Η ομάδα μας ασχολήθηκε με το θέμα: Χρυσή Τομή ή Χρυσός αριθμός φ. Μετά από έρευνες που κάναμε για τον αριθμό φ διαπιστώσαμε πως αυτή η χρυσή αναλογία βρίσκεται παντού. Αρχικά, βρήκαμε γενικές πληροφορίες για το τι είναι, που χρησιμοποιείται και πως αποδεικνύεται. Έπειτα, βρήκαμε ότι o αριθμός φ εμφανίζεται σε γεωμετρικά σχήματα (δεκάγωνο, πεντάλφα,κύκλο, τρίγωνο και ορθογώνιο). Στη συνέχεια παρατηρήσαμε πως χρησιμοποιείται στην αρχιτεκτονική και γενικά στην τέχνη (όπως σε πίνακες, αγάλματα κ.λ.π).Επιπρόσθετα, ανακαλύψαμε πως εμφανίζεται στο ανθρώπινο σώμα και γενικά στην φύση (στα φυτά, στους πλανήτες, στο ρυθμό αναπαραγωγής των κουνελιών και στις κυψέλες των μελισσών).

Ο αριθµός φ είναι ο αριθµός της οµορφιάς και της αρµονίας. Συµβολίζεται διεθνώς µε το ελληνικό γράµµα φ, προς τιµήν του Έλληνα γλύπτη Φειδία ο οποίος τον χρησιµοποίησε στα σχέδια των έργων του. Είναι ο λεγόµενος Χρυσός Αριθµός ή Χρυσή Τοµή. Είναι άξιο να αναφέρουµε πως ο µυστήριος αυτός αριθµός µελετήθηκε για πρώτη φορά από τους αρχαίους Έλληνες. Παρατήρησαν ότι όλα πάνω στην γη, από τα φυτά µέχρι το ίδιο το ανθρώπινο σώµα,αναπτύσσονται βάσει µίας αναλογίας.

Η Χρυσή Τοµή ανήκει στους άρρητους αριθµούς, δηλαδή εκείνους που δεν µπορούµε να εκφράσουµε ως κλάσµα δύο ακέραιων. Για να υπολογιστεί πρέπει πρώτα να υπολογίσουµε την τετραγωνική ρίζα του 5, µετά να προσθέσουµε 1 στο αποτέλεσµα και τέλος, να διαιρέσουµε δια 2. Ο αριθµός Φ είχε συσχετιστεί από τους Πυθαγόρειους µε την αισθητική που παρουσιάζεται σε διάφορα ανθρώπινα κατασκευάσµατα. Ο Ευκλείδης είχε διατυπώσει το πρόβληµα που σε ελεύθερη διατύπωση περιγράφεται ως εξής:

"έστω ένα ευθύγραµµα τµήµα α το οποίο διαιρείται σε δύο τµήµατα x και y µε τέτοιο τρόπο ώστε αν το x είναι µεγαλύτερο από το y, ο λόγος του τµήµατος α προς το x είναι ίσος µε το λόγο του x προς το y“

Η ρίζα Φ’ απορρίπτεται επειδή είναι αρνητική και έτσι προκύπτει ότι :φ = 1,6180339887

Οι αριθµοί Fibonacci σχετίζονται µε την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισµού, ακόµα και της ίδιας της ανθρωπότητας. Στα Μαθηµατικά, οι Αριθµοί Fibonacci είναι οι αριθµοί της παρακάτω ακέραιης ακολουθίας :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … Εξ ορισµού, οι πρώτοι δύο αριθµοί Fibonacci είναι το 0

και το 1, και κάθε επόµενος αριθµός είναι το άθροισµα των δύο προηγούµενων. Σε µαθηµατικούς όρους, η ακολουθία Fn των αριθµών Fibonacci ορίζεται από τον αναδροµικό τύπο:

Fn = Fn-1 + Fn-2

µε F0 = 0 και F1 = 1

Αν φτιάξουµε µια ακολουθία µε όρους τους λόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας θα έχουµε :

Και συνεχίζεται επ΄ άπειρον.

