ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Μλ1Α(ε)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 3

ΤΑΞΗ: A΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016

∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β∈ℜ ισχύει: α β α β⋅ = ⋅

Μονάδες 15

Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό

σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση, τη λέξη ΣΩΣΤΟ,

αν η πρόταση είναι σωστή ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.

α. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω

ισχύει ( ) ( ) ( )P A B P B P A B− = − ∩

β. Αν α > 0, µ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουµε: µ

µ ννα α=

γ. Η εξίσωση αx + β = 0 έχει µοναδική λύση για α 0≠ και β∈ℜ

δ. Για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή

( )α β και γ δ αγ βδ> > ⇒ >

ε. Η απόλυτη τιµή αρνητικού αριθµού είναι ο αντίθετός του.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Για τους πραγµατικούς αριθµούς x, y, ω µε x < 0 και y 0≠ , δίνονται οι παραστάσεις:

( )1

3 3

6

xy yA :

xy x

−

=

( )( )B 2 y y 2 8y= − − − +

( ) ( )2 2

2 2Γ= 1 ω 1 ω+ − −

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Μλ1Α(ε)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 3

Β1. Να αποδείξετε ότι:

α. Α = x

7 µονάδες

β. ( )2

B y 2= +

5 µονάδες

γ. Γ = 2

4ω

6 µονάδες

Β2. Να βρείτε τις τιµές των x, y, ω αν ισχύει ( )2

A 1 B 0− + + Γ =

7 µονάδες

ΘΕΜΑ Γ

Από τους 200 µαθητές ενός σχολείου που ρωτήθηκαν ως προς τα χόµπι τους οι 160

απάντησαν ότι ασχολούνται µε υπολογιστές, οι 60 ότι ασχολούνται µε τον αθλητισµό

και οι 180 ότι ασχολούνται µε υπολογιστές ή µε τον αθλητισµό.

Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή του σχολείου και ορίζουµε τα ενδεχόµενα:

Α: «Ο µαθητής ασχολείται µε τον αθλητισµό»

Β: «Ο µαθητής ασχολείται µε υπολογιστές»

Γ1. Να αποδείξετε ότι:

α. Η πιθανότητα ο µαθητής να έχει και τα δύο παραπάνω χόµπι είναι 0,2

6 µονάδες

β. ( ) ( )P B P A B′ = ∩

3 µονάδες

Γ2. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο µαθητής:

α. Να ασχολείται µόνο µε υπολογιστές.

5 µονάδες

β. Να µην έχει κανένα από τα δύο παραπάνω χόµπι.

5 µονάδες

Γ3. Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο µαθητής:

α. Να ασχολείται µόνο µε ένα από τα δύο παραπάνω χόµπι.

3 µονάδες

β. Να µην ασχολείται µε υπολογιστές ή να µην ασχολείται µε τον αθλητισµό.

3 µονάδες

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Μλ1Α(ε)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 3

ΘΕΜΑ ∆

Για α 1≥ δίνονται οι παραστάσεις:

( )2

A α 2 α 1 α 2 α 1= − − − + −

( )( )( ) ( )( )2

8 164α 1 α 1 α 1 α 1Β = + + + −

∆1. Να αποδείξετε ότι:

A 2α 2 α 2= − − και B α 1= −

10 µονάδες

∆2. Για α 2≥ να αποδείξετε ότι:

α. A B α 3+ = +

4 µονάδες

β. Να λυθεί για τις διάφορες τιµές του α η εξίσωση 2

α x A B 4x 1= + + −

5 µονάδες

∆3. Αν x0 είναι η µοναδική λύση της εξίσωσης του ερωτήµατος ∆2.β να αποδείξετε

ότι ισχύει ( ) ( )2 2 2

0 0 0x 1 x 6 2α x− + > − για κάθε α > 2

6 µονάδες

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Μλ1Α(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 8

ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 2016

∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ A

Α1. Βλέπε απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 62.

Α2. α Λάθος β Λάθος γ Σωστό δ Λάθος ε Σωστό

ΘΕΜΑ Β

Β1. α. 1ος

τρόπος

( )

( ) ( )

1 13 3 6 3 6 3 6 3

3 36 3 3 3 3 3

4 6 4

3 6 3

xy y xy y xy x xy xA : :

xy x x y x y yxy xy

x y xx

x y x

−

= = = ⋅ = =

= = =

2ος

τρόπος

( ) ( )

( )( )

( )

11 3

3 33 3 3 3 3 3

1 16 3 3 1 6 36 6

3 3 3 0 3

1 6 3 1 3 1

xyxy xyy y x x y xA : :

xy x x y x y yxy xy

x y x x y 1 1x

1x y y x y x

x

−

−

−

− −

− − − −

− − −

− − − − −

= = = ⋅ = ⋅ =

= = = = =

β. 1ος

τρόπος

( )( ) ( )( ) ( )

( )

2

22 2

B 2 y y 2 8y y 2 y 2 8y y 2 8y

y 4y 4 8y y 4y 4 y 2

= − − − + = − − + = − + =

= − + + = + + = +

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Μλ1Α(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 8

2ος

τρόπος

( )( ) ( )

( )

( )

2

2 2

22

B 2 y y 2 8y 2y 4 y 2y 8y

4y y 4 8y 4y y 4 8y

y 4y 4 y 2

= − − − + = − − − + + =

= − − − + = − + + + =

= + + = +

γ. 1ος

τρόπος

( ) ( ) ( )

( )

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 ω 1 ω 1 ω 1 ω 1 ω 1 ω

2 1 ω 1 ω 2 2ω 4ω

Γ = + − − = + + − ⋅ + − − =

= + − + = ⋅ =

2ος

τρόπος

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 4 2 4 2 2 2

1 ω 1 ω 1 2ω ω 1 2ω ω

1 2ω ω 1 2ω ω 2ω 2ω 4ω

Γ = + − − = + + − − + =

= + + − + − = + =

Β2. Ισχύει: ( )2

A 1 B 0− + + Γ = ⇔

( ) ( )2 2 2x 1 y 2 4ω 0 (1)− + + + =

Επειδή ( )2

x 1 0− ≥ και ( )2

y 2 0+ ≥ και 24ω 0≥ από (1) προκύπτουν:

( )2

x 1 αφού x 0

x 1 0 x 1 0 x 1 ή

x 1 αφού x 0

= − ∆ΕΚΤΗ <

− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ <

και

( )2

y 2 0 y 2 0 y 2+ = ⇔ + = ⇔ = − ∆ΕΚΤΗ

και 2 2

4ω 0 ω 0 ω 0= ⇔ = ⇔ = ∆ΕΚΤΗ

Άρα ( ) ( )x, y, ω 1, 2, 0= − −

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Μλ1Α(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 8

ΘΕΜΑ Γ

A B∪ είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής να έχει ένα τουλάχιστον από τα δύο χόµπι.

Τότε από τον κλασσικό ορισµό της πιθανότητας προκύπτουν:

( )( )

( )

N A 60 3P A 0,3

N 200 10= = = =

Ω

( )( )

( )

N B 160 8P B 0,8

N 200 10= = = =

Ω

( )( )

( )

N A B 180 9P A B 0,9

N 200 10

∪∪ = = = =

Ω

Γ1. α. A B∩ είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής να έχει και τα δύο χόµπι.

Από τον προσθετικό νόµο ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

P A B P A P B P A B

0,9 0,3 0,8 P A B

P A B 1,1 0,9

P A B 0,2

∪ = + − ∩ ⇔

= + − ∩ ⇔

∩ = − ⇔

∩ =

β. ( ) ( )P B 1 P B′ = − ⇔

( )

( )

P B 1 0,8

P B 0,2

′ = − ⇔

′ =

οπότε ( ) ( )P B P A B′ = ∩

Γ2. α. Β – Α είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής να ασχολείται µόνο µε υπολογιστές.

Τότε:

( ) ( ) ( )

( )

P B A P B P A B

P B A 0,8 0,2

− = − ∩ ⇔

− = − ⇔

( )P B A 0,6− =

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Μλ1Α(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 4 ΑΠΟ 8

β. ( )A B′

∪ είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής να µην έχει κανένα από τα δύο

παραπάνω χόµπι.

Τότε:

( ) ( )

( )

P A B 1 P A B

P A B 1 0,9

′∪ = − ∪ ⇔

′∪ = − ⇔

( )P A B 0,1′∪ =

Γ3. α. ( ) ( )A B B A− ∪ − είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής να ασχολείται µόνο µε

ένα από τα δύο παραπάνω χόµπι.

Τότε:

( ) ( )( )

( ) ( )

A B, B A

ασυµβίβασταP A B B A

P A B P B A

− −

− ∪ − =

− + − =

( ) ( )P A P A B 0,6

0,3 0,2 0,6 0,7

− ∩ + =

− + =

Άρα ( ) ( )( )P A B B A 0,7− ∪ − =

β. A B′ ′∪ ή ( )A B′

∩ είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής να µην ασχολείται µε

υπολογιστές ή να µην ασχολείται µε τον αθλητισµό.

1ος

τρόπος

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

P A B P A P B P A B

P A P B P A B

P A P B P A P A B

P A P B P A P A B

P B P B P A B

1 P A B

1 0,2 0,8

′ ′ ′ ′ ′ ′∪ = + − ∩ =

′ ′ ′+ − − =

′ ′ ′ ′+ − − ∩ =

′ ′ ′ ′+ − + ∩ =

′ + − ∩ =

− ∩ =

− =

Άρα ( )P A B 0,8′ ′∪ =

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Μλ1Α(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 5 ΑΠΟ 8

2ος

τρόπος

( ) ( )

( )

P A B P A B

1 P A B

1 0,2 0,8

′′ ′∪ = ∩ =

− ∩ =

− =

Άρα ( )P A B 0,8′ ′∪ =

ΘΕΜΑ ∆

∆1. Για α 1≥ έχουµε, 2 2

A α 2 α 1 2 α 2 α 1 α 2 α 1 α 2 α 1= − − − − − ⋅ + − + + − =

( )

( )

( )

22

2

2

2

α 2 α 1 2 α 2 α 1 α 2 α 1

2α 2 α 4 α 1

2α 2 α 4α 4

2α 2 α 2

2α 2 α 2

− − − − − + + − =

− − − =

− − + =

− − =

− −

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

8 84

2 284

4 4

2 24

2 2

Β α 1 α 1 α 1 α 1

α 1 α 1 α 1

α 1 α 1 α 1

α 1 α 1

α 1 α 1

α 1

α 1

= + + + − =

+ + − =

+ + − =

+ − =

+ − =

− =

−

∆2. Αφού α 2≥ είναι α 2 0− ≥ . Εποµένως 2 2α− = α−

Άρα ( )Α 2α 2 α 2 2α 2α 4 4= − − = − + =

α. Α Β 4 α 1 α 3 α 3+ = + − = + = + αφού για α 2≥ είναι α 3 0+ >

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Μλ1Α(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 6 ΑΠΟ 8

β. Είναι 2

α x A B 4x 1= + + − και αφού Α Β α 3+ = + είναι

2

α x α 3 4x 1= + + − ή2

α x 4x α 2− = + ή

( )2

α 4 x α 2− = + ή

( )( )α 2 α 2 x α 2+ − = +

Είναι α 2≥ εποµένως 2 0.α + ≠ ∆ιαιρώντας την τελευταία σχέση µε α + 2

έχουµε (α 2)x 1− =

∆ιακρίνουµε τις περιπτώσεις:

• Αν α 2 0− = δηλαδή αν α = 2 η εξίσωση γίνεται 0x 1= που είναι

αδύνατη.

