Ένας παρατηρητής ακίνητος επί οριζοντίου εδάφους (αδρανειακός παρατηρητής) καταγράφει την κίνηση ενός oρισµένου σηµείου της περιφέρειας µιας κυκλικής στεφάνης, η οποία κυλίεται ισοταχώς στο έδαφος. i) Να βρείτε τις παραµετρικές εξισώσεις της επίπεδης τροχιάς που διαγράφει το σηµείο, αν κατά την αρχή του χρόνου (t=0) βρίσκεται στην αρχή του συστήµατος συντεταγµένων. ii) Nα δείξετε ότι κάθε στιγµή η επιτάχυνση του σηµείου κατευθύ νεται προς το κέντρο C της στεφάνης, η δε κεντροµόλος επιτάχυν σή του κατευθύνεται προς το σηµείο επαφής Α της στεφάνης µε το οριζόντιο έδαφος και να υπολογίσετε το µέτρο της σε συνάρτηση µε τον χρόνο. iii) Nα βρείτε τις παραµετρικές εξισώσεις της γραµµής που διαγρά φει το κέντρο καµπυλότητας της τροχιάς του θεωρούµενου σηµείου της στεφάνης. Δίνεται η ακτίνα R της στεφάνης και η γωνιακή τα χύτητα

�

! ! της περιστροφικής της κίνησης περί το κέντρο της.

ΛΥΣΗ: i) Ο αδρανειακός επί του εδάφους παρατηρητής, θεωρώντας την κύλιση της στεφάνης διαπιστώνει ότι ένα ορισµένο σηµείο της M διαγράφει επίπεδη καµπύλη τροχιά, η δε ταχύτητά του

�

! v είναι κάθε στιγµή εφαπτό

µενη της τροχιάς αυτής και προκύπτει ως συνισταµένη της οριζόντιας ταχύ τητάς του

�

! v

0 που οφείλεται στην µεταφορική κίνηση της στεφάνης και της

ταχύτητας

�

(! ! " CM), που οφείλεται στην περιστροφή της, η οποία είναι

εφαπτοµένη της στεφάνης στο θεωρούµενο σηµείο, όπου

�

! ! η σταθερή γωνια

κή ταχύτητα περιστροφής της στεφάνης και

�

CM το διάνυσµα θέσεως του σηµείου Μ ως προς το κέντρο C. Eπειδή την χρονική στιγµή t=0 το σηµείο αυτό βρίσκεται στην αρχή Ο του αδρανειακού συστήµατος αναφοράς Οxy, η

γωνιακή µετατόπιση του διανύσµατος

�

CM σε χρόνο t θα είναι ωt, η δε αντί στοιχη x-συντεταγµένη του σηµείου Μ θα είναι:

�

x = OMx

= OA - MxA (1)

Όµως λόγω της κύλισης της στεφάνης το σηµείο επαφής Α της µε το έδαφος

δεν ολισθαίνει πάνω σ΄ αυτό και έτσι το µήκος του τόξου ΜΑ είναι ίσο µε το µήκος OΑ, δηλαδή θα ισχύει ΟΑ=τόξο(ΜΑ)=Rωt οπότε η σχέση (1) γράφεται:

�

x = R!t - MxA (2)

Σχήµα 1

Eξάλλου από το σχήµα (1) για το µήκος ΜxΑ έχουµε:

�

MxA = (AM)!µ" = 2R!µ#t

2

$

% &

'

( ) !µ

*2

-#t

2

$

% &

'

( )

�

!

�

MxA = 2R!µ

"t

2

#

$ %

&

' ( )*+

"t

2

#

$ %

&

' ( = R!µ"t (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

x = R!t - R"µ!t = R(!t - "µ!t) (4) H αντίστοιχη y-συντεταγµένη του Μ είναι:

�

y = MMy = (AM)!"#$ = 2R%µ&t

2

'

( )

*

+ , !"#

-2

-&t

2

'

( )

*

+ ,

�

!

�

y = 2R!µ2 "t

2

#

$ %

&

' ( = R(1 - )*+"t) (5)

Οι σχέσεις (4) και (5) αποτελούν τις έξισώσεις κίνησης του σηµείου Μ, ή το ίδιο τις παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του τΜ, η οποία ονοµάζεται κυκλοειδής καµπύλη. ii) Η επιτάχυνση

�

! a του Μ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους κάθε στιγµή

δίνεται από την σχέση:

�

! a =! a

C-!

2CM( ) +

! ! '" CM( )[ ] (6)

Όµως η επιτάχυνση

�

! a

C του κέντρου C της στεφάνης και η γωνιακή της επ

τάχυνση είναι µηδενικές, οπότε η (6) γράφεται:

�

! a = -!

2CM( ) (7)

H (7) δηλώνει ότι η επιτάχυνση

�

! a είναι αντίρροπη του διανύσµατος

�

CM, δηλα δή

�

! a κατευθύνεται προς το κέντρο C της στεφάνης και το µέτρο της είναι

ίσο µε ω2R. H κεντροµόλος επιτάχυνση

�

! a

K του σηµείου Μ επί της

κυκλοειδούς τροχιάς του είναι η συνιστώσα της

�

! a σε διεύθυνση κάθετη

προς την ταχύτητά του

�

! v , που σηµαίνει ότι αυτή κατευθύνεται προς το

στιγµιαίο κέντρο περιστροφής της στεφάνης, που δεν είναι άλλο από το σηµείο επαφής Α της στεφάνης µε το οριζόντιο έδαφος. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η ΑΜ είναι κάθετη στο διάνυσµα της ταχύτητας

�

! v . Εξάλλου

το µέτρο της

�

! a

K θα είναι:

�

aK

= a!"#$2

-%t

2

&

' (

)

* + = % 2

R,µ%t

2

&

' (

)

* + (7)

iii) Eάν ρ είναι η ακτίνα της κυκλοειδούς τροχιάς στο σηµείο Μ θα ισχύει:

�

aK

=v

2

!

�

!

(7)

�

! 2R"µ

!t

2

#

$ %

&

' ( =

v2

) (8)

Για το µέτρο της

�

! v ισχύει η σχέση:

�

v2

=dx

dt

!

