2ο Γενικό Λύκειο Ζακύνθου Σχολικό Έτος: 2012-2013

Τμήμα: Α4

Υπεύθυνη καθηγήτρια: Αμαλία Κανταρέλη

Ερευνητική εργασία με θέμα:

Η γεωμετρία πανταχού παρούσα

Το ζήτημα που τίθεται σε κάθε επιστημονική εργασία είναι τούτο: μαγεία ή γεωμετρία. René Thom

Στο πλαίσιο της Ερευνητικής Εργασίας υλοποιήθηκαν παράλληλες δράσεις, όπως: 1. Ανάγνωση αποσπάσματος από το βιβλίο του

Edwin A. Abbott, Η Επίπεδη Χώρα, μια μαθηματική φαντασία στις δύο διαστάσεις, σχολιασμός και συγγραφή κειμένων.

2. Δημιουργία χριστουγεννιάτικων καρτών με γεωμετρικά σχήματα.

3. Προβολή βίντεο: Disney’s, Donald in Mathmagic Land, 1959.

Η σχέση της γεωμετρίας με την τέχνη και την επιστήμη

εντοπίζεται από τα πολύ παλιά χρόνια, ακόμη και από

την παλαιολιθική εποχή, που ο άνθρωπος

χρησιμοποιούσε την ενστικτώδη γεωμετρική γνώση

που είχε για να δημιουργήσει εργαλεία.

Ομάδα: Κύκλος Μέλη Ομάδας

Μαρίνου Μαρία Ζωή

Μαρινέλα Κυριάι

Χάρης Μάργαρης

Βασίλης Λυκούρεσης

Γιώργος Μαυρίας

Άγγελος Μακρής

Η γεωμετρία έχει μια ιδιαίτερη σχέση με τη

ζωγραφική, θα μπορούσαμε να πούμε πως η

ζωγραφική εξελίχθηκε με βάση τη γεωμετρία.

Ο κυβισμός είναι καλλιτεχνικό ρεύμα της ζωγραφικής και της γλυπτικής στην Ευρώπη του

20ού αιώνα. Συχνά οι επιφάνειες των όψεων ή τα πλάνα, τέμνονται σε γωνίες,

που δεν έχουν κάποιο αναγνωρίσιμο βάθος.

Guernica

Ο Picasso χρησιμοποίησε την

τεχνοτροπία του κυβισμού, όπου

με τα έντονα γεωμετρικά σχήματα,

τον κατακερματισμό των μορφών

και τη μεγάλη αντίθεση φωτεινού-

σκοτεινού, μπόρεσε να εκφράσει

καλύτερα την αγωνία και τη φρίκη

των ανθρώπων μπροστά στο

γεγονός του βομβαρδισμού της

πόλης.

Η αποδόμηση είναι ένας όρος της φιλοσοφίας, της λογοτεχνικής κριτικής και των κοινωνικών

επιστημών. Έγινε γνωστή μέσω της χρήσης του από το

φιλόσοφο Ζακ Ντεριντά, κατά τη δεκαετία του 1960. Η

αποδόμηση βασίζεται στην ασάφεια και στην αντίφαση.

Προσπαθεί να απομακρύνει το κείμενο από την αυστηρή του

μορφή.

Ένας καλλιτέχνης

που επηρεάστηκε

ιδιαίτερα από τη

γεωμετρία ήταν ο

Ιταλός ζωγράφος

Leonardo Da Vinci.

Ένα από τα σπουδαία

έργα του που

αντιπροσωπεύει

έντονα την επίδραση

από τη γεωμετρία

είναι η Mona Lisa.

Ο Οδυσσέας Ελύτης και ο

Νίκος Χατζηκυριάκος Γκίκας

έχουν αρκετά κοινά σημεία

που ανιχνεύονται σε ολόκληρο

το έργο τους, ποιητικό,

εικαστικό, δοκιμιακό, σε ένα

βάθος χρόνου που καλύπτει

το σύνολο του έργου τους.

Η κοινή άποψή τους για την

αξία της γεωμετρικής

σύνθεσης εκφράζεται με την

προτίμηση του Ελύτη για

δομημένα ποιητικά κείμενα.

Ο Γκίκας αναφέρει για τη θέση

της γεωμετρίας στο έργο

τέχνης «Η γεωμετρία είναι

πανταχού παρούσα».

ΤΟ ΧΑΟΣ ΣΤΗΝ

ΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ

ΕΚΤΟΡΑ

ΚΑΚΝΑΒΑΤΟΥ

Το χάος, ήταν για

εκείνον το σημείο

αναφοράς στην

ποίηση. Ο Έκτωρ

Κακναβάτος υπήρξε ο

ποιητής εκείνος που τα

υλικά της ποίησής του

ήταν τα ίδια τα

κοσμογονικά στοιχεία.

