Probolik GewmetrÐa

0.1 MONTELA TOU PROBOLIKOU EPIPEDOU

0.1.1 A' Montèlo

Ω = ω ∪ ω∗

ìpou

ω èna epÐpedo

ω∗ to sÔnolo twn desm¸n ìlwn twn parall lwn eujei¸n tou w

(dhl. to sÔnolo ìlwn twn l∗).

To A' montèlo perièqei 2 eid¸n shmeÐa:

1. Ta shmeÐa tou ω pou kaloÔntai kaj' upìstash.1

2. Ta shmeÐa tou ω∗ pou kaloÔntai kat' ekdoq n.2

To A' montèlo perièqei 2 eid¸n eujeÐec:

1. Tic kaj' upìstasin probolikèc eujeÐec L = l ∪ l∗ ìpou l mÐa eujeÐa tou ω kai l∗ to sÔnolotwn eujei¸n pou eÐnai parllhlec sthn l (dhl. h dèsmh parall lwn eujei¸n thc l).

2. Thn ω∗ pou kaleÐtai ex' orismoÔ kat' ekdoq n eujeÐa.

0.1.2 B' Montèlo (S(P ))

To B' Montèlo orÐzetai sto q¸ro.'Estw P èna shmeÐo tou q¸rou. JewroÔme ìlec tic eujeÐec tou q¸rou pou dièrqontai apì to

P : S(P ) = x|x eujeÐa dierqìmenh apì to P

Kje eujeÐa tou S(P ) kaleÐtai shmeÐo.

Kje epÐpedo tou q¸rou pou perièqei to P kaleÐtai eujeÐa.

DÔo shmeÐa tou S(P ) orÐzoun mÐa kai mìno mÐa eujeÐa tou S(P ).

DÔo eujeÐec tou S(P ) orÐzoun èna kai mìno èna shmeÐo tou S(P ).

0.1.3 G' Montèlo (Π2)

JewroÔme A3 to sÔnolo ìlwn twn diatetagmènwn tridwn arijm¸n:

A3 = (x1, x2, x3)|x1, x2, x3 ∈ R

OrÐzoume sto A3 thn ex c sqèsh ∼:

(x1, x2, x3) ∼ (y1, y2, y3) ⇐⇒ ∃λ ∈ R, λ 6= 0 tètoia ¸stex1 = λy1x2 = λy2x3 = λy3

.

1καθ΄ υπόσταση Γιατί είναι σημεία ενός επιπέδου, δηλ. «υπάρχουν».

2κατ΄ εκδοχήν Γιατί είναι δέσμες ευθειών και όχι σημεία, δηλ. «δεν υπάρχουν».

1

H sqèsh ∼ eÐnai mÐa sqèsh isodunamÐac kai qwrÐzei to A3 se klseic isodunamÐac. Kjeklsh sumbolÐzetai (x1 : x2 : x3)

JewroÔme π2 = (x1 : x2 : x3)|x1, x2, x3 ∈ R to sÔnolo pou apoteleÐtai apì ìlec tic klseicisodunamÐac pou ìrise h ∼. ParathroÔme ìti an A ∈ Π2 , (x1, x2, x3) ∈ A kai

ax1 + bx2 + cx3 = 0

, tìteax′1 + bx′2 + cx′3 = λax1 + λbx2 + λcx3 = λ(x1 + x2 + x3) = 0

gia kje (x′1, x′2, x′3) ∈ A

Kje stoiqeÐo tou Π2 kaleÐtai shmeÐo tou Π2

Kje uposÔnolo L tou Π2 pou apoteleÐtai apì ta shmeÐa tou Π2 ta opoÐa eÐnai lÔseicmiac prwtobjmiac omogenoÔc grammik c exÐswshc kaleÐtai eujeÐa tou Π2

APODEIXH OTI H λ EINAI SQESH ISODUNAMIAS

0.2 OMOGENES SUSTHMA SUNTETAGMENWN

JewroÔme A3 to sÔnolo ìlwn twn diatetagmènwn tridwn arijm¸n:

A3 = (x1, x2, x3)|x1, x2, x3 ∈ R

OrÐzoume sto A3 thn ex c sqèsh ∼:

(x1, x2, x3) ∼ (y1, y2, y3) ⇐⇒ ∃λ ∈ R, λ 6= 0 tètoia ¸stex1 = λy1x2 = λy2x3 = λy3

.

