1. Modelo unisectorial con capital físico y humano

1.1. El Modelo Básico

Función de producción Cobb-Douglas que exhibe retornos constantes a escala sobre K y

H:

Y = AKαH1−α 0 ≤ α ≤ 1

donde H = Lh, L esta �jo y H solo crece debido a aumentos en la cantidad promedio h.Es por ello que L no es fuente de retornos de crecimiento:

A(βK)α(L(βh))1−α = AβKαβ1−α(Lh)1−α

= βAKαH1−α

= βY

El problema que se propone resolver el modelo es:

maxu

U =

∫ ∞

0u[C(t)]e−ρtdt (1)

Sujeto a :

K = IK − δK (2)

H = IH − δH (3)

AKαH1−α = C + IK + IH (4)

El Hamiltoniano es:

J = u[C(t)]e−ρt + v(IK − δK) + µ(IH − δH) + w(AKαH1−α − C − IK − IH) (5)

La condiciones de primer orden son:

∂J

∂C=

∂u

∂Ce−ρt − w = C−θe−ρt = 0 ; u(C) =

C1−θ − 1

1− θ(6)

∂J

∂IK= v − w = 0 (7)

∂J

∂IH= µ− w = 0 (8)

∂J

∂K= wAαKα−1H1−α − vδ = −v (9)

∂J

∂H= wAKα(1− α)H−α − µδ = −µ (10)

∂J

∂w= AKαH1−α − C − IK − IH = 0 (11)

1

Por ende, como w = v

C−θ = veρt (12)

−θ lnC = ln v + ρt (13)

lnC = −θ−1(ln v + ρt) (14)

La ecuación (9) cuarta condición arroja:

v = v(δ −AαKα−1H1−α) (15)

y por tanto

v = exp[(δ −AαKα−1H1−α)t] (16)

Sustituyendo en la ecuación (14)

lnC = −θ−1[(δ −Aα(KH−1)−(1−α))t+ ρt]

= θ−1(Aα(KH−1)−(1−α) − δ − ρ)t]

Luego,

C(t) = C(0) exp[θ−1(Aα(KH−1)−(1−α) − δ − ρ)t

](17)

De aquí se obtiene la tasa de crecimiento del consumidor

γC =[θ−1(Aα(KH−1)−(1−α) − δ − ρ)

](18)

donde Aα(KH−1)−(1−α) − δ es el producto marginal neto del capital humano. Como v =w = µ , se sigue que el producto marginal neto del capital humano es igual al del capital

físico.

Aα(KH−1)−(1−α) − δ = Aα(KH−1)α − δ

α(KH−1)−(1−α) = α(KH−1)α

KH−1 = α(1− α)−1

Ahora dado lo anterior:

α(KH−1

)−(1−α)= α[α(1− α)−1]−(1−α)

= αα−1(1− α)1−α

La tasa neta de retorno para el capital físico (y por ende para el capital humano) es:

r∗ = Aα(KH−1)−(1−α) − δ (19)

= Aαα−1(1− α)1−α (20)

2

Lo cual es constante, debido a que la función de producción (según vimos)exhibe retornos

constantes a escala, por ende no hay retornos decrecientes cuando la razón KH−1 perma-

nece constante y cuando K y H crecen a la misma tasa. Cuando KH−1 es constante se

sigue que γC es constante e igual a:

γ∗C = θ−1[Aαα−1(1− α)1−α − δ − ρ

](21)

Sustituyendo en la función de producción se obtiene:

Y = AKαH1−α

= AKKα−1H1−α

= AK(KH−1)−(1−α)

= AK[α(1− α)−1

]−(1−α)

= AK[(1− α)α−1

]1−α

Es decir, el modelo equivale a un modelo AK.

1.2. La restricción de la inversión bruta no negativa

Si la economía empieza con dos fondos de capital K(0), H(0), cuyo cociente K(0)H(0)−1 se

desvía del valor α(1−α)−1 requerido para el crecimiento balanceado se requiere ajustar los

fondos para que se ubique en dicho valor. Como no es realista exponer que las inversiones

son reversibles debemos imponer las restricciones IK ≥ 0 y IH ≥ 0. Esto elimina la

posibilidad de ajustar instantáneamente la razón K(0)H(0)−1.

Si K(0)H(0)−1α(1−α)−1 el deseo de reducir H y aumentar K conduciría a escoger IH = 0en este caso H = −δH y M sigue la trayectoria:

H(t) = H(0)e−δt (22)

Con lo que H se deprecia a la tasa dada δ. Si IH = 0 el problema de optimización del hogar

puede expresare mediante una función de Hamilton simpli�cada:

J = u[C(t)]e−ρt + v(AKαH1−α − C − δK) (23)

Este planteamiento es equivalente a modelo neoclásico de crecimiento en el que los hogares

escogen consumo e inversión en una forma de capital K sujeto a un proceso tecnológico

exógeno que aumenta la cantidad de otro factor, en este caso H, aquí H crece a una tasa

−δEl modelo clásico de Ramsey establece que la solución posee la propiedad de convergencia,

tanto γK = KK−1 como γY = Y Y −1 desciendan monotónicamente en el tiempo haca

γ∗ > 0. Como muestra la Figura 1 muestra la tasa de crecimiento de la producción depende

del ratio entre los dos stocks de capital KH−1. La tasa de crecimiento mínima corresponde

al ratio en el estado estacionario(KH−1

)∗= α(1 − α)−1. A cada ratio en el estado

estacionario , la tasa de crecimiento aumenta simétricamente al aumentar la diferencia

entre KH−1 y(KH−1

)∗.

3

Figura 1: El efecto desequilibrio en el modelo de sector único.

Figura 2: Efectos desequilibrio con costes de ajustes de capital humano.

Si aceptamos por otra parte que los costes de ajustes derivados de la modi�cación

del capital humano son superiores a los derivados de las modi�caciones del capital físico

, en este caso, la tasa de crecimiento es más sensible a KH−1 en la región en la que

KH−1 < (KH−1)∗ que la región donde KH−1 > (KH−1)∗ (Figura 2).

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