Fernand Léger

Από τη ζωγραφική στην κινηματογραφία

Γεννημένος την ίδια χρονιά με τον Picasso ο Γάλλος

Fernand Léger (1881-1955) αν και δεν θεωρείται

θεμελιωτής του κυβισμού, υπήρξε ένας σπουδαίος

εξερευνητής των νέων στόχων του κινήματος.

Ο Léger ασχολήθηκε κυρίως με τη ζωγραφική κι

ελάχιστα με τη γλυπτική, ενώ τη δεκαετία του 1920

επιδόθηκε για ένα σύντομο χρονικό διάστημα στην

κινηματογραφία.

Ομάδα: Ορθογώνιο

Μέλη ομάδας

Λέκα Μαρία Λιώπας Βαγγέλης

Λογοθέτης Γιώργος Μαλαφούρης Γιώργος Μάργαρης Παναγιώτης

Γεωμετρία & Αρχιτεκτονική

• Αρχιτεκτονική: είναι η τέχνη και η επιστήμη σχεδιασμού και της υλοποίησης κτηρίων. Ετυμολογικά ο όρος προέρχεται από τον ελληνικό όρο αρχή και τέχνη –τεκτονική (κατασκευή –δημιουργία).

• Γεωμετρία: είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις , δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που ζούμε. Η γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών.

Η γεωμετρία είναι το εργαλείο με το οποίο χωρίζουμε, ορίζουμε και δημιουργούμε το χώρο που αποτελεί το βασικό «υλικό» για την αρχιτεκτονική.

Η αρχιτεκτονική σχετίζεται με τις κατασκευές χάρη στη

δημιουργική ικανότητα και στην επιθυμία του ανθρώπου.

Η γεωμετρία ασχολείται με το χώρο, ενώ η

αρχιτεκτονική είναι η τεχνική και η τέχνη που

ασχολείται με το συγκεκριμένο χώρο, δηλαδή

το χώρο σε σχέση με τον άνθρωπο.

Οι Πυραμίδες της Γκίζας έχουν μεγάλη σχέση με τη γεωμετρία όπως φαίνεται στις εικόνες.

Την πρώτη φορά που συναντάται έντονη χρήση της γεωμετρίας στην αρχαία ελληνική τέχνη ήταν κατά τη Γεωμετρική Εποχή για τα σχέδια των αγγείων.

Από την κλασική εποχή όταν και άρχισαν να εμφανίζονται τα πρώτα αγάλματα σε φυσικό μέγεθος ήταν φανερή η πολύ καλή χρήση και αξιοποίηση των γεωμετρικών αναλογιών

Ένας από τους πρώτους που αξιοποίησαν όχι απλά την γεωμετρία στα έργα τους, αλλά εφάρμοσε τις αναλογίες της Χρυσής Τομής ήταν ο Φειδίας.

Στα επόμενα χρόνια η αξιοποίηση των γεωμετρικών αναλογιών αξιοποιήθηκε σε ακόμη μεγαλύτερο βαθμό από τους μεταγενέστερους καλλιτέχνες με αποτέλεσμα εξαιρετικά δημιουργήματα.

Η γεωμετρία στη μόδα.

Πολλοί σχεδιαστές επηρεάζονται από

τη γεωμετρία, δημιουργούν νέες

τάσεις που προσελκύουν το

ενδιαφέρον.

Μπορεί να είναι ένα απλό γεωμετρικό ρούχο, έως και ένα πολυσύνθετο σχέδιο που δημιουργούν έμπειροι σχεδιαστές μόδας.

►Συνήθως δημιουργούνται «εξωγήινα» γεωμετρικά σχέδια.

►Η γεωμετρία εμφανίζεται και σε απλά καθημερινά ευκολοφόρετα ρούχα.

ΟΜΑΔΑ: ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Μέλη ομάδας:

Κυβετού Μαργαρίτα

Λάσση Άρτεμις

Κουρούμαλος Τιμόθεος

Λαγοπόδης Λάμπρος

Μικρώνης Αχιλλέας

Εργασία: Γεωμετρία και Αστρονομία

ΤΡΟΧΙΑ ΠΛΑΝΗΤΩΝ

Τα ουράνια σώματα εκτελούν χαρακτηριστικές κινήσεις γύρω από κάποιο αστέρι, οι οποίες συνήθως δεν είναι κυκλικές αλλά έχουν τη μορφή έλλειψης.

