12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32...

13
 Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: Β ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Px με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ Ρρ . Μονάδες 10 Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Έστω πολυώνυμο κ κ 1 κ κ 1 1 0 Px α x α x ... α x α . Ο αριθμός κ λέγεται βαθμός του πολυωνύμου. 2. Αν ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πολυωνύμων είναι 2 ου βαθμού, τότε το υπόλοιπο έχει την μορφή αx β 3. Αν α > 1, τότε η συνάρτηση x fx α είναι γνησίως αύξουσα. 4. Ισχύει x nθ x θ e . 5. Αν 1 2 θ , θ 0 τότε ισχύει 1 2 1 2 n θ θ nθ nθ Μονάδες 10

Transcript of 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32...

Page 1: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΜΑΪΟΣ – ΙΟΥΝΙΟΣ

ΤΑΞΗ: Β

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P x με το x ρ είναι ίσο με

την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ Ρ ρ . Μονάδες 10

Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη

Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

1. Έστω πολυώνυμο κ κ 1

κ κ 1 1 0P x α x α x ... α x α . Ο αριθμός κ λέγεται βαθμός

του πολυωνύμου.

2. Αν ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πολυωνύμων είναι 2ου βαθμού, τότε το υπόλοιπο έχει την

μορφή αx β

3. Αν α > 1, τότε η συνάρτηση xf x α είναι γνησίως αύξουσα.

4. Ισχύει xnθ x θ e .

5. Αν 1 2θ , θ 0 τότε ισχύει 1 2 1 2n θ θ nθ nθ Μονάδες 10

Page 2: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

Α3. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις:

1. 2 2ημ α συν α ..............................................

2. συν ω ...................................

3. εφ π ω ...................................

4. π

ημ ω ...................................2

5. σφ 2π ω ................................... Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Β

Β1. Να δείξετε ότι συνx ημx

ημx συνx1 εφx 1 σφx

Μονάδες 13

Β2. Να λυθεί η εξίσωση 22ημ x 3συνx 0 Μονάδες 12

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P x 2x α β x 3x 2β, α,β R το οποίο έχει παράγοντα το

1

x2

και το υπόλοιπο της διαίρεσης του f x με το x + 1 είναι 2.

Γ1. Να αποδείξετε ότι α = 2 και β = 1. Μονάδες 10

Page 3: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

Γ2. Για τις παραπάνω τιμές των α και β, να λυθεί η εξίσωση f x 0 Μονάδες 10

Γ3. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της f που βρίσκονται κάτω

από τον άξονα x x. Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Να λυθεί η εξίσωση:

8 nxnx 3

nx 3. Μονάδες 10

Δ2. Να λύσετε το σύστημα:

x y

x y

3 2 11

3 2 7 Μονάδες 15

Page 4: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΜΑΪΟΣ – ΙΟΥΝΙΟΣ

ΤΑΞΗ: Β

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη

Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

Για α > 1:

1. Η συνάρτηση xf x α έχει πεδίο ορισμού όλο το R

2. Η συνάρτηση xf x α είναι γνησίως φθίνουσα 1 2x x1 2x x α α

3. Η συνάρτηση xf x α τέμνει τον y y στο σημείο A 1, 0 .

4. Η αy og x έχει σύνολο τιμών το 0, .

5. Αν 0 x 1 τότε αog x 0

Μονάδες 15

Α2. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ x με το x ρ είναι

ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ, είναι δηλαδή υ Ρ ρ Μονάδες 10

Page 5: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

ΘΕΜΑ Β

Να λυθεί η εξίσωση: 22ημx 2 2ημ x 3συνx 0 Μονάδες 25

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται το πολυώνυμο 3P x αx β α x α 5, α,β R

Γ1. Αν το x – 1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου P x και διαιρούμενο με το x + 1 αφήνει

υπόλοιπο 2, να βρείτε τα α, β. Μονάδες 10

Γ2. Για α = –4, β = –1, να λύσετε την ανίσωση P x 0 Μονάδες 15

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση:

1 nxf x

nx

Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης. Μονάδες 10

Δ2. Να λύσετε την εξίσωση f x 2 . Μονάδες 15

Page 6: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΜΑΪΟΣ – ΙΟΥΝΙΟΣ

ΤΑΞΗ: Β

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη

Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

1. Ένα μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.

2. Αν α > 0 και α 1 με θ > 0, τότε xαα θ og θ

3. Αν α > 1 τότε ισχύει: 1 2x x1 2α α x x .

4. Αν x – ρ παράγοντας του πολυωνύμου P(x) τότε P(ρ) = 0.

5. Αν 2 21 2 1 2nx nx x x . Μονάδες 15

Α2. Αν 0 α 1 και 1 2θ ,θ 0 , να αποδείξετε ότι: α 1 2 α 1 α 2og θ θ og θ og θ

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Να λυθούν οι εξισώσεις:

Β1. εφx 1 0 Μονάδες 8

Page 7: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

Β2. 3

συνx 02

Μονάδες 8

Β3.

