ΤΦΝΟΣΗΣΑ ΠΕΡΙΣΡΟΥΗ ΗΛΕΚΣΡΟΝΙΟΤ ΚΑΙ

ΤΦΝΟΣΗΣΑ ΕΚΠΕΜΠΟΜΕΝΟΤ ΥΩΣΟΝΙΟΤ

ύμφωνα με την κβαντική θεωρία του Bohr για το άτομο του υδρογόνου,

όταν ένα ηλεκτρόνιο κάνει ένα κβαντικό άλμα από την τροχιά με κβαντικό

αριθμό n+1 στην τροχιά με κβαντικό αριθμό n, τότε εκπέμπεται ένα φωτόνιο

με συχνότητα ν. Θα δείξουμε ότι η συχνότητα ν του φωτονίου βρίσκεται πάντα

ανάμεσα στις συχνότητες περιστροφής του ηλεκτρονίου στις αντίστοιχες

τροχιές.

Για μεγαλύτερη πληρότητα , παραθέτουμε και μερικά στοιχεία από τη θεωρία

του Bohr…

…Mπροστά στην αδυναμία της κλασικής φυσικής να ερμηνεύσει τόσο τα

γραμμικά φάσματα των αερίων όσο και (κυρίως) την σταθερότητα των ατόμων

ο Bohr στα 1913 προχώρησε στην διατύπωση ορισμένων υποθέσεων

(παραδοχών) που βρίσκονταν σε πλήρη αντίθεση με τις κλασσικές αντιλήψεις.

Βέβαια ο Bohr όπως προηγούμενα ο Planck και ο Einstein

μπόρεσε να φτάσει στην διατύπωση των συνθηκών που φέρουν τ’ όνομά του

μόνον αφού προηγούμενα τα φασματοσκοπικά δεδομένα για τα άτομα είχαν

φτάσει σε τόσο υψηλό βαθμό επεξεργασίας, ώστε να φαίνεται καθαρά η

κατεύθυνση που θα΄ πρεπε να κινηθεί κανείς για να τα ερμηνεύσει. Οι

υποθέσεις λοιπόν του Bohr , είναι:

α) Σο ηλεκτρόνιο περιστρέφεται γύρω από τον πυρήνα (πρωτόνιο ) υπό

την επίδραση της ελκτικής δύναμης Coulomb , όπως φαίνεται στο σχήμα,

υπακούοντας στους νόμους της κλασσικής μηχανικής.

β) Σο ηλεκτρόνιο επιτρέπεται να

κινείται σε ορισμένες μόνον τροχιές οι

οποίες ονομάζονται επιτρεπόμενες

τροχιές. Οι επιτρεπόμνες τροχιές είναι

εκείνες για τις οποίες η στροφορμή του

ηλεκτρονίου είναι κβαντισμένη και ίση με

ακέραιο πολλαπλάσιο της ποσότητας:

2

h

,

όπου h είναι η σταθερά δράσεως του Planck. Σο μέτρο της στροφορμής του

ηλεκτρονίου δίνεται από την εξίσωση:

L m r

Εφαρμόζοντας λοιπόν την συνθήκη έχουμε:

, 1, 2,3,...,2

hm r n n n

γ) Όταν το ηλεκτρόνιο κινείται σε ορισμένη επιτρεπόμενη τροχιά δεν

εκπέμπει ακτινοβολία , οπότε η ενέργειά του παραμένει σταθερή.

δ) Όταν το ηλεκτρόνιο μεταπηδά από μια επιτρεπόμενη τροχιά σε άλλη

μικρότερης ενέργειας , τότε εκπέμπεται ένα φωτόνιο με ενέργεια ίση με την

διαφορά μεταξύ της αρχικής και της τελικής του ενέργειας. Άν Εi είναι η

ενέργεια του ατόμου πριν από την μετάβαση , Εf η ενέργεια του ατόμου μετά

την μετάβαση και h.ν η ενέργεια του εκπεμπόμενου φωτονίου , τότε ισχύει:

.i fE E h (1)

Υπολογισμός των ενεργειών (κινητική, δυναμική, ολική ) του ηλεκτρονίου

Έχουμε:

kF ma , ή

2 2

2

ek m

r r

, ή

ke

mr (2)

Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στην: 21

2K m , βρίσκουμε:

2

2

eK k

r

Η δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου δίνεται από την σχέση:

2e

U kr

Η ολική λοιπόν ενέργεια του ηλεκτρονίου (άθροισμα κινητικής και

δυναμικής), είναι:

2 2 2

2 2

e e eE K U k k k

r r r

(3)

ημειώστε ότι η ολική ενέργεια είναι αρνητική , γεγονός που

υποδηλώνει μια δέσμια κατάσταση για το σύστημα πρωτονίου-ηλεκτρονίου.

