Διδάσκοντας Μαθηματικά με Δημιουργικότητα

Διδάσκοντας Μαθηματικά με Δημιουργικότητα

1

Διδάσκοντας Μαθηματικά γιαγια Δημιουργικότητα

Λούκας Τσούκκας Σύμβουλος Πληροφορικής

• Το μόνο πράγμα που με εμπόδιζε ήταν η εκπαίδευσή μου.

Albert Einstein

• Το μόνο πράγμα που με εμπόδιζε ήταν η εκπαίδευσή μου.

Albert Einstein 2

• Η εκπαίδευση σκοτώνει τη δημιουργικότητα.

Sir Ken Robinson

• Η εκπαίδευση σκοτώνει τη δημιουργικότητα.

Sir Ken Robinson

Δημιουργικότητα • Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το μυαλό πετάει ένα σύνολο

από μπάλες στο γνωστικό πεδίο και τις κουνάει με ταχυδακτυλουργικές κινήσεις, ώστε να συγκολληθούν σε δημιουργικούς σχηματισμούς. Εφόσον πραγματοποιηθούν συσχετισμοί μεταξύ ιδεών που σπανίως συνδυάζονται – δηλαδή αν οι μπάλες που συνήθως δεν πλησίαζαν μεταξύ τους, ενωθούν - θα επιτευχθεί ένα δημιουργικό αποτέλεσμα.

Εφημερίδα «Η Σημερινή», 23/11/2008

• Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το μυαλό πετάει ένα σύνολο από μπάλες στο γνωστικό πεδίο και τις κουνάει με ταχυδακτυλουργικές κινήσεις, ώστε να συγκολληθούν σε δημιουργικούς σχηματισμούς. Εφόσον πραγματοποιηθούν συσχετισμοί μεταξύ ιδεών που σπανίως συνδυάζονται – δηλαδή αν οι μπάλες που συνήθως δεν πλησίαζαν μεταξύ τους, ενωθούν - θα επιτευχθεί ένα δημιουργικό αποτέλεσμα.

Εφημερίδα «Η Σημερινή», 23/11/2008

3

Η δημιουργικότητα οφείλεται 99 % στην επιμονή και 1 % στην έμπνευση.

Thomas Edison

Η δημιουργικότητα οφείλεται 99 % στην επιμονή και 1 % στην έμπνευση.

Thomas Edison

Βασικές πτυχές της Βασικές πτυχές της δημιουργικότηταςδημιουργικότητας

The Torrance Tests of Creative Thinking (TTCT) The Torrance Tests of Creative Thinking (TTCT) (Torrance, 1966,1974,1988)(Torrance, 1966,1974,1988)

• ΕυχέρειαΕυχέρεια - Fluency – Ο αριθμός των ιδεών που παράγονται ως αντίδραση

σε ένα ερέθισμα (Ποσότητα ιδεών)• ΕυελιξίαΕυελιξία– Οι μεταβάσεις ανάμεσα σε διαφορετικές

προσεγγίσεις που προκύπτουν ως αντίδραση σε ένα ερέθισμα (Διαφορετικά είδη ιδεών)

• ΠρωτοτυπίαΠρωτοτυπία– Των ιδεών που παράγονται ως αντίδραση σε ένα

ερέθισμα (Σπανιότητα ιδεών)4

H δημιουργικότητα μέσα από την επίλυση μαθηματικού προβλήματος

Silver (Silver (19871987))• FluencyFluency– Οι μαθητές διερευνούν ανοικτού τύπου προβλήματα, με

πολλές ερμηνείες, μεθόδους επίλυσης ή και απαντήσεις

• ΕυελιξίαΕυελιξία– Οι μαθητές επιλύουν το πρόβλημα με μια μέθοδο και

μετά με άλλες– Οι μαθητές συζητούν διαφορετικές μεθόδους επίλυσης

• ΠρωτοτυπίαΠρωτοτυπία– Οι μαθητές προτείνουν και διερευνούν μια διαφορετική

μέθοδο επίλυσης

5

H δημιουργικότητα μέσα από τη διατύπωση μαθηματικού προβλήματος

Silver (Silver (19871987))• Ευκαίρια (Ευκαίρια (FluencyFluency))– Οι μαθητές διατυπώνουν δικά τους προβλήματα

προς επίλυση μέσα από μια δεδομένη κατάσταση• ΕυελιξίαΕυελιξία– Οι μαθητές διατυπώνουν προβλήματα τα οποία

μπορούν να επιλυθούν με διαφορετικούς τρόπους– Χρησιμοποιούν τη μέθοδο «Τι θα γινόταν αν… / Τι θα

γινόταν αν δεν…»• ΠρωτοτυπίαΠρωτοτυπία– Οι μαθητές διατυπώνουν ένα διαφορετικό πρόβλημα

από τα υπόλοιπα6

Εφαρμογή7

Αν διπλώσεις ένα τετράγωνο, το ορθογώνιο που Αν διπλώσεις ένα τετράγωνο, το ορθογώνιο που προκύπτει έχει περίμετρο 39 προκύπτει έχει περίμετρο 39 cm.cm.

