3. M¶etodo de Rayleigh-Ritz - Usuarios de...

Universidad Simon Bolıvar Introduccion al MEF

3. Metodo de Rayleigh-Ritz

La solucion del problema de elasticidad consiste en encontrar la funcion des-plazamiento u valida para todo el dominio Ω y que verifique las condiciones decontorno.

El metodo de Rayleigh-Ritz propone una solucion aproximada para resolverel problema de elasticidad en su formulacion energetica. La solucion aproximadaesta basada en el metodo de separacion de variables (i.e. la componente espaciales independiente de la componente temporal) y en la idea de que una funcioncontinua puede ser expresada como combinacion lineal de un numero grande defunciones, i.e.:

u(x,t) ≈m∑

j=1

φj(x) qj(t) = Φ(x) q(t) (3.1)

Las funciones φj(x) son llamadas funciones de Ritz y deben cumplir con las si-

guientes condiciones:

Deben verificar las condiciones de borde esenciales o de desplazamiento paratoda la frontera Γ del solido.

Deben ser continuas y diferenciables para todo el dominio Ω y de un ordenigual o superior al de los operadores diferenciales presentes en las ecuaciones.

Si el numero m de funciones de Ritz tiende a infinito la solucion aproximada tiendea la solucion exacta.

La matriz Φ en el caso mas general tiene dimension 3 ×m y el vector q tienedimension m.

3.1. Energıa interna de deformacion (matriz de rigidez)

Introduciendo la aproximacion de Rayleigh-Ritz en la energıa interna de defor-macion U , tenemos:

U =1

2

∫

ΩuTLTDLu dV =

1

2

∫

ΩqT

(t)ΦT(x)L

TDLΦ(x) q(t) dV (3.2)

Definiendo la matriz B como el resultado de la aplicacion del operador diferenciala la matriz de funciones de Rits, i.e.:

B(x) = LΦ(x) (3.3)

Euro Casanova, 2005 14


El vector de deformaciones toma la forma:

ε = B(x)q(t) (3.4)

El vector de esfuerzos toma la forma:

σ = DB(x)q(t) (3.5)

La energıa interna de deformacion U toma la forma:

U =1

2

∫

ΩqT

(t)BT(x)DB(x) q(t) dV (3.6)

De esta ultima expresion es evidente que el vector de coeficientes q(t) puede salirdel integral, puesto que no depende de las coordenadas espaciales, entonces:

U =1

2qT

(t) Kq(t) (3.7)

Donde K se denomina la matriz de rigidez global y se calcula como:

K =

∫

ΩBT

(x)DB(x) dV (3.8)

Esta matriz es de dimension m×m y resulta ser simetrica, i.e. K = KT .

3.2. Energıa cinetica (matriz de masa)

A partir de la aproximacion de Rayleigh-Ritz es posible calcular la funcionvelocidad u como:

u ≈ d

dt

(Φ(x) q(t)

)= Φ(x) q(t) (3.9)

Introduciendo esta aproximacion en la energıa cinetica T , tenemos:

T =1

2

∫

Ωρ uT u dV =

1

2

∫

Ωρ qT

(t)ΦT(x)Φ(x) q(t) dV (3.10)

En esta expresion es evidente que el vector de coeficientes q(t) puede salir delintegral, entonces:

T =1

2qT

(t) Mq(t) (3.11)

Donde M se denomina la matriz de masa global y se calcula como:

M =

∫

Ωρ ΦT

(x)Φ(x) dV (3.12)

Esta matriz es de dimension m×m y resulta ser simetrica, i.e. M = MT .



3.3. Trabajo de la fuerzas conservativas (vector de fuerza)

Introduciendo la aproximacion de Rayleigh-Ritz en la expresion para el trabajode las fuerzas conservativas externas WE(C) y notando que ui = Φ(xi) q(t), tenemos:

WC(E) =

∫

ΩuT g dV +

∫

ΓuT t dS +

∑

i

uTi pi

=

∫

ΩqT

(t)ΦT(x) g(x,t) dV +

∫

ΓqT

(t)ΦT(x) t(x,t) dS +

∑i

qT(t)Φ

T(xi) pi(t)

= qT(t) f(t)

Donde f(t) se denomina el vector de fuerzas global y se calcula como:

f(t) =

∫

ΩΦT

(x) g(x,t) dV +

∫

ΓΦT

(x) t(x,t) dS +∑

i

ΦT(xi) pi(t) (3.13)

Este vector es de dimension m.