Στο πλανητικό μας σύστημα, ο Ήλιος είναι το αστέρι γύρω από το οποίο περιστρέφονται οι πλανήτες σε ελλειπτικές τροχιές με τη μία εστία της έλλειψης να καταλαμβάνεται από αυτόν.

Ισαάκ Νεύτων: Νόμοι της κίνησης και Νόμος της βαρύτητας

Αρίσταρχος ο Σάμιος: Ηλιοκεντρικό μοντέλο του Ηλιακού Συστήματος

Κοπέρνικος: Ηλιοκεντρική θεωρία

Ίππαρχος ο Ρόδιος, Πυθαγόρας ο Σάμιος: Επιστήμη των ουρανίων

σωμάτων

Μπράχε: Θεωρίες περί Σελήνης (διάθλαση)

Ερατοσθένης: Υπολογισμός μεγέθους της Γης, κατασκευή συστήματος

συντεταγμένων

Γαλιλαίος, Κέπλερ: Νόμοι κίνησης των πλανητών

ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Τροχιές πλανητών Ερμή, Αφροδίτη, Γης και Άρη: σε κοντινή

απόσταση από τον Ήλιο και Δία, Κρόνου, Ουρανού και

Ποσειδώνα: σε μακρινή απόσταση από τον Ήλιο.

Τα περισσότερα σώματα κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές, σε

ένα νοητό δίσκο γύρω από τον ηλιακό ισημερινό. Όλοι οι

πλανήτες έχουν την ίδια τροχιακή φορά.

ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΚΕΠΛΕΡ

1ος νόμος των ελλειπτικών τροχιών: Οι πλανήτες

περιφέρονται γύρω από τον ήλιο σε μια ελλειπτική

τροχιά με τον ήλιο στη μια εστία της τροχιάς.

ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΚΕΠΛΕΡ 2ος νόμος (νόμος των ίσων εμβαδών): Η ευθεία που ενώνει τον Ήλιο με ένα πλανήτη διαγράφει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους, γιατί ο κάθε πλανήτης κινείται ταχύτερα όταν βρίσκεται κοντά στο περιήλιο της τροχιάς του από ότι κοντά στο αφήλιο.

ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΚΕΠΛΕΡ

3ος Νόμος (των αρμονικών): Τα τετράγωνα των χρόνων

περιφοράς των πλανητών γύρω από τον Ήλιο είναι

ανάλογα με τους κύβους των ημιαξόνων των τροχιών

τους.

Θέμα: Βιολογία-Χημεία και Γεωμετρία

Δομή του DNA Οι αζωτούχες βάσεις:

1. κυτοσίνη C 2. γουανίνη G

3. θυμίνη T 4. αδενίνη A

Το DNA έχει τη μορφή δύο επιμηκών αλυσίδων που συστρέφονται

ελικοειδώς μεταξύ τους. Οι αζωτούχες βάσεις κωδικοποιούν το μήνυμα για τη σύνθεση των αμινοξέων του κυττάρου

στα ριβοσώματα. Εκεί τα αμινοξέα συνδυάζονται με τη σειρά

κατά την οποία μεταφέρθηκαν στο ροβόλημα και συντίθενται έτσι οι

διαφορετικές πρωτεΐνες.

Χρυσή τομή

Χρυσή Τομή ή Θεια αναλογία.

Ο χρυσός αριθμός φ ισούται περίπου με 1,62.

Στα ανθρώπινα σώματα ακολουθείται επακριβώς η χρυσή τομή, καθώς και στο DNA μας.

Αν μετρήσεις την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού μέχρι το πάτωμα και τη διαιρέσεις με την απόσταση από τον ομφαλό μέχρι το πάτωμα προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός φ.

Η συμμετρία στη φύση

Η συμμετρία απαντάται στη φύση σχεδόν στο σύνολο των

ζωντανών οργανισμών.

Στη βιολογία τα ζώα και τα φυτά διακρίνονται με βάση

ένα σύστημα που εμπεριέχει τη συμμετρία. Σύμφωνα με

αυτό ορίζονται τέσσερεις τύποι συμμετρίας:

1.Ακτινωτή ή ακτινική συμμετρία Διαθέτει πολλά επίπεδα συμμετρίας που διέρχονται από έναν κοινό

κατακόρυφο άξονα. Χαρακτηρίζεται η δομή σώματος στα ζώα, όπου κάθε τομή καθ’ όλο το μήκος του σώματός του παρουσιάζει

πανομοιότυπα τμήματα. Τέτοια ακτινωτή δομή παρουσιάζουν μόνο τα κοιλεντερωτά, τα κτενοφόρα και τα εχινόδερμα (μέδουσες, αστερίες, αχινοί, κ.ά)

2.Αμφίπλευρη συμμετρία

Χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη ενός μόνο επιπέδου συμμετρίας, το οποίο διέρχεται από τον επιμήκη άξονα του σώματος και το χωρίζει σε δύο συμμετρικά μέρη.

