Διαλέξεις #11-#12 · ο πίνακας αρνητικής περιστροφής...

Γραφικά με υπολογιστές

[email protected] Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς

1 Φοίβος Μυλωνάς Γραφικά με υπολογιστές

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο

Διαλέξεις #11-#12

Σύνθεση 2Δ Μετασχηματισμών Ομογενείς Συντεταγμένες Παραδείγματα Μετασχηματισμών

2 Φοίβος Μυλωνάς Γραφικά με υπολογιστές [email protected]

Άδεια χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.


Χρηματοδότηση

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ιονίου Πανεπιστημίου» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.


Πρακτικά, οι μετασχηματισμοί στα γραφικά και στην οπτικοποίηση σπάνια αποτελούνται από έναν απλό συσχετισμένο μετασχηματισμό!

Οι μετασχηματισμοί εφαρμόζονται σε όλα τα αντικείμενα της σκηνής.

Τα αντικείμενα ορίζονται από χιλιάδες ή εκατομμύρια κορυφές. Παράδειγμα: «Περιστροφή 2Δ αντικειμένου κατά 45o και έπειτα

ισότροπη αλλαγή κλίμακας κατά παράγοντα 2». Εφαρμογή πίνακα περιστροφής:

Έπειτα εφαρμογή του πίνακα αλλαγής κλίμακας:

Σύνθεση


Πώς μπορούμε, λοιπόν, να υλοποιήσουμε πιο πολύπλοκους μετασχηματισμούς ? Να αλλάξουμε την κλίμακα ενός αντικειμένου σε μια αυθαίρετη

κατεύθυνση (άλλη εκτός από το x και/ή y) ? Να περιστρέψουμε ένα αντικείμενο γύρω από σημείο (άλλο εκτός

από την αρχή των αξόνων) ? κλπ.

Σύνθεση: συνδυάζει βασικούς μετασχηματισμούς για να επιτευχθεί ένας πιο πολύπλοκος. Παράδειγμα: αλλαγή κλίμακας κατά ½ σε γωνία 30°

• Περιστροφή δεξιόστροφα κατά 30° (θ = –π / 6): p´ = RTp

• Αλλαγή κλίμακας στο x κατά ½: p´´ = Sp´

• Περιστροφή αριστερόστροφα κατά 30° (θ = π / 6): p´´´ = Rp´´

• Τελικό αποτέλεσμα: p´´´ = Rp´´ = RSp´ = RSRTp

Σύνθεση

ο πίνακας αρνητικής

περιστροφής είναι ο

ανάστροφος πίνακας θετικής

περιστροφής


Σύνθεση: Αλλαγή κλίμακας κατά αυθαίρετη γωνία Αλλαγή κλίμακας κατά γωνία +θ:

1. Δεξιόστροφη περιστροφή κατά θ: p´ = RTp

2. Αλλαγή κλίμακας γύρω από την αρχή αξόνων: p´ = SRTp

3. Περιστροφή (αριστερόστροφα κατά θ): p´ = RSRTp

=

100

xsS

−

=)θcos()θsin()θsin()θcos(

TR

−=

)θcos()θsin()θsin()θcos(

R

x

y

0 1 2 3 4 0 1

2

3

4

5

=

ππ−ππ

=

2/31/2-1/22/3

)6/cos()6/sin()6/sin()6/cos(

TRθ = 30°

x

y

0 1 2 3 4 0 1

2

3

4

5

x

y

0 1 2 3 4 0 1

2

3

4

5

θ = 30°

=

1005.0

S


Πολλαπλοί μετασχηματισμοί: Πολλαπλασιάζουμε κάθε σημείο (δηλ., κορυφή) ενός αντικειμένου με κάθε βασικό μετασχηματισμό

p´ = RSRTp

Απαιτεί πολλαπλούς πολλαπλασιασμούς πινάκων για κάθε κορυφή

Αρκετός επιπλέον υπολογιστικός φόρτος αν, μετασχηματίζουμε χιλιάδες (ή και εκατομμύρια) σημεία...

Σύνθεση: ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι προσεταιριστικός (associative) Αρχικά πολλαπλασιάζουμε πίνακες μετασχηματισμών μεταξύ τους για

να δημιουργήσουμε ένα και μοναδικό πίνακα. Πολλαπλασιάζουμε κάθε σημείο με αυτόν τον ένα και μοναδικό πίνακα.

p´ = RSRTp = M p

Πολύ πιο αποδοτικό!

Σύνθεση και Αποδοτικότητα


Εφαρμογή των πινάκων ακολουθιακά σε κάθε κορυφή p: S(2, 2) (R(45o) p) ΜΗ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟ Εναλλακτικά: Χρήση της προσεταιριστικής ιδιότητας του

πολλαπλασιασμού πινάκων & εφαρμογή του (προϋπολογισμένου) αποτελέσματος στις κορυφές:

(S(2, 2) R(45o)) p ΠΙΟ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟ Ο σύνθετος μετασχηματισμός υπολογίζεται μόνο μια φορά και

εφαρμόζεται στις κορυφές. Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός η σειρά

πολλαπλασιασμού των πινάκων έχει σημασία! Έχοντας επιλέξει αναπαράσταση των σημείων σαν στήλες οι

πίνακες μετασχηματισμού πολλαπλασιάζουν από αριστερά τα σημεία ο σύνθετος πίνακας υπολογίζεται με αντίθετη σειρά από την σειρά εφαρμογής.

Σύνθεση και Αποδοτικότητα


Ο Πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός!!!

Μεταφορά κατά x=6, y=0 Περιστροφή κατά 45º

Περιστροφή κατά 45º Μεταφορά κατά x=6, y=0

0 1

1

2

2

3 4 5 6 7 8 9 10

3

4

5

6

Y

X 0

1

1

2

2

3 4 5 6 7 8 9 10

3

4

5

6


Περιστροφή γύρω από Αυθαίρετο Σημείο

Έως τώρα, είδαμε περιστροφές περί της αρχής των αξόνων. Η περιστροφή αυτή «μετακινεί» ολόκληρο το αντικείμενο

καθώς περιστρέφεται.

Συνήθως, όταν θέλουμε να περιστρέψουμε ένα αντικείμενο, θέλουμε να το περιστρέψουμε γύρω από το κέντρο του (ή κάποιο άλλο σταθερό σημείο)

Πώς μπορούμε να το κάνουμε αυτό; Απάντηση: Θα εφαρμόσουμε μια ακολουθία

μετασχηματισμών.


Σύνθεση: Περιστροφή γύρω από Σημείο

Περιστροφή αντικειμένου γύρω από σημείο T:

1. Μετατόπιση T στην αρχή των αξόνων: p´ = p – T

2. Περιστροφή γύρω από την αρχή των αξόνων: p´ = R(p – T)

3. Μετατόπιση πίσω: p´ = R(p – T) + T

−=

)θcos()θsin()θsin()θcos(

R

θ = 45°

=

y

x

tt

T x

y

0 1 2 3 4 0 1

2

3

4

5

x

y

0 1 2 3 4 0 1

2

3

4

5

22

=T

x

y

0 1 2 3 4 0 1

2

3

4

5


Περιστροφή γύρω από Αυθαίρετο Σημείο

Τυποποιημένη διαδικασία για την περιστροφή

σημείου γύρω από αυθαίρετο σημείο: 1. Μεταφορά σημείου περιστροφής στην αρχή των αξόνων 2. Περιστροφή γύρω από την αρχή των αξόνων 3. Μεταφορά σημείου πίσω στην αρχική του θέση

Υπολογισμός του σύνθετου μετασχηματισμού που θα την επιτύχει.

Κατόπιν εφαρμογή του σε όλες τις κορυφές του αντικειμένου.


Σύνθεση: Αλλαγή Κλίμακας σχετικά με Σημείο

Αλλαγή κλίμακας σχετικά με σημείο C(cx,cy,1): 1. Μετατόπιση του αντικειμένου κατά διάνυσμα –c = O – C, ώστε το

σημείο C να έρθει στην αρχή των αξόνων. 2. Αλλαγή κλίμακας με παράγοντες (sx,sy).

3. Μετατόπιση του αντικειμένου κατά διάνυσμα c = C – O, ώστε το σημείο C να έρθει πάλι στην αρχική του θέση.

Με πίνακες: Sσυν = T(cx,cy)·S(sx,sy)·T(-cx,-cy)


Ιδιότητες Σύνθεσης

Ιδιότητες: T(x1,y1) · T(x2,y2) = T(x2,y2)·T(x1,y1) = T(x1 +x2,y1+y2) S(sx1,sy1)·S(sx2,sy2)= S(sx2,sy2)·S(sx1,sy1) = S(sx1sx2,sy1sy2) R(θ1) ·R(θ2) = R(θ2) ·R(θ1) = R(θ1+ θ2) S(sx,sy)· R(θ) = R(θ) · S(sx,sy), μόνο αν sx= sy

Γενικά, όμως, δεν ισχύει η αντιμετάθεση.

Πρώτος εκτελείται ο τελεστής που γράφεται τελευταίος

Άρα ο πίνακας που εκφράζει τον 1ο μετασχηματισμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί τελευταίος (να γραφεί δεξιά), κ.ο.κ.

Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η !!!


Εν γένει, για την εφαρμογή των μετασχηματισμών T1,T2, ...,Tm, υπολογίζουμε τον σύνθετο πίνακα Tm ·... ·T2 ·T1.

Πρόβλημα με τον μετασχηματισμό μεταφοράς: Η μεταφορά δεν μπορεί να περιγραφεί από ένα πίνακα γραμμικού μετασχηματισμού όπως:

Η μεταφορά δεν μπορεί να είναι μέρος σύνθετου μετασχηματισμού!

Οφείλεται στην ιδιότητα μετασχ. να έχουν σταθερό σημείο το Ο(0,0) πρέπει το σταθερό σημείο να μην είναι το 0!

Λύση στο πρόβλημα αυτό ομογενείς συντεταγμένες

Σύνθετοι Μετασχηματισμοί

byaxAx +='dycxAy +='


Ομογενείς Συντεταγμένες Ορισμός προβλήματος:

Η περιστροφή, η αλλαγή κλίμακας και η στρέβλωση πολλαπλασιάζουν έναν πίνακα με το σημείο p: p´ = Mp

Η μεταφορά προσθέτει ένα διάνυσμα στο σημείο p: p´ = p + T Θέλουμε να αντιμετωπίζουμε ομοιόμορφα όλους τους

μετασχηματισμούς! • Βελτιστοποίηση του υλικού (hardware) • Σύνθεση μετασχηματισμών

Λύση: ομογενείς συντεταγμένες Αυξάνουν τη διάσταση του σημείου

• προσθέτουν μια 3η συντεταγμένη w

Δύο ομογενή σημεία (p1 και p2) καθορίζουν το ίδιο 2Δ Καρτεσιανό σημείο αν:

p1 = c·p2 για κάποιο πραγματικό, βαθμωτό αριθμό c

=

wyx

p


Οι ομογενείς συντεταγμένες χρησιμοποιούν μια επιπλέον διάσταση από το χώρο που αναπαρίσταται

Χώρος 2Δ : , όπου w η νέα συντεταγμένη που αναπαριστά την επιπλέον

διάσταση. Ισχύει w ≠ 0 Θέτοντας w=1, διατηρούμε την αρχική μας χωρική διάσταση επιλέγοντας το

«επίπεδο» w=1. Στις 2Δ χρησιμοποιείται το επίπεδο w=1, αντί του επιπέδου xy

Ομογενείς Συντεταγμένες (συνεχ.)

wyx



Με τις ομογενείς συντεταγμένες, το επίπεδο x-y είναι ένας 2Δ υπο-χώρος του 3Δ Αν και τα ομοιογενή σημεία έχουν 3 συντεταγμένες,

αυτά συσχετίζονται με θέσεις σε ένα 2Δ επίπεδο.

x

y

w

000

100

=

=

wwywx

yx

yx

222

1

=

=

11//

YX

wywx

wyx

Ομογενές σημείο

2Δ Καρτεσιανές συντεταγμένες


Ομογενείς Συντεταγμένες (συνεχ.) Μπορεί να χρησιμοποιηθεί

οποιοδήποτε 2Δ επίπεδο που δεν περιλαμβάνει την αρχή των αξόνων

Για λόγους απλότητας, επιλέγουμε το επίπεδο w = 1 [x y 1]T = [X Y 1]T

x

y

w

000

100

=

=

wwywx

yx

yx

222

1

=

=

11//

YX

wywx

wyx

Ομογενές σημείο

2Δ Καρτεσιανές συντεταγμένες


Άρα η τριάδα (x,y,w) με w≠0 παριστάνει τις ομογενείς συντεταγμένες του σημείου (x/w, y/w)∈ E2. βασική παράσταση: w=1.

Το κέντρο του (0,0,1) μπορεί να μετασχηματισθεί.

Ομογενείς συντεταγμένες (συνεχ.)


Οι ομογενείς συντεταγμένες επιτρέπουν την έκφραση των τριών μετασχηματισμών σε 3x3 μήτρες (πίνακες) για εύκολη σύνθεση.

Οι γραμμικές εκφράσεις συνοψίζονται σε μορφή πίνακα η μεταφορά λειτουργεί ακριβώς όπως και οι άλλοι συσχετισμένοι

μετασχηματισμοί!

2ο πλεονέκτημα ομογενών συντεταγμένων: δεν υπάρχει σταθερό σημείο στους ομογενείς συσχετισμένους μετασχηματισμούς.

Αρχή των αξόνων στις 2Δ είναι [0, 0, 1]T & δεν είναι σταθερό σημείο. Το σημείο [0, 0, 0]T είναι εκτός του επιπέδου w = 1 μη επιτρεπόμενο, καθότι w = 0.

Από εδώ και στο εξής τα σημεία θα αναπαρίστανται με τις ομογενείς

τους συντεταγμένες: 2Δ [x, y, 1]T

3Δ [x, y, z, 1]T

Ομογενείς συντεταγμένες (συνεχ.)



Για 2Δ μετασχηματισμούς, τα σημεία είναι τώρα διανύσματα 3 διαστάσεων:

Και οι πίνακες μετασχηματισμού είναι πλέον πίνακες 3x3:

=

wyx

p

=

333231

232221

131211

ttttttttt

T


Ομογενείς Συντεταγμένες: Μετατόπιση

Πως θα μοιάζει πλέον ο πίνακας μετατόπισης? Για να μετακινήσουμε ένα σημείο p στο

σημείο p’, χρειαζόμαστε

με και

=

=

1001001

,1

y

x

tt

Tyx

p

' Tpp =

++

=

=

11''

' y

x

tytx

yx

p


Ομογενείς Συντεταγμένες: Μετατόπιση

Γιατί: x´ = x + tx

y´ = y + ty

ή p´ = p + T , όπου:

Αντικαθιστώντας:

=

y

x

tt

T

++

=

⋅

=

=

111001001

1''

'y

x

y

x

tytx

yx

tt

yx

p


Ομογενείς Συντεταγμένες: Αλλαγή κλίμακας

Πώς θα μοιάζει πλέον ο πίνακας κλιμάκωσης? Για να αλλάξουμε κλίμακα ενός σημείου p στο

p’, χρειαζόμαστε:

με και ,

1

= y

xp

' Spp =

=

=

11''

' ySxS

yx

py

x

=1000000

y

xS

SS


Ομογενείς Συντεταγμένες: Αλλαγή κλίμακας

Γιατί: x´ = sx x

y´ = sy y

Αντικαθιστώντας:

=

⋅

=

=

111000000

1''

' ySxS

yx

SS

yx

py

x

y

x


Ομογενείς Συντεταγμένες: Περιστροφή

Από τον απλό 2Δ πίνακα περιστροφής:

Όταν πάμε σε ομογενείς συντεταγμένες, έχουμε:

Εφαρμόζουμε τον πίνακα αυτό σε κάθε κορυφή ενός πολυγώνου για να περιστρέψουμε ολόκληρο το πολύγωνο!

−=

1000cossin0sincos

θθθθ

R

−=

θcosθsinθsinθcos

R


Ομογενείς Συντεταγμένες: Στρέβλωση

Κατά άξονες x και y:


Ομογενής πίνακας μεταφοράς, αλλαγής κλίμακας, περιστροφής:

Η τελευταία γραμμή του ομογενούς πίνακα μετασχηματισμών είναι πάντα [0, 0, 1] διατηρεί τιμή συντεταγμένης w (1)

Χρήση “μεταφοράς” όπως και των άλλων βασικών συσχετισμένων

μετασχηματισμών:

Ομογενείς Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί στις 2Δ

pdTp ⋅= )('


Μεταφορά του [1,3] κατά [7,9]

Κλίμακα του [2,3] κατά 5 στο X και 10 στο Y

Περιστροφή του [2,2] κατά 90° (π/2)

Παραδείγματα

=

⋅

1128

131

100910701

=

⋅

13010

132

1000100005

−=

⋅

−=

⋅

−

12

2

122

100001010

122

1000)2/cos()2/sin(0)2/sin()2/cos(

ππππ


Σύνθεση: Περιστροφή γύρω από Σημείο Ας δοκιμάσουμε εκ νέου την περιστροφή γύρω

από σημείο T: 1. Μετατόπιση στην αρχή: p´ = T1 p

2. Περιστροφή γύρω από την αρχή: p´ = R T1 p

3. Μετατόπιση πίσω: p´ = T2 R T1 p

°°°−°

=1000)54cos()54sin(0)54sin()54cos(

R

θ = 45°

−−

=100210201

T x

y

0 1 2 3 4 0 1

2

3

4

5

x

y

0 1 2 3 4 0 1

2

3

4

5

x

y

0 1 2 3 4 0 1

2

3

4

5

−−

=100210201

T

=

100210201

T


Σύνθεση: Περιστροφή γύρω από Σημείο

Έτσι:

όπου: M είναι ο πίνακας σύνθετου μετασχηματισμού

MppRTTp

==′ 12

−

−=

−−

−=

−−

°°°−°

==

100828.707.707.2707.707.

100210201

1002707.707.2707.707.

100210201

1000)54cos()54sin(0)54sin()54cos(

100210201

12RTTM


Συχνά είναι απαραίτητη η αντιστροφή ενός μετασχηματισμού: Αντίστροφος ομογενής πίνακας μετατόπισης στις 2Δ:

Αντίστροφος ομογενής πίνακας αλλαγής κλίμακας στις 2Δ:

Αντίστροφοι Ομογενείς Μετασχηματισμοί στις 2Δ


Αντίστροφος ομογενής πίνακας περιστροφής στις 2Δ:

Αντίστροφος ομογενής πίνακας στρέβλωσης στις 2Δ:

στρέβλωση στον άξονα x στρέβλωση στον άξονα y



Η εφαρμογή ενός μετασχηματισμού πάνω σε ένα

αντικείμενο είναι ισοδύναμη με την εφαρμογή του αντίστροφου μετασχηματισμού πάνω στο σύστημα συντεταγμένων (μετασχηματισμός αξόνων).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Η ισοτροπική αλλαγή κλίμακας σε ένα αντικείμενο κατά

συντελεστή 2 είναι ισοδύναμη με την ισοτροπική (sx=sy) αλλαγή κλίμακας στους άξονες του συστήματος συντεταγμένων κατά συντελεστή ½ (συρρίκνωση).



Αρκετά χρήσιμες ιδιότητες των πινάκων ομογενών συσχετισμένων

μετασχηματισμών είναι οι εξής: μόνο για ισοτροπική αλλαγή

κλίμακας (sx=sy).

Ιδιότητες Ομογενών Πινάκων

1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2

( )· ( ) ( )· ( ) ( )( , )· ( , ) ( , )· ( , ) ( · , · )

( 1)· ( 2) ( 2)· ( 1) ( 1 2)( , )· ( ) ( )· ( , )

x y x y x y x y x x y y

x y x y

s s s s s s s s s s s s

s s s s

T d1 T d2 T d2 T d1 T d1 d2S S S S SR R R R RS R R S

q q q q q qq q

= = += =

= = +=


Μεταφορά

Αλλαγή Κλίμακας

(Δεξιόστροφο σύστημα συνεταγμένων)

1000100010001

dzdydx

1000000000000

z

y

x

ss

s

x

y

z

3Δ Βασικοί Μετασχηματισμοί


Περιστροφή ως προς Χ

−

10000cossin00sincos00001

θθθθ

−10000cos0sin00100sin0cos

θθ

θθ

−

1000010000cossin00sincos

θθθθ

Περιστροφή ως προς Υ

Περιστροφή ως προς Ζ

3Δ Βασικοί Μετασχηματισμοί


Παραδείγματα


Παράδειγμα 1: Περιστροφή γύρω από σημείο Προσδιορισμός του πίνακα μετασχηματισμού R(θ, p) που απαιτείται για την περιστροφή γύρω από σημείο p κατά γωνία θ. Λύση: Βήμα 1: Μεταφορά κατά Βήμα 2: Περιστροφή κατά θ, R(θ) Βήμα 3: Μεταφορά κατά

2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 1

, ( )− −p T p

, ( )p T p


Παράδειγμα 2: Περιστροφή τριγώνου γύρω από σημείο Περιστροφή τριγώνου abc κατά 45o γύρω από σημείο p=[-1,-1]T, όπου a=[0,0]T, b=[1,1]T και c=[5,2]T

Λύση: Το τρίγωνο αναπαρίσταται με τον πίνακα: Εφαρμογή R(θ, p) [Παρ. 1] στο τρίγωνο:

Το προκύπτον τρίγωνο είναι το όπου a’=[-1, ]T, b’=[-1, ]T και c’=[ ]T


2 1−2 2 1− 3 92 1, 2 1

2 2− −


Παράδειγμα 3: Αλλαγή κλίμακας ως προς τυχαίο σημείο Κατασκευή πίνακα μετασχηματισμού S(sx,sy,p) για αλλαγή κλίμακας κατά sx και sy ως προς τυχαίο (σταθερό) σημείο p Λύση: Βήμα 1: Μεταφορά κατά Βήμα 2: Αλλαγή κλίμακας κατά sx και sy , S(sx,sy) Βήμα 3: Μεταφορά κατά


, ( )− −p T p

, ( )p T p


Παράδειγμα 4: Αλλαγή κλίμακας τριγώνου ως προς σημείο Διπλασιασμός του μήκους των πλευρών τριγώνου abc κρατώντας σταθερή την κορυφή c. Οι συντεταγμένες των κορυφών είναι a=[0,0]T, b=[1,1]T , c=[5,2]T Λύση: Το τρίγωνο αναπαρίσταται από τον πίνακα G [Παρ. 2] Εφαρμογή πίνακα S(sx,sy,p) [Παρ. 3] στο τρίγωνο, θέτοντας τους

παράγοντες αλλαγής κλίμακας =2 και p=c

Το νέο τρίγωνο είναι a’b’c’με a’=[-5,-2]T, b’=[-3,0]T c’=[5,2]T



Παράδειγμα 5: Μετασχηματισμός άξονα Έστω ότι το σύστημα συντεταγμένων μεταφέρεται κατά διάνυσμα . Κατασκευάστε τον πίνακα που περιγράφει το παραπάνω. Λύση: Ο ζητούμενος πίνακας μετασχηματισμού πρέπει να παράγει τις

συντεταγμένες των αντικειμένων ως προς το νέο σύστημα συντεταγμένων. Αυτό επιτυγχάνεται με εφαρμογή τις αντίστροφης μεταφοράς στα αντικείμενα:

Όμοια, για οποιοδήποτε μετασχηματισμό άξονα: Ζητούμενο Εφαρμογή αντίστροφου μετασχηματισμού στα αντικείμενα


[ , ]Tx yv v=v


Παράδειγμα 6: Κατοπτρισμός σε τυχαίο άξονα Κατασκευή πίνακα μετασχηματισμού για κατοπτρισμό σε τυχαίο άξονα που ορίζεται από σημείο p=[px,py]T και κατεύθυνση Λύση: Βήμα 1: Μεταφορά κατά Βήμα 2: Περιστροφή κατά –θ (φορά ρολογιού), R(-θ), θ η γωνία που σχηματίζει ο άξονας x και το διάνυσμα και: (Τα 2 παραπάνω βήματα ταυτίζουν τον τυχαίο άξονα με τον x) Βήμα 3: Κατοπτρισμός στον άξονα x, S(1, -1) Βήμα 4: Περιστροφή κατά θ, R(θ)


[ , ]Tx yv v=v

, ( )− −p T p

v

2 2sin y

x y

v

v vq=

+ 2 2cos x

x y

vv v

q=+


Βήμα 5: Μεταφορά κατά Συνεπώς έχουμε:

2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 6 (2) , ( )p T p


Παράδειγμα 7: Κατοπτρισμός Πολυγώνου Δοθέντος ενός πολυγώνου, κατασκευάστε τον κατοπτρισμό του ως προς α) την γραμμή y=2 και β) τον άξονα που ορίζεται από το σημείο p=[0,2]T και το διάνυσμα . Το πολύγωνο δίνεται από τις κορυφές του a=[-1,0]T, b=[0,-2]T, c=[1,0]T και d=[0,2]T

Λύση: Το πολύγωνο αναπαρίσταται από τον πίνακα:

Στην περίπτωση (α) p=[0,2]T και έτσι θ=0ο, sinθ=0, cosθ=1 και έχουμε:


[1,1]T=v

[1,0]T=v


Στην περίπτωση β) p=[0,2]T και , έτσι sinθ = cosθ = και έχουμε:

όπου MSYM είναι ο πίνακας του [Παρ. 6]

2Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 7 (2)

[1,1]T=v 12


Παράδειγμα 1: ΣύνθετηΠεριστροφή-Καμπή Υπολογίστε τον πίνακα καμπής: Περιστροφή κατά γωνία θx γύρω από x-άξονα Περιστροφή κατά γωνία θy γύρω από y-άξονα Παίζει ρόλο η σειρά που γίνονται οι περιστροφές; Λύση: 1.


−


θθθθ


θθ

θθ

Περιστροφή ως προς X



2. Υπολογισμός με την αντίστροφη σειρά:

MBEND ≠ M’BEND

οπότε η σειρά που εκτελούνται οι περιστροφές παίζει ρόλο!!


−


θθθθ


θθ

θθ

Περιστροφή ως προς X



Ερωτήσεις - Απορίες

Διαλέξεις #11-#12 · ο πίνακας αρνητικής περιστροφής...

Documents

Transcript of Διαλέξεις #11-#12 · ο πίνακας αρνητικής περιστροφής...