Αυτό σημαίνει ότι για να αποσπασθεί ένα ηλεκτρόνιο από το άτομο θα πρέπει

να δοθεί ενέργεια ίση με:

2

2

ek

r

Από τις σχέσεις :

, 1, 2,3,...,2

hm r n n n

και: 2

2

eK k

r ,

λύνοντας ως προς υ και εξισώνοντας, παίρνουμε:

2 2

2, 1,2,3,...n

nr n

mk e

(4)

Η τροχιά του Bohr που αντιστοιχεί σε n=1 , έχει την πιο μικρή ακτίνα αο,

η οποία είναι γνωστή σαν ακτίνα Bohr και ισούται με :

210

0 20,529 0,529.10a A m

mk e

(5)

Είναι αναμφισβήτητα ένας θρίαμβος της θεωρίας το γεγονός ότι κατάφερε

να δώσει μια ακριβή τιμή για τη ακτίνα του Τδρογόνου από πρώτες αρχές

χωρίς αναφορά σε εμπειρικά δεδομένα. το σχήμα φαίνονται οι τέσσερεις

πρώτες τροχιές του Bohr

Η κβάντωση όμως των τροχιών συνεπάγεται αμέσως και την κβάντωση της

ενέργειας.

Αυτό φαίνεται άμεσα από την σχέση (3) αν θέσουμε 2

n or n a οπότε

προκύπτουν οι ακόλουθες επιτρεπόμενες τιμές για τις στάθμες ενέργειας:

2

2

1( ) , 1,2,3,...

2n

o

keE n

a n (6)

Βάζοντας στην (6) τις αριθμητικές τιμές των μεγεθών που υπεισέρχονται

βρίσκουμε:

2

13,6, 1,2,3,...nE eV n

n (7)

Από την σχέση (7) και για n=1 παίρνουμε την χαμηλότερη στάθμη ενέργειας

που αντιστοιχεί στην θεμελιώδη κατάσταση του ατόμου και ισούται με -13,6

eV. Η αμέσως επόμενη κατάσταση (για n=2) ονομάζεται πρώτη διεγερμένη

κατάσταση και η ενέργειά της ισούται με 1 1

2 23,4

2 4

E EE eV .

Ακολουθεί ένα διάγραμμα ενεργειακών σταθμών που εμφανίζει τις τιμές

ενέργειας των διακριτών ενεργειακών καταστάσεων που αντιστοιχούν στις

διάφορες τιμές των κβαντικών αριθμών

Η ανώτατη κατάσταση αντιστοιχεί σε (ή ισοδύναμα r ) και

αντιπροσωπεύει την κατάσταση στην οποία το ηλεκτρόνιο έχει αποσπασθεί

από το άτομο του Τδρογόνου (ιονισμός). Η ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται

για τον ιονισμό του ατόμου ονομάζεται έργο ιοντισμού , βρίσκεται ίση με 13,6

eV και ο θεωρητικός υπολογισμός της αποτέλεσε έναν ακόμη θρίαμβο της

θεωρίας του Bohr, μιας και το έργο ιοντισμού είχε ήδη μετρηθεί πειραματικά

και είχε βρεθεί ίσο με 13,6 eV.

Από την εξίσωση (6) και την δ) παραδοχή (αξίωμα) του Bohr είναι δυνατός

ο υπολογισμός της συχνότητας του εκπεμπομένου φωτονίου όταν το

ηλεκτρόνιο «πηδά» από μια εξωτερική σε μια εσωτερική τροχιά:

2

2 2

1 1( )

2

i f

o i f

E E ke

h a h n n

(8) ,

Για 1in n , και fn n , έχουμε διαδοχικά:

2

2 2

1 1( )

2

i f

o i f

E E ke

h a h n n

2

2 2

0

2 1( )

2 ( 1)

ke n

a h n n

1

2 2

12 2( )

( 1)

nE

h n n

(9)

Υπολογισμός της συχνότητας περιστροφής του ηλεκτρονίου:

Για το ηλεκτρόνιο που κινείται σε (κυκλική) ακτίνας r, θα έχουμε:

2 r

T

(10),

Οπότε: 2 rf , ή 2

fr

, ή (μέσω της .

