Στατιστική

Στατιστική

Ερώτηση 1: Τι ονομάζεται στατιστική;

Απάντηση: Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει τη συγκέντρωση στοιχείων, την ταξινόμησή τους και την παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή ώστε να μπορούν να αναλυθούν και να ερμηνευθούν για την εξυπηρέτηση διαφόρων σκοπών.

Ερώτηση 2: Τι ονομάζεται πληθυσμός και τι άτομα του πληθυσμού; Τι ονομάζεται μέγεθος ενός πληθυσμού και πως συμβολίζεται;

Απάντηση: Για τη σύνταξη πινάκων, συλλέγονται στοιχεία που αναφέρονται σε ένα σύνολο αντικειμένων. Το σύνολο αυτό των αντικειμένων ονομάζεται πληθυσμός. Κάθε στοιχείο του πληθυσμού ονομάζεται άτομο. Μέγεθος ενός πληθυσμού ονομάζεται το πλήθος των ατόμων του και συμβολίζεται με .

Ερώτηση 3: Τι ονομάζεται μεταβλητή και σε ποιες κατηγορίες χωρίζονται;

Απάντηση: Μεταβλητή ονομάζεται το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Οι μεταβλητές διακρίνονται σε ποιοτικές και ποσοτικές.

Ποιοτικές ονομάζονται οι μεταβλητές που δεν μετρούνται (π.χ. το χρώμα των ματιών).

Ποσοτικές ονομάζονται οι μεταβλητές που μπορούν να μετρηθούν (π.χ. η ηλικία κάποιων ατόμων).

Οι ποσοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς.

Διακριτές ονομάζονται οι μεταβλητές που μπορούν να πάρουν μόνο διακεκριμένες τιμές (π.χ. ο αριθμός των παιδιών μιας οικογένειας).

Συνεχείς ονομάζονται οι μεταβλητές που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή από ένα διάστημα αριθμών (π.χ. το ύψος κάποιων ατόμων).

1

Μεταβλητές

Ποσοτικές

Ποιοτικές

Συνεχείς

Διακριτές

Ερώτηση 4: Τι ονομάζεται απογραφή;

Απάντηση: Αν θέλουμε να καταγράψουμε το ύψος των Ελλήνων στην χώρα μας θα πρέπει να κάνουμε απογραφή του ύψους τους, δηλαδή να μετρήσουμε το ύψος όλων των Ελλήνων και στην συνέχεια να συντάξουμε τους αντίστοιχους πίνακες με τα αποτελέσματα.

Ερώτηση 5: Τι ονομάζεται δείγμα;

Απάντηση: Ένα μέρος (υποσύνολο) του πληθυσμού που είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού και το εξετάζουμε λέγεται δείγμα.

Ερώτηση 6: Τι ονομάζεται δειγματοληψία;

Απάντηση: Η εξέταση ενός δείγματος του πληθυσμού λέγεται δειγματοληψία.

Ερώτηση 7: Τι ονομάζεται συχνότητα μιας τιμής και πως συμβολίζεται; Με τι

ισούται το άθροισμα των συχνοτήτων όλων των τιμών μιας μεταβλητής;

Απάντηση: Συχνότητα τιμής μιας μεταβλητής ονομάζεται το πλήθος των

ατόμων του πληθυσμού (ή του δείγματος) για τα οποία η μεταβλητή

παίρνει την τιμή και συμβολίζεται με .

Ερώτηση 8: Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα μιας τιμής και πως συμβολίζεται;

Με τι ισούται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων όλων των τιμών μιας μεταβλητής;

Απάντηση: Σχετική συχνότητα τιμής μιας μεταβλητής ονομάζεται ο λόγος της

συχνότητας προς το μέγεθος του δείγματος και συμβολίζεται με

,δηλ.

Ερώτηση 9: Τι ονομάζεται αθροιστική συχνότητα μιας τιμής και πως

συμβολίζεται;

2

Ραβδόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3

Ραβδόγραμμα συχνοτήτων

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3

Ραβδόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων

0

6

12

18

24

0 1 2 3Ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων %

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3

Απάντηση: Σε ποσοτική μεταβλητή, αθροιστική συχνότητα μιας τιμής

ονομάζεται το άθροισμα των συχνοτήτων των τιμών που είναι

μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή και συμβολίζεται με .

Ερώτηση 10: Τι ονομάζεται αθροιστική σχετική συχνότητα μιας τιμής και πως

συμβολίζεται;

Απάντηση: Σε ποσοτική μεταβλητή, σχετική αθροιστική συχνότητα μιας τιμής

ονομάζεται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων των τιμών που

είναι μικρότερες ή ίσες με την τιμή αυτή και συμβολίζεται με .

Γραφικές παραστάσεις:

Μεταβλητή

Συχνότητα

Αθροιστική

συχνότητα

Σχετική

συχνότητα

Αθρ. σχετ.

συχνότητα

Σχετική

συχνότητα %

%

Αθρ. σχετ.

συχνότητα %

%

Γωνία

0 6 6 0,3 0,3 30 30 108ο

1 4 10 0,2 0,5 20 50 72ο

2 8 18 0,4 0,9 40 90 144ο

3 2 20 0,1 1 10 100 36ο

Σύνολο 20 1 100 360ο

Ραβδογράμματα

3

0

3

2

1

Κυκλικό διάγραμμα

Ερώτηση 11: Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων ενός δείγματος και πως γίνεται;

Απάντηση: Ομαδοποίηση παρατηρήσεων κάνουμε όταν το πρόβλημα αναφέρεται σε ποσοτικές (κυρίως συνεχείς) μεταβλητές και η κατασκευή του πίνακα συχνοτήτων είναι δύσκολη. Για το λόγο αυτό βρίσκουμε τη διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής και τη διαιρούμε σε ισομήκη διαστήματα.

Ερώτηση 12: Τι ονομάζουμε κλάση και τι κέντρο κλάσης;

Απάντηση: Τα ισομήκη διαστήματα που χωρίζουμε τις τιμές αποτελούν τις κλάσεις. Το μέσο του κάθε διαστήματος το ονομάζουμε κέντρο της κλάσης.

Γραφικές παραστάσεις για ομαδοποίηση:

4

Διαστήματα (κλάσεις)

Συχνότητα

Αθροιστικήσυχνότητα

Κέντρα κλάσεων ix

701601 ,, 6 6 1,65

801701 ,, 10 16 1,75

901801 ,, 8 24 1,85

002901 ,, 6 30 1,95

Σύνολο 30

Ιστόγραμμα συχνοτήτων Ιστόγραμμα αθρ o ιστικών συχνοτήτων

i i 10 30 24 8 18 12 6 6 1,60 1,7 1,8 1,9 2,00 ix 1,60 1,7 1,8 1,9 2,00 ix

Για την κατασκευή του πολυγώνου Για την κατασκευή του πολυγώνουσυχνοτήτων (ή σχετ. συχνοτήτων) αθροιστικών συχνοτήτων (ή αθρ. ενώνουμε τα μέσα των ορθογωνίων. σχετ. συχνοτήτων) ενώνουμε τα

δεξιά άκρα των ορθογωνίων.

Παρατήρηση: Το πολύγωνο συχνοτήτων με τον οριζόντιο άξονα σχηματίζει χωρίο ίσου εμβαδού με αυτό που σχηματίζουν τα ορθογώνια (αφού παρατηρούμε ότι για κάθε κομμάτι που προσθέτουμε (με φόντο άσπρο) αφαιρείται και ένα ισεμβαδικό κομμάτι (με φόντο γαλάζιο).)

Παρατήρηση: Υπάρχουν περιπτώσεις που οι κλάσεις έχουν διαφορετικά πλάτη.

Παρατήρηση: Η κατασκευή ενός ιστογράμματος με ίσες κλάσεις και ύψη ορθογψνίων τη συχνότητα είναι λάθος. Το ύψος του κάθε ορθογωνίου πρέπει να είναι αντίστροφα ανάλογο του πλάτους της κλάσης.

Ερώτηση 13: Τι ονομάζεται επικρατούσα τιμή μιας μεταβλητής;

Απάντηση: Επικρατούσα τιμή μιας μεταβλητής ονομάζεται η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα. Αν δύο ή περισσότερες τιμές έχουν τη μέγιστη συχνότητα τότε υπάρχουν περισσότερες από μία επικρατούσες τιμές.

Ερώτηση 14: Πως υπολογίζεται η επικρατούσα τιμή μιας μεταβλητής σε ομαδοποιημένα δεδομένα;

5

Απάντηση: Σε συνεχή μεταβλητή ορίζουμε ως επικρατούσα κλάση αυτή με τη μεγαλύτερη συχνότητα. Η επικρατούσα τιμή υπολογίζεται γραφικά από το ιστόγραμμα συχνοτήτων (ή σχετικών συχνοτήτων).

i 8 6 4 2 10 12 14 16 18 20 ix

Ε.Τ.

Ερώτηση 15: Τι ονομάζεται μέση τιμή μιας μεταβλητής και πως συμβολίζεται;

Απάντηση: Η μέση τιμή διαφόρων τιμών είναι το πηλίκο του αθροίσματος των τιμών προς το πλήθος τους και συμβολίζεται με . Δηλ.

Παρατήρηση: Η μέση τιμή υπολογίζεται μόνο σε ποσοτικές μεταβλητές. Η μέση τιμή ποιοτικών χαρακτηριστικών δεν ορίζεται στη στατική.

Ερώτηση 16: Πως υπολογίζεται η μέση τιμή των τιμών μιας διακριτής μεταβλητής;

Απάντηση: Αν μια μεταβλητή παρουσιάζει x1, x2, …, xκ τιμές με αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, …, νκ, τότε η μέση τιμή της μεταβλητής δίνεται από

τον τύπο:

Παρατήρηση: Η μέση τιμή μιας μεταβλητής σε ομαδοποιημένα δεδομένα δίνεται

από τον τύπο: όπου κ1, κ2, …, κκ τα κέντρα

των κλάσεων με αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, …, νκ.

Ερώτηση 17: Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

6

Απάντηση: Διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ονομάζεται:

Η μεσαία παρατήρηση αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό.

Το ημιάθροισμα των μεσαίων παρατηρήσεων αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο.

Παρατήρηση: Η διάμεσος μιας μεταβλητής σε ομαδοποιημένα δεδομένα υπολογίζεται γραφικά από το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων (ή σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων).

Παρατήρηση: Η επικρατούσα τιμή, η μέση τιμή και η διάμεσος μιας μεταβλητής είναι παράμετροι θέσης.

Σύγκριση Παραμέτρων ΘέσηςΗ μέση τιμή επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές και εξαρτάται από όλες τις τιμές της

μεταβλητής.

Η επικρατούσα τιμή εξαρτάται μόνο από τη μεγαλύτερη τιμή.

Η διάμεσος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές και εξαρτάται απ’ όλες τις τιμές της μεταβλητής. Ο υπολογισμός της διαμέσου παρουσιάζει δυσκολίες σε ορισμένες περιπτώσεις (π.χ. σε συνεχή μεταβλητή).

Ερώτηση 18: Τι ονομάζεται εύρος των τιμών μιας μεταβλητής;

Απάντηση: Εύρος είναι η διαφορά της μικρότερης τιμής από τη μεγαλύτερη.

Παρατήρηση: Το εύρος έχει το μειονέκτημα ότι χρησιμοποιούμε μόνο τις ακραίες τιμές της μεταβλητής και καθόλου τις υπόλοιπες.

