02 Fisica Dispositivi EL

Elementi di Fisica dei i i i i l i iDispositivi Elettronici

Si ringrazia il Prof. Giustolisi autore dei seguenti lucidi e figureseguenti lucidi e figure.

Corso di Elettronica I S. Pennisi DIEEI - Università di CATANIA 1

Forza elettricaForza elettricaLa forza F tra due cariche puntiformi q0 e q1 poste a distanza r nel vuoto è data dalla

0 12

14

q qFrπε

=

vuoto è data dalla

ε0 = 8.854 ·10-14 F/cm04 rπε

Se r0,1 è il vettore posizione che va da q1 a q0, la forza cui è soggetta q0 a causa della presenza di q1 è

0 10,1 0,12

0 0 1

1 ˆ4

q qrπε

=F r

q0 a causa della presenza di q1 è

0 0,1

La forza, F, dovuta a n cariche statiche, q1, q2, ..., qn, poste nel vuoto, esercitata sulla carica q0 è

00, 0,2

1 10 0,

ˆ4

n ni

i ii i i

q qrπε= =

= =∑ ∑F F r

vuo o, ese c a a su a ca ca q0 è

DIEEI - Università di CATANIA 2

0 0,i

Campo elettricoCampo elettrico

Il campo elettrico, E, si ottiene dividendo la forza F per q0c po e e co, , s o e e d v de do o pe q0

00, 0,2

1 10 0,

ˆ4

n ni

i ii i i

q qrπε= =

= =∑ ∑F F r 0,210 0,

1 ˆ4

ni

ii i

qrπε =

= ∑E r, ,

e rappresenta quella forza cui è soggetta una carica positiva unitariain un punto dello spazio a causa della presenza di altre cariche.


Potenziale elettricoPotenziale elettricoLa differenza di potenziale tra due punti A e B (VBA)

equivale alequivale allavoro cambiato di segno compiuto dalle forze del campo per

spostare l’unità di carica positiva da A a B.spostare l unità di carica positiva da A a B.

E verso del campodB

V V V E∫

x

E verso del campo elettrico

E t d l E

dBA B A xA

V V V E x= − = −∫

A B

x• Ex = componente del campo Elungo l’asse x.

• Il segno meno si può interpretare

VA VB VB > VA

come il lavoro eseguito contro la forza del campo.


L’AtomoLAtomo

È f t d l iti d i t di l tt iÈ formato da un nucleo positivo e da un guscio esterno di elettroni(negativi). L’atomo è normalmente neutro e la carica del nucleo è un multiplo intero della carica dell’elettrone q=1.60*10-19.multiplo intero della carica dell elettrone q 1.60 10 .

Gli elettroni di valenza sono quelli più periferici e che si rendonoGli elettroni di valenza sono quelli più periferici e che si rendono disponibili a formare legami per costituire aggregati di atomi.

Sotto particolari condizioni l’atomo può perdere uno o più elettroni e diventare uno ione (positivo).


TAVOLA PERIODICA DEGLI ELEMENTI

I A II A III B IV B V B VI B VII B I B II B III A IV A V A VI A VII A VIII AVIII B21 1.008

TAVOLA PERIODICA DEGLI ELEMENTI

H He

Li Be B C N O F Ne

S S C

boro azoto ossigeno

567 891 0

13 14 15 16 17 1811 12

34 10.81 14.006 15.999

26.98 28.09 30.97

idrogeno

carbonio

12.011

Na Mg Al Si P S Cl Ar

K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr

Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc R Ag Cd In Sn Sb Te I Xe

Co

Rh

Ni

Pd

rame

alluminio silicio

gallio germanio

fosforo

arsenico

31 32 33 34 35 36

49 50 51 52 53 54

25 26 27 28 29 30

43 44 45 46 47 4837 38 39 40 41 42

19 20 21 22 23 24 74.9272.5969.7263.55

118.69114.82 121.75

Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Ag Cd In Sn Sb Te I Xe

Cs Ba (1) Hf Ta W Re Os Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn

Fr Ra (2) Rf Ha

Rh

Ir

Pd

Pt81 82 83 84 85 8675 76 77 78 79 80

105 106 107 108 109 110

55 56 57-71 72 73 74

87 88 89-103 104

stagno

oro

196.97 207.2

piombo

indio antimonio

(1)

