- Calculo 1: Lista de exercıcios - Taxas Relacionadas

1. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 16 m e uma base com raio de 4 m. A agua estafluindo dentro do tanque a uma vazao de 2 m3/min. Quao rapido se elevara o nıvel de agua quando a agua estivercom 5 m de profundidade?

R: 32/(25π)m/min

2. Um tanque de agua tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m. Se agua estasendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2 m3/min, encontre a taxa na qual o nıvel de agua esta elevandoquando a agua esta a 3 m de profundidade.

R: 8/(9π)m/min

3. Uma escada de 3 m de comprimento esta apoiada em uma parede. Se a base da escada desliza, afastando-se da paredea uma taxa de 1 m/s, quao rapido o topo da escada escorrega para baixo quando a base esta a 1 m da parede?

R: −√2/4m/s

4. Um homem anda a 1 m/s e um holofote o acompanha a 10 m do caminho. A que taxa o holofote esta girando quandoo homem esta a 15 m do ponto mais proximo da luz?

R: 2/65rad/s

5. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gas esta a uma temperatura constante, a pressao P e o volumeV satisfazem a equacao PV = C, em que C e uma constante. Suponha que em um certo instante o volume e 600 m3, apressao e 150 kPa e a pressao cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que taxa esta decrescendo o volume nesse instante?

R: −80m3/min

6. Quando o ar expande adiabaticamente (sem troca de energia termica), sua pressao P e o volume V estao relacionadospela equacao PV 1,4 = C, em que C e uma constante. Suponha que em um certo instante o volume e 400 cm3, a pressaoe 80 kPa e a pressao cresce a uma taxa de 10 kPa/min. A que taxa esta decrescendo o volume nesse instante?

R: −35, 7cm3/min

7. Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um cırculo. Se o raio da queimadura esta decrescendo a umataxa de 0,05 cm por dia quando ele e 1 cm, qual a taxa de decrescimo da area da queimadura nesse instante?

R: −π/10cm2/dia

8. Suponha que numa farmacia P seja o preco da caixa de um determinado remedio, x o numero de milhares de caixasdesse remedio ofertadas diariamente, sendo a equacao de oferta Px − 20P − 3x + 105 = 0. Se a oferta diaria estadecrescendo a uma taxa de 250 caixas do remedio por dia, em que taxa os precos estao variando quando a oferta diariae de 5000 caixas?

R: −0, 05reais/dia

9. O carro A esta indo para o oeste a 50 Km/h e o carro B esta indo para norte a 60 Km/h. Ambos estao dirigindo paraa intersecao de duas ruas. A que taxa os carros estao se aproximando um do outro quando o carro A esta a 0,3 Km eo carro B esta a 0,4 Km da intersecao?

R: Os carros se aproximam um do outro a uma taxa de 78Km/h.

10. Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razao de 6 cm/s. Determine a taxa de variacao da area doquadrado no instante em o lado meca 10 cm.

R: 120cm2/s

11. O raio de uma bola cresce a razao 3 cm/s. Determine a taxa de variacao do volume da bola no instante em que o raioe 8 cm.

R: 768πcm3/s

12. Uma escada de 5 m de comprimento se apoia em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada se afasta daparede a uma razao de 0,8 m/s. Quao rapidamente esta descendo a extremidade superior da escada no instante emque a extremidade inferior estiver a 3 m da parede?

R: -0,6 m/s

13. Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de 2 m/s. Um farol giratorio que esta a 6 m daestrada focaliza o homem. A que taxa o farol esta girando, quando o homem estiver a 4 m do ponto do caminho maisproximo do farol?

R: 3/13 rad/s

14. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 25 km/h. A que taxaesta aumentando a distancia entre os carros duas horas depois da partida?

R: 65m/s

15. O volume de um cubo esta aumentando a taxa de 2 cm3 por segundo. Com que taxa estara variando a area de umade suas faces quando sua aresta tiver 20 cm?

R: 15cm2/s

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