MATEMÁTICA

CILINDRO E CONE 1. CILINDRO CIRCULAR

1.1. Definição Considere dois planos paralelos ( ) e α β , uma

reta t incidente em α e uma região circular contida em β. Observe a figura abaixo.

α

β

t

Define-se como cilindro o sólido formado por todos os segmentos paralelos a t e extremos na região circular e no plano α. Observe a ilustração abaixo.

α

β

1.2. Elementos Considere o cilindro a seguir.

AB

CD

centro

altura

t

� Eixo do cilindro: reta t, que passa no centro das bases.

� Base: regiões circulares. � Geratrizes: segmentos com extremos na

circunferência das bases e paralelos ao eixo. � Secção meridiana: intersecção do plano que

contém o eixo com o cilindro. Observe a fi-gura a seguir.

1.3. Áreas importantes do cilindro reto � Área da base ( )bA

bA

base

RR2= =π

� Área lateral ( )LA

LA

R

RH= =

π

π

superfícielateral

2

2H

� Área total 2

t b L tA 2A A A 2 R 2 RH= + ⇒ = π + π ( )tA 2 R R H⇒ = π +

1.4. Volume Observe que o cilindro é um sólido de secção

constante. Logo, seu volume pode ser determinado pela relação bV A H= ⋅ , em que bA representa a área da base e H representa a altura do cilindro. 1.5. Classificação

� Cilindro reto O cilindro reto possui o eixo perpendicular ao

plano da base. Neste cilindro, encontramos: I) a geratriz perpendicular ao plano da base. II) a medida da altura igual à medida da gera-

triz. III) a secção meridiana retangular. � Cilindro eqüilátero O cilindro circular reto cujas secções meridia-

nas são quadradas é chamado de cilindro eqüilátero. No cilindro eqüilátero, encontramos a altura igual ao diâmetro da base ( )H 2R= .

2. CONE

2.1. Definição Considere um plano α, uma região circular

contida nesse plano e um ponto V não pertencente a α. Observe a ilustração a seguir.

α

V

Define-se como cone o sólido formado por to-dos os segmentos com extremos na região circular e no ponto V. Observe a figura abaixo.

α

V

2.2. Elementos Considere o cone abaixo.

V

t

centro

� Eixo do cilindro: reta t, que passa no vértice e no centro da base do cone.

� Base: região circular. � Geratrizes: segmentos com extremos na

circunferência da base e no vértice do cone. � Secção meridiana: intersecção do plano que

contém o eixo com o cone. Observe a figu-ra.

2.3.Áreas importantes no cone reto � Área da base ( )bA .

bA

base

RR2

= =π

� Área lateral ( )LA .

LA Rg= = π

superfícielateral

(setor circular)

Rπ2

θg

2.4. Volume O volume do cone pode ser determinado pela

relação b

1V A H

3= ⋅ , em que Ab representa a área da

base e H representa a altura do cone. 2.5. Classificação

� Cone reto O cone reto possui o eixo perpendicular ao

plano da base. Neste cone, encontramos a relação a-baixo:

H

R

g

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângu-lo.

2 2 2g H R= + � Cone eqüilátero O cone reto cujas secções meridianas são tri-

ângulos eqüiláteros é chamado de cone eqüilátero. No cone eqüilátero encontramos a medida da geratriz igual ao diâmetro da base ( )g 2R= .

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 (UFV-MG) Para se construir uma lata cilíndrica de base circular, sem tampa, com 20cm de diâme-tros de base e 25cm de altura, são gastos x cm2 de material. O valor de x é:

2 2

10

10 . 100

2 2. .10.25 500

Ab R Ab Ab

A Rh A A

π

π π π

π π π

=

= → = → =

= → = → =l l l

600Ab A π+ =l

EXERCÍCIOS

1 A altura de um cilindro é o triplo do raio de sua base. Sabendo que a área de uma secção meridia-na desse cilindro é 216cm2, calcule o volume do cilindro:

R

h=3R

a) 648πdm3 b) 64,8πdm3 c) 6,48πdm3 d) 0,648πdm3 e) 0,0648πdm3

2 A figura mostra uma peça cilíndrica transpassada por um furo circular do centro de uma base ao centro da outra. Qual é o volume dessa peça?

25cm

6cm

14cm

a) 2000π. b) 1000π. c) 500π. d) 300π. e) Nenhuma.

3 Corta-se um cilindro circular reto ao meio. Sa-bendo-se que o corte origina, em cada uma das partes resultantes, uma face quadrada com área igual a 16cm2. Determinar o volume do cilindro original. a) 8πcm3. b) 16πcm3. c) 32πcm3. d) 48πcm3. e) 96πcm3.

4 (UFGO) Para encher de água um reservatório que tem a forma de um cilindro circular reto são necessárias 5 horas. Se o raio da base é 3m e a al-tura 10m, o reservatório recebe água à razão de: a) 18 π m3 por hora. b) 30 π m3 por hora. c) 6 π m3 por hora. d) 20 π m3 por hora. e) Nenhuma.

5 (U.C.DOM BOSCO-DF) Um cilindro reto, cuja base é um círculo de raio R=3m, tem 108 π m3 de volume. Então, a área total desse cilindro é: a) 126 π m2. b) 81 π m2. c) 72 π m2. d) 90 π m2. e) 108 π m2.

6 (UFPA) O reservatório “tubinho de tinta” de uma caneta esferográfica tem 4mm de diâmetro e 10cm de comprimento. Se você gasta 5 π mm3 de tinta por dia, a tinta de sua esferográfica durará: a) 20 dias b) 40 dias c) 50 dias d) 80 dias e) 100 dias

(Dica: 10cm=100mm)

7 (PUCC-SP) Numa indústria, deseja-se utilizar tambores cilíndricos para a armazenagem de um certo tipo de óleo. As dimensões dos tambores serão 30cm para o raio da base e 80cm para a al-tura. O material utilizado na tampa e na lateral custa R$100,00 o metro quadrado. Devido à ne-cessidade de um material mais resistente no fun-do, o preço do material para a base inferior é de R$200,00 o metro quadrado. Qual o custo de ma-terial para a confecção de um desses tambores sem contar as perdas de material? (Em seus cál-culos, considere 3,14π = .) a) R$235,50.

b) R$24250. c) R$247,20. d) R$249,20. e) R$250,00.

8 (EU-CE) Um cone circular reto de altura 3 2cm tem volume igual a 318 2 cmπ . O raio da base desse cone, em centímetros, mede: a) 2. b) 2 2 . c) 3. d) 3 2 .

9 (MATEMÁTICA-SANTO ANDRÉ) Calcular a área lateral do cone cujo volume é 312 mπ e cujo perímetro da base é 6 m.π a) 10 2mπ . b) 15 2mπ . c) 18 2mπ . d) 20 2mπ . e) nenhuma.

10 (UEPG-PR) A área lateral de um cone de revo-lução é 600 2cmπ e sua geratriz te 25cm. O raio de sua base é: a) 20cm. b) 25cm. c) 24cm. d) 27cm. e) nenhuma.

11 (UFPA) Num cone reto, a altura é 3m e o diâme-tro da base é 8m. Então, a área total, em metros quadrados, vale: a) 52 π b) 36 π c) 20 π d) 16 π e) 12 π

12 (FUVEST-SP) O diâmetro da base de um cone é igual a geratriz. A razão da área total para a área lateral do cone é:

a) 32

.

b) 12

.

c) 23

.

d) 34

.

e) 2

3.

GABARITO

1 D

2 B

3 B

4 A

5 D

6 D

7 A

8 D

9 B

10 C

11 B

12 C