Τα Μαθηματικά μέσα στην...

Α' Τετράμηνο 2013-14

Υπεύθυνη καθηγήτρια: Γιαμαρέλου Μαρία

(ΠΕ03)

Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο

Μυτιλήνης

Α' Τετράμηνο 2013-14

Τα Μαθηματικά μέσα στην Τέχνη

Πρότυπο Πειρατικό Γενικό Λύκειο Μυτιλήνης

2

Εικόνα Εξώφυλλου:

Piet Mondrian: Composition A (1923). Galleria Nazionale d'Arte Moderna e Contemporanea, Rome, Italy.

"Τα Μαθηματικά μέσα στην Τέχνη"

3

Περιεχόμενα Αντί Προλόγου ............................................................................................................................. 5

Ομάδα Α - Ταινίες με θέμα τα μαθηματικά ................................................................................ 6

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ............................................................................................................................... 6

Η ΕΡΓΑΣΙΑ ................................................................................................................................ 7

Ομάδα Β - Ταινίες με θέμα τα μαθηματικά .............................................................................. 16

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ............................................................................................................................. 16

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΑΙΝΙΑΣ ΑΓΟΡΑ ............................................................................................ 17

ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΖΩΗ ΤΗΣ ΥΠΑΤΙΑΣ ........................................................................ 17

ΩΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ................................................................................................................ 18

Η ΘΕΣΗ ΤΗΣ ΓΥΝΑΙΚΑΣ ΤΟΝ 4Ο ΑΙΩΝΑ.................................................................................. 18

ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ...................................................................... 19

ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΑΝΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ........................................................................................................ 19

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΑΙΝΙΑΣ «A Beautiful Mind» ........................................................................ 21

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΑΙΝΙΑΣ «Good will hunting» ...................................................................... 21

ΕΠΙΛΟΓΟΣ .............................................................................................................................. 21

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ....................................................................................................................... 22

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ....................................................................................................................... 22

Ομάδα Γ - Ταινίες με θέμα τα μαθηματικά ............................................................................... 34

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ....................................................................................................................... 34

Ρυθμός και αριθμός .............................................................................................................. 44

Η Αρμονία .............................................................................................................................. 44

Μαθηματικοί λόγοι στα μουσικά διαστήματα ..................................................................... 46

Συχνότητα .............................................................................................................................. 46

Ημιτονοειδή κύματα ............................................................................................................. 47

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ....................................................................................................................... 47

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ....................................................................................................................... 48

Ομάδα Ε - ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ & ΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ .................................. 62

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ............................................................................................................................... 62

ΚΥΒΙΣΜΟΣ .............................................................................................................................. 63

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΩΝ ΚΥΒΙΣΜΟΥ ................................................................................................. 65

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ...................................................................................................................... 66

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ................................................................................. 68

Στην αρχαία Ελλάδα: ......................................................................................................... 68


4

Στην αρχαία Αίγυπτο: ........................................................................................................ 68

Πιο σύγχρονη αρχιτεκτονική: ............................................................................................ 69

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ ........................................................................................... 70

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ...................................................................................................... 71

Η Γεωμετρία στη ζωγραφική ............................................................................................. 71

Η μέθοδος του Escher ....................................................................................................... 71

OP ART ................................................................................................................................... 72

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ....................................................................................................................... 73


5

Αντί Προλόγου Η Ερευνητική Εργασία "Μαθηματικά Μέσα στην Τέχνη" υλοποιήθηκε στη Β΄ Τάξη του Πρότυπου Πειραματικού Γενικού Λυκείου Μυτιλήνης κατά το σχολικό έτος 2013-14. Οι μαθητές γνώρισαν τα μαθηματικά μέσα από μια διαφορετική ματιά. Ο καθένας από τους συμμετέχοντες κέρδισε γνώσεις, εμπειρίες και αγάπησε λίγο παραπάνω τα μαθηματικά.

Τα μαθηματικά βρίσκονται παντού. Εμείς τα αναζητήσαμε στον κινηματογράφο, στην ζωγραφική και την αρχιτεκτονική και στη μουσική.

Η κάθε ομάδα εργάστηκε στα δικά της ερευνητικά ερωτήματα και η τελική παρουσίαση διαφέρει από ομάδα σε ομάδα, παρουσιάζοντας τις διαφορετικές προσεγγίσεις και καλλιτεχνικές ανησυχίες. Τα όμορφα βίντεο που δημιουργήθηκαν δυστυχώς δεν μπορούν να ενσωματωθούν στο κείμενο αυτό.

Συμμετέχοντες Μαθητές ανά ομάδα:

Ομάδα " The Cube" • ΒΑΣΙΛΑΡΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ • ΔΟΥΜΟΥΖΗ ΕΥΔΟΞΙΑ • ΨΥΡΟΥΚΗΣ ΦΩΤΗΣ • ΡΟΥΚΟΥΝΙΩΤΗ ΕΙΡΗΝΗ

Ομάδα " Μ2ΓΝ " • ΣΟΥΒΑΤΖΗ ΜΑΡΙΑ • ΒΕΛΙΣΣΑΡΙΟΥ ΜΑΡΙΑ • ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΤΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ • ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΜΑΝΩΛΑΚΕΛΛΗΣ

Ομάδα Λογοτεχνίας • ΞΥΠΤΕΡΑ ΜΑΡΙΑΝΘΗ • ΚΟΥΝΤΟΥΡΕΛΛΗ ΧΑΡΑ

Ομάδα "Οι μουσικοί" • ΜΑΤΑΡΕΛΛΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ • ΜΑΥΡΑΝΤΩΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ • ΠΟΔΗΜΑΤΗΣ ΜΑΡΙΝΟΣ

Ομάδα "Εικαστικών" • ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ ΗΡΩ • ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ • ΑΝΤΩΝΙΑΔΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

Σας ευχαριστώ για τις όμορφες στιγμές που ζήσαμε κατά τη διάρκεια του project, για τα χαμόγελά σας παρά τις όποιες δυσκολίες αντιμετωπίσατε, για το ταξίδι μας σε έναν διαφορετικό κόσμο των μαθηματικών, καθώς και για τις δημιουργίες σας.

Η υπεύθυνη καθηγήτρια

Μαρία Ν. Γιαμαρέλου

Μαθηματικός


6

Ομάδα Α - Ταινίες με θέμα τα μαθηματικά

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στο project αυτό ασχοληθήκαμε κυρίως με τη σύνδεση των μαθηματικών με την τέχνη

και ιδίως μέσα από ταινίες.

Το όνομα της ομάδας μας ήταν: "The Cube" και οι μαθητές που συμμετείχαν ήταν:

Βασίλαρος Παναγιώτης, Δουμούζη Ευδοξία, Ρουκουνιώτη Ειρήνη, Ψυρούκης

Φώτης.

Στην εργασία που παραδώσαμε έχουμε αυτό το κείμενο Word στο οποίο υπάρχουν τα

περιεχόμενα και η δουλειά του καθενός.

Ο καθένας μας εργάστηκε σκληρά για βγει αυτό το αποτέλεσμα. Αρχικά είδαμε μια

ταινία με σχέση τα μαθηματικά, επιλέξαμε το «Ένας υπέροχος άνθρωπος». Έπειτα

αναζητήσαμε και άλλες ταινίες με το ίδιο περιεχόμενο. Ακόμα γράψαμε τη βιογραφία

2 υπέροχων μαθηματικών που θεωρούνταν σχιζοφρενής, του Άλαν Τούρινγκ και του

Τζον Νας. Επιπλέον, αναζητήσαμε πληροφορίες για τον αριθμό π. Τέλος,

δημιουργήσαμε ένα power point με πληροφορίες που συγκεντρώσαμε και ένα βίντεο

με στιγμιότυπα παρμένα από ταινίες που έχουν άμεση σχέση με τα μαθηματικά και

στα οποία παρουσιάζονται και οι αντιλήψεις που επικρατούσαν την τότε εποχή για

τους μαθηματικούς.

Υ.Γ. Πρέπει να πούμε ότι δεν ήταν εύκολη υπόθεση καθώς υπάρχει και

παραπληροφόρηση στο Internet και έπρεπε να διασταυρώσουμε τις πηγές μας.


7

Η ΕΡΓΑΣΙΑ


8


9


10


11


12


13


14


15


16

Ομάδα Β - Ταινίες με θέμα τα μαθηματικά

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Χωρίς πολλές φορές να το αντιλαμβανόμαστε, σε όλους τους τομείς της ζωής μας καθ’ όλη τη διάρκεια της- είτε πρόκειται για τα σχολικά μας χρόνια είτε για το μελλοντικό μας επάγγελμα –υπάρχει μια επιστήμη η οποία παίζει καταλυτικό ρόλο στην εξέλιξη μας. Αυτή είναι τα μαθηματικά. Όμως τα μαθηματικά δεν είναι αναγκαία και απαραίτητα μόνο για την μελλοντική μας πορεία αλλά είναι αναπόσπαστο κομμάτι της ψυχαγωγίας και της τέχνης. Ζωγραφική, γλυπτική, λογοτεχνία, κινηματογράφος, μουσική, όλα αντανακλούν και είναι δομημένα πάνω στις εκάστοτε μαθηματικές θεωρίες και πρακτικές είτε με την μορφή εμπνεύσεως είτε ως δομικό συστατικό.

Στην προκειμένη περίπτωση θα μελετήσουμε την επίδραση της μαθηματικής επιστήμης στον τομέα του κινηματογράφου και συγκεκριμένα πως αντικατοπτρίζονται οι μαθηματικές θεωρίες στην ταινία ‘’ΑΓΟΡΑ’’, ‘’ A beautiful mind’’ και “Good will hunting” .