Στη συμμετρία αυτή ανήκουν τα θηλαστικά ανάμεσα σε αυτά και ο άνθρωπος, τα πτηνά και τα ψάρια.

3.Σειριακή συμμετρία

αυτή των σκουληκιών.

4.Περιστροφική Συμμετρία

Στο ανόργανο βασίλειο, κλασικό παράδειγμα

συμμετρίας, αποτελούν οι κρύσταλλοι του νερού

στις νιφάδες του χιονιού. Η νιφάδα του χιονιού

έχει «περιστροφική συμμετρία»: Αν την

περιστρέψουμε γύρω από οποιονδήποτε άξονα

που περνά από το κέντρο της κατά 60 μοίρες (το

ένα έκτο του κύκλου), τότε θα μείνει αναλλοίωτη.

Fractal: η γεωμετρική προσέγγιση του κόσμου μας

Έννοια σχημάτων με τη χαρακτηριστική ιδιότητα να παραμένουν αμετάβλητα ως προς την πολυπλοκότητά τους σε οποιαδήποτε κλίμακα κι αν παρατηρηθούν. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αυτοομοιότητα και χαρακτηρίζει τα fractals.

Παραδείγματα είναι οι κηλίδες της λεοπάρδαλης, οι ραβδώσεις

της ζέβρας η της τίγρης και οι χαρακτηριστικές πολύχρωμες

κηλίδες(πιτσιλιές) στα όστρακα των θαλασσινών.

Ερευνητική εργασία Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΝΑΙ ΠΑΝΤΑΧΟΥ ΠΑΡΟΥΣΑ

Ομάδα : Τραπέζιο

Κοτσώνη Σοφία

Κουμπούλη Ελένη

Κωνσταντακοπούλου Μαρία

Λούγαρη Μαρία

Λούντζη Κατερίνα

❶ Γεωμετρία - Μουσική

Η μουσική ορίζεται ως τέχνη και έχει σκοπό

τη σύνθεση με βάση την οργάνωση

διαφορετικών ήχων.

Πότε αναπτύχθηκε

η σχέση μουσικής και γεωμετρίας;

Η αλληλεπίδραση των δυο

επιστημών ξεκινάει από την

αρχαιότητα και συνεχίζεται

ως σήμερα. Πριν από

περίπου 25 αιώνες

γεννήθηκε η δημιουργική

σύνδεση των μαθηματικών

και της μουσικής από τον

φιλόσοφο Πυθαγόρα.

Πώς σχετίζονται η μουσική και η γεωμετρία;

Αν δεν υπήρχαν οι

αριθμοί και τα σχήματα,

ίσως να μην υπήρχε

μουσική. Τα μαθηματικά και

η μουσική από την

αρχαιότητα

αλληλεπιδρούσαν.

Οι επιστήμονες

ανακάλυψαν ότι τα

μαθηματικά κρύβονται

πίσω από την μουσική.

❷ Γεωμετρία - Φυσική

Τι σχέση έχει η φυσική με τa μαθηματικά;

Η φυσική έχει ιδιαίτερη

σχέση με τα μαθηματικά.

Η διαφορά είναι ότι η

φυσική χρησιμοποιεί τα

μαθηματικά ως εργαλείο του

υλικού κόσμου, ενώ τα

μαθηματικά έχουν ως σκοπό

την προώθηση του ίδιου του

μαθηματικού λογισμού.

Η Θεωρία Της

Σχετικότητας

του Einstein

Η θεωρία της σχετικότητας

συνέδεσε τη μαθηματική

έννοια της καμπυλότητας του

χώρου με τη φυσική έννοια

της ύλης μέσα από μια

μαθηματική σχέση.

E=mc2

H έννοια της ύλης σε σχέση με τον καμπύλο χωρόχρονο και τη γεωμετρία του

Μια σημαντική παράμετρος ενός χώρου, η οποία χαρακτηρίζει το είδος της γεωμετρίας που περιγράφει τις ιδιότητές του, είναι ο παράγοντας της καμπυλότητάς του (ε). Έτσι ένας ευκλείδειος χώρος έχει καμπυλότητα ε=0, ένας χώρος Lobatschewski έχει αρνητική καμπυλότητα (ε<0), ενώ ένας χώρος Riemann παρουσιάζει θετική καμπυλότητα (ε>0).

