Ένας γραµµικός αρµονικός ταλαντωτής µάζας m παρουσιάζει σταθε ρά απόσβεσης b, η δε γωνιακή ιδιοσυχνότητα ω0 της ελεύθερης και αµείωτης ταλάντωσής του ικανοποιεί την σχέση ω0>b/2m. i) Xρησιµοποιώντας το θεώρηµα µηχανικής ενέργειας-έργου να δείξε τε ότι η διαφορική εξίσωση της κίνησής του έχει την µορφή:

�

d2x

dt2

+ 2!dx

dt+"

0

2x = 0 (α)

όπου x η αποµάκρυνση του ταλαντωτη από µια θέση αναφοράς Ο και λ θετική σταθερά ίση µε b/2m. ii) Να βρείτε υπό ποιες προυποθέσεις η (α) δέχεται λύση της µορφής:

�

x = f(t)!µ "t +#( ) όπου f(t) µια συνεχής συνάρτηση του χρόνου. iii) Χρησιµοποιώντας την σχέση αποµάκρυνσης-χρόνου του ταλαντω τή, να δείξετε ότι η συνάρτηση x=x(t) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και να βρείτε την σχέση που επιτρέπει να καθοριστούν οι χρονικές στιγµές που αντιστοιχούν στα ακρότατα αυτά. Επί πλέον αν αναφερ θούµε στα τοπικά µέγιστα της x=x(t) να δείξετε ότι οι τιµές τους απο τελούν τους όρους µιας φθίνουσας γεωµετρικής προόδου. iv) Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την µηχανική ενέργεια του ταλαντωτή και να δείξετε ότι, στην περίπτωση που η ταλάντωσή του φθίνει πολύ αργά (b/2m<<ω0), η µηχανική αυτή ενέργεια µειώνε ται κατά προσέγγιση εκθετικά µε τον χρόνο. ΛΥΣΗ: i) Εάν Ε0 είναι η µηχανική ενέργεια του ταλαντωτή την στιγµή t0=0 και Ε η µηχανική του ενέργεια την στιγµή t>0, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα µηχανικής ενέργειας-έργου θα ισχύει η σχέση:

�

E - E0

= W!

F

�

!

�

K + U - E0

= W!

F

�

!

�

mv2/2 + m!

0

2x

2/2 - E

0= W!

F (1)

όπου

�

W!

F το έργο της δύναµης απόσβεσης

�

! F = -b

! v κατά τον χρόνο t-t0 Κ, U η

κινητική και η δυναµική ενέργεια αντιστοίχως του ταλαντωτή την χρονική στιγµή t και x, v οι αντίστοιχες αλγεβρικές τιµές της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας του ταλαντωτη. Διαφορίζοντας την (1) παίρνουµε:

�

mvdv + m!0

2xdx = dW!

F

�

!

�

mvdv + m!0

2xdx = Fdx

�

!

�

mvdv

dt+ m!

0

2x

dx

dt= -bv

dx

dt

�

!

�

d2x

dt2

+b

m

dx

dt+!

0

2x = 0

�

!

�

d2x

dt2

+ 2!dx

dt+"

0

2x = 0 µε λ=b/2m (2)

ii) Θεωρώντας ότι ω0>λ, θα αναζητήσουµε κάτω από ποιες προυποθέσεις η δια φορική εξίσωση (2) δέχεται λύση της µορφής:

�

x = f(t)!µ "t +#( ) (3)

όπου f(t) συνεχής συνάρτηση του χρόνου. Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t την (3) δύο φορές, παίρνουµε τις σχέσεις:

�

dx

dt= f(t)!"#$ !t +%( ) +

df(t)

dt&µ !t +%( ) (4)

και

�

d2x

dt2

= -f(t)!2"µ !t +#( ) +

df(t)

dt!$%& !t +#( ) +

�

+df

2(t)

dt2

!µ "t +#( ) +df(t)

dt"$%& "t +#( ) (5)

Τότε η (2) λόγω των (3), (4) και (5) δίνει:

�

-f(t)!2"µ !t+#( ) +

df(t)

dt!$%& !t+#( ) +

df2(t)

dt2

"µ !t+#( ) +

�

+df(t)

dt!"#$ !t+%( ) +

df(t)

dt!"#$ !t+%( )+2&f(t)!"#$ !t+%( ) +

�

+2!df(t)

dt"µ #t+$( )+# 0

2f(t)"µ #t+$( ) = 0

�

!

�

-f(t)! 2+

df2(t)

dt2

+ 2"df(t)

dt+! 0

2f(t)

#

$ %

&

' ( )µ !t +*( ) +

�

+ 2!df(t)

dt+ 2"!f(t)

#

$ %

&

' ( )*+ !t +,( ) = 0 (6)

Η (6) πρέπει να ισχύει για κάθε τιµή του χρόνου t, οπότε θα έχουµε:

�

-f(t)!2+

df2(t)

dt2

+ 2"df(t)

dt+! 0

2f(t)= 0

�

!

