2013-hel.pdf
2
Language: Greek Day: 1 Τρίτη, 23 Ιουλίου 2013 Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζευγάρι θετικών ακεραίων k και n, υπάρχουν k θετικοί ακέραιοι m 1 ,m 2 ,...,m k (όχι κατ΄ ανάγκη διαφορετικοί) τέτοιοι ώστε 1+ 2 k - 1 n = 1+ 1 m 1 1+ 1 m 2 ··· 1+ 1 m k . Πρόβλημα 2. ΄Ενας σχηματισμός που δημιουργείται με την τοποθέτηση 4027 σημείων στο επίπεδο λέγεται Κολομβιανός, αν αποτελείται από 2013 κόκκινα σημεία και 2014 μπλέ σημεία και δεν υπάρχουν τρία σημεία του σχηματισμού που να είναι συνευθειακά. Με χάραξη κάποιων ευθειών το επίπεδο διαιρείται σε διάφορα χωρία. Μια χάραξη ευθειών είναι καλή για έναν Κολομβιανό σχηματισμό, αν ισχύουν οι επόμενες δύο συνθήκες: • δεν υπάρχει ευθεία που περνάει από κάποιο σημείο του σχηματισμού, • δεν υπάρχει χωρίο που περιέχει σημεία και των δύο χρωμάτων. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τμή του k έτσι ώστε για κάθε Κολομβιανό σχηματισμό 4027 σημείων, να υπάρχει μια καλή χάραξη k ευθειών. Πρόβλημα 3. ΄Εστω ο παρεγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC απέναντι της κορυφής A εφάπτεται της πλευράς BC στο σημείο A 1 . Ομοίως ορίζουμε τα σημεία B 1 πάνω στην πλευρά CA και C 1 πάνω στην πλευρά AB, χρησιμοποιώντας τους παρεγεγραμμένους κύκλους απέναντι των κορυφών B και C , αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου A 1 B 1 C 1 βρίσκεται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ABC ειναι ορθογώνιο. Ο παρεγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC απέναντι της κορυφής A είναι ο κύκλος που εφάπτεται στο ευθύγραμμο τμήμα BC , στην ημιευθεία AB πέραν του B και στην ημιευθεία AC πέραν του C . Οι παρεγεγραμμένοι κύκλοι απέναντι των κορυφών B και C ορίζονται ομοίως. Language : Greek Διάρκεια Διαγωνισμού: 4 ώρες και 30 λεπτά Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 7 μονάδες
-
Upload
polyushkopolye -
Category
Documents
-
view
218 -
download
1
Transcript of 2013-hel.pdf
-
Language: Greek
Day: 1
, 23 2013
1. k n, k m1,m2, . . . ,mk ( v )
1 +2k 1
n=
(1 +
1
m1
)(1 +
1
m2
)
(1 +
1
mk
).
2. 4027 , 2013 2014 . . , :
,
.
k 4027 , k .
3. ABC A BC A1. B1 CA C1 AB, B C,. A1B1C1 ABC. ABC .
ABC A BC, AB B AC C. B C .
Language : Greek : 4 30 7
-
Language: Greek
Day: 2
, 24 2013
4. ABC H W BC, B C. M N B C, . 1 BWN X 1 WX 1. , 2 CWM Y 2 WY 2. X, Y H .
5. Q>0 . f : Q>0 R :
(i) x, y Q>0, f(x)f(y) f(xy),
(ii) x, y Q>0, f(x+ y) f(x) + f(y),
(iii) a > 1 f(a) = a.
f(x) = x, x Q>0.
6. n 3 . n + 1 n + 1 . 0, 1, . . . , n . , . , , a < b < c < d a + d = b + c, a d b c.
M N (x, y), x, y , x+ y n MK(x, y) = 1.
M = N + 1.
Language : Greek : 4 30 7