" #

$

% &

2

+d'dt

!

" #

$

% &

2

�

!

(4),(5)

�

v2

= R! - R!"#$!t( )2

+ R2!

2%µ 2

!t

�

!

�

v2

= R2!

2+ R

2!

2"#$

2!t - 2R

2!

2"#$!t + R

2!

2%µ

2!t

�

!

�

v2 = 2R2!

2 - 2R2!

2"#$!t = 2R2

!2(1 - "#$!t) = 4R2

!2%µ 2

!t /2( ) (9)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε:

�

! 2R"µ

!t

2

#

$ %

&

' ( =

4R2! 2"µ 2 !t /2( )

)

�

!

�

! = 4R"µ#t

2

$

% &

'

( ) (10)

Aπό την (10) παρατηρούµε ότι η ακτίνα καµπυλότητας ρ είναι διπλάσια της απόστασης ΑΜ, δηλαδή το κέντρο καµπυλότητας Κ της κυκλοειδούς σε κάθε σηµείο της είναι συµµετρικό του εν λόγω σηµείου, ως προς το σηµείο επαφής Α της στεφάνης µε το έδαφος. Εάν xK, yΚ είναι οι συντεταγµένες του Κ, τότε από το σχήµα (1) θα έχουµε:

�

xK

= OA + AB = R!t + AK"µ#2

-!t

2

$

% &

'

( )

�

!

�

xK = R!t + 2R"µ!t

2

#

$ %

&

' ( )*+

!t

2

#

$ %

&

' ( = R(!t + "µ!t) (11)

και

�

yK = -KB = -(AM)!"#$2

-%t

2

&

' (

)

* + t = -2R,µ

2 %t

2

&

' (

)

* +

�

!

�

yK = -R(1 - !µ"t) (12) Οι σχέσεις (11) και (12) αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις της γραµµής τK που διαγράφει το κέντρο καµπυλότητας της τροχιάς του σηµείου Μ. Παρατηρήσεις: α. Αν αποσυνδέσουµε την κυκλοειδή καµπύλη τΜ από την ισοταχή κύλιση της στεφάνης, τότε αυτή εκφράζει µια επίπεδη καµπύλη µε παραµετρικές εξισώσεις της µορφής:

�

x = R(! - "µ!)

y = R(1 - #$%!)

& ' ( 0 ) ! ) 2*

β. Aν αντιστρέψουµε την κυκλοειδή καµπύλη τΜ και µετατοπίσουµε τον άξο να y, ώστε το ελάχιστο της καµπύλης να βρεθεί στην θέση (0,0) όπως φαίνε ται στο σχήµα ( ), τότε θα λάβουµε µια νέα κυκλοειδή καµπύλη τ’Μ µε παρα µετρικές εξισώσεις της µορφής:

Σχήµα 2

�

x = R(! + "µ!)

y = R(1 - #$%!)

& ' ( - ) * ! * +)

γ. H γραµµή τΚ που διαγράφει το κέντρο καµπυλότητας της κυκλοειδούς καµπύλης είναι επίσης κυκλοειδής καµπύλη µε παραµετρικές εξισώσεις της µορφής:

�

x = R(! + "µ!)

y = -R(1 - #$%!)

& ' ( 0 ) ! ) 2*

P.M. fysikos

Υλικό σηµείο δέχεται την επίδραση δύναµης

�

! F , η οποία περιγράφε

ται από την διανυσµατική συνάρτηση:

�

! F = F0(!µ"t

! i +#$%"t

! j )

όπου F0 , ω θετικές σταθερές ποσότητες και

�

! i ,

�

! j τα µοναδιαία δια

νύσµατα των αξόνων Οx, Oy αντιστοίχως. Εάν την χρονική στιγµή t=0 το υλικό σηµείο βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και έχει µηδε νική ταχύτητα, να βρείτε: i) τις εξισώσεις κίνησης x=x(t) και y=y(t) του υλικού σηµείου και ii) το έργο της δύναµης

�

! F σε χρόνο t=2π/ω από την στιγµή της

εκκίνησής του. ΛΥΣΗ: i) Οι συνιστώσες της

�

! F κατά τις διευθύνσεις των αξόνων Οx και

Οy έχουν αλγεβρικές τιµές F0ηµωt και F0συνωt αντιστοίχως, οπότε σύµφω να µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

mdvx/dt = F0!µ"t

mdvy/dt = F0#$%"t

& ' (

�

!

�

dvx/dt = (F0/m)!µ"t

dvy/dt = (F0/m)#$%"t

& ' (

�

!

�

dvx= (F0/m)!µ"tdt

dvy= (F0/m)#$%"tdt

& ' ( (1)

όπου

�

! v

x,

�

! v

y οι συνιστώσες της στιγµιαίας ταχύτητας

�

! v του υλικού σηµείου

κατά τους άξονες Οx και Οy αντιστοίχως. Ολοκληρώνοντας τις σχέσεις (1) παίρνουµε:

�

vx= -(F0/m!)"#$!t+ C1

vy= (F0/m!)%µ!t+ C2

& ' ( (2)

όπου C1, C2 σταθερές ολοκλήρωσης που θα βρεθούν από τις αρχικές συνθή κες vx(0)=vy(0)=0. Έτσι από τις σχέσεις (2) παίρνουµε:

�

0 = -F0/m! + C

1

0 = C2

"

#

$

�

!

�

C1= F

0/m!

C2= 0

"

#

$

µε αποτέλεσµα οι σχέσεις αυτές να παίρνουν την µορφή:

�

vx= (F0/m!)(1 - "#$!t)

vy= (F0/m!)%µ!t

& ' (

�

!

�

dx/dt = (F0/m!)(1 - "#$!t)

dy/dt = (F0/m!)%µ!t

& ' (

�

!