17

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΑΙΝΙΑΣ ΑΓΟΡΑ Την περίοδο όπου η Αλεξάνδρεια ήταν μέρος της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας, η Ελληνίδα φιλόσοφος Υπατία είναι μία καθηγήτρια στη πλατωνική σχολή, στην οποία φοιτούσαν μελλοντικοί ηγέτες. Διδάσκει τις θεωρίες του Ευκλείδη και προσπαθεί να εμβαθύνει το γεωκεντρικό μοντέλο του Πτολεμαίου για να καθορίσει τους ακριβείς νόμους που διέπουν το σύμπαν. Η Υπατία, ο σκλάβος του πατέρα της, Ντέιβους και δύο άλλοι σύντροφοί της, ο Ορέστης και ο Συνέσιος, εμπλέκονται στις θρησκευτικές και κοινωνικές διαταραχές. Εκείνη απορρίπτει τον έρωτα του Ορέστη, καθώς επιθυμεί να αφιερώσει τον εαυτό της στις επιστήμες. Ο Ντέιβους ενδιαφέρεται αρκετά για την επιστήμη και είναι, επίσης, κρυφά ερωτευμένος με την Υπατία. Εν τω μεταξύ, η κοινωνική αναταραχή ξεκινά αμφισβητώντας την ρωμαϊκή κυριαρχία της πόλης, καθώς οι ειδωλολάτρες και οι Χριστιανοί έρχονται σε σύγκρουση. Όταν οι Χριστιανοί ξεκινούν τη βεβήλωση των αγαλμάτων των παγανιστικών θεών, οι ειδωλολάτρες, όπως ο Ορέστης και ο πατέρας της Υπατίας, στήνουν ενέδρα στους χριστιανούς, ώστε να περιορίσουν την αυξανόμενη επιρροή τους. Ωστόσο, στη μάχη που ακολούθησε, οι ειδωλολάτρες απροσδόκητα βρίσκονται σε μειονεκτική θέση, όντας λιγότεροι μπροστά σε ένα μεγάλο χριστιανικό όχλο. Ο πατέρας της Υπατίας τραυματίζεται σοβαρά, ενώ η Υπατία και οι ειδωλολάτρες έχουν καταφύγει στη Βιβλιοθήκη του Σεραπείου. Η Υπατία και οι ειδωλολάτρες διαφεύγουν προσπαθώντας να σώσουν τα πιο σημαντικά έγγραφα και παπύρους, πριν οι Χριστιανοί εισβάλουν στη βιβλιοθήκη και καταστρέψουν το περιεχόμενό της. Ο Ντέιβους, όμως, επιλέγει να ενωθεί με τις χριστιανικές δυνάμεις. Αρκετά χρόνια αργότερα, ο Ορέστης, αφού στο μεταξύ έχει ασπασθεί τον χριστιανισμό, είναι ο έπαρχος της Αλεξάνδρειας. Η Υπατία συνεχίζει να διερευνά τις κινήσεις του Ήλιου, της Σελήνης. Οι Χριστιανοί έχουν πλέον απαγορεύσει στην Υπατία να διδάξει στη σχολή της.

Έπειτα, οι Χριστιανοί και οι Εβραίοι έρχονται σε σύγκρουση, διαπράττοντας πράξεις βίας ο ένας εναντίον του άλλου ο Κύριλλος, ο ηγέτης των Χριστιανών, πείθει έναν όχλο χριστιανών ότι η Υπατία είναι μια μάγισσα και ορκίζονται να την σκοτώσουν. Εκείνοι την μεταφέρουν στο Σεράπειο, την απογυμνώνουν και είναι έτοιμοι την γδάρουν ζωντανή μέχρι που ο Ντέιβους τους πείθει να την σκοτώσουν με άλλο τρόπο και αποφασίζουν να την λιθοβολήσουν.

ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΖΩΗ ΤΗΣ ΥΠΑΤΙΑΣ Κόρη του μαθηματικού και αστρονόμου Θεωνά, έλαβε με τις φροντίδες του πατέρα της πολύ καλή εκπαίδευση και ταξίδεψε στην Αθήνα και στην Ιταλία. Στην Αθήνα παρακολούθησε μαθήματα στη νεοπλατωνική σχολή του Πλούταρχου του Νεότερου και της κόρης του Ασκληπιγένειας αλλά μαθήτευσε και κοντά στο Πρόκλο και τον Ιεροκλή.Επιστρέφοντας στην Αλεξάνδρεια, έγινε επικεφαλής της εκεί σχολής των Πλατωνιστών (400 μ.Χ.), δίδαξε φιλοσοφία και μαθηματικά και αποτέλεσε πόλο έλξης για τους διανοούμενους της εποχής ενώ έκανε και εκτενή και ουσιώδη σχόλια στα μαθηματικά έργα του Διόφαντου και του Απολλώνιου. Δυστυχώς παρότι η ίδια η Υπατία υπήρξε πολυγραφότατη κανένα από τα έργα της δεν σώζεται και έχουμε μόνο

http://el.wikipedia.org/wiki/Αλεξάνδρεια�

http://el.wikipedia.org/wiki/Αλεξάνδρεια�


18

αναφορές για αυτά. Πολλοί από τους μαθητές της ανήκαν στους ανώτατους κύκλους της αριστοκρατίας της πόλης και έγιναν σημαντικές προσωπικότητες, όπως ο επίσκοπος Κυρήνης Συνέσιος και ο έπαρχος της Αλεξανδρείας Ορέστης. Η ίδια επηρεάστηκε φιλοσοφικά από τους νεοπλατωνικούς Πλωτίνο και Ιάμβλιχο. Η μαθηματικός και φιλόσοφος Υπατία έζησε στην Αλεξάνδρεια από τα μέσα του 4ου αι. μ.Χ. μέχρι τον βίαιο θάνατό της από έναν χριστιανικό όχλο το 415. Η ημερομηνία γέννησής της δεν είναι επιβεβαιωμένη, αλλά πιστεύεται ότι γεννήθηκε το 370 μ.Χ. Αυτό είναι γνωστό λόγω του της έκλειψης που μελετούσε ο πατέρας της το 364 μ.Χ. Ήταν αγνή και άξια σεβασμού, καθηγήτρια μαθηματικών και της νεοπλατωνικής φιλοσοφίας στην Αλεξάνδρεια. Φορώντας την κλασική χλαμύδα των φιλοσόφων δίδασκε δημόσια σε κοινό αποτελούμενο από ειδωλολάτρες και χριστιανούς. Αποδείξεις για τη ζωή και το έργο της Υπατίας μπορούν να βρεθούν σε διάφορα ιστορικά κείμενα, όπως για παράδειγμα στα έργα του Σωκράτη του Σχολαστικού.

ΩΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Ό, τι γνωρίζουμε για τα Μαθηματικά της είναι μόνο ένα μικρό υποσύνολο του έργου της. Σε μεγάλο βαθμό θεωρείται ως δάσκαλος και λόγιος. Επιμελήθηκε έργα Γεωμετρίας, Άλγεβρας και Αστρονομίας και ήξερε πώς να κάνεις αστρολάβους και υγροσκόπια. Αν και το έργο της χάθηκε, η παράδοση στην οποία εργάστηκε και τα κείμενα που σχολίασε αποδείχτηκε ότι ήταν η ακριβής βάση για το επόμενο βήμα στην ιστορία των μαθηματικών. Όταν τον δέκατο έβδομο αιώνα ο Vieta και ο Fermat άρχισαν να διερευνούν τις κωνικές τομές τα έργα του Διόφαντου και του Απολλώνιου ήταν ζωτικής σημασίας. Περαιτέρω συμπεράσματα για τα μαθηματικά της Υπατίας παραμένουν στην σφαίρα της εικασίας, μια πλήρης αξιολόγηση της συνεισφοράς της παραμένει πέρα από κάθε ιστορικό προσδιορισμό. Οι συνεισφορές της στην Αλεξανδρινή φιλοσοφία και η εξερεύνησή της για την πιθανή επέκταση και δημιουργία προχωρημένων μαθηματικών τις αρχαιότητας αξίζουν προσεκτική μεταχείριση.

Η ΘΕΣΗ ΤΗΣ ΓΥΝΑΙΚΑΣ ΤΟΝ 4Ο ΑΙΩΝΑ Η γυναίκα στους αρχαϊκούς και κλασικούς χρόνους θεωρούνταν, βιολογικά και ψυχολογικά, πλάσμα που δεν είχε την ικανότητα να ελέγξει τον εαυτό της και να αντισταθεί σε εξωτερικά ερεθίσματα. Έπρεπε να είναι σεμνή, όμορφη και υγιής, προκειμένου να συμβιβάζεται με τα πρότυπα μιας πατριαρχικής κοινωνίας, όπως ήταν η αρχαία ελληνική. Ακόμα και στην τέχνη είναι δυνατόν να παρατηρήσει κανείς ότι από την αρχαϊκή περίοδο ως και το τέλος περίπου της κλασικής περιόδου, όπου το θηλυκό κορμί απελευθερώνεται, η γυναίκα -ιδιαίτερα στη γλυπτική- παρουσιάζεται ευπρεπώς ενδεδυμένη, ενώ αποφεύγεται η έμφαση στα χαρακτηριστικά του φύλου.