Ερώτηση 19: Τι ονομάζεται διακύμανση των τιμών t1, t2, …, tν μιας μεταβλητής με μέση τιμή ;

Απάντηση: Αν μια μεταβλητή παίρνει τις ν τιμές t1, t2, …, tν που έχουν μέση τιμή τότε διακύμανση της μεταβλητής ονομάζεται το πηλίκο:

7

Ερώτηση 20: Τι ονομάζεται διακύμανση των τιμών x1, x2, …, xκ μιας μεταβλητής με αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, …, νκ, και μέση τιμή ;

Απάντηση: Αν μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές x1, x2, …, xκ με αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, …, νκ, που έχουν μέση τιμή τότε διακύμανση της μεταβλητής ονομάζεται το πηλίκο:

Παρατήρηση: Η χρήση της διακύμανσης παρουσιάζει ένα σοβαρό πρόβλημα: οι μονάδες της διακύμανσης είναι τα τετράγωνα των μονάδων της αντίστοιχης μεταβλητής. Για το λόγο αυτό αντί της διακύμανσης χρησιμοποιούμε ως μέτρο διασποράς την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, που τη συμβολίζουμε με s και την ονομάζουμε τυπική απόκλιση.

Ερώτηση 21: Τι ονομάζεται τυπική απόκλιση των τιμών t1, t2, …, tν μιας μεταβλητής με μέση τιμή ;

Απάντηση: Αν μια μεταβλητή παίρνει τις ν τιμές t1, t2, …, tν που έχουν μέση τιμή τότε τυπική απόκλιση της μεταβλητής ονομάζεται το:

Ερώτηση 22: Τι ονομάζεται τυπική απόκλιση των τιμών x1, x2, …, xκ μιας μεταβλητής με αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, …, νκ, και μέση τιμή ;

Απάντηση: Αν μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές x1, x2, …, xκ με αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, …, νκ, που έχουν μέση τιμή τότε τυπική απόκλιση της μεταβλητής ονομάζεται το:

8

Παρατήρηση: Το εύρος, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση μιας μεταβλητής είναι παράμετροι διασποράς.

Ερώτηση 23: Τι ονομάζεται συντελεστής μεταβλητότητας ενός δείγματος που εξετάζεται ως προς μία ποσοτική μεταβλητή και έχει μέση τιμή και

τυπική απόκλιση s;

Απάντηση: Αν ένα δείγμα εξεταζόμενο ως προς μία ποσοτική μεταβλητή του, παρουσιάζει μέση τιμή και τυπική απόκλιση s, συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας ονομάζεται το πηλίκο:

Παρατήρηση: Ο συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής δεν είναι ούτε παράμετρος θέσης ούτε παράμετρος διαποράς.

Παρατήρηση: Ο συντελεστής μεταβλητότητας μετράει ουσιαστικά την ονοιογένεια του πληθυσμού.

Παρατήρηση: Όταν εξετάζουμε δύο δείγματα ως προς την ίδια μεταβλητή τα οποία παρουσιάζουν διαφορετικές τιμές στις παραμέτρους θέσης και διασποράς ή όταν τα δύο δείγματα έχουν διαφορετικές κλίμακες ή μονάδες τότε ένα μέτρο με το οποίο μπορούμε να ξεπεράσουμε τις παραπάνω δυσκολίες είναι ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας.

Ερώτηση 24: Πότε ένα δείγμα θεωρείται ομοιογενές;

Απάντηση: Εάν η τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας είναι κάτω του 10% ο πληθυσμός του δείγματος θεωρείται ομογενής.

Περιγραφική Στατιστική

Βασικές Έννοιες – Πίνακες

9

1. Ποιες από τις παρακάτω μεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές; Από τις ποσοτικές να διακρίνετε ποιες είναι διακριτές και ποιες συνεχείς;i) Το χρώμα των ματιών των μαθητών ενός σχολείου.ii) Το ύψος των αθλητών μιας ομάδας ποδοσφαίρου.iii) Το πλήθος των παιδιών μιας οικογένειας.iv) Την αγαπημένη ελληνική ομάδα ποδοσφαίρου.v) Οι απουσίες του Α΄ τετραμήνου ενός μαθητή.vi) Το επάγγελμα ενός ανθρώπου.vii) Ο τόπος καταγωγής των εργαζόμενων μιας εταιρείας.viii) Ο χρόνος ομιλίας για τον μήνα Σεπτέμβριος των συνδρομητών μιας εταιρείας κινητής τηλεφωνίας.ix) Ο αριθμός των μηνυμάτων για τον μήνα Σεπτέμβριος των συνδρομητών μιας εταιρείας κινητής τηλεφωνίας.x) Το πλήθος των αδελφιών ενός μαθητή.xi) Ο χρόνος υπηρεσίας των υπαλλήλων μιας εταιρείας.xii) Το βάρος των φοιτητών του τμήματος Φυσικής Αγωγής του Α.Π.Θ.xiii) Το χρώμα των μαλλιών των κοριτσιών ενός λυκείου.xiv) Ο μισθός των υπαλλήλων ενός Supermarket.xv) Το πλήθος των κατοικίδιων ζώων που έχει μια οικογένεια του δήμου Θεσσαλονίκης.xvi) Ο αριθμός των ημερών που πήρε ένας εργαζόμενος μέχρι τον μήνα Αύγουστο.xvii) Η αγαπημένη τραγουδίστρια των μαθητών ενός σχολείου.xviii) Το επίπεδο μόρφωσης των ερζαζομένων μιας εταιρείας.xix) Ο βαθμός του απολυτηρίου των μαθητών ενός λυκείου.xx) Το νούμερο των παπουτσιών.

2. Ρωτήσαμε τους μαθητές της Θετικής κατεύθυνσης της Γ΄ λυκείου ενός Γενικού Λυκείου πόσα αδέλφια έχουν. Οι απαντήσεις του ήταν:0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 3, 2, 1α) Ποιος είναι ο πληθυσμός;β) Ποιο είναι το δείγμα;γ) Ποιο είναι το πλήθος του δείγματος;δ) Ποια είναι η μεταβλητή;ε) Τι είδους μεταβλητή είναι;στ) Ποιες είναι οι τιμές της μεταβλητής;ζ) Ποιες είναι οι παρατηρήσεις;η) Ποια είναι τα άτομα;

3. Οι βαθμοί των φοιτητών του μαθηματικού στο μάθημα της Στατιστικής στην εξεταστική του Ιουνίου ήταν:5, 4, 6, 2, 4, 3, 2, 1, 7, 8, 6, 5, 3, 9, 7, 6, 10, 3, 5, 7, 6, 2, 9, 8, 6α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.

10

β) Πόσοι φοιτητές έγραψαν i) τουλάχιστον 7ii) κάτω από 6iii) ακριβώς 8iv) από 4 εώς 7

γ) Ποιο ποσοτό των φοιτητών έγραψε i) το πολύ 4ii) πάνω από 7iii) 5 ή 7iv) τουλάχιστον 5 αλλά το πολύ 8

δ) Αν το 20% των καλύτερων φοιτητών πάρει βραβείο, πόσο πρέπει να έχει γράψει ένας φοιτητής για να δικαιούται το βραβείο;

4. Σε μια έρευνα, ρωτήσαμε 20 μαθητές πόσες φορές πήγαν κινηματογράφο κατά την διάρκεια του χειμώνα. Οι απαντήσεις τους ήταν:0, 1, 5, 3, 2, 2, 3, 4, 0, 3, 5, 2, 3, 4, 0, 1, 0, 3, 5, 4α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.β) Πόσοι μαθητές i) πήγαν το πολύ 2 φορές κινηματογράφο

ii) πήγαν πάνω από 4 φορές κινηματογράφοiii) δεν πήγαν κινηματογράφοiv) πήγαν 2 ή 5 φορές κινηματογράφοv) τουλάχιστον 2 αλλά το πολύ 4

γ) Ποιο ποσοτό μαθητών πήγε i) τουλάχιστον 3 φορές κινηματογράφοii) κάτω από 3 φορές κινηματογράφοiii) 1 φορά κινηματογράφοiv) από 1 εώς 3

δ) Αν το 30% των μαθητών (που πήγε τις περισσότερες φορές) κερδίζει ένα δωρεάν εισητήριο, πόσες φορές πρέπει να έχει πάει κινηματογράφο ένας μαθητής για να δικαιούται το εισητήριο;

5. Οι μέγιστες θερμοκρασίες κατά τον μήνα Σεπτέμβριο σε βαθμούς Κελσίου είναι: 25, 27, 29, 32, 28, 30, 29, 31, 29, 29, 27, 26, 29, 30, 31, 31, 30, 32, 30, 29, 28, 27, 30, 29, 30, 28, 27, 28, 27, 26α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.β) Πόσοι μέρες είχαν θερμοκρασίαi) μικρότερη από 28 ii) τουλάχιστον 30 iii) το πολύ 27γ) Ποιο ποσοτό μερών είχε θερμοκρασίαi) μεγαλύτερη από 30 ii) τουλάχιστον 26 αλλά το πολύ 29iii) ακριβώς 31

6. Οι ημέρες απουσίας 50 υπαλλήλων μιας εταιρείας από την εργασία τους, τον περασμένο μήνα, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

11

Ημέρες Απουσίας Υπάλληλοι0 81 102 153 104 55 2

Πόσοι υπάλληλοι και ποιο ποσοστό απουσίασε:α) τουλάχιστον 2 ημέρεςβ) το πολύ 3 ημέρεςγ) τουλάχιστον 3 αλλά το πολύ 5 ημέρεςδ) πάνω από 4 ημέρεςε) κάτω από 3 ημέρεςστ) ακριβώς 4 ημέρεςζ) από 2 εώς 4 ημέρες

7. Ρωτήσαμε τους μαθητές μιας τάξης ποιο είναι το αγαπημένο τους χρώμα και μας απάντησαν:μπλε, πράσινο, μπλε, ροζ, κίτρινο, μπλε, πράσινο, κόκκινο, κόκκινο, κίτρινο, ροζ, κόκκινο, μπλε, κόκκινο, πράσινο, κίτρινο, πράσινο, μπλε, κόκκινο, μπλε.Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.

8. Τα δημοφηλέστερα ξένα μουσικά συγκροτήματα 20 αγοριών είναι:Metallica, Iron Maiden, Άλλο, Scorpions, Oasis, Άλλο, Άλλο, Rolling Stones, Metallica, Metallica, Rolling Stones, Metallica, Iron Maiden, Iron Maiden, Scorpions, Scorpions, Scorpions, Metallica, Oasis. Άλλο.Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.

9. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται το πλήθος των τηλεφωνικών κλήσεων που πραγματοποίησαν 25 συνδρομητές μιας εταιρείας κινητής τηλεφωνίας κατά τη διάρκεια μιας ημέρας.

Πλήθος κλήσεων

xi

Πλήθος συνδρομητών

νi

Σχετική συχνότητα

fi%

Αθροιστική συχνότητα

Αθροιστική σχετική

συχνότητα2 43 64 556 27 1

Αθροίσματα

Να συμπληρώσετε τον πίνακα.

10. Οι ημέρες απουσίας 50 υπαλλήλων μιας εταιρείας από την εργασία τους, τον περασμένο μήνα, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Ημέρες απουσίας

Υπάλληλοινi




12

xi fi% συχνότητα%

0 81 1023 104 55 2


Να συμπληρώσετε τον πίνακα.

11. Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακα.α) β)

xi νi fi%15 516 417 4018 1219

Άθροισμα 40γ)

δ)

ε)

13

xi νi fi%0 61 15 2523 35

Άθροισμα

Χρώμα ματιών

xi

Μαθητέςνi

fi%

Σκούρα Καστανά

18

Μπλέ 10Πράσινα

Γκρι 20 40Άθροισμα

xi νi fi% Αθροιστική συχνότητα


συχνότητα%

12 416 1519 9022 20

Άθροισμα

στ)xi νi Αθροιστική

συχνότηταfi Αθροιστική

σχετική συχνότητα

fi% Αθροιστική σχετική

συχνότητα%

10 511 6 0,3012 1213 7514 415

Άθροισμα

ζ)xi νi fi fi% Αθροιστική

συχνότηταΑθροιστική



συχνότητα%

5 8078 40 20 859 19010

Άθροισμα

η)xi νi fi% Αθροιστική



0 12

14

xi νi Αθροιστική συχνότητα

fi fi% Αθροιστική σχετική

συχνότητα


συχνότητα%

7 0,208 189 1610

Σύνολο 25

1 302 393 454 50

Σύνολο

θ)xi νi fi% Αθροιστική



0 11 1 25 2 42 3 47 4 50

Σύνολο

ι) ια)

ιβ)xi νi fi% Αθροιστική



%0 202 185 43 866

Άθροισμα

12. Εξετάσαμε ένα δείγμα πενήντα (50) μαθητών της Γ΄ Γυμνασίου ως προς τον αριθμό των ορθογραφικών λαθών που έκαναν σε ένα κείμενο Αρχαίων Ελληνικών. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Λάθηxi

Μαθητέςνi

Σχετική Συχνότητα %fi%

2 2ω

15

xi νi fi% Αθροιστική σχετική

συχνότητα%

5 2κ7 3κ9 8κ10 6κ11 κ

Άθροισμα 40

5 4ω6 3ω8 ω


α. Να αποδείξετε ότι ω=10.β. Για ω=10, να συμπληρώσετε τον πίνακα.

13. Να βρείτε το ω στους πρακάτω πίνακες και κατόπιν να τους συμπληρώσετε.α)

xi νi fi% Νi

0 ω + 41 5ω + 82 4ω3 ω – 14 2ω

Άθροισμα 50

β)xi νi fi Fi

1 ω + 12 23 3ω 0,12ω4 0,2ω5 2ω

Άθροισμα

γ)xi Συχνότητα

νi


fi


1 52 153 2ω4 20

Αθροίσματα 50

δ)xi νi fi Fi

0 κ + 21 2κ 0,08κ2 23 0,04κ4 3κ

Άθροισμα

14. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ημερήσιες ώρες διαβάσματος 25 μαθητών μιας τάξης ενός ΕΠΑ.Λ.

16

Ημερήσιες ώρες διαβάσματος

xi

Μαθητές νi

Αθροιστική Συχνότητα

Ni


(%) fi%

1 6

2 5

3 4

4 κ

5 2κ+1

Σύνολα ν=25

α) Να υπολογίσετε τον αριθμό κ β) Για κ=3 να μεταφέρετε και να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα.

15. Να βρείτε τους αριθμούς α, β και να συμπληρώσετε τους πίνακες.α)


fi% Αθροιστική σχετική

συχνότητα%

10 α

11 3β 45 2512 β 8013

Άθροισμα

β)xi νi Αθροιστική

συχνότηταfi% Αθροιστική


%3 α

5 β 60

7 β – α – 17 219

Άθροισμα

γ)xi νi Αθροιστική

συχνότηταfi fi% Fi Αθροιστική


%10 α

17

11 β 9 0,212 12 0,713 9014

Άθροισμαδ)


fi% Fi%

3 α + 27 15 2010 λ3 + 211 10λ

Άθροισμα 50

16. Ρωτήσαμε 200 μαθητές ενός Λυκείου, «πόσα αδέλφια έχετε;», και οι απαντήσεις τους ήταν από 0 εως 5. Γνωρίζουμε ότι 72 μαθητές δεν έχουν αδέλφια, το 84% των μαθητών έχει το πολύ ένα αδέλφο, 193 μαθητές έχουν λιγότερα από τρία αδέλφια, 0,5% των μαθητών έχει τουλάχιστον 5 αδέλφια και 3 μαθητές έχουν τουλάχιστον τέσσερα αδέλφια. Να κατασκευάσετε για τα παραπάνω δεδομένα έναν πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.

17. Η βαθμολογία μιας ομάδας 20 φοιτητών είναι 3, 2, 5, 4. Δεκαέξι φοιτητές έχουν βαθμό το πολύ 4. Οι φοιτητές με βαθμό 3 είναι διπλάσιοι των φοιτητών με βαθμό 2. Οι φοιτητές με βαθμό 4 είναι κατά 6 περισσότεροι των φοιτητών με

βαθμό 3.Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων (νi, Νi, fi, fi%, Fi, Fi%).

18. Οι ελάχιστες θερμοκρασίες (σε °C) που παραταρήθηκαν σε μια πόλη επί 40 συνεχείς ημέρες ήταν -1, 6, 5, 3.

Είκοσι δύο μέρες η θερμοκρασία ήταν το πολύ 3. Το πλήθος των ημερών που η θερμοκρασία ήτων 3 είναι διπλάσιο του

πλήθους των ημερών που η θερμοκρασία ήταν 5. Το πλήθος των ημερών που η θερμοκρασία ήταν 6 είναι τετραπλάσιοι

του πλήθους των ημερών που η θερμοκρασία ήταν -1.Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων (νi, Νi, fi, fi%, Fi, Fi%).

19. Οι αποστάσεις (σε Km), των κοινοτήτων ενός νομού από το πλησιέστερο νοσοκομείο είναι 1, 10, 15, 3, 12.

Το 85% των κοινοτήτων απέχουν τουλάχιστον 3 Km. Δεκαέξι κοινότητες απέχουν το πολύ 3 Km. Είκοσι κοινότητες απέχουν πάνω από 10 Km.

Το πλήθος των κοινοτήτων που απέχουν 1 Κμ είναι τα του πλήθους

των κοινοτήτων που απέχουν 15 Km. Το 40% των κοινοτήτων απέχει 10 ή 12 Km.

Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων (νi, Νi, fi, fi%, Fi, Fi%).

20. Η βαθμολογία είκοσι μαθητών σε ένα διαγώνισμα ήταν 12, 13, 17, 15, 18.

18

Το 85% των μαθητών πήραν βαθμό τουλάχιστον 13. Επτά μαθητές πήραν βαθμό κάτω από 15. Το 55% των μαθητών πήραν βαθμό 15 ή 17. Πέντε μαθητές πήραν βαθμό τουλάχιστον 17.

Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων (νi, Νi, fi, fi%, Fi, Fi%).

Γραφικές Παραστάσεις21. Στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων παρουσιάζεται το μορφωτικό επίπεδο των

εργαζομένων μιας εταιρείας.

Επίπεδο μόρφωσηςxi

Αριθμός εργαζομένωννi

Απόφοιτος Γυμνασίου 15Απόφοιτος Λυκείου 24

Απόφοιτος Τ.Ε.Ι. 9Απόφοιτος Α.Ε.Ι. 12

Αθροίσματα 60α) Να κάνετε το ραβδόγραμμα

i) συχνοτήτων ii) σχετικών συχνοτήτων %β) Να κάνετε το κυκλικό διάγραμμα.

22. Στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων παρουσιάζεται το μορφωτικό επίπεδο των εργαζομένων μιας εταιρείας.

Χρώμα Αυτοκινήτουxi

Αριθμός Αυτοκινήτωννi

Κίτρινο 4Κόκκινο 10Μαύρο 14

Γκρι 8Πράσινο 4



23. Το παρακάτω ραβδόγραμα παριστάνει την βαθμολογία των μαθητών ενός γυμνασίου.

19

α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.β) Να κάνετε το κυκλικό διάγραμμα.

24. Το παρακάτω ραβδόγραμα παριστάνει τo χρώμα των ματιών των μαθητών ενός γυμνασίου.

α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.β) Να κάνετε το κυκλικό διάγραμμα.

25. Το παρακάτω κυκλικό διάγραμμα παριστάνει την αγαπημένη ελληνική ομάδα ποδοσφαίρου 20 μαθητών μιας τάξης Λυκείου.

α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτωνβ) Να κάνετε το ραβδόγραμμα συχνοτήτων.

20

26. Το παρακάτω κυκλικό διάγραμμα παριστάνει την κατανομή της έκτασης ενός νομού της Ελλάδος έκτασης 5.000 Km2.

α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτωνβ) Να κάνετε το ραβδόγραμμα συχνοτήτων.

27. Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων των ωρών μελέτης των μαθητών της Α΄ τάξης ενός Επαγγελματικού Λυκείου στη διάρκεια μιας εβδομάδας.

Ώρεςxi

Συχνότητανi

2 83 124 185 56 7



28. Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων των απουσιών των μαθητών της Α΄ τάξης ενός Επαγγελματικού Λυκείου στη διάρκεια ενός μήνα.

Απουσίεςxi


0 81 102 163 44 2


21


29. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει την κατεύθυνση που έχουν επιλέξει 30 αγόρια και 40 κορίτσια της Γ΄ τάξης ενός Γενικού Λυκείου.

Θεωρητική Κατεύθυνση

Τεχνολογική Κατεύθυνση

Θετική Κατεύθυνση

Αγόρια 6 15 9Κορίτσια 20 8 12

α) Να κάνετε στο ίδιο σύστημα αξόνων το ραβδόγραμμα συχνοτήτων.β) Να κάνετε στο ίδιο σύστημα αξόνων το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων %.

30. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει το αγαπημένο άθλημα 50 αγοριών και 50 κορίτσιων της Γ΄ τάξης ενός Γενικού Λυκείου.

Ποδόσφαιρο Μπάσκετ ΒόλεϋΑγόρια 25 18 7

Κορίτσια 10 15 25

α) Να κάνετε στο ίδιο σύστημα αξόνων το ραβδόγραμμα συχνοτήτων.β) Να κάνετε στο ίδιο σύστημα αξόνων το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων %.

31. Εξετάσαμε δείγμα 50 κατοίκων μιας πόλης, ως προς τον αριθμό των πιστωτικών τους καρτών. Τα αποτελέσματα φαίνονται στο παρακάτω ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων %.

α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες των κυκλικών τομέων που αντιστοιχούν σε κάθε παρατήρηση.

22

32. Εξετάσαμε δείγμα 60 κατοίκων μιας πόλης, ως προς το πλήθος των κινητών συκευών που άλλαξαν την τελευταία διετία. Τα αποτελέσματα φαίνονται στο παρακάτω ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων %.

α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες των κυκλικών τομέων που αντιστοιχούν σε κάθε παρατήρηση.

33. Ρωτήσαμε 300 μαθητές ενός σχολείου, τι χρώμα στολή προτιμούνε να φορέσει η σχολική ομάδα ποδοσφαίρου, στο παρακάτω κυκλικό διάγραμμα παρουσιάζονται οι απαντήσεις τους.

Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.

34. Έστω x1, x2, x3, x4, x5 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν = 400 με αντίστοιχες (απόλυτες) συχνότητες ν1, ν2, ν3, ν4,ν5 . Δίνεται επίσης ότι τα τόξα του κυκλικού διαγράμματος συχνοτήτων που αντιστοιχούν στις τιμές x1, x2, x3 και x4 είναι αντίστοιχα 18°, 36°, 90° και 144°. Να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.

23

35. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται η βαθμολογία των 150 μαθητών ενός Λυκείου σε τέσσερις κατηγορίες: «Άριστα», «Λίαν καλώς», «Καλώς» και «Σχεδόν καλώς». Το 20% των μαθητών έχουν επίδοση «Λίαν καλώς». Η γωνία του κυκλικού τομέα για την επίδοση «Άριστα» είναι 36°. Οι μαθητές με βαθμό «Καλώς» είναι τετραπλάσιοι των μαθητών με «Σχεδόν καλώς».α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες των κυκλικών τομέων που αντιστοιχούν σε όλες τις κατηγορίες.γ) Να σχεδιάσετε στο τετράδιό σας το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων (fi%).

36. Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται το πλήθος των παιδιών 400 οικογενειών ενός δήμου. Το 50% των οικογενειών έχουν 2 παιδιά. Η γωνία του κυκλικού τομέα για τις οικογένειες που έχουν 1 παιδί είναι 72°. Οι οικογένειες με κανένα παιδί είναι τριπλάσιες των οικογενειών με 3 παιδιά.α) Να κάνετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.β) Να υπολογίσετε τις γωνίες των κυκλικών τομέων που αντιστοιχούν σε όλες τις κατηγορίες.γ) Να σχεδιάσετε στο τετράδιό σας το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων (fi%).

37. Έστω x1, x2, x3, x4 οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν=72 με αντίστοιχες (απόλυτες) συχνότητες ν1, ν2, ν3, ν4, όπου ν4 = 3ν3 . Δίνεται επίσης ότι τα τόξα του κυκλικού διαγράμματος συχνοτήτων που αντιστοιχούν στις τιμές x1 και x2 είναι αντίστοιχα 50° και 30°.α. Να βρεθούν οι συχνότητες νi, i=1,2,3,4β. Να βρεθούν τα τόξα που αντιστοιχούν στις τιμές x1 και x2.

38. Εξετάσαμε ένα δείγμα συνδρομητών κινητής τηλεφωνίας σχετικά με τον αριθμό των κλήσεων που πραγματοποίησαν κατά τη διάρκεια μιας ημέρας και προέκυψαν τα παρακάτω:

Oι συνδρομητές πραγματοποίησαν 0, 1, 2, 3, ή 4 κλήσεις.

10 συνδρομητές πραγματοποίησαν 1 μόνο κλήση.

Οι συνδρομητές που πραγματοποίησαν 2 κλήσεις είναι τετραπλάσιοι από εκείνους που δεν πραγματοποίησαν κλήση.

Το πολύ 2 κλήσεις πραγματοποίησαν 30 συνδρομητές.

Η γωνία του κυκλικού διαγράμματος που αντιστοιχεί στην τιμή x1 = 0, είναι 36°

Το ποσοστό των συνδρομητών που πραγματοποίησαν 4 κλήσεις είναι 10%

24

α. Να βρείτε το μέγεθος του δείγματος ν και να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων,σχετικών συχνοτήτων fi καθώς και όλων των αντίστοιχων αθροιστικών συχνοτήτων.

39. Ο αριθμός των πωλήσεων μιας αυτοβιομηχανίας στην Ελλάδα ανά έτος ήταν:

Έτος Αριθμός Πωλήσεων2001 70002002 90002003 100002004 110002005 95002006 100002007 90002008 115002009 120002010 8000

Να σχεδιάσετε ένα εικονόγραμμα για τον αριθμό των πωλήσεων της

εταιρείας. (Υπόδειξη: = 1000 αυτοκίνητα)

40. Στο παράτω εικονόγραμμα απεικονίζεται ο αριθμός των τουριστών που επισκέπτονται τους καλοκαιρινούς μήνες ανα έτος το νησί της Θάσου.

2006

2007

2008

2009

2010

= 2000 τουρίστεςΝα βρείτε:α) πόσοι τουρίστες επισκέπτονται το νησί κάθε έτος.β) πόσο % μειώθηκε ο αριθμός των τουριστών από 2008 στο 2009.

25

41. Ο αριθμός ανέργων ανδρών – γυναικών της χώρας από 2005 έως το 2010 δίνονται από τον παρακάτω πίνακα. Να γίνει η γραφική παράσταση αυτών με πολυγωνικές γραμμές στην ίδια γραφική παράσταση.

Έτος Άνδρες Γυναίκες2005 350.000 370.0002006 380.000 400.0002007 400.000 450.0002008 420.000 520.0002009 450.000 600.0002010 500.000 650.000

Ομαδοποίηση Παρατηρήσεων – Γραφικές Παραστάσεις42. Οι παρακάτω αριθμοί δίνουν (σε cm) τα αναστήματα ενός δείγματος 25

μαθητών ενός σχολείου.159 168 160 165 151 176 164172 157 153 177 188 173 180175 185 162 161 163 192 166171 158 179 184

Α. Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε 6 κλάσεις (πλάτους 7).Β. Να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις vi, fi, fi%, Νi, Fi, Fi%.Γ. Πόσοι μαθητές έχουν ύψοςi) τουλάχιστον 165 ii) κάτω από 179 iii) από 165 εώς 186Δ. Ποιο ποσοστό των μαθητών έχει ύψοςi) τουλάχιστον 179 ii) τουλάχιστον 172 αλλά κάτω από 186Ε. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων και το αντίστοχο πολύγωνο συχνοτήτωνΣΤ. Να κατασκευάσετε το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.

43. Οι παρακάτω αριθμοί δίνουν (σε m) τις επιδόσεις στην ρίψη ακοντίου ενός δείγματος 36 υποψηφίων για τα ΤΕΦΑΑ.

28 26 31 37 33 41 28 37 4852 42 47 35 31 25 29 38 4049 35 34 37 42 44 27 48 3234 45 43 38 37 42 42 40 36

Α. Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε 6 κλάσεις (πλάτους 5).Β. Να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις vi, fi, fi%, Νi, Fi, Fi%.Γ. Πόσοι υποψήφιοι έχουν επίδοσηi) τουλάχιστον 40 ii) κάτω από 45 iii) από 35 εώς 50Δ. Ποιο ποσοστό των μαθητών έχουν επίδοσηi) τουλάχιστον 35 ii) τουλάχιστον 30 αλλά κάτω από 45Ε. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων και το αντίστοχο πολύγωνο συχνοτήτωνΣΤ. Να κατασκευάσετε το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.

26

44. Οι τιμές της απώλειας βάρους, σε κιλά, 200 ατόμων, τα οποία ακολούθησαν ένα πρόγραμμα αδυνατίσματος, έχουν ομαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα:

Απώλεια βάρους σε

κιλά

Συχνότητα

νi

Σχετική

συχνότητα

fi%


Συχνότητα

Νi

Αθρ. Σχετ.

Συχνότητα

Fi%

[0 – 4) 20

[4 – 8) 40

[8 – 12) 65

[12 – 16) 30

[16 – 20) 45


Α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα.Β. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων.Γ. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων.Δ. Πόσα άτομα έχασανi) τουλάχιστον 4 ii) κάτω από 6 iii) από 4 εώς 14 κιλάΕ. Ποιο ποσοστό των ατόμων έχασεi) τουλάχιστον 14 ii) τουλάχιστον 9 αλλά κάτω από 17 κιλά

45. Από την εξέταση ενός δείγματος 150 πτήσεων μιας αεροπορικής εταιρείας ως προς τον αριθμό των επιβατών προέκυψαν τα στοιχεία όπως εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα:

Αριθμός Επιβατών

Συχνότητα

νi

Σχετική

συχνότητα

fi%


Συχνότητα

Νi

Αθρ. Σχετ.

Συχνότητα

Fi%

[5 – 10) 6

[10 – 15) 12

[15 – 20) 18

[20 – 25) 24

27

[25 – 30) 12

[30 – 35) 24

[35 – 40) 36

[40 – 45) 18


Α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα.

Β. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων.Γ. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων.Γ. Πόσες πτήσεις έχουν επιβάτεςi) τουλάχιστον 30 ii) κάτω από 32,5 iii) από 22,5 εώς 40Δ. Ποιο ποσοστό των πτήσεων έχει επιβάτεςi) τουλάχιστον 32,5 ii) τουλάχιστον 32 αλλά κάτω από 40

46. Το βάρος, σε κιλά, των μαθητών ενός δημοτικού σχολείου, έχει ομαδοποιηθεί σε 6 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα. Να συμπληρώσετε τον πίνακα.

Απώλεια βάρους σε

κιλά

Συχνότητα

νi

Σχετική

συχνότητα

fi%


Συχνότητα

Νi

Αθρ. Σχετ.

Συχνότητα

Fi%

[40 – 45) 5

[45 – 50) 16

[50 – 55) 26

[55 – 60) 28

[60 – 65) 17

[65 – 70) 8

Αθροίσματα 400

28

47. Οι απουσίες των μαθητών της Γ΄ τάξης ενός Ενιαίου Λυκείου κατά τους μήνες Ιανουάριο – Φεβρουάριο – Μάρτιο – Απρίλιο του έτους 2006 έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους και εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα σχετικών συχνοτήτων:

Απουσίες μαθητών Κέντρο κλάσης

Κi

Σχετική συχνότητα fi

[3 – 5) ... 0,1

[5 – 7) ... ...

[7 – 9) ... 0,3

[9 – 11) … ...

Σύνολο 1

Αν επιπλέον δίνεται ότι η σχετική συχνότητα της 4ης κλάσης f4 είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της 2ης κλάσης f2, τότε να συμπληρώσετε τα κενά.

48. Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων του βάρους 80 μαθητών της Γ΄ τάξης ενός Λυκείου. Τα δεδομένα έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις.

Βάρος σε κιλά

[ – )

Αθροιστική Σχετική Συχνότητα Fi

45-55 0,2

55-65 0,5

65-75

75-85

Αν γνωρίζετε ότι η σχετική συχνότητα της τρίτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της πρώτης κλάσης, να βρείτε τις τιμές της αθροιστικής σχετικής συχνότητας που αντιστοιχούν στην τρίτη και τέταρτη κλάση.

49. Ο βαθμός πρόσβασης του απολυτηρίου 50 μαθητών της Γ΄λυκείου αναγράψεται στον παρακάτω ελλιπή πίνακα. Αν xi το κέντρο κλάσης και ν2 = 2ν5, τότε:

29

α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

50. Οι βαθμοί των 50 μαθητών της Γ τάξης ενός ΕΠΑΛ παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Να συμπληρωθεί ο πίνακας.

Κλάσεις Κi νi fi% Fi%

[0, 4) 10

[4, 8) 7

[8, 12) 26

[12, 16) 86

[16, 20)

Σύνολο 50

51. Στην «Αττική οδό» εξυπηρετούνται καθημερινά 200 χιλιάδες οχήματα, τα οποία διανύουν από 5 έως 45 χιλιόμετρα. Η διανυόμενη απόσταση σε χιλιόμετρα από τα οχήματα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα:

Κλάσεις

σε χλμ.

Κέντρο

κλάσης

Κi

Συχνότητα

νi σε χλμ.

Σχετική

συχνότητα

fi%


Συχνότητα

Νi σε χλμ.

Αθρ. Σχετ.

Συχνότητα

Fi%

[5, 15) 60

[15, 25) 68

[25, 35) 180

[35, 45)

30

Σύνολο 200

Α. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να συμπληρώσετε τις τιμές των αντίστοιχων μεγεθών.

Β. Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα (xi , fi%) και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων.Γ. Να βρείτε το πλήθος των οχημάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 25 χιλιομέτρων.

52. Να συμπληρώσετε τους πίνακες.α) β) γ)

δ) ε) στ)

53. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων σε κλάσεις ίσου πλάτους (όπου xi το κέντρο κάθε κλάσης )

31

Κλάσεις xi

[ … , …)

[ … , …) 10

[ … , …)

[ 19 , …)

[ … , …)

Κλάσεις xi

[ … , …) 12,5

[ … , …)

[ … , …)

[ … , …)

[ … , …) 32,5

α. Να αποδείξετε ότι οι κλάσεις έχουν πλάτος c = 4.β. Να αποδείξετε ότι το δείγμα έχει μέγεθος ν = 40.γ. Να συμπληρώσετε τον πίνακα.

54. Οι βαθμοί στο μάθημα των Μαθηματικών 50 μαθητών σε ένα διαγώνισμα έχουν ομαδοποιηθεί σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους: [0,4), [4,8),…, [16,20). Η συχνότητα των κλάσεων αυτών φαίνεται στο παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων:

Α. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό (fi%).

