Γεωμετρία Α Λυκείου

23

description

Ασκήσεις Γεωμετρίας Α λυκείου και οι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων ,Τεστ,Ανακεφαλαιώσεις

Transcript of Γεωμετρία Α Λυκείου

Ασκήσεις Γεωµετρίας

Α΄ Λυκείου

και όλες οι ασκήσεις της

Τράπεζας θεμάτων

επιµέλεια : Δημήτρης Βρύσαλης

Ελένη Κασουνή

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφ 2

ο

Κεφ 3ο : Τρίγωνα…………………………………… 7

τεστ ……………………………………… 14

τράπεζα θεμάτων ………………………… 16

Κεφ 4ο : Παράλληλες ευθείες……………………… 25

τεστ ……………………………………… 29

τράπεζα θεμάτων ………………………… 30

Κεφ 5ο

Κεφ 6ο : Εγγεγραμμένα σχήματα…………………… 93

τεστ ……………………………………… 98

τράπεζα θεμάτων ………………………… 99

: Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια…………… 39

τεστ ……………………………………… 46

τράπεζα θεμάτων …………………………. 48

: Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα ………… 1

τεστ ……………………………………… 5

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΑ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

1

Tα βασικά γεωμετρικά σχήματαΘεωρία

Αρχικές έννοιες , σημείο , γραμμή , επίπεδο , επίπεδα σχήματα . Ευθεία , ημιευθεία , ευθύγραμμο τμήμα , μέσο ευθ. τμήματος , σύγκριση και πράξεις . Μήκος ευθ. τμήματος , απόσταση δύο σημείων , σημεία συμμετρικά ως προς κέντρο .

Ασκήσεις1. Οι ημιευθείες Ox΄ και Οx του διπλανού σχήματος είναι αντικείμενες; 2.10 – 4Κ (2001)2. Πόσες ευθείες ορίζουν τρία διαφορετικά σημεία; 2.10 – 5Κ (2001)3. Σχεδιάστε τρεις ευθείες, οι οποίες να τέμνονται ανά δύο, χωρίς να διέρχονται όλες από το ίδιοσημείο και βρείτε: i) πόσα είναι τα σημεία τομής των ευθειών, ii) πόσες ημιευθείες και πόσαευθύγραμμα τμήματα ορίζονται. 2.10 – 2Ε (2001)4. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ και Δ ώστε . Να δικαιολογήσετεότι . 2.10 – 3Ε (2001)5. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β και Γ. Αν Μ και Ν τα μέσα των ΑΒ και ΒΓαντίστοιχα, να δικαιολογήσετε ότι 2 . 2.10 – 4Ε (2001)6. Σε ευθεία ε θεωρούμε τμήμα ΑΒ, το μέσο του Μ, Γ τυχαίο εσωτερικό σημείο του τμήματοςΜΒ και Δ τυχαίο σημείο εξωτερικό του τμήματος ΑΒ. Να αποδείξετε ότι:

i)2

, ii)

2

. 2.10 – 2Α (2001)

7. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ. Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα

των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i)2

, ii) .

2.10 – 1Α (2001)8. i) Να αποδείξετε ότι για κάθε τριάδα συνευθειακών σημείων Α, Β, Γ ισχύει ,

ii) Αν τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι συνευθειακά, να αποδείξετε ότι .2.10 – 3Α (2001)

9. Σε μια ευθεία ε δίνονται διαδοχικά τα σημεία Α, Β, Γ ώστε να είναι 8cm και 10cm .Αν Δ, Ε, Ζ είναι αντίστοιχα τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ τότε τα ΑΕ, ΔΖ έχουν το ίδιο μέσο και ναυπολογιστεί το μήκος του ΜΓ, όταν Μ μέσο του ΔΖ. 5 - ΝΤ10. Δίνεται ευθεία ε και πάνω της στη σειρά τα σημεία Μ, Α, Β. Αν Γ σημείο μεταξύ των Α, Βώστε 2 , βρείτε το μήκος του ΜΓ με τη βοήθεια των ΜΑ, ΜΒ. 9 - ΝΤ

Θεωρία

Ημιεπίπεδο , γωνία , κυρτή , μηδενική ,πλήρης , ευθεία γωνία . Σύγκριση γωνιών , διχοτόμος γωνίας , κάθετες ευθείες , είδη γωνιών . Ευθεία κάθετη από σημείο σε ευθεία , μεσοκάθετος , σημεία συμμετρικά ως προς άξονα . Εφεξής γωνίες , πράξεις με γωνίες . Συμπληρωματικές , παραπληρωματικές (θεωρήματα ) , κατακορυφήν γωνίες (θεωρήματα) .

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΑ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

3

23. Τέσσερις ημιευθείες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ σχηματίζουν τις διαδοχικές γωνίες , , , , που έχουν μέτρα ανάλογα με τους αριθμούς 1, 2, 3, 4. Να υπολογίσετε τις γωνίες αυτές.

2.19 – 3Α (2001)24. Να βρεθεί ποιας γωνίας, το άθροισμα της συμπληρωματικής της και της παραπληρωματικήςτης ισούται με το τριπλάσιο της. 13 - ΝΤ

25. Τρεις διαδοχικές γωνίες έχουν άθροισμα 2 ορθές. Αν η πρώτη είναι τα 23

της δεύτερης και η

τρίτη τα 34

της πρώτης, να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών σε μέρη ορθής. 12 - ΝΤ

26. Δύο γωνίες και έχουν διαφορά 90ο. Να βρεθεί η γωνία των διχοτόμων τους.2.16 – 2Σ (2001)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ27.Αν Α, Β, Γ είναι τρία συνευθειακά σημεία και Δ , Ε τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, τότε

2

. 2.10 – 1Σ (2001)

28. Από μια περιοχή διέρχονται τέσσερις ευθείες οδοί έτσι ώστε ανά δύο να διασταυρώνονται καιανά τρεις να μην διέρχονται από το ίδιο σημείο. Η τροχαία για να διευκολύνει την κίνηση θέλει νατοποθετήσει έναν τροχονόμο σε κάθε διασταύρωση. Πόσοι τροχονόμοι χρειάζονται;Το ίδιο πρόβλημα για ν δρόμους ( 2 ). 2.10 – 2Σ (2001)29. Δίνονται οι διαδοχικές γωνίες , , με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές. ΑνΟx, Oy είναι οι διχοτόμοι των γωνιών , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι

xOy

2 . 2.16 – 1Σ (2001)

30. Δείξτε ότι ν σημεία που δεν ανήκουν ανά τρία στην ίδια ευθεία, ορίζουν ( 1)2

ευθ.

τμήματα.. Π 5 - ΝΤ31. Αν έχουμε δύο εφεξής παραπληρωματικές γωνίες xOy , yOz και ΟΑ η διχοτόμος της μιας(έστω της xOy ) τότε η κάθετος επί την ΟΑ στο Ο είναι διχοτόμος της άλλης. Π 12 -ΝΤ

32. Σε ευθεία ε θεωρούμε τα διαδοχικά τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ ώστε AAB2

, B2

και

ονομάζουμε Ε, Ζ τα μέσα των ΑΓ, ΒΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι A2

.

