3.5 | Vetores Ortogonais
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3.5 — Vetores Ortogonais Defini¸c˜ ao Seja V um espa¸co vetorial com produto interno. Dizemos que dois vetores u e v de V s˜ ao ditos ortogonais quando hu, vi = 0. Tal fato ´ e denotado por u⊥v. Espa¸cos com Produto Interno 1/9
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3.5 — Vetores Ortogonais
Definicao
Seja V um espaco vetorial com produto interno. Dizemos que doisvetores u e v de V sao ditos ortogonais quando 〈u, v〉 = 0. Tal fato edenotado por u⊥v.
Observacao
Sejam u e v dois vetores nao nulos em um espaco vetorial com produtointerno e seja θ o angulo entre estes vetores. Entao,
u⊥v ⇔ 〈u, v〉 = 0⇔ cos θ =〈u, v〉|u| |v|
= 0⇔ θ =π
2.
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3.5 — Vetores Ortogonais
Definicao
Seja V um espaco vetorial com produto interno. Dizemos que doisvetores u e v de V sao ditos ortogonais quando 〈u, v〉 = 0. Tal fato edenotado por u⊥v.
Observacao
Sejam u e v dois vetores nao nulos em um espaco vetorial com produtointerno e seja θ o angulo entre estes vetores. Entao,
u⊥v ⇔ 〈u, v〉 = 0⇔ cos θ =〈u, v〉|u| |v|
= 0⇔ θ =π
2.
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3.5 — Vetores Ortogonais
Exemplo
Seja V = R2 com o produto interno dado por〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2.
〈(1, 0), (−1, 2)〉 = 0 ∴ (1, 0)⊥(−1, 2).
〈(1, 0), (0, 1)〉 = 1 ∴ (1, 0) 6⊥(0, 1).
Observacoes
1 O vetor 0 ∈ V e ortogonal a qualquer vetor de V.
2 Se u⊥v, entao αu⊥v para todo α real.
3 Se u1⊥v e u2⊥v, entao (u1 + u2)⊥v.
4 Das observacoes acima, temos que dado v ∈ V o conjuntov⊥ = {u ∈ V ; u⊥v} e um subespaco vetorial de V.
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3.5 — Vetores Ortogonais
Exemplo
Seja V = R2 com o produto interno dado por〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2.
〈(1, 0), (−1, 2)〉 = 0 ∴ (1, 0)⊥(−1, 2).
〈(1, 0), (0, 1)〉 = 1 ∴ (1, 0) 6⊥(0, 1).
Observacoes
1 O vetor 0 ∈ V e ortogonal a qualquer vetor de V.
2 Se u⊥v, entao αu⊥v para todo α real.
3 Se u1⊥v e u2⊥v, entao (u1 + u2)⊥v.
4 Das observacoes acima, temos que dado v ∈ V o conjuntov⊥ = {u ∈ V ; u⊥v} e um subespaco vetorial de V.
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3.5 — Vetores Ortogonais
Exemplo
Seja V = R2 com o produto interno dado por〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2.
〈(1, 0), (−1, 2)〉 = 0 ∴ (1, 0)⊥(−1, 2).
〈(1, 0), (0, 1)〉 = 1 ∴ (1, 0) 6⊥(0, 1).
Observacoes
1 O vetor 0 ∈ V e ortogonal a qualquer vetor de V.
2 Se u⊥v, entao αu⊥v para todo α real.
3 Se u1⊥v e u2⊥v, entao (u1 + u2)⊥v.
4 Das observacoes acima, temos que dado v ∈ V o conjuntov⊥ = {u ∈ V ; u⊥v} e um subespaco vetorial de V.
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Exemplo
Seja V = R2 com o produto interno dado por〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2.
〈(1, 0), (−1, 2)〉 = 0 ∴ (1, 0)⊥(−1, 2).
〈(1, 0), (0, 1)〉 = 1 ∴ (1, 0) 6⊥(0, 1).
Observacoes1 O vetor 0 ∈ V e ortogonal a qualquer vetor de V.
2 Se u⊥v, entao αu⊥v para todo α real.
3 Se u1⊥v e u2⊥v, entao (u1 + u2)⊥v.
4 Das observacoes acima, temos que dado v ∈ V o conjuntov⊥ = {u ∈ V ; u⊥v} e um subespaco vetorial de V.
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3.5 — Vetores Ortogonais
Exemplo
Seja V = R2 com o produto interno dado por〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2.
〈(1, 0), (−1, 2)〉 = 0 ∴ (1, 0)⊥(−1, 2).