Fr Ra (2) Rf Ha

Ce Pr Nd Pm Sm Eu Dy Ho Er Tm Yb LuGd TbLa69 70 7163 64 65 66 67 6857 58 59 60 61 62

H1 1.008

(2) Ac Th Pa U Np Pu Bk Cf Es Fm Md No LrAm Cm99 100 10193 94 95 96 97 9889 90 91 92 102 103

ll ll bilpeso atomico

i b l hi inumero atomico

DIEEI - Università di CATANIA 6idrogeno metallo non metallo gas nobilenomesimbolo chimico

Classificazione elettrica dei materialiClassificazione elettrica dei materialiConduttori

i d iFacilità con cui gli elettroni

lib i di i l lSemiconduttori Isolanti

sono liberi di muoversi al loro interno

MetalliGli elettroni periferici non

IsolantiTutti gli elettroni di valenza sono

partecipano alla formazione di legami covalenti e rimangono lib i di i tt l’ ff tt

coinvolti in legami covalenti.Occorre molta energia per t li f li t i llliberi di muoversi sotto l’effetto

di un campo elettricostaccarli e farli partecipare alla conduzione


Moto degli elettroni in un conduttore gdovuto all’agitazione termica

In un conduttore gli elettroni sono liberi Se il campo elettrico èIn un conduttore gli elettroni sono liberi. Se il campo elettrico è nullo, il moto di un elettrone è dovuto all’energia termica e può essere visto come una rapida successione di urti all’interno del preticolo che compone la struttura del materiale conduttore.

Nell’intervallo di tempo medio che intercorre tra due collisioni τNell intervallo di tempo medio che intercorre tra due collisioni, τc, gli elettroni acquisteranno una velocità media, vth, e percorreranno una distanza media l (l = vthτc).

l viene detta libero cammino medio e rappresenta la distanza media che intercorre trarappresenta la distanza media che intercorre tra due urtiτc rappresenta l’intervallo di tempo medio tra due collisioni


due collisioni

Energia cinetica degli elettroni nei g gconduttori per agitazione termica

In un tempo abbastanza lungo (parecchi τ ) non esistendo unaIn un tempo abbastanza lungo (parecchi τc), non esistendo una direzione preferenziale, la velocità media è nulla (<vth> = 0), ma la velocità quadratica media è diversa da zero (<v2

th> ≠ 0)

Un modello efficace rappresenta il moto degli elettroni come il moto di particelle gassose prive di carica (nube di elettroni).

q ( th )

moto di particelle gassose prive di carica (nube di elettroni).

L’energia cinetica degli elettroni sarà pari a kT/2 per ogni grado di libertà (direzione in cui l’elettrone si muove)libertà (direzione in cui l elettrone si muove)

1 moto unidimensionale1 kT⎧⎪⎪

vth è la velocità della particellam’ massa efficace

21 232 moto tridimensionale2

n thm vkT

⎪⎪′ = ⎨⎪⎪⎩

m n, massa efficacek è la costante di Boltzmann(1.38⋅10–23 J/K).


2⎪⎩

Moto nei conduttori in presenza di unMoto nei conduttori in presenza di un campo elettrico

In presenza di un campo elettrico, E, ogni elettrone viene accelerato da una forza –qE. Questo causa un moto detto di deriva.

A vth si sovrappone quindi un’ulteriore componente, vn, il cui valor di l t è di d

A causa degli urti si otterrà una velocità media costante

medio nel tempo è diverso da zero.

La velocità media è proporzionale al campo elettrico ed è detta velocità di deriva (drift) e indicata con vvelocità di deriva (drift) e indicata con vd


caso unidimensionale caso tridimensionalecaso unidimensionale caso tridimensionale

2

xndx Ev μ−= Ev nd μ−=

μn = coefficiente di mobilità degli elettroni [cm2/V*s]

La mobilità è costante solo per bassi campi elettrici.

L l ità t ( ) lti iLa velocità satura (vmax) per alti campi

3<10 V/cmn Eμ⎧⎪

3 4

4

( ) ( ) 1 10 V/cm < <10 V/cm

( ) 1 10 V/cm

n

n n

n

E E E E

E E E

μ

μ μ

μ

⎧⎪⎪= ∝⎨⎪ ∝ >⎪⎩ ( )nμ⎪⎩


Corrente elettrica in un conduttoreCorrente elettrica in un conduttoreLa corrente I è una grandezza scalare che rappresenta la variazione di carica nell’unità di tempo

dQI =d

It

=

Se N particelle di carica q sottoposte a un campo E attraversano un conduttore di sezione A lungo la direzione dell’asse x, la corrente risultante è la carica totale, Nq, che attraversa A nell’unità di tempo

E

A

E

LvNq

tNqI d==

vdx è la velocità di deriva con cui le cariche coprono la lunghezza L

xLLt


vdx è la velocità di deriva con cui le cariche coprono la lunghezza L

Densità di CorrenteDensità di Corrente

La densità di corrente J è un vettore e indica la corrente per unità di superficie (A/m2).

NI

p ( )caso unidimensionale caso tridimensionale

dxdx

x qnvLA

qNvAIJ === dqnvJ =

Dove n=N/LA è la concentrazione (volumica) di portatori [cm-3].


Legge di Ohm

EEvJ σμ === d qnqn

Legge di Ohm

EEvJ σμnd qnqn

σ=qnμn è la conducibilità [Ω·cm]-1 ,

σ=1/ρ dove ρ è la resistività

Da cui ricaviamo la legge di Ohm

AI AE VLσσ= =

L LRA A

ρσ

= =

RIV =


Mobilità e temperaturaMobilità e temperatura

Al d ll t t il i di ib i d li t iAl crescere della temperatura, il raggio di vibrazione degli atomi del materiale conduttore aumenta per agitazione termica

Incrementa la probabilità che un elettrone collida con un atomo durante il suo libero cammino medio

Diminuisce il tempo medio tra due collisioni, τc

L’incremento della temperatura ostacola il moto della carica

Ciò è in accordo con la legge di Ohm: la resistenza aumenta all’aumentare della temperatura


I semiconduttoriI semiconduttori


SemiconduttoriSemiconduttoriSono microscopicamente simili agli isolanti (tutti gli elettroni di

l i l i i l i l i)valenza sono coinvolti in legami covalenti).La sola energia dovuta all’agitazione termica (< 2 eV) è sufficiente

lib di l i d li di ibili lla liberare un certo numero di elettroni e a renderli disponibili alla conduzione

CompostiElementi della IV colonna

Atomi singola specieElementi della IV colonnaili i (Si) i (G ) C ti

Elementi della IV colonna silicio carbonio (SiC)

silicio (Si), germanio (Ge). CompostiElementi di III e V colonnaarsenurio di gallio (GaAs)


arsenurio di gallio (GaAs)

SilicioSilicioL’atomo di Si ha 14 elettroni ed è tetravalente (4 elettroni dio o d S e e o ed è e v e e ( e e o dvalenza)

Rappresenta il principale materiale per la realizzazione dicomponenti a semiconduttore, soprattutto per la possibilità direalizzare facilmente un materiale isolante di elevata qualità (ilrealizzare facilmente un materiale isolante di elevata qualità (ilbiossido di silicio, SiO2)

Basso costo rispetto ad altri materiali (nella forma di silice o disilicati, costituisce il 25% della crosta terrestre)

La tecnologia per la sua lavorazione è di gran lunga la piùavanzata rispetto a quella degli altri semiconduttori

18avanzata rispetto a quella degli altri semiconduttori

DIEEI - Università di CATANIA

Disposizione degli atomi di silicioDisposizione degli atomi di silicioIl silicio ha una struttura cristallina. Gli atomi formano un tetraedroI quattro elettroni del guscio esterno legano gli atomi del cristallo mediante legami covalentimediante legami covalenti

z

+4 +4 +4 zona divalenza

+4 +4 +4

e1

e2

y +4 +4 +4 zona di

d i19

x conduzioneDIEEI - Università di CATANIA

Elettroni e lacuneElettroni e lacuneL’agitazione termica può liberare un elettrone e farlo saltare dalla

di l ll di d izona di valenza alla zona di conduzioneUn elettrone libero lascia alle sue spalle una lacuna (hole)

