82881890-course-16-4956

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

( ) ( ) ( )( )

3 2

2 4

dy x x y x y xdx x y x x

−= −

−

ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 2010

Email: [email protected] www.physics.upatras.gr

Στη γυναίκα μου

Παναγιώτα και στα παιδιά μου

Έφη και Ζέτα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο "Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις" άρχισε να γράφεται από το

1994 με σκοπό να αποτελέσει ένα όσο το δυνατό πιο πλήρες βοήθημα για τους Β′ ετείς φοιτητές του Τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών. Ελπίζουμε ότι η σημερινή μορφή του εκπληρώνει τον σκοπό αυτό.

Ιδιαίτερο βάρος δίνεται στις μαθηματικές μεθόδους για την επίλυση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων αποφεύγοντας εκείνες τις αποδείξεις, των οποίων η έκταση και η στρυφνότητα είναι κουραστικές για ένα μη μαθημα-τικό αναγνώστη. Προσπαθήσαμε αυτό να γίνει όχι σε βάρος της μαθηματι-κής αυστηρότητας.

Στο βιβλίο αυτό συμπεριλαμβάνονται και κεφάλαια τα οποία δεν είναι δυνατό να διδαχθούν μέσα στα χρονικά όρια των τεσσάρων διδακτικών ω-ρών, αλλά ελπίζουμε ότι ο αναγνώστης θα βρει αργότερα το χρόνο και το ενδιαφέρον να τα μελετήσει.

Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν ασκήσεις με τις απαντήσεις τους. Οι λύσεις των ασκήσεων αυτών βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. Τα τελε-υταία χρόνια προσπαθήσαμε να δώσουμε τις λύσεις αυτές με την βοήθεια του μαθηματικού πακέτου Maple. Ο λόγος είναι απλός. Όπως πριν μερικά χρόνια άρχισε να θεωρείται «αγράμματος» όποιος δεν ήξερε να χρησιμοποι-εί τον υπολογιστή, έτσι και σήμερα όποιος ασχολείται με τις θετικές επισ-τήμες και δεν έχει αρχίσει να μαθαίνει και να χρησιμοποιεί κάποιο μαθημα-τικό πακέτο κινδυνεύει να χαρακτηριστεί «αγράμματος». Από την άλλη πλευρά πολύ γρήγορα διαπιστώνει κανείς τις μεγάλες δυνατότητες που προσφέρουν τα μαθηματικά πακέτα, με την βοήθεια των οποίων βλέπει κανείς και κατανοεί αρκετά χαρακτηριστικά των διαφορικών εξισώσεων, που με τις παραδοσιακές μεθόδους θα ήταν αρκετά δύσκολο αν όχι και αδύ-νατο να το επιτύχει.

Για να μπορέσει ο αναγνώστης να εξοικειωθεί με την σύνταξη των δια-φόρων εντολών του Maple, παραθέτουμε στο παράρτημα Α τις κυριότερες εντολές που μπορεί να χρειασθεί για την λύση μιας διαφορικής εξίσωσης

Πολλές εφαρμογές των Κεφαλαίων 3,4,5,10,11, 12 και 13 ελήφθησαν από την διπλωματική εργασία «Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις και Φυσι-κή» του διδάκτορος φυσικού Γιώργου Κατσάρου, τον οποίο ευχαριστώ.

Τέλος δε, θα ήμουν υποχρεωμένος σε οποιονδήποτε που θα μου υποδείκ-νυε κάποιο φραστικό ή υπολογιστικό λάθος αλλά και παραλήψεις για τις οποίες είμαι ο μοναδικός υπεύθυνος

Πάτρα 2009

Δ. Σ. Σουρλάς

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ......................................................................................................... 1

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ............................................................................. 5

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ .................................................................................................... 5 1.2 ΛΥΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ. ....................................................... 7 1.3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΜΙΑΣ Δ.Ε .................................................... 8 1.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΜΙΑΣ Δ.Ε. 1ΗΣ ΤΑΞΗΣ ....................................................................................... 9 1.5 ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΜΙΑΣ Δ.Ε. ................................ 11

2. ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΙΑΣ Δ.Ε. 1ΗΣ ΤΑΞΗΣ ......... 13

3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ΗΣ ΤΑΞΗΣ .................................................... 19

3.1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ..................... 19 3.1A ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΜΙΑΣ Δ.Ε. 1ΗΣ ΤΑΞΗΣ ............................ 23 3.1Β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΗΣ Δ.Ε. ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ............. 31 3.1Γ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ....................................................................... 41 3.2 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ...................................................... 43

3.2A ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ: 1 1 1

2 2 2

x ydydx x y

α β γα β γ

+ +=

+ + ............... 47

3.2B ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΩΝ ΟΜΟΓΕΝΩΝ Δ. Ε. .................................... 49 3.3 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ΗΣ TΑΞΗΣ ..................................... 57 3.3A ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ...................................................................... 63 3.4 ΑΚΡΙΒΕΙΣ Η ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ........................................ 63 3.5 ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ........................................................................... 66 3.6 ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ...................................................................................................................... 70 3.7 ΠΛΑΓΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ................................................................................... 71 3.8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ ............................................ 73 3.9 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ BERNOULLI (1667-1748)................................ 75 3.9A ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ Δ.Ε. ΤΟΥ BERNOULLI ................................................ 79 3.10 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ RICATTI (1676-1754) .......................................... 82 3.10A ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ Δ. Ε. ΤΟΥ RICATTI. .......................................................... 86

4. OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ (ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗΣ EULER) .. 89

4.1 ΓΕΝΙΚΑ .................................................................................................... 89 4.2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ .. 91 4.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΟΥ ΔΙΝΟΥΝ ΤΟΥΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ .................................................................................... 93 4.4 ΠΩΣ ΑΠΟ ΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΑΠΕΙΡΟΥΣ ΑΛΛΟΥΣ ......................................................................................................... 97 4.5 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ ............................................... 99

5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ N ΤΑΞΗΣ .......................... 107

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ..................................................................................................... 107 5.1 ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΙΑΣ Δ. Ε. N ΤΑΞΗΣ ... 107 5.2 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ...................... 109 5.3 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΥ WRONSKI ............................................................................. 110 5.4 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ....................................................... 112 5.5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ....................................................... 112 5.6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΗΣ Δ.Ε. Y′′+A1(X)Y′+A2(X)Y=0 ......... 113 5.7 ΔΙΕΥΚΡΙΝΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. .................................................................. 115 5.8 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ .................................................................................................. 116 5.9 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ N>2 120 5.10 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ............................................................................. 122 5.11 ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ N ΤΑΞΗΣ ...................... 124 5.12 ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ .......................................... 126 5.13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ .................................................................................................................... 128 5.14 ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Ή ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ LAGRANGE ........ 132 5.15 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Δ.Ε. 2ΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ... 137 1) Αρμονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση. ................................................. 137 2) Αρμονική ταλάντωση με απόσβεση. ..................................................... 138 3) Εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση .................................................. 140 4) Εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με απόσβεση ............................ 143 5) Εξισώσεις Lagrange ................................................................................ 149 6) Κύκλωμα RLC .......................................................................................... 150 7) Σκέδαση σωματιδίου σε ένα ορθογώνιο σκαλοπάτι δυναμικού( ....... 152 8) Kίνηση υλικού σημείου σε κεντρικό πεδίο. .......................................... 155 9) Κίνηση ομογενούς ελατηρίου ............................................................... 156

6. Η ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΤΟΥ WRONSKI ΚΑΙ ΟΙ ΧΡΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΣΤΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ΗΣ ΤΑΞΗΣ ....................................................... 159

6.1 ΓΕΝΙΚΑ .................................................................................................. 159 6.2 O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Y=GY ΚΑΙ ΟΙ ΧΡΗΣΕΙΣ ΤΟΥ............................... 163 6.3. Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ......................................... 165 6.4 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ΗΣ ΤΑΞΗΣ .......................................................................................................... 168

7. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ L(D) ....................................... 171

7.1 ΓΕΝΙΚΑ .................................................................................................. 171 7.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ L(D) ...................................... 176 7.3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ .................................................................................... 178

8. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ...... 185

8.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE) .................... 185 8.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE ...................... 189 8.3 Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ................................. 195 8.4 Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ............................................................................................ 198 8.5 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ Δ.Ε. ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE ........................................... 203 8.6 Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΣΕ ΑΣΥΝΕΧΕΙΣ ................................ 211 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ............................................................................................... 211

9 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ............................. 223

9.1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ΗΣ ΤΑΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΟΥ ΤΟΥ 1ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 223 9.2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ N ΤΑΞΗΣ ........................................................... 229 9.3 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ N ΤΑΞΗΣ ..................................... 234 9.4 ΑΚΡΙΒΕΙΣ Ή ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ...... 237 9.5 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ Δ.Ε. 1ΗΣ ΤΑΞΕΩΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ............................ 239 1) ΟΠΤΙΚΗ ................................................................................................... 239 2) ΜΗΧΑΝΙΚΗ - Λογισμός των Μεταβολών ................................................ 242 9.6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ N ΤΑΞΗΣ. ...................................... 245 1) ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Προσδιορισμός του βέλους και της ροπής κάμψης δοκαριού ..................................................................................................... 245 2) ΑΓΩΓΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ .......................................................................... 248 3) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ....................................................................... 249 ΜΗΧΑΝΙΚΗ. 1) Ελεύθερη πτώση από πολύ μεγάλο ύψος ........................ 251

2) Λογισμός των Μεταβολών. Το πρόβλημα του βραχυστοχρόνου με μια διαφορετική προσέγγιση ............................................................................ 252 3) Κίνηση χάντρας σε κυκλοειδή καμπύλη ............................................... 255 4) Κίνηση πλοίου. ....................................................................................... 257 1) Κίνηση πλοίου. ....................................................................................... 259 2) Σχήμα ομογενούς χορδής. ..................................................................... 260

10. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER .................................................................... 263

10.1 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ Δ. Ε. EULER ................................................................... 270 1) ΜΗΧΑΝΙΚΗ ........................................................................................... 270 2) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ α) Το ηλεκτροστατικό δυναμικό σε χώρο χωρίς φορτία. .............................................................................................. 272 β) Δυναμικό διόδου ηλεκτρονικής λυχνίας ................................................ 274 3) ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ................................................................... 276

11. Μ Ε Θ Ο Δ Ο Σ Τ Ω Ν Σ Ε Ι Ρ Ω Ν ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΗ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ............................................................................................................. 281

11.1 ΓΕΝΙΚΑ ................................................................................................ 281 11.2 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ Δ.Ε. Y″(X)+P(X)Y′(X)+Q(X)Y(X)=0 ............................................................................ 283 11.3 H ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ SCHRÖDINGER ΚΑΙ Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΗERMITE...................................................................................................... 299 11.4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ LEGENDRE ........................................................ 305 11.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ LEGENDRE ...................................... 309 11.6 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ FROBENIOUS (1849-1917) .................................. 312 11.7 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ........................................................................................................... 329 Ι) Δ.Ε. BESSEL ............................................................................................ 329 1) ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Περιγραφή μικρών ταλαντώσεων εκκρεμούς με αυξανόμενο μήκος ...................................................................................... 330 2) ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ α) Σφαιρικό πηγάδι δυναμικού ...................... 334 2) ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. β) Κίνηση σωματιδίου μάζας m σε κεντρικό

δυναμικό της μορφής ...................................................... 336 II) Δ.Ε. LEGENDRE ........................................................................................ 339 1) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Εύρεση ηλεκτροστατικού δυναμικού ...... 340 ΙΙΙ Δ.Ε. LAGUERRE ..................................................................................... 343

( )r

oV r V e α−= −

1) ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ............................................................................ 344 IV Δ.Ε. AIRY .............................................................................................. 363 1) KBANTOMHXANIKH. Κίνηση σωματιδίου σε λεία επίπεδη επιφάνεια στο πεδίο βαρύτητας της γης. .................................................................... 366 V ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ Δ.Ε. ......................................................................... 368 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Κίνηση ηλεκτρονίων αγωγιμότητας ενός μετάλλου 368 VI ΣΥΜΒΑΛΛΟΥΣΑ ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ Δ.Ε. .............................................. 374 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Φάσμα ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή ...... 374

12. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ........................................... 379

12.1 ΓΕΝΙΚΑ ............................................................................................... 379 12.2. ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ................................................................................................ 381 12.3 ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. ................................................................. 385 12.4 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ............................................................. 390 12.5 ΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ LAPLACE ...................................................................................................... 409 12.6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ .......................................... 410 ΜΗΧΑΝΙΚΗ. 1) Συνεζευμένοι αρμονικοί ταλαντωτές. ............................... 410 ΜΗΧΑΝΙΚΗ. 2) Το πρόβλημα αναμείξεως δυο δεξαμενών. ...................... 413 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ................................................................................... 414 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Χρονική εξέλιξη των τελεστών της θέσης και της ορμής στην εικόνα Heisenberg στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή 418

13 Η ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ .................................................................................. 421

13.1 ΓΕΝΙΚΑ ............................................................................................... 421 13.2 ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ .................................................................... 421 13.3 ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ ΕΝΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. ......................... 424 13.4 ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. .................... 430 ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ............................................................................ 444

14. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ..................................................................... 447

14.1 ΓΕΝΙΚΑ ............................................................................................... 447 14.2 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ................................................... 448

14.3 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΤΙΜΗΣ ................................................. 448 14.4 ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ .................................................................................................. 449 14.5 ΘΕΩΡΗΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ. .................................................. 450 14.6 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ .................................................. 451 14.7 OΜΟΓΕΝΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ...................... 455 14.8 ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ............................................................... 462 14.9 Ο Ζ-ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ .................................................................. 465 14.10 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ Ζ-ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ........................................ 468 14.11 Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ Ζ-ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ........................................ 468 14.12 ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ Ζ-ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ .................................................................................. 473

15 Η ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΣΤΟ ΧΑΟΣ .................... 477

15.1 ΓΕΝΙΚΑ ............................................................................................... 477 15.2 Η ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ......................................................................... 477 15.3 ΤΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΩΣ. ..................................................... 481

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ............................................... 483

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ................................................................................................ 483 Παράγραφος 1.2 ......................................................................................... 483 Παράγραφος 1.4 ......................................................................................... 484



Παράγραφος 3.1 ......................................................................................... 489 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ..................................................................... 490 Παράγραφος 3.2 ......................................................................................... 502 Παράγραφος 3.2Α ....................................................................................... 514 Παράγραφος 3.3 ......................................................................................... 516 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ..................................................................... 524 Παράγραφος 3.4 ......................................................................................... 529 Παράγραφος 3.5 ......................................................................................... 536 Παράγραφος 3.6 ......................................................................................... 545

Παράγραφος 3.7 ......................................................................................... 551 Παράγραφος 3.9 ......................................................................................... 553 Παράγραφος 3.10 ....................................................................................... 555


Παράγραφος 4.4 ......................................................................................... 557


Παράγραφος 5.1 ......................................................................................... 569 Παράγραφος 5.3 ......................................................................................... 570 Παράγραφος 5.5 ......................................................................................... 571 Παράγραφος 5.8 ......................................................................................... 572 Παράγραφος 5.9 ......................................................................................... 577 Παράγραφος 5.10 ....................................................................................... 584 Παράγραφος 5.13 ....................................................................................... 585 Παράγραφος 5.14 ....................................................................................... 602


Παράγραφος 8.6 ......................................................................................... 609

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 10ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ............................................. 623

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 .............................................................................................. 623


Παράγραφος 11.6 ....................................................................................... 629


Παράγραφος 12.3 ....................................................................................... 637


Παράγραφος 14.7 ....................................................................................... 645 Παράγραφος 14.8 ....................................................................................... 667 Παράγραφος 14.9 ....................................................................................... 669 Παράγραφος 14.11 ..................................................................................... 670 Παράγραφος 14.12 ..................................................................................... 673

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ..................................................................................... 717

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΝΤΟΛΕΣ ΤΟΥ MAPLE.......................................................... 717

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ..................................................................................... 737

ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΟ MAPLE ............................ 737 B.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΤΟ MAPLE ....................................... 737 B.2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ......................................................... 739 B.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ................................................. 740 B.4 ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ................................................ 741 Β.6 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ (Π.Α.Τ) .................................... 742 Β.7 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΕΝΟΣ Π.Α.Τ. ................................................................. 744 Β.8 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΟΣ Π.Α.Τ..................................................................... 748 Β.9 ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΤΟΛΗΣ ODEADVISOR ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΑΣ Σ.Δ.Ε. .............. 750

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ ...................................................................................... 753

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ .......................................... 753 Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ........................................................ 753 Γ.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΙΧΜΗΣ ΚΑΙ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΔΕΛΤΑ Δ(X) ΤΟΥ DIRAC. ...... 753 Γ.2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΠΡΟΣΕΓΓΙΖΟΥΝ ΤΗΝ Δ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ............................................................. 755 Γ.3 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Δ-ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ............................................................. 758 Γ-4 ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ................................................................. 760 Γ-5 ΔΙΑΦΟΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ....................... 767 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ........................................................................................... 767 Γ-6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ................... 770

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ ..................................................................................... 773

Δ-1 O ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE (THE COMPLEX INVERSION FORMULA) .................................................................................................. 773 Δ-2 ΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ BROMWICH ............................................................. 773 Δ-3 ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE. .................................... 774 Δ-4 ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑΤΟΣ BROMWICH ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΩΣ. ......................................................................... 775

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε ...................................................................................... 779

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ GREEN ............................................................................. 779 Ε.1 ΓΕΝΙΚΑ .................................................................................................. 779 E.2 ΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΕΠΙΛΥΣΕΩΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ......... 781 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ............................................................................................ 783

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο κύριος σκοπός της Επιστήμης είναι η κατανόηση της Φύσης, (με την πλατιά της έννοια), μέσα στην οποία ζούμε. Και η κατανόηση αυτή μπορεί να επιτευχθεί με την μελέτη των διαφόρων φαινομένων, (φυσικών, κοινωνικών, οικονομικών,...). Στη μελέτη αυτή πρωταρχικό ρόλο έχουν τα Μαθηματικά.

Από αρχαιοτάτων χρόνων είχε γίνει αντιληπτό ότι τίποτα δεν παραμένει σταθερό, όλα αλληλένδετα μεταβάλλονται, όπως επιγραμματικά μας το εκφράζει το γνωστό ρητό του Ηράκλειτου (544-484 π.Χ.), "Πάντα ρει, πάντα χωρεί καί ουδέν μένει", ( Όλα ρέουν και αλλάζουν και τίποτα δεν παραμένει σταθερό).

Η ταχύτητα ενός σώματος, που πέφτει υπό την επίδραση της βαρύτητας αλλάζει με το χρόνο. Η αεροδυναμική αντίσταση ενός σώματος αυξάνεται με την ταχύτητα. Η θέση της Γης, όπως και των άλλων πλανητών, αλλάζει με το χρόνο σε σχέση με τον Ήλιο. Το κύρτωμα μιας δοκού εξαρτάται από το βάρος, που την καταπονεί. Ο όγκος μιας σφαίρας μεταβάλλεται με την ακτίνα του.

Επειδή όμως τα περισσότερα φαινόμενα είναι αρκετά πολύπλοκα, είναι πρακτικά αδύνατο να θεμελιωθούν και να περιγραφούν πλήρως με μαθηματικό τρόπο. Γι' αυτό προσπαθούμε να προσεγγίσουμε την πραγματικότητα με μαθηματικά πρότυπα, (μοντέλα), κάνοντας ορισμένες υποθέσεις που απλοποιούν τα φαινόμενα και τους νόμους που τα διέπουν. Οι απλοποιήσεις αυτές ανάγονται συνήθως στην παράλειψη ορισμένων στοιχείων, που πιστεύουμε ότι επιδρούν λίγο, ή και καθόλου, στην εξέλιξη του φαινομένου. Η δημιουργία του μαθηματικού προτύπου γίνεται με μια μαθηματικοποίηση των αντιστοίχων νόμων που, επειδή συνήθως περιέχουν ρυθμούς μεταβολής ενός μεγέθους, (ποσοτικά άγνωστου), εκφράζονται με παραγώγους του άγνωστου αυτού μεγέθους. Κατ' αυτό τον τρόπο το μαθηματικό πρότυπο παίρνει τη μορφή μιας συναρτησιακής σχέσης που περιέχει μια άγνωστη συνάρτηση και ορισμένες παραγώγους της. Η συναρτησιακή αυτή σχέση ονομάζεται Διαφορική Εξίσωση, (Δ.Ε.).

Στη συνέχεια ο σκοπός μας είναι να μελετήσουμε τις μαθηματικές ιδιότητες του προτύπου με την ανάλυση της αντίστοιχης Διαφορικής Εξίσωσης και, αν είναι δυνατόν, με τον υπολογισμό των λύσεων αυτής, έτσι ώστε να είμαστε σε θέση να εξηγήσουμε την συμπεριφορά των φυσικών συστημάτων, που παρατηρούμε, και να προβλέψουμε την συμπεριφορά νέων φυσικών φαινομένων. Το μέρος αυτό της μελέτης αποτελεί τον τεράστιο κλάδο των σύγχρονων μαθηματικών που καλύπτει ο όρος "Διαφορικές Εξισώσεις". Σε πιο πολύπλοκα φαινόμενα, δεν χρησιμοποιούμε μόνο μια διαφορική εξίσωση, αλλά ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων, όπως στην περίπτωση ενός ηλεκτρικού δικτύου πολλών κυκλωμάτων ή σε μια χημική αντίδραση όπου αλληλεπιδρούν πολλές χημικές ουσίες.

2 ♦ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο τρόπος, με τον οποίον οι επιστήμονες χρησιμοποιούν τις διαφορικές εξισώσεις, για την κατανόηση των φυσικών φαινομένων, χαρακτηρίζεται από τρία βήματα. α) Στο πρώτο βήμα συλλέγουμε δεδομένα που αφορούν το πρόβλημά μας. β) Το δεύτερο βήμα, που ονομάζεται διαδικασία δημιουργίας του προτύπου, απαιτεί γενικά μεγάλη επιδεξιότητα και εμπειρία. Εδώ πρέπει να ορίσουμε το μαθηματικό πρότυπο, (που συχνά περιέχει μια διαφορική εξίσωση), το οποίο περιγράφει το πραγματικό φαινόμενο, όσο το δυνατόν ακριβέστερα. Συγχρόνως όμως πρέπει το μαθηματικό αυτό πρότυπο να είναι διατυπωμένο κατά τέτοιον τρόπο, που να μπορούν να εφαρμοστούν οι γνωστές μαθηματικές μέθοδοι. γ) Στο τρίτο και τελευταίο βήμα πρέπει να λύσουμε το μαθηματικό πρόβλημα, δηλ. να ασχοληθούμε με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης, και να συγκρίνουμε την λύση αυτή με τις πειραματικές μετρήσεις.

Εάν η μαθηματική λύση συμφωνεί με τις παρατηρήσεις, τότε λέμε ότι το φυσικό πρόβλημα έχει λυθεί μαθηματικά ή ότι η θεωρία έχει επαληθευθεί. Στην αντίθετη περίπτωση δυο πράγματα μπορούν να συμβαίνουν: ή οι παρατηρήσεις είναι εσφαλμένες, ή το πρότυπο είναι ανακριβές και θα πρέπει να τροποποιηθεί. Για την τελευταία περίπτωση κλασικό παράδειγμα αποτελεί το "πρότυπο", του νόμου της κίνησης, που περιγράφεται από την εξίσωση του Newton. Ο νόμος αυτός είναι ακριβής για μικρές ταχύτητες σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός. Αλλά για μεγάλες ταχύτητες ο νόμος του Einstein είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα.

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται μια απλή και σαφής σχέση μεταξύ των μαθηματικών μοντέλων και της πραγματικότητας.

Εκτός από τη Διαφορική Εξίσωση, ένα μαθηματικό πρότυπο, περιέχει

βοηθητικές συνθήκες που επιβάλλονται από το συγκεκριμένο πρόβλημα και κατά συνέπεια απαιτούνται από τις λύσεις της Διαφορικής Εξίσωσης.

Ο συνηθέστερος τύπος βοηθητικών συνθηκών δίνεται με τον καθορισμό της τιμής της άγνωστης συνάρτησης, ή και παραγώγων αυτής, σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της λύσης. Οι συνθήκες αυτού του τύπου ονομάζονται

“Νόμοι” Τεχνικές

Σύγκριση ΠροβλέψειςΦυσική

πραγματικότητα

Φυσική προσέγγιση

Δεδομένα

Μαθηματικά πρότυπα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ♦ 3

αρχικές συνθήκες. Αν οι βοηθητικές συνθήκες δίνονται σε περισσότερα από ένα σημεία του πεδίου ορισμού της λύσης, τότε λέγονται συνοριακές συνθήκες.

Για να κατανοηθεί καλύτερα ο ρόλος των βοηθητικών συνθηκών ας θεωρήσουμε ένα παράδειγμα από τη Φυσική. Αν μια Διαφορική Εξίσωση περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο συμπεριφέρεται κάποιο φυσικό μέγεθος, τότε οι αρχικές συνθήκες μεταφέρουν τις πληροφορίες σχετικά με τις τιμές του φυσικού μεγέθους κατά το παρελθόν, και οι συνοριακές συνθήκες εκφράζουν την επίδραση του περιβάλλοντος επάνω στο φυσικό μέγεθος κατά την εξέλιξη του φαινομένου.

Τέλος θα πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι τελικός σκοπός δεν είναι μόνο να βρούμε την λύση μιας διαφορικής εξίσωσης, (όταν αυτό είναι εφικτό), αλλά και να είμαστε σε θέση να ερμηνεύσουμε την λύση αυτή.

ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ο κλάδος των μαθηματικών που περισσότερο

ίσως από κάθε άλλον οφείλει την γέννηση του στην Μηχανική, στην Αστρονομία και στη Θεωρητική Φυσική. Αρχίζουν δε να κάνουν την εμφάνισή τους από την εποχή του Newton (1642-1727) και του Leibniz (1646-1716). Ο Newton είναι ο πρώτος που χρησιμοποίησε διαφορική εξίσωση για την κίνηση των σωμάτων περιοριζόμενος στις απλές μορφές:

( ) ( )( ), , ,dy dy dyf x f y f x ydx dx dx

= = =

O Leibniz προχώρησε λίγο παραπέρα αναπτύσσοντας τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών, των ομογενών πρώτης τάξης και των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Στον Leibniz όμως οφείλονται οι συμβολισμοί της παραγώγου dy/dx και του ολοκληρώματος ( )f x dx∫ .

Μετά τους Newton και Leibniz, τον 18ον αιώνα, σημαντικοί μαθηματικοί, όπως οι Jacob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), Clai-raut (1713-1765), Riccati (1676-1754), ασχολήθηκαν με τις εκφράσεις των λύσεων διαφορικών εξισώσεων και μερικές διαφορικές εξισώσεις έχουν πάρει το όνομά τους.

Την ίδια περίοδο, ένας πολύ σπουδαίος μαθηματικός, ο Euler (1707- 1783), ασχολήθηκε με τη διατύπωση προβλημάτων της Μηχανικής στη μαθηματική γλώσσα των διαφορικών εξισώσεων και την ανάπτυξη μεθόδων για τη λύση τους.

Αργότερα οι μεγάλοι Γάλλοι μαθηματικοί Cauchy (1789-1857), Lagrange (1736-1813), και Laplace (1749-1827), έκαναν σημαντικές εργασίες στις διαφορικές εξισώσεις και οι δυο τελευταίοι έδωσαν την πρώτη επιστημονική εργασία πάνω στις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους.

4 ♦ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ενώ, κατά τον 17ον και 18ον αιώνα, δόθηκε έμφαση στην επίλυση δια-φόρων μορφών διαφορικών εξισώσεων, αναζητώντας εκφράσεις για τις λύσεις τους, κατά τη διάρκεια του τελευταίου τέταρτου του 19ου αιώνα, η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων πήρε ριζικά διαφορετικό δρόμο.

Ο Peano (1858-1932), το 1890, χρησιμοποιώντας την πολυγωνική μέθοδο των Euler και Cauchy, έδωσε μια αυστηρή απόδειξη του θεωρήματος ύπαρξης λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης. Την ίδια περίοδο ο Lipschitz (1832-1903), το 1876, και ο Picard (1856-1941), το 1890 απέδειξαν πως η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων δίνει συγχρόνως μια απόδειξη για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων του προβλήματος της αρχικής τιμής ή, όπως αλλιώς λέγεται, του προβλήματος του Cauchy.

Το ίδιο χρονικό διάστημα, με τις έρευνες του Poincare (1854-1912), το 1881, και του Liapunov (1857-1918) το 1892, άνοιγε ένας καινούργιος δρόμος στις διαφορικές εξισώσεις, η μελέτη της ποιοτικής συμπεριφοράς των λύσεων. Εδώ υποτίθεται η ύπαρξη των λύσεων και η προσπάθεια γίνεται στον προσδιορισμό των τοπολογικών ιδιοτήτων του χώρου των φάσεων και της συμπεριφοράς των λύσεων όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο.

Στη συνέχεια, στο πρώτο μισό του 20ου αιώνα, έγιναν μεγάλες πρόοδοι στην ποιοτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων από σπουδαίους μαθηματικούς, όπως ο Birkhoff (1884-1944) και ο Lefschetz (1884-1972). Τα τελευταία χρόνια πολλοί αξιόλογοι, σύγχρονοι, μαθηματικοί, όπως οι Cesari, Hale, Lasalle (1916-1983), Arnold, Yoshizawa, Sell, με τις εργασίες τους συνέβαλαν σημαντικά στην ποιοτική ανάπτυξη της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων.

