Τζαχρήστας Ιωάννης (Α4)

ΑΠΕΙΡΟ

Η λέξη άπειρο προέρχεται από το στερητικό πρόθεμα "α-" και τη λέξη "πέρας" που σημαίνει τέλος. Αναφέρεται σε διάφορες διαφορετικές έννοιες (που συνήθως συνδέονται με την έννοια του "χωρίς τέλος") που προκύπτουν στην φιλοσοφία, τα μαθηματικά και τη θεολογία.Στα μαθηματικά, το "άπειρο" χρησιμοποιείται συνήθως σε περιπτώσεις όπου αντιμετωπίζεται σαν να ήταν αριθμός (δηλαδή για τη σειρά ή το μέγεθος κάποιου πράγματος, π.χ.:"άπειρος αριθμός στοιχείων") αλλά είναι διαφορετικό είδος αριθμού από τους πραγματικούς αριθμούς. Το άπειρο βρίσκεται στα όρια, στους αριθμούς άλεφ, στις τάξεις της θεωρίας συνόλων, στα Ντέντεκιντ-άπειρα σύνολα, στο παράδοξο του Ράσελ, στη μη καθιερωμένη αριθμητική, στους υπερπραγματικούς αριθμούς, στην προβολική γεωμετρία, στο εκτεταμένο σύστημα πραγματικών αριθμών και στο απόλυτο άπειρο του Καντόρ

Έννοιαhttp://el.wikipedia.org/wiki/%CE%86%CF%80%CE%B5%CE%B9%CF%81%CE%BF

Τζαχρήστας Ιωάννης (Α4)

ΑΠΕΙΡΟhttp://www.math.uoa.gr/web/activ/magaz/teyxos3/thema7.html

Η έννοια του απείρου είναι τόσο αρχαία όσο και η Ιόνιος Φιλοσοφία με το οποίο ασχολήθηκε πρώτη. Το “άπειρο” ανέκαθεν προξενούσε και προξενεί αρκετές δυσκολίες και προβλήματα στον καθορισμό του όπως και στην κατανόησή του. Με την έννοια “άπειρο” εννοούμε συνήθως κάτι το οποίο αντίκειται στο πεπερασμένο, κάτι χωρίς πέρας, κάτι έξω από το οποίο δεν υπάρχει τίποτα, κάτι το οποίο δεν επιδέχεται περαιτέρω αύξηση. Το άπειρο προκάλεσε από την αρχή διαφορές, αντινομίες, πολλές από τις οποίες αποτελούν μέχρι σήμερα αντικείμενο μελέτης. Θα αρκεστούμε στα 4 γνωστά σοφίσματα του Ζήνωνα του Ελεάτη (496-429 π.Χ.). Αυτά σήμερα έχουν ιστορική μόνο σημασία.

Το άπειρο και τα παράδοξα του Ζήνωνα

Τζαχρήστας Ιωάννης (Α4)

ΑΠΕΙΡΟhttp://www.math.uoa.gr/web/activ/magaz/teyxos3/thema7.html

Το άπειρο και τα παράδοξα του Ζήνωνα

Το συγκεκριμένο Παράδοξο καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “ η κίνηση είναι αδύνατη “διότι ό,τι κινείται, πριν φτάσει στο τέρμα του πρέπει να φτάσει στη μέση της πορείας του. Ο Ζήνωνας λέει ότι για να μεταβεί ένα σώμα από μια θέση Α σε μια θέση Β οφείλει να διανύσει το μισό της απόστασης ΑΒ. Στη συνέχεια το μισό του υπολοίπου, ακολούθως το μισό του νέου υπολοίπου και ούτω καθ’ εξής.Οι αποστάσεις αυτές γίνονται συνεχώς μικρότερες, αλλά απαιτείται για κάθε μια απ’ αυτές ένας ορισμένος χρόνος για να διανυθεί. Και έτσι συμπέρανε ότι “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων οφείλει να είναι άπειρο”.Κατά συνέπεια η πραγματικότητα της κίνησης και ακριβέστερα της έκτασης είναι αδύνατη. Γι’ αυτή την αντινομία έχουν προταθεί αρκετές λύσεις. Μια από αυτές θεωρεί ότι το λάθος του συλλογισμού έγκειται στην αληθοφανή πρόταση “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων είναι άπειρο”. Αυτή η πρόταση ισχύει αλλά όχι πάντα. Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι (ΑΒ) = 2 Κm και η ταχύτητα του κινητού είναι u = 1 Km/min. Τότε το μισό της απόστασης έστω (ΑΜ1) θα διανυθεί σε χρόνο t1 = 1 min ,το μισό του υπολοίπου απόστασης το (Μ1Μ2) σε χρόνο t2 = 1/2 ,το μισό του υπολοίπου, δηλ. το (Μ2Μ3) σε χρόνο t3 = 1/4 min, κ.τ.λ. Έτσι ο χρόνος t που απαιτείται για να διανυθεί η απόσταση (ΑΒ) δίνεται από τη σειρά t=t1+t2+.....+tn+... , δηλαδή t = 1+1/2 +1/4 +...+1/2ν+... Το άθροισμα, όμως , δεν είναι άπειρο. Ισχύει ότι t® 2,αλλά ποτέ δεν το υπερβαίνει. Κατά συνέπεια ο χρόνος είναι t = 2 min και όχι άπειρος. Έτσι, απο+ρρίπτεται το συμπέρασμα του Ζήνωνα ότι η κίνηση είναι αδύνατη.

