8 4 5 27 3 5 5 64 5 5 125= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ = �

3 3 3 35 2 4 5 3 3 5 4 5 5 5= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = �

3 3 3 3 3 3 32 5 12 5 12 5 25 5 26 5 25 5 5= + + − = − = �

∆ηλαδή�είναι� 3A 5.= �

17.67� Θα�προσπαθήσουµε�να�δηµιουργήσουµε�ριζικά�

µε�την�ίδια�τάξη.�Επειδή��ΕΚΠ(3,�4)�=�12,

��γράφουµε:�

♦�3 4 124 63 12

α 4 4 4 256⋅

= = = = �

♦�4 3 34 12β 3 3 27⋅

= = = �

Επειδή�τώρα��256�>�27,

��θα�είναι�και�

�α�>�β.

��Πραγµατικά�

είναι:�

( ) ( )12 12

12 1212 12α 256 256 και β 27 27= = = = �

και�επειδή��α12�>�β

12��θα�είναι�α�>�β�διότι�

�α,�β�>�0.�

17.68� Επειδή�το�πρώτο�µέλος:�

( )( )A 2 3 6 2 2 3= − − + �

θέλουµε�να�δώσει�2,�σκεφτόµαστε�ότι�το�Α2�πρέπει�να�

είναι�ίσο�µε�4.�Έτσι:�

( )( )2

2A 2 3 6 2 2 3

= − − + = �

( ) ( ) ( )2

2 2

2 3 6 2 2 3= − − + = �

( )( )( )2 3 6 2 2 12 4 3 4 3= − + − + + = �

( )( )( )2 3 8 4 3 7 4 3= − − + = �

( )( )( )4 2 3 2 3 7 4 3= − − + = �

( )( )4 4 3 4 3 7 4 3= + − + = �

( )( ) ( )2

24 7 4 3 7 4 3 4 7 4 3

= − + = − = �

=�4(49�–�16�⋅�3)�=�4

�⋅�1�=�4�

Άρα��Α

2�=�4,

��οπότε�

�Α�=�2

��(αφού�

�Α�>�0).�

34/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 35: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

326� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�

Άλλος�τρόπος�

Είναι:�

( )( )6 2 2 3 2 6 18 2 2 6− + = + − − = �

( )2

6 3 2 2 2 6 2 6 2= + − = + = + = �

6 2 2 12 8 4 3 2 2 3= + + = + = + �

Άρα�το�πρώτο�µέλος�δίνει:�

( )( )2 2 3 2 3 2 2 3 2 3− ⋅ + = − + = �

2 4 3 2 1 2= − = ⋅ = �

Άλλος�τρόπος�

Είναι:�

♦� ( )6 2 3 2 2 2 3 1− = ⋅ − = − �

♦� ( ) ( )2 3 6 2 2 3 2 3 1− − = − ⋅ − = �

� ( ) ( )4 2 3 3 1 3 1 2 3 3 1= − − = + − − = �

� ( ) ( ) ( )2 2

3 1 3 1 3 1 3 1 2 3= − − = − = + − = �

� ( )4 2 3 2 2 3 (1)= − = − �

Άρα:�

( )( ) (1)

2 3 6 2 2 3− − + == �

( )( ) ( )2

22 2 3 2 3 2 2 3 2(4 3) 2 = − + = − = − = �

17.69� α)� Θα�εργαστούµε�µε�τη�µέθοδο�των�ισοδυνα-�

µιών.�Είναι:�

2(α2�+�β

2)�≥�(α�+�β)

2��⇔��2α

2�+�2β

2�≥�α

2�+�2αβ�+�β

2��⇔�

⇔��α2�–�2αβ�+�β

2�≥�0��⇔��(α�–�β)

2�≥�0�

η�οποία�ισχύει.�

β)� Θα�βασιστούµε�στο�πρώτο�ερώτηµα.�Θέτουµε:�

2004 x α και 2004 y β+ = + = �

Εποµένως:�

♦� α β 2004 x 2004 y 2 2004 ω+ = + + + = + �

♦� ( ) ( )22

2 2α β 2004 x 2004 y+ = + + + = �

��=�2

�⋅�2004x�+�y�

♦� 2 2 22(α β ) (α β) 2(2 2004 x y)+ ≥ + ⇔ ⋅ + + ≥ �

� ( )2

2 2004 ω 4 2004 2(x y) 4(2004 ω)≥ + ⇔ ⋅ + + ≥ + ⇔�

��⇔��4

�⋅�2004�+�2(x�+�y)�≥�4

�⋅�2004�+�4ω��⇔�

��⇔��2(x�+�y)�≥�4ω��⇔��x�+�y�≥�2ω�

Η�ισότητα�ισχύει�µόνο�αν��α�=�β,

��δηλαδή�αν�

�x�=�y�=�ω.�

17.70� Για�να�ορίζονται�τα�ριζικά�πρέπει:�

x 2 0 x 2

x 6 0 x 6 x 2

2 x 0 x 2

− ≥ ≥

+ ≥ ⇔ ≥ − ⇔ = − ≥ ≤

Η�µοναδική�λοιπόν�–�πιθανή�–�ρίζα�της�εξίσωσης�είναι�

�x�=�2.

��Με�µια�απλή�δοκιµή�διαπιστώνουµε�ότι�το�

�x�=�2�

είναι� πραγµατική� ρίζα� της� εξίσωσης� αυτής,� αφού� για�

x�=�2��παίρνουµε:�

3x 2 x 6 2 x− + + + − = �

30 8 0 0 2 0 2= + + = + + = �

17.71� Θέτουµε� 35 α,= �οπότε� 23

25 α .= �Έτσι�το�α΄�

µέλος�γίνεται:�

2 2

2

3 α 2α α 4: 2 α

2 α 2 α α 2 α 2α

− + + + ⋅ = + + − +

2 23 4 2α α α 2α 2α (α 2)(α 2):

2 α 2 α α 2 α(α 2)

+ + − + − +

= + ⋅ =

+ + − +

2

2

3 2 α α α 2

2 α α 2α 4 α 2 α

+ −= ⋅ + ⋅ =

+ + + −

2 2

3 3(α 2)α α

α 2α 4 (α 2α 4)(α 2)

= + = + =

+ + + + −

( )33

3

3(α 2) 3(α 2) 3(α 2)α α α

α 8 35 8

− − −

= + = + = + =

− −−

=�-α�+�2�+�α�=�2�

17.72� Θέτουµε�για�ευκολία� 3 3x α, y β= = �και�παίρ-�

νουµε:�

♦��x�=�α

3,��y�=�β

3�

♦�3 4 3

3

3 2 233

x 8y x yA : 1 2

xx 2 xy 4 y

−= − = + +

�( )

( ) ( )

43 3 3

22 33 3 3 3

yx 8y x: 1 2

xx 2 x y 4 y

−= − =

+ ⋅ +�

�4 3 3 3

2 2 2 2

α 8β α β α(α 8β ) α 2β: 1 2 :

α 2αβ 4β α α 2αβ 4β α

− − − = − ⋅ = = + + + +

35/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 36: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

327�

�2 2

2 2

α(α 2β)(α 2αβ 4β ) α

α 2αβ 4β α 2β

− + +

= ⋅ =

+ + −

� ( )2 2 2

232 23

2 2

α (α 2β)(α 2αβ 4β )α x x

(α 2αβ 4β )(α 2β)

− + +

= = = =

+ + −

17.73� Πολλαπλασιάζουµε�µε�τους�συζυγείς�των�παρο-�

νοµαστών�και�παίρνουµε:�

2 2

2 4 2 2 2

x x x 1 x x 1

x 1 x x 1 x x 1 x x 1

+ + − − +

⋅ =

+ − + + + + + − +

( )

( )

( )

( ) ( )

2

2 4 2 2 2

2 2 2

2 2 4 2 2 2

x x 1 x x 1 x x 1 x x 1

(x 1) x x 1 x x 1 x x 1

+ + + + + + − − +

= ⋅ =

+ − + + + + − − +

( )2 4 2

4 2 4 2

x x 1 x x 1

x 2x 1 x x 1

+ + + +

= ⋅

+ + − − −

( ) ( )2 2

2 2 2 2

2 2

x x 1 2 (x x 1)(x x 1) x x 1

x x 1 (x x 1)

+ + − + + − + + − +

⋅ =

+ + − − +

( )2 4 2

2

x x 1 x x 1

x

+ + + +

= ⋅ �

2 4 3 2 3 2 2 2x x 1 2 x x x x x x x x 1 x x 1

2x

+ + − − + + − + + − + + − +

= = �

2 4 2 2 4 2x 1 x x 1 x 1 x x 1

x x

+ + + + + − + +

= ⋅ = �

( )2

2 2 4 2

2

(x 1) x x 1

x

+ − + +

= = �

4 2 4 2 2

2 2

x 2x 1 x x 1 x1

x x

+ + − − −= = = �

17.74� α)� Με�πράξεις�παίρνουµε��(α�–�β)