Β. Τι ποσοστό μαθητών έχει βαθμό τουλάχιστον 12;

55. Σε ένα διαγώνισμα Βιολογίας η βαθμολογία των μαθητών δίνεται από το παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων νi:

32

Κλάσεις βαθ/γίας

[ )

Κέντρο κλάσης

Κi

Συχνότητα

νi

Σχετική συχνότητ

α fi


συχνότητα Νi

Αθρ. σχετ.

συχνότητα Fi

[4, 8)

[8,12)

[12,16)

[16,20)

Σύνολο

α. Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα.

β. Να βρείτε πόσοι μαθητές έχουν βαθμό μεχρι 10.

33

5

10

25

0

νi

4 8 12 16 20 Βαθμός

15

20

56. Δίνεται το ιστόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων:

Αν το μέγεθος του δείγματος είναι 400, να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων.

57. Δίνεται το ιστόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων:

Αν η συχνότητα της κλάσης [x2, x3) είναι ν2 = 30, να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων.

58. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, που παρουσιάζει τους χρόνους τους οποίους έκαναν μια ομάδα μαθητών για να λύσουν ένα πρόβλημα. Οι χρόνοι κυμαίνονται από 6 εως 16 λεπτά. Δίνεται ότι 6 μαθητές έκαναν χρόνο μεγαλύτερο ή ίσο των 10 λεπτά και μικρότερο από 12 λεπτά.

34

Α. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών.

Β. Να κάνετε το ιστόγραμμα των συχνοτήτων.

59. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων της βαθμολογίας μιας τάξης σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών.

Α. Να βρείτε πόσους μαθητές έχει η τάξη.Β. Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτωνΓ. Να σχεδιάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων.

60. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, που παρουσιάζει τη βαθμολογία μίας ομάδας μαθητών στο μάθημα της Ιστορίας. Η βαθμολογία κυμαίνεται από 10 μέχρι 20. Δίνεται ότι 10 μαθητές έχουν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 12 και μικρότερο του 14.

35

Νi

Fi%

α. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός των μαθητών είναι 50.

β. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων.

61. Εξετάσαμε τους πελάτες μιας καφετέριας σχετικά με το χρόνο (σε λεπτά) παραμονής τους σε αυτή.Τα αποτελέσματα ομαδοποιήθηκαν σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους και το πολύγωνο των συχνοτήτων φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

36

α. Να προσδιορίσετε τις κλάσεις και να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνότητωνβ. Να κατασκευάσετε πινακά κατανομής συχνοτήτων με τις στήλες vi, Ni, fi, Fi

%γ. Να βρεθεί το ποσοστό των πελατών που μένουν στην καφετέρια χρόνο λιγότερο των 30 λεπτών.

62. 80 μαθητές μιας τάξης Α΄ Λυκείου έγραψαν διαγώνισμα στα μαθηματικά. 24 μαθητές πήραν κάτω από 10. Το 20% των μαθητών πήρε τουλάχιστον 15, ενώ το 10% πήρε κάτω από 5. Να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων, σχετικών και αθροιστικών συχνοτήτων.

63. Η διάρκεια των κλήσεων ενός κινητού μια εβδομάδα ήταν από 0 εως 100 sec. Το πολύγωνο συχνοτήτων του δείγματος των κλήσεων με μεταβλητή

την διάρκεια των κλήσεων έχει εμβαδό 40. Το ύψος του ορθογωνίου στο διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων που

αντιστοιχεί στην κλάση με κεντρική τιμή το 10 είναι 0,1. Η γωνία του κυκλικού τομέα στο κυκλικό διάγραμμα σχετικών

συχνοτήτων που αντιστοιχεί στην κλάση [40, 60) είναι 90°. Το 30% των κλήσεων είχε διάρκεια κάτω από 40 sec. Τριάντα τέσσερις κλήσεις κάτω από 80 sec.

Α. Να ομαδοποιήσετε τους χρόνους των κλήσεων σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους.

Β. Να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις vi, fi, fi%, Νi, Fi, Fi%.

64. Οι αποστάσεις (σε Km) των 30 κοινοτήτων ενός νομού από το πλησιέστερο νοσοκομείο είναι τουλάχιστον 2 Km αλλά μικτότερη από 12 Km. Γνωρίζουμε

37

ότι τρεις κοινότητες απέχουν κάτω από 4 Km, το 40% των κοινοτήτων απέχουν λιγότερο από 6 Km, 21 κοινότητες απέχουν λιγότερο από 8 Km και το 10% των κοινοτήτων απέχουν τουλάχιστον 10 Km.

A. Να κατασκευάσετε τον πίνακα με τις vi, fi, fi%, Νi, Fi, Fi%.B. Να βρείτε πόσες κοινότητες και τι ποσοστό από αυτές απέχουνα) τουλάχιστον 6 Km β) κάτω από 8 Kmγ) τουλάχιστον 4 Km αλά λιγότερο από 10 Km.

65. Το βάρος των αποσκευών καθενός εκ των 80 επιβατών μιας πτήσης κάποιας Αεροπορικής Εταιρίας είναι τουλάχιστον 11 κιλά αλλά μικρότερο από 26 κιλά. Γνωρίζουμε ότι 8 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 14 κιλά, το 30% των επιβατών έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 17 κιλά, 48 επιβάτες έχουν αποσκευές με βάρος μικρότερο από 20 κιλά και 15% των επιβατών έχουν αποσκευές με βάρος τουλάχιστον 23 κιλά.

Α. Να παρασταθούν τα δεδομένα σε ένα πίνακα συχνοτήτων.

Β. Κάθε επιβάτης δικαιούται να μεταφέρει αποσκευές με βάρος μικρότερο των 20 κιλών. Διαφορετικά έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση. Να βρείτε τι ποσοστό από τους 80 επιβάτες της πτήσης αυτής έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση.

Γ. Να βρεθούν οι γωνίες των αντίστοιχων κυκλικών τομέων του κυκλικού διαγράμματος σχετικών συχνοτήτων, για τα δεδομένα του προβλήματος.

66. Οι βαθμοί 60 μαθητών σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών κυμαίνονται από 10 έως 20 και έχουν ομαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους. Αν:

• Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην κλάση [14, 16) του κυκλικού διαγράμματος είναι 144ο

• Οι σχετικές συχνότητες των δύο πρώτων κλάσεων είναι ίσες.

• 48 μαθητές πήραν βαθμό έως 16 και

• 6 μαθητές πήραν βαθμό τουλάχιστον 18, τότε:

Βαθ/γία

[ )

Κέντρο τιμή

Κi

Συχνότητα

νi


fi


fi%

38

Σύνολο

Α. Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα.

Β. Να βρείτε πόσοι μαθητές πήραν βαθμολογία από 10 έως 14.

Γ. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που πήραν βαθμολογία τουλάχιστον 16

Δ. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που πήραν βαθμολογία τουλάχιστον 17

Παράμετροι Θέσης

67. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή, την μέση τιμή και τη διάμεσο στα παρακάτω δείγματα.Α. 3, 2, 7, 10, 6, 7, 3, 1, 9Β. 3, 2, 7, 10, 6, 7, 3, 1, 9, 8

Γ. Δ.xi νi

0 71 232 123 24 6

Ε. ΣΤ.xi νi

3 64 75 76 27 3

68. Ένα δείγμα εργαζομένων μιας εταιρείας εξετάστηκε ως προς το χρόνο (σε ώρες) υπερωριακής απασχόλησης κατά τη διάρκεια ενός μηνός και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας.

Ώρες υπερωριακής απασχόλησηςΚλάσεις [ - )


39

xi νi

10 511 1512 613 14

xi νi

2 75 87 29 310 5

0 – 2 52 – 4 104 – 6 56 – 8 158 – 10 5

Α. Να βρείτε την μέση τιμή.Β. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή.Γ. Να βρείτε τη διάμεσο.

69. Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει τις ώρες χρήσης των κινητών τηλεφώνων 50 υπαλλήλων μιας εταιρείας για ένα μήνα:

Ώρες Συχνότητα vi

[0 – 2) 5

[2 – 4) 10

[4 – 6) 20

[6 – 8) 10

[8 -10) 5


Α. Να βρείτε την μέση τιμή.Β. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή.Γ. Να βρείτε τη διάμεσο.

70. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή, την μέση τιμή και τη διάμεσο στα παρακάτω δείγματα.Α. 5, 3, 6, 3, 4, 3, 6, 2Β. 12, 12, 9, 15, 12, 16, 17, 7, 19, 18, 17

Γ. Δ.xi νi

0 31 52 83 34 1

Ε. ΣΤ.xi νi

0 41 72 53 44 35 2

40

xi νi

11 1212 1313 814 415 13

xi νi

20 721 522 323 424 2

Ζ. Η.

71. Για τον έλεγχο της κατανάλωσης καυσίμου (ίδιου τύπου) δυο αυτοκινήτων Α και Β μετρήθηκε η κατανάλωσή τους σε έξι διαδρομές για το Α και σε πέντε διαδρομές για το Β. Η κατανάλωση στις έξι διαδρομές (σε λίτρα ανά 100 χιλιόμετρα) για το αυτοκίνητο Α ήταν

9, 6, 7, 9, 9, 8ενώ η κατανάλωση στις πέντε διαδρομές για το αυτοκίνητο Β ήταν

8, 10, 7, 8, 12.α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μετρήσεων που αφορούν το αυτοκίνητο Α.β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μετρήσεων που αφορούν το αυτοκίνητο Β.γ) Αν ένας πωλητής ήθελε να χρησιμοποιήσει τα πιο πάνω δεδομένα για να πείσει έναν υποψήφιο αγοραστή να αγοράσει το αυτοκίνητο Α και όχι το Β, ποιο μέτρο θέσης (μέση τιμή ή διάμεσο) θα χρησιμοποιούσε; Αν αντίστροφα ήθελε να πείσει τον υποψήφιο αγοραστή να αγοράσει το αυτοκίνητο Β και όχι το Α, ποιο μέτρο θέσης (μέση τιμή ή διάμεσο) θα χρησιμοποιούσε;

72. Οι μεσημβρινές θερμοκρασίες τον Ιούνιο σε έναν τόπο ήταν:

16 15 15 16 14 18 19 16 18 18

16 17 20 18 18 21 17 14 16 18

18 12 15 13 11 14 17 12 12 15

α. Να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων.

β. Να βρείτε

i. την επικρατούσα τιμή. ii. την διάμεσο. iii. τη μέση τιμή.

73. Οι ημέρες που έλειψαν οι εργαζόμενοι μιας εταιρείας τον χειμώνα είναι:

1 3 4 2 2 4 3 1 3 3

41

Κλάσεις[ - )


0 – 10 1010 – 20 1520 – 30 2030 – 40 5

Ώρες Συχνότητα vi

[2 – 4) 3

[4 – 6) 6

[6 – 8) 8

[8 – 10) 5

[10 -12) 3

4 1 2 3 2 3 4 4 1 4

2 3 4 2 3

α. Να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων.

β. Να βρείτε

i. την επικρατούσα τιμή. ii. την διάμεσο. iii. τη μέση τιμή.

74. Να συμπληρώσετε τον πίνακα και να βρείτε τη μέση τιμή.

xi νi fi% νixi

1 15

2 20

3 90

4 60

5

Σύνολο 200

75. Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 μαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών. Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο παρακάτω πίνακας:

Αριθμός Βιβλίων

xi

Αριθμός Μαθητών

νi

0 α+4

1 5α+8

2 4α

3 α-1

4 2α

Σύνολο 50

42

α. Να αποδείξετε ότι α = 3.

β. Να βρείτε τη επικρατούσα τιμή του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές.

γ. Να βρείτε τη μέση τιμή του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές.

δ. Να βρείτε τη διάμεσο του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές.

76. Σε ένα δείγμα 5 παρατηρήσεων με μέση τιμή = 11, οι τέσσερις παρατηρήσεις είναι οι 8, 12, 14 και 11.Να αποδείξετε ότι η παρατήρηση που λείπει είναι ο αριθμός 10.

