Adaptación del Método Runge Kutta RK4 para la modelación del movimiento giroscópico en OCTAVE

Myriam Rocío PALLARES MUÑOZ Facultad de Ingeniería Civil Universidad Santo Tomás

Bogotá, Colombia

Wilson RODRÍGUEZ CALDERÓN Programa de Ingeniería Civil

Universidad de La Salle Bogotá, Colombia

Sandra Elodia OSPINA LOZANO Programa de Ingeniería Civil

Universidad de La Salle Bogotá, Colombia

RESUMEN

El artículo aborda la modelación del movimiento del giroscopio como un rotor que puede girar de manera libre alrededor de su eje, y que puede adoptar cualquier orientación manteniendo su centro de masas fijo en el espacio. El movimiento está caracterizado fundamentalmente por tres ángulos φ, θ y ψ llamados ángulos de Euler que definen la posición del giroscopio en el tiempo. Además las respectivas derivadas de estos ángulos representan las velocidades de precesión, nutación y rotación respectivamente. Se muestra brevemente la formulación analítica del problema para obtener tres ecuaciones diferenciales ordinarias - EDOs, de segundo orden y altamente no lineales. Estas ecuaciones diferenciales están asociadas a los ángulos mencionados, luego bajo condiciones iniciales conocidas es posible resolver el problema original adaptando un algoritmo Runge Kutta de orden cuatro RK4. La implementación para el cálculo numérico se realizó con éxito usando el sistema de algebra computacional (CAS) libre OCTAVE bajo el sistema operativo LINUX Ubuntu. El posproceso gráfico se desarrolla usando las facilidades del graficador libre GNUPLOT. Al final se muestran las bondades y dificultades del uso de CAS libres para la modelación en ingeniería. Palabras Clave: Ángulos de Euler (Euler angles), Giroscopio (Gyroscope), OCTAVE (OCTAVE), RK4 (RK4)

1. INTRODUCCIÓN [1,2]

El giróscopo fué inventado por Jean Bernand Léon Foucalt en 1852, quien quiso usarlo para demostrar el movimiento de rotación de la tierra. Posteriormente en 1940 se empieza a implementar el girobus como medio de transporte.

Normalmente en el estudio de la dinámica del sólido rígido

se contemplan casos simples y particulares de movimiento giroscópico, así como sus ecuaciones generales, sin embargo, la solución numérica de estas ecuaciones no se contempla dentro de un curso o texto clásico de dinámica, por tanto, el artículo busca avanzar en esa línea para contemplar casos complejos, no solucionables de manera analítica.

. 2. MOTIVACIÓN [1,2,5]

Los aportes del artículo contemplan: la adaptación del método de Runge Kutta de orden 4 – RK4 a la solución del sistema no lineal de Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) del giroscopio, el desarrollo de un código de computador en el software libre OCTAVE bajo el sistema operativo LINUX Ubuntu y la manifestación de posibles aplicaciones en el modelado de giróscopos como posibles elementos mecánicos de estabilidad o en el desarrollo de fuentes de energía.

3. MARCO TEÓRICO[1,2,3,4]

El giroscopio o giróscopo es un dispositivo mecánico formado esencialmente por un cuerpo con simetría de rotación que gira alrededor de su eje de simetría. Cuando se somete el giroscopio a un momento de fuerza que tiende a cambiar la orientación del eje de rotación su comportamiento es aparentemente paradójico ya que el eje de rotación, en lugar de cambiar de dirección como lo haría un cuerpo que no girase, cambia de orientación en una dirección perpendicular a la dirección "intuitiva".

De acuerdo con la mecánica del sólido rígido, además de la rotación alrededor de su eje de simetría, un giróscopo presenta en general dos movimientos principales: la precesión y la nutación. Este hecho se deduce directamente de las ecuaciones de Euler.

Precesión: Cuando se aplica un momento a un cuerpo en rotación cuyo momento angular es en la dirección del eje de rotación del cuerpo, se anima de un movimiento de rotación de velocidad angular. Esta velocidad angular, también es llamada velocidad de precesión.

Se puede reducir la velocidad de precesión aumentando el momento de inercia y la velocidad de rotación. Por ello se encuentra interés en utilizar un giroscopio para conservar una referencia de dirección. Partiendo del reposo, todos los cuerpos conservan la orientación que tienen salvo cuando se les aplican momento externos. En ese caso, cuando un cuerpo no gira, el efecto del momento es el de crear una aceleración angular, la cual crea una velocidad angular creciente. Cuando el momento se interrumpe, el objeto sigue girando con la velocidad angular que adquirió. En cambio, cuando el mismo momento se aplica a un objeto en rotación, este comienza a girar con la velocidad de precesión calculada antes. Y cuando el momento se interrumpe, la precesión del objeto también se interrumpe. El resultado es que, en un giroscopio, los momentos parásitos tienen mucho menos efecto a largo plazo que en un objeto sin rotación. Además, se puede disminuir el efecto de esos momentos, aumentando el momento de inercia y la velocidad de rotación del giroscopio.