H sqèsh ∼ eÐnai mÐa sqèsh isodunamÐacJewroÔme π2 = (x1 : x2 : x3)|x1, x2, x3 ∈ R to sÔnolo pou apoteleÐtai apì ìlec tic klseic

isodunamÐac pou ìrise h ∼.'Estw èna probolikì epÐpedo Ω = ω ∪ ω∗Ja orÐsoume mÐa antistoiqÐa anmesa sta shmeÐa tou ω kai ta stoiqeÐa tou Π2

JewroÔme tuqìn kartesianì sÔsthma suntetagmènwn sto ω

1. 'Estw M tuqaÐo shmeÐo tou ω kai (x, y) oi suntetagmènec tou sto kartesianì sÔsthmasuntetagmènwn.

Tìte M(x, y) 7→ (x1 : x2 : 1) Dhl. an x3 6= 0 h klsh (x1 : x2 : x3) eÐnai eikìna toushmeÐou pou èqei suntetagmènec (x1

x3, x2

x3)

2. 'Estw M tuqaÐo shmeÐo tou ω dhl. to M eÐnai dèsmh parall lwn eujei¸n. 'Estw x, ytuqaÐo dinusma parllhlo se mÐa apì autèc tic eujeÐec.

Tìte Mx, y 7→ (x1 : x2 : 0)

Dhl. an x3 = 0 h klsh (x1 : x2 : 0) eÐnai eikìna tou dianÔsmatoc pou eÐnai parllhlo semÐa apì tic eujeÐec thc dèsmhc x1, x2

To sÔsthma x1, x2, x3 ∈ R kaleÐtai omogenèc sÔsthma suntetagmènwn exart¸menoapì to Oxy

2

0.3 PROBOLIKOS QWROS

Π(E) = E ∪ E∗

ìpou:

E to sÔnolo ìlwn twn shmeÐwn tou q¸rou

E∗ to sÔnolo ìlwn twn desm¸n twn parall lwn eujei¸n tou q¸rou

1. Ta shmeÐa tou E kaloÔntai kaj' upìstash

2. Ta shmeÐa tou E∗ kaloÔntai kat' ekdoq

3. To L = l ∪ l∗ kaleÐtai kaj' upìstash probolik eujeÐa tou q¸rou Π(E), ìpou:

l: eujeÐa tou q¸rou E

l∗: to sÔnolo twn desm¸n twn parall lwn eujei¸n thc l

4. Gia kje epÐpedo Π tou E to Π∗ kaleÐtai kat' ekdoq probolik eujeÐa tou Π(E)

5. 'Estw ω epÐpedo tou E. To ω ∪ ω∗ kaleÐtai kajÔpìstash probolikì epÐpedo tou Π(E),ìpou:

ω∗: ìlec oi dèsmec parall lwn eujei¸n tou q¸rou pou eÐnai parllhlec stic eujeÐectou ω.

'Estw π 6= ω epÐpedo tou E. To π ∪ π∗ kaleÐtai kaj' upìstash probolikì epÐpedo touΠ(E)

6. To E∗ kaleÐtai kat' ekdoq n epÐpedo (perièqei ìla ta kat' ekdoq n shmeÐa).

ORISMOS. (Omoparallhlik apeikìnish)'Estw f : ω1 → ω2 mÐa apeikìnish tou epipèdou ω1 entìc tou epipèdou ω2 me tic ex c idiìthtec:

1. H f eÐnai 1-1 kai epÐ

2. 3 suneujeiak shmeÐa A,B,C tou ω1 orÐzontai se trÐa suneujeiak shmeÐa f(A), f(B), f(C)tou ω2.

Tìte h f kaleÐtai omoparallhlik apeikìnish.

ORISMOS. (Omoparallhlikìc metasqhmatismìc). MÐa omoparallhlik apeikìnish f : ω → ωkaleÐtai omoparallhlikìc metasqhmatismìc.