�

dx= (F0/m!)(1 - "#$!t)dt

dy= (F0/m!)%µ!tdt

& ' ( (3)

Ολοκληρώνοντας τις σχέσεις (3) έχουµε:

�

x = (F0t/m!) - (F0t/m!2)"µ!t+ C3

y= -(F0/m!2)#$%!t+ C4

& ' ( (4)

όπου C3, C4 σταθερές ολοκλήρωσης που θα βρεθούν από τις αρχικές συνθή κες x(0)=y(0)=0. Έτσι οι σχέσεις (4) δίνουν:

�

0 = C3

0= -F0/m!2

+ C4

"

#

$

�

!

�

C3

= 0

C4

= F0/m!2

"

#

$

Σχήµα 3 µε αποτέλεσµα να παίρνουν την µορφή:

�

x = (F0t/m!)(t - "µ!t/! )

y= (F0/m!2)(1 - #$%!t)

& ' ( (5)

Οι σχέσεις (5) αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης του υλικού σηµείου που είναι και οι παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του. Η µορφή των εξισώ σεων αυτών εγγυάται ότι η τροχιά του υλικού σηµείου είναι µια κυκλοειδής καµπύλη η οποία απεικονίζεται στο σχήµα (3). ii) Εαν ds είναι η µετατόπιση του υλικού σηµείου µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, τότε το αντίστοιχο έργο dW της

�

! F είναι:

�

dW = (! F !d! s ) = Fxdx + Fydy = F0"µ#tdx + F0$%&#tdy (6)

Διαφορίζοντας τις σχέσεις (5) παίρνουµε:

�

dx = (F0/m!)dt - (F0/m!)"#$!tdt

dy= (F0/m!)%µ!tdt

& ' ( (7)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6) και (7) παίρνουµε:

�

dW = (F0

2/m!)("µ!t - #$%!t"µ!tdt +#$%!t"µ!t)dt

�

!

�

dW = (F0

2/m!)"µ!tdt (8) Ολοκληρώνοντας την (8) µε όρια ολοκλήρωσης για τον χρόνο t τα 0 και 2π/ω παίρνουµε για το ζητούµενο έργο W την σχέση:

�

W = -(F0

2/m!2)"#$!

0

2% /!

= -(F0

2/m!2)("#$2% - "#$0) = 0

P.M. fysikos

Σε µια περιοχή συνυπάρχουν ένα οµογενές ηλεκτρικό πεδίο

�

! E καί

ένα οµογενές µαγνητικό πεδίο

�

! B , των οποίων οι δυναµικές γραµ

µές είναι κάθετες. Ένα πρωτόνιο την χρονική στιγµή t=0 είναι σε ηρεµία και υπό την επίδραση των δύο πεδίων αρχίζει να κινείται. i) Nα δείξετε ότι η κίνησή του είναι επίπεδη, µε επίπεδο κίνησης Oxy κάθετο στις δυναµικές γραµµές του πεδίου

�

! B .

ii) Nα δείξετε ότι η τροχιά του πρωτονίου είναι µια κυκλοειδής κα µπύλη. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε την κίνηση του πρωτονίου ως πρός το τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων Oxyz, όπου ο άξονας Oy είναι παράλληλος πρός τις δυναµι κές γραµµές του ηλεκτρικού πεδίου

�

! E , ενώ ο άξονας Oz είναι παραλλήλος

προς τις δυναµικες γραµµές του µαγνητικού πεδίου

�

! B (σχ. 4). Kατά την

διεύθυνση του άξονα Oz το πρωτόνιο δεν δέχεται ούτε ηλεκτρική δύναµη ούτε µαγνητική δύναµη (δύναµη Laplace) και επειδή η αρχική του ταχύ τητα κατά την διεύθυνση αυτή είναι µηδενική το πρωτόνιο δεν µετατο πίζεται κατά την διεύθυνση Oz, δηλαδή κάθε στιγµή η z-συντεταγµένη του ικανοποιεί την σχέση z=0. Aυτό σηµαίνει ότι το πρωτόνιο κινείται στο επίπε δο Oxy. ii) Έστω

! v η ταχύτητα του πρωτονίου σε τυχαίο σηµείο M της τροχιάς του

Aναλύουµε την ! v σε µια συνιστώσα

! v

1 οµόρροπη προς την θετική κατεύ

θυνση του άξονα Ox µε µέτρο v1=E/B και την

! v

2, η οποία είναι µεταβλητή.

Eξ’ αιτίας της

! v

1 το πρωτόνιο δέχεται από το µαγνητικό πεδίο δύναµη

!

F 1 µε

φορέα κάθετο στη

! v

1 και µέτρο:

F1 = Bqv1 = BqE/B = qE (1) δηλαδή η διανυσµατική έκφραση της δύναµης

!

F 1 έχει την µορφή:

�

! F 1 = -qE

! j (2)

Σχήµα 4 Σχήµα 5 όπου

�

! j το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα Οy. Eξ’ αιτίας της

! v

2 το πρωτόνιο

δέχεται µαγνητική δύναµη

!

F 2 κάθετη στην

! v

2 µε µέτρο:

F2 = Bqv2 (3) Εξάλλου το πρωτόνιο δέχεται ηλεκτρική δύναµη

!

F !" οµόρροπη της έντασης

!

E του ηλεκτρικού πεδίου, δηλαδή ισχύει:

�

! F !" = qE

! j

�

!

(2)

!

F !" = -

!

F 1 !

!

F !" +

!

F 1=

!

0 (4) H συνισταµένη δύναµη επί του πρωτονίου στην θέση M είναι:

!

F !" =

!

F 1+

!

F 2+

!

F #"

�

!

(4)

!

F !"

=

!

F 2

Eξ’ αιτίας της

!

F 2 µεταβάλλεται µόνο η διεύθυνση της

! v

2, το δε µέτρο της

είναι σταθερό και ίσο µε εκείνο που αντιστοιχεί την στιγµή της εκκινησής του πρωτονίου στο σηµείο O. Όµως στο σηµείο O ισχύει:

! v

1+! v

2=!

0 !

! v

1= -! v

2 δηλαδή v1

= v2= E/B

Λόγω λοιπόν της

!