77. Δίνονται οι παρατηρήσεις 2, 6, 7, 3, 7, x με μέση τιμή 6α. Να αποδείξετε ότι x = 11.β. Να βρείτε την διάμεσο και την επικρατούσα τιμή του δείγματος.

78. Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές :

5, 3, 3ω, 3, 2ω, 3, 3ω, ω με ω>0

Αν η μέση τιμή τους είναι = 4, να αποδείξετε ότι ω=2.

79. Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές :

5κ + 1, 3, 2κ, 4, 2κ – 4, 3, 2κ, κ, 2

Αν η μέση τιμή τους είναι = 5, να αποδείξετε ότι κ = 3.

80. Οι βαθμοί 10 μαθητών σε ένα διαγώνισμα μαθηματικών είναι:10 15 7 20 8 13 9 16 x y

Αν η μέση βαθμολογία στο διαγώνισμα είναι 12 και επιπλέον ισχύει η σχέση x = y – 6, να υπολογίσετε:α) τους βαθμούς x και yβ) τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή

81. Η μέση τιμή 6 διαδοχικών άρτιων αριθμών είναι 9. Να βρείτε:α) τους αριθμούς αυτούςβ) τη διάμεσο των αριθμών αυτών

82. Η μέση τιμή 6 διαδοχικών άρτιων αριθμών είναι 15. Να βρείτε:α) τους αριθμούς αυτούςβ) τη διάμεσο των αριθμών αυτών

43

83. Η μέση τιμή έξι αριθμών είναι ίση με 7. Οι τέσσερις από αυτούς είναι 7, 10, 3, 12 και από τους δύο αριθμούς που λείπουν, ο ένας είναι τετραπλάσιος του άλλου. Να βρείτε τους δύο αριθμούς που λείπουν.

84. Η μέση τιμή επτά αριθμών είναι ίση με 8. Οι τέσσερις από αυτούς είναι 4, 12, 7, 10, 5 και από τους δύο αριθμούς που λείπουν, ο ένας είναι πενταπλάσιος του άλλου. Να βρείτε τους δύο αριθμούς που λείπουν.

85. Οι αριθμοί α, α2 + 4, α2, 2α + 1, α – 1 έχουν μέση τιμή ίση με 4, να βρείτε το α.

86. Οι αριθμοί α, κ2 + 4, 3κ, 2κ + 12, κ + 1 έχουν μέση τιμή ίση με 3, να βρείτε το α.

87. Η μέση τιμή και η διάμεσος πέντε αριθμών είναι 6. Οι τρεις από αυτούς είναι οι 5, 8, 9. Να βρείτε τους άλλους δύο.

88. Η μέση τιμή και η διάμεσος επτά αριθμών είναι 7. Οι τρεις από αυτούς είναι οι 8, 6, 10, 3, 2. Να βρείτε τους άλλους δύο.

89. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με τις αντίστοιχες συχνότητες τους.

xi νi

2 1

3 3

4 1

5 2

6 ;

7 1

Η πέμπτη συχνότητα χάθηκε! Μπορείτε να την βρείτε αν ξέρετε ότι:α) η μέση τιμή είναι 4,4β) η διάμεσος είναι 4,5γ) υπάρχουν δύο επικρατούσες τιμές


44

xi νi

4 9

5 ;

6 3

7 2

8 4

Η δεύτερη συχνότητα χάθηκε! Μπορείτε να την βρείτε αν ξέρετε ότι:α) η μέση τιμή είναι 5,5β) η διάμεσος είναι 5,5γ) υπάρχουν δύο επικρατούσες τιμές

91. Το παρακάτω δείγμα μαθητών έχει μέσο όρο απουσιών = 4 απουσίες σε διάστημα μιας εβδομάδας.

α. Να δείξετε ότι α = 2.β. Τη επικρατούσα τιμή του δείγματοςγ. Τη διάμεσο του δείγματος.

92. Ο επόμενος πίνακας παρουσιάζει τα χρόνια υπηρεσίας ενός δείγματος εργαζομένων σε μια εταιρεία.

Χρόνια υπηρεσίας x

[0 – 10) [10 – 20) [20 – 30) [30 – 40)

Εργαζόμενοι vi

10 α 20 5

Αν ο μέσος χρόνος υπηρεσίας των εργαζομένων του δείγματος είναι = 19 χρόνια, να αποδείξετε ότι α = 15.

93. Οι αριθμοί 4, 6, 12, 4, 10, 12, 3, x, y έχουν μέσο 7 και επικρατούσα τιμή 4.

α) Να βρεθούν οι τιμές των x και y

45

β) Να βρεθεί η διάμεσος του συνόλου των 9 αριθμών.

94. Οι αριθμοί 8, 7, 11, 6, 11, 10, 6, x, y έχουν μέσο 8 και επικρατούσα τιμή 6. Να βρεθούν οι τιμές των x και y

95. Ο μέσος των παρακάτω αριθμών : 3, 1, 7, 2, 11, 7, x, y όπου οι αριθμοί x, y είναι μονοψήφιοι, θετικοί ακέραιοι, είναι 4.i. Να δείξετε ότι x+y=14.ii. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή αυτού του συνόλου των αριθμών, όταν:α) x = y και β) x ≠ y

96. Οι αριθμοί, 6, 7, 12, 8, α, β (με α < β και α, β∈Ν) έχουν μέση τιμή 8. Γνωρίζουμε ότι υπάρχουν δύο επικρατούσες τιμές.α. Αποδείξτε ότι: α = 7 και β = 8

β. Για α = 7 και β = 8, να υπολογίστε τη διάμεσο των αριθμών.

97. Από την εξέταση ενός δείγματος προέκυψε ο παρακάτω πίναας:

Παρατηρήσεις xi Αθροιστική συχνότητα Νi

1 α

2 30

3 50

4 100

Η μέση τιμή και η διάμεσος διαφέρουν κατά 0,50. Να υπολογίσετε τη διάμεσο δ, τη μέση τιμή και τον φυσικό αριθμό α.


xi νi

10 α

12 5

15 β

Σύνολο 25

46

Αν η μέση τιμή είναι = 12,8, να βρείτε τα α, β.

99. Στο παρακάτω πίνακα δίνονται οι θερμοκρασίες των 20 πρώτων ημερών του Μαϊου σε βαθμούς (°C)

Θεμοκρασία xi Πλήθος Ημερών νi

22 223 424 ;25 ;26 227 3

Α. Αν γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή των παρακάτω ημερών είναι 24,4 °C τότε να βρείτεα) πόσες ημέρες είχαν θερμοκρασία 24 °C και πόσες 25 °Cβ) τη διάμεσοΒ. Αν γνωρίζουμε ότι η διάμεσος είναι 24,5 °C, να βρείτε πόσες ημέρες είχαν θερμοκρασία 24 °C και πόσες 25 °C.

100. Α. Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή είναι το άθροισματων γινομένων των τιμών μιας μεταβλητής επί τις αντίστοιχες σχετικές συχνοτητες.

Δηλ. = x1f1 + x2f2 + … + xκfκ

Β. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο στα παρακάτω παραδείγματα.i. ii.

xi fi%0 202 303 355 15

iii. iv.Κλάσεις fi%[0 – 3) 15[3 – 6) 35[6 – 9) 40[9 – 12) 10

101. Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει τη σχετική συχνότητα μιας μεταβλητής με μέση τιμή 2,1. Να συμπληρωθεί ο πίνακας και να βρεθεί η διάμεσος.

xi 1 2 3 4fi% 26 23

102. Στο παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες. Να βρείτε τις τιμές των α και βα) αν η μέση τιμή είναι 2,64

47

xi fi%0 101 203 454 25

Κλάσεις fi%[1 – 3) 10[3 – 5) 20[5 – 7) 40[7 – 9) 30

β) αν η διάμεσος είναι 2,5

xi fi%

1 16

2 α

3 β

4 26

Σύνολο

103. Στο παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες. Να βρείτε τις τιμές των α και βα) αν η μέση τιμή είναι 6,5β) αν η διάμεσος είναι 7

xi fi%

2 20

4 α

6 15

8 35

10 β

104. Η βαθμολογία 50 μαθητών στην Ιστορία κυμαίνεται από 10 μέχρι 20 (κανένας δεν είναι κάτω από τη βάση). Γνωρίζουμε επίσης ότι πέντε μαθητές έχουν βαθμό κάτω από 12, δεκαπέντε κάτω από 14, πέντε μεγαλύτερο ή ίσο του 18 και δεκαπέντε μεγαλύτερο ή ίσο του 16.α) Να παραστήσετε τα δεδομένα σε ένα πίνακα συχνοτήτων.β) Να υπολογίσετεi) τη μέση τιμή ii) τη διάμεσο iii) την επικρατούσα τιμήγ) Έαν στο 5% των μαθητών με την καλύτερη επίδοση δοθεί έπαινος, πόσο βαθμό πρέπει να έχει κάποιος μαθητής για να πάρει έπαινο;

105. Το μέσο ύψος των 30 μαθητών και μαθητριών μιας τάξης είναι 170 cm. Ποιο θα είναι το μέσο ύψος της τάξηςα) αν φύγει ένας μαθητής με ύψος 180 cmβ) αν έρθει μια νέα μαθήτρια με ύψος 180 cm

48

γ) αν φύγει ένας μαθητής με ύψος 180 cm και έρθει μια μαθήτρια με ύψος 170 cmδ) έρθουν δύο μαθητές με ύψος 178 cm και φύγουν τρεις με ύψος 172 cm

106. Το μέσο βάρος των 30 μαθητών και μαθητριών μιας τάξης είναι 62 kg. Ποιο θα είναι το μέσο βάρος της τάξηςα) αν φύγει ένας μαθητής με βάρος 66 kgβ) αν έρθει μια νέα μαθήτρια με βάρος 64 kgγ) αν φύγει ένας μαθητής με βάρος 60 kg και έρθει μια μαθήτρια με βάρος 70 kgδ) έρθουν τρεις μαθητές με βάρος 78 kg και φύγουν δύο με βάρος 72 kg

107. Η μέση τιμή 40 παρατηρήσεων είναι 20. Αν από αυτές οι 7 μειώνονται κατά 2 και οι 9 αυξάνονται κατά 6, να βρεθεί η νέα μέση τιμή.

108. Το μέσο ύψος 9 καλαθοσφαιριστών μιας ομάδας είναι 205 cm.α) Για να ψηλώσει την ομάδα ο προπονητής πήρε έναν ακόμη παίκτη με ύψος 216 cm. Ποιο είναι το μέσο ύψος της ομάδα τώρα;β) Έαν ήθελε να ψηλώσει την ομάδα στα 208 cm, πόσο ύψος έπρεπε να έχει ο καλαθοσφαιριστής που πήρε;

109. Το μέσο βάρος 20 μαθητών είναι 68 kg. Αν προστεθεί ακόμα ένας μαθητής, το μέσο βάρος όλων των μαθητών γίνεται 67 kg. Να βρείτε το βάρος του μαθητή.

110. Η μέση τιμή τριών παρατηρήσεων είναι 12. Πόσο πρέπει να αυξηθεί μια παρατήρηση, έτσι ώστε η μέση τιμή να αυξηθεί κατά 2;

111. Σε μια κατανομή 40 παρατηρήσεων, καταχωρήθηκαν δύο ακόμα κατά λάθος με τιμές 15, 20 αντίστοιχα και βρέθηκε μέση τιμή 50. Να βρείτε την αληθινή μέση τιμή.