�

df2(t)

dt2

+ 2!df(t)

dt+ f(t) " 0

2-"

2( ) = 0 (7)

και

�

2!df(t)

dt+ 2"!f(t)= 0

�

!

�

df(t)

dt+!f(t) = 0 (8)

Aπό την (8) παίρνουµε:

�

df(t)

f(t)= -!dt

�

!

�

f(t) = Ae-!t (9)

όπου Α σταθερά ολοκλήρωσης. Συνδυάζοντας την (7) µε την (9) παίρνουµε:

�

A!2e

-!t- 2A!

2e

-!t+ Ae

-!t"

0

2-"

2( ) = 0

�

!

�

!2

= "0

2-"

2

�

!

�

! = !0

2- "

2 Με βάση τα προηγούµενα η (2) στην περίπτωση που ισχύει ω0>λ (ασθενής απόσβεση), δέχεται λύση της µορφής:

�

x = Ae-!t"µ #t +$( ) (10)

όπου οι σταθερές Α και φ καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης x(0) και v(0) του ταλαντωτή. iii) Εάν η συνάρτηση (10) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα θα πρέπει να υπάρχουν χρονικές στιγµές που µηδενίζουν την πρώτη παράγωγό της, δηλαδή που ικανο ποιούν την σχέση:

�

dx

dt= 0

�

!

(10)

�

- A!e-!t"µ #t +$( ) + Ae-!t#%&' #t +$( ) = 0

�

!

�

Ae-!t

-!"µ #t +$( ) +#%&' #t +$( )[ ] = 0

�

!

�

!"µ #t +$( ) = #%&' #t +$( )

�

!

�

!" #t +$( ) = # /%

�

!

�

!" #t +$( ) = !"%

�

!

�

!t +" = k# +$

όπου θ οξεία γωνία που ικανοποιεί την σχέση εφθ=ω/λ και k ακέραιος. Αν περιορισθούµε στα τοπικά µέγιστα, τότε θα είναι ηµ(ωt+φ)>0 και εποµένως οι χρονικές στιγµές που θα εµφανίζονται µέγιστες αποµακρύνσεις θα προκύπτουν από την σχέση{

�

!tn+" = 2#n +$ µε n=1, 2, …

Η n-τάξεως µέγιστη αποµάκρυνση xn θα είναι:

�

xn=Ae

-! tn "µ #tn+$( ) =Ae

-! tn "µ 2%n +&( ) =Ae-! tn "µ&

Όµως έχουµε:

�

!µ" =#$"

1+ #$2"=

% /&

1+% 2/&2

=%

&2+% 2

=%

%0

οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται:

�

xn=A!e

-" tn /!0 (11)

Eπειδή δύο διαδοχικές χρονικές στιγµές που η αποµάκρυνση του ταλαντωτή γίνεται µέγιστη απέχουν µεταξύ τους κατά 2π/ω, από την (11) προκύπτει ότι κάθε µέγιστη τιµή είναι µικρότερη της προηγουµένης της, δηλαδη παρουσιά ζεται µια περιοδική µείωση των µέγιστων τιµών της αποµάκρυνσης του ταλαν

τωτή, που οφείλεται στην µείωση του εκθετικού όρου

�

e-! t

n µε περίοδο T=2π/ω που ονοµάζεται ψευδοπερίοδος* της φθίνουσας ταλάντωσης.. Eξάλλου, αν θεωρήσουµε δύο διαδοχικές µέγιστες τιµές xn-1 και xn της αποµάκρυνσης, εκ των οποίων η xn αντιστοιχεί την χρονική στιγµή tn τότε η xn-1 θα αντιστοιχεί την χρονική στιγµή tn-T και θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

xn-1 = A!e-" (tn -T)

/! 0

xn = A!e-"tn /! 0

#

$

%

�

!

(:)

�

xn-1

xn

=e

-! (tn -T)

e-!tn

= e!T (12)

δηλαδή ο λόγος δύο διαδοχικών µέγιστων τιµών της αποµάκρυνσης του ταλαν τωτή είναι σταθερός, εξαρτάται δε η τιµή του από τα µεγέθη b και m. Έτσι, εάν x1, x2,... xn είναι oι µέγιστες τιµές (πλάτη) της αποµάκρυνσης του ταλαντωτή, θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

x1

x2

=x

2

x3

= . . .x

n-1

xn

= e!T (13)

που σηµαίνει ότι, τα πλάτη αυτά αποτελούν τους όρους µιας φθίνουσας γεω µετρικής προόδου µε λόγο eλT. ---------------------------------------- * Για την ακρίβεια η φθίνουσα ταλάντωση που περιγράφεται από την συνάρτηση (10) δεν είναι περιοδική κίνηση, αφού η συνάρτηση αυτή δεν είναι περιοδική. Έτσι η περίοδος T που αντιστοιχεί, στον όρο ηµ(ωt+φ) ονοµάζεται ψευδοπερίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης.

iv) H µηχανική ενέργεια Ε του ταλαντωτή κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t είναι:

�

E = K + U = mv2/2 + m!