Nutación: Cuando el momento que causa la precesión cambia de valor, la velocidad de precesión también cambia de valor. Pero ese cambio no sucede instantáneamente. Hay un periodo de transición durante el cual el giroscopio "cede" un poquito al momento en la misma dirección que un objeto que no gira. Después el giroscopio recobra lo que había cedido, oscilando en la dirección del momento alrededor de la trayectoria de precesión final.

A continuación se desarrollaran las ecuaciones que definen el movimiento de un cuerpo (trompo), que esta simétrico con respecto a un eje y se mueve alrededor de un punto fijo que se encuentra sobre el eje. Estas ecuaciones serán aplicadas entonces al estudio de un dispositivo llamado: el giróscopo.

El movimiento del cuerpo será analizado usando los ángulos de Euler ф, θ, Ψ, la posición final del trompo se determina mediante los tres siguientes pasos:

1. Giro del trompo respecto al eje Z un ángulo ф (0≤ ф≤2π).

2. Giro del trompo respecto al eje X un ángulo θ (0≤θ≤2π)

3. Giro del trompo respecto al eje z un ángulo (0≤Ψ≤2π), para obtener una posición final.

La secuencia de estos tres ángulos ф, θ, y luego Ψ, debe mantenerse ya que las rotaciones finitas no son vectores. Aunque las rotaciones dф, dθ, dΨ si son vectores y entonces la velocidad angular ω del trompo puede ser expresada en términos de las derivada con respecto al tiempo de los ángulos de Euler. Las componentes de la velocidad angular son conocidas como ф·, θ· y Ψ·, son llamadas respectivamente precesión, nutación y rotación.

Figura 1. Giróscopo en posición de referencia (a) y de movimiento (b).

Para calcular los componentes de la velocidad angular y del momento angular del giróscopo, se emplea un sistema de ejes móviles, en rotación, Oxyz solidario al aro interior, con el eje y según BB´ y el eje z según CC´. Esos ejes son principales de inercia para el giroscopio y siguen a este en la precesión y en la nutación, pero no en la rotación; por ello, resultan de uso más práctico y cómodo que unos ejes que fueran del todo solidarios del rotor. La velocidad angular w del giroscopio relativa al sistema de referencia fijo OXYZ la expresaremos ahora como la

suma de tres velocidades angulares parciales correspondientes, respectivamente, a la precesión, la nutación y la rotación del giroscopo. Representando por i, j y k los vectores unitarios según los ejes móviles, y por K el vector unitario según el eje Z fijo, tenemos:

w K j kφ θ ψ= + +& & & (1)

Como las componentes vectoriales de w expresadas en (1) no

son ortogonales, se descompone el vector unitario K en sus componentes según los ejes x y z; es decir,

cosK sen i kθ θ= − + (2)

Remplazando (2) en (1) se obtiene:

( )cosw sen i j kφ θ θ ψ φ θ= + + +& & && (3)

Como los ejes coordenados son principales de inercia, las

componentes del momento angular Ho pueden obtenerse multiplicando las componentes de w por los momentos de inercia del rotor respecto a los ejes x, y y z, respectivamente. Llamando I al momento de inercia del rotor respecto a su eje de rotación, I´a su momento de inercia respecto a un eje diametral que pase por O y despreciando la masa de los aros, es posible escribir:

( )cosHo I sen i I j I kφ θ θ ψ φ θ′ ′= − + + +& & && (4)

Recordando que los ejes móviles son solidarios del aro

interior y que por ello no rotan, podemos expresar su velocidad angular como la suma:

K jφ θΩ = +& & (5)

O bien, sustituyendo el valor (ecuación (2)) de K,

cossen i j kφ θ θ φ θΩ = − + +& & & (6)

Sustituyendo en la ecuación de balance:

( )Mo Ho oxyz Ho= + Ω×∑ & (7)

Los valores de Ho y Ω dados, respectivamente, por (4) y (6)

resultan ser tres ecuaciones diferenciales:

φ sin θ 2φ cos φ cos

φ sin cos φ sin θ φ cos

φ cos φ θ sin θ

(8)

Estas ecuaciones (8) definen el movimiento de un giroscopio

sometido a un sistema de fuerzas cuando se desprecia la masa de sus aros. Pueden asimismo emplearse para definir el movimiento de un cuerpo axisimétrico o cuerpo de revolución con un punto de su eje de simetría fijo, y para definir el movimiento de un cuerpo axisimétrico alrededor de su centro de masas. Mientras que los aros de suspensión del giróscopo facilitan la representación mental de los ángulos de Euler, es de

notar que éstos pueden emplearse para definir la posición de cualquier cuerpo rígido respecto a unos ejes centrados en un punto del mismo cuerpo, independientemente del modo en que el cuerpo esté soportado.

