∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 16

1

ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ16 ΘΕΜΑ 1: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:

nnnf

nnnnf

nnnnf

log3

432

1121

2log)(

loglog)(

loglog)(

=

+=

+=

Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f

≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <

g), αν f = o(g).

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 16

2

(Β) Να λύσετε τις αναδροµές:

nn

Tn

TnT +

+

=5

4

5)()1(

nn

Tn

TnT 2log12

3

7

4)()2( +

+

=

nn

Tn

TnT +

+

=6

5

7

4)()3(

Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.

Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και

f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:

log log( ) ( ), ( )b ba a(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−= Θ= Θ= Θ= Θ

log log( ) ( ), ( log )b ba a(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ

log( ) ( ), ,

( ( )).

b a0

0

(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια

n ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n

b

εεεε++++= Ω= Ω= Ω= Ω

≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 16

3

ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ

Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:

L1 = 1*001*001*001*

L2 = (01+1011+0)*

L3 = 1*00*0+ 0*01*1

L4 = (0+1)*10*1*1(11)*(00)*

L5 = (100*110*1*)*

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 16

4

Άσκηση 2: ∆ίδεται η κανονική έκφραση: 1*0*1*

(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L

(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L

(Γ) Απλοποιήστε το παραπάνω ΝΠΑ

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 16

5

ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΩΝ ∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:

L = 10| ≥ 0

L = 1010|, ≥ 0

L = 0100|, ≥ 0

L = 10|, ≥ 0

L = | ∈ , ∗

L = 01| ≥ 0

L = ()| ≥ 0

L = () |, ≥ 0

L! = ()|, ≥ 0

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 16

6

Άσκηση 2

∆ίδεται η γλώσσα

(A) ∆είξτε ότι η L δεν είναι κανονική

(Β) ∆ώστε Γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της L

(Γ) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L.

Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:

Έστω " µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός # (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε $ ∈ " µε |%| ≥ # να

µπορεί να γραφεί στην µορφή $ = &'( όπου για τις συµβολοσειρές &, ' και ( ισχύει:

|&'| ≤ #

' ≠ +

&',( ∈ " για κάθε φυσικό , ≥ -

0,|10 ≥= mnbaL mmnn