9. 1

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Μάθηµα 9 Ευστάθεια κατά Lyapunov

• Η έννοια της ευστάθειας κατά Lyapunov

• Γενικό κριτήριο ευστάθειας

• Παραδείγµατα

∆. Καλλιγερόπουλος

9. 2

Ευστάθεια κατά Lyapunov

Εισαγωγή

Η έννοια της ευστάθειας ενός συστήµατος είναι κατ’ αρχάς µια έννοια φυσική.

Μια τέτοια φυσική ερµηνεία της ευστάθειας έδωσε ο Lyapunov µε τη γενική ή άµεση

µέθοδο που διατύπωσε και που εφαρµόζεται σε συστήµατα κάθε µορφής, γραµµικά ή

µη γραµµικά, σταθερά ή χρονικά µεταβαλλόµενα.

Η ευστάθεια ενός συστήµατος αφορά αποκλειστικά το ίδιο το σύστηµα και όχι τις

επιδράσεις που δέχεται αυτό από το περιβάλλον του. Καθορίζεται δηλαδή από τα

χαρακτηριστικά και την εσωτερική δοµή του συστήµατος και όχι από µία εξωτερική

διέγερση που το επηρεάζει.

Παράδειγµα µηχανικού φυσικού συστήµατος

Ένα ελεύθερο φυσικό µηχανικό σύστηµα, που κινείται δηλαδή χωρίς εξωτερική

διέγερση F αλλά µόνο λόγω µιας αρχικής συνθήκης 0x , είναι ευσταθές εφόσον

καταλήγει σε µια ευσταθή θέση ισορροπίας ex , όπως µία σφαίρα που κινείται µέσα σε

ένα κοίλο δοχείο.

Κατά τη µετάβαση της αυτή από την αρχική θέση 0x προς την τελική θέση

ισορροπίας ex , συµβαίνουν τα εξής:

1. Η µηχανική απόσταση )(tx του σώµατος από τη θέση ισορροπίας 0=ex

συνεχώς µειώνεται και καταλήγει στο 0.

9. 3

2. Η δυναµική ενέργεια του σώµατος )(xV επίσης συνεχώς µειώνεται και

καταλήγει στο 0, οπότε: 0)0()( ==VxV e .

Αυτή η αποθηκευµένη εσωτερική δυναµική ενέργεια έχει σε όλα τα φυσικά

συστήµατα τετραγωνική µορφή και είναι θετική: 0)( >xV .

Ειδικότερα:

• 2

21)( KxxV = σε ένα µηχανικό σώµα που αποθηκεύει ενέργεια µέσω ενός

ελατηρίου ελαστικότητας K .

• Αντίστοιχα, 2

21 ϕKV = σε ένα περιστροφικό σύστηµα.

• 22

21

21

CCuQC

V == σε ένα ηλεκτρικό σύστηµα, που αποθηκεύει ηλεκτρική

ενέργεια σε έναν πυκνωτή χωρητικότητας C .

• Και αντίστοιχα, 22

21

21

LLiL

V =Φ= σε ένα µαγνητικό σύστηµα, που

αποθηκεύει µαγνητική ενέργεια σε ένα πηνίο αυτεπαγωγής L .

Η διαρκής µείωση αυτής της εσωτερικής δυναµικής ενέργειας κατά τη µετάβαση

του συστήµατος από την αρχική θέση 0x στην τελική θέση ισορροπίας 0=ex

ερµηνεύεται κατά Lyapunov ως εξής:

Η αρχική αποθηκευµένη ενέργεια: 0)( 00 >=VxV καταναλώνεται ή ορθότερα

αποδίδεται συνεχώς, για να φτάσει το σύστηµα στην ευσταθή ισορροπία του, όπου

0=ex και 0)0( =V . Σε όλη αυτή τη µετάβαση η µεταβολή ως προς το χρόνο της

αποθηκευµένης αυτής εσωτερικής ενέργειας )(xV είναι τότε αρνητική:

0)()( <= xVxVdtd o

,

εφόσον χαρακτηρίζει τη διαρκή αυτή συνεχή µείωση.

