3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ …...Α 02/04/2018 ΕΩ 14/04/2018 3η...

ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018

3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3

ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018

Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου 2 2 2:c x y σε ένα σημείο του

1 1,x y έχει εξίσωση: 2

1 1xx yy .

Μονάδες 10

A2. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και .

Μονάδες 5

Α3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη

λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη.

i. Αν ( , ) τότε 1 .

ii. Ισχύει για οποιαδήποτε διανύσματα , και .

iii. Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο 0 0( , )x y έχουν εξίσωση της μορφής

0 0( )y y x x .

iv. Η ακτίνα ρ του κύκλου 2 2 2:c x y είναι ίση με α.

v. Αν 2 2 4 , τότε η εξίσωση 2 2 0x y x y παριστάνει κύκλο.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται τα διανύσματα , , με (1, 3) , (1,2) και 4 .

Β1. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος και στη συνέχεια το εσωτερικό

γινόμενο .

Μονάδες 7

ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018



Β2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x x .

Μονάδες 6

Β3. Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων και .

Μονάδες 6

Β4. Αν 2( 4, )u να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε u .

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται τα σημεία Α(3, 2), Β(5, α-1) και Γ(4, 1).

Γ1. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α τα σημεία Α, Β και Γ είναι κορυφές

τριγώνου;

Μονάδες 6

Γ2. Αν το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με 2 να βρείτε τις τιμές του α.

Μονάδες 6

Γ3. Για 3 να βρείτε τις εξισώσεις της πλευράς ΒΓ και της διαμέσου ΑΜ.

Μονάδες 7

Γ4. Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ΒΓ και : 3 2 7 0x y .

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η εξίσωση 2 2 2 (2 6) 5 2 0 (1)x y x y .

Δ1. Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε πραγματικό αριθμό λ των οποίων να

βρείτε τα κέντρα και την ακτίνα.

Μονάδες 6

ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018



Δ2. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων.

Μονάδες 6

Δ3. Να βρείτε ποιος από τους παραπάνω κύκλους εφάπτεται στον άξονα 'y y .

Μονάδες 6

Δ4. Να βρείτε ποιο σημείο του γεωμετρικού τόπου των κέντρων των κύκλων απέχει

ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων και στη συνέχεια να υπολογίσετε πόσο είναι

αυτή.

Μονάδες 7

ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018



ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018

Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Θεωρία σελίδα 83.

Α2. Θεωρία σελίδα 41.

Α3. i. Σωστό ii. Λάθος iii. Λάθος iv. Λάθος v. Σωστό

ΘΕΜΑ Β

Β1. Είναι 4 (1, 3) 4(1,2) (1, 3) (4,8) (1 4, 3 8) (5,5) και

1 1 ( 3) 2 1 6 5 .

Β2. Έστω ω η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x x . Ισχύει ότι

51

5 . Όμως είναι x=5>0 και y=5>0 άρα 0

2

. Επομένως

4

.

Β3. Είναι 2 2 2 2

5 5 5 5,

| | | | 10 5 2 5 5 5 21 ( 3) 1 2

1 2

22

. Άρα η γωνία των διανυσμάτων και είναι ίση με

3

4

.

Β4. Ισχύει u οπότε 2 20 4 ( 3) ( ) 0 3 4 0 4 1u ή .

ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018



ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Για να είναι τα σημεία Α, Β και Γ κορυφές τριγώνου πρέπει τα διανύσματα και

να είναι μη συγγραμμικά. Είναι:

(5 3, 1 2) (2, 3) και (4 3,1 2) (1, 1) . Η ορίζουσά τους είναι

2 3

det , 2 ( 1) 1 ( 3) 2 3 11 1

.

Πρέπει det , 0 οπότε 1 0 δηλαδή 1 . Άρα τα σημεία Α, Β, Γ

σχηματίζουν τρίγωνο για κάθε 1 .

Γ2. 1 12 det , 2 1 2 1 4 1 4 1 4

2 2ή

5 3ή . Οι τιμές είναι δεκτές.

Γ3. Για 3 είναι (5, 4) . Η ευθεία ΒΓ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης

1

1 ( 4) 55

4 5 1

και εξίσωση 1 5( 4) 5 20 1 5 21y x y x y x .

Έστω Μ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ. Θα έχει συντεταγμένες 5 4 9

2 2x

και

4 1 3

2 2y

. Επομένως θα είναι

9 3,

2 2

. Η ευθεία ΑΜ θα έχει συντελεστή

διεύθυνσης 2

3 72

72 29 3 3

32 2

. Η εξίσωσή της θα είναι:

72 ( 3) 3 6 7( 3) 3 6 7 21 7 3 27 0

3y x y x y x x y .

Γ4. Ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία ΒΓ: 5 21 0x y είναι το (1, 5)a . Ένα

διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία : 3 2 7 0x y είναι το (2,3) .

Η γωνία θ των δύο ευθειών ισούται με τη γωνία των διανυσμάτων και οπότε:

2 2 2 2

1 2 ( 5) 3 2 15 13 13 2

226 13 2 13 13 13 21 ( 5) 2 3

ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018



Άρα 0135 οπότε η οξεία γωνία των δύο ευθειών είναι ίση με 045 .

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Είναι 2 2 2 24 ( 2 ) (2 6) 4(5 2 ) 2 2 2 24 4 24 36 20 8 8 16 16 8( 2 2) 0 για κάθε

επειδή το τριώνυμο 2 2 2 έχει διακρίνουσα 4 8 4 0 και θα είναι

2 2 2 0 για κάθε . Επομένως η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε .

Τα κέντρα των κύκλων της εξίσωσης (1) είναι 2 2 6

,2 2

δηλαδή ,3 με

. Οι ακτίνες των κύκλων της (1) θα δίνονται από την ισότητα 2

28( 2 2)2( 2 2)

2

με .

Δ2. Έστω ( , )x y τα κέντρα των κύκλων της εξίσωσης (1). Είναι 3

x

y

, .

Επομένως 3y x . Άρα ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων είναι η ευθεία

3y x .

Δ3. Για να εφάπτεται ο κύκλος 1c στον άξονα y y πρέπει να ισχύει:

2 2 2 2, 2( 2 2) 2 4 4 4 4 0d K y y

2( 2) 0 2 0 2 .

Επομένως η εξίσωση του κύκλου είναι: 2 2

1 : 4 2 1 0c x y x y . Θα έχει κέντρο το

σημείο 2(2,1) και ακτίνα ίση με 22(2 2 2 2) 4 2 .

Δ4. Για να προσδιορίσουμε το σημείο Δ της ευθείας : 3y x που απέχει ελάχιστη

απόσταση από την αρχή των αξόνων Ο, θα βρούμε την ευθεία ζ που διέρχεται από το Ο και

είναι κάθετη στην ευθεία ε. Το ζητούμενο σημείο Δ είναι το σημείο τομής των ευθειών ε

και ζ.

1 1 1 1 . Άρα η ευθεία ζ έχει εξίσωση y x .

ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018



3

3 3 2 3 2

3

2

xy x x x x

y x y x y xy

οπότε είναι 3 3

,2 2

.

Είναι: min 2 2

0 0 3 3 3 2,

221 1d d O

.

3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ …...Α 02/04/2018 ΕΩ 14/04/2018 3η...

Documents

Transcript of 3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ …...Α 02/04/2018 ΕΩ 14/04/2018 3η...