2.20 – 1Γ(2001)33. Σε ευθεία ε παίρνουμε δύο διαδοχικά τμήματα ΑΒ, ΒΓ. Αν Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ,ΓΑ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΔΕ, ΒΖ έχουν κοινό μέσο. 2.20 – 2Γ(2001)34. Θεωρούμε κύκλο ( ,R) και τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ και Δ ώστε 150 , 45

και 105 . Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος της γωνίας είναι αντικείμενη ημιευθεία τηςΟΑ. 2.20 – 4Γ(2001)35. Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ, Μ το μέσο του τόξου και Κ τυχαίο σημείο του τόξου . Αν Γ και Δ είναι τα μέσα των τόξων και αντίστοιχα, να υπολογίσετε το μέτρο τουτόξου . 2.20 – 5Γ(2001)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

4

36. Δίνεται σημείο Ο και τρεις ημιευθείες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ ώστε . Να δειχθεί ότικάθε μια από τις ημιευθείες, αν προεκταθεί, είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι δύοάλλες. 19 - ΝΤ37. Δίνονται δύο εφεξής γωνίες xOy και yOz . Αν ΟΜ διχοτόμος της xOy και ΟΝ διχοτόμος

της yOz με 60 και ακόμη xOy 3yOz , να βρεθούν τα μέτρα των xOy και yOz .22 - ΝΤ

38. Δίνεται μια γωνία . Φέρουμε A O AO προς το μέρος της ΟΒ και OB OB προς τομέρος της ΟΑ. Τότε οι γωνίες και είναι παραπληρωματικές και έχουν την ίδιαδιχοτόμο. 25 - ΝΤ39. Δίνεται ευθεία xy, σημείο της Ο και οι ημιευθείες ΟΑ, ΟΒ προς το ίδιο μέρος της xy. Αν o120 , να βρεθεί το μέτρο της γωνίας που σχηματίζουν οι διχοτόμοι των x και y .

23 - ΝΤ40. Έχουμε μια οξεία γωνία , την παραπληρωματική της και τη συμπληρωματική της . Ναδειχθεί ότι ˆ ˆ ˆ2 . 24 - ΝΤ

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΑ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

7

TρίγωναΘεωρία

Κύρια στοιχεία τριγώνου , είδη τριγώνων , δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου . Κριτήρια ισότητας τριγώνων . Ιδιότητες ισοσκελούς και ισοπλεύρου τριγώνου , ιδιότητα της μεσοκαθέτου , ίσα τόξα , ίσεςχορδές

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Στο εξωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τμήματα και , ώστε .Να απoδείξετε ότι . 3.2 – 1Ε (2001)2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και στις προεκτάσειςθεωρούμε τμήματα . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο.

3.2 – 2Ε (2001)3. Να δείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι.

3.2 – 3Ε (2001)4. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της A στην οποία θεωρούμε τμήματα και . Να αποδείξετε ότι . 3.2 – 4Ε (2001)5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ, ΓΑ θεωρούμείσα τμήματα ΑΔ, ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ το μέσο της βάσης ΒΓ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνοΜΔΕ είναι ισοσκελές. 3.2 – 2Α (2001)6. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και χορδή του ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΑΒ και προς τα δύο τηςάκρα κατά ίσα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι O . 3.2 – 3Α (2001)7. Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και A 'B' ΄ έχουν ', ΄ . Αν Ι είναι το σημείο τομής τωνδιχοτόμων ΑΔ και ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ και Ι΄ είναι το σημείο τομής των διχοτόμων A ' ' και

' ' του τριγώνου A 'B' ΄ να αποδείξετε ότι: i) ' ' ' ' ,ii) AI A 'I ' ' ' 3.4 – 1Ε (2001)

8. Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και A 'B' ΄ έχουν ˆ',

Να αποδείξετε ότι: i) ' , ii) ' ' 3.4 – 2Ε (2001)

9. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών της βάσης ισοσκελούς τρίγωνο είναι ίσες.3.4 – 1Α (2001)

10. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = ΓΔ και B . Να αποδείξετε ότι .3.4 – 3Α (2001)

11. Δίνεται γωνία xOy . Πάνω στην Οx παίρνουμε σημεία Α και Β και πάνω στην Oy σημεία Γκαι Δ, έτσι ώστε και . Δείξτε ότι: α) , β) Αν Ε είναι το σημείο τομήςτων ΑΔ και ΒΓ, τότε τα τρίγωνα ΕΑΒ και ΕΓΔ είναι ίσα, γ) η ΕΟ είναι διχοτόμος τηςγωνίας xOy . 79 - ΝΤ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΑ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

13

67. Να αποδείξετε ότι κάθε πλευρά τριγώνου είναι μεγαλύτερη από το ευθύγραμμο τμήμα πουενώνει τα ίχνη των καθέτων που φέρνουμε από τυχαίο σημείο της στις δύο άλλες πλευρές.

150 - ΝΤ68. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΠΣΤ με δύο κορυφές του σημεία ενός κύκλου και τη τρίτη κορυφήτου κέντρο του κύκλου. Αν 3cm και 9cm , να βρείτε ποια κορυφή είναι το κέντρο τουκύκλου. 345 - ΝΤ

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

Τα τρίγωνα ταξινομούνται σε• σκαληνά, ισοσκελή και ισόπλευρα, ως προς τις πλευρές τους.• οξυγώνια, ορθογώνια, αμβλυγώνια, ως προς τις γωνίες τους.Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του, ενώ οι διάμεσοι, οιδιχοτόμοι και τα ύψη του λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία.Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:• Δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ).• Μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ).• Και τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία (ΠΠΠ).Ειδικότερα δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:• Δύο οποιεσδήποτε ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία.• Μια πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνία αντίστοιχα, ίσες μία προς μία.Στο ισοσκελές τρίγωνο:• Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες.• Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος.• Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση είναι ύψος και διχοτόμος.• Το ύψος, που αντιστοιχεί στη βάση, είναι διχοτόμος και διάμεσος.Στον κύκλο:• Αν δύο τόξα είναι ίσα, τότε και οι χορδές τους είναι ίσες και αντίστροφα.• Δύο χορδές είναι ίσες, αν και μόνον αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.• Ο φορέας του αποστήματος μιας χορδής:

– διέρχεται από το κέντρο του κύκλου,– είναι μεσοκάθετος της χορδής,– διχοτομεί το αντίστοιχο τόξο της χορδής.

Βασικοί γεωμετρικοί τόποι είναι: ο κύκλος, η μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος και ηδιχοτόμος γωνίας.• Η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του

επιπέδου, που ισαπέχουν από τα άκρα του.• Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της γωνίας, που

ισαπέχουν από τις πλευρές της.Δύο σχήματα Σ, Σ΄ λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο ή μια ευθεία ε, όταν κάθεσημείο τουΣ΄ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ, ως προς το Ο ή την ε και αντίστροφα.

Ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο:• Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου.• Απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες.• Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη

από τη διαφορά τους.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

14

Βασική συνέπεια: ^ ^• Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β =Γ , τότε θα είναι και β = γ.• Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της βάσης ΒΓ. Αν η ΑΔ είναι διχοτόμος και διάμεσος ή

διχοτόμος και ύψος ή διάμεσος και ύψος, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

ΤΕΣΤ 3ου κεφαλαίου

1. ( ΘΕΩΡΙΑ 3ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ)

1. Τι είναι η Διάμεσος ενός τριγώνου;2. Να διατυπώσετε τα Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων.3. Πόσα, το πολύ, κοινά σημεία έχουν μια ευθεία και ένας κύκλος ; Να κάνετε το αντίστοιχο

σχήμα.4. Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δύο κύκλων; (Σχήμα και σχέση)5. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:

(α). Η κοινή χορδή δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της διακέντρου.(β). Το ύψος που αντιστοιχεί σε μία από τις πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναιδιάμεσος και διχοτόμος.(γ). Η εξωτερική γωνία εξ, τριγώνου είναι μεγαλύτερη από την .(δ). Ένα τρίγωνο είναι σκαληνό όταν δύο πλευρές του είναι άνισες.

6. Συμπληρώστε τα κενά:(α). Δύο τόξα ενός κύκλου είναιίσα,όταν………………………………………………………(β). Ένα σημείο Μ βρίσκεται στη μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ,όταν………………………………………………………………………………………………………….(γ). Κάθε εσωτερικό σημείο μίας γωνίας, είναι σημείο της διχοτόμου της,αν………………………………………………………………………………………………………

2.

(ΕΝΟΤΗΤΕΣ 3.6 - 3.7)1. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της

και αντίστροφα, κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές τηςανήκει στη διχοτόμο της γωνίας.

2. Τι είναι γεωμετρικός τόπος; Να δώσετε ορισμό για δύο βασικούς γεωμετρικούς τόπους.3. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:

(α). Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν και τις τρεις γωνίες τους ίσες.(β). Το ύψος που αντιστοιχεί σε μία από τις πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναιδιάμεσος και διχοτόμος.(γ). Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα ίση, τότε είναι ίσα.(δ). Ένα τρίγωνο είναι σκαληνό όταν δύο πλευρές του είναι άνισες.

1

2824. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ. ΑνEH B και Z B , να αποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι ίσα. μ 13β) EH Z μ 12

2846. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ.Να αποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΓΕΒ είναι ίσα. μ 15β) A AE μ 10

2847. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και το μέσο Μ της βάσης του ΒΓ.Φέρουμε τις αποστάσεις ΜΚ και ΜΛ του σημείου Μ από τις ίσες πλευρές του τριγώνου.Να αποδείξετε ότι:α) MK M μ 13β) Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΚΜΛ. μ 12

2848. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A .Από το μέσο Μ της βάσης του ΒΓφέρουμε κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετεότι:α) M ME μ 12β) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. μ 13

2854. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A .Οιδιχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ τέμνονται στοσημείο Μ και Κ,Λ είναι αντίστοιχα τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ.Να αποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές με MB M . μ 12β) MK M μ 13

3417. Έστω δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ AB A και

Α΄Β΄Γ΄ A B A .

α) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει AB A B και A A , τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. μ 13β) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει A A και B B , τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. μ 12

3420. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που αντιστοιχούν στις πλευρές τουΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:α) Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με AB A , τότε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. μ 12β) Αν τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με AB A . μ 13

3421. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ (προς το Μ) κατά ίσο τμήμαΜΔ.Να αποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα. μ 12β) Τα σημεία Α και Δ ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ. μ 13

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

2ο ΘΕΜΑ

2824. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ. ΑνEH B και Z B , να αποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι ίσα. μ 13β) EH Z μ 12

2846. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ.Να αποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΓΕΒ είναι ίσα. μ 15β) A AE μ 10

2847. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και το μέσο Μ της βάσης του ΒΓ.Φέρουμε τις αποστάσεις ΜΚ και ΜΛ του σημείου Μ από τις ίσες πλευρές του τριγώνου.Να αποδείξετε ότι:α) MK M μ 13β) Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΚΜΛ. μ 12

2848. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A .Από το μέσο Μ της βάσης του ΒΓφέρουμε κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετεότι:α) M ME μ 12β) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. μ 13

2854. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A .Οιδιχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ τέμνονται στοσημείο Μ και Κ,Λ είναι αντίστοιχα τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ.Να αποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές με MB M . μ 12β) MK M μ 13

3417. Έστω δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ AB A και

Α΄Β΄Γ΄ A B A .

α) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει AB A B και A A , τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. μ 13β) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει A A και B B , τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. μ 12

3420. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που αντιστοιχούν στις πλευρές τουΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:α) Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με AB A , τότε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. μ 12β) Αν τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με AB A . μ 13

3421. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ (προς το Μ) κατά ίσο τμήμαΜΔ.Να αποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα. μ 12β) Τα σημεία Α και Δ ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ. μ 13

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

2ο ΘΕΜΑ

2824. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ. ΑνEH B και Z B , να αποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι ίσα. μ 13β) EH Z μ 12

2846. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ.Να αποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΓΕΒ είναι ίσα. μ 15β) A AE μ 10

2847. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και το μέσο Μ της βάσης του ΒΓ.Φέρουμε τις αποστάσεις ΜΚ και ΜΛ του σημείου Μ από τις ίσες πλευρές του τριγώνου.Να αποδείξετε ότι:α) MK M μ 13β) Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΚΜΛ. μ 12

2848. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A .Από το μέσο Μ της βάσης του ΒΓφέρουμε κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετεότι:α) M ME μ 12β) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. μ 13

2854. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A .Οιδιχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Β και Γ τέμνονται στοσημείο Μ και Κ,Λ είναι αντίστοιχα τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ.Να αποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές με MB M . μ 12β) MK M μ 13

3417. Έστω δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ AB A και

Α΄Β΄Γ΄ A B A .

α) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει AB A B και A A , τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. μ 13β) Να αποδείξετε ότι αν ισχύει A A και B B , τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. μ 12

3420. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που αντιστοιχούν στις πλευρές τουΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:α) Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με AB A , τότε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. μ 12β) Αν τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με AB A . μ 13

3421. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ (προς το Μ) κατά ίσο τμήμαΜΔ.Να αποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα. μ 12β) Τα σημεία Α και Δ ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ. μ 13

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

2ο ΘΕΜΑ

16

Δημήτρης
Typewritten text
τράπεζα θεμάτων

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΑ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

25

Παράλληλες Ευθείες

Θεωρία

Ορισμός . Ονομασία των : εντός , εκτός , επί τα αυτά , εναλλάξ και ισότητες . Καθετότητα και παραλληλία , Ευκλείδειο αίτημα . Ιδιότητες των παραλλήλων . Κατασκευή παραλλήλων , γωνίες με πλευρές παράλληλες . Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου , περίκεντρο και ιδιότητά του . Εγγεγραμμένος και παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου , έγκεντρο,παράκεντρα και ιδιότητές