9. 4

Γενική ευστάθεια συστηµάτων κατά Lyapunov

Ένα σύστηµα n-οστής τάξης µε είσοδο )(tu και έξοδο )(ty έχει εσωτερική

κατάσταση το n-διάστατο διάνυσµα κατάστασης )(tx µε αρχική συνθήκη 0)0( xx =

και µπορεί να είναι γραµµικό ή µη γραµµικό, σταθερό ή χρονικά µεταβαλλόµενο.

Ελεύθερο ονοµάζεται το σύστηµα όταν λειτουργεί χωρίς εξωτερική επίδραση,

δηλαδή όταν: 0)( =tu και η λειτουργία του οφείλεται µόνο στην αρχική συνθήκη 0x .

Οι εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης τέτοιων ελεύθερων συστηµάτων έχουν τη

µορφή:

• Ελεύθερο γραµµικό σύστηµα:

0)()( xtxAtx =o

, όπου A ο πίνακας κατάστασης

• Χρονικά σταθερό, γραµµικό ή µη γραµµικό σύστηµα:

( ) 0)()( xtxftx =o

• Χρονικά µεταβαλλόµενο, γραµµικό ή µη γραµµικό σύστηµα:

( ) 0),()( xttxftx =o

9. 5

Η αρχική συνθήκη τη χρονική στιγµή 00 =t είναι: 0)0( xx = .

Η τελική θέση ισορροπίας (equilibrium) πραγµατοποιείται όταν για ∞→= ett

ισχύει: 0)( =etxo

.

Σε ένα γραµµικό σύστηµα:

0)()( xtxAtx =o

η θέση ισορροπίας ορίζεται για 0)( =txo

, όταν ∞→= ett , και είναι: 0)( =etxA

άρα: 0)( == ee txx όταν ο πίνακας A είναι οµαλός, δηλαδή 0det ≠A .

Αντίθετα όταν 0det =A , το γραµµικό σύστηµα έχει άπειρες θέσεις ισορροπίας.

Η ασυµπτωτική ευστάθεια (asymptotic stability) του γραµµικού συστήµατος

ορίζεται όταν, στο χώρο κατάστασης, το σύστηµα καταλήγει για ∞→t στη θέση

ισορροπίας του, δηλαδή όταν: 0)(lim,0 =∀∞→

txxt

ή ορθότερα όταν: 0lim,0 =∀∞→

xxt

,

όπου ως ευκλείδιο µέτρο )(tx του διανύσµατος κατάστασης:

[ ]nT xxxtx ...,,)( 21= ορίζεται: 22

221 ...)( nxxxtx +++= .

Έτσι συνοπτικά, ένα ελεύθερο οµαλό γραµµικό σύστηµα είναι ασυµπτωτικά

ευσταθές όταν ξεκινώντας από οποιαδήποτε αρχική θέση 0x στο χώρο κατάστασης

καταλήγει ασυµπτωτικά στην τελική θέση ισορροπίας: 0)(lim ==∞→

txxte .

Αυτή η θέση ισορροπίας ονοµάζεται τότε ασυµπτωτικά ευσταθής (asymptotic stable).

Αντίθετα µη ευσταθές ή ασταθές ονοµάζεται ένα γραµµικό σύστηµα όταν η

εσωτερική του κατάσταση δεν καταλήγει στην τελική θέση ισορροπίας 0=ex ,

δηλαδή η θέση αυτή δεν είναι ασυµπτωτικά ευσταθής.

Αυτό αποτυπώνεται σε συγκλίνουσες ή αποκλίνουσες τροχιές κατάστασης:

9. 6

Ασυµπτωτικά ευσταθής θέση ισορροπίας:

Ασταθής θέση ισορροπίας:

Γενικό κριτήριο ευστάθειας κατά Lyapunov

Η ευστάθεια ενός συστήµατος, γραµµικού ή µη γραµµικού, σταθερού ή χρονικά

µεταβαλλόµενου, καθορίζεται κατά Lyapunov µε βάση µία συνάρτηση )(xV της

εσωτερικής του κατάστασης )(tx , που αντιστοιχεί στην αποθηκευµένη εσωτερική

ενέργεια του συστήµατος αυτού και ονοµάζεται συνάρτηση Lyapunov.