Σε όλους τους τόπους, σε όλες τις εποχές, σε όλες τις κοινωνίες, είναι γνωστό, ότι η θέση της γυναίκας ήταν πολύ δυσμενέστερη από αυτή του άνδρα. Δεδομένης της άποψης ότι τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη όχι και τόσο συμπαθής στον γυναικείο πληθυσμό, έχει διαμορφωθεί η εντύπωση σε ένα μεγάλο μέρος της κοινής γνώμης, ότι μαθηματικά και γυναίκα είναι έννοιες ασύμβατες. Πόσο είναι όμως γνωστό, ότι, παρ’ όλες τις δυσκολίες, παρ’ όλα τα εμπόδια, παρ’ όλες τις προκαταλήψεις, υπήρξαν στην ιστορία γυναίκες μαθηματικοί;


19

ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ • Πολυγνώτη (7ος –6ος π.Χ. αιώνας)

• Θεμιστόκλεια (6ος π.Χ. αιώνας)

• Θεανώ (6ος π.Χ. αιώνας)

• Δαμώ (6ος π.Χ. αιώνας)

• Αριγνώτη (6ος π.Χ. αιώνας

• Δεινώ (6ος π.Χ. αιώνας)

• Ελορίς η Σαμία (6ος π.Χ. αιώνας)

• Μυία (6ος π.Χ. αιώνας)

• Φίντυς (6ος π.Χ. αιώνας)

• Μελίσσα (6ος π.Χ. αιώνας)

• Τυμίχα (6ος π.Χ. αιώνας)

• Πτολεμαΐς (6ος π.Χ. αιώνας)

• Διοτίμα από τη Μαντινεία ( 6ος – 5ος π.Χ. αιώνας

• Βιτάλη (6ος – 5ος π.Χ. αιώνας) εγγονή του Πυθαγόρα

• Περικτιόνη ( 5ος π.Χ. αιώνας)

• Αξιόθεα (4ος π.Χ. αιώνας)

• Νικαρέτη η Κορίνθια

• Αρετή η Κυρηνεία (4ος – 3ος π.Χ. αιώνας)

• Πυθαΐς (2ος π.Χ. αιώνας)

• Υπατία (4ος μ.Χ. αιώνας)

ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΑΝΑΚΡΙΒΕΙΕΣ Η “AGORA” είναι άλλη μία κινηματογραφική ταινία με υψηλό επίπεδο από δημιουργικής και τεχνικής άποψης αλλά με στρεβλό έως επικίνδυνο περιεχόμενο από ιστορικής άποψης, γεγονός που μειώνει δραματικά την αξία της και της προσδίδει σκοτεινή σκοπιμότητα. Γενικότερα η ταινία «Agora» αναφέρεται στη ζωή της Αλεξανδρινής φιλοσόφου Υπατίας μέσα στην ταραγμένη περίοδο του τέλους του 4ουαιώνα και αρχές του 5ου αιώνα μ.Χ. στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου.

Βασική ιστορική πηγή για την ανασκευή των ανακριβειών της ταινίας είναι το έργο του ιστορικού Σωκράτους του Σχολαστικού «Εκκλησιαστική Ιστορία». Αυτός έζησε την ίδια περίοδο με τον Κύριλλο Αλεξανδρείας. Τα γραφόμενά του έχουν μεγάλη βαρύτητα, γιατί ο Σωκράτης ανήκε στην αίρεση των Νοβατιανών. Αρχικά, κρίνεται ιδιαίτερα αναγκαίο να σημειωθεί πως ο σκηνοθέτης της ταινίας ήταν άθεος. Συγκεκριμένα, σύμφωνα με τα λεγόμενα του γεννήθηκε και μεγάλωσε σε Χριστιανική


20

οικογένεια, έγινε αγωνιστής και τέλος άθεος. Αυτό σημειώνεται, για να γίνει κατανοητό, γιατί ενώ φαίνεται ότι η ταινία επιφανειακά δεν στρέφεται εναντίον της χριστιανικής θρησκείας, στην πραγματικότητα παρουσιάζει τους χριστιανούς φονταμενταλιστές, σκοταδιστές, αδαείς και φανατικούς.

Στην αρχή της ταινίας παρουσιάζονται οι ειδωλολάτρες να προκαλούν με τα λόγια τους χριστιανούς και εκείνοι να τους επιτίθενται. Σύμφωνα με το Σωκράτη το Σχολαστικό, ο Θεόφιλος πατριάρχης Αλεξανδρείας και θείος του Κυρίλλου είχε πάρει αυστηρά μέτρα εναντίον τους και κατέστρεψε το Σεράπειον και το Μίθρειον. Η αιτία ήταν ότι οι ειδωλολάτρες επιτίθεντο στους χριστιανούς. Επιπλέον αν και στην ταινία ο θάνατος του Θέωνος, ο οποίος ήταν σπουδαίος μαθηματικός και πατέρας της Υπατίας, οφείλεται στο τραυματισμό του κατά την διάρκεια της καταστροφής του Σεραπείονος ιερού. Στην πραγματικότητα η αιτία του θανάτου του Θέωνος παραμένει άγνωστη. Λανθασμένο θεωρείται, επίσης, το γεγονός ότι μετά το θάνατο του Θεοφίλου, ο Κύριλλος αυτοχρήζεται διάδοχος του θείου του, φορώντας τα αρχιερατικά άμφια του νεκρού και το δακτυλίδι του. Οι Πατριάρχες στο χώρο της Ορθοδοξίας σήμερα δε φορούν δακτυλίδι ως δείγμα αρχιερατικής εξουσίας. Δεν αναφέρεται σε καμία ιστορική πηγή ότι ο Κύριλλος φορούσε δακτυλίδι επειδή είχε ως στόχο την ανάδειξη της εξουσίας του.

Επίσης ο πατριάρχης Κύριλλος παρουσιάζεται ως μισογύνης, που θεωρούσε τις γυναίκες κατώτερες, ενώ είναι γνωστό ότι στο έργο του τονίζει την θέση της γυναίκας που εξυψώνεται στο πρόσωπο της Θεοτόκου. Άλλωστε δεν θα μπορούσε να αρνείται την διδασκαλία του Χριστού που εξύψωσε τη γυναίκα ως ισότιμη με τον άνδρα. Ο Άγιος Κύριλλος είχε βαθειά μόρφωση και ήταν γνώστης της αρχαίας φιλοσοφίας και της επιστήμης της εποχής του. Καμία αναφορά των ιστορικών πηγών δεν υπάρχει ότι δήθεν αποκαλούσε την Υπατία μάγισσα, αντίθετα φαίνεται ότι σεβόταν την επιστημονική της γνώση και σοφία. Καμία ιστορική πηγή δεν αποδίδει στον Άγιο Κύριλλο προτροπή ή άλλου είδους ηθική αυτουργία για το φόνο της Υπατίας. Αντίθετα, ο θάνατός της φαίνεται καταπληκτική «πολιτική» κίνηση για τους Ιουδαίους, καθώς με αυτόν πέτυχαν ταυτόχρονα α) να θανατώσουν τη μεγαλύτερη Ελληνίδα επιστήμονα της εποχής, β) να κατασυκοφαντήσουν τον μισητό εχθρό τους Άγιο Πατριάρχη Κύριλλο, γ) να παρουσιάσουν τους χριστιανούς ως επικίνδυνους δολοφόνους, δ) να τους δυσφημίσουν στους Έλληνες Εθνικούς και ε) να δημιουργήσουν έχθρα μεταξύ Ορέστη και Κύριλλου.

Επίσης αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι η Υπατία στο έργο παρουσιάζεται ως νέα, ωραία γυναίκα και φίλη του Ορέστη. Δε γνωρίζουμε από ιστορικές πηγές εάν ήταν όμορφη. Σίγουρα όμως ήταν πολύ μορφωμένη. Δεν βρισκόταν σε νέα ηλικία, αφού εάν γεννήθηκε το 365 μ.Χ. στην εποχή που ο Κύριλλος έγινε Πατριάρχης ήταν κοντά στην ηλικία των πενήντα ετών. Η ηλικία αυτή ήταν αρκετά μεγάλη και για άντρα αλλά και για γυναίκα για εκείνη την εποχή. Επομένως καταρρίπτεται ο μύθος της νέας, θελκτικής γυναίκας που βρήκε σάρκα και οστά από κάποιους ψευδοϊστορικούς το Μεσαίωνα.


21

Εν κατακλείδι, η ταινία μπορεί να έχει ωραία σκηνικά, όμως το θέμα που διαπραγματεύεται, η Υπατία και ο θάνατός της και ο τρόπος που το διαπραγματεύεται γίνεται η αιτία για να θεωρήσουν οι νεοπαγανιστές και οι πολέμιοι της Ορθοδοξίας ότι βρήκαν κάποια ερείσματα εναντίον του Χριστιανισμού. Δυστυχώς όμως για αυτούς τα επιχειρήματά τους για άλλη μία φορά είναι κίβδηλα. Μην ξεχνάμε ότι η εικόνα γίνεται ισχυρότατη προπαγάνδα, που έντεχνα δηλητηριάζει τις απόψεις μας…

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΑΙΝΙΑΣ «A Beautiful Mind» Η ταινία διαδραματίζεται σε ένα κολέγιο όπου το θέμα εκπαίδευσης είναι τα μαθηματικά. Η ταινία έχει βασικό πρωταγωνιστή έναν νέο φοιτητή μαθηματικών (Ράσελ Κρόου) ο οποίος έχει εντοπίσει μια θεωρία η οποία αν αποδειχτεί αληθινή καταρρέουν 150 χρόνια οικονομικής θεωρίας. Παράλληλα όμως υφίσταται κάποιες ψυχικές διαταραχές οι οποίες τον οδηγούν στο φρενοκομείο. Για παράδειγμα φαντάζεται ότι τον καλεί ο στρατός για την αποκρυπτογράφηση κάποιων στοιχείων. Η προσπάθεια του όμως να θεραπευθεί έχει θετικό αποτέλεσμα. Μετά από αρκετά χρόνια αφού πλέον καταφέρνει να απεμπλακεί από τις παραισθήσεις, καταφέρνει να διδάξει στο κολέγιο όπου φοιτούσε. Στο τέλος της ταινίας σπουδαίοι μαθηματικοί παραδίδουν τις πένες τους ως δείγμα αναγνώρισης για το έργο του αφού τελικά η θεωρία του αποδείχτηκε πραγματικότητα.

