12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32...
Transcript of 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32...
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΜΑΪΟΣ – ΙΟΥΝΙΟΣ
ΤΑΞΗ: Β
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P x με το x ρ είναι ίσο με
την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ Ρ ρ . Μονάδες 10
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη
Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
1. Έστω πολυώνυμο κ κ 1
κ κ 1 1 0P x α x α x ... α x α . Ο αριθμός κ λέγεται βαθμός
του πολυωνύμου.
2. Αν ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πολυωνύμων είναι 2ου βαθμού, τότε το υπόλοιπο έχει την
μορφή αx β
3. Αν α > 1, τότε η συνάρτηση xf x α είναι γνησίως αύξουσα.
4. Ισχύει xnθ x θ e .
5. Αν 1 2θ , θ 0 τότε ισχύει 1 2 1 2n θ θ nθ nθ Μονάδες 10
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
Α3. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις:
1. 2 2ημ α συν α ..............................................
2. συν ω ...................................
3. εφ π ω ...................................
4. π
ημ ω ...................................2
5. σφ 2π ω ................................... Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Β
Β1. Να δείξετε ότι συνx ημx
ημx συνx1 εφx 1 σφx
Μονάδες 13
Β2. Να λυθεί η εξίσωση 22ημ x 3συνx 0 Μονάδες 12
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P x 2x α β x 3x 2β, α,β R το οποίο έχει παράγοντα το
1
x2
και το υπόλοιπο της διαίρεσης του f x με το x + 1 είναι 2.
Γ1. Να αποδείξετε ότι α = 2 και β = 1. Μονάδες 10
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
Γ2. Για τις παραπάνω τιμές των α και β, να λυθεί η εξίσωση f x 0 Μονάδες 10
Γ3. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται κάτω
από τον άξονα x x. Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Να λυθεί η εξίσωση:
8 nxnx 3
nx 3. Μονάδες 10
Δ2. Να λύσετε το σύστημα:
x y
x y
3 2 11
3 2 7 Μονάδες 15
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΜΑΪΟΣ – ΙΟΥΝΙΟΣ
ΤΑΞΗ: Β
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη
Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
Για α > 1:
1. Η συνάρτηση xf x α έχει πεδίο ορισμού όλο το R
2. Η συνάρτηση xf x α είναι γνησίως φθίνουσα 1 2x x1 2x x α α
3. Η συνάρτηση xf x α τέμνει τον y y στο σημείο A 1, 0 .
4. Η αy og x έχει σύνολο τιμών το 0, .
5. Αν 0 x 1 τότε αog x 0
Μονάδες 15
Α2. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ x με το x ρ είναι
ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ, είναι δηλαδή υ Ρ ρ Μονάδες 10
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
ΘΕΜΑ Β
Να λυθεί η εξίσωση: 22ημx 2 2ημ x 3συνx 0 Μονάδες 25
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται το πολυώνυμο 3P x αx β α x α 5, α,β R
Γ1. Αν το x – 1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου P x και διαιρούμενο με το x + 1 αφήνει
υπόλοιπο 2, να βρείτε τα α, β. Μονάδες 10
Γ2. Για α = –4, β = –1, να λύσετε την ανίσωση P x 0 Μονάδες 15
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση:
1 nxf x
nx
Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης. Μονάδες 10
Δ2. Να λύσετε την εξίσωση f x 2 . Μονάδες 15
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΜΑΪΟΣ – ΙΟΥΝΙΟΣ
ΤΑΞΗ: Β
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη
Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
1. Ένα μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.
2. Αν α > 0 και α 1 με θ > 0, τότε xαα θ og θ
3. Αν α > 1 τότε ισχύει: 1 2x x1 2α α x x .
4. Αν x – ρ παράγοντας του πολυωνύμου P(x) τότε P(ρ) = 0.
5. Αν 2 21 2 1 2nx nx x x . Μονάδες 15
Α2. Αν 0 α 1 και 1 2θ ,θ 0 , να αποδείξετε ότι: α 1 2 α 1 α 2og θ θ og θ og θ
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Να λυθούν οι εξισώσεις:
Β1. εφx 1 0 Μονάδες 8
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
Β2. 3
συνx 02
Μονάδες 8
Β3.
πημ x ημx
3 Μονάδες 9
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P x αx β 1 x 3x 2β 6, α,β R
Γ1. Αν το πολυώνυμο P x έχει ρίζα τον αριθμό 1 και διαιρούμενο με το x + 1 αφήνει
υπόλοιπο 2, να αποδείξετε ότι α = 2, β = 4. Μονάδες 8
Γ2. Για α = 2, β = 4, να βρείτε το πηλίκο π x της διαίρεσης του P x : x 1 Μονάδες 8
Γ3. Για α = 2, β = 4, να λύσετε την ανίσωση P x 0 Μονάδες 9
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η εξίσωση: 21 og(x 6x) og20 og(3x 10)
Δ1. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η εξίσωση. Μονάδες 8
Δ2. Να λύσετε την εξίσωση. Μονάδες 9
Δ. Αν x1 = 10, η λύση της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε το y ώστε να ισχύει η σχέση: και
y
1
12 og 4 og2 ogx
2. Μονάδες 8
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΜΑΪΟΣ – ΙΟΥΝΙΟΣ
ΤΑΞΗ: Β
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ x με το x ρ είναι
ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ, είναι δηλαδή υ Ρ ρ Μονάδες 10
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη
Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
1. Αν x > 0 τότε nx 0 tτο πολυώνυμο P(x) διαιρεθεί με το x – ρ το υπόλοιπο της
διαίρεσης είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ, δηλαδή υ = Ρ(ρ)
2. Αν α > 0 και α 1, τότε γα οποιαδήποτε 1 2θ ,θ 0 , ισχύει ότι:
α 1 2 α 1 α 2og θ θ og θ og θ
3. Αν α > 0 και α 1, τότε γα οποιαδήποτε 1 2θ ,θ 0 , ισχύει ότι:
α 1α 1 α 2
α 2
og θog θ og θ
og θ
4. Η συνάρτηση xf x e είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε x R .
5. Ισχύει η συνεπαγωγή: π
ημx 1 x2
Μονάδες 15
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η παράσταση
συν π xσυνx
Α1 ημ x 1 ημx
Β1. Να αποδείξετε ότι 2
Ασυνx
Μονάδες 10
Β2. Να λύσετε την εξίσωση A 4 (να μην παρθούν περιορισμοί) Μονάδες 15
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2P x 2x 9x α 4 x 9x β, α R
Γ1. Αν 1 και 2 ρίζες του πολυωνύμου P x , να βρείτε τις τιμές των α, β. Μονάδες 10
Γ2. Για α = 10, β = 2, να βρείτε να λύσετε:
α. την εξίσωση P x 0 Μονάδες 7
β. την ανίσωση P x 0 Μονάδες 8
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση: f x og 2 x
Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να δείξετε ότι f 2 f 23 2 .
Μονάδες 10
Δ2. Να λύσετε την εξίσωση f x f x 1 og6 . Μονάδες 7
Δ3. Να λύσετε την ανίσωση f x 2 ogx . Μονάδες 8
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΜΑΪΟΣ – ΙΟΥΝΙΟΣ
ΤΑΞΗ: Β
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη
Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
1. Η εξίσωση ημx ημθ έχει τύπο απείρων λύσεων: x 2kπ θ , k R
2. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x – ρ είναι ίσο με την τιμή του
πολυωνύμου για x = ρ
3. Η εκθετική συνάρτηση xf(x) α με 0 < α < 1είναι γνησίως φθίνουσα.
4. Για κάθε α 0, α 1 και θ > 0, ισχύει ότι: αog θα θ .
5. Κάθε άρτια συνάρτηση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.
Μονάδες 15
Α2. Να αποδείξετε ότι: ημ2α = 2ημασυνα Μονάδες 5
Α3. Να δοθεί ο ορισμός της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σε διάστημα Δ του πεδίου ορισμού
της. Μονάδες 5
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P(x) x x kx 2 , όπου k R
Β1. Αν το πολυώνυμο έχει ρίζα το 2 να βρεθεί η τιμή του πραγματικού k. Μονάδες 5
Αν k 1, τότε:
Β2. Να κάνετε τη διαίρεση P x : x 1 και να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας
διαίρεσης. Μονάδες 10
Β3. Να λύσετε την εξίσωση: P x 0 Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση f(x) n(x 6) n(x 1)
Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 7
Γ2. Να λύσετε την εξίσωση: n(x 6) n(x 1) 3 n2 Μονάδες 9
Γ3. Να λύσετε την ανίσωση: f x n18 . Μονάδες 9
Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση
xα 1
f(x)3
Δ1. Για ποιες τιμές του α ορίζεται η συνάρτηση f; Μονάδες 9
Δ2. Για ποιες τιμές του α η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R ; Μονάδες 9
Δ3. Για α = 7, να λυθεί η εξίσωση: f x f 2x 2 Μονάδες 9