Κριτήριο ευστάθειας

Ένα σύστηµα είναι κατά Lyapunov ασυµπτωτικά ευσταθές ή ορθότερα έχει

ασυµπτωτικά ευσταθή θέση ισορροπίας, εάν υπάρχει µια συνάρτηση Lyapunov )(xV

που αντιστοιχεί στην εσωτερική του ενέργεια και είναι:

• 0)( >xV , δηλαδή η )(xV είναι συνάρτηση θετικά ορισµένη (positive definite)

ή απλώς θετική.

9. 7

• 0)( <xVo

, δηλαδή η χρονική µεταβολή της )()( xVdtdxV =

o

είναι συνάρτηση

αρνητικά ορισµένη (negative definite) ή απλώς η )(xV έχει αρνητική χρονική

µεταβολή.

Ας εξετάσουµε ειδικότερα τις δύο αυτές ιδιότητες της συνάρτησης Lyapunov:

1. Η θετικότητα της συνάρτησης Lyapunov

Όπως και η δυναµική ενέργεια των φυσικών συστηµάτων έτσι και η συνάρτηση

Lyapunov )(xV ενός συστήµατος µε εσωτερική κατάσταση )(tx είναι θετική εφόσον

έχει τετραγωνική µορφή.

α) Απλή τετραγωνική µορφή

Έστω λοιπόν ότι η συνάρτηση )(xV έχει απλή τετραγωνική µορφή: 22

22211 ...)( nn xpxpxpxV +++=

µε nppp ,...,, 21 θετικούς συντελεστές: ipi ∀> ,0 , τότε 0)( >xV , x∀ .

β) Γενική τετραγωνική µορφή

Γενικότερα µπορούµε να θεωρήσουµε ως πιθανή συνάρτηση Lyapunov µια

συνάρτηση γενικής τετραγωνικής µορφής:

xPxxV T=)(

όπου P είναι ένας θετικά ορισµένος πραγµατικός συµµετρικός πίνακας: TPP = και

συµβολίζεται 0>P .

Κριτήριο Sylvester

Θετικά ορισµένος ( 0>P ) λέγεται ένας πίνακας P , όταν όλες οι διαδοχικά

ελάσσονες ορίζουσές του είναι θετικές.

iP i

n

∀>∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆

∆

∆

∆

= 0,

...............................................................

3

2

1

.

9. 8

Παράδειγµα 1

Έστω ο διαγώνιος πίνακας ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

00p

pP .

Τότε: [ ] 222

211

2

1

2

121 0

0)( xpxp

xx

pp

xxxV +=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅= .

Είναι: 0)( >xV όταν 011 >=∆ p και 0212 >=∆ pp άρα 02 >p .

Παράδειγµα 2

Έστω ο συµµετρικό πίνακας ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

pppp

P .

Τότε: [ ] 22221

211

2

1

2

121 2)( xpxpxxp

xx

pppp

xxxV ++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅= .

Είναι: 0)( >xV όταν 011 >=∆ p και 02212 >−=∆ ppp ή 2

21 ppp > .

2. Η αρνητικότητα της χρονικής µεταβολής )(xVo

Η συνάρτηση Lyapunov ( ))(txV ενός σταθερού ή αλλιώς µη χρονικά

µεταβαλλόµενου συστήµατος έχει χρονική µεταβολή:

( )oo

xxV

dtdx

xVtxV

dtdxV

Ti

n

i i

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=⋅∂∂

== ∑=1

)()(

όπου η διανυσµατική κλίση (gradient) της συνάρτησης )(xV ως προς x ορίζεται:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

=∂∂

=

n

x

xV

xV

xVxVgrad ...)(

1.

