Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα -...

Ε.Ι. Σαπουντζάκης

Καθηγητής ΕΜΠ

1

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Σχολή Πολιτικών Μηχανικών

Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων

Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων – Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα

1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων

u x,t x u t

2


1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων

- Τα παραπάνω συστήματα ονομάζονται γενικευμένα μονβάθμια γιατί η μετατόπιση σε κάθε

σημείο προσδιορίζεται συναρτήσει μιας γενικευμένης συντεταγμένης u(t) και μέσω μιας

συνάρτησης σχήματος ψ(x). Θα αποδειχθεί ότι η εξίσωση κίνησης για τέτοια συστήματα

δίδεται ως:

m u c u k u p t

- Τα μεγέθη m*, c*, k*, p*(t), ονομάζονται γενικευμένη μάζα, απόσβεση, δυσκαμψία και φορτίο

αντίστοιχα.Τα γενικευμένα αυτά μεγέθη σχετίζονται με τη γενικευμένη συντεταγμένη που

επιλέγεται για την περιγραφή της κίνησης.

- Η παραπάνω εξίσωση έχει την ίδια μορφή με την τυπική εξίσωση κίνησης του μονοβαθμίου

συστήματος. Μέσω του συσχετισμού των μετατοπίσεων και της γενικευμένης συντεταγμένης

με τη συνάρτηση σχήματος, είναι γνωστές οι μετατοπίσεις όλου του συστήματος

- Η συνάρτηση σχήματος επιλέγεται και προσδιορίζει μια προσέγγιση της πραγματικής

παραμόρφωσης.

3



2. Φορείς με άκαμπτα στοιχεία

- Ως παράδειγμα επιλύεται ο φορέας του σχήματος:

- Η μάζα m1 του τμήματος ΟΒ θεωρείται

κατανεμημένη σε όλο το μήκος, τα υπόλοιπα

τμήματα της δοκού έχουν μηδενική μάζα, ενώ

στο τμήμα BC συνδέεται κυκλική πλάκα μάζας

m2.

- Οι μετατοπίσεις θεωρούνται μικρές.

- Θα προσδιοριστούν η συχνότητα ταλάντωσης, ο

λόγος απόσβεσης, η απόκριση του συστήματος

χωρίς απόσβεση όταν αυτό υποβάλλεται σε

αιφνιδίως επιβαλλόμενο φορτίο

4




1)Προσδιορισμός της συνάρτησης

σχήματος: η δοκός περιστρέφεται περί

το σημείο O, οπότε θεωρώντας μικρές

μετατοπίσεις το παραμορφωμένο σχήμα

του φορέα προκύπτει, οπώς φαίνεται στο

σχήμα

5




2)Διάγραμμα ελευθέρου σώματος και

εξισώσεις ισορροπίας: Εισάγονται οι

δυνάμεις ελατηρίου, αδράνειας και

απόσβεσης. Οι εξισώσεις ισορροπίας θα

προκύψουν εφαρμόζοντας την ισορροπία

των ροπών ως προς το σημείο Ο.

6




1 1 2 2 2

L L L L L L 3L 3L LI m I m L m c k p t

2 2 4 4 2 2 4 4 2

όπου:

22 2

1 1 2 2 2I m L 12 , I m L 8 2 m L 128

Εκτελώντας τις πράξεις η εξίσωση ισορροπίας προκύπτει ως:

* * * *m c k p t Όπου:

2 2* 2 * * *1

2

m 137 cL 9kL Lm m L , c , k , p t p t

3 128 4 16 2

7




k c,

m 2m

3)Προσδιορισμός φυσικής συχνότητας και λόγου απόσβεσης:

4)Επίλυση της εξίσωσης κίνησης:

0

0

p t L p Lp t p

2 2

0 0p 8 p

t 1 cos t 1 cos t9kLk

8




u x,t x t

5)Προσδιορισμός του διανύσματος της μετατόπισης:

