Υδροδυναμική• Περιγραφή της ροής• Μορφές ροών• Είδη ροών• Εξίσωση συνέχειας• Εξίσωση ενέργειας• Bernoulli

Υδροδυναμική - γενικά• Ρευστά σε κίνηση• Τμήματα με διαφορετικές ταχύτητες και

επιταχύνσεις• Αλλαγή μορφής• Όπως στην Δυναμική, η μάζα αντιστέκεται

στην επιτάχυνση• Μελέτη της δυναμικής και της κινηματικής

κατάστασης – τάσεις – δυνάμεις - παραμορφώσεις

Περιγραφή της ροής• Κάθε στοιχειώδης όγκος έχει κάθε χρονική

στιγμή ορισμένη ταχύτητα – θέση – μέγεθος• Ροϊκό στοιχείο ds σε χρόνο dt.• Ροϊκές γραμμές – ροϊκά νήματα ή φλέβες• Μηχανική του συνεχούς μέσου: άπειρα

στοιχεία με κινηματικά και δυναμικά ροϊκά μεγέθη.

• Η θέση του στοιχείου καθορίζεται από την επιβατική ακτίνα.

Ταχύτητα του στοιχείου: W = W(r , t)

Μόνιμη ροή: W = W(r)

• Euler (ροϊκή κατάσταση σε σημείο στον t)

• Lagrange (παρακολούθηση στοιχείου στον χώρο)

Περιγραφή της ροής 2

• Τροχιά (pathline) = γεωμετρικός τόπος θέσεων στοιχείου• Ροϊκές γραμμές (streamlines) = δίνουν τη μορφή της ροής σε

ορισμένο χρόνο και ταχύτητα εφαπτομένη σε κάθε σημείο τους• Τροχιές και ροϊκές γραμμές συμπίπτουν σε σταθερή στρωτή ροή

Περιγραφή της ροής 3

Περιγραφή της ροής 4

– Τροχιά (pathline) = γεωμετρικός τόπος θέσεων στοιχείου

– Ροϊκές γραμμές (streamlines) = δίνουν τη μορφή της ροής σε ορισμένο χρόνο και ταχύτητα εφαπτομένη σε κάθε σημείο τους

Περιγραφή της ροής - 5

– Τροχιά (pathline) = γεωμετρικός τόπος θέσεων στοιχείου– Ροϊκές γραμμές (streamlines) = δίνουν τη μορφή της ροής

σε ορισμένο χρόνο και ταχύτητα εφαπτομένη σε κάθε σημείο τους

Μορφές ροών - 1

Μορφές ροών - 2

Είδη ροών

Βασικές αρχές που διέπουντην κίνηση του ρευστού

• Μάζας - Συνέχειας• Ενέργειας• Ορμής

Εξίσωση συνέχειας ή αρχή διατήρησης της μάζας

Εξίσωση συνέχειας ή αρχή διατήρησης της μάζας

Εξίσωση ενέργειας κατά μήκος μιάς γραμμής ροής (κατά Euler)

Δυνάμεις πίεσηςστο στοιχείο βαρύτητας

τριβήςΕξισορρόπισήτους από: αδράνειας

pp dA p ds dAs

∂ζ φ− +Χ Χ Χη χ∂θ ψg dA ds cosρ αΧ Χ Χ Χ

-R (αμελητέα αρχικά)

m.b

Το πρισματικό στοιχείο κινείται κατά μήκος μιάς γραμμής ροής.