0

2x

2/2 (14)

Παραγωγίζοντας εξάλλου την (10) ως προς τον χρόνο t, παίρνουµε:

�

dx

dt= -A!e-!t"µ #t +$( ) + Ae

-!t#%&' #t +$( )

�

!

�

v = Ae-!t

-!"µ #t +$( ) + #%&' #t +$( )[ ] οπότε η (14) γράφεται:

�

E =mA

2e

-2!t

2-!"µ #t+$( ) + #%&' #t+$( )[ ]

2

+mA

2#0

2e

-2!t

2"µ 2 #t+$( )

Επειδή έχουµε ω0

2=λ2+ω2 η προηγούµενη σχέση γράφεται:

�

E =mA

2e

-2!t

2!2"µ 2 #t+$( ) + # 2%&'2 #t+$( ) -[

�

-2!"#µ "t+$( )%&' "t+$( ) +!2#µ 2 "t+$( ) +" 2#µ 2 "t+$( )]

�

!

�

E =mA

2e

-2!t

22!2"µ 2 #t+$( ) + # 2

- 2!#"µ #t+$( )%&' #t+$( )[ ]

�

!

�

E =mA

2e

-2!t

2!2

1 - "#$ 2%t+2&( )[ ] + % 2- !%'µ 2%t+2&( ){ }

�

!

�

E =mA

2e

-2!t

2!2 + " 2

- !2#$% 2"t+2&( ) - !"'µ 2"t+2&( )[ ]

�

!

�

E =mA

2e

-2!t

2"

0

2- !2#$% 2"t+2&( ) - !"'µ 2"t+2&( )[ ] (15)

H (15) δηλώνει ότι η µηχανική ενέργεια ενός αρµονικού ταλαντωτή µε ασθενή απόσβεση (b/2m<ω0) δεν µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο, αλλά ακολουθεί αρκετά πολύπλοκη µεταβολή στην οποία εµπλέκονται και οι αρµονικοί όροι συν2(ωt+φ) και ηµ2(ωt+φ). Αν όµως δεχθούµε την περίπτωση που ο συντε λεστής απόσβεσης b του ταλαντωτή ικανοποιεί την σχέση b/2m<<ω0 ή λ<<ω0 δηλαδή την περίπτωση που η ταλάντωση φθίνει πολύ αργά, τότε µε καλή προ σέγγιση οι όροι

�

!2"#$ 2%t+2&( ) και

�

!"#µ 2"t+2$( ) µπορούν να παραλειφθούν

σε σχέση µε τον όρο

�

!0

2 και η (15) παίρνει την προσεγγιστική µορφή:

�

E = mA2!

0

2e

-2"t/2

�

!

�

E = E0e

-2!t (16) όπου Ε0 η µηχανική ενέργεια του ταλαντωτή κατά την έναρξη της κίνησής του.

Παρατηρόυµε ότι στην περίπτωση εξαιρετικά µικρής απόσβεσης η µηχανική ενέργεια µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο.

P.M. fysikos

Ένας γραµµικός αρµονικός ταλαντωτής µάζας m παρουσιάζει σταθε ρά απόσβεσης b, η δε γωνιακή ιδιοσυχνότητα ω0 της ελεύθερης και αµείωτης ταλάντωσής του ικανοποιεί την σχέση ω0>b/2m. i) Eάν την χρονική στιγµή t=0 η αποµάκρυνση του ταλαντωτή από την θέση αναφοράς x=0 είναι x0 και η ταχύτητά του µηδέν, να βρείτε τις συναρτήσεις που εκφράζουν την αποµάκρυνση x(t) και την ταχύ τητα v(t) του ταλαντωτη σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ii) Nα δείξετε ότι το διάγραµµα της x(t) φράσεται προς τα άνω και προς τα κάτω από δύο περιβάλλουσες, οι οποίες είναι συµµετρικές µεταξύ τους ως προς τον άξονα των χρόνων, τα δε σηµεία επαφής του διαγράµµατος µε τις περιβάλλουσες αυτές δεν αντιστοιχούν στα τοπι κά ακρότατα που παρουσιάζει η x(t). iii) Να δείξετε ότι, αν η σταθερά απόσβεσης του ταλαντωτή ικανοπο ιεί την σχέση b/2m<<ω0, δηλαδή η ταλάντωση φθίνει πολύ αργά, τοτε τα τοπικά ακρότατα τείνουν να συµπέσουν µε τα σηµεία επαφής του διαγράµµατος της x(t) και των περιβαλλουσών της. ΛΥΣΗ: i) H εξίσωση κίνησης του ταλαντωτή στην περίπτωση ασθενούς απόσ βεσης (ω0>b/2m) έχει την µορφή:

�

x = Ae-!t"µ #t +$( ) (1)

όπου Α, φ σταθερές που θα καθορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του ταλαντωτή, λ χαρακτηριστική σταθερά αυτού που σύνδέεται µε την σταθε ρά απόσβεσής του b και την µάζα του m µέσω της σχέσεως λ=b/2m και ω η γω νιακή του συχνότητα που ικανοποιεί την σχέση

�

!2=!