• Αν α 2≠ τότε η εξίσωση έχει µοναδική λύση την1

xα 2=

−

∆3. 1ος

τρόπος

Είναι 0

1x

α 2=

−

για α > 2

Έχουµε 2

2

0

1x 0

2

= >

α − , για κάθε 2α >

∆ιαιρούµε µε 2

0x 0> και τα δύο µέλη της ( ) ( )

2 2 2

0 0 0x 1 x 6 2α x− + > − και

έχουµε

( )

( )

( )

( )

0

2 2

0 0

2

0 0

12 x

α 2

0

2

2

2

2

2

2

x 1 x6 2α

x x

11 1 6 2α 0

x

1 α 2 5 2α 0

1 α 2 5 2α 0

3 α 5 2α 0

9 6α α 5 2α 0

α 4α 4 0

α 2 0 που είναι αληθής για α > 2

=

−

−+ > − ⇔

− + − + > ⇔

− − − + > ⇔

− + − + > ⇔

− − + > ⇔

− + − + > ⇔

− + > ⇔

− >

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Μλ1Α(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 7 ΑΠΟ 8

2ος

τρόπος

Για 0

1x

α 2=

−

έχουµε

( ) ( )2 2 2

0 0 0x 1 x 6 2α x− + > − ⇔

( )2 2 2

1 1 11 6 2α

α 2 α 2 α 2

− + > − ⇔

− − −

( )2 2 2

1 α 2 1 16 2α

α 2 α 2 α 2 α 2

− − + > − ⇔

− − − −

( )2 2 2

1 α 2 1 16 2α

α 2 α 2 α 2

− + + > − ⇔

− − −

( )2 2 2

3 α 1 16 2α

α 2 α 2 α 2

− + > − ⇔

− − −

( )2 2 2

3 α 1 12 3 α 0

α 2 α 2 α 2

− + − − > ⇔

− − − 2

3 α 10

α 2 α 2

− − > ⇔

− −

( )

2

2

2

3 α 10

α 2

2 α0

α 2

1 0

− − > ⇔

−

− > ⇔

−

− > ⇔

1 0> που ισχύει

3ος

τρόπος

Το 1ο

µέλος της δοθείσας σχέσης για 0

1x

α 2=

−

γίνεται

( )2 2

0 0

2 2

x 1 x

1 11

α 2 α 2

− + =

− + =

− −

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Μλ1Α(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 8 ΑΠΟ 8

( )2 2

2 2

2 2

1 α 2 1

α 2 α 2

1 α + 2 1

α 2 α 2

3 α 1(1)

α 2 α 2

− − + =

− −

− + =

− −

− +

− −

Γνωρίζουµε ότι για κάθε β, γ∈ℝ µε β γ≠ ισχύει:

( )2 2 2 2 2β γ 0 β 2βγ γ 0 β γ 2βγ (2)− > ⇔ − + > ⇔ + >

Έστω 3 α

βα 2

−

=

−

και 1

γα 2=

−

µε α 2 0 α 2− ≠ ⇔ ≠

Αν 3 α 1

β γ 3 α 1 3 1 α α 2α 2 α 2

−= ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

− −

άτοπο

Άρα β γ≠

Τότε για κάθε α > 2 λόγω της (2), από την (1) έχουµε: 2 2

3 α 1 3 α 12

α 2 α 2 α 2 α 2

− − + > ⇔

− − − −

( )

( )

2 2

2

2 3 α3 α 1

α 2 α 2 α 2

−− + > ⇔

− − −

( )( )

( ) ( )

0

1x2 2

α 2

2

2 2 2

0 0 0

3 α 1 16 2α

α 2 α 2 α 2

x 1 x 6 2α x για κάθε α > 2

=

−− + > − ⇔

− − −

− + > −