F 2 το πρωτόνιο εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση ακτίνας:

R =

mv2

Bq=

mE

B2q

(5)

και γωνιακής ταχύτητας

! ! µε κατεύθυνση προς τον αρνητικό άξονα Oz, το

δε µέτρο της υπολογίζεται από την σχέση:

v2=!R

�

!

(5)

E

B=!

mE

B2q

! !=

qB

m (6)

Aπό τα παραπάνω προκύπτει ότι το πρωτόνιο κινείται µε τον ίδιο τρόπο που κινείται ένα ορίσµενο σηµείο µιας περιφέρειας, η οποία κυλίεται εφαπτό µενη του άξονα Οx, ώστε το κέντρο της να µετατοπίζεται παράλληλα προς στον άξονα αυτόν µε σταθερή ταχύτητα. H κίνηση αυτή είναι γνωστή ως κυκλοειδής κίνηση (σχ. 5), οι δε παραµετρικές εξισώσεις της κυκλοειδούς τροχιάς του πρωτονίου σύµφωνα µε την 1η άσκηση έχουν την µορφή:

�

x = R(!t - "µ!t)

y = R(1 - #$%!t)

& ' ( !

�

x =mE

B2q!t - "µ!t( )

y =mE

B2q1 - "µ!t( )

#

$

% %

&

% %

µε !=

qB

m

P.M. fysikos

H τροχιά ενός υλικού σηµείου είναι η κυκλοειδής καµπύλη του σχήµατος (6), µε παραµετρικές εξισώσεις της µορφής:

�

x = !(" - #µ")

y = !(1 - $%&")

' ( ) µε

�

0 ! " ! 2# (Ι)

και α θετική σταθερή ποσότητα. Να δείξετε ότι η ακτίνα καµπυλό τητας R της κυκλοειδούς καµπύλης σ’ ένα σηµείο της δίνεται από τη σχέση:

�

R = 4!"µ (# /2) όπου θ η τιµή της παραµέτρου που αντιστοιχεί στο σηµείο αυτό. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το υλικό σηµείο σε µια τυχαία θέση Μ της κυκλοειδούς τροχιάς του, µε συντεταγµένες x και y ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οxy. Εάν

�

! v είναι η ταχύτητα του υλικού σηµείου στην θέση αυτή,

�

! a ! η κεντροµόλος επιτάχυνσή του και R η ακτίνα καµπυλότητας της τροχι

άς, θα ισχύει η σχέση:

�

a!

= v2/R

�

!

�

R = v2/a

! (1)

Εξάλλου για τις προβολές vx, vy της ταχύτητας

�

! v στους άξονες Οx, Oy αντι

στοίχως, έχουµε τις σχέσεις:

�

vx

=dx

dt=

dx

d!

d!

dt= "

d

d!! - #µ!( )

d!

dt= " 1- $%&!( )

!! (2)

�

vy =dy

dt=

dy

d!

d!

dt= "

d

d!1 - #$%!( )

d!

dt= "&µ!

!! (3)

Σχήµα 6 όπου !! ο ρυθµός µεταβολής της παραµέτρου θ. Για το µέτρο της

�

! v ισχύει η

σχέση:

�

v2 = vx

2 + vy

2

�

!

(2),(3)

�

v2

= !2

1 - "#$%( )2

!!

2

�

+!2"µ

2

!!

2

�

!

�

v2

= !2

1+"#$2% - 2"#$% + &µ 2

%( ) !!

2

�

!

�

v2

= 2!2

1 - "#$%( ) !!

2

�

!

�

v2 = 4! 2"µ

2(# /2) !!

2 (4) Εάν ax, ay είναι οι προβολές της επιτάχυνσης

�

! a του υλικού σηµείου σους

άξονες x και y αντιστοίχως, θα έχουµε τις σχέσεις:

�

ax

=dv

x

dt=

dvx

d!

d!

dt

�

!

(2)

ax= !

d

dt!"- !"#$%"( ) = !

d

dt!!"- !!"#$%" - !"

d(#$%")

dt

!

"#

$

%&

�

!

a

x= !!!(1-"#$!)+%µ! !!2!" #$ (5)

και

�

ay =dvy

dt

�

!

(3)

a

y= !

d

dt"µ# !#( ) = ! $%&# !#2

+"µ#!!#( ) (6)

Εξάλλου εάν

�

! a ! x

,

�

! a ! y

είναι οι προβολές των

�

! a

x και

�

! a

y αντιστοίχως στην

διεύθυση της ακτίνας καµπυλότητας ΜΚ (σχ. 6), το µέτρο της κεντροµόλου επιτάχυνσης του υλικού σηµείου θα είναι:

�

a! = |a!x-a!y | = | ax"µ#-ay$%&# | = axvy/v - ayvx/v =1

vaxvy-ayvx (7)

Η σχέση (1) µε βάση την (7) παίρνει την µορφή:

�

R =v3

axvy - ayvx

�

!

(4)

�

R =[4! 2

"µ2(# /2)]3 / 2

axvy - ayvx

!!

3 (8)

Εξάλλου µε βάση τις σχέσεις (2), (3), (5) και (6) µπορούµε να υπολογίσουµε την ποσότητα axvy-ayvx, δηλαδή θα έχουµε:

a

xv

y-a

yv

x= !2 !!" -#$%"!!"+&µ" !"2( )&µ" !" -

-!2 "#$% !%2

+&µ%!!%( ) 1-"#$%( ) !% = !2 &µ% !%!!%-&µ%"#$% !%!!%( +

+!µ2" !"3

-#$%" !"3-!µ" !"!!"+#$%" !"3!µ"#$%" !"!!") =

=!2 "µ2# !#3

-$%&# !#3+ $%&2# !#3( )=!2 1-$%&#( ) !#3 (9)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε:

�

R =[4! 2

"µ2(# /2)]3 / 2

!2 1 - $%&#

=8! 3

"µ2(# /2)]3 / 2

2! 2"µ

2(# /2)= 4!"µ (# /2)

Παρατήρηση: Η ακτίνα καµπυλότητας ρ της κυκλοειδούς τροχιάς που ακολουθεί το υλικό σηµείο µπορεί να υπολογισθεί και µέσω της σχέσεως:

�

! =1+ (dy/dx)2[ ]

3 / 2

d2y/dx2 (10)

όπου dy/dx, d2y/dx2 η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος αντιστοίχως της συνάρτησης y=y(x) που περιγράφει την κυκλοειδή καµπύλη σε σύστηµα καρτεσιανών συντεταγµένων. Διαφορίζοντας τις παραµετρικές εξισώσεις (Ι) παίρνουµε τις σχέσεις:

�

dx = !(1 - "#$%)d%

dy = !&µ%d%

' ( )

�

!

(:)

�

dy

dx=

!µ"

1 - #$%"

�

!

�

dy

dx=

2!µ (" /2)#$%(" /2)

2!µ2(" /2)

=#$%(" /2)

!µ (" /2) (11)

Διαφορίζοντας την σχέση (11) παίρνουµε:

�

ddy

dx

!

" #

$

% & =d

'()(* /2)

+µ (* /2)

,

- .

/

0 1 =

-+µ (* /2)+µ (* /2)-'()(* /2)'()(* /2)

+µ2(* /2)

d(* /2)

�

!

�

ddy

dx

!

" #

$

% & =

-d(' /2)

(µ2(' /2)

�

!

�

d

dx

dy

dx

!

" #

$

% & = -

1

2'µ2(( /2)

d(dx

�

!

�

d2y

dx2= -

1

2!µ2(" /2)

d"

dx= -

1

2!µ2(" /2)

1

#(1 - $%&")= -

1

4#!µ4(" /2)

(12)

διότι ισχύει dθ/dx=1/α(1-συνθ). Συνδυάζοντας τις σχέσεις (10), (11) και (12) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση:

�

! =1+"#$2(% /2)/&µ 2(% /2)[ ]

3 / 2

- 1/4'&µ 4(% /2)= 4'&µ (%/2) (4)

P.M. fysikos

Mια µικρή χάντρα µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος µιας συρµάτινης καµπύλης γραµµής, η οποία είναι στερεωµένη µε το επίπεδό της κατακόρυφο. Εκτρέπουµε την χάντρα από το κατώ τατο σηµείο Ο της καµπύλης, που αποτελεί και θέση ευσταθούς ισορροπίας της, την αφήνουµε ελεύθερη και ζητούµε να προσδιο ρίσουµε την µορφή της συρµάτινης καµπύλης, ώστε η κίνηση της χάντρας κατά µήκος αυτής να προσοµοιάζει προς την κίνηση του αρµονικού ταλαντωτή, δηλαδή να περιγράφεται από µια σχέση της µορφής:

�

s = s0!µ "t +#( )

όπου s το προσανατολισµένο * τόξο που ορίζει επί της καµπύλης η εκάστοτε θέση της χάντρας και η αρχή Ο, s0 η µέγιστη τιµή του τόξου s (πλάτος της αρµονικής ταλάντωσης) και ω η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης. ΛΥΣΗ: Kατά την κίνηση της χάντρας η µηχανική της ενέργεια διατηρείται, δηλαδή σε κάθε θέση Μ αυτής µπορούµε να γράφουµε την σχέση:

�

mgy + mv2/2 = C (1) όπου C σταθερή ποσότητα, m η µάζα της χάντρας,

�

! v η ταχύτητά της στην

------------------------ * To τόξο s θεωρείται προσανατολισµένο, εφ’ όσον έχει ορισθεί επί της καµπύ λης µια θετική φορά διαγραφής της.

θέση Μ και y η απόστασή της από το επίπεδο µηδενικής βαρυτικής ενέρ γειας, η οποία αποτελεί και την y-συντεταγµένη της ως προς το ορθογώνιο

Σχήµα 7

συστηµα αξόνων Οxy. Για να προσοµοιάζει η κίνηση της χάντρας µε αρµο νική ταλάντωση πρέπει η βαρυτική της δυναµική ενέργεια mgy να έχει την µορφή µιας “ ανηγµένης “ δυναµικής ενέργειας ταλάντωσης, δηλαδή πρέπει να ισχύει:

�

mgy = m!2s2/2

�

!

�

2gy = !2s2

�

!

�

s = 2gy /! (2) Όµως το µήκος ds ενός στοιχειώδους τόξου της καµπύλης υπολογίζεται µέσω της σχέσεως:

�

ds2 = dx2 + dy2

�

!

�

ds2/dy2 = dx /dy( )2

+1 (3)

Διαφορίζοντας την σχέση (2) έχουµε:

�

ds =2g

!

1

2

dy

y

�

!

�

ds

dy

!

" #

$

% &

2

=g

2' 2y

όπότε η (3) γράφεται:

�

g

2! 2y=

dx

dy

"

# $

%

& '

2

+1

�

!

�

g

2! 2= y

dx

dy

"

# $

%

& '

2

+1(

)

*

*

+

,

-

-

�

!

�

ydx

dy

!

" #

$

% &

2

+1'

(

)

)

*

+

,

,

= 2- µε

�

! =g

4" 2 (4)

H (4) είναι µια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως για την λύση της οποίας παρατηρούµε ότι:

�

dx

dy

!

" #

$

% &

2

+1 ' 1

�

!

�

ydx

dy

!

" #

$

% &

2

+1'

(

)

)

*

+

,

,

- y

�

!

(4)

�

2! " y " 0

�

!

�

-! " y -! " +!

�

!

�

- 1 !y -"

"! +1

δηλαδη υπάρχει γωνία θ για την οποία µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

y -!

!= -"#$%

�

!

�

y = ! 1-"#$%( ) µε

�

-! " #" + !

Έτσι η (4) γράφεται:

�

! 1 -"#$%( ) 1+dx

dy

&

' (

)

* +

2,

-

.

.

/

0

1 1

= 2!

�

!

�

1+dx

dy

!

" #

$

% &

2

=2

1 -'()*

�

!

�

dx

dy

!

" #

$

% &

2

=2

1 -'()*- 1 =

1 +'()*1-'()*

=2'()2(* /2)

2+µ2(* /2)

�

!

�

dx

dy=!"#($ /2)

%µ ($ /2)

�

!