6)Συμπεριλαμβάνοντας και την επιρροή της αξονικής δύναμης:

m c k QL p t

- Η θλιπτική δύναμη μειώνει τη δυσκαμψία του φορέα και συνεπώς τη φυσική συχνότητα

ταλάντωσης. Οι τιμές τους μηδενίζονται για τιμή αξονικής δύναμης:

cr

k 9kLQ

L 16Κρίσιμο φορτίο λυγισμού του φορέα

9



3.1 Συστήματα με διανεμημένη μάζα και δυσκαμψία

- Το παρακάτω σύστημα έχει κατανεμημένη μάζα m(x) και δυσκαμψία ΕΙ(x) και υποβάλλεται σε

εδαφική κίνηση ug(t).

10



3.1 Σύστήματα με διανεμημένη μάζα και δυσκαμψία

- Η συνολική μετατόπιση του φορέα γράφεται ως:

,gu x,t u x,t u t u x,t x u t

- Η συνάρτηση σχήματος ψ(x) πρέπει να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες του

προβλήματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ισχύει:

0 0, 0 0

- Ως συνάρτηση σχήματος μπορεί να επιλεγεί η εξίσωση της ελαστικής γραμμής της

ομοιόμορφης δοκού με δυσκαμψία ΕΙ υπό στατική μοναδιαία φόρτιση στην κορυφή

κανονικοποιημένη ως προς τη μετακίνηση κορυφής, η οποία δίδεται από τη σχέση:

2 3

3

3Lx x3EIx

6EIL

11



3.1 Σύστήματα με διανεμημένη μάζα και δυσκαμψία

- Αν επιλέξουμε ως γενικευμένη συντεταγμένη τη μετακίνηση στην κορυφή, τότε ισχύει:

2 3

2 3

3 1, ,

2 2

x xu x t x u t x

L L

- Η παραπάνω συνάρτηση ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες. Μπορεί να γίνει οποιαδήποτε

λογική επιλογή συνάρτησης σχήματος, όπως:

2

2, 1 cos

2

x xx x

LL

12



3.2 Εξισώσεις κίνησης

, , , , , M x t EI x u x t k x t u x t

- Εφαρμόζεται η αρχή των δυνατών έργων:

0 0 0

, , , , ,L L

W

Lg

U K

U K W

M x t k x t dx m x u x t u x t dx u t m x u x t dx

- όπου η έκφραση της καμπτικής ροπής και της καμπυλότητας δίνονται ως:

13


- όπου:

U: Ελαστική ενέργεια που οφείλεται στο έργο παραμορφώσεων

Κ: Κινητική ενέργεια

W: Έργο εξωτερικών δράσεων



- Σύμφωνα με τα παραπάνω, τα έργα των εσωτερικών και εξωτερικών δυνάμεων μπορούν να

εκφραστούν συναρτήσει της γενικευμένης συντεταγμένης και της συνάρτησης σχήματος με

τις παρακάτω σχέσεις:

2

0

2

0

0

L

L

Lg

U u u EI x x dx

K u u m x x dx

W u u t m x x dx

, , , u x t x u t u x t x u t

- Οι δυνατές μετατοπίσεις γράφονται ως:

, , , u x t x u t u x t x u t

- Συνεπώς οι εκφράσεις των επιμέρους δυνατών έργων γράφονται ως:

14




- Τελικά η αρχή των δυνατών έργων δίνει τις παρακάτω εκφράσεις:

2

0

2

0

0

L

L

L

m m x x dx

k EI x x dx

L m x x dx

0 gu m u k u L u t

- όπου

15




- Η εξίσωση πρέπει να ισχύει για οποιαδήποτε δυνατή μεταβολή. Συνεπώς πρέπει να ισχύει:

gm u k u L u t

- Διαιρώντας με τη γενικευμένη μάζα έχουμε:

2g

Lu u u t

m

- Στην παραπάνω εξίσωση μπορούμε να συμπεριλάβουμε και απόσβεση με υπόθεση

ιδιομορφικού λόγου απόσβεσης ξ.