0.4 JEWRHMATA

JEWRHMA 1 (3.2 sel. 16). 'Estw f : ω1 → ω2 omoparallhlik kai A,B,C trÐa shmeÐa touω1. An ta ta shmeÐa A,B,C den an koun se mÐa eujeÐa, tìte kai oi eikìnec touc f(A), f(B), f(C)de ja an koun se mÐa eujeÐa.

Apìdeixh. 'Estw ìti oi eikìnec f(A), f(B), f(C) brÐskontai pnw se eujeÐa l′ tou ω′.'Estw M tuqaÐo shmeÐo tou ω kai d1,d2 tuqoÔsec eujeÐec pou tèmnoun tic (A,B),(B,C) sta

P,Q antÐstoiqa. Tìte A,P kai B ja an koun sthn Ðdia eujeÐa kai afoÔ f omoparallhlik , jaapeikonÐzontai sthn Ðdia eujeÐa l′. OmoÐwc,M,Q kai C ja an koun sthn Ðdia eujeÐa kai oi eikìnectouc ja an koun sthn l′. 'Etsi ìmwc apeikonÐzetai ìlo to ω1 sthn l′. ATOPO.

'Ara ta f(A), f(B), f(C) den eÐnai suneujeiak.

3

JEWRHMA 2 (1.3 sel. 23). 'Estw f : ω1 → ω2 omoparallhlik kai l eujeÐa tou ω1. Tìteh eikìna thc l mèsw thc f eÐnai mÐa eujeÐa tou ω2.

Apìdeixh. 'Estw A,B dÔo diaforetik shmeÐa thc l. Profan¸c f(A) 6= f(B)3. 'Estw l′ h eujeÐatou ω2 pou dièrqetai apì ta f(A), f(B).

Ex' orismoÔ thc f, kje shmeÐo C thc l apeikonÐzetai epÐ thc l′, dhl. f(l) ⊆ l′ Jèlw n.d.ì.h l′ ⊆ f(l). J.d.ì. kje K ′ thc l′ eÐnai eikìna kpoiou shmeÐou thc l. 'Estw K ′ tuqaÐoshmeÐo thc l′. ArkeÐ n.d.ì. f−1(K) ∈ l. Epeid f−1 omoparallhlik apeikìnish an jewr soumeta f(A), f(B), K ′ ja prèpei f−1(f(A)), f−1(f(B)), f−1(K ′) na brÐskontai sth Ðdia eujeÐa, pouisqÔei.

'Ara h eikìna eujeÐac eÐnai eujeÐa.

JEWRHMA 3 (2.3 sel. 23). DÔo parllhlec eujeÐec apeikonÐzontai se 2 parllhlec eujeÐec.

Apìdeixh. 'Estw l1 ‖ l2. J.d.ì. f(l1) ‖ f(l2) me apagwg se topo.'Estw ìti f(l1) ∦ f(l2) kai èstw A to koinì touc shmeÐo. Epeid h f eÐnai 1-1, tìte to f−1(A)

eÐnai èna kai mìno èna shmeÐo tou ω1. To shmeÐo autì ja prèpei na an kei kai sthn l1 kai sthnl2. 'ATOPO

JEWRHMA 4 (2.3 sel. 23). An dÔo eujeÐec l1, l2 tou ω1 tèmnontai sto A tìte kai oi eikìnectouc f(l1), f(l2) ja tèmnontai kai f(A) to shmeÐo tom c touc.

Apìdeixh. Upojètoume ìti f(l1) ‖ f(l2). Epeid h f−1 eÐnai omoparallhlik , ja prèpeif−1(f(l1)) ‖ f−1(f(l2))⇒ l1 ‖ l2 'ATOPO.

'Eqoume ìti A ∈ l1, l2 J.d.ì. f(A) shmeÐo tom c twn f(l1), f(l2), dhl. f(A) ∈ f(l1) ∩ f(l2)

A ∈ l1 ⇒ f(A) ∈ f(l1),

A ∈ l2 ⇒ f(A) ∈ f(l2),

'Ara f(A) ∈ f(l1) ∩ f(l2)

JEWRHMA 5 (5.2 sel. 57). DÔo tuqaÐec diforec probolikèc eujeÐec L1 kai L2 tou Ωtèmnontai, dhl. den uprqoun parllhlec probolikèc eujeÐec.