.

ke

m r ):

32

e kf

mr (11)

Θεωρώντας ότι το ηλεκτρόνιο κινείται σε τροχιά που αντιστοιχεί σε

(κύριο) κβαντικό αριθμό n, η ακτίνα της τροχιάς του θα δίνεται από τη σχέση:

2 2

2, 1,2,3,...n

nr n

mk e

οπότε η συχνότητα περιστροφής του ηλεκτρονίου θα είναι:

32 n

e kf

mr , ή

3 3 6

6 62

e km k ef

mn

, ή τελικά:

2 4

3 3

1

2

mk ef

n

(12)

Η παραπάνω σχέση γράφεται:

2 4

2 3

1 1

2

mk ef

n

, ή 1

3

2 1Ef

h n (13)

Σχέση συχνότητας εκπεμπομένου φωτονίου και συχνότητας περιστροφής ηλεκτρονίου:

Έτσι λοιπόν έχουμε, για τη συχνότητα του εκπεμπόμενου φωτονίου:

1

2 2

12 2( )

( 1)

nE

h n n

, ή

2 2

1

3 2 2

1 12 2 2( ) [ ]

( 1) 2 1n n

n n n nE

f fhn n n n

(αφού η παράσταση στην αγκύλη είναι προφανώς μικρότερη του 1.

Ομοίως:

1 11 12 2 3 2 2

1 1 1( )( 1) ( )( 1)

2 22 2 2( ) [ ] [ ]( 1) ( 1)

n n

n n n n nE E

f fh n n h n n n

,

Αφού τώρα η παράσταση μέσα στην αγκύλη είναι μεγαλύτερη του 1.

Έτσι λοιπόν:

1n nf f (14)

ΑΡΦΗ ΣΗ ΑΝΣΙΣΟΙΦΙΑ

Ας θεωρήσουμε τώρα ότι το ηλεκτρόνιο «πέφτει» από την τροχιά in n ,

στην τροχιά fn n p , όπου: 1,2,3,....p Θα έχουμε:

1 1

2 2 2 2

1 1 1 1( ) [ ]

( )f i

E E

h n n h n p n

, ή

2

1

2 2

2[ ]

( )

E np p

h n n p

Έστω λοιπόν τώρα ότι τα in n και

fn n p είναι πολύ μεγάλοι αριθμοί και

ότι επίσης το n είναι πολύ μεγαλύτερο του p . Σότε:

2

2 2 34 2 3 2

(2 )2 (2 ) 2

( )(1 ) (1 )

pp

np p p n p pnp pn n p n

n nn n

, οπότε: 1

3

2( )

E p

h n (15)

Για 1p , βλέπουμε ότι η συχνότητα ν της ακτινοβολίας είναι ίση με τη

συχνότητα περιστροφής του ηλεκτρονίου. Για 2,3,4,...p ακτινοβολούνται οι

«αρμονικές» αυτής της συχνότητας. Έτσι λοιπόν στο όριο των πολύ μεγάλων

κβαντικών αριθμών, οι προβλέψεις της κβαντικής θεώρησης «ταυτίζονται» με

τις αντίστοιχες της κλασσικής. H απαίτηση να ταυτίζονται τα αποτελέσματα

της κβαντικής φυσικής με τα αντίστοιχα της κλασσικής, στο όριο των μεγάλων

κβαντικών αριθμών, ονομάσθηκε από τον Bohr «αρχή της αντιστοιχίας».

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΥΙΑ

1. Φυσική Γ λυκείου Γενικής Παιδείας, Π. Γεωργακάκος, Α. καλωμένος, Ν.

φαρνάς, Ι. Φριστακόπουλος, Αθήνα 1999

2. Σύγχρονη Φυσική, Arthur Beiser, εκδόσεις τυπωθήτω-Γ. Δαρδανος, Αθήνα

2001

3. Fundamentals of Modern Physics, R. M. Eisberg, John Wiley & sons, 1961

4. Ατομική και Πυρηνική Φυσική, Κ. Δ. Αλεξόπουλου και Δ. Ι. Μαρίνου,

εκδόσεις Ολύμπια, Αθήνα 1995.

5. Κβαντομηχανική Ι, τέφανος Σραχανάς, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης,

Ηράκλειο 1985.

6. An Introduction to Quantum Physics, A. P. French, E. F. Taylor, W. W.

Norton & Company, New York 1978.

ΑΘΗΝΑ, ΔΕΚΕΜΒΡΗ 2011

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