Σήμερα οι διαφορικές εξισώσεις αποτελούν ένα σημαντικό και ευρύ κλάδο της Μαθηματικής Ανάλυσης.

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ

Διαφορική εξίσωση, (Δ.Ε), ονομάζεται μια εξίσωση που περιέχει πα-ραγώγους μιας άγνωστης συνάρτησης.

Παραδείγματα: Οι παρακάτω εξισώσεις (1)-(7) είναι διαφορικές εξι-σώσεις, επειδή: οι εξισώσεις (1), (2), (4), (6), και (7) περιέχουν παραγώγους της συνάρτησης y(x). Οι εξισώσεις (3) και (5) περιέχουν παραγώγους της συνάρτησης Ψ, (που είναι συνάρτηση περισσοτέρων της μιας μεταβλητών).

=dy ydx

(1) 2

2 4 cosd y dy y xdx dx

+ + =

(2)

2 2 2

2 2 2 0x y zΨ Ψ Ψ

+ + =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

(3) 2

2dy y xdx

⎡ ⎤ + =⎢ ⎥⎣ ⎦ (4)

2 2

2 2

1x c t

∂ ∂∂ ∂

Ψ Ψ= (5)

232

3 3 0d y dy ydx dx

⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥

⎣ ⎦ (6)

22

2(sin ) 1d y dyydx dx

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦ (7)

Οι διαφορικές εξισώσεις διακρίνονται σε: α) "Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις", (Σ.Δ.Ε), στις οποίες η άγνωστη

συνάρτηση y είναι συνάρτηση μιας μόνο ανεξάρτητης μεταβλητής, (όπως στα παραπάνω παραδείγματα (1), (2), (4), (6), (7)

β) "Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους", (Μ.Δ.Ε), στις ο-ποίες η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση δυο ή περισσοτέρων ανεξαρ-τήτων μεταβλητών, όπως στα παραδείγματα (3) και (5).

Τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται η μεγαλύτερη τάξη παραγώ-γου που εμφανίζεται στην εξίσωση. Π.χ. οι παραπάνω διαφορικές εξισώσεις είναι αντίστοιχα 1ης, 2ης, 2ης, 1ης, 2ης, 3ης και 2ης τάξης.

Βαθμός διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται η δύναμη στην οποία είναι υψωμένη η παράγωγος της μεγαλύτερης τάξης, όταν και τα δυο μέλη της διαφορικής εξίσωσης γραφούν σαν πολυώνυμα της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων της, (δηλαδή αφού γίνει απαλοιφή τυχόν δυνάμεων).

6 ♦ ΚΑΦΑΛΑΙΟ 1

Π.χ. οι παραπάνω διαφορικές εξισώσεις (1)-(6) είναι αντίστοιχα 1ου, 1ου, 1ου, 2ου, 1ου και 4ου βαθμού. Ο βαθμός της διαφορικής εξίσωσης (7) δεν ορίζεται, επειδή το αριστερό μέλος της εξίσωσης αυτής, (λόγω της παρουσί-ας του siny), δεν μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή πολυωνύμου ως προς την άγνωστη συνάρτηση και τις παραγώγους της.

Συχνά μια διαφορική εξίσωση είναι γραμμένη υπό διαφορική μορφή. Αυτό σημαίνει ότι δεν περιέχει παραγώγους, (ή δεν περιέχει μόνο παραγώ-γους), της άγνωστης συνάρτησης αλλά διαφορικά αυτής. Π.χ. η Δ.Ε. y2dy+dy=dx είναι γραμμένη υπό διαφορική μορφή. Αυτή η Δ.Ε. είναι ισοδύ-ναμη προς την y2dy/dx+dy/dx=1 δηλαδή είναι μια Δ.Ε. τάξης 1 και βαθμού 1

Η μεγάλη σημασία των Δ.Ε. για την Φυσική οφείλεται στο γεγονός ότι σε πολλά επιστημονικά προβλήματα ζητείται να προσδιοριστεί ένα μέγεθος από κάποιες πληροφορίες που δίνονται για το συντελεστή(1, (ή τους συντε-λεστές), μεταβολής του μεγέθους αυτού συναρτήσει κάποιου άλλου μεγέθο-υς, (η διαφόρων άλλων μεγεθών). Π.χ. μπορεί να ζητείται η εκάστοτε θέση ενός κινητού αν είναι γνωστή η ταχύτητα ή η επιτάχυνση του, ή μπορεί να θέλουμε να προσδιορίσουμε π.χ. το δυναμικό V=V(x,y,z) ενός ηλεκτρομαγ-νητικού πεδίου ξέροντας τις μερικές παραγώγους ∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/z, (δηλα-δή τους συντελεστές μεταβολής του V συναρτήσει των x, y, z). Οι πληροφο-ρίες που δίνονται για τους συντελεστές μεταβολής του ζητουμένου μεγέθο-υς, συνήθως μπορούν να εκφραστούν με μια εξίσωση που περιέχει παρα-γώγους του μεγέθους αυτού. Αυτό σημαίνει ότι από μαθηματική άποψη, τα προβλήματα αυτά ανάγονται σε μια "Διαφορική Εξίσωση".

Άσκηση: Για κάθε μια από τις παρακάτω Δ.Ε. να εξετάσετε αν είναι συ-

νήθης ή με μερικές παραγώγους και να βρείτε την τάξη της και το βαθμό της.

1. 34

24

d y dy ydx dx

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦ 5.

4 2 4

4 42z z zx x y y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

+ =

2. sin 0y y x′ + + = 6. 21dy y dx= − .

(1 Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα μέγεθος μ είναι συνάρτηση κάποιου άλλου μεγέθο-

υς λ, δηλ. αν μ=μ(λ), τότε η παράγωγος dμ/dλ δίνει τον “συντελεστή μεταβολής” του μ συναρτήσει του λ, δηλαδή δίνει το μέτρο του “πόσο γρήγορα” μεταβάλλεται το μ όταν μεταβληθεί το λ. (Όσο μεγαλύτερη είναι η παράγωγος dμ/dλ τόσο μεγαλύτερη είναι η μεταβολή Δμ≅dμ που αντιστοιχεί σε μεταβολή του λ κατά dλ και επομένως τόσο πιο γρήγορα μεταβάλλεται το μ συναρτήσει του λ. Εάν η παράγωγος dμ/dλ>0 έχουμε αύξηση του μεγέθους μ και εάν dμ/dλ<0 έχουμε μείωση). Αν το μ είναι συ-νάρτηση διαφόρων μεγεθών, δηλαδή αν μ=μ(λ1, λ2, ⋅⋅⋅, λn), τότε οι μερικές παράγω-γοι ∂μ/∂λ1 , ∂μ/∂λ2 , ⋅⋅⋅, ∂μ/∂λn δίνουν αντίστοιχα το μέτρο του πόσο γρήγορα μετα-βάλλεται το μ όταν μεταβληθούν τα λ1, λ2, ⋅⋅⋅, λn, δηλαδή δίνουν τους συντελεστές μεταβολής του μ συναρτήσει των λ1, λ2, ⋅⋅⋅, λn .

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ♦ 7

3. 2 siny x y xy x′′+ + = 7. 2 2

22 2

z z zt x y

∂ ∂ ∂α∂ ∂ ∂

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ 4. y y y′′ ′+ = 8. y y y′ ′′+ = Απαντήσεις 1. Συνήθης, τάξης 4ης, βαθμού 1ου. 2. Συνήθης, τάξης 1ης, ο βαθμός δεν ορίζεται. 3. Συνήθης, τάξης 2ης, βαθμού 1ου. 4. Συνήθης, τάξης 2ης, βαθμού 2ου. 5. Με μερικές παραγώγους τάξης 4ης, βαθμού 1ου. 6. Συνήθης, τάξης 1ης, βαθμού 2ου. 7. Με μερικές παραγώγους τάξης 2ης, βαθμού 1ου. 8. Συνήθης, τάξης 2ης, βαθμού 2ου.

1.2 ΛΥΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ.

"Επίλυση ή ολοκλήρωση" μιας Δ.Ε. ονομάζεται η εύρεση της άγνωστης συνάρτησης της οποίας κάποιες παράγωγοι εμφανίζονται στη Δ.Ε. Η συνάρ-τηση αυτή ονομάζεται ″λύση ή ολοκλήρωμα″ της Δ.Ε. Μια λύση κάποιας Δ.Ε. ικανοποιεί "εκ ταυτότητος" τη Δ.Ε., δηλ. την ικανοποιεί για κάθε x(2.

Παράδειγμα: Η Δ.Ε. 2

2 0xy xy e−′+ − = (1)

έχει λύση τη: 2xxey −= (2)

Aν αντικαταστήσουμε τη συνάρτηση αυτή στη Δ.Ε. (1) παίρνουμε:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 222 2 2 0x x x x x x xxe x xe e e x e x xe e− − − − − − −′+ − = − + − =

Η ισότητα αυτή ισχύει για κάθε x. Μια Δ.Ε. έχει άπειρες λύσεις. Π.χ. για την (1) κάθε συνάρτηση της μορ-

φής:

2

)( xecxy −+= (3) όπου c αυθαίρετη σταθερά, είναι λύση. (Πραγματικά, αντικαθιστώντας την (3) στην (1), παρατηρούμε ότι η (3) επαληθεύει την (1) για κάθε x). Η (3) ονομάζεται "γενική λύση" της (1). Από τη γενική λύση, δίνοντας συγκεκ-ριμένες τιμές στη σταθερά, παίρνουμε διάφορες λύσεις οι οποίες, κατά αντιδιαστολή προς τη γενική λύση, ονομάζονται "μερικές λύσεις". Π.χ. από τη γενική λύση (3), για c=0, παίρνουμε τη μερική λύση (2). Στα επό-

(2 Εδώ και στα επόμενα η έκφραση ″για κάθε x″ σημαίνει ″για κάθε x∈I″ όπου Ι

κάποιο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών.


μενα, όταν αναφερόμαστε σε μια "λύση" κάποιας Δ.Ε. χωρίς να διευκρινί-ζουμε αν πρόκειται για μια μερική λύση ή για τη γενική λύση, θα εννοού-με μια μερική λύση της Δ.Ε.

Η γενική λύση μιας Δ.Ε. πρώτης τάξης έχει τη μορφή: ( , )y x cϕ= (4)

ή ( , , ) 0x y cΦ = (5) Aν η πεπλεγμένη μορφή (5) μπορεί να λυθεί ως προς y, τότε λύνοντας

την, παίρνουμε την (4). Γενικά, αποδεικνύεται ότι: α) Η γενική λύση μιας Δ.Ε. τάξης n περιέχει n σταθερές. β) Μια συνάρτηση που περιέχει n σταθερές και επαληθεύει εκ ταυ-

τότητος μια Δ.Ε. τάξης n είναι η γενική λύση αυτής της Δ.Ε. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η γενική λύση μιας Δ.Ε. τάξης n έχει τη

μορφή: 1 2 n( , , , , )y x c c cϕ= (6)

ή την πεπλεγμένη μορφή: 1 2 n( , , , , , ) 0x y c c cΦ = (7) Δίνοντας διάφορες τιμές στα c1, c2, ⋅⋅⋅, cn παίρνουμε από την (6) ή την

(7) διάφορες μερικές λύσεις της Δ.Ε. Άσκηση Να επαληθεύσετε ότι, για τις παρακάτω Δ.Ε., οι συναρτήσεις

που δίνονται είναι οι γενικές λύσεις. 1. y y′ = xy ce=

2. 1x yy e −′ = − 2 0y x xe e ce−− − =

3. 0y y′′ + = 1 2sin cosy c x c x= +

4. 0y y′′ − = 1 2sinh coshy c x c x= +

1.3 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΜΙΑΣ Δ.Ε

Οι γραφικές παραστάσεις των μερικών λύσεων ( )y xϕ= μιας Δ.Ε. ονομάζονται ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε. Είναι φανερό από τα προ-ηγούμενα ότι η γενική λύση μιας Δ.Ε. 1ης τάξης, δηλαδή ( , , ) 0x y cΦ = , η οποία περιέχει μια παράμετρο c, παριστάνει μια μονοπαραμετρική οικογένε-ια καμπύλων: των ολοκληρωτικών καμπύλων της Δ.Ε. 1ης τάξης.

Γενικότερα η λύση μιας Δ.Ε. τάξης n, δηλαδή η:

1 2( , , , , , ) 0nx y c c cΦ = ,

η οποία περιέχει n παραμέτρους 1 2, , , nc c c παριστάνει μια n-παραμετρική οικογένεια καμπύλων: των ολοκληρωτικών καμπύλων της Δ.Ε. τάξης n.


1.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΜΙΑΣ Δ.Ε. 1ης ΤΑΞΗΣ

Έστω μία Δ.Ε. 1ης τάξης που μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή: ( , )y f x y′ = (1) Γεωμετρικά η (1) σημαίνει ότι σε κάθε σημείο (x, y) η κλίση dy/dx της

λύσης έχει την τιμή f(x,y). Το γεγονός αυτό μπορούμε να το παραστήσουμε γραφικά εάν φέρουμε ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα, που ονομάζεται διευ-θύνον στοιχείο, από το σημείο (x,y) με κλίση f(x,y). Ένα σύνολο τέτοιων διευθυνόντων στοιχείων σε διάφορα σημεία του επιπέδου ονομάζεται διευ-θύνον πεδίο, (ή πεδίο διευθύνσεων), της διαφορικής εξίσωσης. Αν και ένα διευθύνον πεδίο δεν παρέχει μια αναλυτική λύση ή ένα τύπο για την Δ.Ε., μας δίνει όμως ποιοτικές πληροφορίες για το σχήμα και την συμπεριφορά της λύσης. Π.χ. το διευθύνον πεδίο της Δ.Ε. y′=1+xy φαίνεται στο παρακά-τω σχήμα:

Το διευθύνον πεδίο της Δ.Ε. 1y xy′ = +

Σαν αριθμητική λύση μιας Δ.Ε. 1ης τάξης με αρχικές συνθήκες, εννοο-ύμε ένα σύνολο τιμών (xi, yi), (υπό μορφή πίνακα ή γραφικής παράστασης των σημείων (xi, yi)), που προσεγγίζει την λύση της Δ.Ε. και διέρχεται από το σημείο των αρχικών συνθηκών.

Μία από τις πιο απλές προσεγγιστικές μεθόδους για την εύρεση της μερι-κής λύσης μιας Δ.Ε. 1ης τάξης, που διέρχεται από το σημείο (x0, y0), είναι η μέθοδος του Euler, η οποία αποτελείται από τα εξής βήματα:

1. Στο σημείο Σ0, με συντεταγμένες ( )0 0,x y υπολογίζουμε την

( )0 0,y f x y′ = . O αριθμός ( )0 0,f x y καθορίζει τη διεύθυνση της καμπύλης

( )y y x= στο σημείο ( )0 0,x y .

2. Η εξίσωση της εφαπτομένης της λύσης στο σημείο (x0,y0) είναι:

( ) ( )0 0 0 0,y y x x f x y= + −

x


Υπολογίζουμε την τιμή της γραμμικής αυτής συνάρτησης για

1 0x x x h= = + όπου h θετική σταθερά(3:

( )1 0 0 0,y y hf x y= +

3. Επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία στο σημείο ( )1 1,x y και η εξίσωση της αντίστοιχης εφαπτομένης της ζητούμενης λύσης είναι:

( ) ( )1 1 1 1,y y x x f x y= + − Υπολογίζουμε την τιμή του y για 2 1x x x h= = + και έχουμε:

( )2 1 1 1,y y hf x y= + 4. Συνεχίζοντας την διαδικασία αυτή προκύπτει η ακολουθία των σημε-

ίων ( )1 1,n nx y+ + όπου:

( )1 1, ,n n n n n nx x h y y hf x y+ += + = +

5. Ενώνοντας τα σημεία ( ),n nx y n=0, 1, 2, ... με ευθύγραμμα τμήματα,

παίρνουμε προσεγγιστικά την μερική λύση της Δ.Ε. ( ),y f x y′ = , που αν-τιστοιχεί στην αρχική συνθήκη (x0,y0).

Ασκήσεις: Χρησιμοποιώντας την μέθοδο του Euler να βρείτε προσεγγισ-

τικά με βήμα h την μερική λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη y0=y(x0) για τις παρακάτω Δ.Ε.:

(3 Το h ονομάζεται βήμα και όσο πιο μικρή είναι η τιμή του τόσο πιο ακριβής θα

είναι η προσεγγιστική λύση που θα βρεθεί. Αποδεικνύεται ότι το σφάλμα, δηλαδή η διαφορά της πραγματικής τιμής από την προσεγγιστική:

( ) ( )n n ny x y x− είναι ανάλογη

του βήματος h.

O

x

y

Σ0

Σ1 Σ2 Σ3

Σ4

x0 x1 x2 x3 x4

h


1) y′ =x-y y(0)=1 h=0,5 2) y′ =3x2-y y(0)=1 h=0,1 3) y′ =x+ex y(0)=0 h=0,2

1.5 ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΜΙΑΣ Δ.Ε.

Ο αντικειμενικός σκοπός της μελέτης των Δ. Ε. δεν είναι μόνο η εύρεση των λύσεων, όταν αυτό είναι δυνατό, αλλά και η μελέτη της ποιοτικής συμπεριφοράς των λύσεων. Με το παρακάτω απλό παράδειγμα θα δούμε τι σημαίνει "ποιοτική συμπεριφορά των λύσεων". Η Δ.Ε.: dy y

dx= α (1)

είναι μια από τις απλούστερες Δ.Ε. με λύση:

( ) xy x ceα= (2)

Η σταθερά c, που εμφανίζεται στη λύση, καθορίζεται πλήρως από την αρχική συνθήκη. Π.χ. εάν θέλουμε για x=x0 η λύση y(x) να παίρνει την τιμή y(x0)=y0, τότε από την (2) έχουμε για x=x0:

00

xy ceα= ⇒ 00

xc y e α−=

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε x0=0, οπότε c=y0 και η λύση:

0( ) xy x y eα=

είναι εκείνη που διέρχεται από το σημείο (0,y0). H σταθερά α της Δ.Ε. y yα′ = μπορεί να θεωρηθεί σαν παράμετρος και

όταν μεταβάλλεται προφανώς μεταβάλλονται και οι λύσεις. Το ερώτημα εδώ είναι πως μπορούμε να περιγράψουμε ποιοτικά την αλλαγή αυτή των λύσε-ων. Το πρόσημο της παραμέτρου α, θα δούμε ότι παίζει αποφασιστικό ρόλο. Πράγματι:

1) Εάν α>0 τότε όταν 0lim ( ) lim

- όταν < 0x

x x

cy x ce

cα

→ ∞ → ∞

∞ >⎧= = ⎨ ∞⎩

2) Εάν α=0 τότε ( ) σταθεράy x c= =

3) Εάν α<0 τότε ( ) lim 0x

xy x ceα

→ ∞= =

Η ποιοτική συμπεριφορά των λύσεων φαίνεται καθαρά στις παρακάτω

γραφικές παραστάσεις:


Έτσι εάν επιζητούμε λύσεις που απειρίζονται δεν έχουμε παρά να διαλέ-ξουμε την παράμετρο α να είναι θετική, για σταθερές λύσεις διαλέγουμε α=0 και τέλος για λύσεις που ασυμπτωτικά μηδενίζονται, διαλέγουμε α<0. Ένα άλλο χαρακτηριστικό, που έχει η Δ.Ε. y′=αy είναι η ευστάθεια των λύσεων για α≠0. Πιο συγκεκριμένα, εάν η παράμετρος α αντικατασταθεί από μια άλλη σταθερά β, η οποία να βρίσκεται πολύ κοντά στην α, δηλ. |α-β|<ε με ε πολύ μικρό, τότε η β έχει το ίδιο πρόσημο με την α και οι λύσεις, που αντιστοιχούν στις παραμέτρους α και β, δηλ. οι y=ceαx και y=ceβx έχουν την ίδια ποιοτική συμπεριφορά. Εάν όμως α=0, Σχ.2, τότε η παραμικρότερη μεταβολή στη τιμή του α, οδηγεί στην περίπτωση του Σχ.1 ή του Σχ.3, δηλ. σε ριζική αλλαγή στην συμπεριφορά των λύσεων. Το σημείο α=0 ονομάζε-ται σημείο διακλαδώσεως, (bifurcation point), της Δ.Ε. y′=αy

Σχ. 1

Σχ. 2

Σχ. 3

cO0

c!0

x4 2 0 2 4

4

2

2

4

aO0

cO0

c!0

x4 2 0 2 4

4

2

2

4

a=0

cO0

c!0

x4 2 0 2 4

4

2

2

4

a!0

2. ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΙΑΣ Δ.Ε. 1ης ΤΑΞΗΣ

Σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών θα συναντήσει κανείς θεωρήμα-τα "ύπαρξης και μοναδικότητας". Τα θεωρήματα αυτά μας λένε κάτω από ποιές προϋποθέσεις ένα πρόβλημα, (όπως η λύση μιας διαφορικής εξίσω-σης), έχει λύση και αυτή η λύση είναι μοναδική. Δυστυχώς πολλές φορές τα θεωρήματα αυτά δεν μας δίνουν και την λύση. Παρ' όλα αυτά η αξία τους είναι μεγάλη. Ένα θεώρημα ύπαρξης μας διαβεβαιώνει ότι υπάρχει λύση, που πρέπει να ψάξουμε να τη βρούμε. Θα ήταν άσκοπο να σπαταλήσουμε χρόνο και προσπάθεια για να βρούμε μια λύση, όταν στην πραγματικότητα δεν υπάρχει. Επίσης το σκέλος του θεωρήματος που αφορά την μοναδικότη-τα, μας διαβεβαιώνει ότι η λύση που υπάρχει είναι μοναδική και μας προφυ-λάσσει από τον κίνδυνο να ασχοληθούμε με μια λύση, που αργότερα θα διαπιστώσουμε ότι δεν είναι αυτή που θέλαμε.

Για τις Δ.Ε. 1ης τάξης ( , )y f x y′ = μπορούμε να θέσουμε το παρακάτω ερώτημα, που θα μας οδηγήσει στο σχετικό θεώρημα ύπαρξης και μοναδι-κότητας.

Ερώτημα: Ποιές συνθήκες πρέπει να πληροί η Δ.Ε.: ( , )y f x y′ = (1)

ουσιαστικά η συνάρτηση ( , )f x y , ώστε να υπάρχει λύση που να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη:

0 0( )y y x= (2)

Η απάντηση δίνεται από το εξής θεώρημα: Θεώρημα: Αν η συνάρτηση ( , )f x y είναι συνεχής και η μερική παρά-

γωγος ( , ) /f x y y∂ ∂ φραγμένη(4 σε μια περιοχή του σημείου (x0, y0), τότε το πρόβλημα των αρχικών τιμών, (Π.Α.Τ):

(4 Μια συνάρηση f(x,y) ορισμένη στο υποσύνολο D⊂R2 είναι φραγμένη εάν:

(∃M>0)(∀(x, y)∈D)[|f(x, y)|<M]

14 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

0 0( , ), ( )y f x y y y x′ = = (3)

έχει μια και μοναδική λύση στην περιοχή αυτού του σημείου. Οι συνθήκες του θεωρήματος είναι ικανές όχι όμως και αναγκαίες.

Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος οφείλεται στον Picard (1856-1941) και η βασική της ιδέα οδηγεί σε μια διαδικασία κατασκευής της λύσης γνωστή ως μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων ή επαναληπτική μέ-θοδος. Τα βήματα της μεθόδου είναι τα εξής:

Ολοκληρώνοντας και τα δυο μέλη της (3) από x0 έως x παίρνουμε την ολοκληρωτική εξίσωση:

∫+=x

xdttytfxyxy

0

))(,()()( 0 (4)

Η σχέση (4) αποτελεί μια ισοδύναμη διατύπωση υπό μορφή ολοκληρω-τικής εξίσωσης του Π.Α.Τ: 0 0( , ), ( )y f x y y y x′ = = .

Στη συνέχεια για την λύση της (4), χρησιμοποιούμε το επόμενο βήμα, το οποίο αποτελείται από την διαδοχική "βελτίωση" μιας αυθαίρετης αρχικής εκλογής ( )0y y x= (5, που θεωρείται ως μηδενικής τάξης προσέγγιση στη

ζητούμενη λύση ( )y x . Η πρώτη "βελτίωση" προκύπτει εισάγοντας στο δεύτερο μέλος της (4) τη μηδενική προσέγγιση y0(x) οπότε παίρνουμε τη συνάρτηση:

0

1 0 0( ) ( ) ( , ( ))x

xy x y x f t y t dt= + ∫

που θα εισαχθεί ξανά στη (4) για να μας δώσει τη δεύτερη βελτιωμένη μορφή της λύσης και ούτω καθ' εξής. Γενικότερα θα είναι:

0

1 0( ) ( ) ( , ( ))x

n nxy x y x f t y t dt+ = + ∫ (5)

Εάν η συναρτησιακή ακολουθία ( )ny x έχει όριο, τότε αυτό το όριο

θα ικανοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση (4) και άρα το Π.Α.Τ (3). Πράγ-ματι επειδή

( ) ( ) ( )n 1lim limn n ny x y x y x→∞ →∞ += = τότε παίρνοντας το όριο και των δύο μελών της (5) θα έχουμε:

( )0

1 0lim lim ( , ( ))x

n n n nxy x y f t y t dt→ ∞ + → ∞= + ∫ ⇒

(5 Δεν πρέπει να γίνεται σύγχυση μεταξύ της συνάρτησης y0(x) και της αρχι-

κής τιμής y(x0).

Ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης μιας Δ.Ε. 1ης τάξης ♦ 15

( )

00 lim ( , ( ))

xn nx

y x y f t y t dt→∞= + ∫ ⇒

( ) ( )0

0 ( , ( ))x

xy x y x f t y t dt= + ∫

που είναι ακριβώς η ολοκληρωτική εξίσωση (4). ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν είναι πάντα επιτρεπτή η εναλλαγή ορίου και ολοκ-

ληρώματος

lim lim≠∫ ∫

Π.χ. εάν θεωρήσουμε την ακολουθία των συναρτήσεων:

( ) 2

e , 0nxnf x nx x−= ≥ ,

τότε για x0>0 έχουμε:

( )

( )

20 0

02 20

20

0 0

20

0

lim ( ) lim

1 1lim lim2 2

1 1lim 12 2

x x nxn n n

xx nx nx

n n

nxn

f x dx nxe dx

e d nx e

e

−→∞ →∞

− −→∞ →∞

−→∞

= =

= − = − =−

= − =

∫ ∫

∫

ενώ ( ) ( )

20 0 0

0 0 0lim ( ) lim 0 0

x x xnxn n nf x dx nxe dx dx−

→∞ →∞= = =∫ ∫ ∫

δηλαδή: 0 0

0 0lim ( ) lim ( )

x xn n n nf x dx f x dx→∞ → ∞≠∫ ∫

Για να ισχύει η εναλλαγή αυτή, όπως και για να ξεπεραστούν και κάποια άλλα λεπτά σημεία της απόδειξης του θεωρήματος του Picard, πρέπει να οδηγηθούμε στις σχετικές συνθήκες για την συνάρτηση f(x,y).

Μέσα από μια τέτοια προσεκτική μελέτη προκύπτει ότι για την απλή ύπαρξη της λύσης αρκεί:

α) η f(x,y) να είναι συνεχής, ενώ για την μοναδικότητα απαιτείται επί πλέον να είναι φραγμένη και η παράγωγος της ως προς y, δηλαδή:

β) η ( , )f x y

y∂

∂ να είναι φραγμένη.

Παρατήρηση: Η δεύτερη συνθήκη, που αναφέρεται στην παράγωγο της f ως προς y και όχι ως προς x δεν πρέπει να μας παραξενεύει δεδομέ-νου ότι η εξαρτημένη μεταβλητή παίζει μεγαλύτερο ρόλο από ότι η ανεξάρ-τητη μεταβλητή.

Παράδειγμα: Υποθέτουμε ότι θέλουμε να λύσουμε το Π.Α.Τ.


( )( ) ( , ) , 0 1y x f x y x y y′ = = + =

Ας εκλέξουμε για προσέγγιση μηδενικής τάξης την 0 ( ) 1y x = . Τότε

( )

2

1 01 ( 1) 1

2x xy x t dt x= + + = + +∫

( )2 3

22

0

1 1 2 12 6

x

t xy x t dt x x⎛ ⎞

= + + + = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⌠⎮⌡

( )3 3 4

2 23

0

1 1 2 16 3 24

x

t x xy x t t dt x x⎛ ⎞

= + + + + = + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⌠⎮⌡

( )3 4 3 4 5

2 24

0

1 1 2 13 24 3 12 120

x

t t x x xy x t t x x⎛ ⎞

= + + + + + = + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⌠⎮⌡

και γενικά: 2 3 1

( ) 1 22! 3! ! ( 1)!

n n

nx x x xy x x

n n

+⎡ ⎤= + + + + ⋅⋅⋅ + +⎢ ⎥ +⎣ ⎦

Παίρνοντας το όριο για n→∞ και χρησιμοποιώντας τη σειρά:

0 !

nx

n

x en

∞

=

=∑

έχουμε ότι: lim ( ) 1 2(e 1 ) 0 2e 1 x xn ny x x x x→ ∞ = + + − − + = − −

Η συνάρτηση y(x)=2ex-1-x ικανοποιεί τόσο την εξίσωση όσο και την αρχική συνθήκη, συνεπώς αποτελεί μια λύση.