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΑΙΝΙΑΣ «Good will hunting» Η ταινία έχει ως κύριο θέμα έναν νεαρό (Μάτ Ντέιμον) ο οποίος έχει μια ιδιαίτερη έφεση στα μαθηματικά. Ο νεαρός ήταν άστατος σαν χαρακτήρας και πολύ ζωηρός. Μια μέρα εμπλέκεται σε ένα καυγά και οδηγείται στην φυλακή. Ο νεαρός παράλληλα εργαζόταν σε ένα κολέγιο του οποίου ο υπεύθυνος είχε αναγνωρίσει την έφεση του νεαρού στα μαθηματικά. Ο υπεύθυνος καταφέρνει να τον αποφυλακίσει με περιοριστικούς όρους. Ο νεαρός θα έπρεπε να παρακολουθεί ψυχίατρο και να παρακολουθεί μαθήματα ανώτερων μαθηματικών. Στο τέλος ο νεαρός κατάφερε να κάνει μια ζωή όπως αυτός ήθελε χωρίς περιορισμούς ηρεμώντας παράλληλα σαν χαρακτήρας.

ΕΠΙΛΟΓΟΣ Σε αυτό το διασκεδαστικό ταξίδι, ανακαλύψαμε βαθύτερα τον κόσμο των μαθηματικών, ερευνώντας, συνθέτοντας και παρακολουθώντας ταινίες εμπνευσμένες από τον κόσμο των εξισώσεων. Παράλληλα προωθήθηκε και ενισχύθηκε το ομαδικό μας πνεύμα ενώ προσαρμόσαμε τις μαθηματικές γνώσεις στο χώρο του θεάματος.

Συνοψίζοντας γίνεται αντιληπτό τα μαθηματικά δεν είναι απλά μια πολύπλοκη και χρήσιμη επιστήμη. Τα μαθηματικά είναι απαραίτητα στη ζωή μας καθώς αποτελούν πηγή έκφρασης και έμπνευσης. Η εν λόγω επιστήμη είναι το μέσο προκειμένου να απολαμβάνουμε πλήθος ιδεών ενώ παράλληλα μας βοηθούν να κατανοήσουμε καλύτερα τον κόσμο στον οποίο ζούμε, από μία μαθηματική εξίσωση έως μια ταινία.


22

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ • http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A5%CF%80%CE%B1%CF%84%CE%AF%CE%B1

• http://fdathanasiou.wordpress.com/2012/11/24/%CE%B7-%CF%85%CF%80%CE%B1%CF%84%CE%AF%CE%B1-%CE%B7-%CE%B1%CE%B3%CE%AF%CE%B1-%CE%B1%CE%B9%CE%BA%CE%B1%CF%84%CE%B5%CF%81%CE%AF%CE%BD%CE%B7-%CE%BA%CE%B1%CE%B9-%CE%B7-%CE%BA%CE%B9%CE%BD%CE%B7%CE%BC%CE%B1/

• http://www.egolpion.com/agora.el.aspx

• http://orthodox-watch.blogspot.gr/2010/02/agora.html

• http://radiofloga.blogspot.gr/2010/02/agora.html

http://sinolo.wordpress.com/category/%CE%B3%CF%85%CE%BD%CE%B1%CE%B9%CE%BA%CE%B5%CF%83-%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%BF%CE%B9/

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ

http://el.wikipedia.org/wiki/Υπατία�

http://fdathanasiou.wordpress.com/2012/11/24/η-υπατία-η-αγία-αικατερίνη-και-η-κινημα/�






http://www.egolpion.com/agora.el.aspx�

http://orthodox-watch.blogspot.gr/2010/02/agora.html�

http://radiofloga.blogspot.gr/2010/02/agora.html�

http://sinolo.wordpress.com/category/γυναικεσ-μαθηματικοι/�





23


24


25


26


27


28


29


30


31


32


33


34

Ομάδα Γ - Ταινίες με θέμα τα μαθηματικά



35


36


37


38


39


40


41


42


43


44

Ομάδα Δ - Οι μουσικοί

Ρυθμός και αριθμός Η πρώτη συνάντηση της μουσικής με τα μαθηματικά γίνεται μέσω της αίσθησης που έχουμε για τον χρόνο. Το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δυο χρονικές στιγμές ονομάζεται «διάρκεια». Κατά τον Bachelard η διάρκεια είναι ένας αριθμός του όποιου η μονάδα είναι η στιγμή. Ο ανθρωπολόγος G. Murdock αναφέρει πως υπάρχουν 72 κοινά στοιχεία ανάμεσα σε όλους τους λαούς, μεταξύ αυτών είναι η αρίθμηση και η μουσική. Ο άνθρωπος παρασκευάζει μουσική από τα προϊστορικά χρόνια πριν από την πρώτη τους λεκτική επικοινωνία. Οι αρχαιολόγοι βρήκαν το αρχαιότερο μουσικό όργανο ηλικίας 35.000 ετών που είναι οστά από μαμούθ και κατά τους αρχαιολόγους χρησιμοποιήθηκα για παραγωγή ρυθμικών ήχων.

Στον χώρο των Μαθηματικών η έννοια που είχε αρχίσει να εμφανίζεται από νωρίς στον νου του ανθρώπου είναι αυτή του αριθμού. Σύγχρονοι ερευνητές όπως οι Gelman και Gallistei υποστηρίζουν πως η πρώτη στοιχειώδη ικανότητα του παιδιού είναι η αρίθμηση. Κάτι παρόμοιο υποστηρίζει ο D. Tall αναφέροντας πως το παΐδι μαθαίνει να αριθμεί χωρίς την έννοια του αριθμού. Αυτό είναι εμφανές από τα διάφορα λάθη που κάνει το παΐδι όπως (ένα, δυο, τρία, επτά) και από διάφορα ονομαστικά λάθη. Ο Wilder υποστηρίζει ότι η αρίθμηση είναι μια πολιτιστική αναγκαιότητα, ένα καθολικό στοιχειό πολιτισμού. η μέτρηση οδηγεί στην έννοια του αριθμού μέσο διαφόρων σύμβολων, τα οποία στην αρχή συμβόλιζαν την πορεία της αρίθμησης (Ι για το ένα, ΙΙ για το δυο, κλπ.). Συνοψίζοντας μπορούμε πλέον να υποστηρίξουμε ότι οι δυο αυτές έννοιες του ρυθμού και του αριθμού έχουν κοινή διαστημοποίησης της διάρκειας και την 1-1 αντιστοιχία.

Η Αρμονία Η προσπάθεια υπαγωγής της μουσικής σε μαθηματικές σχέσης γίνεται από τον Πυθαγόρα. Δυο βασικά ερωτήματα απασχολούν τους Πυθαγόρειους: 1ων) Πότε δυο ήχοι (νότες) συνηχούν αρμονικά και 2ων) Ποια είναι η βαθύτερη αιτία της αρμονικής συνήχησης. Ήδη είχε τεθεί ρητά το πρόβλημα της αρμονίας.

Στο πρώτο ερώτημα η απάντηση προέρχεται μέσα από παρατηρήσεις και πειράματα, τις δυο βασικές επιστημονικές δραστηριότητες. Όταν δυο χορδές έχουν μήκη ανάλογα με δυο από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, τότε συνηχούν αρμονικά. Έτσι κατασκευάζεται η γνωστή Πυθαγόρεια κλίμακα η οποία χρησιμοποιήθηκε για πολλούς αιώνες σαν κλίμακα σύνθεσης. Η εξήγηση αυτού του φαινομένου στηρίζεται κατά τους Πυθαγόρειους, στις ιδιότητες που έχουν οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, (τετρακτυς) εργαλείο της εποχής είναι οι ακέραιοι και τα κλάσματά τους (ρητοί), έτσι οι ερμηνείες των φαινομένων που μελετούσαν θα έπρεπε να δομηθούν μέσα στα πλαίσια της Αριθμοθεωρίας των ρητών. Η αρμονία επιβάλλεται, κατά κάποιον τρόπο, από τους λόγους που προέρχονται από την τετρακτό δηλαδή από τα 2/3, 3/4, 2/4,


45

1/2 κλπ. Αξιοσημείωτο είναι ότι και οι Κινέζοι φιλόσοφοι της εποχής του Κομφούκιου θεωρούσαν τους μικρούς αριθμούς 1, 2, 3, 4 σαν την ουσία της τελειότητας(J.Jeans,1968). Ο Euler, το 1738 επιχειρεί μία νέα εξήγηση για την προέλευση της αρμονίας. Έχουμε, λέει ο Euler, έμφυτη την τάση να αισθανόμαστε ικανοποίηση όταν ανακαλύπτουμε κάποια κανονικότητα ή νόμο. Η απλούστερη, άρα και η ευκολότερα αντιληπτή, κανονικότητα είναι αυτή η οποία στηρίζεται στους λόγους των απλών αριθμών 1, 2, 3, 4(J.Jeans 1968).. Ο Euler ουσιαστικά συμφωνεί με την Πυθαγόρεια άποψη και την στηρίζει σε μία περισσότερο ρεαλιστική βάση. Η Πυθαγόρεια προσέγγιση των αρμονικών συνηχήσεων μέσω της μελέτης των αριθμητικών σχέσεων δύο ήχων συνεχίστηκε ως τον Μεσαίωνα. Η Μουσική αντιμετωπίστηκε σαν ένας κλάδος της εφαρμοσμένης αριθμητικής και η musica ήταν μία από τις τέσσερις ακαδημαϊκές σπουδές του quadrivium, των τεσσάρων δηλαδή κλάδων των Μαθηματικών (αριθμητική, γεωμετρία, αστρονομία και μουσική) (Eli Maor 1998).