2�≥�0,

��που�

ισχύει.�

β)� Είναι:�

2 2 2(α)

4 4 2 2 2 2 (α β )α β (α ) (β )

2

++ = + ≥ = �

2 2

2 2 2 2 2 2α β 2αβ(α β ) (α β ) αβ(α β )

2 2

+= + ≥ + = + �

γ)� Με�εφαρµογή�του�ερωτήµατος�(β).�

17.75� α)� Υψώνουµε�στο�τετράγωνο.�

β)� Όµοια.�

γ)� Η�ανίσωση�γράφεται:�

αβ(α�+�β)�+�(α�+�β)�≥�4αβ��⇔��(α�+�β)(αβ�+�1)�≥�4αβ�

Εφαρµόζουµε�τώρα�τα�ερωτήµατα�(α)�και�(β).�

17.76� α)� Με�βάση�τις�ανισότητες:�

α2�+�β

2�≥�2αβ,���β

2�+�γ

2�≥�2βγ���και���γ

2�+�α

2�≥�2γα�

Άλλος�τρόπος�

Είναι:�

x2�+�y

2�+�ω

2�–�xy�–�yω�–�ωx�=�

2 2 21

(x y) (y ω) (ω x) 02 = − + − + − ≥ �

β)� Γίνεται�ισοδύναµη�µε�την�ανισότητα:�

α4�+�β

4�+�γ

4�≥�αβγ(α�+�β�+�γ)�

Σύµφωνα�µε�το�ερώτηµα�(α)�έχουµε:�

α4�+�β

4�+�γ

4�≥�α

2β2�+�β

2γ2�+�γ

2α2�=�

=�(αβ)2�+�(βγ)

2�+�(γα)

2�=�

=�αβ�⋅�βγ�+�βγ

�⋅�γα�+�γα

�⋅�αβ�=�αβγ(α�+�β�+�γ)�

17.77� α)� Είναι�ισοδύναµη�µε�την� ( )2

α β 0,− ≥ �που�

ισχύει.�Είναι:�

α2�+�β

2�≥�2αβ,���β

2�+�γ

2�≥�2βγ���και���γ

2�+�α

2�≥�2γα�

Προσθέτουµε�κατά�µέλη.�

β)� Αρκεί:�

2

2 2 2 (α β γ)α β γ

3

+ ++ + ≥ �

αφού��1�=�(α�+�β�+�γ)

2.��Αυτή�γίνεται:�

α2�+�β

2�+�γ

2�≥�αβ�+�βγ�+�γα,��ισχύει�

γ)� Είναι:�

α�+�βγ�=�1�–�β�–�γ�+�βγ�=�…�=�

=�(1�–�β)(1�–�γ)�=�(α�+�γ)(α�+�β)�≥�

2 αγ 2 αβ 4α βγ κ.λπ.≥ − = �

17.78� α)� Με�ισοδυναµίες.�

β)� Είναι:�

♦��αβ�+�βγ�+�γδ�+�δα�=�…�=�(α�+�γ)(β�+�δ)�

♦�2 2

2 2 2 2 (α γ) (β δ)(α γ ) (β δ )

2 2

+ ++ + + ≥ + ≥ �

�2(α γ)(β δ)

(α γ)(β δ)2

+ +≥ = + +

��διότι�

�x2�+�y

2�≥�2xy.�

36/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 37: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

328� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�

17.79� Προφανώς:�

x2�–�αβ�>�0,���x

2�–�α

2�>�0,���x

2�–�β

2�>�0�

Το�β΄�µέλος�γράφεται:�

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

α(x β ) β(x α ) (α β)(x αβ)

(x α )(x β ) (x α )(x β )

− + − + −

=

− − − −

και�η�ανισότητα,�µετά�τις�απλοποιήσεις,�γίνεται:�

x2(α�–�β)

2�≥�0,��που�ισχύει�

17.80� α)� Η�ανισότητα�ισοδύναµα�γίνεται:�

2 2α βγ β γαβ α 0

β γ γ α

+ +− + − ≥ ⇔

+ + �

2 2 2 2α β β α0

β γ γ α

− −⇔ + ≥ ⇔

+ +

2 2 1 1(α β ) 0

β γ γ α

⇔ − − ≥ ⇔

+ + �

⇔��(α2�–�β

2)(α�–�β)�≥�0��⇔��(α�–�β)

2(α�+�β)�≥�0�

β)� Με�κυκλική�εφαρµογή�του�ερωτήµατος�(α).�

γ)� Είναι�ισοδύναµη�µε�την:�

α3�+�β

3�≥�αβ(α�+�β)��⇔�

⇔��(α�+�β)(α2�–�αβ�+�β

2)�≥�αβ(α�+�β)��⇔�

⇔��(α�–�β)(α�–�β)2�≥�0,��που�ισχύει�

δ)� Το�α΄�µέλος�γράφεται:�

2 2 2 2 2 2α β β γ γ α

2β 2α 2γ 2β 2α 2γ

+ + + + + ≥

α β β γ γ αα β γ

2 2 2

+ + +≥ + + = + + �

17.81� α)� Γίνεται:�

x3�+�y

3�≥�xy(x�+�y)��⇔��…��⇔��(x�+�y)(x�–�y)

2�≥�0�

που�ισχύει.�

β)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�είναι:�

2 2 2 2 2 2x y y ω ω x

y x ω y x ω

+ + + + + ≥

≥��(x�+�y)�+�(y�+�ω)�+�(ω�+�x)��⇔�

2 2 2 2 2 2x x y y ω ω2(x y ω)

y ω ω x x y

⇔ + + + + + ≥ + + ⇔

2 2 2x (y ω) y (ω x) ω (x y)2(x y ω)

yω ωx xy

+ + +⇔ + + ≥ + + �

17.82� α)� Γίνεται��(x�+�y)(x�–�y)2�≥�0,��που�ισχύει.�

β)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�το�α΄�µέλος�είναι�µεγαλύ-�

τερο�ή�ίσο�από�xy yω ωx

.3xyω

+ +

�Αρκεί:�

xy yω ωx 3

3xyω x y ω

+ +≥ ⇔

+ +

1 1 1(x y ω) 9

x y ω

⇔ + + + + ≥ ⇔ … ⇔

x y y ω ω x6, που ισχύει

y x ω y x y

⇔ + + + + + ≥

17.83� α)� Είναι�ισοδύναµη�µε�την� ( )2

α β 0,− ≥ �που�

ισχύει.�

β)� Είναι:�

1�+�x�=�(x�+�y�+�ω)�+�x�=�(x�+�y)�+�(x�+�ω)�=�

(1 ω) (1 y) 2 (1 ω)(1 y)= − + − ≥ − − �

Όµοια:�

1 y 2 (1 x)(1 ω) και 1 ω 2 (1 x)(1 y)+ ≥ − − + ≥ − − �

Πολλαπλασιάζουµε�και�τις�τρεις�σχέσεις�κ.λπ.�

17.84� Ισχύει�ότι:�

αβ α β βγ β γ γα γ α, και

α β 4 β γ 4 γ α 4

+ + +≤ ≤ ≤

+ + +

Προσθέτουµε�κατά�µέλη�κ.λπ.�

17.85� α)� Είναι:�

♦� α�+�β�+�γ�=�1��⇔��α�=�1�–�β�-�γ�

♦� α�+�βγ�=�1�–�β�–�γ�+�βγ�=�1�–�β�–�γ(1�–�β)�=�

� =�(1�–�β)(1�–�γ)��κ.λπ.�

β)� i)� Ισοδύναµα�γίνεται��(α�–�β)

2�≥�0,

��που�ισχύει.�

ii)� Είναι:�

1�–�α�=�β�+�γ,���1�–�β�=�γ�+�α���και���1�–�γ�=�α�+�β�

και�από�το�ερώτηµα�(α)�το�α΄�µέλος�γίνεται:�

(i)2 2 2(α βγ)(β γα)(γ αβ) (α β) (β γ) (γ α)+ + + = + + + ≥ �

≥�4αβ�⋅�4βγ

�⋅�4γα�=�64α

2β2γ2�

37/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 38: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

329�

γ)� Είναι:�

(α)1 1 1

α βγ β γα γ αβ+ + ==…=

+ + +

1 1 1

(α β)(α γ) (β γ)(β α) (γ α)(γ β)= + + =…=

+ + + + + +

2(α β γ)

(α β)(β γ)(γ α)