Αν είχαμε εκλέξει για αρχική προσέγγιση την y0(x)=ex θα παίρναμε

( ) ( )

2

1 01

2x t xxy x t e dt e= + + = +∫

( )2 2 3

2

0

12 2 6

x

t xt x xy x t e dt e⎛ ⎞

= + + + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⌠⎮⌡

και γενικά την προσέγγιση τάξης n

( )2 3 1

2! 3! ( 1)!

nx

nx x xy x e

n

+

= + + ⋅⋅ ⋅ + ++

Ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης μιας Δ.Ε. 1ης τάξης ♦ 17

Συνεπώς

( ) ( ) ( )lim e 1 e 2e 1x x xn ny x y x x x→∞= = − − + = − −

Αν κάνουμε την εκλογή 0 ( ) 2e 1xy x x= − − τότε:

( ) ( )1 002 1 1 2( 1) ( )

x t xy x e dt e x y x= − = + − − =∫

Μια τέτοια εκλογή σταθεροποιεί την προσεγγιστική ακολουθία και δίνει τη λύση:

( ) ( ) ( ) ( )n 0 0 lim limn ny x y x y x y x→∞→∞= = =

Φυσικά η πιθανότητα εκλογής της πραγματικής λύσης σαν y0(x) είναι σχεδόν μηδέν. Η ευκολία όμως εφαρμογής της μεθόδου οφείλεται κατά μεγάλο ποσοστό στην κατάλληλη εκλογή της προσέγγισης μηδενικής τάξης. Εάν όμως δεν έχουμε άλλες πληροφορίες για τη λύση, τότε σαν προ-σέγγιση μηδενικής τάξης χρησιμοποιούμε την αρχική συνθήκη y(x0), δηλα-δή θέτουμε y0(x)=y(x0).

Άσκηση 1: Ελέγξτε εάν οι παρακάτω Δ.Ε. με την αντίστοιχη αρχική συνθήκη έχουν α) μοναδική λύση ή β) καμία λύση ή γ) ή περισσότερες της μιας.

1) 2y y′ = y(0)=0 Απ. Μία λύση

2) xyy

′ = − y(0)=2 Απ. Μία λύση

3) 2y y′ = y(0)=0 Απ. Δύο λύσεις

Άσκηση 2: Χρησιμοποιείστε την μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων του Picard για να βρείτε την λύση του Π.Α.Τ:

( ), 0 2y y x y′ = − =

3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ης ΤΑΞΗΣ

Η γενική μορφή των διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης είναι: ( , , ) 0F x y y′ = (1)

Αν η (1) λύνεται ως προς y ′ δηλαδή:

( , )dy f x y

dx=

τότε μπορούμε να λύσουμε την διαφορική εξίσωση αν ανήκει σε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις:

3.1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση ( , )f x y γράφεται σαν γινόμενο δυο συ-ναρτήσεων, κάθε μια από τις οποίες εξαρτάται μόνο από το x ή το y, δηλαδή

( , ) ( ) ( )f x y g x h y= . Στη συνέχεια "χωρίζουμε" την Δ.Ε. έτσι ώστε στο πρώ-το μέλος να υπάρχει μόνο η μια μεταβλητή π.χ. η y και στο δεύτερο η x και ολοκληρώνουμε και τα δυο μέλη:

1( ) ( ) ( )( )

dy g x h y dy g x dx cdx h y

= ⇒ = +⌠⎮⌡ ∫ (2)

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. 2y y′ = − . Έχουμε:

02

2 2

1 1 ydy dy dyy dx dx x c y

dx y y y x c

≠

= − ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ =+

⌠⎮⌡ ∫

Εδώ παρατηρούμε ότι και η συνάρτηση y=0, η οποία προέρχεται από την εξίσωση ( ) 2 0h y y= − = , ικανοποιεί τη Δ.Ε. χωρίς να προέρχεται από την γενική λύση 1 / ( )y x c= + για κάποια πεπερασμένη τιμή της c, σε αντίθεση με τα γραφόμενα της παρ. 1.2. Όπως θα δούμε στην επόμενη παράγραφο, η λύση y=0 αποτελεί την περιβάλλουσα των λύσεων 1 / ( )y x c= + της Δ.Ε. Τέτοιες λύσεις ονομάζονται ιδιάζουσες λύσεις της Δ.Ε.


Σ' αυτό το παράδειγμα ας προσπαθήσουμε να δούμε εάν ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων μιας Δ.Ε.

x0=c

x

y

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση 2( , )f x y y= − είναι συνεχής σ' όλο το πε-

δίο ορισμού της, (-∞<x<+∞, -∞<y<+∞). Άρα υπάρχει λύση. Επίσης η συνθήκη / 2f y y∂ ∂ = − =φραγμένη, ισχύει. Επομένως από κάθε σημείο του επιπέδου

Oxy διέρχεται μια και μόνο μια λύση.

Παράδειγμα 2: Να λυθεί η Δ.Ε. y y′ = . Έχουμε:

0

212 ( )4

y dy dyy y dx dx y x c y x cy y

≠

′ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +⌠⎮⌡ ∫

Κάθε μέλος της οικογένειας των καμπυλών 2( ) / 4y x c= + είναι μια παρα-

βολή με κορυφή το σημείο x0=-c. Όμως από κάθε τέτοια παραβολή θα πρέπει να κρατήσουμε μόνο το δεξιό της κλάδο που έχει θετική κλίση όπως θέλει η Δ.Ε. 0y y′ = > . Οι αριστεροί κλάδοι των παραβολών αποτελούν λύση της

Δ.Ε. y y′ = − . Και εδώ η τετριμμένη λύση y=0 ικανοποιεί τη Δ.Ε. και απο-τελεί την περιβάλλουσα των λύσεων της Δ.Ε.

Όσον αφορά τις συνθήκες του θεωρήματος για την ύπαρξη και την μοναδι-κότητα των λύσεων, παρατηρούμε ότι η ( ),f x y y= είναι συνεχής σ' όλο το πεδίο ορισμού της (-∞<x<+∞, y≥0). Άρα υπάρχει λύση. Όμως η πρόσθετη συνθήκη:

Διαφορικές Εξισώσεις 1ης τάξης ♦ 21

12

fy y

∂∂

= =φραγμένη

δεν πληρούται πάνω στην ευθεία y=0. Στην ευθεία αυτή θα συναντώνται πε-ρισσότερες από μια λύσεις. Πράγματι από κάθε σημείο x=x0 της ευθείας y=0 ξεκινούν δυο λύσεις η y=0 και η 2

0( ) / 4y x x= − όπου x0=-c. Μ' άλλα λόγια στην αρχική συνθήκη y(x0)=0 αντιστοιχούν οι δυο λύσεις:

200, ( ) / 4y y x x= = − .

x x0 =-c O

y

Παρατήρηση 1: Όπως στο παράδειγμα 1 έτσι και εδώ διαπιστώνουμε ότι η

μηδενική συνάρτηση y=0 ικανοποιεί την Δ.Ε. y y′ = και ότι δεν υπάρχει τι-μή της σταθεράς c έτσι ώστε η μηδενική συνάρτηση y=0 να προέρχεται από την γενική λύση 2( ) / 4y x c= + .

Παρατήρηση 2: Η Δ. Ε. ( ) ( )dy g x h ydx

= εκτός από την γενική λύση (2)

έχει και σταθερές λύσεις, οι οποίες δίνονται από την λύση της εξίσωσης ( ) 0h y = . Όταν ( ) 1g x = η Δ. Ε. ονομάζεται αυτόνομη. Οι αυτόνομες Δ. Ε.

έχουν την εξής ενδιαφέρουσα ιδιότητα: το διευθύνον πεδίο είναι αναλλοίωτο ως προς τον οριζόντιο άξονα, δηλαδή κατά μήκος μιας οριζόντιας γραμμής το διε-υθύνον πεδίο παραμένει σταθερό.

Παράδειγμα 3: Να βρεθούν όλες οι λύσεις, (η γενική λύση και οι σταθερές

λύσεις), της Δ. Ε. ( ) ( )( )1 3dy h y y ydx

= = − − . Να σχεδιαστεί το διευθύνον

πεδίο. Λύση: Για την γενική λύση έχουμε:


( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 3dy dydx dx c

y y y y= ⇒ = + ⇒

− − − −⌠⎮⌡ ∫

1 1 1 1 1 3ln2 1 2 3 2 1

ydy x c x cy y y

⎡ ⎤ −− + = + ⇒ = +⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

⌠⎮⌡

ή 2

22

3 με1

xc

x

key k eke

−= =

−

Οι σταθερές λύσεις προκύπτουν από την εξίσωση:

( ) ( )( ) 1 21 3 0 1 και y 3h y y y y= − − = ⇒ = =

Παρατηρούμε ότι η σταθερή λύση 1 3y = προκύπτει από την γενική λύση

για 1k = , ενώ η άλλη σταθερή λύση 2 1y = δεν μπορεί να προκύψει από την

γενική για κάποια τιμή του k. Οι δε γραφικές τους παραστάσεις είναι ευθείες γραμμές παράλληλες προς τον άξονα Οx και τέμνουν κάθετα τον άξονα Οy στα σημεία 1 και 3.

Από το θεώρημα για την ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων, οι σταθερές λύσεις δεν τέμνουν τις μερι-κές λύσεις που προκύπτουν από την γενική. Αυτό σημαίνει ότι οι σταθερές λύσεις ορίζουν «λουρίδες» στο επίπε-δο Οxy εντός των οποίων “ζουν” οι μερικές λύσεις.

Για να σχεδιάσουμε κάποιες μερι-κές λύσεις εργαζόμαστε ως εξής. Θε-ωρούμε την συνάρτηση

( ) ( )( )1 3h y y y= − − , η οποία είναι τριώνυμο με ρίζες το 1 και το 3.

Α) Όταν το 1y < το πρόσημο της ( )h y είναι θετικό και επομένως και η

παράγωγος /dy dx είναι θετική. Αλλά θετική παράγωγος της ( )y x σημαίνει αύξουσα συνάρτηση. Επομένως οι μερικές λύσεις που διέρχονται από σημεία του άξονα Οy με 1y < θα είναι αύξουσες συναρτήσεις και όταν x → ∞ η

( )y x θα τείνει στην μικρότερη ρίζα 1y = .

Β) Όταν 1 3y< < το πρόσημο της ( )h y είναι αρνητικό, η παράγωγος

/dy dx και αυτή είναι αρνητική και η συνάρτηση ( )y x θα είναι φθίνουσα.


Επομένως οι μερικές λύσεις που διέρχονται από σημεία του άξονα Οy με 1 3y< < θα είναι φθίνουσες συναρτήσεις και όταν x → ∞ η ( )y x θα τείνει στην μικρότερη ρίζα 1y = .

Γ) Όταν 3 y< το πρόσημο της ( )h y είναι και πάλι θετικό, η παράγωγος

/dy dx ομοίως και η συνάρτηση ( )y x θα είναι αύξουσα. Επομένως οι μερικές λύσεις που διέρχονται από σημεία του άξονα Οy με 3 y< θα είναι αύξουσες

συναρτήσεις και όταν x → ∞ η ( )y x θα τείνει άπειρο.

Οι διαπιστώσεις Α, Β, Γ μας βοηθούν για τον πρόχειρο αλλά ποιοτικό σχε-διασμό των μερικών λύσεων. Το παραπάνω σχήμα μπορεί να προκύψει βασιζό-μενοι στις διαπιστώσεις αυτές.

Ασκήσεις: Να λυθούν οι Δ.Ε.:

1) xyy

′ = − Απ. 2 2x y c+ =

2) y xy′ = Απ. 2

exp2xy c

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

3) 2y x x′ = − Απ. 2 3

2 3x xy c= − +

4) 2 yyx

′ = Απ. 2y cx=

5) 1yx

′ = − Απ. 2y x c= − +

3.1A ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΜΙΑΣ Δ.Ε. 1ης ΤΑΞΗΣ

Όπως είδαμε στα προηγούμενα παραδείγματα είναι δυνατό, μια λύση κά-ποιας Δ.Ε. να μη προκύπτει από τη γενική λύση για καμία τιμή της σταθεράς. Οι λύσεις αυτές ονομάζονται ιδιάζουσες λύσεις.

Παράδειγμα 1: Η Δ.Ε. ( )22 2 2y y y a′ + = (1)

έχει τη γενική λύση ( )2 2 2x c y a− + = (2)

η οποία παριστάνει την οικογένεια κύκλων που δείχνει το παρακάτω σχήμα. Οι ευθείες y=α και y=-α επαληθεύουν την (1) και επομένως είναι λύσεις της Δ.Ε.,


y=-α

y=α y

A B

Γ

Δ Ε

Ο x

αλλά δεν προκύπτουν από τη (2) για καμία τιμή της c. Οι y=α και y=-α είναι ″περιβάλλουσες″ των λύσεων της Δ.Ε. (1).

Περιβάλλουσα μιας οικογένειας καμπυλών Φ(x,y,c)=0 ονομάζεται μια καμ-πύλη Κ, τέτοια ώστε:

α) κάθε καμπύλη της οικογένειας εφάπτεται στη Κ και β) κάθε σημείο της Κ είναι σημείο επαφής της Κ με μια από τις καμπύλες

της οικογένειας. Λόγω της ιδιότητας (β), σε κάθε σημείο (x,y) της περιβάλλουσας τα x, y, y′

έχουν τις ίδιες τιμές όπως και για την καμπύλη της οικογένειας που περνάει από το σημείο αυτό(6. Αφού η καμπύλη αυτή είναι λύση της Δ.Ε., έπεται ότι οι τιμές αυτές των x, y, y′ ικανοποιούν την Δ.Ε. Επειδή αυτό ισχύει για κάθε σημε-ίο της περιβάλλουσας, συμπεραίνουμε ότι η περιβάλλουσα είναι λύση της Δ.Ε.

Συμπέρασμα: Αν μια οικογένεια λύσεων κάποιας Δ.Ε. έχει περιβάλλου-σα, τότε η περιβάλλουσα είναι μια ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε.

Άλλες ιδιάζουσες λύσεις παίρνουμε συνδυάζοντας ένα τμήμα της περιβάλ-λουσας με ένα τμήμα κάποιας από τις καμπύλες της οικογένειας. Π.χ. η καμπύ-λη ΑΒΓΔΕ του σχήματος, (η οποία αποτελείται από το τμήμα ΑΒ της περιβάλ-λουσας y=α, το ημικύκλιο ΒΓΔ και το τμήμα ΔΕ της περιβάλλουσας y=-α είναι μια ιδιάζουσα λύση της (1).

Πρέπει να σημειωθεί ότι σε κάθε σημείο της περιβάλλουσας παραβιάζεται η μοναδικότητα των λύσεων της Δ.Ε., αφού από αυτό διέρχονται δυο λύσεις: η μια είναι η ίδια η περιβάλλουσα και η άλλη η μερική λύση που εφάπτεται της περιβάλλουσας στο σημείο αυτό.

(6 Όταν δυο καμπύλες εφάπτονται σε κάποιο σημείο, τότε στο σημείο αυτό έχουν

την ίδια κλίση, αλλιώς θα τέμνονται αντί να εφάπτονται.


Η εξίσωση της περιβάλλουσας μιας οικογένειας καμπυλών με εξίσωση ( )Φ , , 0x y c = (A), βρίσκεται αν παραγωγίσουμε την (Α) ως προς c δηλαδή

( )Φ , , 0x y cc

∂=

∂ (B), και μετά απαλείψουμε το c από τις (Α) και (Β).

Απόδειξη: Έστω (x,y) οι συντεταγμένες του σημείου επαφής Ρ της περι-βάλλουσας και μιας καμπύλης Γ της οικογένειας ( )Φ , , 0x y c = . Οι συντεταγ-μένες αυτές προσδιορίζουν μονοσήμαντα την καμπύλη Γ, (αφού σε κάθε σημε-ίο της περιβάλλουσας εφάπτεται μια και μόνο μια καμπύλη της οικογένειας

( )Φ , , 0x y c = ). Από την άλλη μεριά η καμπύλη Γ με τη σειρά της προσδιορί-ζει πλήρως την παράμετρο c. Κατά συνέπεια οι συντεταγμένες x και y του ση-μείου Ρ προσδιορίζονται πλήρως από τη τιμή της παραμέτρου c, δηλαδή:

( ), ( )x x c y y c= = (α)

Όταν η παράμετρος c μεταβάλλεται, το σημείο Ρ κινείται κατά μήκος της περιβάλλουσας και επομένως οι εξισώσεις (α) είναι οι παραμετρικές εξισώσεις της περιβάλλουσας.

Θα προσπαθήσουμε τώρα να διατυπώσουμε την συνθήκη που ορίζει την περιβάλλουσα, δηλαδή ότι η κλίση της περιβάλλουσας στο σημείο Ρ συμπίπτει με την κλίση της καμπύλης Γ. Η κλίση της εφαπτομένης της περιβάλλουσας είναι:

π

( )

( )c

–c

dy cydcy dx c x

dc

ερ

′′ = =

′

Η δε κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης Γ για συγκεκριμένο c δίνεται από την έκφραση, (βλ. Διανυσματική Ανάλυση Δ. Σουρλάς παρ. 8.7),

x

y

xy

y

καμ

∂∂∂∂

Φ′Φ′ = − = −

Φ ′Φ

Εξισώνοντας τις δυο αυτές κλίσεις έχουμε:

0c xx c y c

c y

y x yx′ ′Φ ′ ′ ′ ′= − ⇒ Φ + Φ =′ ′Φ

(β)

Αλλά για κάθε τιμή της παραμέτρου c το σημείο της περιβάλλουσας που έ-χει συντεταγμένες (x(c),y(c)) ανήκει στην καμπύλη της οικογένειας, που αν-τιστοιχεί στην ίδια τιμή της c και επομένως η σχέση:

Φ(x(c),y(c),c)=0 (γ) ικανοποιείται για όλα τα c. Η ολική παράγωγος ως προς c της (γ) δίνει:


x6 4 2 0 2 4 6

1

0,5

0,5

1

( )( ), ( ), 0x c y c cd x c y c c x ydc

′ ′ ′ ′ ′Φ = Φ + Φ + Φ =

Αλλά λόγω της (β) προκύπτει 0c′Φ =

Επομένως οι παραμετρικές εξισώσεις x=x(c) και y=y(c) της περιβάλλου-σας βρίσκονται από τις σχέσεις:

( ) ( ), , 0 και , , 0x y c x y cc

∂Φ = Φ =

∂ και αν μπορούμε να απαλείψουμε το c από τις δυο παραπάνω σχέσεις έχουμε την καρτεσιανή εξίσωση της περιβάλλουσας.

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η περιβάλλουσα της οικογένειας καμπυλών

cos( )y x c= + .

Λύση: Εδώ έχουμε ( )( , , ) cos( ) 0 1 x y c y x cΦ = − + = ⇒

( )sin 0x c

c∂Φ

= + =∂ (2)

Για να απαλείψουμε το c από τις σχέσεις (1) και (2) λύνουμε ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, υψώνουμε στο τετράγωνο και βρίσ-κουμε y2=1 ⇒ y=±1. Άρα η περι-βάλλουσα της οικογένειας καμπυ-λών y=cos(x+c) είναι οι ευθείες y=±1.

Παρατήρηση 1: Εάν μας δίνεται μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυ-

λών Φ(x,y,c)= 0, τότε η Δ.Ε., της οποίας η γενική λύση είναι η Φ(x,y,c)=0, βρίσκεται απαλείφοντας την παράμετρο c από τις εξισώσεις:

Φ(x,y,c)=0

και ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0d x y c x y c x y c y

dx x y∂ ∂

∂ ∂′Φ = Φ + Φ =

ενώ η περιβάλλουσα των λύσεων από τις εξισώσεις:

Φ(x,y,c)=0 και ( , , ) 0x y cc

∂∂

Φ =


Παράδειγμα 3: Η εξίσωση y-c=(x-c)2 παριστάνει μια οικογένεια παραβο-λών με την κορυφή τους πάνω στην ευθεία y=x.

α) Παραγωγίζοντας ως προς c και απαλείφοντας το c μεταξύ της εξίσω-σης που δόθηκε και της παραγώγου της ως προς c, βρείτε την περιβάλλουσα της οικογένειας.

β) Βρείτε τη Δ.Ε. πρώτης τάξης για την οικογένεια αυτή των παραβολών. γ) Επιβεβαιώστε ότι η περιβάλλουσα επαληθεύει την εξίσωση αυτή. Λύση: α) Έχουμε

2( , , ) ( ) 0 x y c y c x cΦ = − − − = ⇒ (1)

( )1 2 0x cc

∂Φ= − + − =

∂ ⇒ x-c=1/2 (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) απαλείφουμε το c και βρίσκουμε: 1 / 2 1 / 4 0 1 / 4y x y x= − + − = ⇒ = − (3)

που είναι η εξίσωση της περιβάλλουσας. β) Παραγωγίζουμε την (1) ως προς x και έχουμε

2( ) 0y x cx

∂Φ ′= − − =∂ (4)

Από τις σχέσεις (1) και (4) απαλείφουμε το c και βρίσκουμε: 2

0 2 2y y y x′ ′⎛ ⎞ − − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5) που είναι η ζητούμενη Δ.Ε.

γ) 1 / 4 1y x y′= − ⇒ = (6) Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις (3) και (6) στην (5):

21 1 1/ 4 02 2

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

δηλαδή η εξίσωση της περιβάλλουσας ικανοποιεί την Δ.Ε.


Παράδειγμα 4: Ένα κανόνι ρίχνει ένα βλήμα στο επίπεδο XOZ με ταχύτη-

τα, που έχει σταθερό μέτρο v0 και σχηματίζει γωνία θ με τον οριζόντιο επίπεδο. Η γωνία θ μπορεί να μεταβάλλεται ρυθμίζοντας την κλίση της κάνης από 0 έως π. Τα σημεία του επιπέδου XOZ που δεν είναι δυνατό να κτυπηθούν από το κανόνι βρίσκονται πέρα από μια καμπύλη, η οποία είναι η περιβάλλουσα των τροχιών, που θα διαγράψει το βλήμα για διάφορες τιμές της θ. Να βρεθεί η καμπύλη αυτή.

Λύση: Από τον νόμο του Νεύτωνα 2

2

dmdt

=rF έχουμε:

Κατά τον άξονα ΟΧ:

2

1 1 220 ( )xd x dxF m c x t c t cdt dt

= = ⇒ = ⇒ = + (1)

Για t=0 είναι ( )( )1

20 0 0x c= ⇒ = και ( ) 0 1 00 cos cosx v c vθ θ= ⇒ =

άρα ( ) 0(cos )x t v tθ= (2)

Κατά τον άξονα ΟΖ: 2

12zd z dzF mg m gt kdt dt

= − = ⇒ = − + ⇒

21 2

1( )2

z t gt k t k= − + + (3)

Για t=0 είναι ( ) 20 0z k= = και 1 0z(0) k v sin= = θ , άρα

x6 6

5

8


20

1( ) (sin )2

z t gt v tθ= − + (4)

Απαλείφουμε το t μεταξύ των (2) και (4):

(2) ⇒ 0 cos

xtv θ

= (5)

(4) (5)

22 2

0

(tan )2 cos

gz x xv

θθ

⇒ = − + ⇒

22 2

0

( , , ) (tan ) 02 cos

gx z z x xv

θ θθ

Φ = + − = ⇒

22

20

( , , ) 1 tan tan 02gxx z z xv

θ θ θ⎡ ⎤Φ = + + − =⎣ ⎦ (6)

Η (6) είναι μια μονοπαραμετρική οικογένεια παραβολών, (με παράμετρο τη γωνία θ), της οποίας η περιβάλλουσα θα βρεθεί εάν παραγωγίσουμε την (6) ως προς την θ:

2

2 2 20

1 12 tan 0cos cos2

gx xv

∂ θ∂θ θ θΦ

= − = ⇒ 2

0

tan 1 0gxv

θ − = (7)

και απαλείφουμε το θ, δηλαδή την tanθ από την (6) και (7):

(7) ⇒ 2

0tan vgx

θ = (8)

( )( ) 4 2 228

20 0 02 2 2 2

0 0

6 1 0 ( )2 2 2

v v vgx gz z x f xv g x g v g

⎡ ⎤⇒ + + − = ⇒ = − + =⎢ ⎥

⎣ ⎦ (9)

Η (9) είναι η εξίσωση της περιβάλλουσας.


Παρατήρηση 2: Εάν το κανόνι περιστρέφεται γύρω από τον άξονα ΟΖ, τότε η παραβολή (9) παράγει μια επιφάνεια της οποίας η εξίσωση μπορεί να προέλθει από την (9) αν αντικαταστήσουμε το x με το 2 2x y+ (γιατί;). Eπομένως θα έχουμε:

( ) ( )

22 2 2 2 0

20 22

vgz f x y x ygv

= + = − + +

Παρατήρηση 3: Θεωρούμε την Δ.Ε. ( , , ) 0F x y y′ = και υποθέτουμε ότι η συνάρτηση ( , , )F x y y′ έχει συνεχείς τις πρώτες μερικές παραγώγους ως προς x, y, y′ σε κάποιο ανοιχτό τόπο7 D του χώρου xyy′. Από τον διαφορικό λογισμό γνωρίζουμε ότι αν (x0,y0,y0′) είναι σημείο του τόπου D και

0 0 0 0 0 0( , , ) 0 ( , , ) 0F x y y F x y yy

∂∂

′ ′= ≠′

τότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση ( , )y f x y′ = , που ορίζεται σε μια περιοχή του σημείου (x0,y0), τέτοια ώστε

( )( )0 0 0( , ) και , , , 0y f x y F x y f x y′ = = . Στα σημεία όμως (x0,y0,y0′) που επαληθεύουν συγχρόνως τις σχέσεις:

0 0 0 0 0 0( , , ) 0 ( , , ) 0F x y y F x y yy

∂∂

′ ′= =′

δεν είμαστε βέβαιοι για την ύπαρξη μόνο μιας λύσης, της Δ.Ε. ( , , ) 0F x y y′ = , που ικανοποιεί τις συνθήκες 0 0 0 0( ), ( )y x y xϕ ϕ′ ′= = .

Απόρροια των ανωτέρω είναι το επόμενο θεώρημα: Θεώρημα: Θεωρούμε την Δ.Ε. ( , , ) 0F x y y′ = . Τότε η λύση του συστήμα-

τος:

( ) ( ), , 0, , , 0F x y p F x y pp

∂∂

= =

που προκύπτει με απαλοιφή του p, (έχουμε θέσει y′=p), και που επαληθεύει τις σχέσεις

0, 0F F Fpx y y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = ≠

7 Ένα υποσύνολο D ενός χώρου n διαστάσεων λέγεται ανοικτός τόπος εάν είναι

ανοικτό και συνεκτικό σύνολο.


είναι ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε. F(x,y,y′)=0. Παράδειγμα 5: Να βρεθεί η ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε.

2 24 8 8 ( )y y x x y′ ′= + +

Λύση: Θέτουμε στη Δ.Ε. p=y′ και έχουμε:

( ) 2 2, , 4 8 8 0 F x y p y px x p= − − − = ⇒ (A)

( , , ) 8 2 0F x y p x p

p∂

∂= − − =

(B) Απαλείφοντας το p από τις σχέσεις (Α) και (Β) προκύπτει: y=-2x2 η οποία

είναι η εξίσωση της περιβάλλουσας. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι επαληθεύει την Δ. Ε. όπως επίσης και τις σχέσεις:

0 0F F Fyx y y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

′+ = ≠ με y′=p=-4x.

Πράγματι: ( )8 16 8 4 16 16 , 4 0F Fp x x x x

x y∂ ∂∂ ∂

= − − = − − − = = ≠

και επομένως

( )16 4 4 0F F y x xx y

∂ ∂∂ ∂

′+ = + − =

3.1Β Παραδείγματα εφαρμογών της Δ.Ε. χωριζομένων

μεταβλητών

Παράδειγμα 1. Οι Πυρήνες των ατόμων των ραδιενεργών στοιχείων διασ-πώνται και μετατρέπονται σε πυρήνες άλλων στοιχείων. Έτσι με την πάροδο του χρόνου, η μάζα ενός ραδιενεργού στοιχείου μειώνεται. Σ' ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα, από τη στιγμή t ως τη στιγμή t+dt, η ελάττωση dm της μάζας είναι ανάλογη της μάζας m του ραδιενεργού στοιχείου, η οποία υ-πάρχει στην αρχή του χρονικού αυτού διαστήματος. Αν τη στιγμή t=0 η μάζα ενός ραδιενεργού στοιχείου είναι m0, να βρεθεί η μάζα που θα έχει απο-μείνει μετά παρέλευση χρόνου t.