[ Γενικότερα η συνάρτηση Lyapunov ( )ttxV ),( ενός χρονικά µεταβαλλόµενου

συστήµατος έχει χρονική µεταβολή που τροποποιείται ως εξής:

( )tVx

xV

tV

dtdx

xVttxV

dtdtxV

Ti

n

i i ∂∂

+⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=∂∂

+⋅∂∂

== ∑=

oo

1),(),( ].

9. 9

Σε ένα γραµµικό σύστηµα 0)()( xtxAtx =o

η µεταβολή της συνάρτησης

Lyapunov xPxxV T=)( ως προς το χρόνο t γίνεται:

xAPPAxxAPxxPAx

xAPxxPAxPxxPxxPxdtdxV

dtdxV

TTTTT

TTT

)(

)()()()()(

+=+

=+=+===ooo

Άρα xQxxV T=)(o

όπου APPAQ T += .

Κριτήριο αρνητικότητας

Εφόσον η συνάρτηση )(xVo

πρέπει να είναι αρνητικά ορισµένη ή 0)( <xVo

πρέπει

και ο πίνακας Q να είναι αρνητικά ορισµένος ( 0<Q ) ή αλλιώς ο πίνακας Q− να

είναι θετικά ορισµένος ( 0>−Q ), σύµφωνα µε το κριτήριο Sylvester.

9. 10

Κριτήρια ευστάθειας γραµµικού συστήµατος στο χώρο κατάστασης

Ένα σταθερό, γραµµικό και οµαλό σύστηµα n-οστής τάξης

µε εξισώσεις κατάστασης (για 0)( =tu ):

0)()( xtxAtx =o

, µε 0det ≠A

είναι ασυµπτωτικά ευσταθές ή αλλιώς έχει ως µοναδική

ευσταθή θέση ισορροπίας του την αρχή του χώρου κατάστασης:

0=ex

όταν πληρούνται εναλλακτικά τα παρακάτω κριτήρια:

1. Κριτήριο ευστάθειας µε την κλασσική µέθοδο των ιδιοτιµών Ασυµπτωτικά ευσταθές είναι το γραµµικό σύστηµα:

0)()( xtxAtx =o

,

όταν οι ιδιοτιµές του: nλλλ ,...,, 21

που προκύπτουν από την χαρακτηριστική εξίσωση:

0)det()( =−=∆ AIλλ

είναι αρνητικές ή έχουν αρνητικό πραγµατικό µέρος: ii ∀< ,0}Re{λ .

9. 11

2. Κριτήριο ευστάθειας µε τη µέθοδο Lyapunov Ασυµπτωτικά ευσταθές κατά Lyapunov είναι το γραµµικό σύστηµα:

0)()( xtxAtx =o

όταν υπάρχει µια συνάρτηση Lyapunov )(xV ,

που πληροί τις προϋποθέσεις:

• Η συνάρτηση )(xV είναι θετική: 0)( >xV

ή γενικότερα είναι θετικά ορισµένη δηλαδή έχει τετραγωνική µορφή:

xPxxV T=)(

όπου P είναι ένας συµµετρικός: TPP = ,

θετικά ορισµένος πίνακας: 0>P ,

δηλαδή έχει θετικές όλες τις διαδοχικά ελάσσονες ορίζουσές του.

• Η χρονική µεταβολή )(xVo

είναι αρνητική 0)( <xVo

ή γενικότερα είναι αρνητικά ορισµένη.

Έχει επίσης τετραγωνική µορφή: xQxxV T=)(o

όπου ο συµµετρικός πίνακας APPAQ T +=

πρέπει να είναι αρνητικά ορισµένος

ή αλλιώς ο πίνακας Q− να είναι και αυτός θετικά ορισµένος:

0>−Q .

Τα δύο κριτήρια είναι ισοδύναµα.

Το κριτήριο Lyapunov µπορεί να επεκταθεί και σε µη γραµµικά

ή µεταβαλλόµενα συστήµατα, έχει δε επιπρόσθετα µια φυσική ερµηνεία.