Βρισκόμαστε στα μέσα περίπου του 17ου αιώνα. Η μελέτη των παλμικών κινήσεων οδηγεί στην συγκρότηση της μαθηματικής έννοιας των περιοδικών φαινομένων και η Τριγωνομετρία στρέφεται πλέον από την παραδοσιακά υπολογιστική της στάση σε μια περισσότερο αναλυτική θεώρηση. Η στροφή αυτή διαρκεί περίπου έναν αιώνα, από το 1640 όταν ο W. Oughtred επιχειρεί μια συστηματική χρήση των συμβόλων sin, cos κλπ., μέχρι το 1759 όταν ο G. Kustner σε έναν οποιονδήποτε αριθμό x αντιστοιχεί την έκφραση sinx, cosx κ.λπ. και θεωρεί πλέον τις συναρτήσεις f(x)= sinx, x , g(x)=cosx, x , κ.ο.κ.

Η μελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων είναι πλέον εφικτή και σηματοδοτεί τον μετασχηματισμό των απόψεων για τη μουσική και τη φύση της αρμονίας.

Η μελέτη επικεντρώνεται στο φαινόμενο, το οποίο είχε μελετήσει και ο Πυθαγόρας, στην προσπάθειά του να κατανοήσει την ουσία της αρμονίας, το φαινόμενο της παλλόμενης χορδής.

Η μελέτη του προβλήματος αυτού οδηγεί σε μια διαφορική εξίσωση της μορφής

η οποία προκύπτει από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση(G.P.Tolstov 1962) όπου u(x,t) είναι η απομάκρυνση του σημείου της χορδής με τετμημένη x κατά τη χρονική στιγμή t και α μία σταθερά που εξαρτάται από τη μάζα και την τάση της χορδής.

Στο σημείο αυτό θα κάνουμε δύο σημαντικές επισημάνσεις:


46

Ο Πυθαγόρας μελέτησε τον ήχο που παράγεται από μια χορδή χωρίς να συνυπολογίσει τις παραμέτρους της τάσης και της μάζας της χορδής αφού τα Μαθηματικά εργαλεία της εποχής του δεν επέτρεπαν κάτι τέτοιο.

Διάσημοι Μαθηματικοί όπως ο Euler, o D'Alembert και ο Langrange επιχείρησαν να λύσουν της εξίσωση της παλλόμενης χορδής. Ο Daniel Bernoulli βρήκε μια λύση μέσω μιας σειράς τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αυτός όμως που ανέδειξε τη γενική λύση του προβλήματος της παλλόμενης χορδής ήταν ο Fourier το έτος 1822 με το έργο του "Theorie analytique de la chaleur".

Μαθηματικοί λόγοι στα μουσικά διαστήματα Ο Van der Waerden αναφέρεται λεπτομερώς στον Πυθαγόρα και τη μουσική και περιγράφει με ακρίβεια την ανακάλυψη πως ορισμένες αναλογίες μικρών φυσικών αριθμών ανάμεσα στα μήκη των χορδών παράγουν τόνους που όταν παιχτούν μαζί ακούγονται ευχαρίστα. Έτσι ανακαλύφθηκαν τα μουσικά διαστήματα της οκτάβας με αναλόγια μηκών 2:1, της πέμπτης, με αναλόγια 3:2 και το διάστημα τέταρτης με αναλόγια 4:3. Συγκεκριμένα ο Van der Waerden αναφέρει “όταν μια χορδή ή ένας αυλός σμικρυνθούν κατά το ήμισύ τους, ο παραγόμενος ήχος θα είναι κατά μια οκτάβα υψηλότερος’’ . O Πυθαγόρας τέντωσε μια χορδή από ένα σταθερό άκρο της και τη διαίρεσε σε 12 μέρη. Όταν σμίκρυνε τη χορδή από 12 σε 6,8 ή σε 9 δηλαδή κατά τους λόγους 2:1, 3:2, 4:3, οι παραγμένοι τόνοι ήταν μια οκτάβα, μια πέμπτη ή μια τετάρτη ψηλότεροι.

Σήμερα αρκετοί είναι οι μουσικοί που χρησιμοποιούν μαθηματικά στη δουλεία τους, με πιο γνωστό τον Ιάννη Ξενάκη. Ο Ξενάκης πρωτοπόρος αλγοριθμική σύνθεση μουσικής με υπολογιστή, είχε αναπτύξει μια θεωρία ψηφιακής σύνθεσης βασισμένη στην παραγωγή ήχων με μαθηματικές συναρτήσεις και είχε σχεδιάσει ένα υπολογιστικό σύστημα με γραφικό interface (UPIC). Με το σύστημα αυτό ο χρήστης «ζωγραφίζει» πάνω σε συστήματα αξόνων όπου Χ=χρόνος και Υ= τόνος, έπειτα τα κύματα αυτά μετατρέπονται σε μουσική.

Συχνότητα Αν θα μπορούσαμε πραγματικά να δούμε τη δόνηση των φωνητικών μας χορδών, θα ήταν πολύ παρόμοια με τη δόνηση της χορδής μιας κιθάρας. Η χαμηλή χορδή Ε σε μια κιθάρα, όταν ταλαντώνεται, ολοκληρώνει 82.407 πλήρεις κύκλους σε ένα δευτερόλεπτο, έτσι ο ήχος που παράγεται θα έχει συχνότητα 82.407 Hz . Αν τα μάτια μας ήταν σε θέση να δουν την πραγματική κίνηση των χορδών, θα βλέπαμε ότι η σειρά θα κινηθεί προς τη μία πλευρά, στη συνέχεια πίσω στο σημείο όπου ξεκίνησε, στη συνέχεια στην άλλη πλευρά, στη συνέχεια πίσω στο σημείο εκκίνησης και πάλι. Θα ολοκληρώσει αυτό τον κύκλο 82.407 φορές κάθε δευτερόλεπτο, το οποίο φυσικά είναι πάρα πολύ γρήγορο για τα μάτια μας να δούμε. Αυτό που θα μπορούσαμε να δούμε, όμως, είναι μια οπτική ψευδαίσθηση των τριών θολών εικόνων, μια ισχυρότερη εικόνα στο μέσο, και δύο πιο αμυδρές εικόνες για το αριστερό και το


47

δεξί. Αν χτυπήσουμε τη χαμηλή χορδή Ε σε ένα μπάσο, η συχνότητα θα είναι μια οκτάβα χαμηλότερα (41.203 Hz) και το οπτικό αποτέλεσμα θα μπορούσε πιθανότατα να είναι πιο εύκολο να εντοπίσει κανείς γιατί το μπάσο δονείται στο μισό της ταχύτητας της κιθάρας.

Ημιτονοειδή κύματα

Αν ήταν να καταγράψουμε το κύμα μιας ενιαίας τέλειας μουσικής νότας μιας συγκεκριμένης συχνότητας στον άξονα XY, με το Χ να είναι η συχνότητα και το Υ είναι το πλάτος, το αποτέλεσμα θα μοιάζει με το παρακάτω σχήμα:

, ένα κύμα που υψώνεται και πέφτει ημιτονοειδώς με το χρόνο, και λέγεται, απλά, ένα ημιτονοειδές κύμα. Το ημιτονοειδές κύμα είναι ο πιο τέλειος τύπος ηχητικού κύματος, και εξέρχεται συνήθως μόνο στο εργαστήριο ή στο ηχητικό κύμα που παράγεται από ένα διαπασών. Στην πραγματικότητα, όταν ένα διαπασών δονείται, η κίνηση των οδόντων είναι ημιτονοειδής. Το απλό πείραμα που δείχνεται στο σχήμα καταδεικνύει αυτό.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ The Mathematics of Music Jack H. David Jr.


48



49


50


51


52


53


54


55


56


57


58


59


60


61


62

Ομάδα Ε - ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ & ΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εδώ και πολλούς αιώνες, τα μαθηματικά συντροφεύουν τον άνθρωπο σε όλους τους τομείς της πολύπλευρης ζωής του. Η χρησιμότητά τους, όχι μόνο να επιλύουν από τα πιο απλά στα πιο σύνθετα προβλήματα μα και να δίνουν απαντήσεις σε ερωτήματα που οι άλλες επιστήμες δεν μπορούν να δώσουν, έχει καταστήσει την αξία τους διαχρονική.

Ο σύγχρονος άνθρωπος διδάσκεται στο σχολείο την αξία αυτή των μαθηματικών. Μαθαίνει να επιστρατεύει τις μαθηματικές του γνώσεις για να εξηγεί φυσικά φαινόμενα και να επιλύει προβλήματα στη Φυσική, στη Χημεία και αλλού. Συχνά, όμως, δε συνειδητοποιεί την εφαρμογή που έχουν τα μαθηματικά και σε άλλους τομείς, ακόμη κι αν αυτοί δε σχετίζονται άμεσα με τις θετικές επιστήμες. Ένας από αυτούς είναι η τέχνη.

Μία περιήγηση στα εκθέματα των διάφορων μουσείων τέχνης σε ολόκληρο τον κόσμο μπορεί να αποκαλύψει ένα νέο, αόρατο στο άπειρο μάτι χαρακτηριστικό που είναι κοινό σε πολλά έργα τέχνης- τα μαθηματικά. Είναι γεγονός ότι πολλοί σύγχρονοι και παλαιότεροι ζωγράφοι αξιοποίησαν τις γνώσεις τους, στη Γεωμετρία κυρίως, για να δημιουργήσουν κάτι πραγματικά εντυπωσιακό. Κάποιος θα μπορούσε να πει, κρίνοντας από το βάθος, την τρισδιάστατη όψη και την ικανότητα ορισμένων πινάκων ζωγραφικής να «ξεγελούν» το μάτι, ότι πολλοί πράγματι το κατάφεραν.