Λύση: Είναι dm=-λmdt όπου λ σταθερά που χαρακτηρίζει το στοιχείο. Επο-μένως

dm/m=-λdt ⇒ lnm=-λt+c ⇒ m=c1e-λt όπου c1=ec Aφού για t=0 είναι m=m0 θα έχουμε m0=c1 . Επομένως m=m0e-λt. Από τη

σχέση αυτή, αν είναι γνωστή η σταθερά λ του στοιχείου, μπορούμε να βρού-με, για κάθε χρονική στιγμή t, τη μάζα m(t) που έχει απομείνει τη στιγμή αυτή.


Παρατήρηση: Ο αριθμός των πυρήνων, έστω Ν, ενός ραδιενεργού στοιχεί-

ου είναι προφανώς ακέραιος αριθμός και η μεταβολή ΔΝ του αριθμού αυτού κατά το μικρό χρονικό διάστημα (t, t+dt), (δηλαδή ο αριθμός των πυρήνων που διασπάστηκαν κατά το χρονικό αυτό διάστημα), είναι επίσης ακέραιος αριθμός. Επειδή όμως, για οποιοδήποτε δείγμα μακροσκοπικών διαστάσεων, ο αριθμός Ν είναι πολύ μεγάλος (=1023) και η μεταβολή ΔΝ είναι πολύ μικρή σε σύγκριση με το Ν, μπορούμε για όλους τους πρακτικούς σκοπούς, να χρησιμοποιήσουμε το Ν σαν να ήταν συνεχής συνάρτηση του t και να υπολογίσουμε π.χ. την παρά-γωγο dΝ/dt(8. Μπορούμε λοιπόν να λύσουμε την παραπάνω άσκηση θεωρών-τας τον αριθμό των πυρήνων Ν αντί για τη μάζα m. Η μεταβολή dΝ του αριθ-μού των πυρήνων σε χρόνο dt. είναι dΝ=-λΝdt. Από τη σχέση αυτή, ολοκλη-ρώνοντας, βρίσκουμε Ν=Ν0e-λt.

Παράδειγμα 2: Έστω ότι η συνάρτηση Ν(t) παριστάνει ένα πληθυσμό (π.χ. μιας πόλης ή μιας καλλιέργειας μικροβίων κ.λ.π.), συναρτήσει του χρόνου t. Εάν δεχθούμε ότι ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού είναι ανάλογος προς τον πληθυσμό, τότε θα έχουμε:

dN Ndt

κ= (1)

όπου κ η σταθερά αναλογίας.

Εύκολα προκύπτει ότι η γενική λύση της (1) είναι: ( ) e tN t c κ= (2)

Εάν τον τύπο (2) τον εφαρμόσουμε για τον πληθυσμό της γης, ο οποίος σύμφωνα με μια στατιστική, το 1961 ήταν 3,06×109 άνθρωποι και ο οποίος αυξανόταν με ένα ρυθμό 2% ανά χρόνο, τότε θα έχουμε:

N(t)=ce0.02t (3)

(8 Αυτό αποτελεί προφανώς μια προσέγγιση, αφού για οποιαδήποτε συνάρτηση

y=f(x) το limΔx→0Δy/Δx είναι πεπερασμένο μόνο αν Δy→0 όταν Δx→0. Αυτό όμως προ-ϋποθέτει ότι το Δy μπορεί να γίνει μικρότερο από κάθε ε>0 χωρίς να γίνει μηδέν. Δεχό-μαστε λοιπόν ότι η ελάχιστη μη μηδενική μεταβολή του Ν, δηλαδή η |ΔΝ|=1, αν συγ-κριθεί με τη τιμή Ν=1023, είναι τόσο μικρή ώστε να μπορούμε, με αμελητέο σφάλμα, να τη θεωρήσουμε σαν να ήταν ″μικρότερη από κάθε ε>0″. Η προσέγγιση αυτή είναι εξαι-ρετικά ακριβής όσο ακριβής θα ήταν ένας αριθμητικός υπολογισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης y=f(x) | [α,β], κατά τον οποίο το dx θα το παίρναμε 1023 φορές μικρό-τερο από το εύρος (β-α) του πεδίου ορισμού.


Η σταθερά c υπολογίζεται εάν πάρουμε σαν αρχή του χρόνου t το έτος 1961, οπότε θα έχουμε: N(0)=c=3,06×109 άνθρωποι. Τότε η σχέση (3) γράφε-ται:

( ) 9 0,023, 06 10 tN t e= × (4)

Από τη σχέση (4) δεν μπορούμε να κάνουμε προβλέψεις για μεγάλα χρονικά διαστήματα, επειδή δεν λάβαμε υπ' όψη διάφορους παράγοντες που επηρεάζουν την αύξηση ενός πληθυσμού, όπως είναι π.χ. η τροφή, ο ζωτικός χώρος, η θνη-σιμότητα κ.λ.π. Εάν εφαρμόσουμε τον τύπο (4) για το έτος 2010, δηλαδή 49 χρόνια μετά από την απογραφή του 1961, θα παίρναμε:

( ) 9 0,02 49 949 3, 06 10 8,15 10N e ×= × × = × ενώ η πραγματική τιμή του πληθυσμού της γης το 2010 είναι 96 , 5 5 1 0×

Μια καλύτερη περιγραφή της αύξησης ενός πληθυσμού μπορούμε να πάρουμε από τη Δ.Ε.:

2 dN N Ndt

κ λ= − με κ, λ>0 (5)

η οποία προκύπτει από την (1) ως εξής: Εάν θεωρήσουμε ότι ο ρυθμός μεταβο-λής του πληθυσμού κ δεν πια σταθερός αλλά είναι ανάλογος του πληθυσμού, δηλαδή ( )h Nκ = , τότε η (1) γράφεται:

( ) ( )dN th N N

dt=

(6) Τα χαρακτηριστικά της ( )h N θέλουμε να είναι τέτοια ώστε όταν το Ν είναι

αρκετά μικρό, το ( ) 0h N κ≅ > και όταν το Ν είναι αρκετά μεγάλο, η συνάρτη-ση ( )h N να φθίνει, να είναι δηλαδή αρνητική. Η πιο απλή συνάρτηση με αυτά τα χαρακτηριστικά είναι η:

( )h N Nκ λ= − (7) τότε η (6) γράφεται:

( ) ( ) 2dN tN N N N

dtκ λ κ λ= − = −

Εάν θέσουμε κ/λ=μ η Δ.Ε. (5) γράφεται:

1 1dN NN N Ndt

λκ κκ μ

⎛ ⎞⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(8)


Από την (8) προκύπτει η Δ.Ε. (1) εάν θεωρήσουμε το Ν πολύ μικρό σε

σύγκριση με το μ, οπότε 1 1Nμ

− ≈ . Η Δ.Ε. (8) είναι χωριζόμενων μεταβλη-

τών και η γενική λύση της είναι:

( )

1 tN tc e κ

μμ −=

+ (9)

N

N=μ

μ/(1+c)

t1 t

P(ln(cμ)/κ),μ/2

Η γραφική παράσταση της (9) λέγεται λογιστική καμπύλη. Έχει δυο ασύμ-

πτωτες: Ν=0 και Ν=μ, (για t→-∞ και t→∞ αντίστοιχα), και ένα σημείο καμπής Ρ(t1, Ν1), το οποίο προσδιορίζεται από την εξίσωση 2 2/ 0d N dt = . Η εξίσωση αυτή γράφεται:

( )2

12 2 02

d N dN Ndt dt

κ μμμ

= − Ν = ⇒ =

Από την (9) προκύπτει τότε ( )1 ln /t cμ κ= . Η σταθερά ολοκλήρωσης c

προσδιορίζεται από την αρχική συνθήκη Ν(0)=Ν0. Βρίσκουμε ότι: 0

oNcN

μμ−

=

και η αντίστοιχη μερική λύση είναι:

( ) ( )00 0

tN t NN N e κ

μμ −=

+ − (10) Η διαφορική εξίσωση (1) περιγράφει την εκθετική αύξηση του πληθυσμού

και η διαφορική εξίσωση (5) την λογιστική αύξηση. Παράδειγμα 3: Μια δεξαμενή έχει όγκο V=5m3 και είναι τελείως γεμάτη με

καθαρό νερό. Τη στιγμή t=0 αρχίζει να εισρέει στη δεξαμενή άλμη από ένα


σωλήνα με παροχή q=3lit/min, με αποτέλεσμα η δεξαμενή να ξεχειλίζει και να εκρέει απ' αυτήν ίσος όγκος νερού ανά μονάδα χρόνου. Η συγκέντρωση του αλατιού στην άλμη είναι c=0,5gr/lit. Να βρεθεί η μάζα του αλατιού, η οποία βρίσκεται διαλυμένη στο νερό, που περιέχεται στη δεξαμενή, σε μια χρονική στιγμή t>0. Πόση θα είναι η μάζα αυτή τη στιγμή t=10min; Να παρασταθεί γραφικά η m(t). (Υποθέτουμε ότι το αλάτι, που περιέχεται στην εισρέουσα άλ-μη, διαχέεται ακαριαία σ' όλο τον όγκο της δεξαμενής ώστε η εκάστοτε συγκέν-τρωση αλατιού να είναι σταθερή σ' όλο τον όγκο της δεξαμενής).

Λύση: Θεωρούμε ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα, από τη στιγμή t ως τη στιγμή t+dt. Έστω ότι κατά το χρονικό αυτό διάστημα dt η μάζα του αλατι-ού που περιέχεται στη δεξαμενή μεταβάλλεται κατά dm. Η μεταβολή dm είναι:

dm=[Μάζα που εισρέει από t ως t+dt] - [Μάζα που εκρέει από t έως t+dt] Η μάζα αλατιού, που εκρέει κατά το χρονικό διάστημα (t, t+dt), είναι εκείνη

που περιέχεται στο νερό που ξεχειλίζει κατά το χρονικό αυτό διάστημα. Από τη δεξαμενή ξεχειλίζει νερό με ρυθμό ίσο με το ρυθμό με τον οποίο προσάγεται άλμη στη δεξαμενή, δηλαδή ίσο με q. Επομένως, κατά τη διάρκεια dt του θεω-ρουμένου χρονικού διαστήματος, ξεχειλίζει όγκος νερού qdt. Αφού η συγκέν-τρωση είναι σταθερή σ' όλο τον όγκο της δεξαμενής, η τιμή της συγκέντρωσης θα είναι m/V, (όπου m η διαλυμένη μάζα του αλατιού και V ο όγκος της δεξα-μενής). Άρα ο όγκος qdt του νερού που ξεχειλίζει σε χρόνο dt περιέχει μάζα αλατιού [m/V]qdt. Όμοια βρίσκουμε ότι η μάζα αλατιού που εισρέει κατά το θεωρούμενο χρονικό διάστημα είναι cqdt. Έχουμε λοιπόν:

ήm dmdm cqdt qdt qdtmV cV

= − =−

(1)

H (1) είναι μια Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών. Μπορούμε να βρούμε τη γε-

νική της λύση και στη συνέχεια να προσδιορίσουμε τη σταθερά από την απαί-τηση να είναι m=0 για t=0. (Πράγματι, αρχικά η δεξαμενή περιέχει καθαρό νερό και συνεπώς η μάζα m του εν διαλύσει αλατιού είναι μηδέν). Ισοδύναμος και συντομότερος τρόπος για την εύρεση της λύσης που ενδιαφέρει είναι να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα και των δυο μελών της (4) με όρια 0 ως t στο δεξιό μέλος και 0 ως m στο αριστερό. Έχουμε:

00

ln ln ln 1

mtdm m q m qq dt c c t tm V V cV Vc

V

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ − − = − ⇒ − = − ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−

⌠⎮⎮⌡

∫


1 1q qt tV Vm e m cV e

cV− −⎡ ⎤

− = ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

Στην λύση αυτή αντικαθιστούμε τα αριθμητικά δεδομένα:

3gr lit0,5 , 5m , 3lit min

c V q= = =

Έχουμε: 3gr gr0,5 5m 0,5 5000lit=2500grlit lit

cV = =

13

lit3q 3min minV 5m 5000

−= =

Οπότε η λύση γράφεται:

( )13 min

50002500 1 grt

m t e−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Για 1 0 m i nt = η μάζα του αλατιού θα είναι:

( )3 10

50002500 1 gr=14,9grm t e⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Στο παραπάνω σχήμα βλέπουμε την γραφική παράσταση της ( )m t , η οποία

για t → ∞ τείνει ασυμπτωτικά στην διακεκομμένη γραμμή m cV= . Παράδειγμα 4: Όταν ένα σώμα κινείται μέσα σ' ένα ρευστό, το ρευστό ασ-

κεί στο σώμα μια δύναμη FR που έχει την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά προς τη ταχύτητα του σώματος, (αντίσταση του ρευστού). Το μέτρο της αντίσ-τασης του ρευστού, υπό ορισμένες συνθήκες είναι ανάλογο της ταχύτητας του σώματος, ενώ υπό ορισμένες άλλες συνθήκες(9 είναι ανάλογο του τετραγώνου της ταχύτητας. Είναι δηλαδή:

R 1 F vκ= (1) 2

R 2F vκ= (2)

(9 Ακριβέστερα οι (1) και (2) ισχύουν αντιστοίχως για μικρές και μεγάλες τιμές του

″αριθμού Reynolds″ Re, ο οποίος ορίζεται από τη σχέση Re vln

ρ= όπου ρ η πυκνότητα

του ρευστού, n το ιξώδες, v η ταχύτητα του σώματος και l κάποια γραμμική διάσταση του σώματος.


όπου v η ταχύτητα του σώματος και κ1, κ2 συντελεστές ανεξάρτητοι της τα-χύτητας.

Να υπολογιστεί, σε μια τυχαία χρονική στιγμή η ταχύτητα ενός σώματος μάζας m που πέφτει από ύψος h0 χωρίς αρχική ταχύτητα,

α) με την παραδοχή ότι η αντίσταση του αέρα δίνεται από την (1) και β) με την παραδοχή ότι η αντίσταση του αέρα δίνεται από την (2). Λύση: Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι:

RF m g F= − Γράφοντας την επιτάχυνση ως γ=dv/dt, μπορούμε να γράψουμε την εξίσω-

ση F=mγ υπό τη μορφή:

Rdvmg F mdt

− = (3)

α) Αν η FR δίνεται από την (1), η (3) γίνεται:

11

dv dvmg v m dtdt g v

m

κ κ− = ⇒ =−

Τη στιγμή t=0 η ταχύτητα είναι v=0 και τη στιγμή t η ταχύτητα είναι v. Ο-

λοκληρώνουμε λοιπόν και τα δυο μέλη της τελευταίας εξίσωσης με όρια 0 ως t στο δεξιό μέλος και 0 ως v στο αριστερό και παίρνουμε:

1

1 1 1 1

0 0 1

ln ln

vv

dv m dv gm mgt t v tmg mvg vm

κκ κ κ κ

κ

= ⇒ = ⇒ − − = −−−

⌠⌠⎮⎮

⎮ ⎮⌡ ⌡

Αφού για t=0 είναι v=0, στην αρχή τουλάχιστον της κινήσεως θα είναι v<mg/κ1. Στην περίπτωση αυτή, παραλείπουμε τα σύμβολα των απολύτων τι-μών και έχουμε:

1 11 1 1

1

ln 1 1 1t t

m mmgv t v e v emg m mg

κ κκ κ κκ

− −⎡ ⎤⎛ ⎞− = − ⇒ − = ⇒ = −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎣ ⎦

Η γραφική παράσταση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου δίνεται στο παρακάτω σχήμα. Παρατηρούμε ότι όταν t→ ∞ η ταχύτητα τείνει σε μια οριακή τιμή vορ=mg/κ1 . Ποτέ το v δεν γίνεται μεγαλύτερο από mg/κ1 και επο-μένως πάντα ισχύει η παραδοχή v<mg/κ1 με την οποία παραπάνω παραλείψαμε το σύμβολο της απόλυτης τιμής από τη μεταβλητή των λογαριθμικών συναρ-τήσεων. Άρα η λύση που βρήκαμε ισχύει για κάθε t∈[0,∞).


V

t

mg/κ1

(Να εξετασθεί η περίπτωση που η αρχική ταχύτητα 0v είναι διάφορη του μηδε-νός)

β) Αν η FR δίνεται από την (2), η (3) γράφεται:

22

22 1

dv dvmg v m gdtdt v

mg

κ κ− = ⇒ = −−

Ολοκληρώνοντας τα δυο μέλη της εξίσωσης αυτής με όρια 0 και v στο α-

ριστερό μέλος και 0 ως t στο δεξιό, παίρνουμε:

2

222

0

1

v

d vmgmg gtv

mg

κ

κκ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = −

−

⌠⎮⎮⎮⎮⌡

(4)

Θέτουμε 2x vmgκ

= και αναλύουμε τη συνάρτηση μέσα στο ολοκλή-

ρωμα του αριστερού μέλους σε απλά κλάσματα: 2

11 1 1

A Bx x x

= +− − +

Βρίσκουμε κατά τα γνωστά, Α=1/2, Β=-1/2 και

2

1 1 1 1ln 1 ln 1 ln1 2 2 2 1

dx xx x cx x

−= − − + = +

− +⌠⎮⌡

Στο κάτω όριο του ολοκληρώματος έχουμε v=0 και επομένως x=0, οπότε


0

1 1 1ln ln(1) 02 1 2

x

xx

=

⎛ − ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

Επομένως η (4) γίνεται τελικά:

2

1 1ln2 1

mg x gtxκ

−= −

+ (5) Επειδή για t=0 είναι v=0, θα είναι, τουλάχιστον στην αρχή της κίνησης

2 1vmgκ

− < ή x<1, οπότε |x-1|=1-x. Η (5) γράφεται τότε:

2221 1ln 2

1 1t

mgx xt ex m x

κκ −− −⎛ ⎞ = − ⇒ =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Αντικαθιστώντας την έκφραση 2x vmgκ

= και λύνοντας ως προς v παίρ-

νουμε τελικά:

2

2

2

22

1

1

gtm

gtm

mg eve

κ

κκ

−

−

−=

+

Η έκφραση αυτή, αν πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρανομαστή του

κλάσματος του δεξιού μέλους επί 2 g tme

κ

γράφεται:

2 2

2 2

2

2 2

tanh

g gt tm m

g gt tm m

mg e e mg gv tm

e e

κ κ

κ κ

κκ κ

−

−

⎡ ⎤−= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦+ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής, για t≥0, δίνεται στο πα-

ρακάτω σχήμα. Παρατηρούμε ότι όταν t→∞ , v→ 2

mgvορ κ= Ποτέ το v δεν

γίνεται μεγαλύτερο από 2

mgκ

και επομένως πάντα ισχύει η παραδοχή x<1 με

βάση την οποία θέσαμε |x-1|=1-x. Η λύση που βρήκαμε ισχύει επομένως για κάθε t∈[0.∞).


V

t

mg/κ2

Παράδειγμα 5: Σ ένα σύστημα ορθογωνίων συντεταγμένων ΟXY να βρεθεί

μια καμπύλη y=y(x) της οποίας η εκ περιστροφής επιφάνεια γύρω από τον άξο-να OX να έχει την εξής οπτική ιδιότητα: Κάθε φωτεινή ακτίνα με πηγή το ση-μείο Ο να ανακλάται παράλληλα προς τον άξονα OX.

Λύση: Έστω Μ ένα σημείο της καμπύλης y=y(x) με συντεταγμένες (x,y). Φέρουμε την εφαπτομένη στο Μ, η οποία τέμνει τον ΟΧ στο σημείο A, και την κάθετο στην εφαπτομένη στο σημείο Μ, η οποία τέμνει τον OX στο σημείο Β, (βλέπε αντίστοιχο σχήμα).

Σύμφωνα με τον νόμο της ανάκλασης πρέπει <ΟΜΒ=<ΒΜΚ=φ(10. Επειδή η ΜΚ είναι παράλληλη προς τον άξονα ΟΧ έχουμε <ΒΜΚ=<ΜΒΟ. Επίσης το τρίγωνο ΑΒΜ είναι ορθογώνιο και επομένως <BΑΜ=90-φ=ω. Στη συνέχεια έχουμε:

tanω=y′=cotφ=(τριγ. ΝΒΜ) BN BNMN y

= ⇒ yy′=BN=OB-ON=OB-x

αλλά ΟΒ=(τριγ.ΟΜΒ=ισοσκ.)=ΟΜ=(τριγ.ΟΝΜ=ορθ.) 2 2 2 2ON +NM x y= +

Άρα 2 2yy x y x′ = + − (1)

(10 Με το σύμβολο <ΒΜΚ θα εννοούμε την γωνία που σχηματίζουν τα ευθύγραμμα

τμήματα ΒΜ και ΜΚ.


Η Δ.Ε. (1) δεν ανήκει σε καμία από τις προηγούμενες περιπτώσεις. Μπο-

ρεί όμως να γίνει χωριζομένων μεταβλητών ως εξής:

2 2 2 2 2 21 ( )2

dyy x x y x y x ydx

′ + = + ⇒ + = +

Θέτουμε: 2 2x y z+ = ⇒

2 2 2 2dz dzz dx z x c z x cdx z

′= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + ⇒

( ) ( )2 22 2 2 22z x c x y x c y c x c′ ′ ′ ′= + ⇒ + = + ⇒ = +

Επομένως οι καμπύλες, που ικανοποιούν το πρόβλημα είναι παραβολές και είναι άπειρες σε πλήθος.

Υπενθυμίζουμε ότι εάν ( ), 0f x y = είναι η εξίσωση μιας επίπεδης καμπύ-λης, τότε η εξίσωση της επιφάνειας που προκύπτει όταν περιστρέψουμε την καμπύλη ως προς τον άξονα Οx κατά 1800 μοίρες είναι η

( )2 2, 0f x y z± + = . Επομένως η εξίσωση των παραβολών 2 22y c x c′ ′= +

κατά την περιστροφή τους γύρω από τον άξονα Οx παράγουν επιφάνειες με εξίσωση 2 2 22y z c x c′ ′+ = + δηλαδή παραβολοειδείς επιφάνειες.

3.1Γ Προβλήματα Εφαρμογών

1) Οι αμοιβάδες πολλαπλασιάζονται με "διχοτόμηση": κάθε αμοιβάδα, μετά παρέλευση, (κατά μέσο όρο), χρόνου τ από τη "γέννηση" της, διχοτομείται και δίνει δυο αμοιβάδες. Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε τη μέση ζωή τ των αμο-


ιβάδων. Για το σκοπό αυτό μετρούμε τον αριθμό Ν των αμοιβάδων σε μια καλλιέργεια τη στιγμή t=0 και τη στιγμή t=t1 και βρίσκουμε Ν0 και Ν1 αντίσ-τοιχα. Να υπολογιστεί το τ. (Υπόδειξη: Σε χρόνο τ ο αριθμός των αμοιβάδων διπλασιάζεται.)

Απάντηση: 11

0

ln 2

lnt

NN

τ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2) Όταν μια ακτινοβολία, (π.χ. ακτίνες Χ ή νετρόνια), διαπερνάει κάπο-ιο υλικό πάχους dx, η ένταση της Ι μειώνεται κατά dI=-μIdx, όπου μ σταθε-ρός συντελεστής που εξαρτάται από τη φύση του υλικού. Αν η ακτινοβολία προσπίπτει με αρχική ένταση Ι0 σε μια επίπεδη πλάκα από κάποιο υλικό και βγαίνει από την πίσω επιφάνεια της πλάκας με ένταση Ι0/10 να υπολογιστεί, (συναρτήσει του μ), το πάχος της πλάκας.

Απάντηση: x=ln10/μ 3) Να λυθεί το παράδειγμα 3, αν τη στιγμή t=0, όχι μόνο αρχίζει να εισρέει

άλμη στη δεξαμενή αλλά ρίχνουμε στη δεξαμενή και μια μάζα στερεού αλατι-ού Μ=2kg, και αμελητέου όγκου, σε σχέση με τον όγκο της δεξαμενής, η οποία διαλύεται με σταθερό ρυθμό r=1 gr/min.

4) Μια τορπίλη μάζας m εκτοξεύεται οριζοντίως με αρχική ταχύτητα v0 και επιβραδύνεται από μια δύναμη ανάλογη προς την ταχύτητα της. Υποθέτον-τας ότι καμία άλλη δύναμη δεν ασκείται στη τορπίλη, βρείτε τη ταχύτητα της και το διάστημα που έχει διανύσει μετά παρέλευση χρόνου t από την εκτόξευ-ση της.

Αριθμητική εφαρμογή: v0=60km/h, m=100kg. k1=4×10-3 kg/sec.

Απάντηση: 1 1

00

1

, 1k kt tm mv mv v e S e

k− −⎡ ⎤

= = −⎢ ⎥⎣ ⎦

5) Ο ρυθμός με τον οποίο ψύχεται ένα θερμό σώμα είναι ανάλογος της διαφοράς μεταξύ της θερμοκρασίας του σώματος και της θερμοκρασίας του μέσου που περιβάλλει το σώμα. Αν η θερμοκρασία κάποιου σώματος σε μια ώρα έπεσε από 1200 C σε 700 C και η θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι σταθερή και ίση με 200 C, σε πόσο χρόνο θα πέσει η θερμοκρασία του σώμα-τος στους 300 C ;

Απάντηση: Σε t=ln10/ln2= 3,32h. 6) Ένας αλεξιπτωτιστής αρχίζει να πέφτει από ύψος h0=1000m και ανοίγει

αμέσως το αλεξίπτωτο του. Το σύστημα αλεξιπτωτιστή - αλεξιπτώτου έχει μά-ζα m=85kg. Η αντίσταση FR του αέρα δίνεται από το νόμο FR=k1v, όπου k1=425 kg/sec σταθερός συντελεστής και v η (εκάστοτε) ταχύτητα του αλεξιπτωτιστή. Να υπολογιστεί η ταχύτητα v και το ύψος h του αλεξιπτωτιστή σε μια τυχαία χρονική στιγμή t. Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις v(t) και h(t).


Απάντηση: ( ) 1 ktgv t ek

−⎡ ⎤= −⎣ ⎦ με k=k1/m, 0 2( ) 1 ktg gh t h t ek k

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

7) Nα λυθεί η προηγούμενη άσκηση αν ο αλεξιπτωτιστής δεν ανοίξει το αλεξίπτωτο του αμέσως, αλλά όταν φτάσει σε ύψος h1=500m. Στην περίπτωση αυτή δεχθείτε ότι από το ύψος των h0=1000m ως το ύψος των h1=500m, (η ροή είναι "τυρβώδης"), η αντίσταση του αέρα δίνεται από τη σχέση FA

(T)=1/2ρcDσv2, όπου ρ η πυκνότητα του ρευστού, cD=1,1 αδιάστατος συντε-λεστής, και σ=0,4m2 η "μετωπική" επιφάνεια του αλεξιπτωτιστή. Από το ύψος των 500m και κάτω η ροή είναι "στρωτή" και ισχύει ότι η FR είναι ανάλογη της ταχύτητας, (βλ. προηγούμενη άσκηση).

3.2 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μια άλλη κατηγορία Δ.Ε. 1ης τάξης, που μπορεί να επιλυθεί, είναι οι ομο-γενείς Δ.Ε.

Ορισμός: Μια συνάρτηση n μεταβλητών 1 2( , , , )nf f x x x= λέγεται ομο-

γενής ως προς x1, x2, ⋅⋅⋅, xn με βαθμό ομογένειας ν εάν ισχύει

1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n nf x x x f x x xνλ λ λ λ=

για κάθε πραγματικό αριθμό λ. Παραδείγματα: α) Η συνάρτηση 3 2 2 4( , )f f x y x y x y y= = − + είναι ομογενής ως προς

x και y με βαθμό ομογένειας ν=4 διότι

( )( )

3 2 2 4 4 3 2 2 4

4

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,

f x y x y x y y x y x y y

f x y

λ λ λ λ λ λ λ λ

λ

= − + = − + =

=

β) Η συνάρτηση 3

2( , , ) xzf f x y z xy xyzy

= = + + είναι ομογενής με

βαθμό ομογένειας ν =3, διότι

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )

32

33 2 3

( )( ), ,

, ,

x zf x y z x y x y zz

xzxy xyz f x y zy

λ λλ λ λ λ λ λ λ λλ

λ λ

= + + =

⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥

⎣ ⎦ γ) Η συνάρτηση ( ), sinf f x y x y xy= = − δεν είναι ομογενής, διότι

δεν υπάρχει αριθμός ν τέτοιος ώστε:


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ή sin sinf x y f x y x y x y x y xyν νλ λ λ λ λ λ λ λ= − = −

Ας θεωρήσουμε τώρα τη διαφορική εξίσωση:

( , )( , )

dy g x ydx h x y

= (1)

όπου οι συναρτήσεις g(x,y) και h(x,y) είναι ομογενείς του ίδιου βαθμού, έστω ν. Τότε θα έχουμε:

( ) ( ) ( ) 1, , , ( , )g x y g x y g x y g x yν

νλ λ λ λ λλ

⎛ ⎞= ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

και ( ) 1, ( , )h x y h x yν

λ λλ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Αν στις δυο αυτές σχέσεις θέσουμε λ=1/x προκύπτει:

( ), 1, yg x y x gx

ν ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ), 1, yh x y x hx

ν ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

και η εξίσωση (1) γίνεται:

*

*

1, 1,

1, 1,

y y yx g g gdy yx x x F

y y ydx xx h h hx x x

ν

ν

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2)

όπου * 1,y yg gx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

και * 1,y yh hx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Εάν θέσουμε ( )y R xx

= μπορούμε να ανάγουμε την (2) σε Δ.Ε. χωριζομέ-

νων μεταβλητών. Πράγματι αν:

( ) ( )( ) ( )y x dy dRR x y x R x x x Rx dx dx

= ⇒ = ⇒ = +

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή του dy/dx στη (2) παίρνουμε:

( ) ( )( )

dR dR dR dxx R F R x F R Rdx dx F R R x

+ = ⇒ = − ⇒ = ⇒−

ln( )dRx c

F R R= +

−⌠⎮⌡

(3)


Από την (3), ολοκληρώνοντας και λύνοντας ως προς R μπορούμε κατ’ αρχήν

να βρούμε το R, (και επομένως και το y), ως συνάρτηση του x.