V cos g dA ds cosγ α ρ α=Χ Χ Χ Χ Χ Χ

m b V b d ds cosρ ρ α= = ΑΧ Χ Χ Χ Χ Χ

Εξίσωση ενέργειας: Επεξηγήσεις• p: πίεση• s: διάστημα• A: επιφάνεια• ρ: πυκνότητα• m: μάζα• b: επιτάχυνση

Η δύναμη βαρύτητας προέκυψε ως εξής:

Η δύναμη αδράνειας, η οποία είναι στην ουσία το αποτέλεσμα των υπολοίπων,Τροποποιείται ως εξής:

Εξίσωση ενέργειας: Αθροισμα δυνάμεων

p ds g ds cos ds bs

αρ

∂− + =Χ Χ Χ Χ Χ∂Χ

pp dA p ds dA g d ds cos R m bs

ρ α∂ζ φ− + + Α − =Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χη χ∂θ ψpp dA p dA ds dA g d ds cos d ds bs

ρ α ρ∂− − + Α = ΑΧ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ∂

Διαιρωντας δια ρ.dA :

Αντικαθιστώντας την επιτάχυνση :p dug ds cos ds

dtα

ρ∂− + =Χ Χ Χ Χ

( ) ( )2 22 122

ds dud u u du du ds d udt dtΧ= = =Χ Χ Χ ή Χ Χ

ds cos dzα = −Χ

Αλλά :

Και :

… οπότε η εξίσωση ενέργειας γίνεται …

221 0

2 2p p ud g z u g z ctρ ρζ φ− + + = + + =ή Χ ή Χη χθ ψ

( ) ( )2 21 1 02 2

dp dpg dz d u g dz d uρ ρ

− − = − − − =Χ ή Χ

2

2p uz ct

gγ+ + =

Χή, διαιρώντας διά g :

Εξίσωση ενέργειας - Bernoulli2

2p uz ct

gγ+ + =

Χ

Προϋποθέσεις:• ασυμπίεστο ρευστό, ρ σταθερό• μόνιμη ροή, u σταθερή στο ίδιο σημείο• δεν υπάρχει μίξη υγρών• ρευστό μη συνεκτικό, δηλαδή ροή μη-ιξώδης,

δηλαδή ιξώδη φαινόμενα αμελητέα

Εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli

p/γ: ύψος πίεσης, ενέργεια αποθηκευμένη λόγω της πίεσης

y ή z: ύψος θέσης, δυναμική ενέργεια

U2/2g: κινητική ενέργεια

Πιεζομετρικό ύψος p/γ+y, πιεζομετρική γραμμή

Γραμμή ενέργειας. Σε τέλεια υγρά, σταθερή

LL hHhgUpyH

gUpy +=+++==++ 2

222

21

211

1 22 γγ

Εφαρμογές BernoulliΗ πίεση p διαμορφώνεταιανάλογα με τις υπόλοιπες παραμέτρους, δηλαδήτην θέση κατά την κατακόρυφηέννοια z, και την ταχύτητα uη οποία επιβάλλεται απότην διατομή και την εξίσωσητης συνέχειας.Δηλαδή στο σχήμα,στη διατομή 2, η πίεση θα έπεφτε και άλλο εάν:• είχαμε «ανηφόρα»,• είχαμε ακόμα μικρότερη διατομή,• είχαμε απώλειες ενέργειας.

Εφαρμογές Bernoulli 2 – οι απώλειες, τοπικές και γραμμικές: παρατηρείστε την πορεία της γραμμής ενέργειας και της

πιεζομετρικής

Παράδειγμα Bernoulli: σωλήνας μεταβλητής διαμέτρου 1/2Δεδομένης της vA, να βρεθεί η διαφορά πιέσεων μεταξύ Α και Β. Αυξάνεται ή μειώνεται?

Απαραίτητες προϋποθέσεις: ίδια γραμμή ροής, σταθερή ροή, ασυμπιεστότητα, αμελητέες απώλειες τριβών ως προς τις δυνάμεις αδράνειας Εξίσωση Bernoulli μεταξύ των σημείων Α και Β:

Παράδειγμα Bernoulli: σωλήνας μεταβλητής διαμέτρου 2/2

Η παροχή είναι σταθερή και επομένως:

Εφαρμογές Bernoulli 3

Ασκηση