Εκτός όμως από τη ζωγραφική, τεράστια υπήρξε κι εξακολουθεί να είναι η χρησιμότητα των μαθηματικών και στην αρχιτεκτονική. Οι πυραμίδες της Αιγύπτου και η Ακρόπολη των Αθηνών είναι ένα μονάχα δείγμα της αρχιτεκτονικής του αρχαίου κόσμου που όμως φανερώνει την εφαρμογή που είχαν τα μαθηματικά στον τομέα αυτό ακόμη και πολλούς αιώνες πριν.

Παρακάτω, λοιπόν, θα εξετάσουμε καλλιτεχνικές τεχνοτροπίες που επηρεάστηκαν από τα μαθηματικά και πώς αυτές εμφανίζονται σε πολλά γνωστά μας έργα. Θα διαπιστώσουμε την εφαρμογή των μαθηματικών στην αρχιτεκτονική και, παράλληλα, θα εμπλουτίσουμε τις γνώσεις μας γύρω από τη γεωμετρία, τη στερεομετρία και άλλους μαθηματικούς κλάδους.

Η ομάδα


63

ΚΥΒΙΣΜΟΣ Ο κυβισμός είναι ένα καλλιτεχνικό ρεύμα της ζωγραφικής και της γλυπτικής που διαδόθηκε στην Ευρώπη κατά τον 20ο αιώνα. Κύριοι εκπρόσωποι του ρεύματος αυτού υπήρξαν ο Π. Πικάσο, ο Τζ. Μπρακ, ο Φ. Λεζέ και ο Χ. Γκρις. Ο κυβισμός εμφανίστηκε για πρώτη φορά στη Γαλλία το πρώτο μισό του 20ου αιώνα. Συγκαταλέγεται σήμερα στα καλλιτεχνικά κινήματα της μοντέρνας τέχνης.

Ο κυβισμός χωρίζεται σε δύο επιμέρους φάσεις- στον αναλυτικό και στο συνθετικό κυβισμό.

Ο αναλυτικός κυβισμός ονομάστηκε έτσι από την τάση των κυβιστών ζωγράφων να αναλύουν τις φόρμες, που μπορεί να ήταν πρόσωπα, αντικείμενα ή νεκρή φύση, σε απλά γεωμετρικά σχήματα, ώστε τελικά να κατασκευάσει μια νέα μορφή της φόρμας που δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα μα προέρχεται από τη σκέψη του καλλιτέχνη. Χαρακτηριστικό του αναλυτικού κυβισμού είναι ο περιορισμός των χρωμάτων σε αποχρώσεις του καφέ, του μπεζ και του γκρι.

Ο συνθετικός κυβισμός ονομάστηκε κατά αυτόν τον τρόπο διότι έδινε τη δυνατότητα στους καλλιτέχνες να κάνουν χρήση κι άλλων υλικών, πέρα από την παραδοσιακή μπογιά, για να συνθέσουν τα έργα τους. Έτσι, άρχισαν να χρησιμοποιούνται κομμάτια από εφημερίδες και περιοδικά, ξύλα, κλωστές και κάθε λογής υλικά, ώστε τελικά να δημιουργούνται τα λεγόμενα κολάζ που άνοιξαν νέες δυνατότητες έκφρασης.

Χαρακτηριστικά του κυβισμού είναι τα γεωμετρικά σχήματα, οι καθαρές μορφές και τα περιγράμματα. Συγκεκριμένα, οι κυβιστές ζωγράφοι βλέπουν και ζωγραφίζουν το αντικείμενο από διάφορες οπτικές γωνίες ταυτόχρονα, συγχέουν τα εικονιζόμενα αντικείμενα, τόσο μεταξύ τους όσο και με το χώρο στον οποίο αυτά βρίσκονται και επαναλαμβάνουν στοιχεία στα έργα τους δίνοντας την αίσθηση της κίνησης.

(Γυναίκα πάνω σε άλογο – Ζαν Μέτσινγκερ)

( Κλαρινέτο και βιολί- Πάμπλο Πικάσο)


64

Οι απαρχές του κυβισμού τοποθετούνται χρονολογικά στην πρώτη δεκαετία του 20ου αιώνα. Το έργο του Πικάσο Οι δεσποινίδες της Αβινιόν (1907), επηρεασμένο από την αφρικανική και την αρχαία ιβηρική γλυπτική, και έργα του Μπρακ τράβηξαν την προσοχή του κριτικού Λουί Βωσέλ, ο οποίος παρατήρησε την ύπαρξη κύβων σε αυτά. Σε αυτή του μάλιστα την παρατήρηση βασίστηκαν και οι δημιουργοί του κυβισμού για να ονομάσουν με αυτό τον τρόπο το εν λόγω κίνημα.

Πρωτεργάτες του κυβισμού θεωρούνται ο Πικάσο και ο Μπρακ, αφού ήταν οι πρώτοι που διαχειρίστηκαν με το δικό τους τρόπο το χώρο και τις φόρμες στα έργα τους.

(Σπίτια στο l’ Estaque- Τζορτζ Μπρακ) Η κυβιστική γλυπτική υπήρξε για τα δεδομένα της εποχής εξίσου επαναστατική με την κυβιστική ζωγραφική. Στην κυβιστική γλυπτική η ενότητα του όγκου της φόρμας παύει να υπάρχει, αφού οι φόρμες διαιρούνται σε επιμέρους πρισματικούς όγκους και γεωμετρικές, αιχμηρές επιφάνειες, με αποτέλεσμα να αποκτούν μια νέα μορφή, διαφορετική από την πραγματική τους. Χαρακτηριστικά είναι τα έργα των Αλεξάντερ Αρκιπένκο, Τζόζεφ Κάκι, Κονσταντίν Μπρανκούσι και Ρέιμοντ Ντουσάπ- Βιλόν.

( Οικογενειακή ζωή- Αλεξάντερ Αρκιπένκο)


65

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΩΝ ΚΥΒΙΣΜΟΥ Σε αυτό το σημείο θα εξετάσουμε χαρακτηριστικά παραδείγματα έργων τέχνης που δημιουργήθηκαν από κυβιστές ζωγράφους και θα αναζητήσουμε σε αυτούς τα στοιχεία που αναφέραμε προηγουμένως.

(Λιούμποφ Πόποβα- Δύο φιγούρες)

(Ζαν Ρουσώ- Πορτρέτο)

Ο πίνακας αυτός είναι χαρακτηριστικός ώστε να καταλάβει κανείς τι είναι το κίνημα του κυβισμού. Ανήκει στον αναλυτικό κυβισμό, αφού μπορούμε να παρατηρήσουμε τις φόρμες που έχει δημιουργήσει ο ζωγράφος, ο οποίες έχουν αναλυθεί σε γεωμετρικά σχήματα. Συγκεκριμένα, στο συγκεκριμένο πίνακα απεικονίζονται πρόσωπα φτιαγμένα από γεωμετρικά σχήματα, αλλά και νεκρή φύση, όπως η κιθάρα, η φρουτιέρα με τα φρούτα, η τσαγιέρα, κ.α. Κυρίαρχο χαρακτηριστικό του κυβισμού είναι η χρήση γεωμετρικών σχημάτων, φαινόμενο που στον συγκεκριμένο πίνακα είναι εντονότατο. Επάνω δεξιά μπορούμε να παρατηρήσουμε ένα σχήμα που τείνει προς το να γίνει κωνικό. Επίσης, η μεγαλύτερη χρήση των γεωμετρικών σχημάτων γίνεται για τη δημιουργία των φορμών, κυρίως των προσώπων. Τέλος, όλες οι μορφές που φαίνονται στον παραπάνω πίνακα έχουν έντονα περιγράμματα, ένα ακόμη χαρακτηριστικό του κυβισμού.

Στον πίνακα αυτό είναι έντονο το φαινόμενα κατά το οποίο δύο αντικείμενα συνδέονται μεταξύ τους, φαίνονται σαν το ίδιο αντικείμενο εικονιζόμενο από διαφορετική οπτική γωνία. Το φαινόμενο αυτό δίνει την αίσθηση του βάθους στον πίνακα. Ο πίνακας αυτός ανήκει στον αναλυτικό κυβισμό και αυτό το μαρτυρούν τα χρώματα που βρίσκονται στις αποχρώσεις του καφέ του μπεζ και του γκρι. Επίσης, είναι έντονα τα γεωμετρικά σχήματα, γεγονός που μαρτυρά το κίνημα στο οποίο ανήκει.


66

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Ένα άλλο φαινόμενο των Μαθηματικών που χρησιμοποιήθηκε, από την αρχαιότητα κιόλας, τόσο στη ζωγραφική όσο και στη γλυπτική, είναι η χρυσή τομή.

Η χρυσή τομή είναι ο χωρισμός ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ σε δύο τμήματα, ένα μεγάλο α κι ένα μικρότερο β, έτσι ώστε ο λόγος του μεγάλου προς το μικρότερο τμήμα να ισούται με το λόγο του ΑΒ προς το μεγάλο τμήμα α. Ο λόγος αυτός ισούται με 1,618 περίπου και συμβολίστηκε ως το ελληνικό γράμμα Φ από τον αμερικανό μαθηματικό Mark Barr προς τιμήν του Έλληνα γλύπτη Φειδία, ο οποίος χρησιμοποίησε πρώτος τη χρυσή τομή στα έργα του.

Η χρυσή τομή εμφανίζεται και στα γεωμετρικά σχήματα. Χρυσό τρίγωνο ονομάζεται το τρίγωνο στο οποίο ο λόγος της μεγαλύτερης προς τη μιρκότερη πλευρά είναι ίσος με φ. Κάθε τρίγωνο με κορυφή ίση με 36 μοίρες είναι χρυσό.