0

2- "

2. Παραγωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την ταχύτητα v (αλγεβρική τιµή) του ταλαντωτή, δηλαδή θα έχουµε:

�

v =dx

dt= -A!e-!t"µ #t +$( ) + Ae

-!t#%&' #t +$( )

�

!

�

v = Ae-!t

-!"µ #t +$( ) +#%&' #t +$( )[ ] (2)

Για t=0 η (1) δίνει:

�

x0

= A!µ"

�

!

�

A = x0/!µ" (3)

Για t=0 η (2) δίνει:

�

0 = A! -!"µ# +$%&'#( )

�

!

�

!"µ# = $%&'#

�

!

�

!"# = $ /% (4)

Aπό την τριγωνοµετρία είναι γνωστή η σχέση:

�

!µ2" =

#$2"

1+ #$2"

�

!

(4)

�

!µ2" =

(# /$)2

1+ (# /$)2

�

!

�

!µ2" =

# 2

$2+# 2

=# 2

#0

2

�

!

�

!µ" =#

#0

(5)

οπότε η (3) δίνει:

�

A = x0!

0/! (6)

Mε βάση τα παραπάνω η ζητούµενη συνάρτηση x(t) έχει την µορφή:

�

x(t) =x0! 0

!e

-"t#µ !t +$( ) µε

�

!µ" =#

#0

ή

�

!"# =

$

% (7)

Eξάλλου η σχέση (2) γράφεται:

�

v = Ae-!t

-!"µ #t +$( ) +!%&$'() #t +$( )[ ]

�

!

�

v = A!e-!t-"µ #t +$( ) +

"µ$%&'$

%&' #t +$( )(

) *

+

, -

�

!

�

v =A!e-!t

"#$%-"#$%&µ 't +%( ) + &µ%"#$ 't +%( )[ ]

�

!

�

v =A!e-!t

"#$%&µ 't +% - %( ) =

A!e-!t

1 - &µ 2%&µ't

�

!

(5)

�

v =A!e-!t

1 -" 2/"

0

2#µ"t =

A!"0e

-!t

"0

2-" 2

#µ"t

�

!

�

v = A!0e

-"t#µ!t

�

!

(6)

�

v =x

0!

0

2

!e

-"t#µ!t

Άρα η ζητούµενη συνάρτηση v(t) έχει την µορφή:

�

v(t) =x0! 0

2

!e

-"t#µ!t µε

�

!µ" =#

#0

ή

�

!"# =

$

% (8)

ii) Κατά την εξέλιξη της φθίνουσας ταλάντωσης ισχύει η σχέση:

�

- 1 ! "µ #t +$( ) ! +1

�

!

�

-x

0!

0

!e

-"t #x

0!

0

!e

-"t$µ !t +%( ) #x

0!

0

!e

-"t

�

!

�

-x0! 0

!e

-"t# x(t) #

x0! 0

!e

-"t (9)

Aπό την (9) γίνεται φανερό ότι η αποµάκρυνση του ταλαντωτή φράσεται προς τα άνω από την συνάρτηση:

�

f1(t) =x0! 0

!e

-"t (10)

και προς τα κάτω από την συνάρτηση:

�

f2(t) = -x0! 0

!e

-"t (11)

Σχήµα 1

Αυτό σηµαίνει ότι οι συναρτήσεις f1(t) και f2(t) αποτελούν περιβάλλουσες της x(t) και µάλιστα τα διαγράµµατά τους είναι δύο εκθετικές καµπύλες συµµετρι κές µεταξύ τους ως προς τον άξονα των χρόνων oι οποίες οριοθετούν τo διάγ ραµµα της x(t) (σχ. 1). Αν θεωρήσουµε τα σηµεία επαφής της f1(t) και της x(t), αυτά αντιστοιχούν στις χρονικές στιγµές t* που ικανοποιούν την σχέση:

�

x0!

0

!e

-"t* =x

0!

0

!e

-"t*#µ !t*+$( )

�

!

�

!µ "t*+#( ) = 1

Εξάλλου από την (2) για t= t*, παίρνουµε:

�

v(t*) = -!Ae-!t* < 0 (12)

H (12) δηλώνει ότι κατά τις χρονικές στιγµές t* η αποµάκρυνση του ταλαντωτη δεν παρουσιάζει ακρότατο, δηλαδή τα ακρότατα της x(t) δεν ανήκουν στην περι βάλλουσα f1(t). Mε τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι τα ακρότατα της x(t) δεν ανήκουν στην περιβάλλουσα f2(t) (σχ. 1). iii) Αν δεχθούµε ότι ο συντελεστής απόσβεσης b του ταλαντωτή ικανοποιεί την