Διατύπωση προβλημάτωνΔιατύπωση προβλημάτων

Κατασκευή προβλήματοςΚατασκευή προβλήματος

Εφαρμογή

Επίλυση προβλήματοςΕπίλυση προβλήματος

8

Αν διπλώσεις ένα τετράγωνο, το ορθογώνιο που προκύπτει Αν διπλώσεις ένα τετράγωνο, το ορθογώνιο που προκύπτει έχει περίμετρο 39 έχει περίμετρο 39 cmcm..Ποιο είναι το εμβαδόν του αρχικού τετραγώνου;

Τρόποι επίλυσης – Διαφορετικοί τρόποι επίλυσηςΤρόποι επίλυσης – Διαφορετικοί τρόποι επίλυσης

Αναπτύσσοντας τις πτυχές της δημιουργικότητας -

Το παράδειγμα της μέτρησης

9

Ευχέρεια (Ευχέρεια (Ποσότητα ιδεών)Ποσότητα ιδεών)

Ο εκπαιδευτικός:

• Παροτρύνει τη ελεύθερη έκφραση και ανταλλαγή απόψεων και ιδεών

• Παρακινεί τη χρήση της φαντασίας

• Ενθαρρύνει τη διενέργεια συγκρίσεων για τον εντοπισμό διαφορών και ομοιοτήτων

• Βοηθά στον εντοπισμό και οικοδόμηση σχέσεων ανάμεσα στις μαθηματικές έννοιες από τους μαθητές

• Παρακινεί τους μαθητές να αιτιολογούν τις απαντήσεις που δίνουν


• Παροτρύνει τη ελεύθερη έκφραση και ανταλλαγή απόψεων και ιδεών

• Παρακινεί τη χρήση της φαντασίας

• Ενθαρρύνει τη διενέργεια συγκρίσεων για τον εντοπισμό διαφορών και ομοιοτήτων

• Βοηθά στον εντοπισμό και οικοδόμηση σχέσεων ανάμεσα στις μαθηματικές έννοιες από τους μαθητές

• Παρακινεί τους μαθητές να αιτιολογούν τις απαντήσεις που δίνουν

10

Ευχέρεια (Ευχέρεια (Ποσότητα ιδεών)Ποσότητα ιδεών)


• Χρησιμοποιεί διαφορετικές μορφές αναπαραστάσεων : λεκτικές, εικονικές, συμβολικές

• Χρησιμοποιεί διάφορες διδακτικές τεχνικές, προσεγγίσεις και μεθόδους

• Παρουσιάζει διαφορετικά είδη ασκήσεων και δραστηριοτήτων


• Χρησιμοποιεί διαφορετικές μορφές αναπαραστάσεων : λεκτικές, εικονικές, συμβολικές

• Χρησιμοποιεί διάφορες διδακτικές τεχνικές, προσεγγίσεις και μεθόδους

• Παρουσιάζει διαφορετικά είδη ασκήσεων και δραστηριοτήτων

11

Ευελιξία Ευελιξία (Διαφορετικά είδη ιδεών)(Διαφορετικά είδη ιδεών)

Ο εκπαιδευτικός:• Αξιοποιεί το ανθρώπινο και τεχνικό περιβάλλον.

Μπορεί να αξιοποιήσει ένα συγκεκριμένο θέμα για την προώθηση διαφορετικού μαθηματικού περιεχομένου.

• Προωθεί τη σύνδεση και συσχέτιση των μαθηματικών με άλλους τομείς μελέτης, άλλα θέματα και μαθήματα και με την καθημερινή ζωή.

• Λαμβάνει υπόψη την εφαρμογή της γνώσης

Ο εκπαιδευτικός:• Αξιοποιεί το ανθρώπινο και τεχνικό περιβάλλον.

Μπορεί να αξιοποιήσει ένα συγκεκριμένο θέμα για την προώθηση διαφορετικού μαθηματικού περιεχομένου.