Ο Ιταλός Μαθηματικός Fibonacci περιέγραψε πρώτος μια ακολουθία αριθμών που πήρε αργότερα το όνομά του. Η ακολουθία του Fibonacci ορίζεται ως μια σειρά αριθμών, ο καθένας από τους οποίους προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενών του. Αν φτιάξει κανείς μια ακολουθία με τους λόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci, θα παρατηρήσει ότι οι όροι αυτοί τείνουν να προσεγγίσουν τον αριθμό φ.

Ακολουθία Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Λόγοι των διαδοχικών όρων:

1, 2, 3/2, 5/3, 13/8, 21/13, 34/21,…

Επιπλέον, το σύμβολο της αδελφότητας των Πυθαγορείων, το πεντάγραμμο αποτελεί παράδειγμα χρυσής τομής, αφού η κάθε πλευρά του διαιρεί τις άλλες δύο σε χρυσή τομή. Η χρυσή τομή εμφανίζεται και στα ορθογώνια. Ένα χρυσό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο μπορεί να χωριστεί σε ένα τετράγωνο και όμοιο παραλληλόγραμμο με τον ίδιο λόγο πλευρών όπως το αρχικό. Ο λόγος αυτός είναι ίσος με φ.


67

Η χρυσή τομή εμφανίζεται τόσο στη φύση όσο και στον ίδιο τον άνθρωπο. Πρώτοι οι αρχαίοι Έλληνες και κυρίως ο Πυθαγόρας ο Σάμιος κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι ο τρόπος με τον οποίο είναι σχεδιασμένα τα λουλούδια- η διάταξη των πετάλων τους και των φύλλων γύρω από το μίσχο- δεν είναι τυχαίος αλλά βασισμένος στη χρυσή τομή.

Ακόμη, τα χρυσά σπειροειδή, τα οποία επίσης σχετίζονται με τη χρυσή τομή, εμφανίζονται στα όστρακα, στα ανθρώπινα δακτυλικά αποτυπώματα και σε πολλούς σπειροειδείς γαλαξίες.

Χρυσό ορθογώνιο ορίζεται ως το ορθογώνιο στο οποίο αν διαιρέσουμε το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς του με το μήκος της μικρότερης πλευράς προκύπτει ένας λόγος ίσος με Φ. Επιπλέον, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι αν χωρίσουμε το αρχικό ορθογώνιο σε ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με το μήκος της μικρότερης

Ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι διαπίστωσε επίσης διάφορες αναλογίες στο ανθρώπινο σώμα. Αντιλήφθηκε ότι στον άνθρωπο ο λόγος της απόστασης του ώμου από τις άκρες των δακτύλων προς την απόσταση του αγκώνα από τις άκρες των δακτύλων προσεγγίζει τον αριθμό φ. Τον ίδιο λόγο έχει και το ύψος του ανθρώπου προς την απόσταση του αφαλού του από τη γη. Στη διατύπωση των συμπερασμάτων αυτών ο Ντα Βίντσι βασίστηκε στις διαπιστώσεις του ρωμαίου αρχιτέκτονα Βιτρούβιου, ο οποίος είχε ήδη μελετήσει τις αναλογίες στο ανθρώπινο σώμα. Έτσι, το περίφημο σήμερα σχέδιο του Ντα Βίντσι ‘Ο άνθρωπος του Βιτρούβιου’ είναι βασισμένο στους κανόνες αναλογιών του Μάρκου Βιτρούβιου.

του αρχικού ορθογωνίου προκύπτει και ένα άλλο ορθογώνιο όμοιο με το αρχικό. Αν επαναλάβουμε τη διαδικασία αυτή σε κάθε νέο ορθογώνιο που προκύπτει και ξεκινώντας από το μικρότερο σε εμβαδό τετράγωνο που έχει σχηματιστεί, διαγράφοντας διαδοχικά τεταρτοκύκλια κύκλων με ακτίνα την πλευρά του τετραγώνου που βρισκόμαστε κάθε φορά, σχηματίζεται τελικά μία σπείρα. Η σπείρα αυτή, τελικά, ονομάζεται λογαριθμική σπείρα ή χρυσό σπειροειδές.


68

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ

Στην αρχαία Ελλάδα:

Λέγεται από κάποιους ότι τα στοιχειά της πρόσοψης του Παρθενώνα είναι οριοθετημένα σε χρυσά ορθογώνια. Η ιδία η πρόσοψη μάλιστα παρουσιάζει τέλειες χρυσές αναλογίες, με αποτέλεσμα να εικάζεται ότι ολόκληρη η κατασκευή του Παρθενώνα έγινε με βάση το χρυσό ορθογώνιο.

Στην αρχαία Αίγυπτο:

Οι αρχαίοι Έλληνες ήταν από τους πρώτους λαούς που έκαναν εφαρμογή της χρυσής τομής στην αρχιτεκτονική τους. Χαρακτηριστικό παράδειγμα της άποψης αυτής αποτελεί ο Παρθενώνας στην Ακρόπολη των Αθηνών. Ο Παρθενώνας κατασκευάστηκε από τον Ικτίνο και τον Καλλικράτη κατά τον 5ο αιώνα π.Χ. και διακοσμήθηκε από τον

Η χρυσή τομή κάνει επίσης την εμφάνιση της και στα κιονόκρανα του Παρθενώνα με την μορφή της λογαριθμικής σπείρας. Μάλιστα, ακόμη και το χρυσελεφάντινο άγαλμα της θεάς Αθηνάς που κοσμεί το εσωτερικό του Παρθενώνα είναι και αυτό φτιαγμένο με βάση την χρυσή αναλόγια.

Μέχρι σήμερα δεν έχει διαπιστωθεί ακόμη το κατά πόσο η χρυσή τομή έχει εφαρμοστεί στην κατασκευή της Μεγάλης Πυραμίδας στην Γκίζα, η οποία χρονολογείται γύρω στο 2560 π.Χ. Υπάρχουν, όμως, ορισμένα στοιχεία, τα οποία φανερώνουν ενδεχομένως την εφαρμογή γνώσεων γύρω από τη χρυσή τομή πάνω στη Μεγάλη Πυραμίδα. Για παράδειγμα, αν τμήσει κανείς κάθετα την πυραμίδα, θα προκύψει ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Ο λόγος της υποτείνουσας του προς το μισό της πλευράς της βάσης είναι περίπου 1.618, προσεγγίζει σχεδόν τις χρυσές αναλογίες.


69

Πιο σύγχρονη αρχιτεκτονική:

Χρειάστηκαν, όμως, περισσότερα χρόνια προκειμένου να ολοκληρωθούν όλα τα κτίρια του συγκροτήματος. Για να ολοκληρωθεί το έργο χρειάστηκε να εργαστούν 20000 εργάτες, οι οποίοι δούλευαν καθημερινά.

Το Ταζ Μαχάλ (Taj Mahal) είναι ένα συγκρότημα κτιρίων στην Ινδία, χτισμένο στη νότια όχθη του ποταμού Γιαμούνα. Το όλο συγκρότημα βρίσκεται γύρω από ένα μαυσωλείο που έχτισε ο αυτοκράτορας Μουντάλ Τζαχάν προς τιμήν της γυναίκας του Μουμτάζ Μαχάλ που πέθανε το 1631 κατά τη διάρκεια τοκετού. Η κατασκευή του διήρκεσε 17 χρόνια, από το 1631 έως το 1649.

Δεδομένου ότι ο αριθμός Φ και η χρυσή τομή προσφέρουν στις κατασκευές αρμονία στις αναλογίες τους, δεν αποτελεί μυστήριο το γεγονός ότι και σε πιο σύγχρονες εποχές, οι αρχιτέκτονες επιλέγουν να κάνουν χρήση της χρυσής τομής στα έργα τους. Το ίδιο συνέβη και στην περίπτωση του Ταζ Μαχάλ. Είναι γνωστό ότι τα ορθογώνια που χρησιμοποιήθηκαν για το βασικό περίγραμμα του εξωτερικού του μέρους έχουν χρυσές διαστάσεις.

Αυτό παρατηρούμε και στην Παναγία των Παρισίων, η οποία κατασκευάστηκε ανάμεσα στα 1163 και 1250. Κάθε επίπεδό της είναι κατασκευασμένο με βάση τα χρυσά ορθογώνια, παρόλο που γενικότερα δεν παρουσιάζει μεγάλη συμμετρία από αρχιτεκτονικής άποψης.

Σήμερα, η Παναγία των Παρισίων συγκαταλέγεται ανάμεσα στα πιο αξιόλογα δείγματα του γοτθικού ρυθμού στην αρχιτεκτονική.


70

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Είναι γεγονός ότι η χρήση της χρυσής τομής δεν περιορίστηκε μόνο στην αρχιτεκτονική αλλά επεκτάθηκε και σε άλλες μορφές της τέχνης, όπως η ζωγραφική. Οι χρυσές αναλογίες εμφανίζονται, μάλιστα, σε πολλούς γνωστούς πίνακες, συμπεριλαμβανομένης της Μόνα Λίζα του Λεονάρντο Ντα Βίντσι.

Η απόσταση από τις άκρες των δακτύλων του δεξιού χεριού της Μόνα Λίζα ως το μέτωπό της είναι 1.618 φορές η απόσταση έως τη βάση του λαιμού, ξεκινώντας πάλι από τα δάκτυλα του δεξιού χεριού. Έπειτα, η απόσταση από τη βάση του λαιμού μέχρι το τέλος του μετώπου είναι 1.618 φορές η απόσταση από τη βάση του λαιμού έως το κέντρο του ματιού.

.