Como las ecuaciones (8) son altamente no lineales, en general no es posible expresar los ángulos de Euler φ, θ y ψ como funciones analíticas del tiempo t y debe recurrirse a métodos numéricos para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias como los tipo Runge Kutta en particular la versión RK4.

Para la adaptación del Método Runge Kutta (RK4), deben realizarse sustituciones que bajen el orden del sistema de ecuaciones, ya que estas originalmente son de segundo orden y para poder resolverlas por el método RK4 se requiere que estas sean de primer orden, luego al realizar las sustituciones el sistema original de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden se convierte en un conjunto de 6 ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Las sustituciones realizadas corresponden a:

∝ φ Δ φ Δ (9)

El sistema (8) queda expresado así luego de la sustitución:

sin θ + 2 ∝ cos + (Δ+∝ cos = −∝ sin cos + ∝ sin θ (Δ+∝ cos =Δ + cos −∝ sin θ

(10)

Finalmente el sistema de ecuaciones diferenciales a resolver es:

=

φ =∝

= Δ

= (Δ−∝ cos − ∑ − 2 ∝ cos#$%

= ∑ − ∝ Δ sin θ +∝ sin cos ( − ′

Δ = ∑ +

∝ sin θ− cos ((Δ−∝ cos − ∑− 2′ ∝ cos

′#$%

(11)

Con las condiciones iniciales dadas como:

φ(' = 0 = φ)

θ(' = 0 = θ)

(' = 0 = )

φ (' = 0 =∝ (' = 0 =∝)

θ (' = 0 = (' = 0 = )

(' = 0 = Δ(' = 0 = Δ)

(12)

Una vez se tiene este sistema se le aplican las ecuaciones del RK4 a cada ecuación del sistema para conformar un

esquema iterativo para hallar la solución en el tiempo de los ángulos de Euler y sus respectivas velocidades angulares asociadas.

Recordando las ecuaciones básicas del método RK4, estas son:

** = +(,

-./ = - + 16 ∗ (3/ + 2 ∗ 3 + 2 ∗ 34 + 35 ∗ ℎ

Donde:

3/ = +(- , - 3 = +(- + ℎ

2 , - +3/ ∗ ℎ2

34 = +(- + ℎ2 , - +

3 ∗ ℎ2

35 = +(- + ℎ, - + 34 ∗ ℎ

(13)

El esquema del método RK4 adaptado para la solución del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden (11) queda entonces como:

= = +/(3/ =+/(- 3 = +/(- + 7/ ∗ ℎ

2 34 = +/(- + 7 ∗ ℎ

2 35 = +/(- + 74 ∗ ℎ -./ = - + 1

6 ∗ (3/ + 2 ∗ 3 + 2 ∗ 34 + 35 ∗ ℎ

φ =∝φ = +(∝ 8/ =+(∝- 8 = +(∝-+ %/ ∗ ℎ

2 84 = +(∝-+ % ∗ ℎ

2 85 = +(∝-+ %4 ∗ ℎ 9-./ = 9- + 1

6 ∗ (8/ + 2 ∗ 8 + 2 ∗ 84 + 85 ∗ ℎ

= Δ

= +4(Δ :/ =+4(Δ- : = +4(Δ- + ;/ ∗ ℎ

2 :4 = +4(Δ- + ; ∗ ℎ

2 :5 = +4(Δ- + ;4 ∗ ℎ -./ = - + 1

6 ∗ (:/ + 2 ∗ : + 2 ∗ :4 +:5 ∗ ℎ

(14)