• Προωθεί τη σύνδεση και συσχέτιση των μαθηματικών με άλλους τομείς μελέτης, άλλα θέματα και μαθήματα και με την καθημερινή ζωή.

• Λαμβάνει υπόψη την εφαρμογή της γνώσης 12

Ευελιξία Ευελιξία (Διαφορετικά είδη ιδεών)(Διαφορετικά είδη ιδεών)

Ο εκπαιδευτικός

• Ενθαρρύνει την ανακάλυψη

• Χρησιμοποιεί έργα ανοικτού τύπου

• Προωθεί τον επαγωγικό και αναλογικό συλλογισμό

Ο εκπαιδευτικός

• Ενθαρρύνει την ανακάλυψη

• Χρησιμοποιεί έργα ανοικτού τύπου

• Προωθεί τον επαγωγικό και αναλογικό συλλογισμό

13

Πρωτοτυπία (Σπανιότητα ιδεών)

Ο εκπαιδευτικόςΟ εκπαιδευτικός

• Ενεργοποιεί τη χρήση πρωτοποριακών μέσων και υλικών.• Επιτρέπει τη δημιουργική χρήση του περιβάλλοντος των

μαθητών • Προτείνει ρεαλιστικά, ενδιαφέροντα και πρωτότυπα έργα

και δραστηριότητες • Αναγνωρίζει και αποδέχεται τις ασυνήθιστες απαντήσεις των

μαθητών

Ο εκπαιδευτικόςΟ εκπαιδευτικός

• Ενεργοποιεί τη χρήση πρωτοποριακών μέσων και υλικών.• Επιτρέπει τη δημιουργική χρήση του περιβάλλοντος των

μαθητών • Προτείνει ρεαλιστικά, ενδιαφέροντα και πρωτότυπα έργα

και δραστηριότητες • Αναγνωρίζει και αποδέχεται τις ασυνήθιστες απαντήσεις των

μαθητών

14

Ανάλυση των πτυχών της δημιουργικότητας μέσα από

μια διδακτική προσέγγιση

Ανάλυση των πτυχών της δημιουργικότητας μέσα από

μια διδακτική προσέγγιση

15

Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

Ερώτηση – προβληματική

κατάσταση

Πτυχή δημιουρ-γικότητας

Επεξήγηση

Νομίζετε ότι θα μπορούσαμε να ζήσουμε χωρίς τη χρήση μετρήσεων;

Πρωτοτυπία

Ανοικτή ερώτηση που προκαλεί συζήτηση, αντιπαράθεση στην τάξη.

Αυτό το είδος των ερωτήσεων θεωρούνται ανοικτές - αποκλίνουσες γιατί υποκινούν τους μαθητές να φανταστούν ασυνήθιστες ή μη συμβατικές καταστάσεις.

Προσπαθήστε να καταρτίσετε έναν κατάλογο, κατά τη διάρκεια μιας ολόκληρης μέρας, όλων των αντικειμένων που χρησιμοποιείτε και μπορούν να μετρηθούν, από το γάλα μου πίνετε στο πρόγευμα μέχρι τις καλαθιές σε ένα αγώνα καλαθόσφαιρας.

Ευελιξία (Flexibility)

Ευχέρεια (Fluency)

Αναγνωρίζει ότι η παρατήρηση πρέπει να κατέχει σημαντική θέση στη διδασκαλία και αποτελεί σημαντική διδακτική τεχνιή.

Με αυτή τη δραστηριότητα ο εκπαιδευτικός παροτρύνει τους μαθητές του να παρατηρήσουν το περιβάλλον τους.

Δεν αναφέρεται μόνο σε ένα είδος μετρήσεων αλλά σε αρκετές.

16


Προβληματική κατάσταση

Πτυχή Επεξήγηση

Την επόμενη μέρα προσπαθήστε να φανταστείτε τι θα συνέβαινε, εάν δε μετρούσαμε όλα τα πράγματα – αντικείμενα στον κατάλογο που φτιάξατε.

Σε ένα άλλο κομμάτι χαρτί γράψετε τις πιθανές συνέπειες στη ζωή μας για να τα συζητήσουμε.



Συσχετίζει τα μαθηματικά με τη πραγματική ζωή για να οικοδομήσει πρωτότυπες δραστηριότητες

Ίσως το πιο σημαντικό σημείο αυτής της στρατηγικής είναι ότι ενθαρρύνει την αποκλίνουσα σκέψη και διεγείρει τη φαντασία.