Ο χωροχρόνος, στη φυσική

είναι το βασικό μοντέλο που

ενώνει το χώρο με το χρόνο,

δηλαδή οι τρείς διαστάσεις

του χώρου - μήκος, πλάτος,

ύψος και μία τέταρτη

διάσταση, η οποία

περιγράφει την εξέλιξη του

σχήματος στο χρόνο.

Ο Χωροχρόνος

Ενδεικτικές βιβλιογραφικές πηγές

•Abbot Edwin, Η Επίπεδη Χώρα, Εκδόσεις ΝΙΚΚΑΝ, 1995.

•Blatner David, η χαρά του π, Εκδόσεις Ωκεανίδα, 2001.

•Corbalán Fernando, Η χρυσή τομή, Η μαθηματική γλώσσα της ομορφιάς, Εκδόσεις Τέσσερα Πι, 2011.

•Davis Donald M., Η Φύση και η Δύναμη των Μαθηματικών, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 2005.

•Ferguson Kitty, Η Μουσική του Πυθαγόρα, Εκδόσεις Τραυλός, 2009.

•Lundy Miranda, Ιερή Γεωμετρία, Εκδόσεις Αλεξάνδρεια, 2009.

•Mankiewich Richard, Η Ιστορία των Μαθηματικών, Εκδόσεις Αλεξάνδρεια, 2002.

•Stewart Ian, Ο1 Μυ6στικοί Αρι8μοί, Από το σχήμα της χιονονιφάδας, στο σχήμα του σύμπαντος, Εκδοτικός Οίκος

Π. Τραυλός, 2003.

•Αργυρόπουλος Η., Βλάμος Π., Κατσούλης Γ., Μαρκάτης Στ., Σιδέρης Π., Ευκλείδεια Γεωμετρία Α΄ και Β΄ Γενικού

Λυκείου, ΟΕΔΒ.

•Παπανικολάου Αλέξανδρος Ν., Μαθηματικά, Μουσική, Αρχιτεκτονική στην Αρχαία Ελλάδα, Υπουργείο Πολιτισμού

- Ταμείο Αρχαιολογικών Πόρων και Απαλλοτριώσεων, Αθήνα 2000.

•Τσοτσορού Αλίκη, Μύστακας Ελευθέριος, Οδυσσέας Ελύτης – Νίκος Χατζηκυριάκος Γκίκας: Συγγένειες, Πρακτικά

Γ΄ Συνεδρίου Ευρωπαϊκής Εταιρείας Νεοελληνικών Σπουδών, Διοργάνωση Ευρωπαϊκή Εταιρεία Νεοελληνικών

Σπουδών, 2-4/6/2006.

Ενδεικτικές διαδικτυακές πηγές

49lyk-athin.att.sch.gr/ELLHNIKH_ASTRONOMIA.htm

blogs.sch.gr/nikfaratzi/

civil.teipir.gr/web/uploads/KOLSOUZOGLOU_ppt.pdf

dimitris.apeiro.gr/files/symmetry/symmetry_chap1.pdf

el.wikipedia.org

ellinonpaligenesia.blogspot.gr/2012/08/blog-post_7650.html

helios-eie.ekt.gr/EIE/handle/10442/8804

karydis.ionio.gr/hdml.gr/pdfs/conferences/777.pdf

mathslife.eled.uowm.gr/sites/default/files/usersfiles/markadas.pdf

morfologia.arch.duth.gr/1o_etos/pdf/eisagogi.pdf

news.pathfinder.gr/periscopio/music-maths.html

physics4u.wordpress.com

sp-naturalsciences.blogspot.gr/2008/05/4.html

users.sch.gr/ikomninou/statue.htm

users.sch.gr/kassetas/ed0math4G.htm

users.sch.gr/pchaloul/classic-art/classic-glypt.htm

utopia.duth.gr/~efpapad/Panepistimio/eisagog_klasiki/parousiaseis/arxaiki_plas

www.ancientgreece.gr/index.php/ancient-sites/central/102/519/522/

www.artic.gr/arthra/peiramatikos-kinimatografos/407-fernand-leger

www.astronomia.gr/

www.astronomos.gr/

www.biblionet.gr/book/182051/

www.consider.gr/haisuinonasa-geometric-music-animation/

www.enet.gr/?i=news.el.article&id=270699

www.e-telescope.gr/el/articles/astronomy-and-space

www.goldennumber.net/architecture

www.tovima.gr/science/article/?aid=457203

www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=H_bboH9p1Ys

www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=-JAm4-1azsU

www.youtube.com/watch?v=jZyyiPZW7UE

www.youtube.com/watch?v=VKniWY_2Hb4