〈(1, 0), (0, 1)〉 = 1 ∴ (1, 0) 6⊥(0, 1).
Observacoes1 O vetor 0 ∈ V e ortogonal a qualquer vetor de V.
2 Se u⊥v, entao αu⊥v para todo α real.
3 Se u1⊥v e u2⊥v, entao (u1 + u2)⊥v.
4 Das observacoes acima, temos que dado v ∈ V o conjuntov⊥ = {u ∈ V ; u⊥v} e um subespaco vetorial de V.
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3.5 — Vetores Ortogonais
Exemplo
Seja V = R2 com o produto interno dado por〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2.
〈(1, 0), (−1, 2)〉 = 0 ∴ (1, 0)⊥(−1, 2).
〈(1, 0), (0, 1)〉 = 1 ∴ (1, 0) 6⊥(0, 1).
Observacoes1 O vetor 0 ∈ V e ortogonal a qualquer vetor de V.
2 Se u⊥v, entao αu⊥v para todo α real.
3 Se u1⊥v e u2⊥v, entao (u1 + u2)⊥v.
4 Das observacoes acima, temos que dado v ∈ V o conjuntov⊥ = {u ∈ V ; u⊥v} e um subespaco vetorial de V.
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3.5 — Vetores Ortogonais
Exemplo
Seja V = R2 com o produto interno dado por〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2.
〈(1, 0), (−1, 2)〉 = 0 ∴ (1, 0)⊥(−1, 2).
〈(1, 0), (0, 1)〉 = 1 ∴ (1, 0) 6⊥(0, 1).
Observacoes1 O vetor 0 ∈ V e ortogonal a qualquer vetor de V.
2 Se u⊥v, entao αu⊥v para todo α real.
3 Se u1⊥v e u2⊥v, entao (u1 + u2)⊥v.
4 Das observacoes acima, temos que dado v ∈ V o conjuntov⊥ = {u ∈ V ; u⊥v} e um subespaco vetorial de V.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Definicao
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Dizemos que umconjunto de vetores {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V e ortogonal quando doisvetores distintos quaisquer sao sempre ortogonais, isto e, 〈vi, vj〉 = 0sempre que i 6= j.
Exemplo
V = R4 com o produto interno usual;
Vetores v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1),v3 = (1,−1, 0, 0), ev4 = (0, 0, 1,−1)
〈v1, v2〉 = 〈v1, v3〉 = 〈v1, v4〉 = 〈v2, v3〉 = 〈v2, v4〉 = 〈v3, v4〉 = 0
∴ B = {v1, v2, v3, v4} e um conjunto ortogonal de vetores de R4.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Definicao
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Dizemos que umconjunto de vetores {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V e ortogonal quando doisvetores distintos quaisquer sao sempre ortogonais, isto e, 〈vi, vj〉 = 0sempre que i 6= j.
Exemplo
V = R4 com o produto interno usual;
Vetores v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1),v3 = (1,−1, 0, 0), ev4 = (0, 0, 1,−1)
〈v1, v2〉 = 〈v1, v3〉 = 〈v1, v4〉 = 〈v2, v3〉 = 〈v2, v4〉 = 〈v3, v4〉 = 0
∴ B = {v1, v2, v3, v4} e um conjunto ortogonal de vetores de R4.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Definicao
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Dizemos que umconjunto de vetores {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V e ortogonal quando doisvetores distintos quaisquer sao sempre ortogonais, isto e, 〈vi, vj〉 = 0sempre que i 6= j.
Exemplo
V = R4 com o produto interno usual;
Vetores v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1),v3 = (1,−1, 0, 0), ev4 = (0, 0, 1,−1)
〈v1, v2〉 = 〈v1, v3〉 = 〈v1, v4〉 = 〈v2, v3〉 = 〈v2, v4〉 = 〈v3, v4〉 = 0
∴ B = {v1, v2, v3, v4} e um conjunto ortogonal de vetores de R4.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Definicao
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Dizemos que umconjunto de vetores {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V e ortogonal quando doisvetores distintos quaisquer sao sempre ortogonais, isto e, 〈vi, vj〉 = 0sempre que i 6= j.
Exemplo
V = R4 com o produto interno usual;
Vetores v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1),v3 = (1,−1, 0, 0), ev4 = (0, 0, 1,−1)
〈v1, v2〉 = 〈v1, v3〉 = 〈v1, v4〉 = 〈v2, v3〉 = 〈v2, v4〉 = 〈v3, v4〉 = 0
∴ B = {v1, v2, v3, v4} e um conjunto ortogonal de vetores de R4.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Definicao
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Dizemos que umconjunto de vetores {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V e ortogonal quando doisvetores distintos quaisquer sao sempre ortogonais, isto e, 〈vi, vj〉 = 0sempre que i 6= j.