Apìdeixh. DiakrÐnoume 2 peript¸seic:PERIPTWSH 1: Kai oi dÔo eujeÐec eÐnai kaj' upìstash: L = l ∪ l∗ kai M = µ ∪ µ∗

L ∩M = (l ∪ l∗) ∩ (µ ∪ µ∗) = (l ∪ l∗ ∩ µ) ∪ (l ∪ l∗ ∩ µ∗= [(l ∩ µ) ∪ l∗ ∩ µ] ∪ [(l ∩ µ∗) ∪ (l∗ ∩ µ∗)] =

= (l ∩ µ) ∪ (l∗ ∩ µ∗)

An l ‖ µ : l∗ µ∗,An l ∦ µ : A to shmeÐo tom c touc,

6= ∅ 'Ara pnta tèmnontai

PERIPTWSH 2: H mÐa eujeÐa eÐnai kaj' upìstash kai h llh kat' ekdoq n.'Estw L = l ∪ l∗ kai h ω∗

L ∩ ω∗ = (l ∪ l∗) ∩ ω∗ =:∅(l ∩ ω∗) ∪ (l∗ ∩ ω∗) = l∗ 6= ∅

ra tèmnontai

3Αφού η f είναι 1-1

4

JEWRHMA 6 (4.2 sel. 56). DÔo shmeÐa A,B,A 6= B tou q¸rou Π(E) orÐzoun mÐa kai mìnomÐa probolik eujeÐa.

Apìdeixh. DiakrÐnoume 3 peript¸seic:PERIPTWSH 1: Kai ta dÔo shmeÐa eÐnai kaj' upìstash (A,B ∈ E):

L = l ∪ l∗

h zhtoÔmenh eujeÐaPERIPTWSH 2: To èna shmeÐo eÐnai kaj' upìstash kai to llo kat' ekdoq n (A ∈ E,B ∈

E∗):'Estw µ eujeÐa dierqìmenh apì to A parllhlh stic eujeÐec tou B. H M = µ ∪ µ∗ eÐnai h

zhtoÔmenh eujeÐa. (B = µ∗|)PERIPTWSH 3: Kai ta dÔo shmeÐa eÐnai kat' ekdoq n (A,B ∈ E∗)De mporeÐ na eÐnai kaj' upìstasth eujeÐa giatÐ perièqei èna kat' ekdoq n shmeÐo en¸ èqoume

2. 'Ara ja eÐnai h kat' ekdoq n probolik eujeÐa dhl. Π∗ tou Π(E).

JEWRHMA 7. DÔo epÐpeda tou probolikoÔ q¸rou difora metaxÔ touc tèmnontai se mÐa kaimìno eujeÐa.

Apìdeixh. DiakrÐnoume 2 peript¸seic:PERIPTWSH 1: Kai ta dÔo epÐpeda eÐnai kaj' upìstash Π∪Π∗, T∪T ∗),ìpou Π, T epÐpeda touE:

(Π ∪ Π∗) ∩ (T ∪ T ∗) = [(Π ∪ Π∗) ∩ T ] ∪ [(Π ∪ Π∗) ∩ T ∗] =

= [(Π ∩ T ) ∪:∅

(Π∗ ∩ T )] ∪ [:∅(Π ∩ T ∗) ∪ (Π∗ ∩ T ∗)] =

= (Π ∩ T ) ∪ (Π∗ ∩ T ∗)

a) An T ‖ Π: T ∩ Π = ∅, T ∗ ∩ Π∗ = T ∗ Π∗

x ∈ T ∗ ⇒ x ∈ Π∗

L = l ∪ l∗,M = µ ∪ µ∗,

L ∩M = . . . = l∗ = µ∗

b) An T ∦ Π : T,Π ∈ E ra tèmnontai se eujeÐa l[T ∩ Π = l]

Π∗ ∩ T ∗ = l∗

'Ara L = l ∩ l∗.PERIPTWSH 2: 'Ena kaj' upìstash (Π ∪ Π∗ kai to kat' ekdoq n.