( Η δημιουργία του Αδάμ)

(Λεονάρντο Ντα Βίντσι- Μόνα Λίζα)

Ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, μελέτησε τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος και δημιούργησε το σχέδιο ‘ Ο άνθρωπος του Βιτρούβιου’. Δεν στάθηκε όμως μόνο εκεί. Οι χρυσές αναλογίες έγιναν, έπειτα από μελέτη, αντιληπτές και στο περίφημο, σήμερα, έργο του ‘ Μόνα Λίζα’. Ο πίνακας ολοκληρώθηκε το 1503 περίπου. Απεικονίζει τη σύζυγο ενός πλούσιου επιχειρηματία της Φλωρεντίας εκείνης της εποχής. Το στοιχείο που κατέστησε τον εν λόγω πίνακα εξαιρετικά διάσημο είναι το αινιγματικό χαμόγελο στα χείλη της Μόνα Λίζα καθώς και το βλέμμα της που «ακολουθεί» τον παρατηρητή από όποια γωνία κι αν εξετάζει τον πίνακα. Αν παρατηρήσει κανείς τις αναλογίες του συγκεκριμένου πίνακα, θα διαπιστώσει τη χρήση του αριθμού φ που έκανε ο καλλιτέχνης.

Η χρήση του αριθμού φ φαίνεται και στον πολύ γνωστό πίνακα του Μικελάντζελο, ‘ Η δημιουργία του Αδάμ’, που σήμερα κοσμεί την οροφή της Καπέλα Σιξτίνα. Συγκεκριμένα, το χέρι του Θεού αγγίζει σχεδόν το χέρι του Αδάμ ακριβώς πάνω στο σημείο όπου συμπίπτει η κάθετη ευθεία που διέρχεται από το σημείο της χρυσής τομής του μήκους με την κάθετη που διέρχεται από το σημείο της χρυσής τομής του πλάτους του ορθογωνίου που περικλείει και τους δύο.


71

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η Γεωμετρία στη ζωγραφική Η γεωμετρία αποτελεί μία οπτικοποίηση των μαθηματικών. Ένας καλλιτέχνης ζωγράφος, όπως και ένας επιστήμονας μαθηματικός, χρησιμοποιεί ευθείες, κύκλους, τρίγωνα, αφηρημένες τροχιές με τις οποίες προσπαθεί να περιγράψει στο έργο του αυτό που τον απασχολεί και θέλει να εκφράσει.

Η υπερβολική γεωμετρία διαφέρει από την ευκλείδεια γεωμετρία. Για παράδειγμα, η ευκλείδεια ορίζει ότι, αν έχουμε μία ευθεία και ένα σημείο εκτός αυτής, τότε υπάρχει μονάχα μία ευθεία που μπορεί να διέλθει από το σημείο εκείνο και να είναι παράλληλη στην αρχική ευθεία. Στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν πάντοτε πάνω από δύο τέτοιες ευθείες.

Η μέθοδος του Escher Ο Maurits Cornelis Escher ήταν αρχιτέκτονας και ζωγράφος από την Ολλανδία. Χρησιμοποίησε την μέθοδο της υπερβολικής γεωμετρίας στους πίνακές του. Αυτοί χαρακτηρίζονται από την συμμετρία σε κάθε τι που απεικονίζουν. Επιπλέον, ο Escher προσπαθεί έντονα να γεμίζει τους πίνακές του με σχήματα με τέτοιον τρόπο ώστε να μην υπάρχουν κενά, μία μέθοδος που ονομάζεται ψηφίδωση.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε τη μέθοδο της ψηφίδωσης που προαναφέραμε, δηλαδή εικόνες από επαναλαμβανόμενα σχήματα, όπως η αλληλοδιαδοχή σαυρών και βατράχων, τα οποία είναι σχεδιασμένα με τέτοιο τρόπο ώστε να δημιουργείται η αίσθηση του βάθους στο χώρο.

Επίσης, στους πίνακές του φαίνεται αυτή ακριβώς η προσπάθεια του ζωγράφου να γεμίσει όλον το χώρο με σχήματα και τα αρνητικά τους. Για κάθε σχήμα που κινείται προς μία κατεύθυνση υπάρχει και το αντίθετό του που κινείται προς την άλλη κατεύθυνση, ενώ τα σχήματα μπορούν να μεγαλώνουν ή να μικραίνουν από τα μέσα προς τα έξω ή αντιστρόφως.

Ο διπλανός πίνακας αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα των έργων του Escher. Ονομάζεται « Σαύρες και Βάτραχοι».


72

OP ART Η Οπ Αρτ ή αλλιώς Οπτική Τέχνη (Op-tical Art) είναι μια μορφή αφηρημένης, γεωμετρικής τέχνης που αναπτύχτηκε στην δεκαετία του 1960 και παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στο περιοδικό Time της Νέας Υόρκης τον Οκτώβριο του 1964. H Οπτική Τέχνη χρησιμοποιεί φαινόμενα οπτικής απάτης και οπτικών ψευδαισθήσεων με σκοπό την πρόκληση του θεατή. Τα έργα της δημιουργούν την ψευδαίσθηση της κίνησης και ως πρώτα πρώιμα δείγματα του ρεύματος της Οπ Αρτ θεωρούνται οι πίνακες του Βικτώρ Βαζαρελί, κατά τη δεκαετία του 1930 και συγκεκριμένα έργα όπως η Ζέβρα (1938), μία ασπρόμαυρη σύνθεση που δίνει την αίσθηση μιας τρισδιάστατης εικόνας.

Μέσα από τον πίνακα αυτό μπορεί κανείς να καταλάβει τι ακριβώς είναι η Op Art. Με τη χρήση του άσπρου και του μαύρου, δυο άκρως αντίθετων χρωμάτων, με την αλληλοδιαδοχή τους στα συνεχόμενα γεωμετρικά σχήματα και, τέλος, με την αλλαγή στο μέγεθός τους προς το κέντρο δημιουργείται η αίσθηση του βάθους και της κίνησης, κύρια χαρακτηριστικά της Op Art.


73

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΒΙΒΛΙΑ:

Ζιρώ Ο., Μερτζάνη Ε., Πετρίδου Β., Ιστορία της τέχνης, Γ’ τάξη ενιαίου λυκείου, ΟΕΔΒ, Αθήνα

Εγκυκλοπαίδεια Επιστήμη & Ζωή, Παρθενώνας, τόμος 15, εκδ. Χατζηϊακώβου Α. Ε., Λάρισα

ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ:

Κυβισμός- http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CF%85%CE%B2%CE%B9%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82

Κυβισμός-

http://www.istoriatexnis.1sweethost.com/kybismos.htm

Χρυσή τομή-

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A7%CF%81%CF%85%CF%83%CE%AE_%CF%84%CE%BF%CE%BC%CE%AE

Η χρυσή τομή και ο αριθμός φ-

http://www.p-theodoropoulos.gr/ergasmath/math-gymntegeas-xrysitomi.pdf

Άνθρωπος του Βιτρούβιου-

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%86%CE%BD%CE%B8%CF%81%CF%89%CF%80%CE%BF%CF%82_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CE%92%CE%B9%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%8D%CE%B2%CE%B9%CE%BF%CF%85

Τι είναι η χρυσή τομή και ποιος ο ρόλος της στην τέχνη και την αρχιτεκτονική;-

http://1lyk-karpen.eyr.sch.gr/geometry/bonia.pdf

Phi, Pi and the Great Pyramid of Egypt at Giza-

http://www.goldennumber.net/phi-pi-great-pyramid-egypt/

The Parthenon and Phi, the Golden Ratio-

http://www.goldennumber.net/phi-pi-great-pyramid-egypt/

Phi and the Golden Section in Architecture-

http://www.goldennumber.net/architecture/

The Mona Lisa-

http://www.coastal-style.com/mona-lisa.html

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CF%85%CE%B2%CE%B9%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82�

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CF%85%CE%B2%CE%B9%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82�

http://www.istoriatexnis.1sweethost.com/kybismos.htm�

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A7%CF%81%CF%85%CF%83%CE%AE_%CF%84%CE%BF%CE%BC%CE%AE�

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A7%CF%81%CF%85%CF%83%CE%AE_%CF%84%CE%BF%CE%BC%CE%AE�

http://www.p-theodoropoulos.gr/ergasmath/math-gymntegeas-xrysitomi.pdf�

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%86%CE%BD%CE%B8%CF%81%CF%89%CF%80%CE%BF%CF%82_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CE%92%CE%B9%CF%84%CF%81%CE%BF%CF%8D%CE%B2%CE%B9%CE%BF%CF%85�



http://1lyk-karpen.eyr.sch.gr/geometry/bonia.pdf�

http://www.goldennumber.net/phi-pi-great-pyramid-egypt/�

http://www.goldennumber.net/phi-pi-great-pyramid-egypt/�

http://www.goldennumber.net/architecture/�

http://www.coastal-style.com/mona-lisa.html�


74

Phi and the Golden Ratio in Art-

http://www.goldennumber.net/art-composition-design/

Υπερβολική γεωμετρία-

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A5%CF%80%CE%B5%CF%81%CE%B2%CE%BF%CE%BB%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B3%CE%B5%CF%89%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AF%CE%B1

Ο Ολλανδός χαράκτης M. C. Escher και το έργο του-

http://www.lettre.gr/letter/material/Escher.pdf

Op art-

http://en.wikipedia.org/wiki/Op_art

http://www.goldennumber.net/art-composition-design/�

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A5%CF%80%CE%B5%CF%81%CE%B2%CE%BF%CE%BB%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B3%CE%B5%CF%89%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AF%CE%B1�



http://www.lettre.gr/letter/material/Escher.pdf�

http://en.wikipedia.org/wiki/Op_art�

Τα Μαθηματικά μέσα στην...

Documents

Transcript of Τα Μαθηματικά μέσα στην...