Exemplo
V = R4 com o produto interno usual;
Vetores v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1),v3 = (1,−1, 0, 0), ev4 = (0, 0, 1,−1)
〈v1, v2〉 = 〈v1, v3〉 = 〈v1, v4〉 = 〈v2, v3〉 = 〈v2, v4〉 = 〈v3, v4〉 = 0
∴ B = {v1, v2, v3, v4} e um conjunto ortogonal de vetores de R4.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Propriedade
Um conjunto ortogonal de vetores nao nulos A = {v1, v2, . . . , vn} elinearmente independente (LI).
Definicao
Dizemos que uma base B = {v1, v2, . . . , vn} de V e ortogonal quando Be um conjunto ortogonal. Se, alem disto, todos os seus vetores foremunitarios, isto e, |vi| = 1 para todo i = 1, . . . , n, dizemos que B e umabase ortonormal.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Propriedade
Um conjunto ortogonal de vetores nao nulos A = {v1, v2, . . . , vn} elinearmente independente (LI).
Definicao
Dizemos que uma base B = {v1, v2, . . . , vn} de V e ortogonal quando Be um conjunto ortogonal. Se, alem disto, todos os seus vetores foremunitarios, isto e, |vi| = 1 para todo i = 1, . . . , n, dizemos que B e umabase ortonormal.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Observacao
B = {v1, v2, . . . , vn}: base ortogonal de V.
w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn ∈ V.
Efetuando o produto interno de w por vi obtemos
〈w, vi〉 = 〈a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, vi〉〈w, vi〉 = a1 〈v1, vi〉+ a2 〈v2, a2〉+ · · ·+ an 〈vn, vi〉〈w, vi〉 = ai 〈vi, vi〉 pois 〈vj , vi〉 = 0 quando i 6= j.
Conclusao: a i-esima coordenada de w na base B e dada por
ai =〈w, vi〉〈vi, vi〉
.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Observacao
B = {v1, v2, . . . , vn}: base ortogonal de V.
w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn ∈ V.
Efetuando o produto interno de w por vi obtemos
〈w, vi〉 = 〈a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, vi〉〈w, vi〉 = a1 〈v1, vi〉+ a2 〈v2, a2〉+ · · ·+ an 〈vn, vi〉〈w, vi〉 = ai 〈vi, vi〉 pois 〈vj , vi〉 = 0 quando i 6= j.
Conclusao: a i-esima coordenada de w na base B e dada por
ai =〈w, vi〉〈vi, vi〉
.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Observacao
B = {v1, v2, . . . , vn}: base ortogonal de V.
w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn ∈ V.
Efetuando o produto interno de w por vi obtemos
〈w, vi〉 = 〈a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, vi〉〈w, vi〉 = a1 〈v1, vi〉+ a2 〈v2, a2〉+ · · ·+ an 〈vn, vi〉〈w, vi〉 = ai 〈vi, vi〉 pois 〈vj , vi〉 = 0 quando i 6= j.
Conclusao: a i-esima coordenada de w na base B e dada por
ai =〈w, vi〉〈vi, vi〉
.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Observacao
B = {v1, v2, . . . , vn}: base ortogonal de V.
w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn ∈ V.
Efetuando o produto interno de w por vi obtemos
〈w, vi〉 = 〈a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, vi〉
〈w, vi〉 = a1 〈v1, vi〉+ a2 〈v2, a2〉+ · · ·+ an 〈vn, vi〉〈w, vi〉 = ai 〈vi, vi〉 pois 〈vj , vi〉 = 0 quando i 6= j.
Conclusao: a i-esima coordenada de w na base B e dada por
ai =〈w, vi〉〈vi, vi〉
.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Observacao
B = {v1, v2, . . . , vn}: base ortogonal de V.
w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn ∈ V.
Efetuando o produto interno de w por vi obtemos
〈w, vi〉 = 〈a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, vi〉〈w, vi〉 = a1 〈v1, vi〉+ a2 〈v2, a2〉+ · · ·+ an 〈vn, vi〉
〈w, vi〉 = ai 〈vi, vi〉 pois 〈vj , vi〉 = 0 quando i 6= j.