Τονίζει τη σημασία που έχουν τα μαθηματικά στην καθημερινή ζωή των ανθρώπων.

17



Γνώρισμα Επεξήγηση

Εφαρμογή

Παράδειγμα: Ας φανταστούμε ότι θα αγοράζαμε χυμό ντομάτας και όταν φτάναμε στην υπεραγορά βλέπαμε:

Α Β

1,5 ευρώ 2,5 ευρώ 1000 ml 2000 ml



Συνδέει τα μαθηματικά με τη πραγματική ζωή.

Εντοπίζει την αξία να διατυπώνονται προβλήματα σε διαφορετικά πλαίσια.

Με το πρόβλημα αυτό ο εκπαιδευτικός προκαλεί τους μαθητές να εκτελέσουν διάφορες πράξεις.

Το πρόβλημα συσχετίζεται με την καθημερινή ζωή. Πόσες φορές όταν οι άνθρωποι ψωνίζουν, χρειάζεται να κάνουν αυτού του είδους τις πράξεις;

Οι μαθητές κάνουν παρατηρήσεις και συγκρίσεις.

18



Γνώρισμα Επεξήγηση

Πρακτικά παραδείγματα στις διάφορες περιοχές

των Μαθηματικών

Πρακτικά παραδείγματα στις διάφορες περιοχές

των Μαθηματικών

•Εμβαδόν•Όγκος•Αριθμοί και πράξεις •Γεωμετρία............................................•Λύση προβλήματος •Κατασκευή προβλήματος

19

ΧΩΡΙΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Να χωρίσετε το τετράγωνο σε 5 σχήματα με ίσο εμβαδόν.

20

ΕΜΒΑΔΟΝΕΜΒΑΔΟΝ

Λύση:

21

Παιχνίδια με σχήματα http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=5908 Παιχνίδια με σχήματα http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=5908

ΣΧΗΜΑΤΑ ΜΕ ΙΣΟ ΕΜΒΑΔΟΝ

Να χωρίσετε το πιο κάτω σε 4 σχήματα με ίσο εμβαδόν.

Λύση:

ΕΜΒΑΔΟΝ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ

24

Μπορείς να τοποθετήσεις τα μικρά σχήματα πάνω στα μεγάλα.

Μπορείς να τοποθετήσεις τα μικρά σχήματα πάνω στα μεγάλα.

http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=5561

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ • Τι πρέπει να αλλάξουμε ώστε : – Ένα παραλληλόγραμμο να γίνει ορθογώνιο

παραλληλόγραμμο.– Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο να γίνει

τετράγωνο– Ένα παραλληλόγραμμο να γίνει ρόμβος– Ο ρόμβος να γίνει τετράγωνο

25

Geogebra

Πώς η δραστηριότητα αυτή αναπτύσσει τη δημιουργικότητα των μαθητών; Ποια χαρακτηριστικά της δημιουργικότητας αναπτύσσει;

Πώς η δραστηριότητα αυτή αναπτύσσει τη δημιουργικότητα των μαθητών; Ποια χαρακτηριστικά της δημιουργικότητας αναπτύσσει;

• Παρακινεί τη χρήση της φαντασίας για παραγωγή μεγάλου αριθμού ιδεών – ευχέρεια • Διενέργεια συγκρίσεων για εντοπισμό διαφορών και

ομοιοτήτων – ευχέρεια• Αναπαραστάσεις – ευχέρεια• Πρωτοποριακά μέσα και υλικά – Πρωτοτυπία• ……………………………• …………………………..

•Πέστε ένα αντίστροφο πρόβλημα. •Τι θα συμβεί αν:• μια γωνία ενός παραλληλογράμμου γίνει ορθή; • δύο διαδοχικές πλευρές ενός ορθογωνίου

παραλληλογράμμου γίνουν ίσες; • ……………• ……………

ΑΡΙΘΜΟΙΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΑΠΟ ΝΤΟΜΙΝΟ


Με βάση τα πιο κάτω ντόμινο να συμπληρώσετε τα κενά τετράγωνα με τελείες, ώστε το άθροισμα των τελειών σε κάθε πλευρά των τετραγώνων να είναι 8.

Λύσεις:Λύσεις:

27



ΑΡΙΘΜΟΙΑΡΙΘΜΟΙ

• Δίνονται ντόμινο χωρίς κουκίδες και καλούνται οι μαθητές να τις τοποθετήσουν οι ίδιοι, για να συμπληρώσουν τα ντόμινο του αριθμού 9.