�

dx

!"µ#d#=$%&(# /2)

"µ (# /2)

�

!

�

dx

2!"µ (# /2)$%&(# /2)d#=$%&(# /2)

"µ (# /2)

�

!

�

dx = 2!"#$2(% /2)d% = ! 1+"#$%( )d%

�

!

�

x = ! " +#µ"( ) + k

Επειδή εξ’ αρχής απαιτήσαµε η αρχή των αξόνων να είναι το κατώτερο σηµείο Ο της καµπύλης y=y(x) θα είναι για θ=0 και x=0, οπότε η σταθερά ολοκλήρωσης k θα είναι µηδενική. Έτσι η ζητούµενη καµπύλη y=y(x) θα εκφράζεται µε τις παραµετρικές εξι σώσεις:

�

x = R ! + "µ!( )y = R 1- #$%!( )

& ' (

) ( µε

�

-! " # " +!

H καµπύλη αυτή συµφωνα µε την 1η άσκηση είναι η αντεστραµµένη κυκλο ειδής καµπύλη, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήµα (7).

P.M. fysikos

Μια µικρή χάντρα µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος µιας συρµάτινης γραµµής, που έχει την µορφή αντεστραµµένης

κυκλοειδούς καµπύλης, της οποίας το επίπεδο είναι κατακόρυφο οι δε παραµετρικές εξισώσεις της είναι της µορφής:

�

x = ! " + #µ"( )y = ! 1- $%&"( )

' ( )

* )

�

-! " # " +!

όπου α θετική και σταθερή ποσότητα. i) Εάν η θέση της χάντρας καθορίζεται µέσω του τόξου s(t) που έχει αρχή την κατώτατη θέση Ο της χάντρας και πέρας την εκά στοτε θέση της, να δείξετε ότι η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνησή της, όταν αφήνεται ελευθερη σε κάποιο σηµείο, έχει την µορφή:

�

d2s

dt2+

g

4!s = 0

όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

ii) Eάν την χρονική στιγµή t=0 η χάντρα αφήνεται στην θέση s(0)=s0>0, να βρείτε την συνάρτηση s(t). Ποιο συµπέρασµα προκύ πτει για την κίνηση της χάντρας; ΛΥΣΗ: i) Eξετάζοντας την χάντρα σε µια τυχαία θέση s(t) την χρονική στιγµή t παρατηρούµε ότι δέχεται το βάρος της

�

m! g και την αντίδραση

�

! N

της συρµάτινης κυκλοειδούς τροχιάς, η οποια έχει ακτινική διεύθυνση προς το κοίλο µέρος της. Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα εφαρµοζόµενος κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης (ε) της τροχιάς, της οποίας θετική φορά θεωρείται εκείνη κατά την οποία το τόξο s αυξάνεται, δίνει την σχέση:

Σχήµα 8

�

mdv

dt= -mg!µ"

�

!

�

dv

dt+ g!µ" = 0

�

!

�

d2s

dt2+ +g!µ" = 0 (1)

όπου φ η γωνία του διανύσµατος µε την κατακόρυφη διεύθυνση, της οποίας η εφαπτοµένη αποτελεί την κλίση της κυκλοειδούς καµπύλης στην θέση

που βρίσκεται η χάντρα την στιγµή t που την εξετάζουµε. Εξάλλου, εάν x, y είναι οι συντεταγµένες της χάντρας την χρονική στιγµή t, θα έχουµε:

�

x = ! " + #µ"( )y = ! 1- $%&"( )

' ( )

* )

�

!

�

dx = ! 1+"#$%( )d%dy = !&µ%d%

' ( )

�

!

(:)

�

dy

dx=

!µ"

1+#$%"

�

!

�

!"# =2$µ (% /2)&'((% /2)

2&'(2(% /2)

�

=!µ (" /2)

#$%(" /2)= &'(" /2)

�

!

�

! = " /2

οπότε η (1) παίρνει την µορφή:

�

d2s

dt2+ +g!µ

"2

#

$ %

&

' ( = 0 (2)

Όµως το µήκος του τόξου s(t) είναι:

�

s(t) = (ds)

0

!

" = dx2 + dy2

0

!

" =

0

!

" # 2 1+$%&!( )2

d!2 +# 2'µ 2!d!2

�

!

�

s(t) = !0

"

# 1+$%&2" + 2$%&" + 'µ 2" d" = !0

"

# 2 1+$%&"( ) d"

�

!

�

s(t) = !0

"

# 4$%&2(" /2)d" = 2!0

"

# $%&(" /2)d" = 4!'µ (" /2) (3)

Συνδυάζοντας τις (2) και (3) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση:

�

d2s

dt2+

g

4!s = 0 (4)

ii) H (4) είναι µια οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και µε βάση τις αρχικές συνθήκες s(0)=s0>0 και v(0)=0 δέχεται λύση της µορφής:

�

s(t) = s0!µ "t + #/2( ) = s0$%&"t µε

�

!2 = g/4" (5)

Η (5) εγγυάται ότι η χάντρα εκτελεί κατά µήκος της συρµάτινης κυκλοει δούς καµπύλης αρµονική ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης την κατώτερη θέση της Ο, της οποίας η περίοδος Τ δίνεται από την σχέση:

�

T =2!

"= 2!

4#

g= 4!

#

g

Παρατηρούµε ότι η περίοδος Τ είναι ανεξάρτητη του πλάτους ταλάντωσης s0 της χάντρας, που σηµαίνει ότι, όποια και αν είναι η αρχική της θέση η επά

νοδός της στην θέση αυτή γίνεται πάντα στον ίδιο χρόνο. Η χάντρα στην πεςρίπτωση αυτή αποτελεί το λεγόµενο κυκλοειδές εκκρεµές.