Conclusao: a i-esima coordenada de w na base B e dada por
ai =〈w, vi〉〈vi, vi〉
.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Observacao
B = {v1, v2, . . . , vn}: base ortogonal de V.
w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn ∈ V.
Efetuando o produto interno de w por vi obtemos
〈w, vi〉 = 〈a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, vi〉〈w, vi〉 = a1 〈v1, vi〉+ a2 〈v2, a2〉+ · · ·+ an 〈vn, vi〉〈w, vi〉 = ai 〈vi, vi〉 pois 〈vj , vi〉 = 0 quando i 6= j.
Conclusao: a i-esima coordenada de w na base B e dada por
ai =〈w, vi〉〈vi, vi〉
.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Observacao
B = {v1, v2, . . . , vn}: base ortogonal de V.
w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn ∈ V.
Efetuando o produto interno de w por vi obtemos
〈w, vi〉 = 〈a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, vi〉〈w, vi〉 = a1 〈v1, vi〉+ a2 〈v2, a2〉+ · · ·+ an 〈vn, vi〉〈w, vi〉 = ai 〈vi, vi〉 pois 〈vj , vi〉 = 0 quando i 6= j.
Conclusao: a i-esima coordenada de w na base B e dada por
ai =〈w, vi〉〈vi, vi〉
.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base ortogonal de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1), v3 = (1,−1, 0, 0) ev4 = (0, 0, 1,−1).
w = (1, 2, 3, 4) ∈ R4.
w = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4, onde:
a1 = 〈w,v1〉〈v1,v1〉 = 5
2 ;
a2 = 〈w,v2〉〈v2,v2〉 = −1;
a3 = 〈w,v3〉〈v3,v3〉 = −1
2 ; e
a4 = 〈w,v4〉〈v4,v4〉 = −1
2 .
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base ortogonal de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1), v3 = (1,−1, 0, 0) ev4 = (0, 0, 1,−1).
w = (1, 2, 3, 4) ∈ R4.
w = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4, onde:
a1 = 〈w,v1〉〈v1,v1〉 = 5
2 ;
a2 = 〈w,v2〉〈v2,v2〉 = −1;
a3 = 〈w,v3〉〈v3,v3〉 = −1
2 ; e
a4 = 〈w,v4〉〈v4,v4〉 = −1
2 .
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base ortogonal de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1), v3 = (1,−1, 0, 0) ev4 = (0, 0, 1,−1).
w = (1, 2, 3, 4) ∈ R4.
w = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4, onde:
a1 = 〈w,v1〉〈v1,v1〉 = 5
2 ;
a2 = 〈w,v2〉〈v2,v2〉 = −1;
a3 = 〈w,v3〉〈v3,v3〉 = −1
2 ; e
a4 = 〈w,v4〉〈v4,v4〉 = −1
2 .
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base ortogonal de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1), v3 = (1,−1, 0, 0) ev4 = (0, 0, 1,−1).
w = (1, 2, 3, 4) ∈ R4.
w = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4, onde:
a1 = 〈w,v1〉〈v1,v1〉 = 5
2 ;
a2 = 〈w,v2〉〈v2,v2〉 = −1;
a3 = 〈w,v3〉〈v3,v3〉 = −1
2 ; e
a4 = 〈w,v4〉〈v4,v4〉 = −1
2 .
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base ortogonal de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1), v3 = (1,−1, 0, 0) ev4 = (0, 0, 1,−1).
w = (1, 2, 3, 4) ∈ R4.
w = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4, onde:
a1 = 〈w,v1〉〈v1,v1〉 = 5
2 ;
a2 = 〈w,v2〉〈v2,v2〉 = −1;
a3 = 〈w,v3〉〈v3,v3〉 = −1
2 ; e
a4 = 〈w,v4〉〈v4,v4〉 = −1
2 .
Espacos com Produto Interno 6 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base ortogonal de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1), v3 = (1,−1, 0, 0) ev4 = (0, 0, 1,−1).
w = (1, 2, 3, 4) ∈ R4.
w = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4, onde:
a1 = 〈w,v1〉〈v1,v1〉 = 5
2 ;
a2 = 〈w,v2〉〈v2,v2〉 = −1;
a3 = 〈w,v3〉〈v3,v3〉 = −1
2 ; e
a4 = 〈w,v4〉〈v4,v4〉 = −1
2 .