Παράδειγμα 1. Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.: 2 22 dyxy x ydx

= +

Λύση: Έχουμε:

222

22 2

2

1 1

22 2

y yxxdy x y xy ydx xy x

x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4)

με ( )y R xx

= παίρνουμε y=R(x)x ⇒ dy dR x Rdx dx

= + οπότε η (4) γίνεται:

2 2 21 1 1

2 2 2dR R dR R Rx R x Rdx R dx R R

+ + −+ = ⇒ = − = ⇒

Χωρίζοντας τις μεταβλητές βρίσκουμε:

12

21

RdR dx cR x

= +−

⌠⌠⎮ ⎮⌡ ⌡

⇒ -ln(1-R2 )=lnx=lnc2 ⇒ 1-R2 = 2cx

⇒ x2-y2=c2x

Παράδειγμα 2. Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.

2

2 2

2 2

3

3

xy

x xy y

xyey

y y e xye

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

′ =

+ +

Λύση: Επειδή στους εκθέτες εμφανίζεται ο λόγος x/y είναι απλούστερο στην περίπτωση αυτή να θέσουμε x/y=R. Έχουμε τότε:

dx dRx Ry dx Rdy ydR R ydy dy

⎡ ⎤= ⇒ = + ⇒ = + ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (5)

Εξ άλλου

2 2

2

2 21 3

3

x xy y

xy

dx y y e xyedydy

xyedx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ += =

Διαιρώντας αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος αυτού δια y2 και

χρησιμοποιώντας την (5) βρίσκουμε:


2 2 2 2

2 2 2

1 3 e 1 3 e-3 e 3 e 1

R R R R

R R R

dR e R e dy Ry R dRdy yR R e

+ + += + = ⇒ = ⇒

+

2 2

2 223 e 3 e 3 e 3ln | | ln 1

2 2 1 21 1

R R

R R

Ry dR dR d e cee e

ωω

ω ω= = = = + +++ +

⌠ ⌠ ⌠⎮⎮ ⎮ ⌡⌡ ⌡

όπου ω=R2. Τελικά βρίσκουμε: 2

2

32

1 1xyy c e

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

με lnc1=c

Παρατήρηση: Στην ομογενή Δ. Ε. ( ),y f x y′ = η συνάρτηση ( ),f x y δεν εξαρτάται χωριστά από τα κ α ιx y , αλλά μόνο από τον λόγο /y x . Κατά συνέπεια τα διευθύνοντα στοιχεία, που ορίζονται στα σημεία των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων, (και έχουν εξίσωση ή /y kx y x k= =

), έχουν την ίδια κλίση, ( )k . Επίσης οι ολοκληρωτικές καμπύλες και το διευθύ-νον πεδίο είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων.

Διευθύνον πεδίο και ολοκληρωτικές

καμπύλες της Δ. Ε. 2

2

2dy y xydx x

+=

Τα διευθύνοντα στοιχεία σε όλα τα σημεία των ευθειών, που διέρχον-ται από την αρχή των αξόνων, έχουν την ίδια κλήση

Ασκήσεις: Για όσες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι ομογενείς, να βρεθεί

η γενική λύση.

1. y xy

x−′ = Απ. ln cy x

x=


2. 23x yy

xy+′ = Aπ. μη ομογενής

3. 2 22x yy

xy+′ = Aπ. 2 4 2y cx x= −

4. 2y xy

x+′ = Aπ. 2y c x x= −

5. 2 2

2x yy

xy+′ = Aπ. 2 2y x cx= −

6. yy

x xy′ =

+ Aπ. 2 lnx y c

y− + =

7. y′=( )

2

1/ 32

y

xy xy+ Aπ. μη ομογενής

8. y′=4 2 2 4

3

3x x y yx y

+ + Aπ. 2 2

2

11ln | |

y xcx

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

3.2A ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ: 1 1 1

2 2 2

x ydydx x y

α β γα β γ

+ +=

+ +

Με την αντικατάσταση 0 0, x x X y y Y= + = + στην Δ. Ε.

1 1 1

2 2 2

x ydydx x y

α β γα β γ

+ +=

+ + (1) όπου

0 0,x y σταθερές, που θα προσδιοριστούν κατάλληλα, η (1) γράφεται:

1 1 1 0 1 0 1

2 2 2 0 2 0 2

X Υ x ydYdX X Υ x y

α β α β γα β α β γ

+ + + +=

+ + + + (2)

Αν τα x0, y0 επιλεγούν έτσι ώστε:

1 0 1 0 1 2 0 2 0 20 κα ι 0x y x yα β γ α β γ+ + = + + = (3)

τότε η (2) ανάγεται στην ομογενή διαφορική εξίσωση:

1 1

2 2

dY X YdX X Y

α βα β

+=

+ (4)


Για να μπορούμε από τις (3) να προσδιορίσουμε τα 0 0,x y πρέπει η ορίζου-

σα των συντελεστών των 0 0,x y να είναι διάφορη του μηδενός, δηλαδή πρέπει

1 2 2 1 0α β α β− ≠ . Αν αυτό δεν συμβαίνει, δηλαδή αν 1 2 2 1 0α β α β− = , τότε θα

έχουμε2 1 2 1/ /α α β β= . Ονομάζοντας π.χ. λ τη σταθερή τιμή αυτού του λόγου,

έχουμε 2 1α λα= και

2 1 β λβ= , οπότε η (1) γράφεται:

1 1 1

1 1 2( )dy x ydx x y

α β γλ α β γ

+ +=

+ + (5)

Στην περίπτωση αυτή θέτουμε: 1 1 R x yα β= +

(6)

οπότε 1 1dR dydx dx

α β= + (7)

Αντικαθιστώντας στην (5) τα 1 1 κα ι /x y d y d xα β+ από τις (6) και (7)

βρίσκουμε, με απλές πράξεις:

11 1

2

RdRdx R

γ β αλ γ

+= +

+ (8)

Η (8) είναι Δ.Ε. με χωριζόμενες μεταβλητές.

Παράδειγμα 1 Να λυθεί η εξίσωση 21

dy x ydx x y

+ +=

− + (9)

Λύση: Με την αντικατάσταση 0 0,x X x y Y y= + = + η (9) γράφεται:

0 0

0 0

21

X Y x ydYdX X Y x y

+ + + +=

− + − + (10)

και θέτοντας 0 0 0 02 0 κα ι 1 0x y x y+ + = − + = βρίσκουμε:

x0=-3/2 και y0=-1/2. Έτσι θα έχουμε 3 / 2 και 1/ 2x X y Y= − = − . Η (10) στη συνέχεια γίνεται:

1

1

YdY X Y X

YdX X YX

++= =

− − (11)

Εάν θέσουμε /R = Υ Χ , τοτεY RX= ⇒dY dR X RdX dX

= + και η (11)

γράφεται:


2

1 11 1

dR R R dXX R dRdX R R X

+ −+ = ⇒ =

− + Ολοκληρώνοντας και θέτοντας R / , 1 / 2X Y Y y= = + και 3 / 2X x= +

βρίσκουμε τελικά:

21 132 2arctan ln 1 ln3 3 2

2 2

y yx c

x x

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + = + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Παράδειγμα 2. Να λυθεί η εξίσωση 1

dy x ydx x y

+=

− − (12)

και να βρεθεί η μερική λύση που περνάει από το σημείο (1, 1). Λύση: Με την αντικατάσταση 0 0,x X x y Y y= + = + παίρνουμε από την (12):

0 0

0 01X Y x ydY

dX X Y x y+ + +

=− − − −

Παρατηρούμε ότι το σύστημα 0 0 0 00 και 1 0x y x y+ = − − = δεν έχει λύση. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε x+y=R, οπότε / / 1dy dx dR dx= − . Η (12) γίνεται τότε:

111 1

dR Rdx R R

= + =− −

Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε: 21 / 2( )y x y c= + + .

Για να περνάει η λύση από το σημείο (1,1) πρέπει να είναι 1=1/2(1+1)2+c ή c=-1. Η ζητούμενη λύση είναι λοιπόν:

21 ( ) 12

y x y= + −

Άσκηση Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. 2 3 13 4 1

x yyx y

+ +′ = −+ +

(Απ. x2+3xy+2y2+x+y=c)

3.2B Παραδείγματα εφαρμογών των Ομογενών Δ. Ε.

1) Διαγράμματα φάσεως Θεωρούμε την κίνηση ενός συστήματος με ένα βαθμό ελευθερίας που πε-

ριγράφεται από την Δ.Ε. 2ας τάξεως


( , )x F x x= (1) όπου x η γενικευμένη συντεταγμένη της οποίας η παράγωγος x είναι ως προς τον χρόνο t. Η (1) είναι ισοδύναμη με το παρακάτω σύστημα Δ.Ε. πρώτης τά-ξης:

x y= και ( , )y F x y= (2) Μια λύση αυτού του συστήματος είναι η x=x(t), y=y(t). Θεωρούμε ένα ορ-

θογώνιο σύστημα δυο αξόνων, όπου ο ένας άξονας παριστάνει την ταχύτητα y x= και ο άλλος την θέση x. Ο δισδιάστατος αυτός χώρος ονομάζεται φασι-κός χώρος ή χώρος των φάσεων. Σε κάθε χρονική στιγμή έχουμε ένα ζεύγος ( , ) ( , )x x x y= που ορίζει ένα σημείο του φασικού χώρου. Το σημείο αυτό ονομάζεται φασικό σημείο. Το σύνολο των σημείων από τα οποία περνάει το σύστημα κατά την διάρκεια της κίνησής του ορίζουν την καμπύλη φάσεως. Το σύνολο των καμπυλών ονομάζεται διάγραμμα φάσεως. Τρόπος εύρεσης των καμπυλών φάσεως: Από το σύστημα των Δ.Ε. (2)

απαλείφοντας το χρόνο διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη θα έχουμε: ( , ) ( , )y F x y dy F x y

x y dx y= ⇒ = (3)

Η (3) είναι μια Δ.Ε. 1ης τάξης, της οποίας οι λύσεις είναι οι καμπύλες φά-σεως.

Ας προσδιορίσουμε το διάγραμμα φάσεως στην περίπτωση της απλής αρμο-νικής ταλάντωσης με απόσβεση. Η εξίσωση της κίνησης είναι:

x K x b x= − − με , 0K b>

όπου Κ είναι η σταθερά επαναφοράς του ελατηρίου και b μια σταθερά αναλο-γίας, αφού έχουμε θεωρήσει την απόσβεση ανάλογη της ταχύτητας. Στην πε-ρίπτωσή μας έχουμε:

( , )F x y Kx by= − − . Θεωρούμε ότι m=1, και ότι η απόσβεση είναι μικρή έτσι ώστε 2 4b K< ο-

πότε η (3) γράφεται: dy Kx bydx y

− −= (4)

Η (4) είναι ομογενής Δ.Ε. πρώτου βαθμού. Έτσι:

y yx K b K bdy x x

ydx yx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − = − (5)


Θέτουμε: ( ) ( )y dy dRR x y xR x R xx dx dx

= ⇒ = ⇒ = + .

Επομένως η (5) γράφεται: ( )dR K bR dRR x x

dx R dx+

+ = − ⇒ =

2

2

( )K bR dR K bR R RdR dxR xR dx R R bR K x+ − − −

− − ⇒ = ⇒ = − ⇒+ +

2

RdR dxK bR R x

= −+ +

⌠ ⌠⎮ ⎮⌡ ⌡

.

Θα υπολογίσουμε πρώτα το αριστερό ολοκλήρωμα:

2 2 2

1 2 1 (2 )2 2

RdR RdR R b b dRR bR K R bR K R bR K

+ −= = =

+ + + + + +⌠ ⌠ ⌠⎮ ⎮ ⎮⌡ ⌡ ⌡

2

2 2 2

1 2 1 ( )2 2 2

R b b dR d R bR KdRR bR K R bR K R bR K

+ + += − = −

+ + + + + +⌠⌠ ⌠⎮ ⎮ ⎮⌡ ⌡ ⌡

( )2

2 2

1 ln2 2 2b dR b dRR bR K

R bR K R bR K− = + + −

+ + + +⌠ ⌠⎮ ⎮⌡ ⌡ .

Στη συνέχεια υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:

2

dRR bR K+ +

⌠⎮⌡ (6)

2 22

2 4b bR bR K R K

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + = + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

οπότε το (6) γράφεται:

2 2

2 4

dRb bR K

⎛ ⎞⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⌠⎮⎮⎮⌡

και θέτοντας 2

2 4b bR K t+ = − θα έχουμε:

2

2 22 22 22

141

4 42 4 4

bK dtdR dttb bb b bK t KR K K

−= = =

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ − + −+ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⌠⌠ ⎮

⌠⎮ ⎮ ⎮⎮ ⌡⎮⎮⌡ ⎮

⌡

52 ♦ ΚΕΦΑΛΑ

K=

Άρα τελικά

2

RdRR bR+

⌠⎮⌡

Έτσι θα έχο

( 21 ln2

R +

και θέτοντα

2

2

1 ln2

yx

⎛+⎜

⎝

ΑΙΟ 3

1

2

1 tan

4bK

−

⎛⎜⎜⎜

− ⎜⎝

ά:

(1 ln2

R RR K

=+

ουμε:

) 2bbR K+ −

ας yRx

= παίρν

2y bb Kx

⎞+ + −⎟

⎠

22

4

bR

bK

⎞⎟+⎟⎟

− ⎟⎠

.

)2R bR K+ + −

1

2

1 tan

4bK

−

⎛⎜⎜⎜

− ⎜⎝

νουμε την τελι

2

1 tan

4bK

−

−

2

1 ta2

4

bbK

−

−

22

4

bR

bK

⎛ ⎞⎟+⎟ =⎟

− ⎟⎝ ⎠

ική λύση:

1

22

4

y bx

bK

−

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎝ ⎠

1

22an

4

bR

bK

−

⎛⎜ +⎜⎜

−⎜⎝

ln x C− +

ln x C

⎞⎟⎟ = − +⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .


2) Τροχιά μιας βάρκας κατά μήκος ενός ποταμού. Θέλουμε να προσδιορίσουμε την καμπύλη πάνω στην οποία κινείται μια

βάρκα η οποία έχει σχετική ταχύτητα vβ ως προς το νερό, το ρεύμα του οποίου έχει ομοιόμορφη ταχύτητα vπ

κατά την αρνητική φορά του άξονα Οy. Το μέτρο

της ταχύτητας της βάρκας v vβ β= είναι σταθερό αλλά το διάνυσμα vβ διευθύ-

νεται πάντα προς την αρχή των αξόνων. Έστω ότι η βάρκα εισέρχεται από το σημείο (c,0) και κατευθύνεται προς την αρχή των αξόνων.

Η κίνηση της βάρκας μπορεί να αναλυθεί στους άξονες Οx, Οy. Στον άξονα Οx κινείται με ταχύτητα

, cosxdxvdtβ βν θ= = −

(1) (το - οφείλεται στο ότι κινείται στην αρνητική κατεύθυνση του άξονα Οx), ενώ στον άξονα Oy με

, sinydyvdtβ π βν ν θ= = − − (2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2) θα έχουμε: sin

cosdydx

π β

β

ν ν θν θ

− −=

− (3)

Όμως 2 2 2 2

sin , cosy xx y x y

θ θ= =+ +

οπότε η (3) θα γραφεί:


2 2 2 22 2

2 2

yx y y x y yx ydy

xdx x xx y

π βπ β π β

β ββ

ν νν ν ν ν

ν νν

− −− + − + ++

= = =−−

+ δηλαδή τελικά έχουμε:

2 2x y ydydx x

π β

β

ν νν+ +

= (4)

που είναι ομογενής Δ.Ε. Λύνοντας την (4) θα έχουμε: 2

22

211

y yy xx y x xdy xdx x x

π βπ β

β β

ν νν ν

ν ν

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠= = =

2

21 y yx xπ β

β

ν ν

ν

+ += (5)

Θέτουμε ( ) ( )y R x y xR xx

= ⇔ = οπότε θα έχουμε:

dy dRR xdx dx

= +.

Έτσι η (5) γράφεται: 21 R RdRR x

dxπ β

β

ν νν

+ ++ = ⇒

2

211

R R RdRx Rdx

π β β π

β β

ν ν ν νν ν

+ + −= = + ⇒

( )2 π

2ln 1 ln

1 b

vdR dx R R x Kx vR

π

β

νν

= ⇒ + + = ++

Θέτοντας:

( )2 2π1, ln 1 ln R+ 1+Rv R R x K K x

vα

β

α α= + + = + ⇒ =


οπότε: 2 22

2 2 11 1 121

y x yy y K x K x y x y K xx x x

α α α++ ++ + = ⇒ = ⇒ + + =

(6)

Πολλαπλασιάζουμε την (6) με 2 2y- x +y και έχουμε:

( ) ( ) ( )1 12 2 2 α+ 2 2 2 α+ 2 21 1y - x +y =K x y- x +y -x =K x y- x +y⇒

2 2 1

1/y x y x Kα−⇒ − + = − (7)

Προσθέτουμε τις (6) και (7): 1

1 1 11 1

1 1

1 122

xy K x y K x xK K

αα α α

−+ + −⎛ ⎞

= − + ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

α) Εάν θέλουμε η βάρκα να φθάσει στην αρχή των αξόνων, θα πρέπει

y(0)=0 και αυτό συμβαίνει μόνο όταν 1-α>0, δηλαδή 1>α=vv

π

β

⇒ vβ>vπ.

β) Εάν α>1 δηλαδή vβ<vπ τότε limx→0 y(x)=-∞, δηλαδή η βάρκα δεν θα φθάσει στο σημείο (0,0) αλλά ούτε και στην απέναντι όχθη.

γ) Εάν α=1 τότε limx→0y(x)=-K1 /2 H σταθερά K1 μπορεί να προσδιοριστεί από την αρχική συνθήκη:

( )1

1 2 2 21 1 1 1

1

10 0 02

cy c K c K c c K c cK

αα α α α α

−+ − − −⎛ ⎞

= ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ Κ =⎜ ⎟⎝ ⎠

3) Γραμμές Διανυσματικού πεδίου.

Έστω )z,y,x(AA = ένα διανυσματικό πεδίο. Γραμμές του διανυσματι-κού πεδίου A ονομάζουμε τις καμπύλες εκείνες που σε κάθε σημείο τους (x,y,z) η εφαπτομένη έχει την διεύθυνση του A . Αν το A παριστάνει μια δύ-ναμη τότε θα μιλάμε για δυναμικές γραμμές, ενώ όταν το A παριστάνει την ταχύτητα ενός ρευστού τότε οι γραμμές του διανυσματικού πεδίου A μας δίνο-υν τις ρευματικές γραμμές. Οι Δ.Ε. των γραμμών ενός διανυσματικού πεδίου δίνονται από τις σχέσεις:

x y z

dx dy dzA A A

= =

Πράγματι: Έστω C μια γραμμή του διανυσματικού πεδίου A με διανυσμα-τική παραμετρική εξίσωση:

( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k= + +


Επειδή το εφαπτομενικό διάνυσμα ( )dr t

dt της καμπύλης C είναι παράλληλο

προς το διανυσματικό πεδίο A θα έχουμε:

( ) ( ) ( )( ) A , , x y z

dx t dy t dz tdr t A A Adt dt dt dt

λ λ λ λ= ⇒ = = = ⇒

x y z

dx dy dzA A A

= =

Έστω 2 2ˆ ˆ( , ) ( ) ( 2 )x y xy i x y jν = + + η ταχύτητα που επικρατεί στο σημείο (x,y) ενός πεδίου ροής. Θέλουμε να βρούμε τις ρευματικές γραμμές:

2 2

2 2

22

dx dy dy x yxy x y dx xy

+= ⇒ =

+ Ομογενής Δ.Ε.. Λύνοντάς την έχουμε:

22

2

1 2 yxxdy

ydx xx

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ (1)

Θέτουμε y dy dRR y xR R xx dx dx

= ⇒ = ⇒ = + οπότε η (1) γράφεται:

2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1dR R dR R R R RR x x Rdx R dx R R R

+ + + − ++ = ⇒ = − = =

δηλαδή 21RdR dx

R x=

+ Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών. Οπότε:

( )2

2 2

11 ln1 2 1

d RRdR dx C x CR x R

+= + ⇒ = + ⇒

+ +⌠⌠⌠⎮ ⎮ ⎮⌡ ⌡ ⌡

( )2 21 ln 1 ln ln 1 ln2

R x C R x C+ = + ⇒ + = + ⇒

2 22 2 2 2 2

1 2 2 22 21 1 1 1y yR C x R C x C x C xx x

+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒

2 4 22y C x x= − .

Αυτή είναι η εξίσωση των ρευματικών γραμμών.


Γραφική παράσταση του διανυσματι-κού πεδίου: 2 2( ) ( 2 )v xy i x y j= + +

Ρευματικές γραμμές του διανυ-σματικού πεδίου:

2 2( ) ( 2 )v xy i x y j= + +

3.3 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ης TΑΞΗΣ

Η γενική μορφή των γραμμικών (11 Δ.Ε. 1ης τάξης είναι:

( ) ( )dy P x y Q xdx

+ = (1)

Αν Q(x)=0 η Δ.Ε ( ) 0dy P x ydx

+ = ονομάζεται ομογενής γραμμική Δ.Ε. 1ης

τάξης και είναι χωριζομένων μεταβλητών. Για την λύση της Δ.Ε. (1) θα λύ-σουμε πρώτα την αντίστοιχη ομογενή, που είναι χωριζομένων μεταβλητών.

α) ( ) 0dy P x ydx

+ = ⇒ ( )dy P x dx ky

= − +⌠⎮⌡ ∫ ⇒ yομ=

( )

1

P x d xc e

− ∫

β) Για την λύση της Δ.Ε. (1) θα χρησιμοποιήσουμε τον γραμμικό μετασ-χηματισμό(12

( ) ( ) ( )y x g x Y x= επειδή η (1) είναι γραμμική και θέλουμε να

(11 Η Δ.Ε. (1) ονομάζεται γραμμική διότι η πρώτη παράγωγος y′ και η ίδια η συνάρ-

τηση y εμφανίζονται μόνο στην πρώτη δύναμη και δεν υπάρχει το γινόμενο τους. (12 Η πιο γενική μορφή γραμμικού μετασχηματισμού είναι y(x)=g(x)Y(x)+h(x) με

Y(x) η νέα άγνωστη συνάρτηση και g(x), h(x) συναρτήσεις που θα προσδιοριστούν επιδιώκοντας η νέα Δ.Ε. να έχει τέτοια μορφή ώστε να επιλύεται.


διατηρήσουμε τον χαρακτήρα της. Η συνάρτηση ( )g x θα προσδιοριστεί κατάλ-ληλα επιδιώκοντας η Δ.Ε. να λάβει πιο απλή μορφή και να είναι επιλύσιμη. Έχουμε y gY g Y′ ′ ′= + και επομένως:

( )( ) Q( ) ( ) Q( ) gY g Y P x gY x gY g P x g Y x′ ′ ′ ′+ + = ⇒ + + =

Η παραπάνω Δ.Ε. απλοποιείται σημαντικά εάν επιλέξουμε την συνάρτη-

ση g(x) έτσι ώστε:

P(x )dx

1g P(x)g 0 g(x) c e −∫′ + = ⇒ =

δηλαδή η ( )g x πρέπει να είναι η λύση της ομογενούς. Οπότε έχουμε:

( )

21

Q( ) ( ) ( )P x dx

egY x Y x Q x dx cc

∫′ = ⇒ = +

⌠⎮⌡

Άρα ( ) ( )

( ) ( )P x dx P x dx

y x e Q x e dx c− ⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⌠⎮⌡

(2)

με 1 2c c c= .

Ένας άλλος τρόπος λύσης της Δ.Ε. (1) είναι ο εξής(13: Προσπαθούμε το πρώτο μέλος να το γράψουμε σαν παράγωγο ως προς x.

Για να γίνει αυτό θα πρέπει να το πολλαπλασιάσουμε με μια κατάλληλη συ-νάρτηση ( )xμ . Θέλουμε δηλαδή να είναι:

( )( )y Py f xμ μ ′′ + = (3)

Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι μια κατάλληλη εκλογή της ( )f xείναι:

( ) ( ) ( )f x x y xμ= (4)

Θέτουμε την (4) στην (3) και έχουμε:

( )y Py y y y Pμ μ μ μ μ μ μ′′ ′ ′ ′+ = = + ⇒ = ⇒

( ) ( )p x dxx eμ ∫= (5)

(13 Ο τρόπος αυτός ουσιαστικά βασίζεται στην έννοια του ολοκληρωτικού παράγον-

τα, που θα μελετηθεί στο Κεφάλαιο 4.


Έτσι πολλαπλασιάζουμε την αρχική Δ. Ε. (1) με ( ) ( )p x dxx eμ ∫= και έχου-

με:

( ) ( ) ( )

( ) ( )P x dx P x dx P x d x

e y e P x y e Q x∫ ∫ ∫′ + = ⇒

( ) ( )( )

P x dx P x dxd e y Q x edx

⎡ ⎤∫ ∫=⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇒

( ) ( )

( )P x dx P x dx

e y Q x e dx c∫ ∫= +∫ ⇒

( ) ( )

( ) ( )P x dx P x dx

y x e Q x e dx c− ⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

Παράδειγμα 1: Να λυθεί η Δ.Ε.: 2y xy x′ − =

Λύση: Έχουμε ( ) 2( ) 2 , Q( )P x x x x P x dx x= − = ⇒ = −∫

και τελικά ( ) 2 2 2 221 12 2

x x x x xy x e e xdx c e e c ce− −⎡ ⎤⎡ ⎤= + = − + = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

Το αντίστοιχο διευθύνον πεδίον είναι:

από το οποίο φαίνεται ότι μια σταθερή λύση είναι η y=-1/2 που προκύπτει από την γενική λύση για c=0.

Παράδειγμα 2: Να λυθεί η Δ.Ε.: 44y y xx

′ + =

Λύση: Έχουμε ( ) ( ) ( )44 , 4 lnP x Q x x P x dx xx

= = ⇒ =∫ και τελικά:


9 54ln 4ln 4

4 4

1( )9 9

x x x c xy x e e x dx c cx x

− ⎡ ⎤⎡ ⎤= + = + = +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

Από την μορφή της γενικής λύσης είναι φανερό ότι δεν υπάρχει μερική λύση που να ικανοποιεί αρχική συνθήκη της μορφής: y(0)=y0, αφού ο όρος c/x4 απε-

ιρίζεται για x=0. Έτσι λοιπόν οι ολοκληρωτικές καμπύλες τείνουν ασυμπτωτικά προς τον άξονα Οy. Τα παραπάνω ήταν αναμενόμενα αφού το θεώρημα για την ύπαρξη και το μονοσήμαντο μιας Δ.Ε. 1ης τάξης: y′=f(x,y) δεν εφαρμόζεται. Πράγματι εδώ έχουμε f(x,y)=-4y/x+x4, και η συ-νάρτηση f(x,y) δεν είναι συνεχής για x=0, δηλαδή πάνω στα σημεία του άξονα Οy.

Επομένως δεν υπάρχει λύση που να ορίζεται από αρχική συνθήκη της μορφής y(0)=y0, δηλαδή που να διέρχεται από τον άξονα Οy. Εξαίρεση αποτελεί η λύση y=x5/9, η οποία προκύπτει από

την γενική λύση για c=0 και είναι η μόνη που είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x=0.

Παράδειγμα 3: Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις φ(x) οι οποίες έχουν την ιδιότητα:

2( ) ( )xt t d t x x

αϕ ϕ= +∫ (1)

Λύση: Παραγωγίζουμε την (1) ως προς x:

( ) 2 ( ) 2

xd d dt t dt x x x xdx dx dxα

ϕ ϕϕ ϕ= + ⇒ = +∫ ⇒

( ) 2d x x xdxϕ ϕ− = −

η οποία είναι γραμμική Δ. Ε. και βάσει του τύπου (2) θα έχουμε

2 / 2( ) 2 ( ) 2xdx xdx xx e xe dx c x ceϕ ϕ

−⎡ ⎤∫ ∫= − + ⇒ = +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

(2)

Η συνάρτηση αυτή πρέπει να ικανοποιεί την αρχική εξίσωση:

2 2/ 2 2 /22 2x t xt ce dt x ce

α⎡ ⎤+ = + + ⇒⎣ ⎦∫

2 2 22 2exp 2 exp

2 2 2

x

x t t xt c d x cα

α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⌠⎮⌡

⇒


2 2 22 2 2 exp exp 2 exp

2 2 2x xx c x cαα

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤− + − = + + ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

2 2 exp2

c αα⎛ ⎞−

= − + ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

Τελικά ( )2 2

2( ) 2 2 exp2

xx αϕ α⎛ ⎞−

= − + ⎜ ⎟⎝ ⎠

Ένας άλλος τρόπος, πιο σύντομος, για τον προσδιορισμό της σταθεράς c εί-ναι ο εξής: Θέτουμε στη (2) x=α και έχουμε:

( )2

22 ceα

ϕ α = + (3)

Η εξίσωση (1) για x=α δίνει

( ) ( )2 20 α ϕ α ϕ α α= + ⇒ = − (4)

Από την (3) και (4) δι' απαλοιφής του φ(α) παίρνουμε:

( )2

2 22c eα

α−

= − +

Συχνά εμφανίζονται γραμμικές διαφορικές εξισώσεις στις οποίες η μια ή και οι δυο συναρτήσεις P(x) και Q(x) παρουσιάζουν άλμα ασυνέχειας. Εάν το x0 είναι ένα τέτοιο σημείο ασυνέχειας, τότε είναι απαραίτητο η εξίσωση να λυθεί χωριστά για x<x0 και για x>x0. Στη συνέχεια οι δυο λύσεις συναρμόζονται έτσι ώστε η y(x) να είναι συνεχής στο x0. Αυτό επιτυγχάνεται με μια κατάλληλη εκλογή των αυθαίρετων σταθερών. Σε κάθε περίπτωση είναι αδύνατο να κα-ταστεί η παράγωγος y′(x) συνεχής.

Παράδειγμα 4: Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών:

( ) ( )2 , 0 0,y y Q x y′ + = =

όπου: 1 0 1

( )0 1

xQ x

x≤ ≤⎧

= ⎨ >⎩

Λύση: Για 0≤x≤1 έχουμε P(x)=2 και Q(x)=1.

Επομένως: 2 2 2 2 21 1 1 1

1 1( )2 2

x x x x xy x e e dx c e e c c e− − −⎧ ⎫= + = + = +⎨ ⎬⎩ ⎭∫

Για x>1 έχουμε P(x)=2 και Q(x)=0.

Επομένως: 2

2 2( ) xy x c e −=


Άρα η γενική λύση θα είναι: 2

12

2

11/ 2 0( )

1

x

x

xc ey x

c e x

−

−

≤ ≤⎧ +⎪= ⎨<⎪⎩

Η συνένωση των δυο λύσεων απαιτεί:

1 1 1 21 1

21 1

1

21 2

1

lim ( ) lim ( )

1lim2

lim

x xx x

xxx

xxx

y x y x

c e

c e

→ →≤ >

−→≤

−→>

=

⎧ ⎫⇒ + =⎨ ⎬⎩ ⎭

=

2 21 2

22 1

½ e e

e / 2

c c

c c

− −⇒ + = ⇒

− =

Η αρχική συνθήκη θα επιβληθεί

στην πρώτη λύση, διότι αυτή ισχύει για x=0. Έχουμε

( ) 1 10 0 1/ 2 0 1/ 2 y c c= ⇒ + = ⇒ = −

και επομένως το 2 2 22 1 e / 2 1 / 2 e / 2 1 / 2(e 1)c c= + = − + = −

Τελικά η λύση θα είναι: ( )( )

2

2 2

1/ 2 1 0 1( )

1/ 2 1 1

x

x

e xy x

e e x

−

−

⎧ − ≤ ≤⎪= ⎨− >⎪⎩

Ασκήσεις. Να λυθούν οι Δ.Ε.

1) y′- 2y xx

= Απ. y=cx+x3/2

2) y′-ycotx=2xsinx Απ. y=x2sinx+csinx 3) y′+2y=3ex Απ. y=ce-2x +ex

4) y′+y=sinx Απ. y=ce-x +12

sinx-12

cosx

5) Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών τιμών:

y′(x)+P(x)y(x)=0, y(0)=1, όπου: 2 0 1

( )1 1

xP x

x≤ ≤⎧

= ⎨ >⎩


3.3A Προβλήματα Εφαρμογών 1) Τοποθετούμε ένα σώμα που έχει θερμοκρασία 500 C σ’ ένα θάλαμο με

σταθερή θερμοκρασία 1000 C. Εάν σε 5 λεπτά η θερμοκρασία του σώματος είναι 600 C, υπολογίστε α) σε πόσα λεπτά το σώμα έφτασε τους 750 C και β) τη θερμοκρασία του σώματος σε 20 λεπτά.

(Απ. α) t=15,4min, β) Τ=79,50C. Το πρόβλημα αυτό, όπως και το επόμενο, λύνεται από την Δ.Ε. dT/dt=k(T-Tπερ), όπου Τπερ η θερμοκρασία περιβάλλοντος)

2) Ένα σώμα με άγνωστη θερμοκρασία τοποθετείται σ’ ένα χώρο με στα-θερή θερμοκρασία 300 C. Εάν μετά από 10 λεπτά η θερμοκρασία του σώματος είναι 00 C και μετά από 20 λεπτά είναι 150 C, υπολογίστε την άγνωστη αρχική θερμοκρασία του σώματος. (Απ. Τ≡-300C)

3) Ένα κύκλωμα περιλαμβάνει εν σειρά μια πηγή με ΗΕΔ 3sin2t Volts, μια αντίσταση 10Ω και μια αυτεπαγωγή 0,5 Ηenry. Υπολογίστε το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα τη χρονική στιγμή t, εάν αρχικά ήταν 6 Αmpere.

(Απ. I=609/101e-20t+30/101sin2t-3/101cos2t, Η αντίστοιχη Δ.Ε. είναι dI/dt+(R/L)I=E/I

4) Τη στιγμή t=0 ανάβουμε ένα ηλεκτρικό θερμοσίφωνα, ισχύος Ρ=4Kw και χωρητικότητας 80lit. Έχουμε όμως ξεχάσει ανοικτή τη βρύση του ζεστού νερού από την οποία χύνεται νερό με ρυθμό q=0,5lit/min. Το νερό που χύνεται έτσι από τον θερμοσίφωνα αναπληρώνεται με κρύο νερό από το δίκτυο, θερ-μοκρασίας Τ0=100 C. Να βρεθεί η θερμοκρασία του νερού στον θερμοσίφωνα τη χρονική στιγμή t. (Ειδική θερμότητα νερού c=1kcal/kg, 1Joule=αcal με α=0.24, 1Kw= 1kjoule/sec, πυκνότητα νερού ρ=1kg/lit).

Απάντηση: 0 1q tmPT T e

cq

ραρ

−⎡ ⎤= + −⎢ ⎥

⎣ ⎦ με αντίστοιχη Δ.Ε.

0( )P qdT dt T T dtcV Vα

ρ= − −

3.4 ΑΚΡΙΒΕΙΣ ή ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.

Έστω η Δ.Ε. ( , )( , )

dy P x ydx Q x y

= − (1)

Η (1) γράφεται ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ = (2)

Αν υπάρχει κάποια συνάρτηση ( ),F x y τέτοια ώστε:


( ) ( ), και ,F FP x y Q x yx y

∂ ∂= =

∂ ∂ (3)

τότε το αριστερό μέλος της (2) είναι το ολικό διαφορικό(14 της συνάρτησης F και η (2) μπορεί να γραφεί με τη μορφή 0dF = . Η γενική λύση της (1) είναι

( ),F x y c= (4) Υποθέτοντας ότι οι συναρτήσεις P(x,y) και Q(x,y) έχουν συνεχείς πρώτες

μερικές παραγώγους, παίρνουμε από τις (3):

2P F

y x y∂ ∂∂ ∂ ∂

= και 2Q F

x y x∂ ∂∂ ∂ ∂

= (5)

Εάν δεχθούμε ότι η F έχει συνεχείς τις δεύτερες μερικές παραγώγους, τότε από το θεώρημα του Schwarz(15 έχουμε:

2 2F Fx y y x

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

=

και επομένως θα είναι P Qy x

∂ ∂∂ ∂

= (6)

Η (6) είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι η (2) ολικό διαφορικό

κάποιας συνάρτησης F. Όταν συμβαίνει αυτό, η (1) ονομάζεται ακριβής ή πλήρης διαφορική εξίσωση και η λύση της δίνεται από την (4). Ο τρόπος με τον οποίο προσδιορίζουμε τότε τη συνάρτηση F περιγράφεται στο παρακάτω παράδειγμα:

Παράδειγμα: Να λυθεί η εξίσωση:

( ) ( )2 28 0dyy x y x xydx

− + − = (7)

Λύση: Η (7) γράφεται:

(14 Το ολικό διαφορικό μιας συνάρτησης ( )1 2, , , nF F x x x= n μεταβλητών

1 2, , , nx x x ορίζεται από τη σχέση: 1 21 2

.nn

F F FdF dx dx dxx x x

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +⋅⋅⋅+

(15 H διατύπωση του θεωρήματος του Schwarz είναι η εξής: Εάν η συνάρτηση

( ),f x y έχει συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης, τότε

2 2F Fx y y x

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= δηλαδή ο υπολογισμός της δεύτερης μερικής παραγώγου 2 F

x y∂

∂ ∂ δεν

εξαρτάται από την σειρά παραγωγίσεως.


( ) ( )2 28 0x xy dx y x y dy− + − =

(8)

Έχουμε: 2P x xy= − και 2P xy

y∂∂

= −

28Q y x y= − και 2Q xyx

∂∂

= −

Επειδή P Qy x

∂ ∂∂ ∂

= υπάρχει συνάρτηση F με F Px

∂∂

= και F Qy

∂∂

= , της

οποίας το ολικό διαφορικό είναι η (8). Για την εύρεση της F ακολουθούμε την εξής πορεία:

1. Έχουμε F Px

∂∂

= ή 2F x xyx

∂∂

= − . Ολοκληρώνοντας τη συνάρτη-

ση Fx

∂∂

ως προς x, (θεωρώντας το y σταθερό), βρίσκουμε:

( )2 2 2 2 21 12 2

x xy dx xdx y xdx x y x− = − = −∫ ∫ ∫ (9)

2. Η F(x,y) είναι ίση με το ολοκλήρωμα (9) συν κάποια συνάρτηση φ(y) του y:

( ) ( )2 2 21 1,2 2

F x y x y x yϕ= − + (10)

Πράγματι παραγωγίζοντας την (10) ως προς x και παίρνοντας υπόψη ότι ∂φ(y)/∂x=0 επαληθεύουμε τη σχέση:

2F P x xy

x∂∂

= = −

3. Για να προσδιορίσουμε την φ(y) παραγωγίζουμε τη (10) ως προς y και εξισώνουμε την παράγωγο αυτή με Q=8y-x2y

2 28F dx y y x yy dy

∂ ϕ∂

= − + = − (11)

Από την (11) προκύπτει dφ/dy=8y και φ=4y2 (12) Αντικαθιστώντας την (12) στην (10) βρίσκουμε:

F(x,y)=12

x2 -12

y2x2 +4y2 (13)


Οι λύσεις της (7) είναι λοιπόν: 12

x2 -12

y2x2 +4y2=c

Ασκήσεις: Να εξετάσετε αν οι παρακάτω Δ.Ε. είναι πλήρεις και αν είναι να βρείτε τη γενική λύση τους.

1. ( ) ( )22 0xy x dx x y dy+ + + =

2. e e 0 xy xyx dx y dy+ =

3. e e 0 xy xyy dx x dy+ =

4. 0 ydx xdy+ =

5. ( ) ( ) 0x y dx x y dy− + + =

6. 2 2 2 2 2

1 0ydx x dyx y y x y

⎡ ⎤− + =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

Απαντήσεις:

1. 2 2

2

2x yyx c+

+ = 4. x y c=

2. Δεν είναι πλήρης 5. Δεν είναι πλήρης

3. e xy c= 6. 1arctan x cy y

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥

⎣ ⎦

3.5 ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ

Σε πολλά προβλήματα της Φυσικής εμφανίζονται δυο οικογένειες καμπυλών τέτοιες ώστε κάθε καμπύλη της μιας οικογένειας τέμνει κάθετα κάθε καμπύλη της άλλης. Π.χ. αν θεωρήσουμε κάποιο "αστρόβιλο" δυναμικό πεδίο, (π.χ. πεδίο βαρύτητας ή ηλεκροστατικό πεδίο), σε δυο διαστάσεις, δηλαδή σ' ένα επίπεδο, οι τομές των ισοδυναμικών επιφανειών αποτελούν μια οικογένεια καμπυλών που τέμνουν κάθετα τις δυναμικές γραμμές. Επίσης σε δυσδιάστατα προβλή-ματα αστρόβιλης ροής ασυμπίεστου ρευστού οι καμπύλες κατά μήκος των οποίων η ρευματική συνάρτηση είναι σταθερή, (δηλαδή οι ρευματικές γραμ-μές), τέμνουν κάθετα τις καμπύλες κατά μήκος των οποίων το δυναμικό ταχύ-τητας είναι σταθερό.

Θεωρούμε λοιπόν μια μονοπαραμετρική οικογένεια επιπέδων καμπυλών: ( , , ) 0x y cΦ = (1)

και αναζητούμε μια άλλη μονοπαραμετρική οικογένεια επιπέδων καμπυλών:


F( , , ) 0x y k = (2)

που έχουν την ιδιότητα: κάθε καμπύλη της οικογένειας (2) να τέμνει κάθετα κάθε καμπύλη της οικογένειας (1). Οι ζητούμενες καμπύλες ονομάζονται "ορθογώνιες τροχιές" των καμπυλών της οικογένειας (1).

Για να βρούμε τις ορθογώνιες τροχιές της (1) α) Βρίσκουμε τη Δ.Ε. που περιγράφει τις καμπύλες της οικογένειας (1),

δηλαδή την Δ.Ε. της οποίας η γενική λύση είναι η ( , , ) 0x y cΦ = . Για το σκοπό αυτό παραγωγίζουμε την (1) ως προς x και απαλείφουμε το c μεταξύ της (1) και της εξίσωσης που προκύπτει από την παραγώγιση, δηλαδή:

( , , ) 0( , )

( , , ) 0 ( , , ) ( , , )

x y cdy f x yd dyx y c x y c x y c dx

dx x y dx∂ ∂∂ ∂

Φ = ⎫⎪ ⇒ =⎬Φ = = Φ + Φ ⎪⎭

(3) β) Λύνουμε την Δ.Ε.:

1( , )

dydx f x y

= − (4)

Σε κάθε σημείο (x,y) οι λύσεις της Δ.Ε. (4) και οι λύσεις της Δ.Ε. (3) θα έ-

χουν κλίσεις, των οποίων το γινόμενο θα είναι ίσο προς:

1( , ) 1( , )

f x yf x y

−= −

Άρα σε κάθε σημείο, η λύση της (4) που περνάει από το σημείο αυτό είναι

κάθετη προς τη λύση της (3), που περνάει από το ίδιο σημείο. Συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της (4) είναι οι ζητούμενες ορθογώνιες τροχιές.

Παράδειγμα 1: Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές των ομόκεντρων κύκ-λων:

2 2 2x y c+ =

Λύση: Παραγωγίζοντας την Φ(x,y,z)=x2+y2-c2=0 ως προς x, παίρνουμε

2 2 0 xx yy yy

′ ′+ = ⇒ = −

Η Δ.Ε. των ορθογωνίων τροχιών θα είναι λοιπόν

y dy dxyx y x

′ = ⇒ =

Ολοκληρώνοντας την εξίσωση αυτή βρίσκουμε:

( )1 1ln ln με lny x c y kx k c= + ⇒ = =


Στο παράδειγμα αυτό, οι αρχικές καμπύλες ήταν περιφέρειες κύκλου με κέν-τρο το σημείο (0,0) και ακτίνα c, και οι ορθογώνιες τροχιές τους είναι ευθείες με κλίση k που περνάνε από την αρχή των αξόνων (0,0), Σχ. 1.

Σχ. 1

Παράδειγμα 2: Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές των παραβολών 2y cx= .

Λύση: Παραγωγίζοντας την 2y cx= παίρνουμε 2 0y cx′ − = και βρίσκου-με, (λύνοντας την πρώτη από τις εξισώσεις αυτές ως προς c και αντικα-θιστώντας το 2/c y x= στη δεύτερη), 2 /y y x′ = . Η Δ.Ε. των ορθογωνίων τροχιών είναι: / 2 2 .y x y ydy xdx′ = − ⇒ = −

x2+y2=c2

y=kv


Σχ. 2 Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε y2=-x2/2+k. Οι αρχικές καμπύλες y=cx2 ήταν,

στην περίπτωση αυτή, παραβολές που περνούν από το σημείο (0,0) και οι ορθογώνιες τροχιές τους είναι ελλείψεις με κέντρο το σημείο (0,0), μεγάλο ημιάξονα παράλληλο προς τον OX και ίσο με 2k και μικρό ημιάξονα ίσο προς k Σχ.2.

Παράδειγμα 3: Να δείξετε ότι η οικογένεια των κωνικών τομών 2 2

15

x yc c

+ =−

είναι αυτοορθογώνια με την έννοια ότι σε κάθε σημείο κάθε

καμπύλης της οικογένειας υπάρχει άλλη καμπύλη της ίδιας οικογένειας, η οπο-ία τέμνει την προηγούμενη καμπύλη στο εν λόγω σημείο κάθετα.

Λύση: Παραγωγίζουμε την εξίσωση της οικογένειας ως προς x και έχουμε:

05

x y dyc c dx

+ =−

⇒ 5xcx yy

=′+

⇒ 55 yycx yy

′−− =

′+

Αντικαθιστούμε τις παραπάνω σχέσεις στην εξίσωση της οικογένειας και βρίσκουμε:

( )( ) 5 0x yy xy y y′ ′ ′+ − − = που είναι η Δ.Ε. της οικογένειας. Η εξίσωση αυτή παραμένει αμετάβλητη όταν η παράγωγος y′ αντικατασταθεί με -1/y′. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι η οικογένεια των ορθογώνιων τροχιών περιγράφεται από την ίδια διαφορική εξίσωση και επομένως η αρχική οικο-γένεια είναι αυτοορθογώνια. Άλλος τρόπος: Την Δ.Ε.

Σχ. 3


(x+yy′)(xy′-y)-5y′=0 την γράφουμε σαν τριώνυμο ως προς y′: α(y′)2+βy′+γ=(x+yy′)(xy′-y)-5y′=0 με α=xy, β=x2-y2-5 και γ=-xy. Εάν y1′=f1(x,y) και y2′=f2(x,y) είναι οι δυο ρίζες του τριωνύμου αυτού, τότε το γινόμενο τους, ως γνωστόν, θα είναι y1′y2′=α/γ=(xy)/(-xy)=-1. Από την τελευταία σχέση συμπε-ραίνουμε ότι οι ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε. y1′=f1(x,y) τέμνουν κάθετα τις ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε. y2′=f2(x,y). Όμως οι δυο αυτές Δ.Ε. περι-έχονται στην αρχική Δ.Ε., δηλαδή τα δυο αυτά σύνολα των ολοκληρωτικών καμπυλών αποτελούν την αρχική οικογένεια καμπυλών και επομένως η οικογέ-νεια αυτή είναι αυτοορθογώνια.

Παρατήρηση: Εύκολα διαπιστώνουμε ότι για c>5 η οικογένεια των κωνι-κών τομών

2 2

15

x yc c

+ =−

παριστάνει έλλειψη και για 0<c<5 υπερβολή, Σχ.3, (Για c<0 η εξίσωση της οικογένειας είναι αδύνατη

Ασκήσεις: 1) Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές των παρακάτω οικογενειών καμπυλών.

α) x2-y2=c2 (Aπ.xy=k) β) y=cex (Aπ. y2=-2x+k) γ) x2-y2=cx (Aπ.x2y+y3/3=k) 2) Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τις ορθογώνιες τροχιές μιας οικογένειας

καμπυλών Φ(x,y,c)=0 με την βάθμωση ∇Φ(x,y,c).

3.6 ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΟΛΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ

Σε πολικές συντεταγμένες η εξίσωση της οικογένειας καμπυλών, των ο-ποίων ζητούνται οι ορθογώνιες τροχιές, θα έχει την μορφή:

Φ(r,θ,c)=0 (1) Ας θεωρήσουμε την καμπύλη της οικογένειας αυτής, που περνάει από ένα

τυχαίο σημείο Σ(r,θ). Αν Ψ είναι η γωνία, που σχηματίζει η εφαπτομένη της καμπύλης αυτής στο σημείο Σ, με την πολική ακτίνα r=ΟΣ, θα είναι, (από το

τρίγωνο ΑΒΣ): tan rddr

θΨ =


Ψ

Ο

Βrdθ

Α

dr Σ(r,θ)

dθ r θ

Η ποσότητα αυτή χαρακτηρίζει την κλίση της καμπύλης c ως προς την πολική ακτίνα. Η Δ.Ε. της οικογένειας των καμπυλών θα έχει τη μορφή:

( , )dr f rdrθ θ= (2)

την οποία βρίσκουμε παραγωγί-ζοντας την (1) ως προς θ και απαλεί-φοντας την c μεταξύ της (1) και της εξίσωσης που προκύπτει από την παρα-γώγιση της (1). Η Δ.Ε. των ορθογώνι-ων τροχιών θα είναι τότε:

1

( , )drdr f rθ

θ= − (3)

Άσκηση: Να βρεθούν οι ορθογώνιες τροχιές για τις παρακάτω οικογέ-

νειες καμπυλών: 1) r=c(1-cosθ) Απ. r=kcos2(θ/2)

2) 1 cos

crε θ

=−

Απ. tan

2sin

r k

εθ

θ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦=

3) r=ecθ Απ. (lnr)2=k2-θ2

3.7 ΠΛΑΓΙΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ

Θεωρούμε μια μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών: Φ(x,y,c)=0 (1)

και αναζητούμε μια άλλη μονοπαραμετρική οικογένεια καμπυλών: F(x,y,k)=0 (2)

τέτοια ώστε κάθε καμπύλη της οικογένειας F να τέμνει κάθε καμπύλη της Φ υπό γωνία θ≠π/2. Οι καμπύλες της οικογένειας F λέγονται πλάγιες τροχιές της οικογένειας Φ.

Ας υποθέσουμε ότι η Δ.Ε. της (1) είναι:

Κ2

φω

θ


( , )dy f x ydx

= (3)

τότε η καμπύλη Κ1 της οικογένειας (1) που διέρχεται από το σημείο (x,y) έχει κλίση f(x,y) στο (x,y) και η εφαπτόμενη της καμπύλης στο σημείο (x,y) σχημα-τίζει γωνία φ με τον άξονα ΟΧ τέτοια ώστε:

1tan ( , ) tan [ ( , )]f x y f x yϕ ϕ −= ⇒ =

Η εφαπτομένη τώρα της πλάγιας τροχιάς Κ2, που τέμνει την καμπύλη Κ1 στο σημείο (x,y) υπό γωνία θ, θα σχηματίζει με τον άξονα ΟΧ γωνία:

( )1tan ,f x yω ϕ θ θ−= + = +⎡ ⎤⎣ ⎦ Τελικά η κλίση της πλάγιας αυτής τροχιά θα δίνεται από τη σχέση:

( )1 ( , ) tantan tan tan ( , )1 ( , ) tan

f x yf x yf x y

θω θθ

− +⎡ ⎤= + =⎣ ⎦ − και η Δ.Ε. των πλάγιων τροχιών θα είναι:

( , ) tan1 ( , ) tan

dy f x ydx f x y

θθ

+=

− Παράδειγμα: Να βρεθεί η οικογένεια των πλάγιων τροχιών που τέμνει

την οικογένεια των ευθειών y=cx υπό γωνία π/4. Λύση: Βρίσκουμε, κατά τα γνωστά, την Δ.Ε., της οποίας λύση είναι η

οικογένεια των ευθειών Φ(x,y,c)=y-cx=0.

00

y cxyy y x yxy c

x

Φ = − ⎫⎪ ′ ′⇒ − = ⇒ =∂Φ ⎬′= − = ⎪∂ ⎭

Αντικαθιστούμε την f(x,y)=y/x στην έκφραση:

π( , ) tan 14π 11 ( , ) tan4

yf x yx yx

y x yf x yx

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ +⎝ ⎠ = =−⎛ ⎞ −− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

και η Δ.Ε. των ζητουμένων πλάγιων τροχιών είναι: dy x ydx x y

+=

−

η οποία σαν ομογενής Δ.Ε. έχει λύση:

( )2 2 2 1ln 2 tan 0yk x y

x− ⎛ ⎞⎡ ⎤+ − =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠


Σε πολικές συντεταγμένες έχουμε x=rcosθ και y=rsinθ και η λύση παίρνει τη μορφή:

( ) ( ) ( )2 2 1 2 21ln 2 tan tan 0 ln 2 0k r k r r k eθθ θ−− = ⇒ − = ⇒ =

δηλαδή οι ολοκληρωτικές καμπύλες είναι οι εκθετικές σπείρες.

Άσκηση: Να βρεθεί η οικογένεια των πλάγιων τροχιών, που τέμνει την οι-

κογένεια των κύκλων x2+y2=R2 υπό γωνία π/4. Απ. ln(x2+y2)+2tan-1(y/x)=c

3.8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ

1) Ηλεκτρομαγνητισμός. Ας θεωρήσουμε ένα δυσδιάστατο ηλεκτρικό, (ή μαγνητικό), πεδίο Ε=Ε(x,y) με δυναμικό V=V(x,y). Οι ισοδυναμικές καμπύλες του πεδίου Ε ορίζονται σαν οι καμπύλες του επιπέδου ΟΧΥ, σε κάθε σημείο των οποίων το δυναμικό έχει σταθερή τιμή. Οι ισοδυναμικές καμπύλες δίνονται από την σχέση V(x,y)=c, με c σταθερό. Οι ορθογώνιες τροχιές, οι κάθετες στις ισοδυναμικές καμπύλες δίνουν το ηλεκτρικό πεδίο. Συγκεκριμένα η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου είναι διάνυσμα εφαπτόμενο των ορθογωνίων τροχιών και κάθετο στις ισοδυναμικές καμπύλες.

Παράδειγμα: Θεωρούμε ένα φορτίο Q τοποθετημένο στην αρχή Ο ενός συστήματος αναφοράς ΟΧΥ. Το δυναμικό σ' ένα σημείο (x,y) του επιπέδου δίνεται από τον τύπο V=k/r όπου k σταθερά και r η απόσταση του σημείου (x,y) από την αρχή Ο. Οι ισοδυναμικές καμπύλες προκύπτουν από την σχέση V=k/r=c1 ⇒ r=k/c1 ⇒ x2+y2=c2 όπου c2=(k/c1)2, δηλαδή οι εξίσωση των ισοδυ-ναμικών καμπυλών είναι:

Φ(x,y,c)=x2+y2-c2=0 (1) Για να βρούμε τις ορθογώνιες τροχιές, παραγωγίζουμε την (1) ως προς x:


( , , ) 2 2 0d x y c x yydx

′Φ = + = ⇒ y′=f(x,y)=-x/y

Θεωρούμε τώρα την Δ.Ε.

( ) 21 ,

y dy dxy y c xf x y x y x

′ = − = ⇒ = ⇒ =

Επομένως οι ορθογώνιες τροχιές των ισοδυναμικών καμπυλών είναι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Γνωρίζουμε ότι η ένταση του ηλεκ-τρικού πεδίου ορίζεται από την βάθμωση του δυναμικού:

3 3 3

V V x yV k k kx y r r r

∂ ∂∂ ∂

= ∇ = + = − − = −rE i j i j

και διαπιστώνουμε ότι πράγματι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι διά-νυσμα εφαπτομενικό των ορθογωνίων τροχιών.

2) Μηχανική των ρευστών. Θεωρούμε τις ισοδυναμικές καμπύλες ενός

ρευστού, δηλαδή τις καμπύλες σε κάθε σημείο των οποίων το δυναμικό του ρευστού είναι σταθερό. Τότε οι ορθογώνιες τροχιές των ισοδυναμικών καμπυ-λών είναι οι ρευματικές γραμμές, οι οποίες αποτελούν τις τροχιές που ακολου-θούν τα μόρια του ρευστού κατά τη διάρκεια της ροής του ρευστού.

3) Θερμική αγωγιμότητα. Ας θεωρήσουμε μια μεταλλική πλάκα, της ο-ποίας τα σημεία δεν έχουν την ίδια θερμοκρασία. Η οικογένεια των καμπυλών, σε κάθε σημείο των οποίων, η θερμοκρασία έχει την ίδια τιμή, λέγονται ισοθερ-

Ισοδυναμικές καμπύλες

Διεύθυνση τηςέντασης Ε


μικές καμπύλες. Η οικογένεια των ορθογωνίων καμπυλών είναι οι καμπύλες κατά μήκος των οποίων διαδίδεται η θερμότητα.

3.9 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ BERNOULLI (1667-1748)

Η γενική μορφή της εξίσωσης αυτής είναι:

( ) ( )dy P x y Q x y Rdx

α α= + ∈ (1)

Αν α=0 τότε η Δ.Ε. (1) είναι γραμμική. Αν α=1 τότε είναι γραμμική ομογενής, (χωριζομένων μεταβλητών) Αν όμως α≠0,1 τότε η (1) είναι μη γραμμική. Για να μετατραπεί σε γραμ-

μική πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα μη γραμμικό μετασχηματισμό. Δοκιμά-ζουμε τον απλούστερο μη γραμμικό μετασχηματισμό y=uβ και έχουμε:

1 1P Qy u u Pu Qu u u uβ β αβ αβ βββ β

− − +′ ′ ′= = + ⇒ = +

Καταλήξαμε πάλι σε εξίσωση Bernoulli. Τώρα όμως έχουμε στη διάθεση μας την παράμετρο β που από εμάς εξαρτάται τι τιμή θα της δώσουμε έτσι ώστε η Δ.Ε. να αναχθεί σε γραμμική Δ.Ε. ομογενή ή όχι. Έτσι έχουμε τις εξής δυο επιλογές:

α) αβ-β+1=1 ⇒ β(α-1)=0 ⇒ β=0 αδύνατη διότι η y=1 δεν είναι λύση

β) αβ-β+1=0 ⇒ 1

1β

α=

− και η Δ.Ε. ως προς u γίνεται γραμμική

Άρα η εξίσωση Bernoulli γραμμικοποιείται εάν θέσουμε:

1

1y u α−=

και έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )1 1u P x u Q xα α′ = − + − η οποία λύνεται βάσει του τύπου (2) της παραγράφου 3.3.

Άλλος τρόπος: Εάν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της (1) με y-α, ώστε

ο τελευταίος της όρος να γίνει ανεξάρτητος του y, τότε θα έχουμε:

( ) ( ) ( )1 1 11 ( ) ( )1

y y P x y Q x y P x y Q xα α α α

α− − + − + − +′

′ = + ⇒ = +− +

απ’ όπου είναι φανερό ότι μετατρέπεται σε γραμμική με την αντικατάσταση


1

1 1u y y uα α− −= ⇒ = Παρατήρηση: Αν χρησιμοποιήσουμε γραμμικό μετασχηματισμό π.χ. y=gu,

τότε η εξίσωση του Bernoulli παραμένει μη γραμμική, αλλά υπάρχει το ενδε-χόμενο να λύνεται διαλέγοντας κατάλληλα την συνάρτηση g(x). Έτσι η εξί-σωση του Bernoulli με τον μετασχηματισμό y=gu γράφεται: gu g u Pgu Qg uα α′ ′+ = +

ο δε γραμμικός όρος ως προς u, (g′-Pg)u μπορεί να απαλειφθεί αν θέσουμε

( )P x dx

g Pg g e ∫′ = ⇒ = οπότε τελικά θα έχουμε 1u Qg uα α−′ = που είναι διαχωρίσιμη και άρα πάντα λύνεται.

Παράδειγμα: Να λυθεί η Δ.Ε. xy y e y′ = +

Λύση: Είναι Bernoulli με P(x)=1, Q(x)=ex, α=1/2.

Θέτουμε

11 11 21 2y u u uα

−−= = = ⇒ y′=2uu′

και έχουμε 2uu′=u2+exu ⇒ u′= x1 1u e2 2

+ (γραμμική Δ.Ε. 1ης τάξης)

της οποίας η λύση είναι: 2

2 2x x

x xu e ce y e ce⎛ ⎞

= + ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

(1)

Χρησιμοποιώντας τον γραμμικό μετασχηματισμό y=gu βρίσκουμε:

e ( ) ex xy gu g u gu gu gu g g u gu′ ′ ′ ′ ′= + = + ⇒ + − = Θέτουμε g′-g=0 ⇒ g=ex και έχουμε:

2 2 2

2

2 2

e e e e

e e

x x xx x

x x

u duu u e dxu u

u c u c

′′ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⌠⎮⌡ ∫

Τελικά

2 2

2 2x x

x xy gu e e c e ce⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Εφαρμογή: Ποια είναι η μερική, (ή ειδική λύση), της παραπάνω Δ.Ε. που περνάει από το σημείο (0,1), δηλαδή ικανοποιεί την αρχική συνθήκη:


y(0)=1 (2) Εφαρμόζοντας την (2) στην (1) προκύπτει: 1=(1+c)2 ⇒ c=0 ή c=-2

με αντίστοιχες μερικές λύσεις y1 =e2x και y2=(ex-2ex/2)2, βλέπε. Σχ. 1. Από το σημείο (0,1) του επιπέδου OXY περνάνε δυο διαφορετικές λύσεις

ενώ πληρούνται εκεί όλες οι συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης αφού τόσο η

( ), xf x y y e y= + όσο και η παράγωγος της ως προς y:

1

2

xf ey y

∂∂

= +

y2

y1 y

x 2ln2

Σχ. 1

ορίζονται και είναι συνεχείς σ’ όλο το ημιεπίπεδο -∞<x<∞, y>0. Πάνω στον άξονα OX (y=0) είναι εξασφαλισμένη η ύπαρξη λύσης, (η f είναι συνεχής και για y→0), όχι όμως και η μοναδικότητα, αφού παράγωγος ∂f/∂y απειρίζεται στο ίδιο όριο. Παραβίαση του μονοσημάντου λοιπόν μπορεί να συμβεί μόνο πάνω στον οριζόντιο άξονα, ενώ απ’ όλα τ’ άλλα σημεία του θετικού ημιεπιπέδου (y>0) θα περνάει μια μoναδική λύση.

Η διπλή λύση για το πρόβλημα της αρχικής τιμής y(0)=1 εξηγείται από την παρουσία της πλειότιμης συνάρτησης y καθώς και από τη χρήση του μετασ-χηματισμού y=u2, που δεν ορίζει μια αμφιμονοσήμαντη σχέση. Για να γίνει αμφιμονοσήμαντη αυτή η απεικόνιση θα πρέπει να διαλέξουμε ένα ορισμένο πρόσημο στη σχέση u y= ± και με το ίδιο αυτό πρόσημο να ερμηνεύσουμε την τετραγωνική ρίζα που εμφανίζεται στη Δ.Ε. Εάν διαλέξουμε το θετικό πρόσημο, (όπως κάναμε), τότε η συνάρτηση u θα πρέπει να είναι παντού θετική


και αν αυτό δεν συμβαίνει θα πρέπει να κρατήσουμε μόνο εκείνο το τμήμα της που είναι πάνω από τον άξονα OX. Από την έκφραση:

2e ex

xu c= + βλέπουμε αμέσως ότι η u είναι παντού θετική ∀c≥0 αλλά αποκτά και αρνη-

τικό τμήμα ∀c<0. Αυτή είναι η περίπτωση της u(x) που αντιστοιχεί στη λύση y2, (c=-2), και που η γραφική της παράσταση δίνεται από το παρακάτω σχήμα 2, όπου η u(x) είναι αρνητική για όλα τα x που είναι αριστερά του σημείου μη-δενισμού x0=2ln(-c). Τώρα η απάντηση στο πρόβλημα είναι προφανής. Από την λύση:

2

22 ( ) e 2e

xxy x

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ του Σχ. 1 θα πρέπει να κρατήσουμε μόνο το τμήμα της από το σημείο μηδε-νισμού και μετά διότι μόνο σ’ αυτή την περιοχή η συνάρτηση u y= μπορεί να είναι θετική κι επομένως συνεπής με τον ορισμό της ως η θετική τετραγωνική ρίζα του y.

x

u

2ln2

-1

Σχ. 2 Ασκήσεις: Να λυθούν οι Δ.Ε.:

1) y′+xy=xy2 Aπ. 2

2

1

1x

y

ce⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

+

2) 4 1/33y y x yx

′ − = Απ y2/3=cx2+2x5/9


3.9A ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ Δ.Ε. ΤΟΥ BERNOULLI

1) Κίνηση ενός σώματος σε κεκλιμένο επίπεδο Θεωρούμε την κίνηση ενός σώματος σε κεκλιμένο επίπεδο. Οι δυνάμεις τις

οποίες δέχεται το σώμα είναι το βάρος του Β, η δύναμη της τριβής T και η αν-τίσταση του αέρα A. Από το δεύτερο νόμο του Newton θα έχουμε:

F=mα ⇒ = 2

2

d smdt

=Βx-T-A (1)

cos co sN m gT N T m gθμ μ θ== ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ = (μ=συντελεστής τριβής). Την αντίσταση του αέρα την θεωρούμε ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, δηλαδή:

2dsA kdt

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ με 0k > .

Άρα η (1) γράφεται: 22

2 sin cosd s dsm mg mg kdt dt

θ μ θ ⎛ ⎞= − − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

22

2 sin cosd s k dsg gdt m dt

θ μ θ ⎛ ⎞= − − ⎜ ⎟⎝ ⎠ (2)

Οι ποσότητες g, θ, μ είναι σταθερές. Επομένως η σχέση (3) μπορεί να γρα-φεί στην μορφή

222 2

2

d s dshdt dt

λ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

όπου 2 2και sin coskh g gm

λ θ μ θ= = −

Η ποσότητα sin cosg gθ μ θ− είναι θετική αφού το σώμα κινείται προς τα

κάτω. Θέτοντας


( )ds tdt

ν= θα έχουμε 2 2 2d hdtν λ ν= − (3)

Αν μας ενδιαφέρει η ταχύτητα του σώματος σαν συνάρτηση της απόστασης που αυτό έχει διανύσει, τότε ψάχνουμε να βρούμε την )s(ν=ν . Οπότε:

1d d dt d d dds dt ds dt dt dsν ν ν ν νν

ν= = ⇒ =

. Έτσι η (3) γράφεται:

22 2 2 2d dh h

ds dsν ν λν λ ν ν

ν= − ⇒ = −

(4) Αυτή είναι μια Δ.Ε. Bernoulli με 2 2( ) , ( )P s h Q s λ= − = και 1α = − .

Θέτουμε: 1 1 1

1 ( 1) 2 212

d duu u uds dsνν

−− −= = ⇒ =

Οπότε η (4) γράφεται:

12

1 122 2 2 2 22 21 1 2 2

2 2du du duu h u h u h uds ds dsu

λ λ λ−

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

2 22 2du h u

dsλ+ =

Η διαφορική αυτή εξίσωση είναι γραμμική Δ.Ε. 1ης τάξης. Η λύση της είναι:

2 2 2 22 22 2 2 2( ) 2 2h ds h ds h s h su s e e ds C e e ds Cλ λ

− −∫ ∫= + = + ⇒∫ ∫

2 2 22 2

2 2 22 2( ) h s h s h su s e e C Ce

h hλ λ− −⎧ ⎫

= + = +⎨ ⎬⎩ ⎭

(5)

Επειδή 1

22u uν ν= ⇒ = επομένως η (5) γράφεται:

22

2 22( ) h ss Ce

hλν −= +

. Αν δίνεται ότι ( 0 ) oν ν= τότε θα έχουμε:

2 22 2

2 2( ) ( )o C Ch hολ λν ν= + ⇔ = −

. Έτσι τελικά έχουμε ότι:


( )2 2 2

2 2 22 2 2 2 2

2 2 2( ) ( ) 1h s h s h so os e e e

h h hλ λ λν ν ν− − −⎛ ⎞

= − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ .

Άρα για την ταχύτητα έχουμε:

( )2 22

2 22( ) 1 h s h s

os e ehλν ν− −= − +

.

2) Κίνηση σφαίρας σε ρευστό Θεωρούμε την κίνηση μιας σφαίρας που εισέρχεται την χρονική στιγμή 0t = σε ένα υγρό μέσο, όπου υφίσταται δύναμη τριβής. Ένας σχετικά ρεαλιστι-

κός νόμος τριβής που συνδυάζει τόσο την συμπεριφορά για μικρές ταχύτητες (~F v ), όσο και για μεγάλες ταχύτητες ( 2~F v ) είναι 2F v vλ μ= − − , όπου

το πρόσημο στο δεύτερο όρο αποδίδει τη φορά της κίνησης μόνο για κίνηση προς τα δεξιά ( 0v > ). Θέλουμε να προσδιορίσουμε το νόμο απόσβεσης της ταχύτητας. Ο νόμος του Newton θα γραφεί:

2 2dv dv λ μF=mα m =-λv-μv =- v- vdt dt m m

⇒ ⇒ (1)

Θέτοντας , n mnm mλ λ λ μγ

μ γ λ μ= = ⇒ = =

η (1) γράφεται 2dv v vdt

γγν

= − − (2)

Δ.Ε. Bernoulli με ( ) , ( )P x Q xnγγ= − = − και 2α = . Έτσι θέτουμε

111 2 1v u u

u−−= = = (3)

Από την (3) θα έχουμε 2

1dv dv du dudt du dt u dt

= = − .

Η (2) γράφεται:

2 2

1 1 1duu dt u u

γγν

− = − − ⇒du duu udt n dt n

γ γγ γ− = − − ⇒ − =

Γραμμική Δ.Ε. 1ης τάξης. Λύση της είναι η:


1 1

dt dt t t

t t t

u e e dt C e e dt Cn n

e e C Cen n

γ γ γ γ

γ γ γ

γ γ− − − −

−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫∫ ∫= − + = − + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎧ ⎫= + = +⎨ ⎬⎩ ⎭

∫ ∫

.

Επομένως 1 1

1 tv

u Cen

γ= =

+ .

Αν τη χρονική στιγμή 0t = έχουμε (0 ) ov v=

τότε

1 1 11 11

o oo o o

o

v vv v C v C Cn n v nC

n

= ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −+

.

Έτσι τελικά: 1 1( )

1 1 1 1t to

o o

v tn ve e

n v n n nvγ γ

= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 1 11 tto

oo

nnn v eevn v

γγ

= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + −+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

3.10 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ RICATTI (1676-1754)

Η γενική μορφή της εξίσωσης αυτής είναι: y′=α(x)y2+β(x)y+γ(x) (16 (1) 1) Εάν α(x)=0 η (1) είναι γραμμική 2) Εάν γ(x)=0 η (1) είναι Bernoulli

16) Η εξίσωση αυτή εμφανίζεται στη θεωρία της διάχυσης νετρονίων, στην ηλεκτρο-

μαγνητική θεωρία και στην οπτική.


Όπως και στην περίπτωση της εξίσωσης Bernoulli, η λύση της (1) θα μπο-ρούσε να αναζητηθεί χρησιμοποιώντας γραμμικούς μετασχηματισμούς της μορφής:

( ) ( ) ( ) ( ) y x g x Y x h x= + (2) για να διατηρηθεί η μορφή της εξίσωσης. Εδώ η συνάρτηση Y(x) θεωρείται η νέα άγνωστη συνάρτηση και οι g(x), h(x) συναρτήσεις, που μπορούμε να τις προσδιορίσουμε έτσι ώστε η αρχική Δ.Ε. να γίνει πιο απλή και ίσως επιλύσιμη.

Ας εξετάσουμε πρώτα την ειδική περίπτωση: ( ) ( ) ( )y x Y x h x= + (3)

τότε η (1) γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2Y x h x x Y x h x x Y x h x xα β γ′ ′+ = + + + + ⇒⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

( ) 2 ( ) ( ) ( )Y x x Y x x x h x Y x

x h x x h x x h x

α β α

α β γ

′ = + + +

′⎡ ⎤+ + + −⎣ ⎦ (4)

Η Δ.Ε. (4) μπορεί να γίνει απλούστερη εάν η ελεύθερη συνάρτηση h(x) επι-λεγεί έτσι ώστε:

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x x h x x h x xα β γ′ = + + (5) οπότε η (4) γίνεται:

2( ) [ ( ) 2 ( ) ( )]Y x Y x x h x Yα β α′ = + + (6) που είναι της μορφής Bernoulli με α=2 και συνεπώς επιλύσιμη. Όμως η h(x) πρέπει να ικανοποιεί την (5) που δεν είναι παρά η αρχική εξίσωση. Από την άλλη μεριά η h(x) δεν χρειάζεται να είναι η γενική λύση της (5) αλλά μια ο-ποιαδήποτε μερική λύση που σε πολλές περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος η εύρεση μιας τέτοιας λύσης δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη.

Επομένως εάν η 0 ( ) ( )y x h x= είναι η υποτιθέμενη γνωστή μερική λύση της (1), τότε ο μετασχηματισμός:

0y Y y= + (7)

οδηγεί στην εξίσωση Bernoulli:

( ) ( ) ( )202Y x Y x x y Yα β α′ = + +⎡ ⎤⎣ ⎦ (8)

η οποία λύνεται πάντα θέτοντας Y=u1/(1-α) με α=2 δηλαδήY=1/u. Τελικά θα έχο-υμε:

01y yu

= +

και η αρχική εξίσωση Ricatti μετατρέπεται σε γραμμική.


Εάν στην αρχική εξίσωση (1) χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό (2) θα πάρουμε την εξίσωση:

2

2 2 g h h hY gY h Yg g

α β γα β α′ ′⎡ ⎤ + + −′ = + + − +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (9)

που είναι και πάλι τύπου Ricatti. Τώρα όμως έχουμε στη διάθεση μας δυο ελεύθερες συναρτήσεις g(x) και h(x) με τις οποίες μπορούμε να μηδενίσουμε δυο συντελεστές της (9). Συγκεκριμένα:

2h h hg

α β γ ′+ + −

=0 ⇒ h′=αh2+βh+γ (10)

2 0 2g gh hg g

β α β α′ ′

+ − = ⇒ = + (11)

Όπως και προηγούμενα η (10) ικανοποιείται με την εκλογή:

0h y= (12)

όπου y0 μια οποιαδήποτε λύση της αρχικής εξίσωσης, ενώ από την (11) προ-κύπτει:

( )02 y dx

g eβ α⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦∫= (13)

Με αυτές τις εκλογές η (9) καταλήγει στη διαχωρίσιμη εξίσωση: 2Y g Yα′ =

της οποίας η λύση είναι: 1Y

gdx cα= −

+∫ (14)

Βάσει των (2), (12) και (14) παίρνουμε την γενική λύση: [ ]

[ ]

0

0

( ) 2 ( )

0 0( ) 2 ( )( )

x x y dx

x x y dx

g ey y ygdx c x e dx c

β α

β αα α

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

∫−= − + = +

∫+ +∫ ∫ (15) Παράδειγμα: Αφού βρείτε μια μερική λύση της εξίσωσης:

( )2 2(2 1) 1y y x y x x′ = − + + + + (1)

κατασκευάστε μετά τη γενική λύση. Λύση: Επειδή οι συντελεστές της Δ.Ε. (1) είναι πολυώνυμα του x είναι αρ-

κετά λογικό να αναζητήσουμε μια μερική λύση υπό μορφή πολυωνύμου ή για να κάνουμε τα πράγματα πιό εύκολα, υπό μορφή μονωνύμου. Τότε όμως ο εκ-θέτης αυτού του μονωνύμου δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος του 1 διότι η


δύναμη που προκύπτει από τον όρο y2 δεν θα μπορεί να απαλειφθεί με καμιά άλλη, αφού όλες θα είναι μικρότερες της. Δοκιμάζοντας σαν μερική λύση την y=kx προκύπτει k=1 και επομένως: y0=x

Θέτουμε τώρα στην (1) την έκφραση:

0y Y y Y x= + = + και θα έχουμε:

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2

1 2 1 1

2 2 1 2 1 1

y Y Y x x Y x x x

Y xY x x Y x x x x

′ ′= + = + − + + + + + =

= + + − + − + + + + ⇒ 2Y Y Y′ = − (2)

Η (2) είναι εξίσωση Bernoulli αλλά είναι και διαχωρίσιμη. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο το αποτέλεσμα είναι:

11 xy x

ce= +

+ (3)

ή θέτοντας από την αρχή 1y xu

= + η (1) γίνεται:

22

2

1 1 11 (2 1) ( 1)u x x x x xu u u

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′− = + − + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 22

1 1 12 2 2 1xx x x x x xu u u u

= + + − − − − + + + ⇒

2 2

1 1 1uu u u

′− = − ⇒ u′-u=-1 (γραμμική) ⇒

( ) 1x x x x xu x e e dx c e e c ce− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = + = +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫

Άρα 1 11

x

x x

ey x x xu ce e c

−

−= + = + = ++ +

Παρατήρηση: Η αναφερθείσα επίλυση της εξίσωσης του Ricatti απαιτεί την γνώση μιας μερικής λύσης, πράγμα που δεν είναι πάντα κατορθωτό. Όμως με τον μετασχηματισμό:

1 uyuα′

= −

η εξίσωση του Ricatti μετατρέπεται σε γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτε-ρης τάξης, της οποίας ο τρόπος λύσης αναφέρεται σε επόμενα κεφάλαια. Πράγματι:


2

2 2

1 u u u uyu u

αα α

′′ ′ ′ ′− ⎛ ⎞′ = − + ⎜ ⎟⎝ ⎠

και η εξίσωση του Ricatti 2( ) ( ) ( )y x y x y xα β γ′ = + + γράφεται:

2 2

2 2 2

1 1u u u u u uu u u u

α β γα α α α

′′ ′ ′ ′ ′ ′− ⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⇒

0u u uα β γαα

′⎛ ⎞′′ ′− + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Άσκηση: Να λυθεί η Δ.Ε.

1) 22

2y yx

′ = − Απ. 2

3

1 3xyx c x

= +−

2) Προσπαθήστε να λύσετε την εξίσωση του Ricatti 2( ) ( ) ( )y x y x y xα β γ′ = + +

χρησιμοποιώντας τον μη γραμμικό μετασχηματισμό y=uλ λ∈R

3.10A Εφαρμογές της Δ. Ε. του Ricatti.

Θα δείξουμε ότι η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger σε μια διάσταση μπορεί να γραφτεί ως Δ.Ε. Ricatti κάνοντας έναν κατάλληλο μετασχηματισμό.

Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger σε μια διάσταση γράφεται: 2 2

2 ( ) ( ) ( )2

d V x x E xm dx

ψ ψ ψ− + = ⇒

[ ]2

2 2

2 ( ) ( ) 0d m E V x xdx

ψ ψ+ − = (1)

Θα κάνουμε τον μετασχηματισμό: 2 2( ) ( )2 ( )

i iu x dx u x dxiAe A u x eπ ππψ ψ∫ ∫′= ⇒ = ⇒

2 2 2( ) ( )

2 22 ( ) ( )22

2 2( )

4 2( ) ( )

i iu x dx u x dx

i iu x dx u x dx

i i duA u x e A edx

iA u x e Ae u x

π π

π π

π π

π π

⎛ ⎞ ∫ ∫′′Ψ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ′= − +

Οπότε η (1) γράφεται:


[ ]

2 22 2 ( ) ( )

2

2 ( )

2

4 2 ( )

2 ( ) 0

i iu x dx u x dx

i u x dx

u iA e Ae u x

m E V x Ae

π π

π

π π∫ ∫ ′− + +

∫+ − = ⇒

[ ]

[ ]

22

2 2

22

2 2

2 4 2( ) ( ) ( ) 0

2 4 2( ) ( ) ( ) 0

i miu x u x E V x

i miu x u x E V x

π π

π π

′− − + − = ⇒

′ + − − = ⇒

[ ]2

22 2

4 2( ) ( ) ( ) 02 2

i miu x u x E V xππ π

′ + − − = ⇒

[ ]22( ) ( ) ( ) 0i miu x u x E V xππ

′ + − − = (2)

Αυτή είναι Δ.Ε. Ricatti. Ας μελετήσουμε την περίπτωση του ελεύθερου σωματίου. Στην περίπτωση

αυτή το δυναμικό είναι μηδέν δηλαδή ( ) 0V x = , οπότε η (2) γράφεται:

2 22 2( ) ( ) 0 ( ) ( )i mi i miu x u x E u x u x Eπ π

π π′ ′+ − = ⇒ = − + (3)

Η εξίσωση αυτή έχει ως μερική λύση την

2okuπ

= με 2

2mEk = .

Επομένως κάνουμε τον μετασχηματισμό

2

1 1( ) ( )2

ku x u x ϕϕ π ϕ

′ ′= + ⇒ = −.

Έτσι η (3) γράφεται: 2 2 2

2 2 2

1 2 1 2 12 4

i k miE i k k miEπ πϕϕ ϕ π π ϕ π πϕ π

⎛ ⎞⎛ ⎞′− = − + + = − + + + ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22 2 2 2

1 2 2 2 2 22 2

i i i miE i i mE i miEk k kπ πϕϕ ϕ π ϕ π ϕ π ϕ π

′− = − − − + = − − − + ⇒

2 2

1 2 2 2 22 2i i i ik ki ikπ π πϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

′ ′ ′− = − − ⇒ − = − − ⇒ − =

Γραμμική Δ.Ε. 1ης τάξης. Η λύση της θα είναι


2 22ikdx ikdxie e dx Cπϕ− − −⎧ ⎫∫ ∫= + =⎨ ⎬

⎩ ⎭⌠⎮⌡

2 2 2 2 2 22 2 12

ikx ikx ikx ikx ikx ikxi ie e dx C e e Ce Ceik k

π π π− −⎧ ⎫+ = − + = −⎨ ⎬⎩ ⎭∫

2ikxCe πϕκ

⇒ = −.

οπότε 2

2 2

1 12 2 2

ikx

ikx ikx

k k e kuCe C e

k kπ πϕ π π π

−

−= + = + = + ⇒

− −

2

2 2ikxd ku n C e

i dx kπ

π π−⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Επομένως για την κυματοσυνάρτηση θα έχουμε:

222 ( ) 2 2ikxi d ki n C e dx dxu x dx i dx kAe Ae

π πππ πψ

−⎡ ⎤⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫∫= = ⇒

22

ikxn C e ikxikx ikx ikx ikxk AAe A C e e ACe e

k k

π π πψ−⎛ ⎞− +⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎛ ⎞= = − ⋅ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Θέτοντας AC α= και A

kπ β− = θα έχουμε τελικά:

ikx ikxe eψ α β −= +

4. OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ (Πολλαπλασιαστής Euler)

4.1 ΓΕΝΙΚΑ

Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την Δ.Ε. της μορφής:

( , )( , )

dy P x ydx Q x y

= − (1)

που δεν είναι πλήρης. Τότε η έκφραση:

( ) ( ), ,P x y dx Q x y dy+ (2)

δεν είναι ολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης ( , )F x y . Παρ' όλα αυτά η (1) μπορεί να λυθεί αν μπορέσουμε να βρούμε μια συνάρτηση ( , )x yμ τέτοια ώστε, πολλαπλασιάζοντας τη (2) επί ( , )x yμ να πάρουμε ένα ολικό διαφο-ρικό, δηλαδή να έχουμε:

F FdF dx dy Pdx Qdyx y

∂ ∂ μ μ∂ ∂

= + = +

και η διαφορική εξίσωση επιλύεται έχοντας σαν λύση την ( , )F x y c= .

H συνάρτηση ( , )x yμ ονομάζεται ολοκληρωτικός παράγοντας.

Για να βρούμε την ( , )x yμ παρατηρούμε ότι:

,F FP Qx y

∂ ∂μ μ∂ ∂

= =

2 2

,F P F QP Qy x y y x y x x

∂ ∂μ ∂ ∂ ∂μ ∂μ μ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = +

και από το θεώρημα του Schwarz προκύπτει:

P QP Q

y y x x∂μ ∂ ∂μ ∂μ μ∂ ∂ ∂ ∂

+ = + (3)


Η σχέση (3) είναι μια διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους και με άγ-νωστη συνάρτηση την ( , )x yμ . Η επίλυση όμως της (3) είναι στις περισσότερες φορές δυσκολότερη από την επίλυση της αρχικής (1).

Παράδειγμα: Να λυθεί η Δ.Ε. 2 ln 0dyx x ydx

+ = (4)

Λύση: Η (4) γράφεται: 2 ln 0ydx x xdy+ = (5)

1 , 2 ln 2ln 2P QP y Q x x xy x

∂ ∂= ⇒ = = ⇒ = +

∂ ∂

Επειδή P Qy x

∂ ∂≠

∂ ∂ η (5) δεν είναι ολικό διαφορικό. Ας πολλαπλασιάσουμε

την (5) επί ( , ) yx yx

μ = . Βρίσκουμε:

2

2 ln 0y dx y xdyx

+ = (6)

οπότε

( )2 2 Py yP

x y xμ

μ∂

= ⇒ =∂

και ( ) 22 ln =

Q yQ y xx x

μμ

∂= ⇒

∂

Παρατηρούμε ότι ( ) ( )P Q

y xμ μ∂ ∂

=∂ ∂

και επομένως η (6) είναι ολικό διαφο-

ρικό. Έχουμε τότε

2

2 2( ) ln ( )F y dxP F y x y x xx x x

∂ μ ϕ ϕ∂

= = ⇒ = + = +∫

Επειδή 2 ln 2 lnF dy x Q y xy dy

∂ ϕ μ∂

= + = = συμπεραίνουμε ότι

0d c

dyϕ ϕ= ⇒ =

Άρα 2( , ) lnF x y y x c= +

Οι λύσεις της (5) είναι λοιπόν 21lny x c= , όπου c1=-c.,,

4. Ολοκληρωτικός Παράγοντας ♦ 91

4.2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ

Κάθε Δ.Ε. της μορφής (1) έχει άπειρους ολοκληρωτικούς παράγοντες αλλά πολλές φορές είναι πρακτικά δύσκολο να βρούμε έστω και ένα. Δεν υπάρχει γενική μέθοδος για την εύρεση του ( , )x yμ . Σε κάθε περίπτωση πρέπει, (συ-νήθως μετά από πολλές δοκιμές και διορθώσεις), να μαντέψουμε την κα-τάλληλη μορφή του ολοκληρωτικού παράγοντα.

Για τις παρακάτω απλές μορφές έχουμε: α) Η μορφή ydx xdy−

με 2( , ) 1/x y xμ = − μετατρέπεται σε ( / )d y x (1) με 2( , ) 1/x y yμ = μετατρέπεται σε ( / )d x y (2) με ( , ) 1 /x y xyμ = − μετατρέπεται σε ln ( / )d y x (3)

με 2 2

1( , )x yx y

μ = −+

μετατρέπεται σε arctan ydx

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(4)

β) Η μορφή ydx xdy+

με ( , ) 1 /x y xyμ = μετατρέπεται σε ln( )d xy (5)

με ( , ) 1 / ( ) ( 1)nx y xy nμ = > μετατρέπεται σε 1

1( 1)( )ndn xy −

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎣ ⎦

(6)

με ( )2 2

1( , )x yx y

μ =+

μετατρέπεται σε ( )2 21 ln2

d x y⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦ (7)

με ( )2 2

1( , ) ( 1)nx y nx y

μ = >+

μετατρέπεται σε

2 2 1

12( 1)( )nd

n x y −

⎡ ⎤−⎢ ⎥− +⎣ ⎦

(8)

γ) Η μορφή ydx xdyα β+

με 1 1( , )x y x yα βμ − −= μετατρέπεται σε ( )d x yα β (9)


Οι μορφές αυτές συνήθως εμφανίζονται μέσα σε μια πιο πολύπλοκη Δ.Ε. Δοκιμάζουμε τότε αν κάποιος από τους ολοκληρωτικούς παράγοντες της απλής αυτής μορφής είναι ολοκληρωτικός παράγοντας και για ολόκληρη την εξίσωση.

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.

2( ) 0y y dx xdy− + = Απάντηση: Για να εμφανιστεί μια από τις παραπάνω παραστάσεις γράφου-

με τη Δ.Ε. υπό τη μορφή 2( ) 0ydx xdy y dx− − + = . Δοκιμάζουμε τους ολοκ-ληρωτικούς παράγοντες (1)-(4) του ydx xdy− και παρατηρούμε ότι η συνάρ-τηση 2( , ) 1 /x y yμ = είναι ολοκληρωτικός παράγοντας για ολόκληρη την εξί-σωση. Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε:

xyx c

=+

Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.

( ) ( )2 2 2 0y xy dx x x y dy− + + =

Απάντηση: Γράφουμε τη Δ.Ε. υπό τη μορφή:

2 2 2 0ydx xdy xy dx x y dy+ − + =

και δοκιμάζουμε τους ολοκληρωτικούς παράγοντες (5)-(8). Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση 2 2( , ) 1 / ( )x y x yμ = είναι ολοκληρωτικός παράγοντας για ολόκ-ληρη την εξίσωση. Βρίσκουμε:

2( )ydx xdy dx dy

xy x+

= − ⇒ 1 dxd dyxy x

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ 1 ln | |x y cxy

− = − +

Παράδειγμα 3: Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. 2

3 4

32

yxyx y

′ =+

Απάντηση: Σε διαφορική μορφή η Δ.Ε. γράφεται:

( ) ( )2 3 4 2 43 2 0 3 2 0yx dx x y dy x ydx xdy y dy− + = ⇒ − − =

Εμφανίστηκε έτσι, μέσα στην παρένθεση η μορφή ydx xdyα β+ με α=3, β=-1, της οποίας ο παράγοντας ολοκλήρωσης είναι 2 2x y . Έξω όμως από την


παρένθεση, υπάρχει ο παράγοντας x και γι' αυτό δοκιμάζουμε τον ολοκληρω-τικό παράγοντα ( ) 2,x y yμ −= . Βρίσκουμε:

( ) ( )2 2 2 3 1 2

3 1 3

3 2 0 2 0

2 3

x y ydx xdy y dy d x y y dy

x y y c

− −

−

− − = ⇒ − = ⇒

= +

4.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΟΥ ΔΙΝΟΥΝ ΤΟΥΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥΣ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

Σε ειδικές περιπτώσεις, οι ολοκληρωτικοί παράγοντες δίνονται από ορισ-μένους τύπους:

I) Αν ( )

P Qy x f x

Q

∂ ∂∂ ∂

−= (ανεξάρτητο του y) (10)

τότε μ(x)=( )f x dx

e∫ (11) Απόδειξη: Από τη σχέση (3) της 4.1:

P QP Qy y x x

∂μ ∂ ∂μ ∂μ μ∂ ∂ ∂ ∂

+ = + εάν θεωρήσουμε ότι ο ολοκληρωτικός πα-

ράγοντας μ είναι συνάρτηση μόνο του x, δηλαδή ( )xμ μ= , (και επομένως

0yμ∂

=∂

), έχουμε:

d P QQdx y xμ ∂ ∂μ

∂ ∂⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

και αν υποθέσουμε ότι η έκφραση:

P Qy x

Q

∂ ∂∂ ∂

− είναι συνάρτηση μόνο του x,

έστω η ( )f x , θα είναι:


( ) ( )( ) ( )

f x dxd df x f x dx x edxμ μμ μ

μ∫= ⇒ = ⇒ =

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί η γενική λύση της 2y xy x′ = −

Απάντηση: Η εξίσωση αυτή σε διαφορική μορφή γράφεται: (2 ) 0xy x dx dy− − =

Έχουμε:

2 , 1P xy x Q= − = − και 2

P Qy x x

Q

∂ ∂∂ ∂

−= −

Επομένως 22

( , )xdx xx y e eμ

− −∫= =

Με τη βοήθεια αυτού του ολοκληρωτικού παράγοντα βρίσκουμε: 2 1

2xy ce= +

II) Αν ( )

P Qy x g y

P

∂ ∂∂ ∂

−= (ανεξάρτητο του x) (12)

τότε μ(y)=( )g y dy

e−∫

Η απόδειξη είναι παρόμοια όπως στην περίπτωση (Ι). Παράδειγμα 2: Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. 2 0y dx xydy+ =

Απάντηση: Είναι 2 , P y Q xy= = και 1

P Qy x

P y

∂ ∂∂ ∂

−=

οπότε ln 1( , )dy

yyx y e ey

μ−

−∫= = =

Με την βοήθεια του ολοκληρωτικού αυτού παράγοντα παίρνουμε την πλήρη εξίσωση:

0 ( ) 0ydx xdy d xy+ = ⇒ = με γενική λύση y=c/x


III) Αν f ( ), g( )P y u Q x u= = όπου u=xy (14)

τότε αποδεικνύεται ότι: ( ) ( )1, = =−

x y uxP yQ

μ μ (15)

Παράδειγμα 3: Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε.:

(1 ) 0y xy dx xdy− + = Απάντηση: Είναι (1 ), P y xy Q x= − = . Παρατηρούμε ότι πληρούνται οι

(14). Επομένως από την (15) παίρνουμε 2 2( , ) 1 / ( )x y x yμ = − .

Με τη μέθοδο της παρ. 3.4 βρίσκουμε τελικά 1/[ ln | |]y x cx= −

IV) Εάν μ=μ(u(x,y))

τότε = = xd u du

x du x du∂μ μ ∂ μ∂ ∂

, = = yd u du

y du y du∂μ μ ∂ μ∂ ∂

και ο ολοκληρωτικός παράγοντας μ(u) δίνεται από τη σχέση:

( ) ( )f u duu eμ ∫=

όπου ( )x y

P Qy xf u

Qu Pu

∂ ∂∂ ∂

−=

− είναι συνάρτηση μόνο του u.

Πράγματι: Από τη σχέση (3) της παρ. 6 έχουμε:

y xd P d Qu P u Qdu y du xμ ∂ μ ∂μ μ

∂ ∂+ = +

⇒

1 dduμ

μ=

x y

P Qy x

Qu Pu

∂ ∂∂ ∂

−

−

και αν υποθέσουμε ότι η έκφραση x y

P Qy x

Qu Pu

∂ ∂∂ ∂

−

− είναι συνάρτηση του u, δηλ,


( )x y

P Qy x f u

Qu Pu

∂ ∂∂ ∂

−=

− τότε ( ) ( )f u du

u eμ ∫=

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί ένας ολοκληρωτικός παράγοντας της Δ.Ε.

( ) ( )2 3 2 2 35 2 3 3 2 0x xy y dx x xy y dy+ + + + + =

εάν γνωρίζουμε ότι ( ) με u u x yμ μ= = + . Στη συνέχεια να λυθεί η Δ.Ε.

Λύση: Ελέγχουμε αν η έκφραση: x y

P Qy x

Qu Pu

∂ ∂∂ ∂

−

− εξαρτάται μόνο από το

u=x+y.

Έχουμε: 22x+9yP

y∂∂

= , 26x+3yQx

∂∂

= , ux=1, uy=1 και

P Qy x

∂ ∂∂ ∂

− = (2x+9y2)-(6x+3y2 )=-4x+6y=-2(2x-3y2)

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2 3 2 3

2 2 3 2

2

u u 3 2 5 2 3

2 2 3 3 2 3

2 3

x yQ P Q P x xy y x xy y

x xy xy y x x y y x y

x y x y

− = − = + + − + + =

= − − + + = − + + + =

= − + +

Άρα 2 2 ( )x y

P Qy x f u

Qu Pu x y u

∂ ∂∂ ∂

−= = =

− +⇒

( ) 2ln 2 2( )f u du ue e u x yμ ∫= = = = +

Πολλαπλασιάζουμε τώρα την Δ.Ε. με τον ολοκληρωτικό παράγοντα μ(u) για να γίνει η Δ.Ε. ολικό διαφορικό:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 2 2 35 2 3 3 2 0

F FdF dx dyx y

x y x xy y dx x y x xy y dy

∂ ∂∂ ∂

= + =

= + + + + + + + =

Τελικά προκύπτει ότι:


( ) 5 4 3 3 3 2 2 3 5 2 4 6, 3 3 3 3 cF x y x x y x y x y x y y x x y x= + + + + + + + =

Παράδειγμα 2: Εάν για την Δ.Ε. γνωρίζουμε ότι ένας ολοκληρωτικός πα-

ράγοντας είναι της μορφής 2( ) με u xuy

μ μ= = να λυθεί η Δ.Ε.

Λύση: Υπολογίζουμε την έκφραση:

( ) ( )

2 2

2 2 32 4

(6 3 ) (2 )1 22 3x y

P Qy x x yy x

xyQu Pu x xy y xyy y

∂ ∂∂ ∂

−− − +

=−− + − −

2 2 2 2

2 2 2

22 2 2 4 2 2

1 15 5 1 1 ( )

5 51

x xx y x y y y f uxx x x x ux xx x yy y y y y y

− −− + −

= = = = = = =⎛ ⎞− − + − + ⎜ ⎟−⎝ ⎠

⇒ ( ) ln

2∫= = = =

f u du u xe e uy

μ

Πολλαπλασιάζουμε την Δ.Ε. με μ=x/y και έχουμε: 2 3 3

2 222 3 0x x xxy dx x dy dF F x y c

y y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + + = = ⇒ = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4.4 ΠΩΣ ΑΠΟ ΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΑΠΕΙΡΟΥΣ ΑΛΛΟΥΣ

Αν, για μια Δ.Ε. βρούμε ένα ολοκληρωτικό παράγοντα μ, μπορούμε με τη βοήθεια αυτού να βρούμε άπειρους άλλους.

Πράγματι, αν τότε μφ(F), όπου φ αυθαίρετη συνάρτηση του F είναι ολοκ-ληρωτικός παράγοντας, αφού

( )( )( ) ( )F Pdx Qdy F dF d F dFμϕ ϕ ϕ+ = = ∫ Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο: Αν μ είναι ένας ολοκληρω-

τικός παράγοντας της Δ.Ε. 0Pdx Qdy+ = , δηλαδή αν

Pdx Qdy dFμ μ+ = ,


τότε κάθε άλλος ολοκληρωτικός παράγοντας αυτής της Δ.Ε. γράφεται υπό τη μορφή ( )Fμϕ .

Τα αποτελέσματα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση ο-λοκληρωτικού παράγοντα μιας Δ.Ε. την οποία γράφουμε υπό τη μορφή:

1 1 2 2( ) ( ) 0Pdx Q dy P dx Q dy+ + + = (16) Αν μπορούμε να βρούμε ένα ολοκληρωτικό παράγοντα, έστω μ1, για τη

Δ.Ε. 1 1 0 Pdx Q dy+ = και ένα άλλο ολοκληρωτικό παράγοντα, έστω μ2, για τη Δ.Ε. 2 2 0P dx Q dy+ = , τότε θα είναι: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2F και FPdx Q dy d P dx Q dy dμ μ μ μ+ = + =

Οι γενικές μορφές των ολοκληρωτικών παραγόντων για τις δυο αυτές Δ.Ε. θα είναι αντίστοιχα 1 1 2( )Fμ ϕ και 2 2 2( )Fμ ϕ . Αν με κατάλληλη επιλογή των συναρτήσεων φ1 και φ2, μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι

1 1 1 2 2 2( ) ( )F Fμ ϕ μ ϕ= τότε η ποσότητα αυτή είναι ένας ολοκληρωτικός παράγοντας για τη (16).

Παράδειγμα 1: Να βρεθεί ένας ολοκληρωτικός παράγοντας για τη Δ.Ε.:

( ) ( )3 3 2 43 2 4 0x x y dy y x y dx+ + + =

Απάντηση: Αυτή η Δ.Ε. γράφεται:

( ) ( )2 23 2 4 0xdy ydx x y xdy ydx+ + + = (17)

Για την 1η παρένθεση, από την (9), βρίσκουμε τον ολοκληρωτικό παρά-γοντα μ1=y2. Πολλαπλασιάζοντας την 1η παρένθεση επί μ1 προκύπτει το

31 ( )dF d xy= . Κάθε ολοκληρωτικός παράγοντας για την 1η παρένθεση έχει

λοιπόν τη μορφή 2 31 ( )y xyϕ . Για τη 2η παρένθεση, με τη βοήθεια των (12) και

(13) βρίσκουμε μ2=y-5/2. Πολλαπλασιάζοντας τη 2η παρένθεση επί μ2. προ-κύπτει το 3 3/ 2

2 [4 / 3 ]dF d x y= . Κάθε ολοκληρωτικός παράγοντας για τη 2η παρένθεση έχει λοιπόν τη μορφή 5/2 3 3/2

2[4 / 3 ]y x yϕ− . Τα παραπάνω μας οδη-γούν να αναζητήσουμε, για την Δ.Ε. (17) ένα ολοκληρωτικό παράγοντα της μορφής μ=xκyλ και να προσδιορίσουμε τα κ και λ έτσι ώστε ∂(μP)/∂y=∂(μQ)/∂x. Έχουμε:

2 4 2 3( ) ( 4 ) ( 1) 4( 4)P x y y x y x y x yy y

κ λ κ λ κ λ∂ ∂μ λ λ∂ ∂

+ +⎡ ⎤= = + = + + +⎣ ⎦

3 3 2 3( ) (3 2 ) 3( 1) 2( 4)Q x y x x y x y x yx x

κ λ κ λ κ λ∂ ∂μ κ κ∂ ∂

+ +⎡ ⎤= = + = + + +⎣ ⎦


Οι δυο αυτές εκφράσεις είναι ίσες για κ=-5/9, λ=3/9. Επομένως ο ολοκλη-ρωτικός παράγοντας είναι: 5/9 3/9 x yμ −= .

Ασκήσεις. Να βρείτε έναν ολοκληρωτικό παράγοντα και με τη βοήθεια αυ-

τού, τη γενική λύση των Δ.Ε.:

1. ( )2 23 0x y x dx dy− + = (Aπ.3xeμ = ,

3

1/ 3xy ce−

= + )

2. ( )2 2 22 / 4 0xy x y dx x ydy+ + = (Aπ. μ=y2, 2 4 22x y x c+ = )

3. ( )2 2 0x y y dx xdy+ + − = (Aπ. ( ) ( )2 21/ , tanx y y x x cμ = − + = + )

4. ( )3 3 0y x y dx xdy+ + = (Aπ.

( ) ( )3 2 2, 1 / 2xy y x x cμ −= = − )

5. ( )2 2 2 2 0xy dx x y x y dy+ + = (Aπ. ( ) 2 , lnxy xy c yμ −= = − )

6. ( )2 2 3 3 43 2 0x y dx x y x y dy+ + = (Aπ.3

3y

eμ = , 3

3 2 3y

x y e c=

)

7. ( ) ( )3 2 2 4 0x y y dx x y x dy− + − = (Aπ. ( ) 2 3 4, 3 2 6xy x y xy cxyμ −= + + = − )

4.5 Εφαρμογές του ολοκληρωτικού παράγοντα

1) Απλό Εκκρεμές Θεωρούμε ένα απλό εκκρεμές μάζας m που αιωρείται από ένα ελαφρό νήμα

μήκους L στο ένα άκρο, ενώ το άλλο άκρο του νήματος είναι αναρτημένο σε ένα υποστήριγμα. Η κίνηση γίνεται σε κατακόρυφο επίπεδο και οδηγείται από τη δύναμη της βαρύτητας. Οι δυνάμεις που δρουν πάνω στη μάζα είναι η τάση T που έχει την κατεύθυνση του νήματος και το βάρος B mg= . Η εξίσωση κίνη-σης στην εφαπτομενική διεύθυνση είναι:


2

2sintd sF mg mdt

θ= − = (1)

όπου s είναι η μετατόπιση την οποία μετρούμε πάνω στο τόξο και το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η tF κατευθύνεται προς το σημείο ισορροπίας. Όμως

.L ds ds L Ldt dt

σταθ θθ == ⎯⎯⎯⎯→ = ⇒2

2

d s Ldt

θ=

έτσι η (1) γίνεται:

sin sin 0gmg mLL

θ θ θ θ− = ⇒ + = (2)

Πολλαπλασιάζοντας την (2) με θ , (ολοκληρωτικός παράγοντας), θα έχου-με:

2

2

1sin 0 cos 02

1 cos σταθ.2

g d gL dt L

gL

θθ θ θ θ θ

θ θ

⎛ ⎞+ = ⇒ − = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

− = Ε = ⇒

2 cos 2 cosg d gE EL dt L

θθ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

η οποία είναι Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών. Λύνοντάς την έχουμε:

2 cos

d dtgEL

θ

θ= ⇔

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

0

02 cos

td dtgEL

θ

θ

θ=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

⌠⎮⎮⎮⌡

∫

2) Προσδιορισμός των δυναμικών γραμμών που παράγονται από δυο

σημειακά φορτία.


Στηριζόμενοι στο νόμο του Gauss θέλουμε να προσδιορίσουμε τις δυναμικές γραμμές του ηλεκτροστατικού πεδίου, το οποίο παράγεται από δυο σημειακά φορτία q1, q2 που είναι τοποθετημένα στα σημεία A(-α,0) και B(α,0) αντίστοι-χα. Έστω r1, r2 οι αποστάσεις των σημείων Α, Β από το σημείο Μ(x,y) αντί-στοιχα. Αρχικά θα υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται γύρω από ένα σημειακό φορτίο με την βοήθεια του νόμου του Gauss. Έτσι έχουμε:

224

4o o o

q q qE dS E r Er

πε ε πε

⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =∫

Επομένως 2ˆ

4 o

qE rrπε

= . Οπότε τα ηλεκτρικά πεδία των φορτίων 1 2,q q εί-

ναι:

1 11 1 12 3

1 1

ˆ4 4o o

q qE r rr rπε πε

= = . και 2

2 2324 o

qE rrπε

= αντίστοιχα.

Το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο στο σημείο Μ είναι

1 2. 1 23 3

1 2

14 o

q qE r rr rολ πε

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1)

Τα 1 2,r r δίνονται από τις παρακάτω εκφράσεις:

( )1 ˆ ˆr x x yyα= + +, ( )2 ˆ ˆr x x yyα= − +

( ) ( )1 1

2 22 22 21 2,r x y r x yα α⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = − +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ .

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις αυτές στην έκφραση που μας δίνει το .Eολ , θα έχουμε:


( ) ( )1 2. 3 3

1 2

1 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )4 o

q qE x x yy x x yyr rολ α α

πε⎡ ⎤

= + + + − + ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )1 2 1 2. 3 3 3 3

1 2 1 2

1 1ˆ ˆ4 4o o

q q q qE x x x y y yr r r rολ α α

πε πε⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Οι εξισώσεις των δυναμικών γραμμών θα βρεθούν από τις σχέσεις

( ) ( )1 2 1 23 3 3 3

1 2 1 2

1 14 4

x y

o o

dx dy dx dyE E q q q qx x y

r r r rα α

πε πε

= ⇒ = ⇒⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )1 2 1 23 3 3 3

1 2 1 2

0q q q qy dx x x dyr r r r

α α⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ − + + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2)

Στη συνέχεια θα ψάξουμε για ολοκληρωτικό παράγοντα της παραπάνω Δ.Ε.. Ορίζουμε:

1 23 3

1 2

( , ) q qP x y yr r

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦ και ( ) ( )1 2

3 31 2

( , ) q qQ x y x xr r

α α⎡ ⎤

= − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦ .

Θα υπολογίσουμε τις ποσότητες ( , )P x yy

∂∂

και ( , )Q x yx

∂∂

:

( )

( )

12 2 21 2

13 3 41 2 1

12 2 2

2 42

3 1 ( ) 22

3 1 ( ) 22

q qP y q x y yy r r r

q x y yr

α

α

−

−

⎡ ⎛ ⎞∂= + + − + + +⎢ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎣

⎤⎛ ⎞+ − − + ⇒⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎦ 21 2 1 2

3 3 5 51 2 1 2

3P q q q qyy r r r r

⎛ ⎞∂= + − +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

1 213 3 4

1 2 1 1

2 42 2

3 1( ) 2( )2

3 1( ) 2( )2

q qQ q x xx r r r r

q x xr r

α α

α α

⎛ ⎞∂= − − − + − + −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− − − − ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2 2

1 2 1 23 3 5 5

1 2 1 2

3 ( ) 3 ( )Q q q q x q xx r r r r

α α∂ + −= − − + +

∂ .


τότε

( , ) ( , )P x y Q x yy x

∂ ∂− =

∂ ∂

( )

( )

221 2 1 2 1 2 13 3 5 5 3 3 5

1 2 1 2 1 2 1

22 1 25 3 3

2 1 2

3 3

2 23

q q q q q q qy xr r r r r r r

q q qxr r r

α

α

⎛ ⎞+ − + + + − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

− − = + −

( ) ( )2 2 2 21 25 5

1 2

1 23 3

1 2

3 ( ) 3 ( )

( , ) ( , )

q qx y x yr r

q qP x y Q x yy x r r

α α+ + − − + ⇒

∂ ∂− = − −

∂ ∂ .

και

1 23 3

1 2

1 23 3

1 2

( , ) ( , )1

( , )

q qP x y Q x yr ry x

P x y yq qyr r

∂ ∂ − −−∂ ∂ = = −

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Έτσι 1

lndy

yye e yμ− −∫

= = = .

Άρα βρήκαμε ότι ολοκληρωτικός παράγοντας της Δ.Ε. είναι ο μ = y. Έτσι πολλαπλασιάζουμε την (2) με y και θα έχουμε:

2 1 2 1 23 3 3 3

1 2 1 2

( ) ( ) 0q q q qy dx y x x dyr r r r

α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .

Η τελευταία αυτή παράσταση είναι το τέλειο διαφορικό κάποιας συνάρτη-σης F την οποία ψάχνουμε να βρούμε. Έτσι θα έχουμε:

1 23 31 2

( ) ( ) ( ) ( )ydy ydyF Qdy g x q x q x g xr r

μ α α= + = − + − − +⌠ ⌠⎮ ⎮⌡ ⌡∫ ,

όμως 2 2 2( ) 2 2i i ir x y rdr ydyα= ± + ⇒ = 2,1i = .

Επομένως προκύπτει ότι:

1 1 2 21 23 3

1 2

1 21 22 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

rdr r drF q x q x g xr r

dr drq x q x g xr r

α α

α α

= − + − − + =

− + − − + ⇒

⌠ ⌠⎮ ⎮⌡ ⌡

⌠ ⌠⎮ ⎮⌡ ⌡


1 21

1 21 2

1 1( ) ( ) ( )

( )

F q x q x g xr

x xq q g xr r

α αα

α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

+ −= + +

Το μόνο που μας μένει πλέον είναι να προσδιορίσουμε την συνάρτηση g(x).

Ξέρουμε όμως ότι ισχύει:

1 21 2

( )dF d x xP q q g x Pdx dx r r

α αμ μ⎛ ⎞+ − ′= ⇒ + + = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

1 21 22 2

1 1 2 2

1 1 1 1( ) ( )

( )

dr drq x q xr r dx r r dx

g x P

α α

μ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

′+ =

Αλλά 2 2 2( ) 2 2( )i i

i ii

dr dr xr x y r xdx dx r

αα α ±= + + ⇒ = ± ⇒ = 2,1i =

Επομένως

1 22 21 1 1 2 2 2

2 2

1 23 31 2

1 1 1 1( ) ( ) ( )x xq x q x g xr r r r r r

y yq qr r

α αα α⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ′+ + − + + − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + ⇒

2 2 3 2 2 2 3 21 2 1 2

1 2 1 23 3 3 31 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) 0 ( )

r x r x r x r xq q g x q qr r r r

g x g x C

α α α α− + − − − + − −′+ + = + ⇒

′ = ⇒ = Επομένως η εξίσωση που μας δίνει τις δυναμικές γραμμές που παρά-γονται από δυο σημειακά φορτία είναι:

1 21 2

x xF q q Cr r

α α+ −= + +

3) Φυσική σημασία του ολοκληρωτικού παράγοντα Από την Αναλυτική Δυναμική γνωρίζουμε ότι: Οι περιορισμοί της κινήσεως ονομάζονται δεσμοί της κινήσεως ή σύ-

νδεσμοι. Οι δεσμοί καλούνται ολόνομοι αν εκφράζονται από εξισώσεις της μορφής

1 2( , , ......, ) 0nf q q qμ = (1)


με 1, 2,3, ....,μ κ= nκ< ( nq οι γενικευμένες συντεταγμένες) όπου οι διαφο-ρίσιμες συναρτήσεις fμ δεν περιέχουν γενικευμένες ταχύτητες jq . Μη-ολόνομοι δεσμοί είναι εκείνοι οι οποίοι εκφράζονται είτε από ανισώσεις είτε από εξισώσεις της μορφής

1 2 1 2( , , ....., , , , ......, , ) 0n nf q q q q q q tμ = , οι οποίες δεν είναι δυνατό να ολοκληρωθούν και να λάβουν την μορφή των εξισώσεων (1).

Έστω ένα σύστημα δυο υλικών σημείων Α και Β που συνδέονται με ράβδο μήκους . Το σύστημα περιορίζεται να κινείται σε δοσμένο επίπεδο κατά τέτοιο

τρόπο, έτσι ώστε η ταχύτητα Μυ του μέσου της ράβδου να είναι συγγραμμική με τη ράβδο. Θεωρούμε ότι το σύστημά μας κινείται στο επίπεδο Oxy. Το σύσ-τημα περιγράφεται από τις καρτεσιανές συντεταγμένες των υλικών σημείων ( )1 1 2 2, , ,x y x y και υπόκειται στον ολόνομο δεσμό:

( ) ( )2 2 22 1 2 1 0x x y y− + − − =

. Επίσης υπόκειται στο δεσμό που προκύπτει από τη συνθήκη:

0M ABυ × = ⇔ ( )( ) ( )( )1 2 2 1 1 2 2 1 0x x y y y y x x+ − − + − = (2)

Χρησιμοποιώντας το σύστημα των γενικευμένων συντεταγμένων ( ), ,x y ϕ

όπου ( ),x y οι συντεταγμένες του μέσου της ράβδου και φ η γωνία της ράβ-δου με τον άξονα Οx, θα έχουμε:

1 1cos sin2 2

x x x xϕ ϕ ϕ= − ⇒ = +

1 1sin cos2 2

y y y yϕ ϕ ϕ= − ⇒ = −


2 2cos sin2 2

x x x xϕ ϕ ϕ= + ⇒ = −

2 2sin cos2 2

y y y yϕ ϕ ϕ= + ⇒ = +

Επομένως 1 2 2x x x+ = ,

1 2 2y y y+ = , 2 1 siny y ϕ− = , 2 1 cosx x ϕ− =

Έτσι η (2) γράφεται:

2 sin 2 cos 0 sin cos 0x y x yϕ ϕ ϕ ϕ− = ⇒ − = ⇒

sin cos 0dx dyϕ ϕ− = (3)

Βλέπουμε ότι η σχέση (3) εκφράζει ανολόνομο δεσμό επειδή δεν υπάρχει ολοκληρωτικός παράγοντας ώστε να μετασχηματιστεί σε τέλειο διαφορικό.

82881890-course-16-4956

Documents

Transcript of 82881890-course-16-4956