+ +

=

+ + +

Όµως:�

♦��α�+�β�+�γ�=�1�

♦� (α β)(β γ)(γ α) 2 αβ 2 βγ 2 γα 8αβγ+ + + ≥ ⋅ ⋅ = �

διότι:�

2(α β) 4αβ α β 2 αβ κ.λπ.+ ≥ ⇔ + ≥ �

17.86� α)� Είναι�ισοδύναµη�µε�την�ανισότητα:�

2α αγ αβ βγ αβ αγ 2α βγ+ + + ≥ + + ⇔ �

( )2

2α 2α βγ βγ 0 α βγ 0⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ �

που�ισχύει.�

β)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�έχουµε�τη�συνθήκη:�

αβγ�=�1�

17.87� α)� Είναι:�

♦�2 2 2 2α β α β

α βα β α β α β

− = = −

+ + +

♦�2 2 2 2β γ γ α

β γ, γ αβ γ β γ γ α γ α

− = − − = −

+ + + +

Προσθέτουµε�κατά�µέλη�κ.λπ.�

β)� Αρκεί��2(α

2�+�β

2)�≥�(α�+�β)

2��κ.λπ.�

γ)� Από�το�ερώτηµα�(α)�παίρνουµε:�

2 2 2 2 2 2 2 2 2α β γ 1 α β β γ γ α

α β β γ γ α 2 α β β γ γ α

+ + ++ + = + + ≥

+ + + + + + �

1 α β β γ γ α α β γ

2 2 2 2 2

+ + + + + ≥ + + =

Σχόλιο�

Αν��x�=�y,

��τότε�

1x (x y).

2= + �Έτσι�αν�Α�και�Β�είναι�τα�

δύο�µέλη�στο�ερώτηµα�(α),�τότε��Α�=�Β

��και�συνεπώς:�

1A (A B) κ.λπ.

2= + �

17.88� α)� Γίνεται:�

βγα βγ α 2 βγ

α+ ≥ + + ⇔ �

1 1βγ βγ 1 2 βγ

β γ

⇔ ≥ − − + ⇔ … ⇔

( )2

β γ 2 βγ 0 β γ 0, που ισχύει⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ �

β)� Η�υπόθεση�δίνει:�

1 1 1αβγ αβγ

α β γ

+ + = ⇔

βγ γα αβαβγ (1)

α β γ⇔ + + = �

Εφαρµόζουµε�τώρα�το�ερώτηµα�(α)�τρεις�φορές�(κυκλι-�

κά)�και�προσθέτουµε�κατά�µέλη.�Με�βάση�τη�σχέση�(1)�

παίρνουµε�τη�ζητούµενη.�

17.89� α)� Είναι:�

♦� x2�+�1�≥�2x,

��οπότε�

�x3�+�x�≥�2x

2.�

♦� y2�+�1�≥�2y,

��οπότε�

�y4�+�y

2�≥�2y

3.�

Με�πρόσθεση�παίρνουµε:�

x3�+�y

4�+�x�+�y

2�≥�2(x

2�+�y

3)�

Αλλά��x2�+�y

3�≥�x

3�+�y

4.��Με�πρόσθεση�προκύπτει:�

x�+�y2�≥�x

2�+�y

3�

β)� Είναι:�

(α)2 4 2 2(x 1) (y 1) 2x 2y 2(x y )+ + + ≥ + = + ≥ �

≥�2(x2�+�y

3)�=�(x

2�+�y

3)�+�(x

2�+�y

3)�≥�x

2�+�y

3�+�x

3�+�y

4�

Άρα��2�≥�x

3�+�y

3.�

17.90� Η�ανισότητα�γίνεται:�

2α4�+�2α

2β2�+�2β

4�≥�3α

3β�+�3αβ

3��⇔�

⇔��(2α4�–�2α

3β)�+�(2β

4�–�2αβ

3)�≥�α

3β�+�αβ

3�–�2α

2β2��⇔�

⇔��2α3(α�–�β)�–�2β

3(α�–�β)�≥�αβ(α

2�+�β

2�–�2αβ)��⇔�

⇔��2(α�–�β)(α3�–�β

3)�–�αβ(α�–�β)

2�≥�0��⇔�

⇔��2(α�–�β)2(α

2�+�αβ�+�β

2)�–�αβ(α�–�β)

2�≥�0��⇔��…��⇔�

2 2 2 2(α β) 0(α β) (α αβ β⇔ − ≥ + + − + �

που�ισχύει�

38/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 39: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

330� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�

17.91� Είναι:�

♦� α(β2�+�γ

2)�≥�α(2βγ)�=�2αβγ�≥�0�

♦� β(γ2�+�α

2)�≥�2αβγ�≥�0�

♦� γ(α2�+�β

2)�≥�2αβγ�≥�0�

Πολλαπλασιάζουµε�κατά�µέλη.�

17.92� Υψώνουµε�στο�τετράγωνο�και�παίρνουµε:�

( )2

αδ βγ 2 αβγδ 0 αδ βγ 0, που ισχύει+ − ≥ ⇔ − ≥ �

17.93� α)� Με� ισοδυναµίες� γίνεται� ( )2

x y 0,− ≥ � που�

ισχύει.�

β)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�έχουµε:�

β αβ γ βγ α γαα 2 , β 2 και γ 2

γα γα αβ αβ βγ βγ+ ≥ + ≥ + ≥ �

Πολλαπλασιάζουµε�κατά�µέλη.�

17.94� Είναι:�

♦� (α β) γ 2 αβ γ 2 αβγ,+ ≥ ⋅ = �

� διότι� α β 2 αβγ.+ ≥ �

♦� (β γ) α 2 αβγ, (γ α) β 2 αβγ+ ≥ + ≥ �

Προσθέτουµε�κατά�µέλη�κ.λπ.�

17.95� α)� Ισοδύναµα�γίνεται:�

4αβ�≤�(α�+�β)2��⇔��…��⇔��(α�–�β)

2�≥�0,��που�ισχύει�

β)� Με�εφαρµογή�του�ερωτήµατος�(α)�τρεις�φορές�και�

πρόσθεση�κατά�µέλη.�

17.96� Σε� τέτοιου�είδους�θέµατα�βασιζόµαστε�σε�κά-�

ποια�απλή,�πιθανόν�βασική�ανισότητα.�

Είναι:�

(α�–�β)2�≥�0��⇔��α

2�–�2αβ�+�β

2�≥�0��⇔�

⇔��α2�+�β

2�≥�2αβ��⇔��α

2�+�αβ�+�β

2�≥�3αβ�>�0��⇔�

2 2

1 1

α αβ β 3αβ⇔ ≤

+ +

Ισχύουν�λοιπόν�οι�ανισότητες:�

2 2 2 2

1 1 1,

α αβ β 3αβ β βγ γ≤

+ + + +

2 2

1 1και

γ γα α 3γα≤

+ +

Οι�σχέσεις�αυτές�µε�πρόσθεση�δίνουν:�

2 2 2 2 2 2

1 1 1

α αβ β β βγ γ γ γα α+ + ≤

+ + + + + +

1 1 1

3αβ 3βγ 3γα≤ + + �

Όµως:�

♦��α�+�β�+�γ�=�3�

♦�1 1 1 γ α β α β γ 3 1

3αβ 3βγ 3γα 3αβγ 3αβγ 3αβγ αβγ

+ + + +

+ + = = = = �

Άρα:�

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

α αβ β β βγ γ γ γα α αβγ+ + ≤

+ + + + + +

17.97� α)� Είναι�η��(α�–�β)2�≥�0,��που�ισχύει.�

β)� Είναι:�

α2�+�β

2�≥�2αβ,���β

2�+�γ

2�≥�2βγ�

και�

γ2�+�α

2�≥�2γα�

Προσθέτουµε�κατά�µέλη�κ.λπ.�

Άλλος�τρόπος�

Πολλαπλασιάζουµε�µε�2�και�η�ανισότητα�είναι� ισοδύ-�

ναµη�µε�την��(α�–�β)

2�+�(β�–�γ)

2�+�(γ�–�α)

2�≥�0,

��που�ισχύει.�

γ)� Ισοδύναµα�γίνεται:�

(α�–�1)2�+�(β�–�2)

2�≥�0,���που�ισχύει�

δ)� Ισοδύναµα�γίνεται:�

(α�–�β)2�+�(β�–�γ)

2�+�(γ�–�α)

2�≥�0,���που�ισχύει�

17.98� Με�τη�µέθοδο�των�ισοδυναµιών.�

17.99� α)� ii),� iii)�Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�(i),�που�

είναι�απλό.�

β)� ii)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(β)�(i),�που�είναι�απλό.�

39/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 40: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

331�

17.100� α)� ii)�Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�(i)�που�είναι�

απλό�(και�βασικό).�

β)� ii)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(β)�(i),�αφού:�

♦��α3�+�β

3�+�αβγ�≥�αβ(α�+�β)�+�αβγ�=�αβ(α�+�β�+�γ)�

♦�3 3

1 1

α β αβγ αβ(α β γ)≤

+ + + +

�κ.λπ.�

γ)� ii)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(γ)�(i)�που�είναι�απλό.�

δ)� ii)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(δ)�(i)�που�είναι�απλό.�

ε)� Είναι:�

♦��α3�+�β

3�+�γ

3�–�3αβγ�=�

� 2 2 21(α β γ) (α β) (β γ) (γ α) 0

2 = + + − + − + − ≥ �

� αφού��α�+�β�+�γ�>�0

��και�η�αγκύλη�δεν�είναι�αρνητική.�

♦� Στο�πρώτο�σκέλος�βάζουµε�αντί�α,�β�και�γ�τα� 3α, �

� 3 3β και γ. �Πρόκειται�για�σηµαντική�ανισότητα.�

17.101� α)� Το�ερώτηµα�(i)�είναι�απλό.�Το�ερώτηµα�

(ii)�µε�βάση�το�(i)�δίνει:�

[ ]22 2 2 2 2(i) (x y) ωx y ω (x y) ω

κ.λπ.α β γ α β γ (α β) γ

+ +++ + ≥ + ≥

+ + + �

β)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�(ii).�

γ)� Το�α΄�µέλος�µε��1�=�1

2��και�την�(α)�(ii)�δίνει:�

2

2 2 2

(1 1 1) 9 9

3 (αβ βγ γα) 3 (α β γ ) 6

+ +…≥ ≥ =

+ + + + + +

αφού:�

α2�+�β

2�+�γ

2�≥�αβ�+�βγ�+�γα��⇔�

2 2 2

1 1

3 αβ βγ γα 3 α β γ⇔ ≤

+ + + + + +

δ)� Το�πρώτο�µέλος�γράφεται:�

2 2 2 2α β γ (α β γ)1

αβ 2γα γβ 2αβ αγ 2βγ 3(αβ βγ γα)

+ ++ + ≥ ≥

+ + + + +

αφού:�

(α�+�β�+�γ)2�≥�3(αβ�+�βγ�+�γα)�

σύµφωνα�µε�το�(α)�(ii).�

ε)� Το�α΄�µέλος:�

2 33 αβγ(α β γ) α β γ 3

2(α β γ) 2 2 2

+ + + +…≥ = ≥ =

+ +

σύµφωνα�µε�το�(α)�(ii).�

στ)�Το�α΄�µέλος:�

2 2(α β) x

α β 2 x 2

+…≥ =

+ − −

όπου��x�=�α�+�β.�

�Αλλά:�

2

2 2x8 x 8x 16 0 (x 4) 0

x 2≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥

που�ισχύει.�

ζ)� Είναι�δύσκολο,�αφού�είναι�θέµα�της�∆ιεθνούς�Μα-�

θηµατικής�Ολυµπιάδας�του�1995.�

Θέτουµε:�

1 1 1α , β και γ

x y ω= = = �

οπότε��xyω�=�1

��και�καταλήγουµε�στο�ερώτηµα�(ε).�

η)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�(ii).�

17.102� α),�β)� Με�ισοδυναµίες.�

γ)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(β).�

Άλλος�τρόπος�

Με�βάση�το�ερώτηµα�(α).�

Έστω�Α�το�α΄�µέλος.�Τότε:�

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

α (α β ) β βα β

α αβ β α αβ β α αβ β

− += =…= − +

+ + + + + +

Ονοµάζουµε�Α�το�α΄�µέλος,�οπότε:�

2Α�=�Α�+�Α�=�(αρχικό�α΄�µέλος)�+�(νέο�α΄�µέλος)�=�

3 3 3 3 3 3(α)

2 2 2 2 2 2

α β β γ γ α0

α αβ β β βγ γ γ γα α

+ + += + + + ≥

+ + + + + +

α β β γ γ α 2(α β γ)

3 3 3 3

+ + + + +≥ + + = �

αφού:�

3 3

2 2

α β α β

α αβ β 3

+ +≥

+ +

από�το�ερώτηµα�(α).�

40/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 41: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

332� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�

17.103� α)� Αρκεί��αβ�–�1�≤�0�⇔�αβ�≤�1.��Αλλά�

�β�=�2�–�α,�

οπότε:�

αβ�≤�1��⇔�α(2�–�α)�≤�1��⇔��(α�–�1)2�≥�0,��ισχύει�

β)� Αρκεί:�

α2�+�β

2�–�2�≥�0�⇔�α

2�+�β

2�≥�2�

Όµως��β�=�2�–�α,

��οπότε:�

α2�+�β

2�≥�2��⇔��α

2�+�(2�–�α)

2�≥�2��⇔�

⇔��2α2�–�4α�+�2�≥�0��⇔��(α�–�1)

2�≥�0,��ισχύει�

Η�ισότητα�ισχύει�όταν��α�=�β�=�1.�

17.104� Μετά�τις�πράξεις�ισοδύναµα�παίρνουµε:�

2 2

3 3α βα β α β αβ(α β)

β α+ ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ … ⇔ �

⇔��(α�+�β)(α�–�β)2�≥�0,��ισχύει�

Η�ισότητα�ισχύει�µόνο�αν��α�=�β.�

17.105� α)� Προκύπτει�η�ισοδύναµη�ανισότητα:�

(α�–�β)2�≥�0,��ισχύει�

β)� Είναι��1�=�α�+�β�+�γ,

��οπότε�παίρνουµε:�

α β γ α β γ α β γ9

α β γ

+ + + + + ++ + ≥ ⇔ … ⇔ �

α β β γ γ α6

β α γ β α γ

⇔ + + + + + ≥

που�ισχύει�λόγω�του�ερωτήµατος�(α).�

17.106� α)� Παίρνουµε��(α�–�1)2�+�1�>�0,��που�ισχύει.�

β)� Παίρνουµε��(α�–�3)

2�+�1�>�0,

��που�ισχύει.�

γ)� Παίρνουµε:�

(α2�–�2α�+�1)�+�(α

2�–�4α�+�4)�>�0��⇔�

⇔��(α�–�1)2�+�(α�–�2)

2�>�0,��ισχύει�

∆εν�γίνεται�συγχρόνως��α�–�1�=�0

��και�

�α�–�2�=�0,

��οπότε�

το�ίσον�µε�µηδέν�δεν�µπορεί�να�συµβεί.�

17.107� α)� Είναι:�

Α(α,�β)�=�α3�+�2β

3�–�3αβ

2�=�(α

3�–�αβ

2)�+�(2β

3�–�2αβ

2)�=�

=�α(α2�–�β

2)�–�2β

2(α�–�β)�=�

=�α(α�–�β)(α�+�β)�–�2β2(α�–�β)�=�(α�–�β)(α

2�+�αβ�–�2β

2)�=�

2 2 2(α β) (α β ) (αβ β ) = − − + − = �

[ ](α β) (α β)(α β) β(α β)= − − + + − = �

=�(α�–�β)(α�–�β)(α�+�β�+�β)�=�(α�–�β)2(α�+�2β)�

β)� Επειδή��α,�β�≥�0

��θα�είναι�

�α�+�2β�≥�0.

��Είναι�όµως�

(α�–�β)2�≥�0

��για�κάθε�

�α,�β

�∈

�R

��και�έτσι:�

(α�+�2β)(α�–�β)2�≥�0�

Σύµφωνα�λοιπόν�µε�το�ερώτηµα�(α)�είναι:�

α3�+�2β

3�–�3αβ

2�=�(α�+�2β)(α�–�β)

2�≥�0�

Εποµένως��α3�+�2β

3�≥�3αβ

2.�

17.108� α)� Είναι:�

♦�

2

2 1 3α α 1 α 0

2 4

− + = − + >

♦�

2

2 1 3α α 1 α 0

2 4

+ + = + + >

β)� Είναι:�

α7�+�1�≥�α

6�+�α��⇔��α

6(α�–�1)�–�(α�–�1)�≥�0��⇔��…��⇔�

⇔��(α�–�1)2(α�+�1)(α

2�+�α�+�1)(α

2�–�α�+�1)�≥�0�

που�ισχύει.�

17.109� Είναι�ισοδύναµη�µε�την��xy�≤�1,��που�ισχύει.�

17.110� α)� Με�ισοδυναµίες�προκύπτει:�

(α�+�β)(α2�+�αβ�+�β

2)(α�–�β)