Processo di generazione coppie elettrone lacuna +4+4+4elettrone-lacuna

Sotto l’applicazione di un campo elettrico gli elettroni liberi partecipano

+4+4+4

elettrico gli elettroni liberi partecipano alla conduzione di corrente

Anche le lac ne t tta ia danno il loro

+4 +4 +4

lac naelettrone h1 e4

e3 e2

Anche le lacune tuttavia danno il loro contributo alla conduzione di corrente +4 +4 +4

lacuna e1

20DIEEI - Università di CATANIA

Moto di elettroni e lacuneMoto di elettroni e lacuneGli elettroni liberi vengono detti elettroni di conduzione.

lli ll di l liQuelli nella zona di valenza sono gli elettroni di valenza.Sottoposto al campo E, l’elettrone di conduzione e si sposta verso destra Econduzione e1 si sposta verso destraGli elettroni di valenza e2, e3 ed e4 si spostano verso destra (l i i t +4+4+4

E

spostano verso destra (la posizione occupata da e2 era inizialmente dalla lacuna h1 )

Nulla ci vieta di dire che sotto l’azione

+4+4+4

Nulla ci vieta di dire che, sotto l azione del campo elettrico, la lacuna si sia spostata verso sinistra

+4 +4 +4

e1 h1 e2

e3e4

pLa lacuna è una pseudo-carica positivaElettportatori roni e lacune sono detti

+4 +4 +4

DIEEI - Università di CATANIA

21

Elettportatori roni e lacune sono detti anche (di carica)

Semiconduttori intrinseciSemiconduttori intrinseciIl semiconduttore puro viene detto intrinseco

Nel semiconduttore intrinseco ogni elettrone che si libererà dal legame covalente creerà una lacunalegame covalente creerà una lacuna

Il numero delle lacune sarà uguale a quello degli elettroni liberig q g

Definendo rispettivamente con p ed n il numero di lacune e di l i i à di l i i i d i àelettroni per unità di volume presenti in un semiconduttore, si avrà

in p n= =

ni prende il nome di concentrazione intrinseca dei portatori o, semplicemente concentrazione intrinseca


semplicemente, concentrazione intrinseca

Concentrazione intrinsecaConcentrazione intrinsecani dipende dalle caratteristiche del semiconduttore ed è funzione d lldella temperaturaIl valore di ni è dovuto ad un bilanciamento tra il tasso di generazione ed il tasso di ricombinazionegenerazione ed il tasso di ricombinazione

Silicio1 45 1010 3 @ 300 K

( )3 E T⎡ ⎤

ni = 1.45⋅1010 cm–3 @ 300 K

m-3

)

( )2exp2G

i

E Tn CT

kT⎡ ⎤

= −⎢ ⎥⎣ ⎦ n i

(cm

C è una costantek è la costante di Boltzmann E (T) è l’energia di bandgap


EG(T) è l energia di bandgap Temperatura (°C)

Corrente di deriva nel Si intrinsecoCorrente di deriva nel Si intrinsecoLa corrente di deriva sarà causata dal moto degli elettroni e delle llacune.

La relazione che esprime la densità di corrente tiene conto di questoLa relazione che esprime la densità di corrente tiene conto di questo doppio contributo

( )q n pμ μ= +j E ( )Eμμ +

mobilità (cm2/Vs)

( )n pq n pμ μ= +j E

μn e μp rappresentano la mobilità

( )Epniqn μμ +=

mobilità (cm2/Vs) Semiconduttore elettroni lacune Silicio 1450 505 A i di lli 9200 320

μn μp ppdegli elettroni e delle lacune

L d bilità h l i Arsenurio di gallio 9200 320 Germanio 3900 1900

Le due mobilità hanno valori differenti e la mobilità delle lacune è inferiore a quella degli elettroni.


q g

OsservazioneUn cristallo di Si possiede 5 1022 atomi/cm3

Osservazionep

Siccome a temperatura ambiente ni=1.45 1010 cm-3, ciò significa che meno di 1 atomo su 1012 contribuisce a generare una coppia elettrone-lacuna.

