3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδων 131 – 132

Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση

το σύστημα έχει ως λύση τις συντεταγμένες του σημείου

α) Α( 3 , 2) β) Β( 1, 1) γ) Γ( 1 , 4) δ) Δ( 2 , 3)

Προτεινόμενη λύση

Το σύστημα επαληθεύεται μόνο για x = 2 και y = 3.Άρα σωστή απάντηση είναι η (δ)

2.Αν οι εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος παριστάνονται με τις ευθείες ε1 και ε2 , να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε ζεύγος ευθειών της στήλης Α , το σωστό συμπέρασμα από τη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Βα. οι ευθείες ε1 και ε2 τέμνονται 1. Το σύστημα είναι αόριστοβ. οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες 2. Το σύστημα έχει μια μόνο λύσηγ. οι ευθείες ε1 και ε2 συμπίπτουν 3. Το σύστημα είναι αδύνατο

α β γ2 3 1

Προτεινόμενη λύση Από την θεωρία ξέρουμε ότι α 2 , β 3 , γ1Ο πίνακας συμπληρωμένος φαίνεται παραπάνω

2x-3y = 0

-2x + y = 42x + 3y = 12

-2

-1

y΄

y

x΄x0

6

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 654321

2

3. Με την βοήθεια του διπλανού σχήματος να βρείτε τη λύση σε κάθε ένα από τα παρακάτω συστήματα

α) β)

γ) δ)

Προτεινόμενη λύση

Λύση του κάθε συστήματος είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής των αντιστοίχων ευθειών α) Σημείο τομής των αντιστοίχων ευθειών είναι το ( 3 , 2).Άρα λύση του συστήματος είναι η x = 3 , y = 2

β) Σημείο τομής των αντιστοίχων ευθειών είναι το (3 , 2) .Άρα λύση του συστήματος είναι η x = 3 , y = 2

γ) Σημείο τομής των αντιστοίχων ευθειών είναι το (6 , 0).Άρα λύση του συστήματος είναι η x = 6 , y = 0

δ) Σημείο τομής των αντιστοίχων ευθειών είναι το (0, 0).Άρα λύση ου συστήματος είναι η x = 0 , y = 0

2

y

x

x + 2y = 7

x = 3

A(3, 2)

3O 1

2

y

x

-2x + y = 1

y = 3

O 1

B(1, 3)

y

x

x - y = 0x + y = 0

Ο 1

2 y

x

3x - y = 2

x - y = 0

O 1

Δ(1, 1)

3

Ασκήσεις 1. Να λύσετε γραφικά τα συστήματα

α) β) γ)

δ) ε) στ)

Προτεινόμενη λύση α) Σχεδιάζουμε τις ευθείες x = 3 και x + 2y = 7 Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται δίπλα Παρατηρούμε ότι σημείο τομής των ευθειών είναι το Α(3 , 2).Άρα λύση του συστήματος είναι η x = 3 και y = 2

β) Ομοίως δουλεύοντας βρίσκουμε ότι λύση του συστήματος είναι η x= 1 και y = 3

γ) Ομοίως δουλεύοντας βρίσκουμε ότι λύση του συστήματος είναι η x = 0 και y = 0

δ) Ομοίως δουλεύοντας βρίσκουμε ότι λύση του συστήματος είναι η x = 1 και y = 1

2

y

x

2x + 4y = 63x + 6y = 9

Ο 1

2

y

5 x

2x - y = 104x - 2y = 1

Ο 1

2

y

5

x

x + 2y = 5

x + 2y = 1Ο 1

y

xΟ 1

2

y

x

x + y = 2

x + 3y = 6

Ο 1

A(0, 2)

4

ε) Ομοίως δουλεύοντας βρίσκουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο ευθειών συμπίπτουν, άρα το σύστημα είναι αόριστο δηλαδή έχει άπειρες λύσεις

στ) Ομοίως δουλεύοντας βρίσκουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο ευθειών είναι παράλληλες, άρα το σύστημα είναι αδύνατο

2.Να προσδιορίσετε γραφικά το πλήθος των λύσεων σε κάθε ένα από τα παρακάτω συστήματα

α) β) γ)

α) Σχεδιάζουμε με την γνωστή διαδικασίατις ευθείες x + 2y = 5 και x + 2y = 1Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται δίπλα Από το σχήμα βλέπουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις είναι παράλληλες, άρα το σύστημα είναι αδύνατο

β) Ομοίως δουλεύοντας βρίσκουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο ευθειών συμπίπτουν, άρα το σύστημα είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις

γ) Ομοίως δουλεύοντας βρίσκουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο ευθειών τέμνονται σε ένα σημείο. άρα το σύστημα έχει μία μόνο λύση

Β

Α

υ m / sec

t sec0

25

20

15

10

5

6 84 102

5

3.Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου δύο αυτοκινήτων Α και Β. Να βρείτε α) Την αρχική ταχύτητα κάθε αυτοκινήτου β) Σε πόσο χρόνο μετά την εκκίνηση τους τα δύο αυτοκίνητα θα έχουν την ίδια ταχύτητα και πόση θα είναι αυτή

Προτεινόμενη λύση

α) Για το αυτοκίνητο Α Επειδή η γραφική παράσταση αρχίζει από το σημείο Ο(0 , 0) αυτό σημαίνει ότι για t = 0 είναι υ = 0, δηλαδή αρχική ταχύτητα 0.

