ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ

Έστω η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη .Τότε :α) η f αντιστρέφεται β) η έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f .Απόδειξη .α) Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Τότε για κάθε με άρα για κάθε με οπότε η f είναι 1-1 και συνεπώς αντιστρέφεται .

β) Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα θα δείξουμε ότι και η είναι γνησίως αύξουσα .

Έχουμε ότι : για κάθε υπάρχουν τέτοια ώστε Υποθέτουμε ότι η δεν είναι γνησίως αύξουσα . Τότε για κάποια με έχουμε

άτοπο . άρα η είναι γνησίως αύξουσα .

Γραφική παράσταση αντίστροφης συνάρτησης Από την ισοδυναμία έπεται ότι κάθε σημείο Μ(x,y) που βρίσκεται στη γραφική παράσταση της f αντιστοιχεί στο σημείο Μ’(y,x) που βρίσκεται στη γραφική παράσταση της και αντιστρόφως.Άρα τα σημεία Μ(x,y) και Μ’(y,x) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y=x .Οπότε οι γραφικές παραστάσεις των f και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x δηλαδή τη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ :Έστω οι συναρτήσεις f,g με πεδίο ορισμού το R .Α) Αν η συνάρτηση gof είναι 1-1 , να αποδείξετε ότι και η f είναι 1-1 .Β) Αν η συνάρτηση gof είναι 1-1 και η f έχει πεδίο τιμών το R , να αποδειχθεί ότι και η g είναι 1-1 .ΛΥΣΗ Α) Έστω με τότε επειδή η g είναι συνάρτηση έχουμε :

και επειδή η gof είναι 1-1 , από τη σχέση (1) έχουμε . Άρα η f είναι 1-1 .

Β) Έχουμε ότι η gof είναι 1-1 και ότι f(R)=R .Έστω με τότε επειδή f(R)=R , υπάρχουν κ,λ τέτοιοι ώστε

οπότε η σχέση γίνεται : (2) και επειδή η gof είναι 1-1 έχουμε

κ=λ άρα έχουμε f(κ)=f(λ) άρα η g είναι 1-1 .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το R , για την οποία υποθέτουμε ότι :

.Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1-1 .Β) Να βρείτε την Λύση Α) Έστω με τότε άρα :

. Άρα η f είναι 1-1 .

Β) Για να βρούμε την πρέπει να λύσουμε την εξίσωση ως προς x .

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Από τη σχέση έχουμε . Όμως δεν μπορούμε να πούμε ότι λύσαμε ην εξίσωση ως προς x και άρα .Οπότε εργαζόμαστε ως εξής :Έστω με τότε λόγω της υπόθεσης έχουμε Θεωρούμε τη συνάρτηση Έστω με άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R . Άρα η g είναι 1-1 στο R .

Α τρόπος Οπότε η σχέση είναι

Επομένως για κάθε υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε με άρα η f έχει σύνολο τιμών το R και Β τρόπος

έχουμε ότι άρα Επειδή και η αντιστρέφεται , έχουμε ότι και η f αντιστρέφεται με άρα

Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και

ΠΡΟΤΑΣΗ : Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα τότε οι εξισώσεις και είναι ισοδύναμες .

ΑΠΟΔΕΙΞΗΈστω ρίζα της εξίσωσης , τότε και Έστω Αν τότε άτοπο .Αν τότε άτοπο .Άρα άρα το είναι ρίζα της .

Έστω ότι το είναι ρίζα της , οπότε και άρα . Οπότε το είναι ρίζα της .

▪ Οπότε :Αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε τα κοινά σημεία των f και βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=x , οπότε για να βρω τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και λύνω την εξίσωση f(x)=x .

ΠΡΟΣΟΧΗ :Πρώτα πρέπει να δείξω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα, διότι αν έχουμε π.χ. τη

συνάρτηση η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο και τότε επειδή

οι γραφικές παραστάσεις των f και ταυτίζονται , δηλαδή έχουν άπειρα κοινά

σημεία και όχι μόνο αυτά που προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης f(x)=x .Π1:Τελικά συμπεραίνουμε ότι : η εξίσωση είναι ισοδύναμή με την f(x)=x όταν η συνάρτηση f δεν είναι ίση με την αντίστροφή της , δηλαδή εφόσον η f δεν είναι ενελικτική

ΓΕΝΙΚΑ Αν θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία της με την τότε :

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Α) Αν ξέρουμε τον τύπο της τότε λύνουμε το σύστημα

Β) Αν δεν ξέρουμε τον τύπο της , αλλά γνωρίζουμε ότι η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα , τότε επειδή οι έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία y=x , αν έχουν κοινά σημεία αυτά θα

είναι πάνω στην y=x . Οπότε το σύστημα είναι ισοδύναμο με το το οποίο και

λύνουμε .

