G3 – FIS1026 – 14/06/2012 MECÂNICA NEWTONIANA B … · Uma corda ideal e de massa desprezível...

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  • G3 FIS1026 14/06/2012

    MECNICA NEWTONIANA B

    NOME:___________________________________________________

    Matrcula: ___________________ TURMA:_______

    QUESTO VALOR GRAU REVISO

    1 3,5

    2 3,5

    3 3,0

    Total 10,0

    Dados:

    g = 10 m/s2;

    constante: = t; = 0 t + t2; 2= 02 + 2;

    = r F; = I;

    I = miri2; at = r; vt = r; Ip = Icm + Md2;

    Icm = MR2; aro = 1; cilindro/disco = 1/2; esfera slida= 2/5; Icm haste = 1/12 ML2;

    L = r p; L = I ; ext = dL/dt ; sen 30o = 0,50 ; cos 30o = 0,86.

    A durao da prova de 1 hora e 50 minutos.

    NO SERO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS E CLCULOS

    EXPLCITOS

    No permitido destacar folhas deste caderno de respostas.

    A prova s poder ser feita a lpis, caneta azul ou preta

    permitido o uso de calculadoras cientficas simples.

    No permitido o uso de aparelhos celulares.

    x

    y

    z

    Sistema de coordenadas

  • G3 FIS1026 14/06/2012

    1 QUESTO (3,5 pontos) Considere o sistema ao lado, onde um cilindro macio de massa 2M e raio 2R pode girar sem atrito em torno de um eixo vertical fixo superfcie, que passa pelo seu centro de massa. Uma corda ideal e de massa desprezvel est enrolada em torno do cilindro, passa por uma polia em forma de aro com massa M e raio R e est presa a um bloco de massa desconhecida. No h atrito nos eixos da rotao da polia e do cilindro e no ocorre escorregamento da corda no cilindro ou na polia. Tampouco h atrito entre o bloco e a superfcie do plano inclinado. O raio R da polia (aro) vale 10 cm e o ngulo 30o . Observa-se que o bloco desce com uma acelerao linear a = 0,1 m/s2.

    (a) [1,0] Havendo o sistema partido do repouso, observa-se que a polia sofre um deslocamento angular total de 50 radianos at que o bloco chegue base da rampa. Determine o tempo de queda do bloco, t, e a velocidade angular final do cilindro macio, cil.

    (b) [0,6] Faa o diagrama do corpo livre para cada componente do sistema, representando claramente as foras que agem em cada um dos componentes e o sentido de seus movimentos (de translao ou rotao).

    (c) [0,9] Escreva as equaes resultantes das Leis de Newton (rotacional e translacional) para os trs corpos.

    (d) [1,0] A partir das equaes da letra (c), determine o valor da massa do bloco, em termos de M.

    2 QUESTO (3,5 pontos)

    Um disco de raio r e massa M desce sem deslizar, a partir do repouso, a rampa inclinada conforme a figura. Aps chegar base da rampa AB, ele segue na horizontal para a pista em forma de circunferncia com raio R e sobe essa pista rolando sem deslizar. O ngulo entre a rampa e a horizontal = 30. O raio do disco r vale r = R/10 e o comprimento (D) da rampa, do ponto A ao ponto B, vale D = 8R, onde R o raio da pista

  • circular. A acelerao da gravidade local g. A linha tracejada corresponde a uma possvel trajetria do centro de massa (CM) do disco.

    (a) [1,0] Faa o diagrama de foras para o disco durante o percurso de A at B. A partir das leis sobre torque e fora, obtenha uma expresso literal, em funo de g, para o valor da acelerao do CM (aCM) do disco entre A e B. Use o sistema de coordenadas desenhado na figura.

    (b) [0,7] Indique claramente o sentido da fora de atrito esttica (fE) feita pela superfcie da rampa sobre o disco. Determine uma expresso literal para fE, em funo de M e g. Resolva atravs da segunda lei de Newton aplicada ao centro de massa do disco.

    (c) [1,0] Encontre uma expresso literal para o valor da velocidade angular do disco (B) em torno de um eixo horizontal que passe em seu CM, quando o disco chega ao ponto B, em funo de g e R. Resolva atravs do uso de leis fsicas referentes energia mecnica.

    (d) [0,8] O valor mnimo da velocidade do CM do disco para passar no ponto mais alto da

    pista circular (C), sem perder o contato com a pista, !!"!"# = ! ! ! =!!" !".