Τζαχρήστας Ιωάννης (Α4)

ΑΠΕΙΡΟhttp://www.math.uoa.gr/web/activ/magaz/teyxos3/thema7.html

Το άπειρο και τα παράδοξα του Ζήνωνα

Το συγκεκριμένο παράδειγμα καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “ο βραδύτερος ουδέποτε θα προσπεραστεί από τον ταχύτερο’’. Για να παρουσιαστεί αυτή η αντινομία πιο κατανοητή ας υποθέσουμε ότι η χελώνα προσπερνά τον Αχιλλέα 100 m και ότι η ταχύτητα uA του Αχιλλέα είναι uA=10 m/sec και της χελώνας, ux, είναι ux=1 m/sec. Τότε ο Αχιλλέας σε χρόνο t1=10 sec θα διανύσει την απόσταση (ΑΧ1)=100 m, την οποία τον προσπερνούσε η χελώνα. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου t1 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα (x1x2) =10 m. Στη συνέχεια για να διατρέξει αυτή την απόσταση ο Αχιλλέας θα χρειαστεί χρόνο t2 =1 sec. Κατά το χρόνο t2 η χελώνα θα διανύσει το διάστημα (x2x3) =1 m και ο Αχιλλέας θα το διατρέξει σε χρόνο t3 =1/10 sec.Η κίνηση αυτή θα συνεχίζεται επ’ άπειρο. Έτσι κατέληξε ο Ζήνων, ότι ο Αχιλλέας δε θα φτάσει ποτέ τη χελώνα. Όμως και η αντινομία αυτή αίρεται όπως και η προηγούμενη. Έτσι ο χρόνος t θα δίνεται από τη σχέσηt=t1+t2+.....+tn  ή t=10+1+1/10+...+1/10ν. Όμως και αυτή η σειρά έχει πεπερασμένο άθροισμα και είναι ίσο με t=111/9 sec.

Τζαχρήστας Ιωάννης (Α4)

ΑΠΕΙΡΟhttp://www.math.uoa.gr/web/activ/magaz/teyxos3/thema7.html

Το άπειρο και τα παράδοξα του Ζήνωνα

Το παράδοξο αυτό καταλήγει στο συμπέρασμα ότι ”αν κάτι είναι σε ηρεμία ή κίνηση σε χώρο ίσο με τον εαυτό του και αν ο,τι κινείται θεωρείται πάντοτε στιγμιαίως, τότε το βέλος στο πέταγμά του είναι ακίνητο ”. Ας δεχτούμε ότι ένα βέλος τίθεται σε κίνηση ανάμεσα σε δύο σημεία Σ1 και Σ2 και μεταξύ των χρόνων t1 και t2.Ανάμεσα σ’ αυτά υπάρχουν πολλά σημεία Σn και αντίστοιχα κατά την κίνηση πολλά χρονικά σημεία tn με n=1,2,3,... Το σύνολο των χωρικών σημείων που καταλαμβάνει το βέλος είναι ο χώρος που ισούται προς τις διαστάσεις αυτού του αντικειμένου. Αν λοιπόν φανταστούμε κατά συστοιχία σύνολα αντιληπτικών χωρικών σημείων, απ’ αυτά που το σύνολό τους ισούται προς το διάστημα το οποίο διανύει το κινούμενο αντικείμενο και ανάλογα αν φανταστούμε κατά συστοιχία σύνολα αντιληπτικών χρονικών σημείων της διάρκειας της κίνησής του , τότε τα σημεία του αντικειμένου παρουσιάζονται ακίνητα μέσα στα χωροχρονικά αυτά σημεία. Έτσι όλη η κίνηση του αντικειμένου, η οποία προϋποτίθεται στην εμπειρία μας ως συνεχής, δεν είναι παρά μια εικόνα που συντίθεται από ασυνεχείς φάσεις, δηλαδή μια “κινηματογραφική” και όχι φυσική κίνηση.