2�≥�0�

β)� i)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(α)�είναι:�

5 5 2 2

αβ αβ 1

α β αβ α β (α β) αβ αβ(α β) 1≤ = =

+ + + + + +

αβγ γ

αβ(α β) αβγ α β γ= =

+ + + +

ii)� Με�βάση�το�ερώτηµα�(i).�(Το�ερώτηµα�είχε�προτα-�

θεί�στη�∆.Μ.Ο.�–�1996.)�

17.111� Είναι:�

α�+�βγ�=�α(α�+�β�+�γ)�+�βγ�=�α2�+�αβ�+�αγ�+�βγ�=�

=�α(α�+�β)�+�γ(α�+�β)�=�(α�+�β)(α�+�γ)�

Απ:��Α�=�(α�+�β)(β�+�γ)(γ�+�α)�

∈�

Q�

41/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 42: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

333�

Άλλος�τρόπος�

Είναι:�

♦� α�=�1�–�β�-�γ�

♦� α�+�βγ�=�1�–�β�–�γ�+�βγ�=�1�–�β�–�γ(1�–�β)�=�

� =�(1�–�β)(1�–�γ)�

Απ:��Α�=�(1�-�β)(1�-�γ)(1�-�α)�

∈�

Q�

17.112� α)�Με�τη�βοήθεια�πίνακα�προσήµου.�

Απ:��

∈ ∈ ∞

-2x + 2, αν x < -1

A(x) = 4, αν x [-1, 3]

2x - 2, αν x (3, + )

β)� x�=�2��ή�

�x�=�4� � � γ)� x

�∈

�[2,�4]�

17.113� Παίρνουµε:�

β(α�+�γ)�=�2�+�γ(α�+�γ)��⇔��(α�+�γ)(β�–�γ)�=�2�

Όµως�οι�µοναδικοί�ακέραιοι�µε�γινόµενο�2�είναι�οι�–1,�

-2�ή�οι�1�και�2.�Άρα:�

(α�+�γ�=�-1���και���β�–�γ�=�-2)�

ή�

(α�+�γ�=�-2���και���β�–�γ�=�-1)�

ή�

(α�+�γ�=�1���και���β�–�γ�=�2)�

ή�

(α�+�γ�=�2���και���β�–�γ�=�1)�

Με�πρόσθεση�κατά�µέλη�των�δύο�σχέσεων�(στην�κάθε�

περίπτωση)�παίρνουµε:�

α�+�β�=�-3���ή���α�+�β�=�3�

Άρα� α β 3.+ = �

17.114� Έστω��α�=�4444444444�–�88888.��Τότε:�

α�=�4444444444�–�44444�–�44444�=�

=�4444400000�–�44444�=�44444�⋅�10

5�–�44444�=�

=�44444(105�–�1)�=�44444

�⋅�99999�=�

=�(4�⋅�11111)(9

�⋅�11111)�=�

=�36�⋅�11111

2�=�(6

�⋅�11111)

2�=�66666

2�

17.115� Είναι:�

♦� 6 6 6 6 6 9 6 9 9 3+ + < + + = + = = �

♦�3 33 3 33 3 3 36 6 6 6 6 8 6 8 8 2+ + < + + = + = = �

Με�πρόσθεση�παίρνουµε�τη�ζητούµενη.�

17.116� α)� Α�=�R�–�{-1,�1}.�

β)� Είναι:�2004 2004

x 1 x 1f ( x)

x 1 x 1

− − − + − = − = − + − −

2004 2004

x 1 x 1f (x)

x 1 x 1

+ − = − = − − +

Απ:��Περιττή�

γ)� Είναι��f�(0)�=�(-1)

2004�–�(-1)

2004�=�0.�

Απ:��Ναι�

17.117� �

17.118� α)� Πρέπει:�

α�+�β�–�αβ�–�1�=�0��⇔��(α�–�1)�+�(β�–�αβ)�=�0��⇔�

⇔��(α�–�1)�–�β(α�–�1)�=�0��⇔��(α�–�1)(1�–�β)�=�0�

Απ:��α�=�1��ή��β�=�1�

β)� Είναι:�

( ) ( )α β 2 αβ αβ 2 αβ 1A 1

α β αβ 1

+ + − + +

= =

+ − −

17.119� Είναι:�

1 5 8 2 2 2 5 2 10B

2

+ − + + +

= = �

( )2

1 5 1 2 5

2

+ − + +

= = �

( )1 5 1 2 5 21

2 2

+ − + +

= = − = − ∈� �

Σηµείωση�

Το�θέµα�αυτό�τέθηκε�σε�µαθηµατικό�διαγωνισµό�της�

Ρουµανίας�το�2003.�

42/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 43: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

334� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�

17.120� α)� Η�εξίσωση�γράφεται:�

53x-1�=�5

2x+10��⇔��3x�–�1�=�2x�+�10�

Απ:��x�=�11�

β)� x�=�2� � � γ)� x�=�5� � δ)� x�=�2�

17.121� Είναι:�

(2ν�+�1)2�–�(2ν�–�1)

2�=�800��⇔��…��⇔��8ν�=�8000��⇔�

⇔��ν�=�1000�

Απ:��1999,�2000�

17.122� Πρόκειται�για�σχετικά�έξυπνο�θέµα,�που�τέθηκε�

σε�µαθηµατικό�διαγωνισµό.�

Η�δοσµένη�σχέση�γίνεται:�

2 22 α 1 4 β 2 6 γ 3 α β γ− + − + − = + + ⇔ �

( ) ( ) ( )2 2α 2 α 1 β 4 β 2 γ 6 γ 3 0⇔ − − + − − + − − = ⇔ �

( )2

2α-1 1 2 α 1

⇔ + − − + �

( )2

2 2 2β 2 2 4 β 2

+ − + − − + �

( )2

2 2 2γ 3 3 6 γ 3 0

+ − + − − = ⇔ �

( ) ( ) ( )2 22

α 1 1 β 4 2 γ 9 3 0⇔ − − + − − + − − = ⇔ �

( )α 1 1 και β 4 2 και γ 9 3⇔ − = − = − = ⇔ �

⇔��(α�–�1�=�1��και

����4�=�4�

�και

��γ�–�9�=�9)��⇔�

⇔��(α�=�2,��β�=�8,��γ�=�18)�

17.123� Είναι��Α(x,�y)�=�(x�–�2)2�+�(y�–�2)2�+�λ�–�8.�

α)� Πρέπει:�

λ�–�8�=�0��⇔��λ�=�8�

Απ:��λ�=�8,��x�=�2,��y�=�2�

β)� Πρέπει:�

λ�–�8�≥�0��⇔��λ�≥�8�

Απ:��λ�∈

�[8,�+∞)�

17.124� Όλα�δείχνουν�ότι�δεν�πρέπει�να�επιχειρήσουµε�

την�εκτέλεση�πράξεων.�Για�το�λόγο�αυτό�πολλαπλασιά-�

ζουµε�τους�όρους� του�πρώτου�κλάσµατος�µε�2-x,� τους�

όρους�του�δεύτερου�κλάσµατος�µε�2-y�και�του�τρίτου�µε�

2-ω.�Έτσι,�τελικά,�το�α΄�µέλος�είναι�ίσο�µε:�

x y ω

x y ω y x ω ω x y

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

− − −

− − − − − − − − −

+ + =

+ + + + + +

x y ω

x y ω

2 2 21

2 2 2

− − −

− − −

+ += =

+ +

17.125� α)� Α�=�2α�� � β)� Β�=�4β�

17.126� α)� β2� � � � β)� 0�

γ)� -y2�� � � � � δ)� y

2�

17.127� Με� εφαρµογή� των� ιδιοτήτων� των� δυνάµεων.�

Ο�αριθµητής�δίνει�(xy)4�και�ο�παρονοµαστής�(xy)

10.�

17.128� Με�εφαρµογή�των�ιδιοτήτων�των�δυνάµεων.�

Απ:��Α�=�3�

17.129� Εκτελούµε�τις�πράξεις�στο�α΄�µέλος.�

17.130� α)� x2�+�y2�=�(x�+�y)2�–�2xy�

β)� x3�+�y

3�=�(x�+�y)

3�–�3xy(x�+�y)�

17.131� α)� (α�+�β)2�–�γ2�

Απ:��(α�+�β�–�γ)(α�+�β�+�γ)�

β)� (x�–�y)2�–�(4ω)

2�

Απ:��(x�–�y�–�4ω)(x�–�y�+�4ω)�

γ)� x2�–�(y�+�α)

2�

Απ:��(x�–�y�–�α)(x�+�y�+�α)�

δ)� (2α)2�–�(β�–�2x)

2�

Απ:��(2α�–�β�+�2x)(2α�+�β�–�2x)�

ε)� 32�–�(3α�–�β)

2�

Απ:��(3�–�3α�+�β)(3�+�3α�–�β)�

στ)� 2 23 (x y) (3ω) − − �

Απ:��3(x�–�y�–�3ω)(x�–�y�+�3ω)�

ζ)� (x2�+�x)

2�–�y

2�

Απ:��(x2�+�x�–�y)(x

2�+�x�+�y)�

η)� y2�–�(x�–�1)

2�

Απ:��(y�–�x�+�1)(y�+�x�–�1)�

43/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 44: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

335�

17.132� Το�α΄�µέλος�δίνει:�

2 2(65 25)(65 65 25 25 )25 65

90

+ − ⋅ +− ⋅ = �

=�652�–�2

�⋅�65

�⋅�25�+�25

2�=�(65�–�25)

2�=�40

2�=�1600�

17.133� Είναι:�

Α�=�31(82�+�43)�+�125(48�–�67)�=�

=�31�⋅�125�–�125

�⋅�19�=�125(31�–�19)�=�

=�125�⋅�12�=�1500�

17.134� α)� Α�=�α2(γ�–�δ)�–�β2(γ�–�δ)�=�(γ�–�δ)(α2�–�β2)�

Απ:��Α�=�(γ�–�δ)(α�–�β)(α�+�β)�

β)� Β�=�(α�–�β)(α�+�β)�–�2(α�–�β)�

Απ:��Β�=�(α�–�β)(α�+�β�–�2)�

γ)� Γ�=�4(x�–�y)�–�α(x�–�y)�

Απ:��Γ�=�(x�–�y)(4�–�α)�

δ)� ∆�=�(x2�–�xy)�+�yω�–�xω�=�x(x�–�y)�–�ω(x�–�y)�

Απ:��∆�=�(x�–�y)(x�–�ω)�

ε)� Ε�=�(βγ�+�αγ)�–�α2�–�αβ�=�γ(α�+�β)�–�α(α�+�β)�

Απ:��Ε�=�(α�+�β)(γ�–�α)�

στ)�Ζ�=�(α2β2�–�α

2)�+�β

2�–�1�=�α

2(β

2�–�1)�+�(β

2�–�1)�

Απ:��Ζ�=�(β�–�1)(β�+�1)(α2�+�1)�

ζ)� Η�=�(xy2�–�y

2)�–�x�+�1�=�y

2(x�–�1)�–�(x�–�1)�

Απ:��Η�=�(x�–�1)(y�–�1)(y�+�1)�

η)� Θ�=�x2(x�–�2)�–�(x�-�2)�

Απ:��Θ�=�(x�–�2)(x�–�1)(x�+�1)�

17.135� α)� Το�α΄�µέλος�δίνει:�

α(x-y)(x+y)�

⋅�α(y-ω)(y+ω)�

⋅�α(ω-x)(ω+x)

�=�…�=�α0�=�1�

β)� Ο�παρονοµαστής�του�πρώτου�κλάσµατος�γίνεται:�

αx-x�+�α

x-y�+�α

x-ω�=�α

x(α

-x�+�α

-y�+�α

-ω)�

και�έτσι�το�πρώτο�κλάσµα�δίνει:�

x

x y ω

α

α α α

− − −

+ +

Όµοια�µετασχηµατίζουµε�και�τα�άλλα�κλάσµατα.�

17.136� α)� Είναι:�

Α�=�β2�–�δ

2�+�(αβ�–�δα)�+�(γδ�–�βγ)�=�

=�(β�–�δ)(β�+�δ)�+�α(β�–�δ)�–�γ(β�–�δ)�=�

=�(β�–�δ)(β�+�γ�+�α�–�γ)�

β)� Όµοια:�

Β�=�(β2�–�δ

2)�+�(αβ�+�αδ)�+�(βγ�+�γδ)�=�…�=�

=�(β�+�δ)(β�–�δ�+�α�+�γ)�

17.137� α)� Είναι:�

x 1 3 x 4

x 1 x 1

x 3 1 x 4

x 3 x 3

A

− − −

− −

− − −

− −

= = �

Πρέπει:�

x�≠�1,���x�≠�3���και���2x�–�8�≠�0��⇔��x�≠�4�

� Απ:� ♦� x�≠�1,��x�≠�3,�

�x�≠�4�

� � ♦�x - 3

A =x -1

β)�

2

2

2

x 9

x 4

x 9

x 2

B

= �κ.λπ.�

� Απ:� ♦� x�≠�2,��x�≠�-2,�

�x�≠�-3,��x�≠�3�

� � ♦�1

B =x + 2

17.138� α)� Είναι:�

Α�=�(α4�–�4α

2β2�+�4β

4)�–�α

2β2�=�…�=�(α

2�–�2β

2)2�–�(αβ)

2�

Απ:��Α�=�(α2�–�2β

2�-�αβ)(α

2�–�2β

2�+�αβ)�

β)� Β�=�(x4�+�y

4�–�2x

2y2)�–�9x

2y2�=�(x

2�–�y

2)2�–�(3xy)

2�

Απ:��Β�=�(x2�–�y

2�–�3xy)(x

2�–�y

2�+�3xy)�

γ)� Γ�=�x4�+�4x

2y2�+�4y

4�-�x

2y2�=�(x

2�+�2y

2)2�–�(xy)

2�

Απ:��Γ�=�(x2�+�2y

2�–�xy)(x

2�+�2y

2�+�xy)�

δ)� ∆�=�(x4�+�2x

2�+�1)�–�x

2�=�(x

2�+�1)

2�–�x

2�

Απ:��∆�=�(x2�+�1�–�x)(x

2�+�1�+�x)�

ε)� Ε�=�(9α4�+�25β

4�+�30α

2β2)�-�4α

2β2�=�

� =�(3α2�+�5β

2)2�–�(2αβ)

2�

Απ:��Ε�=�(3α2�+�5β

2�–�2αβ)(3α

2�+�5β

2�+�2αβ)�

17.139� α)�α

= �� β)� Β�=�1� � γ)� Γ�=�1�

44/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 45: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

336� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�

δ)� ∆�=�1� � ε)� Ε�=�α�+�β� � στ)�Ζ�=�1�

17.140� Αν��x�+�y�+�ω�=�0,��τότε��x3�+�y3�+�ω3�=�3xyω.�

Έτσι:�

2 2 2 2 2 23(α β )(β γ )(γ α )K

3(α β)(β γ)(γ α)

− − −

= =…=

− − −

=�(α�+�β)(β�+�γ)(γ�+�α)�

Απ:��Κ�=�2004�

17.141� α)� Α�=�α�–�3� � � β)�µ ν ρ

Bµ ν ρ

− −

=

− +

γ)� Γ�=�ν2�+�1,

��διότι�

�ν4�–�5ν

2�+�4�=�(ν

2�–�1)(ν

2�–�4)

��κ.λπ.�

17.142� Έστω:�

αβ 10α β και γδ 10γ δ= + = + �

οι�δύο�αριθµοί,�µε� αβ γδ 99λ.+ = �Είναι:�

( )αβγδ 100αβ γδ 99αβ αβ γδ= + = + + = �

( )99αβ 99λ 99 αβ λ πολ99= + = + = �

17.143� α)� Α�=�1� � β)� Β�=�1� � γ)�1

Γα

= �

δ)�1

∆x 1

=

+

� � � ε)� Ε�=�1� � στ)�Ζ�=�1�

17.144� α)� Εκτελούµε�τις�πράξεις.�

β)� Το�άθροισµα�των�βάσεων�είναι�0.�

17.145� α)� Είναι��ν�=�2κ��ή��ν�=�2κ�+�1,��οπότε��α�=�2λ,�

µε��λ�∈

�Z.�

β)� Είναι:�

♦� ν2�+�ν�+�1�=�ν(ν�+�1)�+�1�=�άρτιος�+�1�=�περιττός�

♦� ν2�–�ν�–�1�=�ν(ν�–�1)�–�1�=�άρτιος�–�περιττός�=�περιττός�

Αλλά�το�γινόµενο�περιττών�είναι�πάντα�περιττός.�

17.146� Το�α΄�µέλος�δίνει:�

2 21 x y

(x 1)(y 1) (x 1)(x y) (y 1)(y x)+ + =

− − − − − −

2 2x y x (y 1) y (x 1)

(x 1)(y 1)(x y)

− + − − −

=

− − −

Ο�αριθµητής�δίνει:�

x�–�y�+�xy(x�–�y)�–�(x2�–�y

2)�=�(x�–�y)(1�+�xy�–�x�–�y)�=�

[ ](x y) (1 x) y(1 x) (x y)(1 x)(1 y)= − − − − = − − − = �

=�(x�–�y)(x�–�1)(y�–�1)�

17.147� Έστω��α�=�x2�+�y2.��Τότε:�

2α�=�2x2�+�2y

2�=�(x

2�+�y

2�+�2xy)�+�(x

2�+�y

2�–�2xy)�=�

=�(x�+�y)2�+�(x�–�y)