    Obtenha uma expresso literal para a velocidade do CM do disco no ponto C, vCM, em funo de g e R atravs de leis fsicas sobre a energia mecnica. Compare com o valor mnimo dado e diga se o disco passar pelo ponto C em contato com a pista ou se descolar dela antes de chegar a C. 3 QUESTO (3,0 pontos) Um aro uniforme de raio r = 0,2m e massa M =1,0 kg est preso a um fio de massa desprezvel e est girando em uma superfcie horizontal. Na figura ao lado, a trajetria do centro de massa do aro est indicada pela circunferncia tracejada. A trajetria tem raio R1 =1,0 m e a velocidade angular do aro 1 = 2 rad/s. Suponha inicialmente que no h atrito entre o aro e a superfcie. (a) [0,5] Escreva o modulo do momento angular L1 do aro em relao ao centro da trajetria. (b) [1,0] Um dispositivo oculto no centro da trajetria diminui o raio para R2 = 80 cm. Neste novo raio, qual o novo valor da velocidade angular 2? Justifique claramente o conceito fsico utilizado. (c) [0,5] Encontre o trabalho realizado pelo dispositivo oculto da letra (b). (d) [1,0] Suponha agora que h atrito entre o aro e a superfcie. Se no instante t = 0 o aro est girando na circunferncia de raio R1 (original) e com velocidade angular 3 = 4 rad/s, e que o coeficiente de atrito esttico 0,4 e o de atrito cintico 0,3, calcule o intervalo de tempo que o aro demora em parar totalmente.

  • 1 QUESTO (a) (b) (c)

  • (d) 2 QUESTO (a) !!" = !!! !!" + !!" + !!" = !!! , onde escolhemos um ponto G de contato entre o disco e a rampa como o ponto de referncia para o clculo dos torques. Como os pontos de aplicao das foras normal ! e de atrito esttico !! coincidem com o ponto G, seus torques valem zero e temos:

    !!" = !!! onde !!" e ! apontam para dentro da folha ao longo do eixo z. Como !!" = !"#$%&, vem:

    !"#$%& = !!! (1). Substituindo ! = !", !! = !!" +!!! =

    !!!!! + !!! = !

    !!!! e ! = !!"

    ! em (1) temos:

    !"#!"#$ = !

    !!!! !!"

    ! !!" =

    !!!"#$% = !

    !!.

    Obs: o problema pode ser resolvido tambm escolhendo o CM do disco como referncia para o torque. O resultado para fE ser o mesmo.

    (b) !! = !!!" !"#$% f! = !!!" f! = !"#$% !!!" f! = !"#$%& !

    !!!"#$% !! =

    !!!"#$%& = !

    !!".

  • (c) As foras no conservativas (Normal e Fora de Atrito Esttica) no realizam trabalho ao longo da descida da rampa. Vale a conservao da energia mecnica:

    !!" = !!" !! + !! = !! + !! !"#$%&' =

    !!!!!"! +

    !!!!"!!!,

    onde !"#$% a altura entre as posies do CM do disco nos pontos A e B. Usando !!" =

    !!!!! , !!" = !!!

    na expresso anterior vem: !"#$%&' = !

    !!!!(!!! +

    !!!!!) 2!"#$%& = !

    !!!!! !!! =

    !!!!

    !"!"#$

    !! = !!!!

    !"!"#$ ou !! = !"!!"

    .

    (d) As foras no conservativas (Normal e Fora de Atrito Esttica) no realizam trabalho entre os pontos A e C. Vale a conservao da energia mecnica: !!" = !!" !! + !! = !! + !! !"#$%&' = !" 2! 2! +

    !!!!!"! +

    !!!!"!!!,

    onde !!" =

    !!!!! . Usando !!" = !!!, ! = 8!, ! =

    !!", !"#$ = !

    !, temos:

    !"#4 = !"# !

    !+ !

    !!!!"! +

    !!

    !!!!! !!"

    !

    !! 4 !

    !!"# = !

    !!!"! ! +

    !!!

    !!!!" = !

    !!!"! !!"!(!) =

    !!!"!" > !!"#!! =

    !!"!".

    Conclui-se que o disco passar pelo ponto mais alto da pista circular sem descolar dela. 3 QUESTO (a) Neste caso, L = I. O momento de inrcia tem que ser calculado usando o teorema dos eixos paralelos I = ICM + MR2 = Mr2 + MR12 = M(r2 + R12). Assim, L1 = M(r2 + R12)1 = 1 (0,22 + 12)*2 = 2,08 kg*m2/s b) Neste caso, as foras fazendo torque so o peso e a normal, porem a soma destes dois torques nula. Assim, o momento angular conservado durante todo o processo: L1 = L2 M(r2 + R12) 1 = M (r2 + R22) 2 2 = 1 (r2 + R12) / (r2 + R22) = 2*(0,22 + 12)/(0,22 + 0,82) = 2 * 1,04/0,68 = 3,06 rad/s c) A nica fora que faz trabalho neste processo a fora de trao no arame. Assim, pelo teorema trabalho-energia: WT = KF KI = IFF2 - III2 = 0,5*0,68*3,062 0,5*1,04*22 = 3,18 2,08 = 1,1 J d) Como a fora de atrito que age o atrito cintico, ele constante e vai produzir um torque constante. Assim: = dL/dt = L/t = (Lf - Li) /t t = (Lf Li)/. Como o aro vai parar no final Lf = 0. A fora de atrito cintica vai produzir um torque contrario ao movimento de giro do aro, pelo qual o torque dele negativo = -R1*Fat = -R1cinMg; e Li = M(r2 + R12)3 Assim: t = - M(r2 + R12)3 / (-R1cinMg) = 1*(0,22 + 12)*4/(1*0,3*1*9,8)=4,16/2,94 = 1,41