9. 12

Παραδείγµατα

Παράδειγµα 1 ∆ίνεται γραµµικό και σταθερό σύστηµα 2ης τάξης µε εξισώσεις κατάστασης:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=11

3210

0xxxo

Να εξεταστεί η ευστάθεια του α) Με τη µέθοδο ιδιοτιµών, β) µε τη µέθοδο Lyapunov.

Λύση

α) Μέθοδος ιδιοτιµών Χαρακτηριστική εξίσωση:

0)2)(1(232)3(32

1)det()( 2 =++=++=++=

+−

=−=∆ λλλλλλλ

λλλ AI

Οι ιδιοτιµές είναι: 011 <−=λ , 022 <−=λ , άρα το σύστηµα είναι ευσταθές.

β) Μέθοδος Lyapunov

Ζητείται: 0)( >= xPxxV T , όπου ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

pppp

P

και xQxxV T=)(o

, όπου APPAQ T += µε 0>P και 0>−Q .

β1) Έστω ότι επιλέγεται αρχικά ένας αρνητικά ορισµένος πίνακας Q και

υπολογίζεται στη συνέχεια ο πίνακας P .

Επιλέγουµε: 01001

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==− IQ εφόσον 011 >=∆ , 012 >=∆ .

Είναι: QAPPAT =+

ή ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

1001

3210

3120

2

1

2

1

pppp

pppp

ή ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

1001

3232

3322

22

1

21

2

pppppp

pppppp

ή ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

−+−−10

016223

324

221

12

ppppppppp

9. 13

ή 14 −=− p οπότε 041>=p

162 2 −=− pp 041

2 >=p

032 21 =−− ppp 045

1 >=p

Είναι: 045

11 >==∆ p και 0412

212 >=−=∆ ppp , άρα 0>P .

Άρα το σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές και κατά Lyapunov.

β2) Έστω αντίθετα ότι επιλέγουµε έναν θετικά ορισµένο πίνακας P και

υπολογίζουµε στη συνέχεια τον πίνακα Q .

Πρέπει: 02

1 >⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

pppp

P µε 01 >p και 0221 >− ppp .

Έστω 03112

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=P , εφόσον 021 >=∆ και 051322 >=−⋅=∆ .

Τότε ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=32

103112

3112

3120

Q

ή 016774

8612

8162

<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=Q

016774

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−Q εφόσον 041 >=∆ , 01549642 >=−=∆ .

Άρα πάλι το σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές κατά Lyapunov.

Τροχιά κατάστασης:

9. 14

Παράδειγµα 2

∆ίνεται µηχανικό σύστηµα µε αρχικές συνθήκες 10 =x , 000 ==υo

x

και συντελεστές 2,2,1 === KBM .

Να διερευνηθεί η ευστάθεια του σε κατάσταση συστήµατος Α΄ κανονικής µορφής

α) µε τη µέθοδο ιδιοτιµών

β) µε τη µέθοδο Lyapunov.

Λύση Εξετάζουµε αρχικά τις εξισώσεις του συστήµατος:

02

2

=++ KxdtdxB

dtxdM ή 0=++ KxxBxM

ooo

ή xxxMKx

MBx 22 −−=−−=

oooo

.

Με µεταβλητές κατάστασης: xx =1 και o

xx =2

οι εξισώσεις κατάστασης Α΄ Κανονικής µορφής γίνονται:

21 xx =o

212 22 xxx −−=o

ή ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=01

2210

0xxxo

Με πίνακα κατάστασης: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=22

10A

α) Μέθοδος ιδιοτιµών Χαρακτηριστική εξίσωση:

01)1(222)2(22

1)det()( 22 =++=++=++=

+−

=−=∆ λλλλλλ

λλλ AI

Οπότε ιδιοτιµές: j±−= 12,1λ , 01Re 2,1 <−=λ , άρα το σύστηµα είναι ευσταθές.