Τζαχρήστας Ιωάννης (Α4)

ΑΠΕΙΡΟhttp://www.math.uoa.gr/web/activ/magaz/teyxos3/thema7.html

Το άπειρο και τα παράδοξα του Ζήνωνα

Ας φανταστούμε τρείς παράλληλες σειρές σημείων Α,Β,Γ από τις οποίες η σειρά Α μένει ακίνητη και οι άλλες δύο κινούνται με ίση ταχύτητα προς αντίθετες κατευθύνσεις μπροστά από τη σειρά Α. Τα σημεία Β κινούνται προς τα δεξιά ενώ συγχρόνως τα σημεία Γ κινούνται προς την αντίθετη κατεύθυνση με την ίδια ταχύτητα και ρυθμό με το Β. Έτσι, κάποια ορισμένη στιγμή το Β1, το Α3 και το Γ1 βρίσκονται όλα στο ίδιο ύψος. Στη συνέχεια το Β1 θα είναι απέναντι από το Α4, το Γ1 απέναντι από το Α2 και το Β3 απέναντι από το Α2. Δηλαδή το Γ1 είχε ευθυγραμμιστεί με το Β2 πριν ευθυγραμμιστεί με το Β3. Αυτό, όμως ,σημαίνει ότι η κίνηση θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι συντελείται συνεχώς δια μέσου των διαδοχικά διαιρετών μερών της χωροχρονικής έκτασης. Η αντινομική μορφή των επιχειρημάτων αυτών οργανώνεται γύρω από τη θέση ότι η πορεία διαίρεσης και σύνθεσης της χωρικής και χρονικής έκτασης οδηγεί στο άπειρο. Η πραγματικότητα του απείρου υπήρξε η πηγή πολλών διαφωνιών και αντιθέσεων μεταξύ των φιλοσόφων και μεταξύ των μαθηματικών σε όλους τους αιώνες. Γι’ αυτό αρκετοί φιλόσοφοι και μαθηματικοί κατά καιρούς αναγκάστηκαν να το αρνηθούν για να αποφύγουν τις δυσκολίες και τα παράδοξά του. Έτσι, ο Αμερικανός E.Northrop πιστεύει ότι “το άπειρο είναι ένας από τους καθαρούς εχθρούς της ησυχίας του πνεύματος των μαθηματικών”. Πράγματι, το άπειρο απασχολεί συνεχώς από την ανακάλυψή του το ανθρώπινο πνεύμα και είναι η αιτία αρκετών από τα μαθηματικά σοφίσματα, παράδοξα, και αντινομίες, δεν είναι όμως, μαθηματικά παράλογα.

Τζαχρήστας Ιωάννης (Α4)

ΑΠΕΙΡΟhttp://el.wikiversity.org/wiki/%CE%A0%CF%81%CE%AC%CE%BE%CE%B5%CE%B9%CF%82_%CE%BC%CE%B5_%CF%84%CE%BF_%CF%83%CF%85%CE%BD-%CF%80%CE%BB%CE%B7%CE%BD_%CE%AC%CF%80%CE%B5%CE%B9%CF%81%CE%BF

Πράξεις με το συν/πλην άπειροΑΠΕΙΡΟ

Το συν άπειρο μπορεί να διανοηθεί ως ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός, ή για την ακρίβεια ως άπειρο εκλαμβάνουμε συνήθως ένα μέγεθος που τείνει στο συν ή πλην άπειρο. Οι ιδιότητες του μεγέθους που τείνει στο συν ή πλην άπειρο με τις διάφορες πράξεις ορίζονται με βάση την κοινή λογική, όταν αυτό είναι εφικτό. Σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα τα άπειρα μελετώνται με όρια, ενώ θεωρούνται προσεγγίσεις και όχι αριθμοί. Έτσι, ισχύουν οι διπλανές ιδιότητες (θ είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός).

Τζαχρήστας Ιωάννης (Α4)

ΑΠΕΙΡΟΑποφθέγματα

http://el.wikiquote.org/wiki/%CE%86%CF%80%CE%B5%CE%B9%CF%81%CE%BF

•Η μουσική είναι μια γλώσσα που μας οδηγεί στα σύνορα του απείρου και μας επιτρέπει να κοιτάζουμε μέσα σ' αυτό Καρλάυλ

•Η ποίηση είναι η ανώτερη από όλες τις τέχνες, διότι μπορεί να παραστήσει το άπειρο

•Όταν η ψυχή δεν είναι στεναχωρημένη, μια μέρα ισοδυναμεί με χίλιους αιώνες, ενώ όταν οι σκέψεις είναι πλατειές η μικρή καλύβα χωράει όλο το σύμπαν. Χουν Τζι Τσεν

•Σημείον εστί ού μέρος ουδέν (Σημείο είναι κάτι από το οποίο δεν μπορείς να ξεχωρίσεις ένα μέρος) Ευκλείδης

•Το Άπειρο έχει γράψει το όνομά του στους ουρανούς, με λαμπερά αστέρια, κι εδώ στη γη, με όμορφα λουλούδια Ρίχτερ Γιαν Πάουλ

•Του δε απείρου ουκ έστι αρχή, είη γαρ αν αυτού πέρας (Στο άπειρο δεν υπάρχει αρχή, διότι τότε θα υπήρχε και τέλος) Αναξίμανδρος