P.M. fysikos

Μια µικρή χάντρα µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή υπό την επίδ ραση του βάρους της κατά µήκος ενός σύρµατος που βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο και συνδέει δύο ορισµένα σηµεία Ο και Α αυτού. Ποια µορφή πρέπει να έχει το σύρµα, δηλαδή ποια είναι η συνάρτηση y=y(x) που περιγράφει την γεωµετρική µορφή του σύρ µατος, ώστε όταν η χάντρα αφήνεται στο σηµείο Ο να φθάνει στο Α στον ελάχιστο * δυνατό χρόνο. ΛΥΣΗ: Εάν

�

! v είναι η ταχύτητα της χάντρας κατά µια τυχαία στιγµή t και

ds το µήκος του τόξου που διαγράφει η χάντρα µεταξύ των χρονικών στιγ µών t και t+dt θα ισχύει:

�

v =ds

dt=

dx2 + dy2

dt

�

!

�

dt =dx2 + dy2

v=

dx

v1+

dy

dx

!

" #

$

% &

2

(1)

Σχήµα 9

όπου x, y οι συντεταγµένες της χάντρας ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οxy την χρονική στιγµή t. Επειδή κατά την κίνηση της χάντρας η δύναµη

�

! N που δέχεται από το σύρµα παράγει µηδενικό έργο, η µηχανική

ενέργεια της χάντρας διατηρείται, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

0 + 0 = mv2/2 - mgy

�

!

�

v = 2gy (2) όπου m η µάζα της χάντρας και

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Συνδυάζον

τας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε: ------------------------------ * Το πρόβληµα αυτό τέθηκε για πρώτη φορά από τον Johann Bernulli το έτος 1696 και απησχόλησε τον αδελφό του Jacob Bernulli, τον Leibniz, τον Νεύτωνα και άλλους.

�

dt =1

2gy1+

dy

dx

!

" #

$

% &

2

dx =1

2g

1+ y'2 (x)

y(x)dx (3)

όπου y(x) η συνάρτηση που περιγράφει την τροχιά της χάντρας, δηλαδή την γεωµετρική µορφή του σύρµατος. Ολοκληρώνοντας την (3) έχουµε για τον χρόνο κίνησης tOA της χάντρας από Ο σε Α την σχέση:

�

tOA =1

2g

1+ y'2 (x)

y(x)dx

0

xA

! (4)

Για να γίνει ο χρόνος tOA ελάχιστος πρέπει το ολοκλήρωµα του 2ου µέλους της (4) να γίνει ελάχιστο και για να συµβεί αυτό πρέπει να ικανοποιείται η εξίσωση των Euler-Lagrange, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση:

�

!f!y

-d

dx

!f!y'

"

# $

%

& ' = 0 (5)

όπου f η συνάρτηση:

�

f y,y'( ) =1+ y'2 (x)

y(x) (6)

Επειδή για την συνάρτηση f ισχύει ∂f/∂x=0 µπορούµε να λάβουµε ένα πρώτο ολοκλήρωµα της διαφορικής εξίσωσης (5) αν θεωρήσουµε την συνάρτηση:

�

! = f -"f"y'

#

$ %

&

' ( y'

Διαφορίζοντας την συνάρτηση αυτή παίρνουµε:

�

d! = df - d"f"y'

#

$ %

&

' ( y'= df -

"f"y'

#

$ %

&

' ( dy'-y'd

"f"y'

#

$ %

&

' (

�

!

(5)

�

d! = df -"f"y'

#

$ %

&

' ( dy'-y'

"f"y

#

$ %

&

' ( dx = df -

"f"y'

#

$ %

&

' ( dy'-

"f"y

#

$ %

&

' ( dy (7)

Eξάλλου για το διαφορικό της f ισχύει:

�

df =!f!y

"

# $

%

& ' dy +

!f!y'

"

# $

%

& ' dy'+

!f!x

"

# $

%

& ' dx =

!f!y

"

# $

%

& ' dy +

!f!y'

"

# $

%

& ' dy'

οπότε η (7) γράφεται:

�

d! ="f"y

#

$ %

&

' ( dy +

"f"y'

#

$ %

&

' ( dy'-

"f"y'

#

$ %

&

' ( dy'-

"f"y

#

$ %

&

' ( dy = 0

δηλαδή η Ψ είναι µια σταθερη συνάρτηση, που σηµαίνει ότι µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

f -!f!y'

"

# $

%

& ' y'= C (8)

όπου C σταθερή ποσότητα. Όµως από την (6) έχουµε:

�

!f

!y'=

1

y

2y'

2 1+ y'2=

y'

y 1+ y'2( ) (9)

oπότε η (9) γράφεται:

�

f -y'2

y 1+ y'2( )= C

�

!

(6)

�

1+ y'2

y-

y'2

y 1+ y'2( )= C

�

!

�

1+ y'2 -y'2 = C y 1+ y'2( )

�

!

�

y 1+ y'2( ) = 1/C2 = 2! (10)

όπου α σταθερή ποσότητα. H (10) είναι µια διαφορική εξίσωση πρώτης τά ξεως για την λύση της οποίας παρατηρούµε ότι:

�

1+ y'2 ! 1

�

!

�

y 1+ y'2( ) ! y

�

!

�

2! " y " 0

�

!

�

-! " y -! " +!

�

!

�

- 1 !y -"

"! +1

δηλαδη υπάρχει γωνία θ για την οποία µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

y -!

!= -"#$%

�

!

�

y = ! 1-"#$%( ) µε

�

0 ! "! 2#

Έτσι η (10) γράφεται:

�

! 1 -"#$%( ) 1+ y'2( ) = 2!

�

!

�

1+ y'2 =2

1 -!"#$

�

!

�

y'2 =2

1 -!"#$- 1 =

1 +!"#$

1 -!"#$=

2!"#2($ /2)

2%µ2($ /2)

�

!

�

dy

dx=!"#($ /2)

%µ ($ /2)

�

!

�

!"µ#d#

dx=$%&(# /2)

"µ (# /2)

�

!

�

2!"µ (# /2)$%&(# /2)d#

dx=$%&(# /2)

"µ (# /2)

�

!

�

dx = 2!"µ 2(# /2)d# = 1 -$%&#( )d#

�

!