Παρατηρούµε λοιπόν, πως όταν εκτελεστούν οι διαιρέσεις και όσο η ακολουθία προχωράει, τόσο το αποτέλεσµα συγκλίνει, όλο και µε µεγαλύτερη ακρίβεια προς την αποκαλούµενη Χρυσή Τοµή, ή Χρυσή Αναλογία, ή Αριθµό φ = 1,6180339887…

Ο Leonardo Da Vinci είχε δείξει ένα ένθερµο ενδιαφέρον για τα µαθηµατικά της τέχνης και της φύσης. Γι’ αυτό άλλωστε και είχε κάνει µία έρευνα πάνω στην ανθρώπινη φιγούρα και είχε δείξει πώς τα διαφορετικά της µέρη σχετίζονται µε την χρυσή αναλογία όπως φαίνεται στην Εικόνα.

Η πιο φηµισµένη πεντάλφα είναι αυτή του Henry Cornelius Agrippa που απεικονίζει έναν άνθρωπο στο κέντρο να εκτείνει τα πόδια και τα χέρια του στον κύκλο που περικλείει την πεντάλφα εµφανίζεται στην Εικόνα. Τα άκρα φέρουν πλανητικά σύµβολα και το κέντρο το σύµβολο της σελήνης.

Το συγκεκριµένο έργο αποτελεί παραλλαγή του Βετρούβιου Άνδρα του Λεονάρντο ντα Βίντσι, συµβολίζοντας την σχέση του ανθρώπου µ ε το σύµπαν, παραπέµποντας στην Θεϊκή Αναλογία, η οποία κρύβεται και στο Βετρούβιο Άνδρα, αλλά και στην Πεντάλφα που είναι χαρακτηριστικό παράδειγµα της Θεϊκής Αναλογίας.

Το δηµοφιλέστερο έργο του Da Vinci, η Μόνα Λίζα, δηµιουργήθηκε βάση της χρυσής αναλογίας. Στην παρακάτω εικόνα παρατηρούµε πως ο πίνακας περιλαµβάνει πολλά χρυσά ορθογώνια. Μπορούµε να βγάλουµε ένα ορθογώνιο του οποίου η βάση να εκτείνεται από το δεξιό καρπό της γυναίκας στον αριστερό και το µήκος του να φτάνει στην κορυφή του κεφαλιού. Επιπλέον, αν σχεδιάσουµε κι άλλα ορθογώνια στο κεντρικό, τότε βλέπουµε πως τα άκρα τους καταλήγουν σε σηµαντικά σηµεία του προσώπου της : στο πιγούνι, στη µύτη, στο µάτι και στη γωνία από το µυστηριώδες της στόµα. Η Εικόνα 18 παρουσιάζει τις χρυσές αναλογίες που διέπει το δηµοφιλέστερο έργο του Da Vinci.

Ένα άλλο έργο του Leonardo Da Vinci που φαίνεται να είναι βασισµένο στο Χρυσό Αριθµό είναι και ο πίνακας του Άγιου Ιερώνυµου (Saint Jerome). Ένα χρυσό ορθογώνιο ταιριάζει τόσο προσεγµένα γύρω από την κεντρική φιγούρα που λέγεται πως ο καλλιτέχνης το σχεδίασε µόνο και µόνο γι’ αυτό. Παρατηρούµε επίσης πως η υποδιαίρεση του τετραγώνου βρίσκεται στην ίδια σειρά µε το εκτεταµένο χέρι του Αγίου Ιερώνυµου. Η Εικόνα παρουσιάζει το έργο του Ντα Βιντσι.

Στον πίνακα του George-Pierre Seurat “Bathers at Asnières” είναι οφθαλµοφανείς οι χρυσές του υποδιαιρέσεις. Επίσης παρατηρούµε πως τρεις φιγούρες είναι εγγεγραµµένες σε χρυσά τετράγωνα . Οι Εικόνες παρουσιάζουν τις χρυσές

αναλογίες.

Αν μετρήσουμε τις μέλισσες σε οποιαδήποτε κυψέλη, θα παρατηρήσουμε ότι η αναλογία των εργατριών μελισσών προς τους κηφήνες καταλήγει πάντα στο χρυσό αριθμό. Μία άλλη εφαρμογή της Χρυσής Αναλογίας στη ζωή των μελισσών είναι ότι καθορίζει το γενεαλογικό δέντρο κάθε κηφήνα σε ένα μελίσσι. Εφόσον κάθε κηφήνας γεννιέται από ένα μη γονιμοποιημένο αυγό της βασίλισσας τo γενεαλογικό του δέντρο έχει ως εξής: έχει 1 μητέρα, 2 παππούδες (αρσενικό και θηλυκό), 3 προπαππούδες (δύο από την οικογένεια της γιαγιάς και μία του παππού), 5 προ-προπαππούδες, 8 προ-προ-προπαππούδες κ.ο.κ. Το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα είναι μια ακολουθία Fibonacci που σχετίζεται με τη Χρυσή Τομή.