Per questo motivo la conducibilità del silicio (semiconduttorePer questo motivo la conducibilità del silicio (semiconduttore intrinseco) è molto bassa e non particolarmente idonea per realizzare dispositivi elettronici. p


Semiconduttori estrinseciSemiconduttori estrinseciÈ possibile inserire in un semiconduttore intrinseco altri elementihi i i i l d ibilichimici per variarne la conducibilità

Tali elementi vengono detti droganti o anche impuritàTali elementi vengono detti droganti o anche impurità

Il semiconduttore così trattato viene detto drogato, impuro o g , pestrinseco

C i di d 5 02 1022 3 ( i d l ili i )Vincoli

Concentrazione di drogante << 5.02⋅1022 cm-3 (atomi del silicio)

Concentrazione di drogante >> 1 45 ⋅1010 cm-3 (= n )Concentrazione di drogante >> 1.45 ⋅10 cm (= ni)

1014 atomi/cm3 < concentrazione drogante < 1020 atomi/cm3


g

Tipi di droganteTipi di droganteGli elementi droganti che sono in grado di alterare le proprietà l i h di i d ll llelettriche di un semiconduttore, appartengono alla V o alla III

colonna della tabella periodica degli elementi

Tali elementi sono pentavalenti o trivalenti in quanto possiedono rispettivamente cinque o tre elettroni che possono formare legami p q p gcovalenti con gli atomi adiacenti.

Droganti TrivalentiBoro

Droganti PentavalentiAntimonioBoro

GallioIndio

AntimonioFosforoArsenico


Drogaggio con elementi pentavalentiDrogaggio con elementi pentavalentiL’atomo drogante usa quattro dei cinque elettroni del suo guscio

f l lesterno per formare un legame covalente

L’elettrone in più non è legato al reticolo e può facilmenteL elettrone in più non è legato al reticolo e può facilmente diventare un elettrone libero

Gli i d i hi i +4+4+4Gli atomi droganti vengono chiamati atomi donori o di tipo n

+4+4+4

elettrone

Il semiconduttore viene detto drogato di tipo n

+4 +5 +4

p

La concentrazione di drogante di tipo i i di t N

+4 +4 +4

DIEEI - Università di CATANIA 28n viene indicata con ND

Drogaggio con elementi pentavalentiDrogaggio con elementi pentavalentiUna volta che l’elettrone si allontana, il drogaggio di tipo n crea uno ione positivo

Differentemente da una lacuna lo ione è una carica positiva fissaDifferentemente da una lacuna, lo ione è una carica positiva fissa

Rispetto al semiconduttore intrinseco: +4+4+4Rispetto al semiconduttore intrinseco:

•Il tasso di generazione rimane

+4+4+4

elettrone

immutato•Il tasso di ricombinazione aumenta a

d ll’ t d li l tt i lib i

+4 +5 +4

causa dell’aumento degli elettroni liberi•La concentrazione di lacune è minore

+4 +4 +4


minore

Drogaggio con elementi trivalentiDrogaggio con elementi trivalentiL’atomo drogante usa tutti i suoi tre elettroni del suo guscio esterno

f l lper formare un legame covalente

Il legame non formato crea una lacuna in grado di partecipare allaIl legame non formato crea una lacuna in grado di partecipare alla conduzione di corrente

Gli i d i hi i +4+4+4Gli atomi droganti vengono chiamati atomi accettori o di tipo p

+4+4+4

Il semiconduttore viene detto drogato di tipo p

+4 +3 +4

p p

La concentrazione di drogante di tipo i i di t N

+4 +4 +4

lacuna

DIEEI - Università di CATANIA 30p viene indicata con NA

Drogaggio con elementi trivalentiDrogaggio con elementi trivalentiUna volta che la lacuna si allontana, il drogaggio di tipo p crea uno ione negativo

Differentemente da un elettrone lo ione è una carica negativa fissaDifferentemente da un elettrone, lo ione è una carica negativa fissa

Rispetto al semiconduttore intrinseco:+4+4+4

•Il tasso di generazione rimane immutato

+4+4+4

immutato•Il tasso di ricombinazione aumenta a causa dell’aumento delle lacune

+4 +3 +4

•La concentrazione di elettroni è minore +4 +4 +4

lacuna


Riepilogo degli effetti del drogaggioRiepilogo degli effetti del drogaggio

Drogaggio di tipo n Drogaggio di tipo pDrogaggio di tipo n• Aumenta la

t i d li

Drogaggio di tipo p• Aumenta la

t i d llconcentrazione degli elettroni

concentrazione delle lacune

• Genera cariche positive fisse (ioni)

• Genera cariche negative fisse (ioni)

• Diminuisce la concentrazione di

• Diminuisce la concentrazione degli

lacuneg

elettroni


Mobilità nei semiconduttori estrinseciMobilità nei semiconduttori estrinseciQuando una carica passa accanto ad uno ione essa subisce una forza

d bi l i iCoulombiana ed è costretta a cambiare la sua traiettoria

Maggiore è la concentrazione di drogante minore sarà la mobilitàMaggiore è la concentrazione di drogante, minore sarà la mobilitàdelle cariche

Nel silicio la mobilità diminuisce di circa un ordine di grandezzapassando da drogaggi di 1014 a 1020 cm–3di 10 a 10 cm


Equilibrio termicoEquilibrio termicoIn un semiconduttore la condizione di equilibrio termico implica un

f i i ( li i ) diperfetto bilanciamento tra i processi (o meglio i tassi) di generazione e ricombinazione

Processi Generazione-Ricombinazione1. Elettrone si svincola da un atomo Si → creazione coppia pp

elettrone-lacuna2. Elettrone verso lacuna→ annichilimento coppia elettrone-

llacuna 3. Elettrone da atomo donore → elettrone + ione positivo4 Elettrone verso atomo accettore → lacuna + ione negativo4. Elettrone verso atomo accettore → lacuna + ione negativo


Legge dell’azione di massaLegge dell azione di massa

2np n

N l di i d tt i t i l l è b l t

inp n=

Nel caso di un semiconduttore intrinseco la legge è banalmente verificata.

In un semiconduttore drogato (ad esempio di tipo n) vi sarà un portatore di carica prevalente (in questo caso l’elettrone) detto maggioritario. L’altro viene detto minoritario.


Bilancio di carica in un semiconduttoreBilancio di carica in un semiconduttoreIn un semiconduttore drogato (ND o NA) a temperatura ambiente (T

300 K) tutti gli atomi di drogante sono ionizzati= 300 K) tutti gli atomi di drogante sono ionizzatiVale quindi la seguente equazione di neutralità di carica

D AN p N n+ −+ = +

Nel semiconduttore di tipo n (con ND >> ni e NA = 0) si hap ( D i A )

n Dn N≈2i

nnpN

≈DN

Nel semiconduttore di tipo p (NA >> ni e ND = 0) si ha

p Ap N≈2i

pA

nnN

≈


Diffusione di portatoriDiffusione di portatori


Concentrazioni non uniformi e motoConcentrazioni non uniformi e moto dei portatori

Differentemente dai conduttori, nei semiconduttori esiste un altro fenomeno di trasporto di carica oltre alla deriva: la corrente di diffusionediffusioneDato il movimento casuale delle cariche dovuto

( l)

n(l) n(0)

n

all’agitazione termica, si osserva un movimento nettod ll i i i

n(-l) n(0)

dalle regioni a maggior concentrazione verso quelle a minore concentrazione

1 2 correnteminore concentrazione

Nel caso degli elettroni, la corrente elettrica è opposta al moto delle cariche

l l0

x corrente

DIEEI - Università di CATANIA 38-l l0

Corrente di diffusioneCorrente di diffusioneVelocità media degli elettroni vth

Dopo un tempo τc metà degli elettroni che si trovavano tra il th

Libero cammino medio lTempo di percorrenza τc (= l/vth)

elettroni che si trovavano tra il punto –l e 0 attraverserannol’origine

( l)

n(l) n(0)

n l origine

Il flusso di particelle sarà metàn(-l) n(0)

area 1 diviso il tempo dipercorrenza, τc

1 2 Analogamente faranno gli elettroni dell’area 2

l l0

x e e o de e

Il flusso netto è la differenza

DIEEI - Università di CATANIA 39-l l0dei due flussi

Corrente di diffusioneCorrente di diffusione

dnddnx nnj qDx

=

n thD v l=

è chiamata costante di diffusione o diffusività [m2/s]

Moltiplicando il flusso per la carica dell’elettrone, –q, otteniamo la densità di corrente di diffusione per gli elettroni


Corrente nei semiconduttoriCorrente nei semiconduttori

Contributi di diffusione dovuti a un gradiente di concentrazioneContributi di diffusione dovuti a un gradiente di concentrazione

ddnx nnj qD=

ddpx ppj qD= −

dnx nj qxdpx pj q

x

Contributi di deriva dovuti all’applicazione di un campo

px p xj qp Eμ= nx n xj qn Eμ=

dndp

Correnti totali

ddnx n x nnj qn E qDx

μ= +ddpx p x ppj qp E qDx

μ= −


Relazione di EinsteinRelazione di Einstein

kT kTn n T n

kTD Vqμ μ= = p p T p

kTD Vqμ μ= =

Tnp VDD== T

np μμ

VT = kT/q è denominata tensione termica

11600TTV = Pari a circa 26 mV a

temperatura ambiente (300 K)


Potenziale all’interno di un materiale con

concentrazione non uniforme di portatori


Correnti in un semiconduttore aCorrenti in un semiconduttore a concentrazione non uniforme

In un semiconduttore con concentrazione non uniforme di portatori (es. lacune p1 e p2) si crea una corrente di diffusione

Poiché il circuito è aperto, la corrente totale che si osserva è nulla

Deve esistere una corrente di deriva (e quindi un potenziale elettrico) all’interno del materiale

p1 p2

1 2

d 0dpx p x ppj qp E qDx

μ= − =

x=0 x

1 21 d 1 d

d dp

x T

D p pE V= =DIEEI - Università di CATANIA 44

x=0 xd dx Tp p x p xμ

Potenziale in un semiconduttore aPotenziale in un semiconduttore a concentrazione non uniforme

Cioè si instaura un campo elettrico che si oppone alla diffusione.Il campo elettrico consente di determinare il potenziale

1 ddx TpE V

p x=

2

1

2

211

dpdp

p

x Tp

V E x V= − = −∫ ∫

121

2

lnTpV Vp

= 221

1

lnTnV Vn

=da cui

p1 p2

La differenza di potenziale V21 è nota come potenziale di contatto p1 p2

1 2 come potenziale di contattoÈ indipendente dal livello intermedio di drogaggio tra il punto 1 e il punto 2

DIEEI - Università di CATANIA 45x=0 x

Equazioni di BoltzmannEquazioni di BoltzmannSi ottengono invertendo le formule dei potenziali di contatto

211 2e TV Vp p= 21

1 2e TV Vn n −=

Consentono di ricavare le concentrazioni noto il potenziale

È ibil i l l d ll’ i di id d dÈ possibile ricavare la legge dell’azione di massa considerando ad es. il materiale 2 come intrinseco con p2 = n2 = ni

211 e TV V

ip n= 211 e TV V

in n −=

lti li d t di l2

1 1 ip n n=

e moltiplicando tra di loro


Potenziale di FermiPotenziale di FermiIl potenziale di Fermi di un semiconduttore, φF, altro non è che il

i l di il i d i i ilpotenziale di contatto tra il semiconduttore intrinseco e il semiconduttore considerato

121

2

lnTpV Vp

= lnF Ti

pVn

φ =

221

1

lnTnV Vn

= lnF Ti

nVn

φ = −1 i

Si trova facilmente che il potenziale di contatto tra due semiconduttori differentemente drogati può esprimersi tramite ilsemiconduttori differentemente drogati può esprimersi tramite il potenziale di Fermi

( )21 2 1F FV φ φ= − −Elettronica 1 DIEEI - Università di CATANIA 47

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02 Fisica Dispositivi EL

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