ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ

Κλασική Μηχανική Σχετικιστική ΜηχανικήΚλασική Δυναμική Σχετικιστική ΔυναμικήΚλασική Κινηματική Σχετικιστική Κινηματική

Στιγμιαία αλληλεπίδραση σωματιδίων Αλληλεπίδραση με πεπερασμένηΚλασικό πεδίο ταχύτηταAction at a distance Κβαντικό πεδίο

Contact Interaction

Αλληλεπίδραση σωματιδίου με ΗΜ πεδίο περιγράφεται από:

Τετράνυσμα Δυναμικού:

0

b

a

eS m cds A dx

c

,A A

Δράση ελεύθερου σωματιδίου Δράση αλληλεπίδρασηςσωματιδίου με το πεδίο Αμ

Βαθμωτό δυναμικό Διανυσματικό δυναμικό

0

2 2 20

2 2 20

0

2 2

0 1,2,...,

1

1

1

b

a

b

a

e drS m cds A dr e dt

c dt

eS m c c A v e dt

c

eL m c c A v e

c

m eP A

c

ep A

d L L Li s P

dt q q

cc

20

2 2

2 22 20

1 /

Lv L

v

m ce

c

e em c P A

c c

H

H

H

Γενικευμένη Ορμή Κανονική Ορμή

Χαμιλτονιανή:

2 22 2 2 20 0

2220

m c m c p

EEp

c c

��������������

0

1

ή ήύ ύ

d L L dp e A ee A

dt q q dt c t c

AE

c t

H A

dp eF eE H

dt c

t t

E E

H H

A A

Ένταση Ηλεκτρικού Πεδίου

Ένταση Μαγνητικού Πεδίου

Εξίσωση Κίνησης (Δύναμη Lorentz)

Αντιστροφή Χρόνου:

Αναλλοίωτες εξισώσεις κίνησης φορτίου μέσα στο ΗΜ πεδίο.

Απόδειξη:

2 2 2

2

2 00 2 2 2

0

2

.

0

2 /1

2 1 / 1 /

1

c mL L e eP m c A P A

q c cc c

L L eL A

Ό A A A A

eq r

eL m

d L L

dt qc c

r

qc

c

A

A e

ό

20

2 21 /

ˆ

. :

d e e ep A A A e

dt c c c

dp e A ee A

dt c t c

d

dp eeE x

L e eA A

Hdt

E m cd dpeE

dt d

er c c

dA

c

t dt

t

c

AA

d t

0A

Εξίσωση κίνησης φορτίου μέσα σε ΗΜ πεδίο

Μετασχηματισμός Βαθμίδος

« Ο μετασχηματισμός που αφήνει αναλλοίωτες τις εξισώσεις κίνησης, δηλαδή τα πεδία

και »

E

B

1

A A f

f

c t

f = τυχαία συνάρτηση

Τανυστής Ηλεκτρομαγνητικού Πεδίου (αντισυμμετρικός)

0

0

0

0

0

0

0

0

x y z

x z y vv

y z x

z y x

x y z

x z y

y z x

z y x

E E E

E H H AAF

E H H x x

E H H

E E E

E H HF

E H H

E H H

Συναλλοίωτος Τανυστής

Ανταλλοίωτος Τανυστής

Εξισώσεις Κίνησης:

Μετασχηματισμοί (ΗΜ πεδίου) συνιστωσών τανυστή :

2 21 /v ds cddp e

F uds c

t c

02 02 12

12 12 02

01 01 23 23, ...

F F Fc

F F Fc

F F F F

dq dV

Πυκνότητα φορτίου

Στοιχειώδης όγκος

Στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο

Αναλλοίωτο Μεταβάλλονται από το ένα σε άλλο Σύστημα Αναφοράς

dxdqdx dVdt

dt

dxjά

dt

Τετράνυσμα ρεύματος

0,j c j j c

j

Διατήρηση ηλεκτρικού φορτίου

0

0 0

dV ds j dst

j ds jdV

j dVt

jj

t x

Θετικό αν αυξάνεται το φορτίο

Θετικό αν φεύγει φορτίοΑρνητικό αν έρχεται φορτίο

Θεώρημα Gauss

Εξίσωση Συνέχειας

Μετασχηματισμός ΗΜ πεδίου

x x x x

y y z y y z

z z y z z y

E E H H

E E H H H Ec c

E E H H H Ec c

Συμπέρασμα: Το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο είναι σχετικά μεγέθη και πάντοτε κάθετα μεταξύ τους.

Εάν H΄=0 στο σύστημα αναφοράς S΄ τότε στο σύστημα S:

Εάν Ε΄=0 στο σύστημα αναφοράς S΄ τότε στο σύστημα S:

Εξισώσεις Maxwell:

1H E

c

1E H

c

1 1 4

0 4

H EE H j

c t c t c

H E

Απόδειξη:

1

1 1

0

AE

c t

H A

HE A

c t c t

H A

Πηγή Ηλεκτρικού Πεδίου: Πυκνότητα φορτίου ρ Μεταβαλλόμενο Μαγνητικό πεδίο

Πηγή Μαγνητικού Πεδίου: Διάνυσμα Πυκνότητας ρεύματος Μεταβαλλόμενο Ηλεκτρικό πεδίο

Οι εξισώσεις του ΗΜ πεδίου, όπως και οι εξισώσεις κίνησης ενός φορτίου μέσα στοΗΜ πεδίο, βρίσκονται με την αρχή της ελάχιστης δράσης.

Διαφορά: Το δυναμικό του πεδίου θεωρείται ότι μεταβάλλεται (γενικευμένη συντεταγμένη) και όχι η τροχιά του σωματιδίου.

j

11 12 13 101

1,2,3

0

1 10

4

4

1 4

1 4

1

1 4

4

y xzx

FS j A d

c x

Fj

x c

F F

EH j

F Fj

x y z c t c

H EHj

y z c t c

c t c

E

Εξίσωση (κίνησης) ΗΜ πεδίου

Κυματικό Τετράνυσμα

2 2 22

2 2 2

0 10 0

2 2

0

1

ˆ,

,

0

/

1 /

/

cos cos

c c

x ct r

x t r

c c c

v c

v c

c

a ac

ταχύτητα της πηγής (δηλαδή του συστήματος αναφοράς Κ0 σχετικά με το Κ)

κυματοδιάνυσμα

α= γωνία ανάμεσα στην κατεύθυνση εκπομπής τουκύματος και της κατεύθυνσης της πηγής.

2 2

0

0

22 2

0 0 2

1 /

1 cos

1 co2

/ 2

s

1 / 12

v cv

ac

ac

vv c

c

ca