Για το αυτοκίνητο ΒΕπειδή η γραφική παράσταση αρχίζει από το σημείο Ο(0 , 10) αυτό σημαίνει ότι για t = 0 είναι υ = 10, δηλαδή αρχική ταχύτητα υ = 10 m/sec β) Όπως φαίνεται από το σχήμα, οι δύο γραφικές παραστάσεις τέμνονται στο σημείο (10, 20) αυτό σημαίνει ότι μετά από 10 sec από το ξεκίνημα τους θα έχουν την ίδια αρχική ταχύτητα η οποία είναι υ = 20 m / sec

4.Ένας φίλαθλος για να παρακολουθήσει τους αγώνες μιας ομάδας έχει τις εξής δυνατότητες

Να πληρώνει 20 € για κάθε αγώνα που παρακολουθεί

Να πληρώσει 60 € ως αρχική συνδρομή και για κάθε αγώνα που παρακολουθεί να πληρώνει 10 €

Να πληρώσει 300 € και να παρακολουθεί όσους αγώνες επιθυμεί Η σχέση που συνδέει το πλήθος των αγώνων που θα παρακολουθήσει ο φίλαθλος με το χρηματικό ποσό που θα πληρώσει σε κάθε περίπτωση παριστάνεται με τα σημεία μιας από τις τρείς ευθείες ε1 , ε2 , ε3 .α) Να αντιστοιχίσετε κάθε περίπτωση σε μία από τις τρείς ευθείες β) Πόσους αγώνες πρέπει να παρακολουθήσει ο φίλαθλος ώστε τα χρήματα που θα πληρώσει να είναι τα ίδια στην δεύτερη και στην τρίτη περίπτωση γ) Αν ο φίλαθλος παρακολουθήσει τελικά 12 αγώνες, ποια περίπτωση ήταν η πιο συμφέρουσα ; δ) Αν παρακολουθήσει μόνο 15 αγώνες και δεν έχει επιλέξει την πιο συμφέρουσα περίπτωση πόσα ευρώ ζημιώθηκε ; ε) Πότε είναι πιο συμφέρουσα κάθε περίπτωση ;

6

Προτεινόμενη λύση α) 1η περίπτωση :Αν παρακολουθήσει x αγώνες θα πληρώσει y = 20x €. Επομένως 1η ε1

2η περίπτωση : Αν παρακολουθήσει x αγώνες θα πληρώσει y = 10x + 60 €. Επομένως 2η ε2

3η περίπτωσηΓια οποιοδήποτε x θα πληρώνει y = 300 €. Επομένως 3η ε3

β) Το κοινό σημείο των ευθειών ε3 : y = 300 , ε2 : y = 10x + 60 είναι το (24 , 300). Επομένως πρέπει να παρακολουθήσει 24 αγώνες .

γ) Παρατηρούμε στο σχήμα τα σημεία των τριών ευθειών που έχουν τετμημένη 12.Εκείνο από τα τρία που είναι χαμηλότερα από τα άλλα βρίσκεται στην μπλε ευθεία ε2 : y = 10x + 60. Αυτό σημαίνει ότι για 12 αγώνες συμφέρει η δεύτερη περίπτωση

δ) Αν παρακολουθήσει 15 αγώνες, κατά την 1η περίπτωση θα πληρώσει y = 20 ∙ 15 = 300 € κατά τη 2η περίπτωση θα πληρώσει y = 10∙ 15 + 60 = 210 € κατά την 3η περίπτωση θα πληρώσει y = 300 €Άρα ζημιώθηκε 300 – 210 = 90 €

ε) Μέχρι και 6 αγώνες η κόκκινη ευθεία (1η περίπτωση) είναι χαμηλότερα από τιςάλλες. Άρα μέχρι και 6 αγώνες πιο συμφέρουσα περίπτωση είναι η 1η

Από 6 μέχρι και 24 αγώνες η μπλε ευθεία (2η περίπτωση) είναι χαμηλότερα από τιςάλλες. Άρα από 6 μέχρι και 24 αγώνες πιο συμφέρουσα περίπτωση είναι η 2η

Πάνω από 24 αγώνες η πράσινη ευθεία (3η περίπτωση) είναι χαμηλότερα από τις άλλες. Άρα πάνω από 24 αγώνες συμφέρουσα περίπτωση είναι η 3η