�

x = ! " -#µ"( ) + k

Aν απαιτήσουµε η αρχή των αξόνων να είναι το σηµείο Ο της καµπύλης y=y(x), τότε θα είναι για θ=0 και x=0, οπότε η σταθερά ολοκλήρωσης k είναι µηδενική. Έτσι η ζητούµενη καµπύλη y=y(x) θα εκφράζεται µε τις παρα µετρικές εξισώσεις:

�

x = ! " + #µ"( )y = ! 1- $%&"( )

' ( )

* ) µε

�

0 ! "! 2#

H καµπύλη αυτή συµφωνα µε την 1η άσκηση είναι η κυκλοειδής καµπύλη. Αποδείχθηκε εποµένως ότι η κυκλοειδής καµπύλη που διέρχεται από τα ση µεία Ο είναι µια βραχυστόχρονη καµπύλη.

P.M. fysikos

Μια χάντρα µάζας m, µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή υπό την επίδραση του βάρους της κατά µήκος ενός σύρµατος, που έχει το σχήµα κυκλοειδούς καµπύλης, της οποίας οι παραµετρικές εξισώ σεις είναι της µορφής:

�

x = !(" + #µ"

y = !(1 - $%&")

' ( )

�

-! " # " +! (I)

όπου α θετική και σταθερή ποσότητα. Το επίπεδο των αξόνων Οx, Οy είναι κατακόρυφο και η χάντρα την χρονική στιγµή t=0 αφήνε ται στο άκρο A του σύρµατος. Να βρείτε: i) την δύναµη που δέχεται η χάντρα από την συρµάτινη τροχιά την στιγµή που βρίσκεται στο κατώτερο σηµείο της Ο και ii) τον χρόνο κίνησης της χάντρας από Α σε Ο. Δίνεται η επιτάχυν ση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Η χάντρα ευρισκόµενη στην κατώτατη θέση Ο της κυκλοειδούς τροχιάς της δέχεται το βάρος της

�

! w και την δύναµη επαφής

�

! N από το καµ

πύλο σύρµα, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος σ΄ αυτό, δηλαδή έχει την διεύθυνση της ακτίνας της τροχιάς στο σηµείο Ο και φορά προς το κοίλο µέρος της (σχ. 10). Η συνισταµένη των δύο αυτών δυνάµεων αποτελεί για την χάντρα κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή θα ισχύει η σχέση:

�

N - mg = mv0

2/!0

�

!

�

N = m g + v0

2/!0( ) (1)

όπου η

�

! v

0 ταχύτητα της χάντρας στην θέση Ο και ρ0 η ακτίνα καµπυλότη

τας της τροχιάς στο Ο. Εφαρµόζοντας για την χάντρα το θεώρηµα διατήρη σης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως Α και της θέσε ως Ο, παίρνουµε την σχέση:

�

0 + mgyA = mv0

2 /2 + 0

�

!

�

2gyA = v0

2

�

!

�

4g! = v0

2 (2)

Σχήµα 10 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

N = m g + 4g! /"0( ) = mg 1+ 4!/"0( ) (3)

Όµως για την ακτίνα καµπυλότητας ρ της κυκλοειδούς τροχιάς στην τυχαία θέση της (x,y), ισχύει η σχέση:

�

! =1+ (dy/dx)2[ ]

3 / 2

d2y/dx2 (4)

όπου dy/dx, d2y/dx2 η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος αντιστοίχως της συνάρτησης y=y(x) που περιγράφει την κυκλοειδή καµπύλη σε σύστηµα καρ τεσιανών συντεταγµένων. Διαφορίζοντας τις παραµετρικές εξισώσεις (Ι) παίρ νουµε τις σχέσεις:

�

dx = !(1+"#$%)d%

dy = !&µ%d%

' ( )

�

!

(:)

�

dy

dx=

!µ"

1+#$%"

�

!

�

dy

dx=

2!µ (" /2)#$%(" /2)

2#$%2(" /2)=

!µ (" /2)

#$%(" /2) (5)

Διαφορίζοντας την σχέση (5) παίρνουµε:

�

ddy

dx

!

" #

$

% & = d

'µ (( /2)

)*+(( /2)

,

- .

/

0 1 =

)*+2(( /2) + 'µ2(( /2)

)*+2(( /2)d(( /2)

�

!

�

d

dx

dy

dx

!

" #

$

% & =

1

2'()2(* /2)

d*dx

�

!

�

d2y

dx2=

1

2!"#2($ /2)

d$

%(1+!"#$)d$

�

!

�

d2y

dx2=

1

2!"#2($ /2)

1

2%!"#2($ /2)=

1

4%!"#4($ /2) (6)

H (4) λόγω των (5) και (6) γράφεται:

�

! =1+ "µ 2(# /2)/$%&2(# /2)[ ]

3 / 2

1/4'$%&4(# /2)=

1/$%&2(# /2)[ ]3

1/4'$%&4(# /2)= 4'$%&(# /2) (7)

H (7) για το σηµείο Ο (θ=0) δίνει ρ0=4α και η (3) γράφεται:

�

N = mg 1+ 4!/4!( ) = 2mg (8)

ii) Εάν

�

! v είναι η ταχύτητα της χάντρας κατά µια τυχαία στιγµή t στην θέση

Μ και ds το µήκος του τόξου που διαγράφει η χάντρα µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt θα ισχύει:

�

v =ds

dt=

dx2 + dy2

dt

�

!

�

dt =dx2 + dy2

v (9)

Όµως σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για την κίνηση της χάντρας από την θέση Α στην θέση Μ, θα έχουµε την σχέση:

�

0 + mgyA = mv2 /2 + mgy

�

!

�

4g! = v2 + 2gy

�

!

�

v2 = 4g! - 2gy = 2g 2! - y( ) (10)

H (9) λόγω της (10) γράφεται:

�

dt =dx2 + dy2

2g 2! - y( )=

!2(1+"#$%)2d%2 +!

2&µ 2

%d%2

2g 2! -!(1 - "#$%)[ ]

�

!

�

dt =1

2g

!2(2 + 2"#$%)d%2

!(1+"#$%)=

!

gd%

�

!

�

tAO =!

gd"

-#

0

$ = #!

g

όπου tOA o ζητούµενος χρόνος.

P.M. fysikos