Ίσως να φανεί περίεργο αυτό που θα αναφερθεί παρακάτω, είναι όμως

πέρα για πέρα αληθινό. Αν κάποιος ήθελε να ασχοληθεί και να παρατηρήσει

εξονυχιστικά τα λουλούδια θα ανακάλυπτε ότι τα πέταλα των λουλουδιών αντιστοιχούν πάντα σε έναν όρο της ακολουθίας Fibonacci. Υπάρχουν λοιπόν λουλούδια τα οποία παρουσιάζονται στις παρακάτω Εικόνες και ακολουθούν τους αριθμούς Fibonacci. Υπάρχουν πολλά παραδείγματα που αποδεικνύουν τον παραπάνω ισχυρισμό όπως οι κρίνοι και τα αγριόκρινα με 3 πέταλα, οι καπουτσίνοι με 8 πέταλα, οι καλεντούλες με 5 πέταλα και διάφοροι τύποι μαργαριτών με 34 αλλά και 55 ακόμα και με 89 πέταλα.

Τα χαρακτηριστικά του προσώπου μιας τίγρης δημιουργούν ευθύγραμμα

τμήματα που συμπίπτουν με τη αναλογία του Fibonacci.

Σε μια πεταλούδα τα σημεία εκείνα που μοιάζουν με μάτι συσχετίζονται με τα ευθύγραμμα τμήματα που απεικονίζουν το μήκος και το πλάτος της με χρυσή τομή.

Ακόμα και στους πλανήτες εμφανίζεται ο αριθμός φ. Στην πραγματικότητα οι πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος απέχουν κάποιες αποστάσεις μεταξύ τους, όπως. Ύστερα από πράξεις με τον φ αποδείχθηκε ότι οι πλανήτες απέχουν και μια «φανταστική» απόσταση μεταξύ τους η οποία δεν έχει μεγάλη διαφορά με την πραγματικότητα. Για παράδειγμα ο Ερμής απέχει στην πραγματικότητα 0,387 ενώ με πράξεις με τον φ απέχει 0,4 μικρή διαφορά. Ο μοναδικός πλανήτης που αποδείχθηκε ότι έχει την ίδια πραγματική και «φανταστική» απόσταση είναι η Γη όπου απέχει 1 και στις δύο περιπτώσεις. Οι πλανήτες «χωρίζονται» σε ζώνες ανά τρείς, η ακολουθία αλλάζει από τριάδα σε τριάδα. Πιθανή έκρηξη του Πλανήτη μετά τον Άρη να διατάραξε την ισορροπία φ μεταξύ των πλανητών και να τους οδήγησε σε νέες τροχιές – ισορροπίες- μεταξύ τους, ο Δίας ως κοντινός πλανήτης επηρεάσθηκε περισσότερο από όλους.

Έστω ότι παίρνουμε μία ακτίνα της γης (ίση με 1) και μία άλλη γραμμή από το κέντρο της γης μέχρι το κέντρο της σελήνης (η οποία θα ισούται με την τετραγωνική ρίζα του φ). Αν ενώσουμε τα άκρα αυτών των 2 ευθυγράμμων