9. 15

β) Μέθοδος Lyapunov

Επιλέγουµε: 01001

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==− IQ .

Εξετάζεται αν ο πίνακας ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

pppp

P είναι θετικά ορισµένος: 0>P

Είναι: QAPPAT =+

ή ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

1001

2210

2120

2

1

2

1

pppp

pppp

ή ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−−−+−−−

1001

22222222

2221

12

pppppppppppp

ή 14 −=− p οπότε 041>=p

142 2 −=− pp 083

2 >=p

022 21 =−− ppp 045

1 >=p

Εφόσον 045

11 >==∆ p και 03213

161

32152

212 >=−=−=∆ ppp , άρα 0>P

και το σύστηµα είναι ασυµπτωτικά ευσταθές κατά Lyapunov.

Τροχιά κατάστασης:

9. 16

Παράδειγµα 3 ∆ίνεται γραµµικό σύστηµα 2ης τάξης µε εξισώσεις κατάστασης:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

11

0110

0xxxo

Να εξεταστεί η ευστάθεια του α) Με τη µέθοδο ιδιοτιµών, β) µε τη µέθοδο Lyapunov.

Λύση

α) Μέθοδος ιδιοτιµών

Ο πίνακας κατάστασης του συστήµατος είναι: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0110

A .

Χαρακτηριστική εξίσωση:

0)1)(1(11

1)det()( 2 =−+=−=

−−

=−=∆ λλλλ

λλλ AI

µε ιδιοτιµές: 011 <−=λ , 012 >+=λ , άρα το σύστηµα είναι συνολικά ασταθές.

Τροχιά κατάστασης:

β) Μέθοδος Lyapunov

Επιλέγουµε: 01001

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==− IQ εφόσον 011 >=∆ , 012 >=∆ .

Είναι: QAPPAT =+ µε ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

pppp

P

ή ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡10

010110

0110

2

1

2

1

pppp

pppp

ή ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

1001

21

12

pppppppp

9. 17

ή 12 −=p οπότε 021<−=p

021 =+ pp και έστω 11 =p , 12 −=p

Είναι: 0111 >==∆ p αλλά 045

4112

212 <−=−−=−=∆ ppp ,

οπότε ο πίνακας P δεν είναι θετικά ορισµένος και το σύστηµα δεν είναι

ασυµπτωτικά ευσταθές κατά Lyapunov.

Παράδειγµα 4 ∆ίνεται µη γραµµικό σύστηµα 2ης τάξης µε εξίσωση:

0)()3( 3 =++−+ xxxKxoooo

Να εξεταστεί η ευστάθεια του συστήµατος µε δοµή εσωτερικής κατάστασης Α΄

κανονικής µορφής κατά Lyapunov και να βρεθούν τα όρια της παραµέτρου K ώστε

το σύστηµα να είναι ευσταθές.

Λύση

Με µεταβλητές κατάστασης: xx =1 και o

xx =2

οι εξισώσεις κατάστασης Α΄ Κανονικής µορφής γίνονται:

21 xx =o

32212 )3( xxKxx −−−−=

o

Επιλέγουµε συνάρτηση Lyapunov τετραγωνικής µορφής: 22

21)( xxxV +=

µε πίνακα 01001

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=P εφόσον 011 >=∆ , 012 >=∆ .

Η χρονική µεταβολή της συνάρτησης Lyapunov είναι:

( )( )2

222

42

222121

3221221

22

11

2

1

21

)3(22)3(222

)3(22

)(

xKxxxKxxxx

xxKxxxx

xxVx

xV

x

xxV

xVx

xVxV

T

+−−=−−−−=

=−−−−⋅+⋅=

=∂∂

+∂∂

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

=oo

o

ooo

Πρέπει: 0)( <xVo

21 , xx∀ , άρα και για πολύ µικρά 02 >x οπότε πρέπει:

03 >−K ή 3>K για να είναι το σύστηµα ασυµπτωτικά ευσταθές κατά Lyapunov.