πημ x ημx

3 Μονάδες 9

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P x αx β 1 x 3x 2β 6, α,β R

Γ1. Αν το πολυώνυμο P x έχει ρίζα τον αριθμό 1 και διαιρούμενο με το x + 1 αφήνει

υπόλοιπο 2, να αποδείξετε ότι α = 2, β = 4. Μονάδες 8

Γ2. Για α = 2, β = 4, να βρείτε το πηλίκο π x της διαίρεσης του P x : x 1 Μονάδες 8

Γ3. Για α = 2, β = 4, να λύσετε την ανίσωση P x 0 Μονάδες 9

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η εξίσωση: 21 og(x 6x) og20 og(3x 10)

Δ1. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η εξίσωση. Μονάδες 8

Δ2. Να λύσετε την εξίσωση. Μονάδες 9

Δ. Αν x1 = 10, η λύση της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε το y ώστε να ισχύει η σχέση: και

y

1

12 og 4 og2 ogx

2. Μονάδες 8

Page 8: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΜΑΪΟΣ – ΙΟΥΝΙΟΣ

ΤΑΞΗ: Β

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ x με το x ρ είναι

ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ, είναι δηλαδή υ Ρ ρ Μονάδες 10

Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη

Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

1. Αν x > 0 τότε nx 0 tτο πολυώνυμο P(x) διαιρεθεί με το x – ρ το υπόλοιπο της

διαίρεσης είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ, δηλαδή υ = Ρ(ρ)

2. Αν α > 0 και α 1, τότε γα οποιαδήποτε 1 2θ ,θ 0 , ισχύει ότι:

α 1 2 α 1 α 2og θ θ og θ og θ

3. Αν α > 0 και α 1, τότε γα οποιαδήποτε 1 2θ ,θ 0 , ισχύει ότι:

α 1α 1 α 2

α 2

og θog θ og θ

og θ

4. Η συνάρτηση xf x e είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε x R .

5. Ισχύει η συνεπαγωγή: π

ημx 1 x2

Μονάδες 15

Page 9: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παράσταση

συν π xσυνx

Α1 ημ x 1 ημx

Β1. Να αποδείξετε ότι 2

Ασυνx

Μονάδες 10

Β2. Να λύσετε την εξίσωση A 4 (να μην παρθούν περιορισμοί) Μονάδες 15

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2P x 2x 9x α 4 x 9x β, α R

Γ1. Αν 1 και 2 ρίζες του πολυωνύμου P x , να βρείτε τις τιμές των α, β. Μονάδες 10

Γ2. Για α = 10, β = 2, να βρείτε να λύσετε:

α. την εξίσωση P x 0 Μονάδες 7

β. την ανίσωση P x 0 Μονάδες 8

Page 10: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση: f x og 2 x

Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να δείξετε ότι f 2 f 23 2 .

Μονάδες 10

Δ2. Να λύσετε την εξίσωση f x f x 1 og6 . Μονάδες 7

Δ3. Να λύσετε την ανίσωση f x 2 ogx . Μονάδες 8

Page 11: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΜΑΪΟΣ – ΙΟΥΝΙΟΣ

ΤΑΞΗ: Β

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεων τη λέξη

Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

1. Η εξίσωση ημx ημθ έχει τύπο απείρων λύσεων: x 2kπ θ , k R

2. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x – ρ είναι ίσο με την τιμή του

πολυωνύμου για x = ρ

3. Η εκθετική συνάρτηση xf(x) α με 0 < α < 1είναι γνησίως φθίνουσα.

4. Για κάθε α 0, α 1 και θ > 0, ισχύει ότι: αog θα θ .

5. Κάθε άρτια συνάρτηση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

Μονάδες 15

Α2. Να αποδείξετε ότι: ημ2α = 2ημασυνα Μονάδες 5

Α3. Να δοθεί ο ορισμός της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σε διάστημα Δ του πεδίου ορισμού

της. Μονάδες 5

Page 12: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται το πολυώνυμο 3 2P(x) x x kx 2 , όπου k R

Β1. Αν το πολυώνυμο έχει ρίζα το 2 να βρεθεί η τιμή του πραγματικού k. Μονάδες 5

Αν k 1, τότε:

Β2. Να κάνετε τη διαίρεση P x : x 1 και να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας

διαίρεσης. Μονάδες 10

Β3. Να λύσετε την εξίσωση: P x 0 Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση f(x) n(x 6) n(x 1)

Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 7

Γ2. Να λύσετε την εξίσωση: n(x 6) n(x 1) 3 n2 Μονάδες 9

Γ3. Να λύσετε την ανίσωση: f x n18 . Μονάδες 9

Page 13: 12 1 2 Lιkeiou _Algevra_ΕΜΕ ΣΕΡΡΩΝ.pdf · Δίνεται το πολυώνυμο Px αx32 β 1x 3x 2β 6, α,β R Γ 1. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα

 

Θέματα Εξετάσεων Άλγεβρας Β΄ Γενικού Λυκείου

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση

xα 1

f(x)3

Δ1. Για ποιες τιμές του α ορίζεται η συνάρτηση f; Μονάδες 9

Δ2. Για ποιες τιμές του α η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R ; Μονάδες 9

Δ3. Για α = 7, να λυθεί η εξίσωση: f x f 2x 2 Μονάδες 9