Γ) Αν δεν ξέρουμε τον τύπο της ή η επίλυση της εξίσωσης , μας οδηγεί σε χρονοβόρες πράξεις τότε λύνουμε το σύστημα :

ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω συνάρτηση συνεχής και 1-1, όπου Α διάστημα . Να δειχθεί ότι η αντίστροφή της είναι συνεχής.ΑπόδειξηΈστω ψ0 . Υπάρχει χ0 Α τέτοιο ώστε: = ψ0 .Ισχύουν: και , με αφού η συνάρτηση είναι 1 – 1 . Έτσι, όταν τότε .Για κάθε x κοντά στο ισχύει οπότε και

Αν τότε σύμφωνα με τα παραπάνω: . Οπότε η συνάρτηση είναι συνεχής στο τυχαίο ψ0 , άρα είναι συνεχής στο .ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

ΠΡΟΤΑΣΗ 1Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη , τότε και η αντίστροφη συνάρτηση

είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας .Απόδειξη Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα . Τότε για οποιαδήποτε , με

υπάρχουν με Δηλαδή

Οπότε έχουμε

Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο .ΠΡΟΤΑΣΗ 2 Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και .

Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β) τότε .Απόδειξη Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα είναι και 1-1 οπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση

Γνωρίζουμε ότι οπότε

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Αν άρα και η είναι γνησίως αύξουσα .Η είναι συνεχής στο (α,β) και επειδή οι είναι συμμετρικές ως προς την y=x οπότε και η

είναι συνεχής στο (γ,δ).

Οπότε Όμοια αν η f είναι γνησίως φθίνουσα .

ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 3Έστω συνάρτηση συνεχής και 1-1, όπου Α διάστημα . Να δειχθεί ότι η αντίστροφή της είναι συνεχής.ΑπόδειξηΈστω ψ0 . Υπάρχει χ0 Α τέτοιο ώστε: = ψ0 .Ισχύουν: και , με αφού η συνάρτηση είναι 1 – 1 . Έτσι, όταν τότε .Για κάθε x κοντά στο ισχύει οπότε και

Αν τότε σύμφωνα με τα παραπάνω: . Οπότε η συνάρτηση είναι συνεχής στο τυχαίο ψ0 , άρα είναι συνεχής στο .

ΠΡΟΣΟΧΗ : Δεν υπάρχει το Απόδειξη .Έστω ότι υπάρχει το . Τότε επειδή έχουμε οπότε

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

θέτω άρα όταν τότε άρα

άρα οπότε

Θέτουμε άρα , όταν τότε

οπότε άρα

άτοπο . Άρα δεν

υπάρχει το

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ : Δεν υπάρχουν τα όρια :

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ Αν η f είναι ορισμένη , συνεχής και 1-1 συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο

με , τότε η παραγωγίζεται στο και ισχύει : .

ΑΠΟΔΕΙΞΗΗ f είναι 1-1 οπότε είναι αντιστρέψιμη στο Δ . Έστω . Τότε

(1) αφού .

Έστω ότι τότε Η είναι παραγωγίσιμη στο άρα και συνεχής στο , οπότε :

οπότε :

▪ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο διάστημα Δ για την οποία ορίζεται η

οπότε αν τότε υπάρχει τέτοιο ώστε . Αν τότε :

οπότε .▪ Έστω μια 1-1 συνάρτηση f και ε: η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο της με , τότε επειδή οι είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x , το ίδιο συμβαίνει και για τις εφαπτομένες των στα σημεία και

αντίστοιχα . Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της στο είναι :

Παράδειγμα : αν η εφαπτομένη της στο Α(1,2) είναι η y=2x+3 , τότε η εφαπτομένη της στο

Β(2,1) είναι η και ισχύει .

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ1. Αν για κάθε x στο εσωτερικό ενός διαστήματος Δ και η f είναι συνεχής στο Δ τότε να δείξετε ότι η f είναι 1-1 στο Δ

ΑπόδειξηΑν η f δεν ήταν 1-1 στο Δ θα υπάρχουν α,β στο Δ με α<β έτσι ώστε f(α)=f(β)Επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) , από το θεώρημα Rolle προκύπτει ότι θα υπάρχει ξ στο (α,β) , άρα και στο εσωτερικό του Δ : . ΆτοποΣυνεπώς η f είναι 1-1

2. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και 1-1 σε ένα διάστημα Δ , τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ .ΑΠΟΔΕΙΞΗΈστω . Για να δείξουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη , αρκεί να δείξουμε ότι :

.Έστω ότι α<β<γ και τότε επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β] με και

, σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε . Επειδή η f είναι 1-1 θα έχουμε . Άρα , που είναι

άτοπο , αφού α<β<γ . Άρα η f θα είναι ή γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα .

Όμοια καταλήγουμε και αν υποθέσουμε ότι .

3. Αν για κάθε x στο εσωτερικό ενός διαστήματος Δ και η f είναι συνεχής στο Δ τότε να δείξετε ότι η f είναι γνήσια μονότονη στο ΔΑπόδειξηΑπό την πρόταση 1. προκύπτει ότι η f είναι 1-1 στο Δ και επειδή είναι συνεχής στο Δ, από την πρόταση 2. προκύπτει ότι η f είναι γνήσια μονότονη στο Δ.

4. Αν για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ

ΑπόδειξηΧωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο Δ (πρόταση 3.)

Επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα στο Δ θα ισχύει :

Άρα . Δηλαδή

Τελικά και επειδή προκύπτει για κάθε που σημαίνει ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ

(Στην περίπτωση που το α είναι άκρο του Δ το όριο είναι το κατάλληλο πλευρικό)