2�

17.148� α)�x

Ay

= �� β)� Β�=�1� � γ)� Γ�=�3�

δ)� ∆�=�α�–�β� � � ε)� Ε�=�y�-�x�

17.149� α)�2α

Aα β

=

+

� � β)� Β�=�α�

17.150� Να�γίνουν�προσεκτικά�οι�πράξεις.�

17.151� α)� Α�=�1� � � β)� Β�=�1�

17.152� α)�α β

A4

+

= � � β)� Β�=�x�

γ)� Γ�=�αβ� � � � � δ)�x y

∆4xy

= �

17.153� Να�γίνουν�κατάλληλα�οι�πράξεις�στις�παρενθέσεις.�

Οι�λύσεις�των�θεµάτων�απαιτούν�επιµονή,�προσοχή�και�

παρατηρητικότητα.�Αν�συναντήσετε�δυσκολίες,�να�ανα-�

τρέξετε�ξανά�στα�λυµένα�θέµατα�ή�να�συµβουλευτείτε�

τον�µαθηµατικό�σας.�(Μπορείτε�να�επικοινωνήσετε�και�

µε�τους�συγγραφείς�σε�κάθε�σας�δυσκολία.)�

17.154� α)� Α�=�3� � � β)� Β�=�-�α�

45/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 46: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

337�

17.155� α)� Α�=�2αβ� � β)� Β�=�1�

γ)� Γ�=�1� � � � � δ)�3 3

1∆

α β= �

Στο�∆�να�γίνουν�πρώτα�οι�πράξεις�στα�δύο�τελευταία�

κλάσµατα.�

17.156� α)�1

= �� � β)� Β�=�2�

γ)� Γ�=�1� � � � � δ)� ∆�=�2x�

17.157� α)� Με�τη�βοήθεια�πίνακα.�

Απ:��x�

∈�

[-6,�2]�

∪�

[4,�+∞)�

17.158� Θέτουµε� x 1 α, y β και z 1 γ,− = = + = �οπό-�

τε��x�=�α

2�+�1,

��y�=�β

2��και�

�z�=�γ

2�–�1.

��Έτσι,�η�σχέση�

γίνεται:�

2 2 21

α β γ (α β γ 3)2

+ + = + + + ⇔ … ⇔ �

⇔��(α�–�1)2�+�(β�–�1)

2�+�(γ�–�1)

2�=�0��⇔��…��⇔�

⇔��(α�=�1,��β�=�1,

��γ�=�1)��κ.λπ.�

17.159� α)� Με�ισοδυναµίες:�

( ) ( )2 2

3 5 2 6+ > + ⇔ �

3 5 2 15 2 6 2 12⇔ + + > + + ⇔ �

15 12, ισχύει⇔ > �

β)� Είναι:�

( ) ( )2 2

2 2 3 6 5− > − ⇔ �

8 3 4 6 6 5 2 30⇔ + − > + − ⇔ �

4 6 2 30 2 6 30 24 30⇔ < ⇔ < ⇔ < �

που�ισχύει.�

17.160� α)� Ο�αριθµητής�µετά�τις�πράξεις�δίνει:�

( ) ( )2 2

32 10 7 8 2 7 5 7 1 7+ − + = + − + = �

( )5 7 1 7 4= + − + = �

Ο�παρονοµαστής�δίνει:�

( ) ( )2

2 3 6 2 2 3 6 2− + = − ⋅ + = �

2 3 8 4 3 2 2 3 2 3 2 4 3 2= − ⋅ + = − ⋅ + = − = �

β)� Εργαζόµαστε�όπως�στο�ερώτηµα�(α).�

17.161� Το�υπόρριζο�είναι�ίσο�µε��(α

2�+�αβ�+�β

2)2�

�και�

έτσι��Α�=�α

2�+�αβ�+�β

2,��αφού�

�α2�+�αβ�+�β

2�≥�0.�

17.162� Έστω�α γ

λ.β δ= = �Τότε�

�α�=�λβ

��και�

�γ�=�λδ.

��Το�

α΄�µέλος�δίνει:�

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2λ (β δ ) β δ λ β β λ δ δ+ ⋅ + − + ⋅ + = �

=�λ(β2�+�δ

2)�–�βδ(λ

2�+�1)�

διότι��β,�δ,�λ�>�0.

��Το�β΄�µέλος�γίνεται:�

(λβ�–�δ)(β�–�λδ)�=�λβ2�–�λ

2βδ�–�βδ�+�λδ

2�=�

=�λ(β2�+�δ

2)�–�βδ(λ

2�+�1)�

17.163� α)� Αν�ονοµάσουµε�Α�το�πρώτο�µέλος,�τότε:�

( ) ( )2A 4 7 2 4 7 4 7 4 7= + − + ⋅ − + − = �

8 2 16 7 2= − − = �

β)� Αν�το�πρώτο�µέλος�είναι�Β,�τότε:�

( ) ( )

( ) ( )2 6 11 2 36 11 6 11

B

3 2 2 2 9 8 3 2 2

− − − + +=…= =

− − − + +

12 10 1

6 2 2

= =

17.164� Το�α΄�µέλος�γράφεται:�

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )3 3 5 1 5 3 3 5 5

1

5 5 3 1 3 5 5 3 3

+ ⋅ + + +

= =

+ ⋅ + + +

17.165� Είναι:�

2 2 2α β γA

αβγ βγα γαβ= + + = �

2 22 β γα α β γ 20042

1002αβγ αβγ αβγ αβγ

+ +

= + + = = = �

Απ:��Α�=�2�

17.166� α)� Α�=�α�⋅�α�=�α

2�

β)� 3 3 6 8 69 9B µ νλ µ ν λ µνλ= ⋅ = �

46/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 47: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

338� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�

17.167� Παρατηρούµε�καταρχήν�ότι��α2�+�α

2β2�+�β

2�≥�0�

για�κάθε�α�και�β,�οπότε�η�παράσταση�Α�έχει�νόηµα.�

Επειδή�οι�α�και�β�είναι�διαδοχικοί�ακέραιοι�αριθµοί�και�

η�παράσταση��α2�+�α

2β2�+�β

2��είναι�µια�συµµετρική�παρά-�

σταση,�δεν�βλάπτεται�η�γενικότητα�αν�θεωρήσουµε�ότι�

β�=�α�+�1.��Για�να�είναι�ο�Α�φυσικός�αριθµός,�αρκεί�να�

αποδείξουµε�ότι�το�υπόρριζο��α2�+�α

2β2�+�β

2��είναι�τετρά-�

γωνο�ενός�ακέραιου�αριθµού.�Όµως:�

α2�+�α

2β2�+�β

2�=�α

2�+�α

2(α�+�1)

2�+�(α�+�1)

2�=�

=�α2�+�α

2(α

2�+�2α�+�1)�+�(α

2�+�2α�+�1)�=�

=�α2�+�α

4�+�2α

2�+�α

2�+�α

2�+�2α�+�1�=�

=�(α2)2�+�α

2�+�1�+�2α

3�+�2α�+�2α

2�=�(α

2�+�α�+�1)

2�

Άρα:�

2 2 2 2 2 2A α α β β (α α 1)= + + = + + = �

2 2α α 1 α α 1= + + = + + �

διότι:�2

2 1 3α α 1 α 0

2 4

+ + = + + >

για�κάθε�αριθµό�α.�Εποµένως�ο�Α�είναι�φυσικός�αριθµός.�

17.168� Η�παράσταση�γράφεται:�

(x�–�1)2�+�(y�+�3)

2�=�0�

Απ:��x�=�1,�

�y�=�-3�

17.169� Έστω�x�η�αξία�του�σύρµατος�Β.�Τότε:�

1800 180020, x 0

x x 3= + >

+

Απλοποιούµε�µε�το�20�και�καταλήγουµε�στην�εξίσωση�

x2�+�3x�–�270�=�0,

��µε�

�∆�=�33

2.�

Απ:��15�€�

17.170� Είναι:�

3 3

2 2

3 3

α β α β(α β)(α αβ β )(α γ)