112. Σε ένα εργοστάσιο με 100 εργαζομένους η μέση τιμή των αμοιβών εβδομαδιαία είναι 185€. Το 45% των εργαζομένων στο εργοστάσιο πληρώνονται με μισθό μικρότερο της μέσης τιμής και οι μισθοί τους έχουν μέση τιμή 165€. Αν οι αποδοχές των εργαζομένων με μισθό μικρότερο της μέσης τιμής αυξηθούν στη μέση τιμή, ποια θα είναι η νέα μέση τιμή;

113. Η μέση τιμή του ύψους 5 μαθητών της Γ΄ γυμνασίου ενός σχολείου είναι 168,3 cm, ενώ 10 άλλοι μαθητές της ίδιας τάξης έχουν μέση τιμή του ύψους 171,3 cm. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του ύψους όλων των μαθητών.

49

114. Το μέσο ύψος των 80 κατοίκων ενός νησιού είναι 172 cm. Στις καλοκαιρινές διακοπές φθάνουν στο νησί 60 τουρίστες με μέσο ύψος 187 cm. Πιο είναι το μέσο ύψος των ατόμων που βρίσκονται στο νησί στις καλοκαιρινές διακοπές;

115. Οι 8 από τους 20 εργαζόμενους σε ένα εργοστάσιο έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 1750€ και οι υπόλοιποι 2150€. Ποιος είναι ο μέσος μηνιαίος μισθός όλων των εργαζομένων.

116. Μια εταιρεία απασχολεί 5 υπαλλήλους στο τμήμα Α με μέσο (μηναίο) μισθό 1249€, 6 υπαλλήλους στο Τμήμα Β με μέσο μισθό 1280€, και 4 υπαλλήλους στο Τμήμα Γ με μέσο μισθό 1360€. Ποιος είναι ο μέσος μισθός όλων των υπαλλήλων;

117. Το μέσο ύψος των 58 μαθητών της Α΄γυμνασίου είναι 158 cm, το μέσο ύψος των 46 μαθητών της Β΄ γυμνασίου είναι 160 cm και το μέσο ύψος των 62 μαθητών της Γ΄ γυμνασίου είναι 161cm, να βρειτε το μέσο ύψος όλων των μαθητών του σχολείου.

118. Η μέση τιμή του ημερομισθίου 30 εργατών είναι 65€. Από αυτούς οι 5, λόγω ανθυγιεινής εργασίας έχουν μέσο ημερομίσθιο 71€. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του ημερομισθίου των υπολοίπων εργατών.

119. Οι οκτώ εργαζόμενοι μιας επιχείρησης έχουν μέσο εβδομαδιαίο μισθό 125€ και ο μέσος μισθός των υπολοίπων είναι 145€. Αν ο μέσος μισθός όλων των εργαζομένων στην επιχείρηση είναι 137€, να βρεθεί πόσοι εργάζονται στην επιχείρηση.

120. Το μέσο μεροκάματο των εργατών ενός εργοστασίου με 180 εργάτες είναι 36€. Αν οι άνδρες παίρνουν μέσο μεροκάματο 40€ και οι γυναίκες 30€, να βρείτε πόσοι είναι οι άνδρες και πόσες οι γυναίκες.

121. Σε μια επιχείρηση εργάζονται 50 υπάλληλοι, οι οποίοι έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 1.120€. Από τους 50 εργαζόμενους, οι 20 είναι γυναίκες και οι 30 άντρες.α. Αν ο μέσος μηνιαίος μισθός των γυναικών είναι 1.000€, να βρείτε τον μέσο μηνιαίο μισθό των αντρών.β. Η ίδια επιχείρηση, τους καλοκαιρινούς μήνες προσελάβε εποχιακό προσωπικό, με μέσο μισθό αυτών 800€. Αν ο μέσος μισθός της επιχείρησης είναι πλεόν 1.000€, να βρεθούν πόσα άτομα πρεσέλαβε η επιχείρηση για την καλοκαιρινή περίοδο;

122. Η ευστοχία μιας ομάδας μπάσκετ στις ελεύθερες βολές είναι 70%. Οι πέντε βασικοί παίκτες έχουν ευστοχία 75% και οι 3 επιθετικοί αναπληρωματικοί 60%. Πόση ευστοχία έχουν οι 2 αμυντικοί αναπληρωματικοί;

50

123. Το 30% των υπαλλήλων σε μια επιχείρηση παίρνει μέσο μισθό 1500€ και το 70% παίρνει μέσο μισθό 900€, να βρείτε το μέσο μισθό των υπαλλήλων της επιχείρησης.

124. Ο μέσος μισθός των υπαλλήλων μιας επιχείρησης είναι 1200€. Αν το 30% έχει μέσο μισθό 1500€, να βρείτε το μέσο μισθό των υπόλοιπων υπαλλήλων.

125. Μια εταιρεία απασχολεί 20 εργαζόμενους εκ των οποίων 10 εργάζονται στο τμήμα Α και οι 10 στο τμήμα Β. Η μέση τιμή των μηνιαίων μισθών του τμήματος Α είναι 720€ και ο μεγαλύτερος μισθός του τμήματος είναι 900€. Οι μισθοί των εργαζομένων στο τμήμα Β είναι:

950, 900, 1060, 980, 920, 945, 975, 930, 900, 940να βρείτε

Α. το άθροισμα των μηνιαίων μισθών του τμήματος ΑΒ. τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών του τμήματος ΒΓ. τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών όλων των εργαζομένων στην επιχείρηση.

126. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων των ετών εργασίας ,των εργαζομένων σε μια εταιρεία. Απο τα δεδομένα το πολυγώνου να βρεθούν:

α. Πόσους εργάζομενους απασχολεί η εταιρεία.β. Να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής με τις στήλες των vi, Ni, fi, Fi%γ. Να βρεθεί ο μέσος χρόνος εργασίας, των εργαζόμενων στην εταιρεία.δ. Να κατασκευάσετε το ιστογραμμα και το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων της %ε. Να υπολογίσετε την διάμεσο.στ. Να βρεθεί το ποσοστό των εργαζομένων του εργάζονται 6 ή περισσότερα χρονια στην εταιρεία.ζ. Να βρεθεί ο μέσος μισθός των εργαζομένων, αν γνωρίζετε οτι:

Οι εργαζόμενοι με λιγότερα από 4 έτη εργασίας έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 1.300€

Οι εργαζόμενoι που εργάζονται 4 ή περισσότερα χρόνια, αλλά λιγότερα από 8 χρόνια έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 1.600€

51

Οι εργαζόμενοι με 8 ή περισσότερα χρόνια έχουν μέσο μηνιαίο μισθό 1.800€.

Παράμετροι Διαποράς – Συντελεστής Μεταβολής127. Δίνονται οι τιμές 2, 1, 7, 4. Να βρείτε:

α)τη μέση τιμή, β)το εύρος γ)τη διακύμανση

128. Οι βαθμοί ενός μαθητή σε πέντε μαθήματα ήταν: 8, 14, 20, 12, 16

α. Να υπολογισθεί η μέση βαθμολογία του μαθητή.β. Να προσδιορισθεί η διάμεσος. γ. Να υπολογισθεί η τυπική απόκλιση. δ. Να υπολογισθεί το εύρος. ε. Να υπολογισθεί ο συντελεστής μεταβλητότητας και στη συνέχεια να εξεταστεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές.

129. H εξέταση 10 μαθητών στο μάθημα της Στατιστικής έδωσε τους εξής βαθμούς:11 3 7 5 16 14 11 10 11 12Να βρείτε:α)τη διάμεσο, β)τη μέση τιμή,γ)το εύρος δ)τη διακύμανσηε)το συντελεστή μεταβολήςτης παραπάνω βαθμολογίας.

130. H βαθμολογία 10 μαθητών σε ένα διαγώνισμα ήταν:7 11 10 13 15 3 12 11 4 14Να βρείτε:α)τη διάμεσο, β)τη μέση τιμή,γ)το εύρος δ)τη διακύμανσηε)το συντελεστή μεταβολήςτης παραπάνω βαθμολογίας.

131. Δίνονται οι 8 τιμές: 2, 3 + ω, 2ω, 4, 2 + ω, 6, 2, ωα) Αν η μέση τιμή τους είναι = 3, να βρείτε το ωβ) Για ω = 1 να βρείτε την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο των τιμώνγ) Να βρείτε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση τους.

132. Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές x, x + 2ω, x + 3ω, x + 4ω, x + 5ω με ω > 0. Να βρείτε την τυπική απόκλιση.

133. Να βρείτε:α)τη μέση τιμή, β)το εύροςγ)τη τυπική απόκλιση δ)τον συντελεστή μεταβολήςε)αν το δείγμα είναι ομοιογενές

xi νi

2 4

52

4 5

6 8

8 3

134. Να βρείτε:α)τη μέση τιμή, β)το εύροςγ)τη τυπική απόκλιση δ)τον συντελεστή μεταβολήςε)αν το δείγμα είναι ομοιογενές

xi νi

10 2

11 3

12 1

13 2

14 1

15 1

135. Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

Τιμές μεταβλητής xi

Συχνότητα νi


fi


fi%

Αθροιστική Συχνότητα

Νi

xi vi

1 10 10

2 35

3

Σύνολο ν = 50 1 100

B. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο.Γ. Να δείξετε ότι η διακύμανση είναι s2=0,49.Δ. Να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής.

53

136. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων της μεταβλητής Χ:Κλάσεις Συχνότητα

νi

[0 – 2) 5[2 – 4) 10[4 – 6) 20[6 – 8) 10[8 – 10) 5

Α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή.

Β. Να υπολογίσετε τη διακύμανση.

Γ. Να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής.

137. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων μιας μεταβλητής.

Κλάσεις Συχνότητα νi

[0 – 10) 10[10 – 20) 15[20 – 30) 20[30 – 40) 5

Α. Να υπολογίσετε τη τυπική απόκλιση.Β. Να βρείτε τον συντελεστή μεταβολής.Γ. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές.

138. α) Να αποδείξετε ότι s2 = .

β) Να βρείτε την τυπική απόκλιση των δεδομένων του παρακέτω πίνακα.

xi fi%

20 40

30 25

40 20

50 15

139. Οι απουσίες των μαθητών της Γ΄ τάξης ενός Ενιαίου Λυκείου κατά τους μήνες Ιανουάριο – Φεβρουάριο – Μάρτιο – Απρίλιο του έτους 2006 έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους και εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα σχετικών συχνοτήτων:

54

Απουσίες μαθητών Κέντρο κλάσης

Κi

Σχετική συχνότητα fi

[3 – 5) 4 0,1

[5 – 7) 6 0,2

[7 – 9) 8 0,3

[9 – 11) 10 0,4

Σύνολο 1

Να βρείτε την τυπική απόκλιση s.

140. Έστω δύο δείγματα τιμών Α και Β μιας μεταβλητής Χ. Το Α έχει μέση τιμή 75 και τυπική απόκλιση 6. Το Β έχει μέση τιμή 50 και διακύμανση 36.Α. Να βρείτε τους συντελεστές μεταβολής των δύο δειγμάτων.Β. Να εξετάσετε αν κάποιο από τα δείγματα είναι ομοιογενές.Γ. Να βρείτε ποιο από τα δύο δείγματα έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια.

141. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η χρηματική παροχή από τους γονείς, σε Ευρώ, δείγματος έξι μαθητών της πρώτης τάξης (ομάδα Α) και έξι μαθητών της δεύτερης τάξης (ομάδα Β) ενός Γυμνασίου.

Ομάδα Α Ομάδα Β

1 7

8 14

9 6

5 4

3 12

4 5

α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων κάθε ομάδας.β. Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ομάδες.

142. Αν οι απουσίες δύο λυκείων Α, Β δίνονται από τον παρακάτω πίνακα:

55

Απουσίες Λύκειο Α Λύκειο Β

[0 – 10) 20 25

[10 – 20) 16 11

[20 – 30) 25 17

[30 – 40) 26 22

[40 – 50) 7 8

[50 – 60) 8 20

α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση των δύο κατανομών.β. Από τα λύκεια Α, Β ποιο είναι πιο ομοιογενές ως προς τις απουσίες;

143. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την διάρκεια ζωής δύο τύπων λυχνίων Α και Β, σε χιλιάδες ώρες

Μια λυχνία τύπου Α κοστίζει 67,5€

α. Ποιό τύπο λυχνίας θα προτιμήσετε να αγοράσετε, αν μία λυχνία τύπου Β κοστίζει: i) 52,8€, ii) 55,72€, iii) 58,7€. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας σε κάθε περίπτωση.

β. Ποιού τύπου λυχνίες παρουσιάζουν μεγαλύτερη ομοιογένεια ως προς την διάρκεια λειτουργίας του.

144. Για δύο τύπους μπαταριών Α και Β επιλέχθηκαν δύο δείγματα μεγέθους 5 το καθένα. Οι χρόνοι ζωής των μπαταριών για το κάθε δείγμα (σε χιλιάδες ώρες) δίνονται στον επόμενο πίνακα:

Α Β

20 26

26 32

24 19

22 20

18 23α. Να βρείτε τη μέση διάρκεια ζωής μιας μπαταρίας τύπου Α και μιας μπαταρίας τύπου Β. β. Αν μια μπαταρία τύπου Α στοιχίζει 38 ευρώ και μια μπαταρία τύπου Β στοιχίζει 40 ευρώ, ποιον τύπο μπαταρίας συμφέρει να αγοράσετε; (Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας).

56

γ. Να βρείτε τις τυπικές αποκλίσεις sA και sB της διάρκειας ζωής των δύο τύπων μπαταριών. δ. Να βρείτε ποιος από τους δύο τύπους μπαταριών Α και Β παρουσιάζει τη μεγαλύτερη ομοιογένεια ως προς τη διάρκεια ζωής του. Δίνεται ότι ≅3,3.

145. Οι μαθητές του Γ2 ξόδεψαν ετησίως κατά μέσο όρο 625€ αγοράζοντας διάφορα τρόφιμα από το κυλικείο του σχολείου. Εάν ο συντελεστής μεταβολής είναι 27,2%, να βρείτε την τυπική απόκλιση.

146. Οι μαθητές του Γ2 έχουν μέση ηληκία 15. Εάν ο συντελεστής μεταβολής είναι 18%, να βρείτε την τυπική απόκλιση.

147. Δίνονται 5 παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής X: 16, 14, 22, 18, 20 + α, όπου α∈IR.Αν ο συντελεστής μεταβλητότητας (CV) των παρατηρήσεων αυτών είναι 20% και η τυπική απόκλισή τους (s) είναι 4, τότε:α) Να δείξετε ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι = 20.β) Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α. γ) Για την τιμή του α που υπολογίσατε στο ερώτημα β, να βρείτε τη διάμεσο του δείγματος. δ) Είναι το δείγμα ομοιογενές ή όχι και γιατί.

148. Δίνονται 6 παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής X: 26, 34, 22, 32, 24, 30 + α, όπου α∈IR.Αν ο συντελεστής μεταβλητότητας (CV) των παρατηρήσεων αυτών είναι 15% και η τυπική απόκλισή τους (s) είναι 4,5 , τότε:α) Να δείξετε ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι = 30.β) Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α. γ) Για την τιμή του α που υπολογίσατε στο ερώτημα β, να βρείτε τη διάμεσο του δείγματος. δ) Είναι το δείγμα ομοιογενές ή όχι και γιατί.

149. Τα χρόνια εργασίας έξι υπαλλήλων μιας εταιρείας σε αύξουσα σειρά είναι: α, 3, β, 7, 10, γ. Αν έχουν διάμεσο 6, εύρος 11 και μέση τιμή 7, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ.

150. Ένας φοιτητής εξετάστηκε σε πέντε μαθήματα το εξάμηνο που πέρασε και πήρε τους βαθμούς α, β, γ, 8, 9 οι οποίοι είναι διατεταγμένοι σε αύξουσα σειρά. Αν οι βαθμοί έχουν διάμεσο 6, εύρος 5 και μέση τιμή 6,4 , να βρείτε τις τιμές των α, β, γ.

151. Οι αριθμοί α, β, 8, 5, 7 έχουν μέσο 6 και διακύμανση 2. Να βρεθούν οι τιμές των α και β, αν το α > β.

57

152. Ο μέσος των παρακάτω αριθμών : 3, 1, 7, 2, 11, 7, x, y όπου οι αριθμοί x, y

είναι μονοψήφιοι, θετικοί ακέραιοι, είναι 4. Αν η τυπική απόκλιση είναι ,

να βρεθεί το x, y δοθέντος ότι x < y.

153. Οι αριθμοί 4, 6, 12, 4, 10, 12, 3, x, y έχουν μέσο 7 και επικρατούσα τιμή 4.α) Να βρεθούν οι τιμές των x και yβ) Όταν προστεθούν δύο επιπλέον αριθμοί 7+n και 7-n, η τυπική απόκλιση των 11 πλέον αριθμών είναι ίση με 4. Να γραφεί ο μέσος των 11 αριθμών και να υπολογιστεί ο αριθμός n.

154. Έστω δύο δείγματα Α και Β με παρατηρήσεις:Δείγμα Α: 1, 7, 8, t4, t5, … , t10

Δείγμα B: 2, 6, 8, t4, t5, … , t10

Δίνεται ότι t4 + t5 + … + t10 = 54

Να δείξετε ότι: α) = = 7 β)

155. Έστω δύο δείγματα Α και Β με παρατηρήσεις:Δείγμα Α: 8, 14, t3, t4, … , t25

Δείγμα B: 12, 10, t3, t4, … , t25

Δίνεται ότι t3 + t4 + … + t25 = 253

i. Να δείξετε ότι: α) = = 11 β)

ii. Αν CVA = , να βρείτε τον CVB.

156. Η μέση τιμή των βαθμών που πήραν οι 25 μαθητές της Γ΄ τάξης ενός Λυκείου στα Μαθηματικά είναι 14, ενώ η μέση τιμή των βαθμών των 10 μαθητών που παρουσίασαν τη μικρότερη βαθμολογία είναι 11.α. Να βρείτε τη μέση τιμή της βαθμολογίας των 15 υπόλοιπων μαθητών.

β. Αν το άθροισμα των τετραγώνων των βαθμών των 25 αυτών μαθητών είναι 5000, να βρείτε το συντελεστή μεταβολής (CV).

157. Α. Αν οι τιμές μιας μεταβλητής αυξηθούν κατά α να δειχθεί ότι η μέση τιμή αυξάνεται κατά α ενώ η τυπική απόκλιση παραμένει σταθερή.Β. Μετράμε το βάρος των κατοίκων ενός χωριού και έχουμε μέση τιμή 72kg και τυπική απόκλιση 5kg. Η μέτρηση του βάρους έγινε με μια ζυγαριά που όπως αποδείχθηκε μετά τις μετρήσεις έδειχνε 2kg λιγότερο σε κάθε μέτρηση. Ποια είναι η πραγματική μέση τιμή και ποια η πραγματική τυπική απόκλιση;Γ. Η μέση βαθμολογία των μαθητών μιας τάξης είναι = 14 και η τυπική απόκλιση s = 1. Στο επόμενο τρίμηνο αυξήθηκε η βαθμολογία όλων των μαθητών κατά 2 μονάδες. Να βρείτε τη νέα μέση βαθμολογία και τη νέα τυπικά απόκλιση των βαθμολογιών.

58

158. Σε ένα δείγμα η μέση τιμή είναι = 15 και η τυπική απόκλιση s = 2.α) Είναι το δείγμα ομοιογενές;β) Αν όλες τις παρατηρήσεις αυξηθούν κατά α, να βρείτε το α ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές.

159. Αν οι τιμές των παρατηρήσεων μεταβλητής Χ πολλαπλασιασθούν με έναν αριθμό α > 0, πώς μεταβάλλεται η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση.

160. Ένα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές, σε Ευρώ: 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9.α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο.β.Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής.γ.Αν οι τιμές του προϊόντος σε όλα τα καταστήματα υποστούνi. αύξηση 5€, να βρείτε τη διάμεσο και αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολήςii. μείωση 3€, να βρείτε τη διάμεσο και αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολήςiii. αύξηση 15%, να βρείτε τη διάμεσο και αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής.iv. έκπτωση 10%, να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής.

161. Αν η μέση τιμή κάποιων αριθμών είναι = 4, η διάμεσος είναι δ = 5 και η τυπική απόκλιση s = 3. Να βρείτε την μέση τιμή, τη διάμεσο και την τυπική απόκλιση ανi. όλες οι τιμές διπλασιαστούνii. όλες οι τιμές πολλαπλασιαστούν με -4iii. όλες οι τιμές τριπλασιαστούν και κατόπιν μειωθούν κατά 3

162. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η χρηματική παροχή από τους γονείς, σε Ευρώ, δείγματος έξι μαθητών της πρώτης τάξης (ομάδα Α) και έξι μαθητών της δεύτερης τάξης (ομάδα Β) ενός Γυμνασίου.

Ομάδα Α Ομάδα Β

1 7

8 14

9 6

5 4

3 12

4 5

59

α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων κάθε ομάδας.β. Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ομάδες. γ. Αν σε κάθε παρατήρηση της ομάδας Α γίνει αύξηση 20% και οι παρατηρήσεις της ομάδας Β αυξηθούν κατά 5 Ευρώ η κάθε μία, πώς διαμορφώνονται οι νέες μέσες τιμές των δύο ομάδων;δ. Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ομάδες με τα νέα δεδομένα.

163. Οι μηνιαίοι μισθοί των υπαλλήλων μιας Αμερικανικής εταιρείας έχουν μέση τιμή = 1.000 δολάρια και τυπική απόκλιση sA = 125 δολάρια. Οι μισθοί των υπαλλήλων μιας Ευρωπαϊκής εταιρείας έχουν μέση τιμή = 800 ευρώ και τυπική απόκλιση sE = 90 ευρώ.α) Να βρείτε ποια από τις δύο εταιρείες έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια μισθών.β) Η Αμερικανική εταιρεία αποφασίζει να αυξήσει το μηνιαίο μισθό κάθε υπαλλήλου κατά 250 δολάρια. Επίσης η Ευρωπαϊκή εταιρεία αποφασίζει να αυξήσει το μηνιαίο μισθό κάθε υπαλλήλου κατά 20%. Να βρείτε τη νέα μέση τιμή και τη νέα τυπική απόκλιση των μηνιαίων μισθών και για τις δύο εταιρείες. γ) Ποια από τις δύο εταιρείες έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια των μηνιαίων μισθών μετά τις αυξήσεις;

164. Έστω x1, x2, ..., x6 ένα δείγμα με παρατηρήσεις που έχουν μέση τιμή 3 και τυπική απόκλιση 2. Έστω y1, y2, …,y6 οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε τις x1,x2, …, x6 επί μια θετική σταθερά c1 και στη συνέχεια προσθέσουμε μια σταθερά c2. Aν = 20 και CVy = 40%, να βρεθούν οι τιμές των σταθερών c1 και c2.

165. Μια τάξη έχει μέση τιμή ηληκιάς μαθητών 14 χρόνια και τυπική απόκλιση 3 μήνες.α) Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της ηληκίας των μαθητών ύστερα από 3 χρόνια.β) Μετά από πόσα χρόνια το δείγμα θα είναι ομοιογενές.

166. Έστω x1, x2, …, xν οι παρατηρήσεις ενός δείγματος που έχουν μέση τιμή και διακύμανση 4. Να βρείτε πόσες μονάδες τουλάχιστον πρέπει να αυξήσουμε καθεμιά από τις παρατηρήσεις, ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές.

60

Στατιστική

Documents

Transcript of Στατιστική