G3 – FIS1026 – 14/06/2012

MECÂNICA NEWTONIANA B

NOME:___________________________________________________

Matrícula: ___________________ TURMA:_______

QUESTÃO VALOR GRAU REVISÃO

1 3,5

2 3,5

3 3,0

Total 10,0

Dados:

g = 10 m/s2;

α constante: Δω = αt; Δθ = ω0 t + ½ αt2; ω2= ω02 + 2αΔθ;

τ = r × F; Στ = Iα;

I = Σ miri2; at = αr; vt = ωr; Ip = Icm + Md2;

Icm = β MR2; βaro = 1; βcilindro/disco = 1/2; βesfera sólida= 2/5; Icm haste = 1/12 ML2;

L = r × p; L = I ω ; Στext = dL/dt ; sen 30o = 0,50 ; cos 30o = 0,86.

A duração da prova é de 1 hora e 50 minutos.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS E CÁLCULOS

EXPLÍCITOS

Não é permitido destacar folhas deste caderno de respostas.

A prova só poderá ser feita a lápis, caneta azul ou preta

É permitido o uso de calculadoras científicas simples.

Não é permitido o uso de aparelhos celulares.

x

y

z

Sistema de coordenadas

G3 – FIS1026 – 14/06/2012

1ª QUESTÃO (3,5 pontos) Considere o sistema ao lado, onde um cilindro maciço de massa 2M e raio 2R pode girar sem atrito em torno de um eixo vertical fixo à superfície, que passa pelo seu centro de massa. Uma corda ideal e de massa desprezível está enrolada em torno do cilindro, passa por uma polia em forma de aro com massa M e raio R e está presa a um bloco de massa desconhecida. Não há atrito nos eixos da rotação da polia e do cilindro e não ocorre escorregamento da corda no cilindro ou na polia. Tampouco há atrito entre o bloco e a superfície do plano inclinado. O raio R da polia (aro) vale 10 cm e o ângulo θ é 30o . Observa-se que o bloco desce com uma aceleração linear a = 0,1 m/s2.

(a) [1,0] Havendo o sistema partido do repouso, observa-se que a polia sofre um deslocamento angular total de 50 radianos até que o bloco chegue à base da rampa. Determine o tempo de queda do bloco, Δt, e a velocidade angular final do cilindro maciço, ωcil.

(b) [0,6] Faça o diagrama do corpo livre para cada componente do sistema, representando claramente as forças que agem em cada um dos componentes e o sentido de seus movimentos (de translação ou rotação).

(c) [0,9] Escreva as equações resultantes das Leis de Newton (rotacional e translacional) para os três corpos.

(d) [1,0] A partir das equações da letra (c), determine o valor da massa do bloco, em termos de M.

2ª QUESTÃO (3,5 pontos)

Um disco de raio r e massa M desce sem deslizar, a partir do repouso, a rampa inclinada conforme a figura. Após chegar à base da rampa AB, ele segue na horizontal para a pista em forma de circunferência com raio R e sobe essa pista rolando sem deslizar. O ângulo entre a rampa e a horizontal é θ = 30º. O raio do disco r vale r = R/10 e o comprimento (D) da rampa, do ponto A ao ponto B, vale D = 8R, onde R é o raio da pista

circular. A aceleração da gravidade local é g. A linha tracejada corresponde a uma possível trajetória do centro de massa (CM) do disco.

(a) [1,0] Faça o diagrama de forças para o disco durante o percurso de A até B. A partir das leis sobre torque e força, obtenha uma expressão literal, em função de g, para o valor da aceleração do CM (aCM) do disco entre A e B. Use o sistema de coordenadas desenhado na figura.

(b) [0,7] Indique claramente o sentido da força de atrito estática (fE) feita pela superfície da rampa sobre o disco. Determine uma expressão literal para fE, em função de M e g. Resolva através da segunda lei de Newton aplicada ao centro de massa do disco.

(c) [1,0] Encontre uma expressão literal para o valor da velocidade angular do disco (ωB) em torno de um eixo horizontal que passe em seu CM, quando o disco chega ao ponto B, em função de g e R. Resolva através do uso de leis físicas referentes à energia mecânica.

(d) [0,8] O valor mínimo da velocidade do CM do disco para passar no ponto mais alto da

pista circular (C), sem perder o contato com a pista, é !!"!"# =   ! ! − ! = !!"  !".

Obtenha uma expressão literal para a velocidade do CM do disco no ponto C, vCM, em função de g e R através de leis físicas sobre a energia mecânica. Compare com o valor mínimo dado e diga se o disco passará pelo ponto C em contato com a pista ou se descolará dela antes de chegar a C. 3ª QUESTÃO (3,0 pontos) Um aro uniforme de raio r = 0,2m e massa M =1,0 kg está preso a um fio de massa desprezível e está girando em uma superfície horizontal. Na figura ao lado, a trajetória do centro de massa do aro está indicada pela circunferência tracejada. A trajetória tem raio R1 =1,0 m e a velocidade angular do aro é ω1 = 2 rad/s. Suponha inicialmente que não há atrito entre o aro e a superfície. (a) [0,5] Escreva o modulo do momento angular L1 do aro em relação ao centro da trajetória. (b) [1,0] Um dispositivo oculto no centro da trajetória diminui o raio para R2 = 80 cm. Neste novo raio, qual é o novo valor da velocidade angular ω2? Justifique claramente o conceito físico utilizado. (c) [0,5] Encontre o trabalho realizado pelo dispositivo oculto da letra (b). (d) [1,0] Suponha agora que há atrito entre o aro e a superfície. Se no instante t = 0 o aro está girando na circunferência de raio R1 (original) e com velocidade angular ω3 = 4 rad/s, e que o coeficiente de atrito estático é 0,4 e o de atrito cinético é 0,3, calcule o intervalo de tempo que o aro demora em parar totalmente.