α γ α γ

+ += ⇔ + − + + =

+ +

=�(α�+�β)(α�+�γ)(α2�–�αγ�+�γ

2)��⇔�

⇔��α2�–�αβ�+�β

2�=�α

2�–�αγ�+�γ

2��⇔�

⇔��β2�–�αβ�+�αγ�–�γ

2�=�0��⇔�

⇔��(β�–�γ)(β�+�γ)�–�α(β�–�γ)�=�0��⇔�

⇔��(β�–�γ)(β�+�γ�–�α)�=�0��⇔��(β�=�γ��ή��α�=�β�+�γ)�

Σχόλιο

Είναι��5�=�2�+�3,

��οπότε�θα�ισχύει:�

3 3

3 3

5 2 5 2 7

5 3 5 3 8

+ += =

+ +

17.171� α)� Είναι:�

♦� βγ�=�-�αβ�-�γα�

♦� α2�+�2βγ�=�α

2�+�βγ�+�βγ�=�α

2�+�βγ�–�αβ�–�γα�=�

� =�α(α�–�β)�–�γ(α�–�β)�=�(α�–�β)(α�–�γ)�

β)� Όµοια�παίρνουµε:�

β2�+�2γα�=�(β�–�α)(β�–�γ)���και���γ

2�+�2αβ�=�(γ�–�α)(γ�–�β)�

Το�πρώτο�µέλος�τελικά�δίνει:�

2 2 2α β γ

(α β)(γ α) (β γ)(α β) (γ α)(β γ)− − − =

− − − − − −

2 2 2α (β γ) β (γ α) γ (α β)1

(α β)(β γ)(γ α)

− + − + −

= − =

− − −

διότι�οι�πράξεις�στον�παρονοµαστή�δίνουν�τον�αριθµητή.�

17.172� α)� Α�=�R�

β)�1 x, αν x 1

f (x)3 x, αν x 1

+ <=

− ≥�

γ)� Φαίνεται�στο�παρακάτω�σχήµα.�

δ)� Για��x�=�0

��και�για�

�f�(x)�=�0.�

Απ:��Κ(0,�1),��Λ(-1,�0),

��Μ(3,�0)�

ε)� ∆ιότι��f�(2004)�≠�-2002.�

στ)�Οι�σχηµατιζόµενες�γωνίες�της�Cf�µε�τον�άξονα�x´x�

είναι�ίσες�µε�45°�και�135°,�οπότε�το�τρίγωνο�είναι�τελι-�

κά�ορθογώνιο�και�ισοσκελές.�

17.173� α)� Α�=�R�

β)� Μ(0,�2),��Α(2,�0),

��Β(4,�0)�

47/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 48: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

339�

γ)� Είναι:�

x 2, αν x 3f (x)

x 4, αν x 3

− + <=

− ≥�

Η�γραφική�παράσταση�φαίνεται�στο�παρακάτω�σχήµα.�

δ)� Η�ευθεία�µε�εξίσωση��x�=�3,

��διότι�το�τρίγωνο�ΚΑΒ�

είναι�ισοσκελές��(ΚΑ�=�ΚΒ)

��και�έτσι�η�µεσοκάθετη�του�

ΑΒ�(η�ευθεία��x�=�3)

��είναι�άξονας�συµµετρίας.�

17.174� Για��y�=�x

��έχουµε:�

( )221 f (x) 2xf (x) f (x) x 0 f (x) x+ = ⇔ − = ⇔ = �

που�είναι�δεκτή,�διότι�επαληθεύει�την�αρχική�σχέση.�

17.175� α)� Είναι��∆�=�(λ�+�2)

2�+�4(λ

2�+�1)�>�0

��για�κάθε�

λ�∈

�R.�

β)� Πρέπει�η�εξίσωση�να�επαληθεύεται�για��x�=�5.

��Έτσι:�

25�–�5λ�–�10�–�λ2�–�1�=�0��⇔��λ

2�+�5λ�–�14�=�0�

♦� Για��λ�=�-7

��παίρνουµε:�

x2�+�5x�–�50�=�0��⇔��(x�=�5�

���x�=�-10)�

♦� Για��λ�=�2

��παίρνουµε:�

x2�–�4x�–�5�=�0��⇔��(x�=�5�

���x�=�-1)�

Απ:� ♦� λ�=�-7��(µε�ρίζες�

x�=�5,�

�x�=�-10)�

�ή�

� � ♦� λ�=�2�

�(µε�ρίζες��

x�=�5,�

�x�=�-1)�

γ) Είναι:�

1 2 2

1 2 1

2 2

1 2 1 2

x x λ 2 x 1 λ

x 2x 3 x 2λ 1

x x (λ 1) x x (λ 1)

+ = + = −

+ = ⇔ = +

= − + = − +

Άρα:�

x1x2�=�-λ2�–�1��⇔��(1�–�λ)(2λ�+�1)�=�-λ

2�–�1��⇔��…��⇔�

⇔��λ2�–�λ�–�2�=�0�

Απ:��λ�=�-1��ή��λ�=�2�

17.176� Έστω�ότι�τα�δύο�παιδιά�βλέπουν�το�λεωφορείο�

όταν�βρίσκονται�στο�Μ,�οι�στάσεις�βρίσκονται�στις�θέ-�

σεις�Α,�Β,��ΜΑ�=�α

��και�

�ΜΒ�=�β.

��Ο�Γιώργος�προτιµάει�

τη�στάση�Α�και�η�Μαριάννα�τη�στάση�Β.�

♦� Για�να�διανύσει�η�Μαριάννα�την�απόσταση��ΜΒ�=�β�

� και� να� φτάσει� έτσι� στη� στάση� Β� θα� χρειαστεί�β

4�

� ώρες,�διότι�βαδίζει�µε�ταχύτητα�4�km/h.�

♦� Για�να�φτάσει�ο�Γιώργος�στη�στάση�Α,�θα�πρέπει�

� να�διανύσει�την�απόσταση��ΜΑ�=�α

��και�για�να�το�

� πετύχει�αυτό�θα�χρειαστεί�α

6�ώρες.�

♦� Για�να�πάει�το�λεωφορείο�από�τη�στάση�Α�στη�στά-�

� ση�Β�θα�χρειαστεί�α β

60

+

�ώρες�διότι�κινείται�µε�τα-�

� χύτητα�60�km/h.�

Όση�όµως�ώρα�θέλει�η�Μαριάννα�για�να�φτάσει�από�το�

Μ�στο�Β,�τόση�ώρα�θέλει�και�ο�Γιώργος�για�να�βαδίσει�

µέχρι�το�Α�και�µε�το�λεωφορείο�πια�να�φτάσει�στο�Β.�

Πρέπει�λοιπόν:�

β α α β15β 10α (α β)

4 6 60

+= + ⇔ = + + ⇔ �

α 1414β 11α 1

β 11⇔ = ⇔ = > �

Είναι�λοιπόν�α

1,β> �δηλαδή�

�α�>�β,

��που�σηµαίνει�ότι�ο�

Γιώργος�περπάτησε�µεγαλύτερη�απόσταση�απ’�ότι�η�

Μαριάννα.�Άρα�η�επιλογή�του�Γιώργου�δεν�ήταν�σωστή.�

17.177� α)� Πρέπει� 5 1 x 0 και x 2 3 0.− − ≥ + − ≥ �

Απ:��Α�=�[1,�6],�

� f(1) = f(6) = 5 �

48/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas

Page 49: Algebra _ Stergiou 2008 _ Epenalhpsi Kef - 1[1]

340� ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ�-�ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ�

β)� Είναι� f (2) 4 1 3.= + = �

Απ:��Ναι�

γ)� Όχι�διότι��0�∉

�Α.�

17.178� Σύµφωνα� µε� την� ανισότητα��x2� +� y

2� ≥� 2xy,�

παίρνουµε:�

1�+�α2�≥�2α,���1�+�β

2�≥�2β���και���1�+�γ

2�≥�2α�

Εποµένως:�

♦� 2β�=�1�+�α2�≥�2α,

��οπότε�

�β�≥�α�

♦� 2γ�=�1�+�β2�≥�2β,

��οπότε�

�γ�≥�β�

♦� 2α�=�1�+�γ2�≥�2γ,

��οπότε�

�α�≥�γ�

Είναι�λοιπόν��α�≥�γ,

��γ�≥�β

��και�

�β�≥�α,

��δηλαδή�

�α�=�β�=�γ.�

Αλλά�τότε:�

1�+�α2�=�2β��⇔��1�+�α

2�–�2α�=�0��⇔�

⇔��(1�–�α)2�=�0��⇔��α�=�1�

Άρα�η�µοναδική�λύση�του�συστήµατος�είναι�η:�

(α,�β,�γ)�=�(1,�1,�1)�

17.179� Έστω��x�–�2004�=�ω.

��Τότε:�

ω2�–�1995(ω�+�1)�+�2004�=�(ω�+�3)

2��⇔�

⇔��ω2�–�1995ω�–�1995�+�2004�=�ω

2�+�6ω�+�9��⇔�

⇔��-2001ω�=�0��⇔��ω�=�0�

Απ:��x�=�2004�

49/49

algebra, Stergiou - Nakis, Savvalas