Espacos com Produto Interno 6 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base ortogonal de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1,−1,−1), v3 = (1,−1, 0, 0) ev4 = (0, 0, 1,−1).
w = (1, 2, 3, 4) ∈ R4.
w = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4, onde:
a1 = 〈w,v1〉〈v1,v1〉 = 5
2 ;
a2 = 〈w,v2〉〈v2,v2〉 = −1;
a3 = 〈w,v3〉〈v3,v3〉 = −1
2 ; e
a4 = 〈w,v4〉〈v4,v4〉 = −1
2 .
Espacos com Produto Interno 6 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto interno 〈, 〉.Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V. Sejam
w1 = v1;
w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
. . .;
wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈v3,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Espacos com Produto Interno 7 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto interno 〈, 〉.Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V. Sejam
w1 = v1;
w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
. . .;
wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈v3,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
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3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto interno 〈, 〉.Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V. Sejam
w1 = v1;
w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
. . .;
wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈v3,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Espacos com Produto Interno 7 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto interno 〈, 〉.Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V. Sejam
w1 = v1;
w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
. . .;
wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈v3,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Espacos com Produto Interno 7 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto interno 〈, 〉.Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V. Sejam
w1 = v1;
w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
. . .;
wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈v3,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Espacos com Produto Interno 7 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto interno 〈, 〉.Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V. Sejam
w1 = v1;
w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
. . .;
wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈v3,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Espacos com Produto Interno 7 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto interno 〈, 〉.Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V. Sejam
w1 = v1;
w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
. . .;
wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈v3,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Espacos com Produto Interno 7 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) e v4 = (0, 1, 0, 1).
Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
w1 = (1, 1, 0, 0);
w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Espacos com Produto Interno 8 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) e v4 = (0, 1, 0, 1).
Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
w1 = (1, 1, 0, 0);
w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Espacos com Produto Interno 8 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) e v4 = (0, 1, 0, 1).
Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
w1 = (1, 1, 0, 0);
w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Espacos com Produto Interno 8 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) e v4 = (0, 1, 0, 1).
Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
w1 = (1, 1, 0, 0);
w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Espacos com Produto Interno 8 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) e v4 = (0, 1, 0, 1).
Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
w1 = (1, 1, 0, 0);
w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Espacos com Produto Interno 8 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) e v4 = (0, 1, 0, 1).
Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
w1 = (1, 1, 0, 0);
w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Espacos com Produto Interno 8 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) e v4 = (0, 1, 0, 1).
Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
w1 = (1, 1, 0, 0);
w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Espacos com Produto Interno 8 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Propriedades
Sejam V, B e B′ como descritos acima. Sao validas as seguintespropriedades.
B′ e uma base ortogonal de V.
Para todo i = 1, . . . , n, [v1, v2, . . . , vi] = [w1, w2, . . . , wi].
Para se obter uma base ortonormal de V, basta tomarmos
B′′ = {w1/ |w1| , . . . , wn/ |wn|}
.
Espacos com Produto Interno 9 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Propriedades
Sejam V, B e B′ como descritos acima. Sao validas as seguintespropriedades.
B′ e uma base ortogonal de V.
Para todo i = 1, . . . , n, [v1, v2, . . . , vi] = [w1, w2, . . . , wi].
Para se obter uma base ortonormal de V, basta tomarmos
B′′ = {w1/ |w1| , . . . , wn/ |wn|}
.
Espacos com Produto Interno 9 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Propriedades
Sejam V, B e B′ como descritos acima. Sao validas as seguintespropriedades.
B′ e uma base ortogonal de V.
Para todo i = 1, . . . , n, [v1, v2, . . . , vi] = [w1, w2, . . . , wi].
Para se obter uma base ortonormal de V, basta tomarmos
B′′ = {w1/ |w1| , . . . , wn/ |wn|}
.
Espacos com Produto Interno 9 / 9
3.6 — Conjunto Ortogonal de Vetores
Propriedades
Sejam V, B e B′ como descritos acima. Sao validas as seguintespropriedades.
B′ e uma base ortogonal de V.
Para todo i = 1, . . . , n, [v1, v2, . . . , vi] = [w1, w2, . . . , wi].
Para se obter uma base ortonormal de V, basta tomarmos
B′′ = {w1/ |w1| , . . . , wn/ |wn|}
.
Espacos com Produto Interno 9 / 9
![Measurement⁃BasedChannelCharacterizationfor ... - ZTE · PDF file(d0)=-43:5 at 3.5 GHz.Accordingto[14]-[16], γ shouldbe between 2 to 5 intypi γ at 3.5 GHzmaybecausedbythehighfrequencybandand](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5a84d7ef7f8b9a882e8bce09/measurementbasedchannelcharacterizationfor-zte-d0-435-at-35.jpg)