28

Τέσσερις πράξεις• Τα παιδιά καλούνται να δείξουν έναν

τρόπο για να εξηγήσουν σε μικρότερα παιδιά πώς μπορούμε να βρούμε την απάντηση σε εξισώσεις. (χρήση αντικειμένων, σχεδίου, θεατρικής αναπαράστασης προβλήματος κ.λ.π.)

Ανάλυση αριθμού 9

• Τα παιδιά γράφουν διάφορες εξισώσεις που δίνουν αποτέλεσμα 48. Π.χ. (100-50)-2= (100:2) – 2= 50-2 =

Αριθμοί Αριθμοί • Ποιους αριθμούς μπορείς να φτιάξεις με 6

χάντρες;

• Ποιος είναι ο μεγαλύτερος μόνος αριθμός που μπορείτε να φτιάξετε;

• Ποιος είναι ο μικρότερος μονός αριθμός που μπορείτε να κατασκευάσετε;

29

ΑΡΙΘΜΟΙΠαιχνίδι μυστικού αριθμού

ΑΡΙΘΜΟΙΠαιχνίδι μυστικού αριθμού

30

48

Δίνεται σε κάθε μαθητή μια αριθμοκάρτα. Τα παιδιά καλούνται, χωρίς να αποκαλύψουν τον αριθμό που έχουν, να δώσουν πληροφορίες που να βοηθούν τους υπόλοιπους μαθητές να βρουν ποιον αριθμό γράφει η καρτελίτσα.

Πιθανές πληροφορίες /στοιχείαΟ αριθμός της δικής μου κάρτας: • Έχει 4 δεκάδες και 8 μονάδες.• Έχει 2 δεκάδες και 28 μονάδες. • Είναι η διαφορά του 50 από το 2. • Είναι το γινόμενο του 8 με το 6. • Αν βρεις το διπλάσιο του 20 και προσθέσεις 8, θα βρεις το δικό μου αριθμό.

ΑΡΧΗ

5 δεκάδες1 μονάδα

51

8 μονάδες9 δεκάδες

98

5 δεκάδες2 μονάδες

52

100 – 1 =

99

100 - 10=

90

ΤΕΛΟΣ

Δημιουργία ντόμινο από τους μαθητές

Γεωργία Παπανικολάου - Ζεβεδαίου

Λύση με διάφορους τρόπους - ΕυελιξίαΌχι απλή εκμάθηση αλγορίθμων


315 : 35 315 : 5 = 63 και 63 : 7 = 9

32

3 1/5 : 4/5 =16/5 : 4/5 = 4

3 1/5 - 4/5 = 2 2/5 → 2 2/5 – 4/5 = 1 3/5 → 1 3/5 – 4/5 = 4/5 → 4/5 - 4/5 = 0

Λύση με βάση τον αλγόριθμο



Η Αλίκη απάντησε ορθά στο 75% των ερωτήσεων του διαγωνίσματος στο μάθημα της ιστορίας. Αν απάντησε ορθά σε 9 ερωτήσεις, πόσες ήταν όλες οι ερωτήσεις του διαγωνίσματος.

33

Η δημιουργική διδασκαλία συμβάλλει στην κατάκτηση των μαθηματικών εννοιών από τους μαθητές.

Τα μαθηματικά συμβάλουν στην ανάπτυξη της δημιουργικότητας των μαθητών.

Με αλγόριθμο Το 75% ισοδυναμεί με ¾ . Άρα τα ¾ των ερωτήσεων είναι 9. Το 75% των ερωτήσεων είναι 9 ερωτήσεις. Το 25 % είναι 3 ερωτήσεις. Το 100 % είναι 9 + 3 = 12 ερωτήσεις. Λύση με σχέδιο

25% 25% 25% ;

ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΣ

• Να συμπληρώσετε τα κενά τετράγωνα με εννέα διαφορετικούς αριθμούς από το 1 μέχρι το 9, ώστε η διαφορά δύο συνεχόμενων αριθμών να είναι μονός αριθμός.

34(http://nrich.maths.org/content/id/2790/Differences.swf)

ΟΓΚΟΣ – ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ

ΟΓΚΟΣ – ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ

35

Dalest Stereometry(Developing and Active Learning Environment for the teaching

of Stereometry)

http://www.ucy.ac.cy/dalest/

36

ΟΓΚΟΣ - ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΟΥΤΙΩΝΟΓΚΟΣ - ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΟΥΤΙΩΝ

Να κατασκευάσετε κουτιά με διαφορετικό όγκο χρησιμοποιώντας το πιο κάτω τετράγωνο.

