1

Courant alternatif

v 6

17

2

Courant alternatif, à la maison

230 V 50 Hz

tri-phase

"phase""neutre"

chaque "phase"est décalée de 120°

3

Valeur efficace

V(t) = V0 sin(ωt + φ)

La fonction qui représente la tensionalternative au cours du temps:

V0 représente l'amplitude maximale, φ la phase à t=0, ω = 2πνoù ν est la fréquence (dans la figure V0=325, φ=0, ν=50 Hz).Si cette tension est appliquée à une résistance R, le courant vautI(t) = V(t)/R et la puissance instantanée vaut

P(t) = I(t)V(t) = V(t)2/RLa valeur moyenne (efficace) sur une période T=1/ν:

!

Peff =1

R

1

TV0 sin("t)( )

2dt

0

T

# =1

R

V02

2

4

Valeur efficace .2

!

Peff

=1

R

V0

2

2

La puissance moyenne vaut donc

Par comparaison à l'expression valable en cc: P=V2/R, on tirela valeur efficace du courant alternatif: Veff = V0/√ 2

V(efficace) =

!

V0

2=V

0/1.414

V0

où V0 est l'amplitude du courant alternatif.

Ex: dans le cas du courant à 230 V on a: V0 = 230 × 1.414 = 325 V

De même I(efficace) = I0/1.414

5

RéactancePar la loi de Lenz, une inductance L s'oppose à un changementdu flux magnétique à son intérieur, donc à un changement ducourant qui la traverse. Dans le cas du courant alternatif, on aun changement continu du courant, à la fréquence ν.L'inductance L oppose une forme de "résistance" au passagede ce courant que l'on nomme réactance.

Avec ω = 2πν la réactance inductive: XL = ωL

On peut utiliser la réactance pour calculer les valeurs efficacespar une relation similaire à la loi d'Ohm:

Veff = IeffXL

L

R

Veff

aux bornes de L:

ohms

6

Réactance .2De façon analogue, on a une réactance dans un circuit avec uncondensateur C. C'est une situation symétrique au cas inductif,car un courant passe à travers un condensateur quand il est dansun processus de charge ou décharge. Donc sa "résistance"au passage du courant alternatif (qui effectue de façon périodiquela charge/décharge de C) sera proportionnelle à 1/ωC

Avec ω = 2πν la réactance capacitive: XC = 1 / ωC

Veff = IeffXC

et on a à nouveau l'analogue dela loi d'Ohm, aux bornes de C:

ohms

Finalement la réactance résistive nedépend pas de la fréquence: XR = R

C Veff

7

Réactance .3Ex1: Inductance L = 5 mH branchée sur le secteur 230V/50 Hz

XL = ωL = 2πν L = 2π × 50 × 5 × 10-3 = 1.57 Ω

Tension efficace du secteur: Veff = 230 V

Quelle est la valeur efficace du courant qui traverse L ?

de Veff = IeffXL Ieff = Veff / XL = 230/1.57 = 146 A

Ex2: Primaire d'un transformateur 220V: ~10 H => XL = 3 kΩ

8

Circuit RLC en courant alternativeVR VL VC

R L C

On peut exprimer les valeursdes tensions à un instant donné,à partir des réactances

!

VR(t) = RI0 sin"t

VL(t) = XLI0 cos"t

VC(t) = #XCI0 cos"t

si I(t) = I0sinωt on obtient:

* Le cos de VL apparaît par la dérivation du sin.En effet on a V~dI/dt pour la FEM induite.

* Le cos de VC apparaît par l'intégration du sin.En effet, on a V=Q/C ~

!

1

CIdt"

9

Impédance

A cause des "phases" différentes associées à VR, VL, VC, il n'y apas une relation simple pour additionner les valeurs efficacesdes courants et tensions.

VReff VLeff VCeff

R L C

Veff

Veff ≠ VReff + VLeff+VCeff !!

Il est nécessaire de composer de façonopportune les valeurs de R, L, C et ω pourobtenir l'impédance Z du circuit. Avec Z on a alors Veff = Z Ieff

Dans le cas de la figureon trouve, p.ex:

!

Z = R2 + (X

L"X

C)2[ ]1/ 2

10

Impédance .2

R L C

!

Z = R2 + (X

L"X

C)2[ ]1/ 2

!

Z = R2

+ ("L #1

"C)2

$

% & '

( )

1/ 2

De façon explicite:

Cette fonction a un minimum quand

!

0 ="L #1

"C $ " =

1

LC

De Ieff = Veff/Z on tire que le courant devient maximal pourla fréquence de résonance du circuit

!

"(résonance)=1

2#

1

LCA la résonance on a Z = R

11

Circuit RLC

!

"(résonance)=1

2#

1

LC

ν [Hz]

R = 20 ohmL = 0.4 HC = 10−5 FV= 1 V

= 500/6.28=83 Hz

I [A]

Imax=1/20 [A]

12

ApplicationAntenne

LC variable

circuits de détectionet amplification

circuit accordé

13

Puissance en CADans des circuits RLC soumis à un CA, l'énergie stockéedans les capacités et bobines pendant un demi-cycle du courant estretirée par le demi-cycle suivant. Donc, en général, il n'y a pasde dissipation dans ces éléments du circuit, mais seulementdans les résistances.

Si Ieff est le courant effectif qui circule dans R, la puissancemoyenne dissipée vaut P = R Ieff

2

De Ieff = Veff/Z on tire aussi la relation

!

P = IeffVeff

R

Z

"

# $

%

& '

On voit que seulement quand Z = R (p. ex. à la fréquence derésonance d'un circuit RLC) P = Ieff Veff

Le facteur de puissance R/Z est inférieur ou égal à 1.