Το ανθρώπινο πρόσωπο παρουσιάζει πολλές χρυσές αναλογίες. Το κεφάλι αποτελεί ένα χρυσό ορθογώνιο µε την ευθεία που ορίζουν τα µάτια να το χωρίζει στη µέση.Το στόµα και η µύτη είναι το καθένα τοποθετηµένο στη χρυσή τοµή του ευθύγραµµου τµήµατος που ορίζεται ανάµεσα στα µάτια και στην άκρη του πιγουνιού. Εκτός όµως από τα χρυσά ευθύγραµµα τµήµατα που δηµιουργούνται, εµφανίζονται και πολλά χρυσά ορθογώνια. Επιπλέον, παρατηρώντας το ανθρώπινο αυτί, θα δούµε πως η σπείρα που δηµιουργείται µας θυµίζει την χρυσή σπείρα. Τέλος, αναφορικά µε τις διαστάσεις των δοντιών, παρατηρείται ότι τα δύο µπροστινά δόντια είναι εγγεγραµµένα σε ένα χρυσό ορθογώνιο, µε µία χρυσή αναλογία του ύψους προς το πλάτος τους. Επιπλέον, η αναλογία του πλάτους από το πρώτο δόντι προς το πλάτος του δευτέρου είναι επίσης χρυσή. Τέλος, αν χαµογελάσουµε, θα παρατηρήσουµε πως το πλάτος του χαµόγελου προς το πλάτος που υπάρχει µέχρι το τρίτο δόντι, είναι ίση µε φ.

Αν µετρήσουµε τα εκατοστά των οστών του χεριού θα δούµε πως αντιστοιχούν στους όρους της ακολουθίας Fibonacci.Έχοντας αυτό σαν δεδοµένο το νύχι του µεσαίου δαχτύλου ισούται µε ένα.

Επιπλέον, η παλάµη δηµιουργεί τη χρυσή αναλογία σε σχέση µ ε το υπόλοιπο χέρι.

Το ύψος ενός ανθρώπου προς την απόσταση από το κεφάλι µέχρι και την άκρη του µεσαίου δαχτύλου του, όπως φαίνεται στην Εικόνα , αποτελεί ένα χρυσό ευθύγραµµο τµήµα. Η απόσταση από το κεφάλι µέχρι και την άκρη του µεσαίου δαχτύλου προς την απόσταση από το κεφάλι µέχρι και τους αγκώνες, αποτελεί ένα χρυσό ευθύγραµµο τµήµα. Η απόσταση από το κεφάλι µέχρι και τους αγκώνες προς την απόσταση από το κεφάλι µέχρι και τους ώµους, αποτελεί επίσης ένα χρυσό ευθύγραµµο τµήµα. Η απόσταση από το κεφάλι µέχρι και τους ώµους προς την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού µέχρι την άκρη του πιγουνιού, αποτελεί εξίσου ένα χρυσό ευθύγραµµο τµήµα.

Παρατηρήσαµε, λοιπόν, πως ο αριθµός φ απαντάται σε όλες τις πτυχές της καθηµερινής µας ζωής. Από την τίγρη και την πεταλούδα, τις αναλογίες του ανθρώπινου σώµατος µέχρι και τη θέση των πλανητών στο ηλιακό µας σύστηµα. Η χρυσή αναλογία, ένας αριθµός απόλυτης αρµονίας και τελειότητας υπάρχει παντού γύρω µας και σχεδόν τα πάντα βασίζονται σε αυτήν.

[1]. http://www.asxetos.gr/entheto/xrysos-arithmos-phi/ypologismos-toy-xrysoyarithmoy-

f-mathimatiki-proseggisi-ii.html#axzz1fBHWHZwv [2]. http://el.wikipedia.org/wiki/Ακολουθία_Φιμπονάτσι [3]. http://users.sch.gr/kassetas/ed0math24.htm [4]. http://users.sch.gr/geoman22/mathP/Pascal.htm [5]. http://users.ntua.gr/ge01033/tr.htm [6]. http://users.sch.gr/theoj/etwin/fibonacci/akolouthia.htm [7]. http://ellinis.blogspot.com/2010/07/blog-post_6594.html [8]. http://alhtheia1.blogspot.com/2011/06/blog-post_01.html [9]. http://oeaf.blogspot.com/2011/05/blog-post_09.html [10[11].http://jwilson.coe.uga.edu/emat6680fa06/hobgood/kate_files/golden

%20ratio/ gr%20arch.html [12]. http://library.thinkquest.org/trio/TTQ05063/phibeauty4.htm [13]. http://www.goldennumber.net/index.htm [14]. http://britton.disted.camosun.bc.ca/goldslide/jbgoldslide.htm [15].http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2000/Obara/Emat6690/Golde n%20Ratio/golden.html [16].http://nosauvelta.multiply.com/journal/item/113/The_Fibonacci_Numbers_an d_Golden_Ratio [17]. http://britton.disted.camosun.bc.ca/fibslide/jbfibslide.htm].

http://mathmosxos.blogspot.com/