37

Παραδείγματα:

38

• Δημιουργία νέων προβλημάτων (γενίκευση, εξειδίκευση, αναλογία, περιορισμοί)• Δημιουργία νέων προβλημάτων (γενίκευση,

εξειδίκευση, αναλογία, περιορισμοί)

Κάποιες λύσεις:Κάποιες λύσεις:

ΥΨΟΣ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΤΟΣ ΟΓΚΟΣ

1 13 13 169

2 11 11 242

3 9 9 243

4 7 7 196

5 5 5 125

6 3 3 54

7 1 1 7

39Αν είχαμε μερικά κουτιά με τον ίδιο όγκο, πιο

θα είχε τη μεγαλύτερη εξωτερική επιφάνεια;

Πώς μπορούμε να φτιάξουμε μια νέα προβληματική κατάσταση, αντιστρέφοντας το πρόβλημα αυτό;

Επίλυση προβλήματοςΕπίλυση προβλήματος• Προβλήματα με περιττά ή ελλιπή δεδομένα• Κατηγοριοποίηση προβλημάτων • Λύσεις με ποικιλία μεθόδων (διάγραμμα, γραφική

παράσταση, πίνακας, μοτίβο κτλ.)• Υπολογισμός της απάντησης – λογικότητα • Προβλήματα που απαιτούν κατά προσέγγιση υπολογισμό • Τροποποίηση προβλήματος (αλλαγή δεδομένων, αλλαγή

ζητουμένων, αντίστροφο πρόβλημα, επέκταση, γενίκευση κτλ)

• Προβλήματα διαδικασίας που λύνονται με την εφαρμογή κάποιας στρατηγικής

• Προβλήματα της καθημερινής ζωής (real life problems)– Μαθηματική μοντελοποίηση της πραγματικότητας – Κατάστημα τάξης – Τιμοκατάλογος

• Ανοιχτά προβλήματα (open-ended problems)• Προβλήματα με πολλούς τρόπους λύσης

Επίλυση προβλήματος Αποφυγή Διδακτικού Συμβολαίου

Επίλυση προβλήματος Αποφυγή Διδακτικού Συμβολαίου

• «Ο κύριος Κώστας, ο χασάπης, είχε 26 κιλά κρέας στο κρεοπωλείο του και παράγγειλε ακόμα 10 κιλά. Πόσο κρέας έχει τώρα;»

• Σχόλιο: Το κρέας που έχει παραγγείλει δε θα φτάσει έγκαιρα στο κρεοπωλείο και όταν φτάσει μερικά από τα 26 κιλά θα έχουν ήδη πωληθεί.

41Δρ Μύρια Σιακαλλή

Προβλήματα που απαιτούν μαθηματική μοντελοποίηση της πραγματικότητας

Προβλήματα που απαιτούν μαθηματική μοντελοποίηση της πραγματικότητας

42

• «Ο Κώστας και ο Γιάννης θα κάνουν κοινό πάρτι. Ο Κώστας έχει 5 φίλους και ο Γιάννης έχει 6 φίλους. Προσκαλούν όλους τους φίλους τους. Όλοι οι φίλοι είναι στο πάρτι. Πόσοι φίλοι είναι στο πάρτι;»

• Αναμενόμενη μη-ρεαλιστική απάντηση: – 5+6 = 11 Οι μαθητές θεωρούν δεδομένο ότι ο

Κώστας και ο Γιάννης δεν έχουν κοινούς φίλους.

• Ρεαλιστικές απαντήσεις:– Δε γνωρίζω γιατί ο Κώστας και ο Γιάννης ίσως

έχουν κοινούς φίλους.– Πρέπει να συμπεριλάβω τον Κώστα και τον

Γιάννη;

Επίλυση Προβλήματος Ανοιχτά προβλήματα

Επίλυση Προβλήματος Ανοιχτά προβλήματα

• Προβλήματα με περισσότερες από μία σωστές λύσεις.

• Προβλήματα όπου η σωστή απάντηση μπορεί να βρεθεί με περισσότερο από έναν τρόπους.

43

Ανοικτού τύπου προβλήματα Ανοικτού τύπου προβλήματα• Πόσα κέρματα των 5 σεντ χρειάζονται για να έχουμε

45 σεντ ;

44

Με ποιο τρόπο τροποποιήσαμε το αρχικό πρόβλημα για να δημιουργήσουμε νέα, ποιο ανοικτά προβλήματα; (αλλαγή δεδομένων, ζητούμενων, περιορισμών)

Με ποιο τρόπο τροποποιήσαμε το αρχικό πρόβλημα για να δημιουργήσουμε νέα, ποιο ανοικτά προβλήματα; (αλλαγή δεδομένων, ζητούμενων, περιορισμών)

Κρατώ 45 σεντ. Πόσα κέρματα έχω; Κρατώ μερικά κέρματα των 5 σ. Πόσα χρήματα είναι δυνατό να έχω; Έχω πέντε κέρματα. Τρία από αυτά είναι τα ίδια. Πόσα χρήματα είναι δυνατό να έχω; Έχω 5 κέρματα. Πόσα χρήματα μπορεί να κρατώ; Ποια είναι η μικρότερη/μεγαλύτερη γραμμή που μπορεί να γίνει με 5 κέρματα;

Κατασκευή / διατύπωση μαθηματικού προβλήματος

Κατασκευή / διατύπωση μαθηματικού προβλήματος

• Είναι πιο σημαντικό να διατυπώνουμε προβλήματα, παρά να λύνουμε προβλήματα.

(Χρίστου, 2004, Silver, 1996)

• Είναι πιο σημαντικό να διατυπώνουμε προβλήματα, παρά να λύνουμε προβλήματα.

(Χρίστου, 2004, Silver, 1996)

45

• Η διατύπωση προβλημάτων προάγει ένα πνεύμα περιέργειας και παράγει πιο αποκλίνουσα και εύκαμπτη σκέψη.

(English, 1997)

• Η διατύπωση προβλημάτων προάγει ένα πνεύμα περιέργειας και παράγει πιο αποκλίνουσα και εύκαμπτη σκέψη.

(English, 1997)

Διατύπωση προβλήματος με βάση δοσμένο πρόβλημα


• Αλλαγή της γεωμετρίας του προβλήματος– Τι θα ίσχυε, αν εξετάζαμε κύβους αντί τετράγωνα;

• Αλλαγή των αριθμών του προβλήματος – Τι θα συνέβαινε αν μια μεταβλητή μπορούσε να

πάρει και κλασματικές τιμές; • Αλλαγή μιας μαθηματικής πράξης• Αφαίρεση ή πρόσθεση περιορισμών– Αν δύο από τα τρία παιδιά, κρατούσαν ακριβώς το

ίδιο ποσό χρημάτων…– Αν το τρίγωνο δεν ήταν ορθογώνιο …

46



• Τροποποίηση της ερώτησης του προβλήματος– Ποια είναι η ελάχιστη τιμή (αν π.χ. αναφερόμαστε

στο εμβαδόν ενός ορθογωνίου με σταθερή περίμετρο)

– Γενίκευση του προβλήματος (Ισχύει πάντοτε;) – Ποιο είναι το αντίστροφο πρόβλημα;

• Κατασκευή προβλήματος από εικόνα, τιμοκατάλογο, μαθηματική πρόταση

• Κατασκευή προβλημάτων με βάση μαθηματικές καταστάσεις και καταστάσεις από τον πραγματικό κόσμο.

47

Διατύπωση προβλημάτων από τους μαθητές με βάση τιμοκατάλογο

Διατύπωση προβλημάτων από τους μαθητές με βάση τιμοκατάλογο

€24€ 5 €4

€6€7

€18€3

Κατάστημα παιχνιδιών

Αναμενόμενα προβλήματαΑναμενόμενα προβλήματα

49

Γεωργία Παπανικολάου - Ζεβεδαίου

•Τι μπορώ να αγοράσω με τα χρήματα που έχω;•Πόσα ευρώ χρειάζομαι ακόμα για να αγοράσω το τρενάκι;•Η αξία του τρένου είναι ισοδύναμη με το άθροισμα της αξίας τεσσάρων άλλων παιχνιδιών. Ποια είναι αυτά; •Το ποδήλατο έχει τετραπλάσια αξία από ένα παιχνίδι του καταστήματος. Ποιο είναι αυτό;•Μπορώ να αγοράσω μία μπάλα, ένα αρκουδάκι και ένα αλογάκι με τα χρήματα που έχω; Γιατί;•Ο Γιώργος αγόρασε ένα ποδήλατο. Η Λένα αγόρασε μία κούκλα και ένα τρενάκι. Ποιος πλήρωσε τα περισσότερα και πόσα;

Βρες όλα τα τετράπλευρα που μπορούν να κατασκευαστούν, ενώνοντας 4 οποιαδήποτε από τα 8 σημεία που βρίσκονται πάνω στην περιφέρεια ενός κύκλου και που το καθένα απέχει ίση απόσταση από το άλλο.