1ª QUESTÃO (a) (b) (c)

(d) 2ª QUESTÃO (a) !!" = !!! !!"  +    !!"  +    !!"  = !!! , onde escolhemos um ponto G de contato entre o disco e a rampa como o ponto de referência para o cálculo dos torques. Como os pontos de aplicação das forças normal ! e de atrito estático !! coincidem com o ponto G, seus torques valem zero e temos:

!!"  = !!!   onde !!" e !  apontam para dentro da folha ao longo do eixo z. Como !!" = !"#$%&, vem:

!"#$%& = !!! (1). Substituindo ! = !", !! =   !!" +!!! =  

!!!!! +  !!! =   !

!!!! e ! =   !!"

! em (1) temos:

!"#!"#$ = !

!!!! !!"

! !!" = !

!!"#$% = !

!!.

Obs: o problema pode ser resolvido também escolhendo o CM do disco como referência para o torque. O resultado para fE será o mesmo.

(b) !! = !!!" !"#$% −   f! = !!!" f! = !"#$% −!!!" f! = !"#$%& −! !

!!"#$% !! =

!!!"#$%& = !

!!".

(c) As forças não conservativas (Normal e Força de Atrito Estática) não realizam trabalho ao longo da descida da rampa. Vale a conservação da energia mecânica:

!!" = !!" !! + !! = !! + !! !"#$%&'   =     !

!!!!"! +    

!!!!"!!!,

onde !"#$% é a altura entre as posições do CM do disco nos pontos A e B. Usando !!" =   !

!!!!  , !!" = !!!

na expressão anterior vem: !"#$%&'   =   !

!!!!(!!! +    

!!!!!) 2!"#$%& =   !

!!!!! !!! =  

!!!!

!"!"#$

!! =  !!!!

!"!"#$ ou !! =  !" !!"

.

(d) As forças não conservativas (Normal e Força de Atrito Estática) não realizam trabalho entre os pontos A e C. Vale a conservação da energia mecânica: !!" = !!" !! + !! = !! + !! !"#$%&'   =  !" 2! − 2! +  !

!!!!"! +    

!!!!"!!!,

onde !!" =   !

!!!!  . Usando !!" = !!!, ! = 8!, ! = !

!", !"#$ = !

!, temos:

!"#4 =  !"# !

!+  !

!!!!"! +  

!!

!!!!! !!"!

!! 4 − !

!!"# =   !

!!!"! ! + !

!!

!!!!" =   !

!!!"! !!"!(!) =  

!!!"!" > !!"#í!! =

!!"!".

Conclui-se que o disco passará pelo ponto mais alto da pista circular sem descolar dela. 3ª QUESTÃO (a) Neste caso, L = Iω. O momento de inércia tem que ser calculado usando o teorema dos eixos paralelos I = ICM + MR2 = Mr2 + MR1

2 = M(r2 + R12). Assim,

L1 = M(r2 + R12)ω1 = 1 (0,22 + 12)*2 = 2,08 kg*m2/s

b) Neste caso, as forças fazendo torque são o peso e a normal, porem a soma destes dois torques é nula. Assim, o momento angular é conservado durante todo o processo: L1 = L2 M(r2 + R1

2) ω1 = M (r2 + R22) ω2 ω2 = ω1 (r2 + R1

2) / (r2 + R22) = 2*(0,22 +

12)/(0,22 + 0,82) = 2 * 1,04/0,68 = 3,06 rad/s c) A única força que faz trabalho neste processo é a força de tração no arame. Assim, pelo teorema trabalho-energia: WT = KF – KI = ½ IFωF

2 - ½ IIωI2 = 0,5*0,68*3,062 – 0,5*1,04*22 = 3,18 – 2,08 = 1,1 J

d) Como a força de atrito que age é o atrito cinético, ele é constante e vai produzir um torque constante. Assim: τ= dL/dt = ΔL/Δt = (Lf - Li) /Δt Δt = (Lf – Li)/τ. Como o aro vai parar no final Lf = 0. A força de atrito cinética vai produzir um torque contrario ao movimento de giro do aro, pelo qual o torque dele é negativo τ= -R1*Fat = -R1µcinMg; e Li = M(r2 + R1

2)ω3 Assim: Δt = - M(r2 + R1

2)ω3 / (-R1µcinMg) = 1*(0,22 + 12)*4/(1*0,3*1*9,8)=4,16/2,94 = 1,41