Δ∝ cos − ∑ − 2 ∝ cos#$%

= +5( , , , Δ%/ =+5( - , - , - , Δ<% = +5 =∝-+ %/ ∗ ℎ

2 , θ- + 3/ ∗ ℎ2 , - + 7/ ∗ ℎ

2 , Δ-+ ;/ ∗ ℎ

2 >

%4 = +5 =∝-+ % ∗ ℎ2 , θ- + 3 ∗ ℎ

2 , - + 7 ∗ ℎ2 , Δ-

+ ; ∗ ℎ2 >

%5 = +5(∝-+ %4 ∗ ℎ, θ- + 34 ∗ ℎ, - + 74 ∗ ℎ, Δ-+ ;4 ∗ ℎ

-./ = - + 16 ∗ (%/ + 2 ∗ % + 2 ∗ %4 + %5 ∗ ℎ

= ∑ − ∗∝∗ Δ ∗ sinθ +∝∗ sin ∗ cos ∗ ( − ′

= +?( , , Δ7/ =+?( - , - , Δ<7 = +? =∝-+ %/ ∗ ℎ

2 , θ- + 3/ ∗ ℎ2 , Δ- + ;/ ∗ ℎ

2 >

74 = +? =∝-+ % ∗ ℎ2 , θ- + 3 ∗ ℎ

2 , Δ- + ; ∗ ℎ2 >

75 = +?(∝-+ %4 ∗ ℎ, θ- + 34 ∗ ℎ, Δ- + ;4 ∗ ℎ -./ = - + 1

6 ∗ (7/ + 2 ∗ 7 + 2 ∗ 74 + 75 ∗ ℎ

Δ = ∑ +

∝ sin θ− cos ((Δ−∝ cos − ∑− 2′ ∝ cos

′#$%

Δ = +@( , , , Δ;/ =+@( - , - , - , Δ<; = +@ =∝-+ %/ ∗ ℎ

2 , θ- + 3/ ∗ ℎ2 , - + 7/ ∗ ℎ

2 , Δ-+ ;/ ∗ ℎ

2 >

;4 = +@ =∝-+ % ∗ ℎ2 , θ- + 3 ∗ ℎ

2 , - + 7 ∗ ℎ2 , Δ-

+ ; ∗ ℎ2 >

;5 = +@(∝-+ %4 ∗ ℎ, θ- + 34 ∗ ℎ, - + 74 ∗ ℎ, Δ-+ ;4 ∗ ℎ

Δ-./ = Δ- + 16 ∗ (;/ + 2 ∗ ; + 2 ∗ ;4 + ;5 ∗ ℎ

4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA []

El caso modelado corresponde a un giróscopo de inercias I= 56250 gr-cm2 (Momento de inercia respecto a un eje centroidal perpendicular al disco del giróscopo) e I’= 28125 (momento de inercia respecto a un eje transversal al disco del giróscopo), las condiciones iniciales son: φ=π/6, θ=0.7π y ψ=0 y sus respectivas derivadas respecto al tiempo son 2, 2, 2 rad/s.

5. RESULTADOS

Dadas las restricciones de extensión en el texto del artículo,

solo se muestran algunos resultados de uno de los casos modelados, dado que, las condiciones iniciales y los parámetros de las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento del giróscopo afectan de manera radical el comportamiento del giróscopo. La figura 2 muestra la interfaz QtOctave del programa OCTAVE en Linux Ubuntu. La gráfica mostrada corresponde a la trayectoria de un punto localizado a 2.5 cm del centro del disco del rotor del giróscopo.

Figura 2. Captura de corrida del código de modelación del movimiento giroscópico en la interfaz QtOCTAVE bajo

LINUX Ubuntu.

Figura 3. Gráfica de seguimiento de la posición x(t) del punto.

Figura 4. Gráfica de seguimiento de la posición y(t) del punto.

Figura 5. Funciones de tiempo calculadas para los ángulos de Euler.

Las figuras 3, 4 y 5 muestran las funciones de tiempo calculadas mediante la adaptación del método Runge Kutta de orden 4, al sistema de 3 ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden, que describen el movimiento del giróscopo a través de los ángulos de Euler. Por otra parte, en cuanto al desempeño computacional del código es notable la influencia positiva del sistema operativo LINUX en la disminución de tiempos CPU y las capacidades gráficas de la versión OCTAVE de LINUX.

6. CONCLUSIONES

• Los resultados encontrados muestran las ventajas

competitivas del uso de software libre para la adaptación de métodos numéricos a la solución de sistemas dinámicos complejos como el del giróscopo.

• El simulador puede usarse como una herramienta para la comprensión del comportamiento de los giróscopos como elementos de estabilidad en embarcaciones o en estructuras en general.

• El uso del sistema operativo LINUX favorece en buena medida el desempeño del simulador, según se pudo constatar en la corrida del modelo bajo Windows.

7. REFERENCIAS

[1] Beer, Ferdinand P., Johnston E. Russell, Cornwell Phillip J., Mecánica Vectorial para ingenieros, Novena edición, McGraw-Hill Education, 2010.

[2] Chapra S.C., Canale R. P., Métodos numéricos para ingenieros, México: McGraw-Hill, 2007, pp. 364-375.

[3] J. H. Mathews, K. D. Fink, Métodos numéricos con Matlab, Madrid: Pearson, 2000, pp. 433-438.

[4] J. W. Eaton, D. Fink, S. Hauberg, GNU Octave, USA: Edition 3, 2007.

[5] Hibbeler, R.C. Mecánica Vectorial para ingenieros: Dinámica. Pearson Education; Décima Edición. México. 2004.