50

Προσπάθησε να κατασκευάσεις όσα πιο πολλά προβλήματα μπορείς, τροποποιώντας το πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο κάθε φορά.

Προσπάθησε να κατασκευάσεις όσα πιο πολλά προβλήματα μπορείς, τροποποιώντας το πρόβλημα με διαφορετικό τρόπο κάθε φορά.

…………………………………………………………………………………………...………………...

…………………………………………………………………………………………...………………...

….…..………….……………………………………………………………………...................................

Jamski, J. (1990) Mathematical Challenges for the middle grades ( From the Arithmetic Teacher Calendar Problems). NCTM, Reston, Virginia. Jamski, J. (1990) Mathematical Challenges for the middle grades ( From the Arithmetic Teacher Calendar Problems). NCTM, Reston, Virginia.

Κατασκευή προβλήματοςΚατασκευή προβλήματος

Κάποιες λύσεις:

51

Κάποιες λύσεις:

52

Μεθοδολογικές προσεγγίσειςΜεθοδολογικές προσεγγίσεις

Διαθεματική προσέγγιση (Σύνδεση μαθηματικών με έννοιες άλλων μαθημάτων/ γνωστικών αντικειμένων•Τάξη Δ΄, Ενότητα 3 σ. 44, Ενότητα 3 σ. 78, Ενότητα 4, σ. 89•Έρευνες και στατιστική (Τάξη Γ΄, Ενότητα 1, σ.σ.14-15)•Κατασκευές (συμμετρία, γεωμετρία, μέτρηση) •Ε΄ τάξη : Ενότητα για τηλεόραση•Εφαρμογή μαθηματικής γνώσης στη γυμναστική (μέτρηση πόντων, 4 πράξεις, χωρισμός σε ομάδες, δημιουργία σχημάτων, αυξομείωση περιμέτρου και εμβαδού, χρονομέτρηση κτλ)

53

• Εκδρομή– εισιτήρια, μέρες και ώρες

λειτουργίας– τιμές για κάθε παιχνίδι– παιχνίδια και γεωμετρικές

έννοιες (τροχός) Τάξη Γ΄, Ενότητα 1, σ.24 Τάξη Δ΄, Ενότητα 3, σ.80

• Διοργάνωση γιορτής– τιμές από την

υπεραγορά– υπολογισμός εξόδων– συμφέρουσες

επιλογές

Μικρές εργασίες Πρότζεκτ (Πάρτι, εκδρομή , Το νερό στη ζωή μας κτλ.)

Μεθοδολογικές προσεγγίσειςΜεθοδολογικές προσεγγίσεις

ΠΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΑΝΑΠΤΥΞΟΥΜΕ ΤΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ


– Σχεδιασμός της διδασκαλίας ώστε να περιλαμβάνει ένα ευρύ φάσμα διδακτικών και μαθησιακών στυλ

– Ενεργός συμμετοχή των μαθητών στη διαδικασία διδασκαλίας και μάθησης

– Ενθάρρυνση των μαθητών να αυτοσχεδιάζουν, να πειραματίζονται και να σκέφτονται ασυνήθιστα/πρωτότυπα, από μια νέα/διαφορετική οπτική, όταν αποτυγχάνουν να λύσουν ένα πρόβλημα με το συνηθισμένο τρόπο

– Έμφαση στη δημιουργική σκέψη– Διδασκαλία και μάθηση μέσα από βιωματικές

καταστάσεις 55



– Παροχή χρόνου για δημιουργική σκέψη– Επιβράβευση δημιουργικότητας– Παρώθηση των μαθητών να αμφισβητούν, να

συσχετίζουν, να διαβλέπουν πιθανότητες, να ερευνούν– Τα λάθη είναι επιτρεπτά και αξιοποιούνται ως ευκαιρίες

για μάθηση– Απουσία επίκρισης : Η αγωνία και το άγχος

υπερκαλύπτουν τη δυνατότητά μας να σκεφτόμαστε δημιουργικά και να αναζητούμε εναλλακτικές λύσεις

– Χρήση ανοικτών ερωτήσεων όπως «τι θα συμβεί αν…» και «πώς θα μπορούσατε να»

– Ο δάσκαλος αποτελεί μοντέλο δημιουργικότητας56

Διδάσκοντας Μαθηματικά με Δημιουργικότητα

Documents

Transcript of Διδάσκοντας Μαθηματικά με Δημιουργικότητα