σχέση b/2m<<ω0, ή λ<<ω0, τότε θα είναι ω0≈ω δηλαδή ηµφ≈1 ή φ≈π/2 και η σχέση (7) παίρνει την προσεγγιστική µορφή:

�

x(t) !x0" 0

" 0

e-#t$µ " 0t + %/2( ) = x0e-#t&'("0t

οι δε περιβάλλουσές της x(t) θα προσεγγίζονται από τις εκθετικές συναρτήσεις:

�

f1(t) = x0e-!t και

�

f2(t) = - x0e-!t

που τα διαγράµµατά τους είναι οι εστιγµένες καµπύλες του σχήµατος (2). Θεω ρώντας πάλι τα σηµεία επαφής της f1(t) και της x(t), αυτά αντιστοιχούν τις χρονικές στιγµές t* που ικανοποιούν την σχέση:

�

x0e

-!t* = x0e

-!t*"#$%0t*

�

!

�

!"#$0t*= 1

Σχήµα 2

Eξάλλου η συνάρτηση της ταχύτητας του ταλαντωτή έχει την µορφή:

�

v(t) = x0! 0e-"t#µ!0t

η οποία για t=t* δίνει:

�

v(t*) = x0! 0e-"t#µ!0t* = 0

�

! που σηµαίνει ότι τις χρονικές στιγµές t* η x(t) προσεγγίζει τις ακρότατες τιµές της, δηλαδή τα τοπικά ακρότατα του διαγράµµατός της βρίσκονται περίπου πά νω στις δύο περιβάλλουσές του (σχ. 2).

P.M. fysikos

Δύο σφαιρίδια της ίδιας µάζας m είναι στερεωµένα στις άκρες ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, όλο δε το σύστηµα αναρτάται µε την βοήθεια δύο αβαρών και µη εκτατών νηµάτων του ίδιου µήκους L,

όπως φαίνεται στο σχήµα (3). Όταν το σύστηµα ισορροπεί τα νήµατα είναι κατοκόρυφα, το ελατήριο οριζόντιο και χωρίς παραµόρφωση. Eκτρέπουµε πολύ λίγο τα σφαιρίδια από τις θέσεις ισορροπίας τους ώστε το ελατήριο να παραµείνει περίπου οριζόντιο και στην συνέχεια τα αφήνουµε ελεύθερα. i) Nα γράψετε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνη ση των δύο σφαιριδίων. ii) Nα δείξετε ότι, υπάρχει δυνατότητα κάθε σφαιρίδιο να εκτελεί αρµονική ταλάντωση χωρίς να παραµορφώνεται το ελατήριο και να υπολογιστεί η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης. iii) Nα δείξετε ότι τα δύο σφαιρίδια µπορούν να εκτελούν αρµονική ταλάντωση και οι αποµακρύνσεις τους να είναι αντίθετες. iv) Eάν η σύζευξη των δύο σφαιριδίων είναι χαλαρή, να δείξετε ότι η κίνηση κάθε σφαιριδίου αποτελεί ένα διακρότηµα. Δίνεται η επιτά χυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) Eξετάζουµε το σύστηµα σε µια τυχαία θέση, όπου οι αποµακρύνσεις των δύο σφαιριδίων από τις θέσεις ισορροπίας τους είναι

�

! x

1 καί

�

! x

2, (σχ. 3).

Στην θέση αυτή το αριστερό σφαιρίδιο α δέχεται το βάρος του

�

m! g , την οριζόν

τια δύναµη

�

!

F από το τεντωµένο ελατήριο και την τάση

�

!

T 1 του νήµατος, η

οποία αναλύεται σε µια κατακόρυφη συνιστώσα

�

! T 1y που εξουδετερώνει το βά

Σχήµα 3 ρος του σφαιριδίου και σε µια οριζόντια συνιστώσα

�

!

T 1x

. Aνάλογες δυνάµεις δέχεται και το δεξιό σφαιρίδιο β, στο οποίο η δύναµη από το ελατήριο θα είναι

�

-

!

F , λόγω του αξιώµατος της ισότητας δράσης-αντίδρασης. Eφαρµόζοντας για τα δύο σφαιρίδια τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, παίρνουµε τις σχέσεις:

�

md2x1/dt2 = -T1x + F = T1!µ"1 + k(x2 - x1)

md2x2/dt2 = -T2x - F = -T2!µ"2 - k(x2 - x1)

# $ %

(1)

Eπειδή η κίνηση των δύο σφαιριδίων θεωρείται µε καλή προσέγγιση οριζόντια, µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις:

�

mg = T1y = T1!"#$1

mg = T2y = T2!"#$2

%

&

'

�

!

�

mg ! T1

mg ! T2

"

#

$

διότι συνφ1=συνφ2

�

!1. Έτσι οι σχέσεις (1) γράφονται:

�

md2x1/dt2 = -mg!µ"1 + k(x2 - x1)

md2x2/dt2 = -mg!µ" 2 - k(x2 - x1)

# $ %

�

!

�

md2x1/dt2 = -mgx1/L+ k(x2 - x1)

md2x2/dt2 = -mgx2/L - k(x2 - x1)

!

"

#

(2)

Oι σχέσεις (2) αποτελούν τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση των δύο σφαιριδίων.

ii) Προσθέτοντας κατα µέλη τις σχέσεις (2) παίρνουµε:

�

md2x1

dt2+ m

d2x2

dt2= -

mg

L(x1 + x2)

�

!

�

d2(x1 + x2)

dt2+

g

L(x1 + x2) = 0

(3)

H (3) αποτελεί µια οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:

�

x1 + x2 = A1!µ ("1t +#1) µε

�

!1

2 = g/L (4) και A1, θ1 σταθερές ολοκλήρωσης που υπολογίζονται από τις αρχικές συνθή κες κίνησης των δύο σφαιριδίων. Ας δεχθούµε ότι την στιγµή t=0 τα σφαιρί δια κρατούνται ακίνητα στις θέσεις x1=x2=A, H (4) για t=0 δίνει:

�

A + A = A1!µ"

1

�

!

�

2A = A1!µ"

1 (5)

Παραγωγίζοντας την (4) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε:

�

dx1

dt+

dx2

dt= A1!1"#$(!1t +%1) (6)

H (6) για t=0 δίνει:

�

0 + 0 = A1!

1"#$%

1

�

!

�

!"#$1= 0

�

!

�

!1= " /2

οπότε η (5) δίνει Α1=2Α µε αποτέλεσµα η (4) να παίρνει την µορφή:

�

x1 + x2 = 2A!µ("1t + #/2)

�

!

�

x1+ x

2= 2A!"#$

1t (7)

H σχέση (7) εγγυάται ότι, ένας δυνατός τρόπος κίνησης του συστήµατος είναι τα δύο σφαιρίδια να εκτελούν αρµονική ταλάντωση γωνιακής συχνότητας ω1 και κάθε στιγµή να έχουν την ίδια αποµάκρυνση (x1=x2). H ειδική αυτή περί πτωση συµβαίνει όταν τα σφαιρίδια εκτραπούν από τις θέσεις ισορροπίας τους προς την ίδια κατεύθυνση κατά ίσες αποστάσεις και αφεθούν ελευθερα. Tότε το ελατήριο δεν θα εισφέρει στην ταλάντωση του συστήµατος, διότι τα δύο σφαιρί

Σχήµα 4 δια κάθε στιγµή µετατοπίζονται οµόρροπα και έτσι το ελατήριο διατηρεί το φυσικό του µήκος (σχ. 4). Αυτός ο τρόπος τα λάντωσης των σφαιριδίων ονοµά ζεται κανονικός τρόπος ταλάντωσης σε συµφωνία φάσεως. iii) Aν τώρα αφαιρέσουµε κατά µέλη τις εξισώσεις (2) θα έχουµε:

�

md2x1

dt2- m

d2x2

dt2= -

mg

L(x1 - x2) - 2k(x1 - x2) !

�

d2(x1 - x2)

dt2+

g

L+

2k

m

!

" #

$

% & (x1 - x2) = 0 (8)

Και η (8) αποτελεί οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:

�

x1 - x2 = A2!µ (" 2t +#2) µε

�

! 2

2 = g/L+ 2k/m

(9) και A2, θ2 σταθερές ολοκλήρωσης που υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης των δύο σφαιριδίων. Ας δεχθούµε ότι την στιγµή t=0 τα σφαιρίδια κρατούνται ακίνητα στις θέσεις x1= A και x2=-Α, H (9) για t=0 δίνει:

�

A + A = A2!µ"

2

�

!

�

2A = A2!µ"

2 (10)

Παραγωγίζοντας την (10) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε:

�

dx1

dt-dx2

dt= A2! 2"#$(! 2t +%2) (11)

H (11) για t=0 δίνει:

�

0 - 0 = A2!

2"#$%

2

�

!

�

!"#$2= 0

�

!

�

!2= " /2

οπότε από την (10) προκύπτει Α2=2Α και η (9) να παίρνει την µορφή:

�

x1 - x2 = 2A!µ(" 2t + #/2)

�

!

�

x1- x

2= 2A!"#$

2t (12)

Aπό την σχέση (12) προκύπτει ότι, ένας άλλος δυνατός τρόπος κίνησης του συστήµατος είναι τα δύο σφαιρίδια να εκτελούν αρµονική ταλάντωση κυκλι κής συχνότητας ω2 και κάθε στιγµή να έχουν αντίθετες αποµακρύνσεις (x1=-x2). H ειδική αυτή περίπτωση συµβαίνει όταν τα δύο σφαιρίδια εκτραπούν από τις θέσεις ισορροπίας τους προς αντίθετη κατεύθυνση κατά ίσες αποστάσεις και αφεθούν ελεύθερα. Tότε το ελατήριο εισφέρει στην ταλάντωση του συστήµατος, διότι τα σφαιρίδια κάθε στιγµή µετατοπίζονται αντίρροπα και έτσι το ελατήριο ή θα είναι τεντωµένο ή θα είναι συµπιεσµένο (σχ. 5). Αυτός ο τρόπος κίνησης του σύστήµατος ονοµάζεται κανονικός τρόπος ταλάντωσης σε αντίθεση φάσεως.

Σχήµα 5 iv) Όµως το σύστηµα µπορεί να εκτελέσει και άλλους τρόπους ταλάντωσης, οι οποίοι περιγράφονται από εξίσωσεις που θα προκύψουν µε γραµµικό συνδυ ασµό (πρόσθεση και αφαίρεση) των σχέσεων (4) και (9), οι οποίες αποτελούν λύσεις των διαφορικών εξισώσεων (2) και έχουν την µορφή:

�

x1 =A1

2!µ ("1t +#1)+

A2

2!µ (" 2t +#2)

x2 =A1

2!µ ("1t +#1)-

A2

2!µ (" 2t +#2)

$

% &

' &

(13)

Eάν την χρονική στιγµή t=0 το ένα σφαιρίδιο έχει εκτραπεί από την θέση ισορροπίας του κατα 2A και κρατείται ακίνητο, το δε άλλο κρατείται επίσης ακίνητο στην θέση ισορροπίας του, τότε οι σχέσεις (7) και οι εξισώσεις που προκύπτουν από την παραγώγισή τους ως προς τον χρόνο t επιβάλλουν A1/2=A2/2=A και θ1=θ2=π/2 . Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις κίνησης των δύο σφαιριδίων γράφονται:

�

x1 = A!µ ("1t + #/2)+ A!µ (" 2t + #/2)

x2 = A!µ ("1t + #/2)- A!µ (" 2t + #/2)

$ % & !

�

x1 = A(!"#$1t+!"#$2t)

x2 = A(!"#$1t- !"#$2t)

%

&

'

!

Σχήµα 6

�

x1 = 2A!"#($1 -$ 2)t

2!"#

($1 +$ 2)t

2

x2 = -2A%µ($1 -$ 2)t

2%µ

($ 2 +$1)t

2

&

' (

) (

(14)

Eάν ισχύει 2k/m<<g/L, δηλαδή όταν η σύζευξη των δύο σφαιριδίων είναι πολύ χαλαρή, τότε θα είναι ω1»ω2, που σηµαίνει ότι κάθε σώµα εκτελεί περιοδική κίνηση που έχει την µορφή διακροτήµατος (σχ. 6).

P.M. fysikos

Στην διάταξη του σχήµατος (7) τα οριζόντια ελατήρια είναι ιδανικά µε σταθερά k και φυσικό µήκος L, το δέ σώµα Σ µάζας m µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, ενώ το σφαιρίδιο Α έχει µάζα m και είναι δεµένο στο ένα άκρο αβαρούς και µη εκτατού νήµα τος µήκους L, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωµένο. Eάν το σφαιρίδιο εκτραπεί οριζοντίως, ώστε το νήµα να υποστεί µικρή γωνια κή εκτροπή από την κατακόρυφη διεύθυνση και στην συνέχεια αφε θεί ελεύθερο, να βρεθούν: i) οι διαφορικές εξισώσεις που καθορίζουν την κίνηση τoυ συστήµα τος στην περίπτωση που ισχύει k=2mg/5L και

ii) oι συχνότητες και ο λόγος των πλατών των κανονικών τρόπων τα λάντωσης του συστήµατος. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σύστηµα κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t που οι αποµακρύνσεις των σωµάτων Σ1 και Σ2 από τις αντίστοιχες θέσεις ισορροπίας τους Ο1 και Ο2 είναι

�

! x

1 και

�

! x

2 αντιστοίχως (σχ. 7). Το σώµα Σ1 την στιγµή αυτή

δέχεται το βάρος του που αναιρείται από την κατακόρυφη αντίδραση του λείου οριζόντιου δαπέδου και τις δυνάµεις

�

! F

1,

�

! F

2 από τα παραµορφωµένα ελατήρια

σταθερών k1 και k2 αντιστοίχως. Εφαρµόζοντας για το σώµα αυτό τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση:

Σχήµα 7

�

m1

d2x

1

dt2

= -F1+F

2

�

!

�

m1

d2x

1

dt2

= -k1x

1+k

2x

2- x

1( )

�

!

�

md

2x

1

dt2

= -2kx1+k x

2- x

1( )

�

!

�

d2x

1

dt2

= -3k

mx

1+

k

mx

2 (1)

Εξάλλου το σφαιρίδιο Σ2 δέχεται το βάρος του

�

! w , την τάση

�

! F του νήµατος που

αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα

�

! F

x και στην κατακόρυφη συνιστώσα

�

! F y

και τέλος την δύναµη

�

-! F

2 από το ελατήριο σταθεράς k2. Eπειδή η γωνία φ του

νήµατος µε την κατακόρυφη διεύθυνση είναι µικρή, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η κίνηση του σφαιριδίου είναι οριζόντια, οπότε θα ισχύει:

�

w - Fy= 0

�

!

�

2mg = Fx/!"#

�

!

�

Fx=2mg!"# $2mg%µ# (2) διότι µε καλή προσέγγιση ισχύει εφφ

�

!ηµφ. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, κατά την οριζόντια διεύθυνση παίρνουµε την σχέση:

�

m2

d2x

2

dt2

= -F2- F

x

�

!

(2)

�

m2

d2x2

dt2= -k2 x2 - x1( ) - 2mg!µ"

�

!

�

2md2x2

dt2= -k x2 - x1( ) - 2mg

x2

L

�

!

�

d2x2

dt2= -

k

2mx2 - x1( ) - g

x2

L

�

!

�

d2x2

dt2=

kx1

2m-

g

L+

k

2m

!

" #

$

% & x2

�

!

�

d2x

2

dt2

=kx

1

2m-3k

mx

2 (3)

διότι είναι δεδοµένο ότι g/L=5k/2m. Οι σχέσεις (1) και (3) αποτελούν τις διαφο ρικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του σώµατος και του σφαιριδίου. ii) Θα εξετάσουµε κάτω από ποιές συνθήκες είναι δυνατός ένας κανονικός τρόπος ταλάντωσης του σύστήµατος, δηλαδή αν υπάρχει δυνατότητα το σώµα και το σφαιρίδιο να ταλαντεύονται µε την ίδια συχνότητα. Προς τούτο εξετά ζουµε το ενδεχόµενο το σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων (1) και (3) να δέ χεται λύση της µορφής:

�

x1 = A1!µ ("t+#)

x2 = A2!µ ("t+#)

$ % &

Στην περίπτωση αυτή θα έχουµε:

�

dx1/dt= A1!"#$(!t+%)

dx2/dt= A2!"#$(!t+%)

&

'

(

�

!

�

d2x1/dt2 = -A1!2"µ(!t+#)

d2x2/dt2 = -A2!2"µ(!t+#)

$ % & (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) µε τις εξισώσεις (1) και (3) παίρνουµε:

�

-A1!2"µ (!t+#) = -A1 (3k/m)"µ (!t+#) +A2(k/m)"µ (!t+#)

-A2!2"µ (!t+#) = A1 (k/2m)"µ (!t+#) -A2 (3k/m)"µ (!t+#)

$ % &

�

!

�

-A1!2= -A1 (3k/m) +A2(k/m)

-A2!2= A1 (k/2m) -A2 (3k/m)

"

#

$

�

!

�

3k/m -! 2( )A1=A

2k/m

kA1/2m = A

23k/m -! 2( )

"

# $

% $

�

!

(:)

�

3k/m -!2

k /2m=

k /m

3k/m -!2

�

!

�

3k/m -!2( )

2

= k2/2m

2

�

!

�

3k/m -!2( )

2

= k / 2m( )2

�

!

�

3k

m-!

2= ±

k

2m

�

!

�

!2

=3k

m±

k

2m

�

!

�

! =k

2m6 ± 2( )

�

!

�

f1

=1

2!

k

2m6 - 2( )

f2

=1

2!

k

2m6 + 2( )

"

#

$ $

%

$ $

(5)

όπου f1, f2 οι συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης του συστήµατος

Από την παραπάνω διαδικασία συµπεραίνουµε ότι το σύστηµα έχει την δύνατό τητα να εκτελεί δύο κανονικούς τρόπους ταλάντωσης. Ο τρόπος ταλάντωσης που αντιστοιχεί στην µεγαλύτερη συχνότητα f2 χαρακτηρίζεται από την σχέση:

�

3k/m -!2

2( )A1=A

2k/m

�

!

�

3 - 6 + 2( ) /2[ ]A1=A

2

�

!

�

A1/A

2= - 2 < 0

δήλαδή στην περίπτωση αυτή οι αποµακρύνσεις του σώµατος και του σφαιρι δίου είναι κάθε στιγµή αντίρροπες, που σηµαίνει ότι κατά την γρήγορη ταλάν τωση του συστήµατος υπάρχει αντίθεση φάσεως µεταξύ σώµατος και σφαιριδί ου. Εξάλλου ο τρόπος ταλάντωσης του σύστήµατος που αντιστοιχεί στην µικρό τερη συχνότητα f1 χαρακτηρίζεται από την σχέση:

�

3k/m -!1

2( )A1=A

2k/m

�

!

�

3 - 6 - 2( ) /2[ ]A1=A

2

�

!

�

A1/A

2= 2 > 0

δηλαδή κατά την αργή ταλάντωση του συστήµατος υπάρχει συµφωνία φάσεως ανάµεσα στο σώµα και το σφαιρίδιο, που σηµαίνει ότι κάθε στιγµή οι αποµακ ρύνσεις τους είναι οµόσηµες.

P.M. fysikos