Λυσεις Mαθηματικών Α Ομαδας
4
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Αγαπητοί μαθητές μας. Σας δίνουμε κάποιες προτεινόμενες ενδεικτικές λύσεις με δύο παρατηρήσεις: 1. Οποιαδήποτε άλλη λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 2. Σε αρκετά ερωτήματα θα δείτε ότι παρουσιάζονται περισσότεροι από ένας τρόποι επίλυσης. Η σειρά προτεραιότητας αφορά στις συντομότερες λύσεις μέσω των οποίων κερδίζεται πολύτιμος χρόνος. ΘΕΜΑ 1 ο Α) Θεωρία (σελίδα 83 σχολικού βιβλίου – Μαθηματικά Κατεύθυνσης) Β) 1-Σ, 2-Λ, 3-Σ, 4-Λ. Γ) 1-δ, 2-γ ΘΕΜΑ 2 Α) τρόπος : Μπορούμε κατευθείαν να αποδείξουμε ότι είναι ρόμβος υπολογίζοντας τα μήκη των τεσσάρων πλευρών και δείχνοντας ότι είναι ίσα μεταξύ τους, δηλαδή, ότι: 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 3 3 3 5 3 0 5 1 5 . Β) τρόπος : Για να είναι παραλληλόγραμμο: α) τρόπος : Για να είναι το ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο αρκεί και πρέπει : ΑΒ ΔΓ (0, 5 ) (0, 5 ) που ισχύει. β) τρόπος : Για να είναι το ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο αρκεί και πρέπει : Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΒΔ να έχουν κοινό μέσο. Το μέσο του ΒΔ είναι Κ 3 1 , 2 2 το οποίο είναι και μέσο του ΑΓ. γ) τρόπος : Για να είναι το ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο αρκεί και πρέπει: ΑΒ//ΔΓ και ΑΔ//ΒΓ . Οι ΑΒ και ΔΓ δεν έχουν συντελεστή αφού A B x x και Γ Δ x x , άρα είναι παράλληλες. Εύκολα βλέπουμε ότι : ΑΔ ΒΓ 4 λ λ 3 οπότε το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Για να είναι ρόμβος : α) τρόπος : Αφού το ΑΒ ΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, για να είναι ρόμβος αρκεί οι διαγώνιοι να είναι κάθετοι. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους : 1) ΑΓ ΒΔ 0 (3, 1 ) (3,9) 0... που ισχύει ή 2) ΑΓ ΒΔ 1 9 λ .λ 1 1 3 3 … που ισχύει. β) τρόπος : Αφού το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, για να είναι ρόμβος αρκεί δύο διαδοχικές πλευρές να είναι ίσες. (ΑΒ) 5 και (ΒΓ)= 9 16 5 , άρα (AB) (ΒΓ) οπότε το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. 2) α) τρόπος : Α Β (0, 5) , Α Γ (3, 1 ) . Προφανώς το εμβαδόν Ε του ΑΒΓΔ θα είναι 1 Ε 2 ΑΒΓ 2 det( AB, ΑΓ) 15 2
description
Λυσεις Mαθηματικών Α Ομαδας
Transcript of Λυσεις Mαθηματικών Α Ομαδας
-
.
:
1. . 2. .
.
1
) ( 83 )
) 1-, 2-, 3-, 4-.
) 1-, 2-
2 ) :
, , :
2 2 2 22 2 24 1 4 3 3 3 5 3 0 5 1 5 .
) :
:
) : : (0, 5) (0, 5)
.
) : :
. 3 1
,2 2
.
) : : // //.
A Bx x x x , .
: 4
3
.
:
) : ,
. :
1) 0 (3, 1) (3,9) 0...
2) 1 9
. 1 13 3
.
) : ,
.
() 5 ()= 9 16 5 , (AB) () .
2) ) : (0, 5), (3, 1) .
1
2 2 det(AB,) 152
-
) : ()()
152
2 2() 3 1 10
2 2() 3 9 90 .
3) 2x 3x 0 x 0 x 3 , ,
0,1() : x 0
0, 4
3,0() : x 3
3,5
.
4) B .
.
() () 5 () 10 . :
() () () 15 (10 10)
2 2 2 2
15(10 10) 10 10
90 6
3
1) i) (1) 0 Horner 2 2(x) (x 1)(x 4x 4) (x 1)(x 2) .
2(x) 0 (x 1)(x 2) 0 x 2 [1, )
( ) :
(x) Horner : 3 2 3 2 2(x) x 3x 4 x 1 3(x 1) (x 1)(x x 1 3x 3) 2(x 1)(x 2)
ii) , :
2 , 0 2
3 2
2
4 x 3x 2, 0 ...x 3x 4 0, x 0
x x x
.
(x) x 1
2) i) 1 2 20(1) ... . 20S .
(2 19 (20 1)( 2))
(1) 20 02
ii) : () x () y 89 0
(x) (x). (x) 0 x 1 x 2 .
1 (x). 2 (x).
: 20 19 2 19 18
20 19 2 20 19 2(x) x x ... x 19x x( x x ... x 19) .
2 (x) 19 18
20 19 2P(x) x x ... x 19
2 1 19 .
(x) (x) 1.
, , () x () y 89 0 1 .
-
4
1) : 2 2 2 2 2 2 2x y 2 x 2 y 0 x y 2 x 2 y 2 0 2 2 2(x ) (y ) .
2 0 0 (, )
: 2 2, 2, . 2 2 2 2 2 4 8 4 4 0 0 (, )
.
2) i) 0 0(x , y ) x x 0y ,
y y 0x .
0 0x y . (0, ) y y
C .
ii) 1( ) : y x (, )
.
iii) : 2
2 d(, )
2
.
: 2 2 2(x ) (y )
y x 2
.
, 2 2 2 2 2(x ) (x 2 ) ...2x 2(2 2)x (3 2 2) 0 0 .
: 2 2 2 2 2 2 2 4(2 2) 8(3 2 2) ... 24 16 2 24 16 2 0 .
iv) ) , :
( 0 2
y )
: 2 .
0 0 90 45 . .
: 21 1 1 2det(,) () ()()()
2 2 2 2
.
-
: .
2 My x 2 , M M(x , x 2 ).
M M( x , x 2 )( , )=0 2 2 2
M M x x 2 0
2 2
M2 2x 2 0 M(2 2)
x2
M
(2 2) y ...
2
2 2
( ,0) , , 2 2
2
2det(,) ...
2 .
: : 2 2 2(x ) (y )
y x 2
.
2 22x 2(2 2)x (3 2 2) 0 M(2 2)
x2
M
(2 2) y ...
2
.
2 2 ( ,0), ,
2 2
2
2det(,) ...
2 .
) () 21
() () 2
1
det(, )2
. 2 2 02 2 2 2
14 4 4
.
![ΚΡΙΑΡΑ[Α]-ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΟ ΛΕΞΙΚΟ [Α].pdf](https://static.fdocument.org/doc/165x107/563db810550346aa9a9036d2/-pdf563db810550346aa9a9036d2.jpg)
![ΦΩΤΙΟΥ ΛΕΞΙΚΟ Α'[Α-Ο].pdf](https://static.fdocument.org/doc/165x107/577c7d891a28abe0549f27b0/-pdf577c7d891a28abe0549f27b0.jpg)