τους , αποστάσεις των σημείων επαφής από τις κορυφές του τριγώνου .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται γωνία xOy και σημείο Α της διχοτόμου της. Αν η παράλληλη από το Α προς την Oxτέμνει την Oy στο Β, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές. 4.5 – 2Ε (2001)2. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( AB A ) και σημείο Δ της πλευράς ΑΒ. Αν ο κύκλος( , ) τέμνει τη ΒΓ στο Ε, να αποδείξετε ότι // . 4.5 – 4Ε (2001)3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ( AB A ) με διάμεσο ΑΜ , φέρνουμε x προς το ημιεπίπεδο που δενανήκει το Α και παίρνουμε σε αυτή τμήμα AB . Να δείξετε ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος τηςγωνίας . 4.5 – 1Α (2001)4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Από την κορυφή Β φέρουμε // πουτέμνει την προέκταση της ΓΑ στο Ε. Να αποδείξετε ότι . 4.5 – 2Α (2001)5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB A και η εξωτερική διχοτόμος του Αx. Από την κορυφή Βφέρουμε // x που τέμνει την ΑΓ στο Δ. Να αποδείξετε ότι . 4.5 – 3Α (2001)6. Από το έγκεντρο Ι τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε ευθεία παράλληλη της ΒΓ που τέμνει τις ΑΒ καιΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι . 4.5 – 4Α (2001)7. Από το έγκεντρο Ι τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε / / και / / . Να αποδείξετε ότι ηπερίμετρος του τριγώνου ΔΙΕ ισούται με τη ΒΓ (τα Δ, Ε στη ΒΓ). 4.5 – 5Α (2001)8. Δύο παράλληλες ευθείες 1 2, τέμνονται από τρίτη ευθεία ε. Αν μία από τις σχηματιζόμενεςγωνίες είναι μεγαλύτερη του τριπλάσιου της άλλης, κατά 20ο, να βρεθούν τα μέτρα όλων τωνγωνιών που σχηματίζονται. 40 - ΝΤ9. Δίνεται γωνία xOy και σημείο Α της Οx. Φέρουμε Oy και τη διχοτόμο της O πουτέμνει την Οx στο Γ . Από το Γ φέρνουμε κάθετη στην Oy που τέμνει την Οx στο Δ. Δείξτε ότι . 93 - ΝΤ

Θεωρία

Άθροισμα γωνιών τριγώνου , εξωτερική γωνία τριγώνου , ορθογώνιο τρίγωνο και γωνίεςτου . Γωνίες με πλευρές κάθετες . Άθροισμα γωνιών κυρτού πολύγωνου , άθροισμα εξωτερικών γωνιών κυρτού πολύγωνου .

9

ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ

2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τηδιχοτόμο ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνειτις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Νααποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. μ 10β) Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΖΔ είναι ίσα. μ 15

5061. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και η διάμεσός τουΑΜ. Φέρουμε ημιευθεία x B προς το ημιεπίπεδο που δεν ανήκει τοΑ και παίρνουμε σε αυτήν τμήμα AB .Να αποδείξετε ότι:α) A A μ 12β) Η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΑΓ. μ 13

5066. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ (προς το Α) και ΓΑ (προς τοΑ) τριγώνου ΑΒΓ, παίρνουμε τα τμήματα A AB και AE A . Νααποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα. μ 12β) E B μ 13

5134. Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος(Ο, ρ) και τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ καιΜΒ.Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμαM MA και την ΟΜ κατά τμήμαM OM .α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΜΒ και

ΜΓΔ είναι ίσα, και να γράψετε τα ίσαστοιχεία τους. μ 13

β) Να αιτιολογήσετε γιατί OA . μ 12

3721. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τιςδιαμέσους ΒΔ και ΓΕ. Μια ευθεία ε παράλληλη στη βάση ΒΓτέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα Ζ και Η αντίστοιχα και τιςδιαμέσους ΒΔ και ΓΕ στα σημεία Θ και Κ αντίστοιχα. Νααποδείξετε ότι:α) BZ H μ 8β) τα τρίγωνα ΖΒΘ και ΗΚΓ είναι ίσα. μ 9γ) ZK H . μ 8

2ο ΘΕΜΑ

4ο ΘΕΜΑ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ

2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τηδιχοτόμο ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνειτις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Νααποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. μ 10β) Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΖΔ είναι ίσα. μ 15

5061. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και η διάμεσός τουΑΜ. Φέρουμε ημιευθεία x B προς το ημιεπίπεδο που δεν ανήκει τοΑ και παίρνουμε σε αυτήν τμήμα AB .Να αποδείξετε ότι:α) A A μ 12β) Η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΑΓ. μ 13

5066. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ (προς το Α) και ΓΑ (προς τοΑ) τριγώνου ΑΒΓ, παίρνουμε τα τμήματα A AB και AE A . Νααποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα. μ 12β) E B μ 13

5134. Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος(Ο, ρ) και τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ καιΜΒ.Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμαM MA και την ΟΜ κατά τμήμαM OM .α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΜΒ και

ΜΓΔ είναι ίσα, και να γράψετε τα ίσαστοιχεία τους. μ 13

β) Να αιτιολογήσετε γιατί OA . μ 12

3721. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τιςδιαμέσους ΒΔ και ΓΕ. Μια ευθεία ε παράλληλη στη βάση ΒΓτέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα Ζ και Η αντίστοιχα και τιςδιαμέσους ΒΔ και ΓΕ στα σημεία Θ και Κ αντίστοιχα. Νααποδείξετε ότι:α) BZ H μ 8β) τα τρίγωνα ΖΒΘ και ΗΚΓ είναι ίσα. μ 9γ) ZK H . μ 8

2ο ΘΕΜΑ

4ο ΘΕΜΑ

ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ

2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τηδιχοτόμο ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνειτις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Νααποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές. μ 10β) Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΖΔ είναι ίσα. μ 15

5061. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και η διάμεσός τουΑΜ. Φέρουμε ημιευθεία x B προς το ημιεπίπεδο που δεν ανήκει τοΑ και παίρνουμε σε αυτήν τμήμα AB .Να αποδείξετε ότι:α) A A μ 12β) Η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΑΓ. μ 13

5066. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ (προς το Α) και ΓΑ (προς τοΑ) τριγώνου ΑΒΓ, παίρνουμε τα τμήματα A AB και AE A . Νααποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα. μ 12β) E B μ 13

5134. Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος(Ο, ρ) και τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ καιΜΒ.Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμαM MA και την ΟΜ κατά τμήμαM OM .α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΜΒ και

ΜΓΔ είναι ίσα, και να γράψετε τα ίσαστοιχεία τους. μ 13

β) Να αιτιολογήσετε γιατί OA . μ 12

3721. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τιςδιαμέσους ΒΔ και ΓΕ. Μια ευθεία ε παράλληλη στη βάση ΒΓτέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα Ζ και Η αντίστοιχα και τιςδιαμέσους ΒΔ και ΓΕ στα σημεία Θ και Κ αντίστοιχα. Νααποδείξετε ότι:α) BZ H μ 8β) τα τρίγωνα ΖΒΘ και ΗΚΓ είναι ίσα. μ 9γ) ZK H . μ 8

2ο ΘΕΜΑ

4ο ΘΕΜΑ

30

Δημήτρης
Typewritten text
τράπεζα θεμάτων
Δημήτρης
Typewritten text

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΑ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

39

Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια

Θεωρία

Παραλληλόγραμμο : Ορισμός , ιδιότητες , κέντρο συμμετρίας παραλληλόγραμμου . Κριτήρια για παραλληλόγραμμα . Καθετότητα και παραλληλία , Ευκλείδειο αίτημα . Τρόποι για να αποδείξουμε , ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Έστω Ο το κέντρο παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Αν Ε και Ζ σημεία των ΟΑ και ΟΓ αντίστοιχα,ώστε να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο.

5.2 – 2Ε (2001)2. Έστω Ε και Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Νααποδείξετε ότι: i) το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, ii) οι ΑΓ, ΒΔ και ΕΖσυντρέχουν. 5.2 – 3Ε (2001)3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Η παράλληλη από το Δ προς την ΑΒ τέμνει τηνΑΓ στο Ε. Αν η παράλληλη από το Ε προς την ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Ζ, να αποδείξετε ότι . 5.2 – 4Ε (2001)4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ) και σημείο Μ της βάσης του ΒΓ. Φέρουμε

// (Ε σημείο του ΑΓ) και / / (Δ σημείο του ΑΒ). Να αποδείξετε ότι . 5.2 – 1Α (2001)5. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με 2 . Αν Ε είναι το μέσο της ΓΔ, να αποδείξετεότι 90 . Π 102 - ΝΤ6. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και η διαγώνιος του ΒΔ. Φέρνουμε και . Να απόδείξετε ότι το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. 186 - ΝΤ7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διάμεσοι του ΑΔ, ΒΕ τις οποίες προεκτείνουμε κατά ΄ και ΄ . Να αποδείξετε ότι τα Δ΄, Γ, Ε΄, είναι συνευθειακά. 179 - ΝΤ8. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και στις ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ παίρνουμε τα σημεία Ε, Ζ, Η, Θαντίστοιχα ώστε και . Να αποδείξετε ότι το ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο.

189 - ΝΤ9. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε τη ΔΓ κατά τμήμα και τη ΔΑκατά τμήμα . Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ζ, Β και Ε είναι συνευθειακά.

5.2 – 3Α (2001)10. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των διαμέσων ΒΔ και ΓΕ παίρνουμε σημεία Η και Ζαντίστοιχα τέτοια ώστε και . Να αποδείξετε ότι: i) AH AZ ii) τα σημεία Ζ, Ακαι Η είναι συνευθειακά. 5.2 – 4Α (2001)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

44

72. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατά τμήμα και επί τηςημιευθείας ΔΑ θεωρούμε σημείο Ζ, ώστε . Να αποδείξετε ότι 90 .5.2 – 2Σ (2001)73. Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ φέρουμε . Αν η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τη ΓΔ στοΖ, να αποδείξετε ότι . 5.5 – 2Σ (2001)74. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆ 90 ) φέρουμε το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ανˆ 15 , τότε

4 και αντίστροφα. 5.9 – 2Σ (2001)

75. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ ˆ2 90 και το ύψος του ΑΔ. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατάτμήμα . Να αποδείξετε ότι η ΔΕ διχοτομεί την πλευρά ΑΓ. 5.9 – 4Σ (2001)

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ

ΟΡΙΣΜΟΣκαι ΣΧΗΜΑ

Παραλληλόγραμμο

Το κυρτό τετράπλευρο το οποίοέχει τιςαπέναντι πλευρές τουπαράλληλες.

Ορθογώνιο

Το παραλληλόγραμμο πουέχει μια γωνίαορθή.

Ρόμβος

Τοπαραλληλόγραμμοπου έχει δύοδιαδοχικές πλευρέςίσες.

Τετράγωνο

Τοπαραλληλόγραμμο,το οποίοείναι ορθογώνιοκαι ρόμβος.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ (Ομοιότητες – Διαφορές)

ΓΩΝΙΕΣ: ♦ Οι απέναντι ίσες♦ Οι διαδοχικέςπαραπληρωματικές

Όλες είναιορθές

♦ Οι απέναντι ίσες.♦ Οι διαδοχικέςπαραπληρωματικές.

Όλες είναιορθές.

ΠΛΕΥΡΕΣ: Οι απέναντι ίσες καιπαράλληλες

Οι απέναντι ίσες καιπαράλληλες

♦ Όλες ίσες.♦ Οι απέναντι είναιπαράλληλες.

♦ Όλες ίσες.♦ Οι απέναντι είναιπαράλληλες.

♦ Διχοτομούνται♦ Τέμνονταικάθετα.♦ Διχοτομούν τιςγωνίες.

♦ Διχοτομούνται♦ Τέμνονταικάθετα.♦ Διχοτομούν τιςγωνίες.♦ Είναι ίσες.

ΔΙΑΓΩΝΙΟΙ: Διχοτομούνται ♦ Διχοτομούνται♦ Είναι ίσες

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΑ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ

5.

Τραπέζιο είναι το τετράπλευρο που έχει μόνο δύο απέναντι πλευρές παράλληλες

ΑΒ // ΓΔ ΑΒΓΔ τραπέζιο

ΑΒ , ΓΔ βάσεις τραπεζίου Μ , Ν μέσα μη παραλλήλων πλευρών ΜΝ διάμεσος τραπεζίου

2

και ΜΝ // ΑΒ // ΓΔ

έισοσκελές τραπέζιο

ισχύει B

Ορθογώνιο τραπέζιο είναι το τραπέζιο που έχει δύο γωνίες ορθές

0

έΑΒΓΔ τραπέζιο ορθογώνιο

90

Τρίγωνο Αν Κ, Λ μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα ,

τότε / /2 .

Αν Κ μέσο ΑΒ και / / , τότε Λ μέσο AΓ.

Ορθογώνιο Τρίγωνο0A 90 AM

2

0 0ˆ ˆA 90 , ό : 30 2

Βαρύκεντρο Τριγώνου

2 2 2, Β , ΓΘ3 3 3

Ορθόκεντρο Τριγώνου Σημείο Τομής των φορέων των υψών

Ισοσκελές τραπέζιο είναι το τραπέζιο που έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες

45

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

46

ΤΕΣΤ Α

(ΕΝΟΤΗΤΕΣ: 5.1-5.8)

1. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνουείναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

2. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου είναι κορυφέςπαραλληλογράμμου.

3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας την ένδειξη Σωστό (Σ) ήΛάθος (Λ) δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Τα ύψη ενός παραλληλογράμμου είναι οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών αυτού.β. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες.γ. Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του.δ. Οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες, τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και

διχοτομούν τις γωνίες του.ε. Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου δεν συντρέχουν.

στ. Οι τρεις διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το ορθόκεντρο.4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΔ . Αν Ε, Ζ και Η είναι τα μέσα των ΒΔ, ΑΔ και

ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΔΕΖΗ είναι παραλληλόγραμμο.

ΤΕΣΤ Β(ΕΝΟΤΗΤΕΣ § 5.1-5.5 )

1. Να αποδείξετε ότι αν σε ένα κυρτό τετράπλευρο οι απέναντι γωνίες ανά δύο είναι ίσες, τότεαυτό είναι παραλληλόγραμμο.

2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος(Λ) δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Κέντρο συμμετρίας ενός παραλληλογράμμου λέγεται το σημείο τομής των διχοτόμωντων γωνιών του.

β. Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου διχοτομούν τις γωνίες του.γ. Οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες, τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και

διχοτομούν τις γωνίες του.δ. Κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος.ε. Όλες οι γωνίες του ρόμβου είναι ίσες.

στ. Ένας ρόμβος με μια ορθή γωνία είναι τετράγωνο.ζ. Κάθε τετράπλευρο με ίσες πλευρές είναι ρόμβος.

3. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τη γωνία , αν γνωρίζουμε ότι ∥ .ε

ε1 3χ

ε2

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΑ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

47

4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90°) και η διχοτόμος του ΑΔ. Φέρουμε παράλληληαπό το Δ προς την ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Αν η κάθετη που φέρουμε από το Ε προς τηΑΒ τέμνει την ΑΒ στο Ζ, να αποδείξετε ότι:

α. Το ΒΔΕΖ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.β. ΑΕ = ΒΖ.

ΤΕΣΤ Γ

(ΕΝΟΤΗΤΕΣ: 5.1-5.11)

1. Να αποδείξετε ότι το αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30ο, τότε ηαπέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας.

2. Ποια ευθεία (ε) λέγεται μεσοπαράλληλος δύο άλλων ευθειών ( ) και ( ) ;3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή

Λάθος (Λ) δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.α. Κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος.β. Όλες οι γωνίες του ρόμβου είναι ίσες.γ. Η διάμεσος ενός οξυγώνιου τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία

αντιστοιχεί.δ. Οι παράλληλες που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις απέναντι

πλευρές του, σχηματίζουν τρίγωνο.ε. Η διάμεσος του τραπεζίου είναι ίση με την ημιδιαφορά των βάσεών του.

στ. Οι διαγώνιοι του τραπεζίου είναι ίσες.4. Σε σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ φέρνουμε το ύψος ΑΔ και έστω Κ,Λ και Μ τα μέσα

των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΔ είναιισοσκελές τραπέζιο.

ΤΕΣΤ Δ

(ΕΝΟΤΗΤΕΣ: 5.10-5.11)

1. Τι ονομάζεται τραπέζιο;2. Τι ονομάζεται ισοσκελές τραπέζιο ; Να αναφέρετε τις ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζίου.3. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με

το ημιάθροισμά τους.4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το ύψος του ΑΕ. Αν Κ, Λ, τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ

αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΚΛΓΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο.5. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) η διχοτόμος της γωνίας του Β τέμνει τη διάμεσό του ΕΖ, στο

Η. Να αποδείξετε ότι = 90°.

47

3803. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε τη διαγώνιο ΒΔ(προς το Δ) κατά τμήμα . Έστω Μ το μέσο της ΑΔ

και Ν το σημείο τομής των ευθειών ΑΕ και ΓΔ.α) Να αποδείξετε ότι μ 6β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΝΜΔ. μ 5

γ) Να αποδείξετε ότι:i. μ 7ii. μ 7

4606. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο μηαντιδιαμετρικά σημεία του Α και Β. Φέρουμε τιςεφαπτομένες του κύκλου στα σημεία Α και Β οιοποίες τέμνονται σε σημείο Γ. Φέρουμε επίσης καιτα ύψη ΑΔ και ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ τα οποίατέμνονται στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΒΗΑ είναι ισοσκελές. μ 8β) Το τετράπλευρο ΟΒΗΑ είναι ρόμβος. μ 9γ) Τα σημεία Ο,Η,Γ είναι συνευθειακά. μ 8

4619. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το μέσο της διαμέσου ΒΔ.Στην προέκταση της ΑΕ θεωρούμε σημείο Ζ τέτοιο, ώστεEZ AE και έστω Θ το σημείο τομής της ΑΖ με την πλευράΒΓ. Να αποδείξετε ότι:α) Το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. μ 8β) Το τετράπλευρο ΒΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. μ 8γ) Το σημείο Θ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΒΔΖ. μ 9

4646. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A 90 και 30 με Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒαντίστοιχα. Έστω ότι η μεσοκάθετος της πλευράς ΒΓτέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε.α) Να αποδείξετε ότι:i. η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Β. μ 6

ii. EAE2 μ 6

iii. η ΒΕ είναι μεσοκάθετος της διαμέσου ΑΜ. μ 7β) Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ που τέμνει την ΒΕ στο Η, να αποδείξετε ότι τα

σημεία Μ, Η και Ν είναι συνευθειακά. μ 6

4731. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A καιτο ύψος του ΑΜ. Φέρουμε τη ΜΔ κάθετη στην ΑΓ καιθεωρούμε σημείο Η το μέσο του ΜΔ. Από το Η φέρουμεπαράλληλη στη ΒΓ η οποία τέμνει τις ΑΜ και ΑΓ στασημεία Κ και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) BHZ4

μ 9

β) MZ B μ 8γ) Η ευθεία ΑΗ είναι κάθετη στη ΒΔ. μ 8

3803. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε τη διαγώνιο ΒΔ(προς το Δ) κατά τμήμα . Έστω Μ το μέσο της ΑΔ

και Ν το σημείο τομής των ευθειών ΑΕ και ΓΔ.α) Να αποδείξετε ότι μ 6β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΝΜΔ. μ 5

γ) Να αποδείξετε ότι:i. μ 7ii. μ 7

4606. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο μηαντιδιαμετρικά σημεία του Α και Β. Φέρουμε τιςεφαπτομένες του κύκλου στα σημεία Α και Β οιοποίες τέμνονται σε σημείο Γ. Φέρουμε επίσης καιτα ύψη ΑΔ και ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ τα οποίατέμνονται στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΒΗΑ είναι ισοσκελές. μ 8β) Το τετράπλευρο ΟΒΗΑ είναι ρόμβος. μ 9γ) Τα σημεία Ο,Η,Γ είναι συνευθειακά. μ 8

4619. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το μέσο της διαμέσου ΒΔ.Στην προέκταση της ΑΕ θεωρούμε σημείο Ζ τέτοιο, ώστεEZ AE και έστω Θ το σημείο τομής της ΑΖ με την πλευράΒΓ. Να αποδείξετε ότι:α) Το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. μ 8β) Το τετράπλευρο ΒΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. μ 8γ) Το σημείο Θ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΒΔΖ. μ 9

4646. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A 90 και 30 με Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒαντίστοιχα. Έστω ότι η μεσοκάθετος της πλευράς ΒΓτέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε.α) Να αποδείξετε ότι:i. η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Β. μ 6

ii. EAE2 μ 6

iii. η ΒΕ είναι μεσοκάθετος της διαμέσου ΑΜ. μ 7β) Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ που τέμνει την ΒΕ στο Η, να αποδείξετε ότι τα

σημεία Μ, Η και Ν είναι συνευθειακά. μ 6

4731. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A καιτο ύψος του ΑΜ. Φέρουμε τη ΜΔ κάθετη στην ΑΓ καιθεωρούμε σημείο Η το μέσο του ΜΔ. Από το Η φέρουμεπαράλληλη στη ΒΓ η οποία τέμνει τις ΑΜ και ΑΓ στασημεία Κ και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) BHZ4

μ 9

β) MZ B μ 8γ) Η ευθεία ΑΗ είναι κάθετη στη ΒΔ. μ 8

3803. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε τη διαγώνιο ΒΔ(προς το Δ) κατά τμήμα . Έστω Μ το μέσο της ΑΔ

και Ν το σημείο τομής των ευθειών ΑΕ και ΓΔ.α) Να αποδείξετε ότι μ 6β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΝΜΔ. μ 5

γ) Να αποδείξετε ότι:i. μ 7ii. μ 7

4606. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο μηαντιδιαμετρικά σημεία του Α και Β. Φέρουμε τιςεφαπτομένες του κύκλου στα σημεία Α και Β οιοποίες τέμνονται σε σημείο Γ. Φέρουμε επίσης καιτα ύψη ΑΔ και ΒΕ του τριγώνου ΑΒΓ τα οποίατέμνονται στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΒΗΑ είναι ισοσκελές. μ 8β) Το τετράπλευρο ΟΒΗΑ είναι ρόμβος. μ 9γ) Τα σημεία Ο,Η,Γ είναι συνευθειακά. μ 8

4619. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το μέσο της διαμέσου ΒΔ.Στην προέκταση της ΑΕ θεωρούμε σημείο Ζ τέτοιο, ώστεEZ AE και έστω Θ το σημείο τομής της ΑΖ με την πλευράΒΓ. Να αποδείξετε ότι:α) Το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. μ 8β) Το τετράπλευρο ΒΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. μ 8γ) Το σημείο Θ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΒΔΖ. μ 9

4646. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A 90 και 30 με Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒαντίστοιχα. Έστω ότι η μεσοκάθετος της πλευράς ΒΓτέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε.α) Να αποδείξετε ότι:

i. η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Β. μ 6

ii. EAE2 μ 6

iii. η ΒΕ είναι μεσοκάθετος της διαμέσου ΑΜ. μ 7β) Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ που τέμνει την ΒΕ στο Η, να αποδείξετε ότι τα

σημεία Μ, Η και Ν είναι συνευθειακά. μ 6

4731. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A καιτο ύψος του ΑΜ. Φέρουμε τη ΜΔ κάθετη στην ΑΓ καιθεωρούμε σημείο Η το μέσο του ΜΔ. Από το Η φέρουμεπαράλληλη στη ΒΓ η οποία τέμνει τις ΑΜ και ΑΓ στασημεία Κ και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) BHZ4

μ 9

β) MZ B μ 8γ) Η ευθεία ΑΗ είναι κάθετη στη ΒΔ. μ 8

78

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΑ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

93

Εγγεγραμμένα Σχήματα

Θεωρία

Εγγεγραμμένη γωνία , αντίστοιχη επίκεντρη γωνία και αντίστοιχο τόξο, σχέσεις μεταξύ τους Γωνία χορδής και εφαπτομένης . Παράλληλες χορδές και αντίστοιχα τόξα , γωνία δύο τεμνουσών .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x και y . 6.4 – 1Ε(2001)

2.Αν στο διπλανό σχήμα είναι A 40 να βρείτε τομέτρο του τόξου ΒΔ .

6.4 –2Ε(2001)

3.Αν στα παρακάτω σχήματα οι ευθείες ' είναι εφαπτόμενες να βρεθούν τα x και y.6.4 – 3Ε(2001)

4.Αν στο διπλανό σχήμα είναι A 25 να βρείτε τα μέτρα των τόξων EB και .

6.4 – 4Ε(2001)

4x

2x3x

y

Α

Β Γ

x

y

Γ

Α

Β o35o50

Δ

Γ

B

Ε

Ao40

o140

x

y

ε

Β Γ

Α

o40

y

ε

Γε'

Δ

ΑΒ

x

o50

o60

Ε

Δ

o25

o70

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΑ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

97

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

• Εγγεγραμμένη γωνία

i) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης.ii) Η γωνία χορδής και εφαπτομένης ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο τηςχορδής.

• Εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Ιδιότητεςi) Οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές.ii) Κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.iii) Κάθε εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του τετραπλεύρου.

• Εγγράψιμο τετράπλευρο

ΚριτήριαΈνα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, αν ισχύει μία από τις ακόλουθες προτάσεις:i) Δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές.ii) Μία πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.iii) Μία εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του τετραπλεύρου.

• Περιγεγραμμένο τετράπλευρο

Ιδιότητεςi) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι το κέντρο τουεγγεγραμμένου κύκλου.ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

• Περιγράψιμο τετράπλευρο

ΚριτήριαΈνα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο αν ισχύει μία από τις ακόλουθες προτάσεις:i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο.ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα.

• Γεωμετρικοί τόποι και γεωμετρικές κατασκευές

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ

98

ΤΕΣΤ

( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο )

1. Να αποδείξετε ότι η γωνία χορδής και εφαπτομένης είναι ίση με την εγγεγραμμένη πουβαίνει στο αντίστοιχο τόξο.

2. Να δώσετε τους ορισμούς της εγγεγραμμένης και της επικέντρης γωνίας.3. Τι ονομάζουμε εγγράψιμο τετράπλευρο; Να αναφέρετε τα κριτήρια ενός εγγράψιμου

τετραπλεύρου.4. Τι ονομάζουμε εγγεγραμμένο τετράπλευρο; Να αποδείξετε ότι οι απέναντι γωνίες του είναι

παραπληρωματικές.5. Αν δύο κύκλοι κέντρων Κ και Λ εφάπτονται εξωτερικά στο Α και ε ευθεία που διέρχεται από

το Α τους τέμνει στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα, τότε να δείξετε ότι :i) ΚΒ // ΛΓ και ii) οι εφαπτόμενες στα Β και Γ αντίστοιχα είναι παράλληλες .

63

6587. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου (Ο, ρ)στο σημείο Γ.α) Να υπολογίσετε τις γωνίες χ,y και ω δικαιολογώντας σε

κάθε περίπτωση την απάντησή σας. μ 15β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΟΑΓ ως προς

τις πλευρές. μ 10

6588. Έστω κύκλος κέντρου Κ, μια διάμετρός του ΒΓ και σημείοΑ του κύκλου τέτοιο, ώστε BA K . Αν Δ τυχαίο σημείο τουκύκλου διαφορετικό των Β και Γ,α) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΚΑ είναι ισόπλευρο. μ 7β) να υπολογίσετε τη γωνία ΒΔΑ. μ 9γ) να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. μ 9

6886. Έστω κύκλος κέντρου Ο και διαμέτρου ΒΓ. Θεωρούμε τασημεία Α και Δ του κύκλου εκατέρωθεν της ΒΓ, τέτοια ώστε τοτόξο ΒΔ να είναι διπλάσιο του τόξου ΔΓ.Να υπολογίσετε:α) το μέτρο x του τόξου ΓΔ, μ 8β) τη γωνία ΒΟΔ, μ 9γ) τη γωνία ΒΑΔ. μ 8

2806. Δύο κύκλοι (Κ, ρ) , (Λ, R) τέμνονται σε δύο σημείαΑ,Β. Αν Γ και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του Α στουςδύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι:α) A B 90 μ 5β) τα σημεία Γ, Β, Δ είναι συνευθειακά. μ 10γ) το τετράπλευρο ΚΛΓΔ είναι τραπέζιο. μ 10

2810. Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ που είναιεγγεγραμμένο στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Τατμήματα ΓΖ και ΒΖ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα τουκύκλου στα σημεία Γ και Β αντίστοιχα. Αν το τμήμα ΘΗείναι κάθετο στο τμήμα ΑΖ στο Ζ, να αποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΖΒΓ είναι ισόπλευρο. μ 7β) Το τετράπλευρο ΑΓΖΒ είναι ρόμβος. μ 8γ) Το τετράπλευρο ΒΓΗΘ είναι τραπέζιο,

με B BZ και H 2B . μ 10

3714. Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε τα ίσα τόξα ΑΒ καιΑΓ, το καθένα ίσο με 120 . Έστω Δ και Ε τα μέσα των τόξων ΑΒ καιΑΓ αντίστοιχα.Να αποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. μ 8β) Τα τρίγωνα ΑΖΔ και ΑΗΕ είναι ίσα και να υπολογίσετε

τις γωνίες τους. μ 10

4ο ΘΕΜΑ

6587. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου (Ο, ρ)στο σημείο Γ.α) Να υπολογίσετε τις γωνίες χ,y και ω δικαιολογώντας σε

κάθε περίπτωση την απάντησή σας. μ 15β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΟΑΓ ως προς

τις πλευρές. μ 10

6588. Έστω κύκλος κέντρου Κ, μια διάμετρός του ΒΓ και σημείοΑ του κύκλου τέτοιο, ώστε BA K . Αν Δ τυχαίο σημείο τουκύκλου διαφορετικό των Β και Γ,α) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΚΑ είναι ισόπλευρο. μ 7β) να υπολογίσετε τη γωνία ΒΔΑ. μ 9γ) να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. μ 9

6886. Έστω κύκλος κέντρου Ο και διαμέτρου ΒΓ. Θεωρούμε τασημεία Α και Δ του κύκλου εκατέρωθεν της ΒΓ, τέτοια ώστε τοτόξο ΒΔ να είναι διπλάσιο του τόξου ΔΓ.Να υπολογίσετε:α) το μέτρο x του τόξου ΓΔ, μ 8β) τη γωνία ΒΟΔ, μ 9γ) τη γωνία ΒΑΔ. μ 8

2806. Δύο κύκλοι (Κ, ρ) , (Λ, R) τέμνονται σε δύο σημείαΑ,Β. Αν Γ και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του Α στουςδύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι:α) A B 90 μ 5β) τα σημεία Γ, Β, Δ είναι συνευθειακά. μ 10γ) το τετράπλευρο ΚΛΓΔ είναι τραπέζιο. μ 10

2810. Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ που είναιεγγεγραμμένο στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Τατμήματα ΓΖ και ΒΖ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα τουκύκλου στα σημεία Γ και Β αντίστοιχα. Αν το τμήμα ΘΗείναι κάθετο στο τμήμα ΑΖ στο Ζ, να αποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΖΒΓ είναι ισόπλευρο. μ 7β) Το τετράπλευρο ΑΓΖΒ είναι ρόμβος. μ 8γ) Το τετράπλευρο ΒΓΗΘ είναι τραπέζιο,

με B BZ και H 2B . μ 10

3714. Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε τα ίσα τόξα ΑΒ καιΑΓ, το καθένα ίσο με 120 . Έστω Δ και Ε τα μέσα των τόξων ΑΒ καιΑΓ αντίστοιχα.Να αποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. μ 8β) Τα τρίγωνα ΑΖΔ και ΑΗΕ είναι ίσα και να υπολογίσετε

τις γωνίες τους. μ 10

4ο ΘΕΜΑ

6587. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου (Ο, ρ)στο σημείο Γ.α) Να υπολογίσετε τις γωνίες χ,y και ω δικαιολογώντας σε

κάθε περίπτωση την απάντησή σας. μ 15β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΟΑΓ ως προς

τις πλευρές. μ 10

6588. Έστω κύκλος κέντρου Κ, μια διάμετρός του ΒΓ και σημείοΑ του κύκλου τέτοιο, ώστε BA K . Αν Δ τυχαίο σημείο τουκύκλου διαφορετικό των Β και Γ,α) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΚΑ είναι ισόπλευρο. μ 7β) να υπολογίσετε τη γωνία ΒΔΑ. μ 9γ) να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. μ 9

6886. Έστω κύκλος κέντρου Ο και διαμέτρου ΒΓ. Θεωρούμε τασημεία Α και Δ του κύκλου εκατέρωθεν της ΒΓ, τέτοια ώστε τοτόξο ΒΔ να είναι διπλάσιο του τόξου ΔΓ.Να υπολογίσετε:α) το μέτρο x του τόξου ΓΔ, μ 8β) τη γωνία ΒΟΔ, μ 9γ) τη γωνία ΒΑΔ. μ 8

2806. Δύο κύκλοι (Κ, ρ) , (Λ, R) τέμνονται σε δύο σημείαΑ,Β. Αν Γ και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του Α στουςδύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι:α) A B 90 μ 5β) τα σημεία Γ, Β, Δ είναι συνευθειακά. μ 10γ) το τετράπλευρο ΚΛΓΔ είναι τραπέζιο. μ 10

2810. Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ που είναιεγγεγραμμένο στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Τατμήματα ΓΖ και ΒΖ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα τουκύκλου στα σημεία Γ και Β αντίστοιχα. Αν το τμήμα ΘΗείναι κάθετο στο τμήμα ΑΖ στο Ζ, να αποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΖΒΓ είναι ισόπλευρο. μ 7β) Το τετράπλευρο ΑΓΖΒ είναι ρόμβος. μ 8γ) Το τετράπλευρο ΒΓΗΘ είναι τραπέζιο,

με B BZ και H 2B . μ 10

3714. Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε τα ίσα τόξα ΑΒ καιΑΓ, το καθένα ίσο με 120 . Έστω Δ και Ε τα μέσα των τόξων ΑΒ καιΑΓ αντίστοιχα.Να αποδείξετε ότι:α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. μ 8β) Τα τρίγωνα ΑΖΔ και ΑΗΕ είναι ίσα και να υπολογίσετε

τις γωνίες τους. μ 10

4ο ΘΕΜΑ

101

γε

ωμ

ετ

ρια

π

ερ

ιλα

μβ

άνει

την τ

ρά

πεζα

θεμ

άτω

να

΄ Λ

υκ

ειο

υΔ

ημ

ητ

ρη

ς Β

ρυ

ςα

Λη

ς

εΛ

εν

η κ

ου

ςο

υν

η

μαντζαγριωτάκη 89, 176 72 καλλιθέατηλ. / fax: 210 95 33 254 e-mail: [email protected]

ελ. Βενιζέλου 150, 176 76 καλλιθέατηλ.: 210 95 92 070 fax: 210 95 65 108e-mail: [email protected]

www.frontistiria-kallithea.gr

γεωμετριαπεριλαμβάνει την τράπεζα θεμάτων

α΄ λυκείου

επιμέλεια: Δημητρης ΒρυςαΛης εΛενη κουςουνη