ALGEBRA LINIOWA 1 A. LISTA 9. Liczby zespolone. Macierze.Zaj¦cia 10 grudnia 2015r.

�wiczenia.

1. Oblicz (2 + 3i) · (7− i).2. Uzasadnij, »e dla dowolnych liczb zespolonych z i w zachodzi: (a) z + w = z + w; (b) z · w = z · w; (c) z · z = |z|2.3. Zapisz w postaci trygonometrycznej oraz algebraicznej liczby: eπi, e(−π/2)i, e(2π/3)i, e(5π/4)i, e(999π/6)i,

√3 · e(2π/6)i.

4. Oblicz: arg(r · eiϕ), arg(e2i), arg(ea+bi), |r · eiϕ|, |e3i|, |ea+bi|.5. Uzasadnij, »e wszystkie pierwiastki n-tego stopnia z 1 s¡ pot¦gami pierwiastka e2πi/n. Zapisz jej wszystkie jako pot¦gi

liczby e.6. Uzasadnij, »e eiϕ · eiψ = ei(ϕ+ψ) oraz ez1 · ez2 = ez1+z2 .7. Uzasadnij, »e funkcja zespolona f(z) = (z + z̄)/2 opisuje rzut prostok¡tny na o± rzeczywist¡.8. Poka», »e z1 + z2 = z1 + z2, z1z2 = z1z2. 1/z = z/|z|2

9. Napisz wzór przeksztaªcenia liniowego zadanego macierz¡: (a)

(2 −3−2 1

), (b)

(0 −12 1

), (c)

(a 20 0

).

10. Napisz macierz przeksztaªcenia liniowego: (a) A

(xy

)=

(−x− y

10y

), (b) B

(xy

)=

(2y − xa(x− y)

).

11. Podaj obrazy wersorów osiowych przez przeksztaªcenie liniowe:

(a) A

(xy

)=

(3y − x3x+ y

), (b) zadane macierz¡

(2 + a −3

1 b

).

12. Wykonaj nast¦puj¡ce dziaªania macierzy na wektorach:

(a)

(0 11 0

)(xy

), (b)

(1 2−1 5

)(37

), (c)

(1 −22 −4

)(21

).

13. Oblicz iloczyny macierzy i sprawd¹, czy MN = NM :

(a)M =

(1 33 1

), N =

(0 11 0

), (b)M =

(1 21 0

), N =

(0 01 1

),M = N =

(−1 00 0

), (d)M = N =

(0 10 0

).

14. Bezpo±rednio z de�nicji dziaªa« sprawd¹, »e je±li L,M i N s¡ macierzami, X jest wektorem, za± t liczb¡, to: (a)(MN)X = M(NX), (b) L(MN) = (LM)N , (c) (tM)N = t(MN) = M(tN),(d) (tM)X = t(MX) = M(tX).

15. Oblicz iloczyny HxHy, HxKy i KxHy, gdzie Hx =

(1 0x 1

), Kx =

(1 x0 1

).

16. Sprawd¹, »e pomno»enie dowolnej macierzy M przez macierz

(0 11 0

)z lewej strony zamienia rz¦dy macierzy M , za±

z prawej strony - zamienia jej kolumny.

Zadania

1. Uzasadnij, »e |z| = |z| oraz arg(z) = −arg(z), a nast¦pnie wyprowad¹ posta¢ trygonometryczn¡ liczby z, je±li dana jestposta¢ trygonometryczna liczby z. Wyprowad¹ te» zale»no±ci (b) i (c) z ¢wiczenia 2 korzystaj¡c z postaci trygonome-trycznej.

2. Czy sprz¦»enie ilorazu liczb zespolonych jest równe ilorazowi ich sprz¦»e«?3. Czy dla dowolnej liczby zespolonej z i dowolnego caªkowitego wykªadnika zachodzi równo±¢ zn = zn?4. Dane s¡ liczby zespolone a = a1 + a2i oraz b = b1 + b2i. Przyjmuj¡c, »e z = x + yi, wyprowad¹ wzór przeksztaªcenia

pªaszczyzny zespolonej F : C → C zadanego wzorem F (z) = az + b. Uzasadnij, »e jest to podobie«stwo zmieniaj¡ceorientacj¦ pªaszczyzny. Jaka jest jego skala? Dla jakich a i b jest ono izometri¡?

5. Uzasadnij, »e eln |z|+i·arg(z) = z.6. Uzasadnij, »e wszystkie pierwiastki n-tego stopnia z liczby z mo»na zapisa¢ jako |z|1/n · ei·arg(z)/n · e2πki/n dla k =

0, 1, . . . , n− 1.7. Jakie przeksztaªcenia pªaszczyzny s¡ opisane przez funkcje zespolone g(z) = −z̄ oraz h(z) = (z − z̄)/28. Uzasadnij, »e je»eli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu o wspóªczynnikach rzeczywistych to równie» z̄

jest pierwiastkiem tego wielomianu. Wywnioskuj z tego, »e ka»dy wielomian stopnia nieparzystego o wspóªczynnikachrzeczywistych ma pierwiastek rzeczywisty.

9. Macierz postaci

(a b0 c

)nazywamy macierz¡ górnotrójk¡tn¡. Udowodnij, »e iloczyn macierzy górnotrójk¡tnych jest

macierz¡ górnotrójk¡tn¡.10. Znajd¹ macierze nast¦puj¡cych przeksztaªce« liniowych: (a) rzut prostok¡tny na o± Ox,

(b) rzut prostok¡tny na o± Oy, (c) rzut na o± Ox wzdªu» wektora [1, 1], (c) rzut prostok¡tny na prost¡ ax+ by = 0.Wskazówka: znajd¹ najpierw obrazy wersorów przez te przeksztaªcenia.

11. Znajd¹ macierz przeksztaªcenia liniowego A : R2 → R2 wiedz¡c, »e

(a) A

(50

)=

(31

)i A

(07

)=

(−23

), (b) A

(41

)=

(23

)i A

(1−1

)=

(01

), dwoma sposobami:

(I) korzystaj¡c z addytywno±ci i jednorodno±ci znajd¹ obrazy wersorów osiowych (ich wspóªrz¦dne tworz¡ kolumnymacierzy m(A));(II) uªó» i rozwi¡» ukªad równa« liniowych o niewiadomych a, b, c, d - wyrazach macierzy m(A).

12. Uzasadnij, »e je±li przeksztaªcenia A i B s¡ addytywne i jednorodne, to addytywne i jednorodne jest te» ich zªo»enie.13. Niech Sx, Sy b¦d¡ odbiciami wzgl¦dem osi ukªadu, Px, Py rzutami prostok¡tnymi na osie, Jr jednokªadno±ci¡ o skali r

(wzgl¦dem pocz¡tku ukªadu), za± Rθ obrotem o zorientowany k¡t θ (wokóª pocz¡tku ukªadu).(a) Napisz macierze powy»szych przeksztaªce«.(b) Posªuguj¡c si¦ macierzami uzasadnij, »e Rπ/2SxR−π/2 = Sy, JrJs = Jrs, RθRϕ = Rθ+ϕ.(c) Posªuguj¡c si¦ macierzami rozpoznaj nast¦puj¡ce przeksztaªcenia zªo»one: Rπ/2PyR−π/2, SxSy, SxPx, PxSx, PxPy.