3.4. Ecuaciones de movimiento

Tomando en cuenta los resultados expuestos mas arriba, la energıa potencialtotal y la energıa cinetica toman las siguientes formas discretas.

Π =1

2qT

(t) Kq(t) − qT(t) f(t) (3.14)

T =1

2qT

(t) Mq(t) (3.15)

Notese que la dimension de las matrices y vectores que conforman estas expresio-nes resulta ser igual al numero de funciones de Ritz utilizadas en la aproximacion,i.e. m. En consecuencia, estas expresiones pueden ser introducidas en problemadinamico formulado en la seccion 2.1.2, habiendo entonces m ecuaciones de La-grange de la forma:

d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj+

∂Π

∂qj= 0 j = 1, . . . , m (3.16)

Al introducir la energıa potencial total Π, en la j-esima ecuacion de Lagrangey tomando en cuenta que la matriz de rigidez es simetrica (i.e. K = KT ⇒



Kij = Kji), tenemos:

∂Π

∂qj=

∂

∂qj

[1

2qT

(t) Kq(t) − qT(t) f(t)

]

=∂

∂qj

[1

2qT

(t) Kq(t)

]− ∂

∂qj

[qT

(t) f(t)

]

=∂

∂qj

[1

2

m∑i=1

m∑

k=1

Kikqiqk

]− ∂

∂qj

[m∑

i=1

fiqi

]

=1

2

[m∑

k

Kjkqk +m∑

i=1

Kijqi

]− fj

=1

2

m∑

i=1

(Kjiqi + Kijqi)− fj

=m∑

i=1

Kjiqi − fj

Ası, escribiendo para los m grados de libertad, tenemos:

∂Π

∂q1=

m∑i=1

K1iqi − f1

∂Π

∂q2=

m∑i=1

K2iqi − f2 ⇒ ∂Π

∂qj

∣∣∣∣∣j=1...m

= Kq(t) − f(t)

...

∂Π

∂qm=

m∑

i=1

Kmiqi − fm

En el caso de la energıa cinetica, de forma analoga y tomando en cuenta que la



matriz de masa M solo depende de las coordenadas espaciales, tenemos:

∂T

∂qj

∣∣∣∣∣j=1...m

= 0

∂T

∂qj

∣∣∣∣∣j=1...m

= Mq(t)

d

dt

(∂T

∂qj

) ∣∣∣∣∣j=1...m

= Mq(t)

Finalmente, el problema discreto se escribe como:

Mq(t) + Kq(t) = f(t) (3.17)

Es importante resaltar que las condiciones de borde esenciales ya estan incluidasdentro de esta formulacion puesto que las funciones de Ritz utilizadas las verifican.En consecuencia, solo es necesario incluir las condiciones iniciales, i.e.:

u = u0 en Ω , t = t0u = u0 en Ω , t = t0

En general, lo que se busca al resolver este problema es el valor de q(t), ya quecon este vector es posible calcular la funcion desplazamiento u(x,t) mediante:

u(x,t) = Φ(x)q(t) (3.18)

Una vez obtenida la funcion u(x,t) se puede proceder a estimar otras funcionesde interes como lo son las deformaciones y los esfuerzos:

ε(x,t) = B(x)q(t) σ(x,t) = DB(x)q(t) = Dε(x,t) (3.19)

3.5. Limitaciones del metodo de Rayleigh-Ritz

La ventaja principal del metodo de Rayleigh-Ritz es su sencillez conceptual y suexcelente precision cuando se eligen funciones de Ritz, aun en un numero reducido,que se asemejan bastante a la funcion u que se desea aproximar. Sin embargo, estemetodo presenta varias desventajas que hacen difıcil su aplicacion sistematica(programable) para la resolucion de problemas generales de elasticidad. Entreestas desventajas tenemos:



Las funciones de Ritz deben ser escogidas por el usuario y en general, sondiferentes para cada problema. De hecho, la precision del metodo dependefuertemente de las funciones escogidas.

Las funciones de Ritz escogidas deben ser validas para todo el dominio delproblema, lo que representa una dificultad para problemas reales donde losdominios tienen geometrıas tridimensionales complejas.

Las funciones de Ritz deben verificar las condiciones esenciales en la fronteradel dominio, lo que puede representar un dificultad enorme para un problemareal.


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