(Π ∪ Π∗) ∩ E∗ =:∅(Π ∩ E∗) ∪ (Π∗ ∩ E∗) = Π∗

dhl. h katèkdoq n probolik eujeÐa tou Π

JEWRHMA 8. TrÐa shmeÐa tou Π(E) ìqi ep' eujeÐac tou Π(E) orÐzoun èna kai mìno ènaepÐpedo tou Π(E).

5

Apìdeixh. DiakrÐnoume 4 peript¸seic:PERIPTWSH 1: An A,B,C kaj' upìstash, dhl. an koun sto E1: JewroÔme to kartesianì

epÐpedo Π pou perièqei ta A,B,C.To Π ∪ Π∗ eÐnai to zhtoÔmeno.PERIPTWSH 2: An A,B ∈ E kai C ∈ E∗ (kat' ekdoq n):Apì to A to B jewr¸ eujeÐa pou an kei sto C. Oi eujeÐec l kai µ orÐzoun èna epÐpedo Π

tou E. To Π ∪ Π∗ eÐnai to zhtoÔmeno probolikì epÐpedoPERIPTWSH 3: An A ∈ E kai B,C ∈ E∗l ‖ B dierqìmenh apì to A µ ‖ C dierqìmenh apì to A l kai µ orÐzoun to Π. 'Ara Π ∪Π∗ to

zhtoÔmeno, afoÔ l∗ kai µ∗ = Π∗

PERIPTWSH 4: An A,B,C ∈ E∗ de mporoÔme na broÔme èna epÐpedo.Ja eÐnai h kat' ekdoq n eujeÐa Π∗ to kat' ekdoq n epÐpedo E∗

0.5 ASKHSEIS

'Askhsh 1

DÐnontai dÔo shmeÐa tou Π2, A = (1 : 1 : 2) kai B = (2 : 2 : 2)

1. Apì pou rjan, dhl. pou ta apeikonÐzei h antÐstrofh;

2. Na brejeÐ h probolik eujeÐa dierqìmenh apì ta A,B.1) ParathroÔme ìti 2 6= 0 ra h klsh A = (1 : 1 : 2) eÐnai eikìna tou shmeÐou mesuntetagmènec (1

2, 12). H klsh B = (2 : 2 : 2) eÐnai eikìna tou shmeÐou me suntetagmènec

(22, 22), dhl. (1, 1)

2) AfoÔ 2 6= 0 ta A,B eÐnai kaj' upìstash shmeÐa. Opìte h kat' ekdoq n eujeÐa apoteleÐtaimìno apì kat' ekdoq n shmeÐa. 'Ara h zhtoÔmenh probolik eujeÐa eÐnai kaj' upìstash dhl.thc morf c L = l ∪ l∗Gia na br¸ thn L prèpei na brw thn l pou pernei apì ta A,B kai eÐnai thc morf cax+ by + c = 0EÐnai h x = y h y = x⇒ x− y = 0'Ara sto omogenèc sÔsthma suntetagmènwn èqoume:

x1x3− x2x3

= 0⇒ x1 − x2x3

= 0⇒ x1 − x2 = 0⇒

x1 − x2 + 0x3 = 0 sto x1x2x3 sÔsthma.H exÐswsh thc L epalhjeÔetai apì ìlec tic tridec (x1, x2, 0)

'Askhsh 2

DÐnontai dÔo shmeÐa tou Π2, A = (1 : 3 : 0) kai B = (2 : 5 : 3)

Na brejeÐ h probolik eujeÐa pou pernei apì autParathroÔme ìti h klsh (1 : 3 : 0) eÐnai eikìna ekeÐnhc thc dèsmhc thc opoÐac mÐa eujeÐa

eÐnai parllhlh sto dinusma 1, 3 kai ìti h klsh (2 : 5 : 3) eÐnai eikìna tou shmeÐou pou èqeisuntetagmènec (2

3, 53). Sunep¸c h zhtoÔmenh eujeÐa eÐnai kaj' upìstash. EÐnai parllhlh sto

dinusma 1, 3 kai dièrqetai apì to shmeÐo (23, 53). 'Ara eÐnai thc morf c M = µ ∪ µ∗.

6