16



3.3 Ανάλυση της απόκρισης

- Χρησιμοποιώντας τη γενικευμένη μάζα και δυσκαμψία, η φυσική συχνότητα του φορέα

μπορεί να προσδιοριστεί ως:

2

2 02

0

L

L

EI x x dxm

k m x x dx

17


- Η γενικευμένη συντεταγμένη u(t) μπορεί να προσδιοριστεί με τον τρόπο που έχει

παρουσιαστεί για τα μονοβάθμια συστήματα και στη συνέχεια η μετατόπιση μπορεί

να προσδιοριστεί σε όλο το μήκος της δοκού. u x,t


3.3 Ανάλυση της απόκρισης

, , sf x t EI x u x t EI x x u t

- Οι εν λόγω εξωτερικές δυνάμεις, οι οποίες εξαρτώνται από την παράγωγο της συνάρτησης

σχήματος, θα οδηγήσουν σε εσωτερικές δυνάμεις οι οποίες θα είναι λιγότερο ακριβείς από

τις μετατοπίσεις, λόγω του ότι οι παράγωγοι της (προσεγγιστικής) συνάρτησης σχήματος

δίνουν λιγότερο ακριβή προσέγγιση των πραγματικών κατανομών. Μια πιο ακριβής

προσέγγιση των ελαστικών δυνάμεων προκύπτει ως

2, sf x t m x x u t

18


- Το επόμενο βήμα είναι να υπολογιστούν οι εσωτερικές δυνάμεις (καμπτικές ροπές και

διατμητικές δυνάμεις) που σχετίζονται με τις μετατοπίσεις . Από την κλασική θεωρία

δοκού θα προκύψει ότι: u x,t


3.4 Μέγιστη σεισμική απόκριση

- Κατά την ανάλυση υπό σεισμική διέγερση μας ενδιαφέρουν οι οριακές τιμές των ελαστικών

δυνάμεων που καταπονούν την κατασκευή. Οι οριακή τιμή της μετατόπισης μπορεί να

προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας το φάσμα απόκρισης μετακινήσεων ως:

max pdL

u Sm

όπου Spd είναι η μετατόπιση του φάσματος σχεδιασμού για ιδιοπερίοδο Τ=2π/ω και λόγο

απόσβεσης ξ. Αντικαθιστώντας τη μέγιστη απόκριση umax στη σχέση της συνολικής

μετατόπισης και στη σχέση των ελαστικών δυνάμεων, προκύπτουν οι παρακάτω οριακές

τιμές

2

max max,pd s pd

Lu x x S f x L x S

m

19



3.4 Μέγιστη σεισμική απόκριση

- Οι εσωτερικές δυνάμεις (καμπτικές ροπές και τέμνουσες δυνάμεις) προκύπτουν από στατική

επίλυση της δοκού που υπόκειται στις δυνάμεις fmax(x). Συνεπώς η Τέμνουσα δύναμη και η

Καμπτική ροπή στη βάση, δίνονται ως :

2max max

2max max

L Lpdx x

L Lpdx x

Q x f d L m S m d

M x x f d L m S x m d

- όπου

max max max max0 , 0b bpa pa

L LQ Q L S M M L S

m m

0 0

, L L

L m x x dx L xm x x dx

20



3.4 Διέγερση από εξωτερική δύναμη

- Στην περίπτωση που η εξωτερική διέγερση αποτελείται από δύναμη p(t) και όχι από κίνηση

του εδάφους ug(t), οι εξισώσεις που προέκυψαν παραπάνω, τροποποιούνται ως:

0

, , L

m u k u p t p t p x t x dx

- Οι αντίστοιχες ελαστικές δυνάμεις προκύπτουν ως:

, , , sf x t M x t EI x u x t

0 0

2

0 0

, , , , , ,

,

L Ls s

L Ls

f x t u x t dx M x t k x t dx f x t έ ά

u f x t x dx u u EI x x dx

- Εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων έχουμε:

21



3.4 Διέγερση από εξωτερική δύναμη

- Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί ως:

- Θέτοντας την ποσότητα της αγκύλης ίση με μηδέν ισχύει:

2, sf x t m x x u t

2

0, 0

L

sf x t m x x u t x dx

22



4. Σύστημα συγκεντρωμένων μαζών: Διατμητικό κτίριο

- Ένα παράδειγμα πολυβάθμιου συστήματος που μπορεί να αντιμετωπιστεί ως γενικευμένο

μονοβάθμιο σύστημα είναι το παρακάτω:

23




- Το παραπάνω κτίριο έχει Ν βαθμούς ελευθερίας. Στην παρούσα ενότητα η απόσβεση δεν

λαμβάνεται υπόψη. Υποθέτουμε ότι οι κινήσεις κάθε ορόφου δίδονται από τη σχέση:

, 1,2, , j ju t u t j N

- Σε μητρωική μορφή η παραπάνω εξίσωση γράφεται ως:

t u tu ψ

- Όπου το ψ είναι ένα υποθετικό διάνυσμα σχήματος, που αντιπροσωπεύει την

παραμόρφωση του κτιρίου.

- Η συνολική μετατόπιση του φορέα γράφεται ως:

, , j j gu x t u x t u t

24




- Στο συγκεκριμένο «διατμητικό κτίριο» η τέμνουσα του κάθε ορόφου δίδεται από τη σχέση:

1 j j j j j jQ k Q k u u

- Η δυσκαμψία του κάθε ορόφου δίδεται ως:

3

12 j

columns

EIk

h

- Οι αδρανειακές δυνάμεις δίδονται ως:

Ij j j gf m u t u t

25




- Για την εξαγωγή της εξίσωσης ισορροπίας χρησιμοποιείται η αρχή των δυνατών έργων:

- Οι μετακινήσεις εκφράζονται συναρτήσει της γενικευμένης συντεταγμένης:

j ju u u u ψ

26


- όπου:

U: Ελαστική ενέργεια που οφείλεται στο έργο παραμορφώσεων

Κ: Κινητική ενέργεια

W: Έργο εξωτερικών δράσεων

U K W

11 1 1

N N N

j j j j j j g j jj j j

U Q t u u K m u t u W u t m u



- Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις των μετατοπίσεων, οι εκφράσεις του εσωτερικού και

εξωτερικού έργου γράφονται ως:

2 2

11 1 1

, ,

N N N

j j j j j g j jj j j

U u u k K u u m W u u t m

- Εξισώνοντας τις εκφράσεις των έργων, προκύπτει η παρακάτω εξίσωση:

gm u k u L u t

22

11 1 1

, ,

N N N

j j j j j j jj j j

m m k k L m

27




- Όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις ισχύει:

2

11

2

1

N

j j jj

N

j jj

kk

mm

- Για να υπολογίσουμε τις μέγιστες μετατοπίσεις, εργαζόμαστε και πάλι ως εξής:

max max , 1,2, ,j j pd ju u L m S j N

28




- Οι ισοδύναμες στατικές δυνάμεις, που σχετίζονται με τις κινήσεις των ορόφων προκύπουν

ως:

2max , 1,2, ,j j j pdf L m m S j N

- Στατική ανάλυση με τις παραπάνω δυνάμεις, δίδει την τέμνουσα δύναμη και τη ροπή

ανατροπής στον i όροφο:

max max max max1 1

,

N N

i j i j i jj j

Q f M h h f

- H τέμνουσα δύναμη και η ροπή ανατροπής ως προς τη βάση του κτιρίου δίδονται ως:

2 2max 0 max 0

1 1

1 1

,

,

N N

b j pd b j j pdj j

n n

j j j j ji i

Q f L L m S M h f L L m S

L m L h m

29


Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα -...

Documents

Transcript of Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα -...