-Algebren Σ 4 Terme...

Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1

4 Terme und Σ-Algebren

4.1 Grundterme und Terme

Es sei ΦF eine Menge von Funktionssymbolen.

funktionale Signatur:

ΣF ⊆ ΦF ×N — Menge von Paaren (Symbol, Stelligkeit)

Σ(i)F := f | ( f , i) ∈ ΣF, i fest, d.h.

Σ(i)F ⊆ ΦF enthält alle i-stelligen Funktionssymbole.

ΦF =⋃

i∈N Σ(i)F

nullstellige Funktionssymbole bezeichnet man auch als

Konstantensymbole


Beispiel 1 (Signaturen)

Halbgruppen Σ = ΣF = (·,2) mit Σ(2) = ·

Monoide Σ = ΣF = (·,2),(e,0) mit Σ(0) = e und Σ(2) = ·

Halbringe Σ = ΣF = (+,2),(·,2),(0,0)

Mengenalgebra Σ = ΣF = (∪,2),(∩,2),( /0,0)

Arithmetik mit rationalen Zahlen

Σ = ΣF = (+,2),(−,2),(·,2),(/,2)∪(cq,0)|q ∈Q

„Obst“ Σ = ΣF

mit Σ(2)F = apfel,birne, Σ(1)

F = banane und Σ(0)F = pflaume


Grundterme

Σ := ΣF sei eine funktionale Signatur.

Definition 4.1 (induktiv) Die Menge Term(Σ) aller Grundterme über Σist die kleinste Menge mit folgender Eigenschaft:

1. Σ(0)F ⊆ Term(Σ) und

2. für jedes n ∈ N, jedes f ∈ Σ(n)F und alle t1, . . . , tn ∈ Term(Σ) gilt

f (t1, . . . , tn) ∈ Term(Σ).

Folgerung 4.1 Für alle Signaturen Σ mit Σ(0) = /0 gilt Term(Σ) = /0.


Beispiel 2

Σ = (+,2),(−,2),(/,2)∪(q,0)|q ∈Q: Term(Σ) ist die Menge aller

arithmetischen Ausdrücke (Terme) mit rationalen Zahlen

z.B. (0.5+13)/(5−2.7) ∈ Term(Σ)

Syntax der Aussagenlogik (ohne Variablen):

Σ(2) = ∨,∧,→,↔, Σ(1) = ¬, Σ(0) = f, tTerm(Σ) = AL(f, t)z.B. (f∧ t)→ t

Signatur „Obst“: mit Σ(2) = apfel,birne, Σ(1) = banane und

Σ(0) = pflaume:

z.B. pflaume ∈ Term(Σ), birne(pflaume,pflaume) ∈ Term(Σ)banane(apfel(pflaume,banane(pflaume))) ∈ Term(Σ)


Terme mit Variablen

Es seien Σ = ΣF eine funktionale Signatur und X eine Menge von

Variablen, X ∩ΦF = /0.

Definition 4.2 (induktiv) Die Menge Term(Σ,X) aller Terme über Σ mit

Variablen aus X ist die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften:

1. X ∪Σ0F ⊆ Term(Σ,X) und

2. für jedes n ∈ N, jedes f ∈ Σ(n)F und alle t1, . . . , tn ∈ Term(Σ,X) gilt

f (t1, . . . , tn) ∈ Term(Σ,X).

Bemerkung: Term(Σ) = Term(Σ, /0)


Beispiel 3

1. für Σ(2) = +,−,/ und X = a,b,c:

Term(Σ,X) Menge aller arithmetischen Ausdrücke (Terme) mit

Variablen aus X

z.B. (a+ c)/(b−a) ∈ Term(Σ,X)

2. für Σ(2) = ∨,∧,→,↔, Σ(1) = ¬, Σ(0) = f, t und P = a,bTerm(Σ,P) = AL(P) (aussagenlogische Formeln)

z.B. (a∧b)→ (a∨ f)

3. Signatur Σ = ΣF mit

Σ(2)F = apfel,birne, Σ(1)

F = banane, Σ(0)F = pflaume und

X = x,y,zz.B. z ∈ Term(Σ,X), pflaume ∈ Term(Σ,X),

pflaume ∈ Term(Σ, /0),apfel(birne(x,pflaume),banane(y)) ∈ Term(Σ,X)


Teilterm-Relation

Definition 4.3 Ein Term t ′ ∈ Term(Σ) heißt Teilterm eines Termes

t ∈ Term(Σ), wenn t ′ eine der folgenden Eigenschaften erfüllt:

1. t ′ = t oder

2. t = f (t1, · · · , tn) und es existiert ein k ∈ 1, · · · ,n derart, dass t ′

Teilterm von tk ist.

Beispiel 4

f (g(a,g( f (b),a))), g(a,g( f (b),a)), a, g( f (b),a), f (b) und b

sind Teilterme von f (g(a,g( f (b),a)))

Bemerkung: Für jede funktionale Signatur Σ ist die Relation

„ist Teilterm von“ eine Halbordnung auf der Menge Term(Σ).


Σ-Algebren

Syntax funktionale Signatur Σ, f Funktionssymbol mit ( f ,n) ∈ Σ

Semantik Algebra (A,Ω), Funktion (Operation) ω f ∈ Ω, ω f : An → A

alternative Bezeichnung für Algebren

Definition 4.4 Es sei Σ eine funktionale Signatur. S = (A,VS) heißt

Σ-Algebra , falls

1. A eine nichtleere Menge (Trägermenge oder Universum genannt) ist,

und

2. für f mit ( f ,n) ∈ Σ gilt VS( f ) : An → A.


Zusammenhang zwischen universellen Algebren(Definition 3.2) und Σ-Algebren

Algebra (A,Ω) nach Definition 3.2:

Ω ist eine Menge von Funktionen (Operationen) auf A

Σ-Algebra S = (A,VS):

Funktion VS, die jedem ( f ,n) ∈ Σ eine n-stellige Funktion VS( f ) : An → A

zuordnet.

Für jede Σ-Algebra S = (A,VS) ist (A,Ω) mit Ω = VS( f )| f ∈ Σ eine

Algebra nach Definition 3.2.

Für jede Algebra (A,Ω) nach Definition 3.2 ist die Algebra S = (A,VS),

wobei Σ = ( fω,n) : ω ∈ Ω∧ω : An → A und VS( fω) = ω, eine

Σ-Algebra ( fω ist ein Name für ω.).


Beispiel 5 • Für Σ = (·,2),(e,0) gilt:

1. (N,+,0) entspricht der Σ-Algebra S1 = (N,VS1) mit VS1(·) = +

und VS1(e) = 0, und

2. (2N,∪, /0) entspricht der Σ-Algebra S2 = (2N,VS2) mit VS2(·) = ∪und VS2(e) = /0, und

3. (Q,+,0.3) entspricht der Σ-Algebra S3 = (Q,VS3) mit VS3(·) = +

und VS3(e) = 0.3.

• Für Σ(2) = apfel,birne, Σ(1) = banane, Σ(0) = pflaume gilt:

1. (R≥0, + , · ,√

,0.25) entspricht der Σ-Algebra S4 = (R≥0,VS4)

mit VS4(apfel) = + ,VS4(birne) = · ,VS4(banane) =√

,

VS4(pflaume) = 0.25

2. (2N, ∪ , ∩ , komp , /0) entspricht der Σ-Algebra S5 = (2N,VS5) mit

VS5(apfel) = ∪ ,VS5(birne) = ∩ ,

VS5(banane) = komp ,VS5(pflaume) = /0.


Werte von Grundtermen in Algebren

Es seien Σ eine funktionale Signatur und S = (A,VS) eine Σ-Algebra.

Definition 4.5 Die Funktion VS : Term(Σ)→ A ordnet jedem Grundterm

t = f (t1, · · · , tn) ∈ Term(Σ) seinen Wert VS(t) in der Σ-Algebra S zu:

VS(t) =VS( f )(VS(t1), · · · ,VS(tn)) .

Spezialfall für t = c ∈ Σ(0) : VS(t) =VS(c)


Beispiel 6

Signatur Σ = (·,2),(e,0), Term t = e · e :

Wert von t in der Σ-Algebra S1 = (N,+,0)

(S1 = (N,VS1) mit VS1(·) = + und VS1(e) = 0)

VS1(t) =VS1(·)(VS1(e),VS1(e)) = +(0,0) = 0+0 = 0

Wert von t in S2 = (2N,∪, /0)(S2 = (2N,VS2) mit VS2(·) = ∪ und VS2(e) = /0)VS2(t) =VS2(·)(VS2(e),VS2(e)) = ∪( /0, /0) = /0∪ /0 = /0

Wert von t in S3 = (Q,+,0.3)

(S3 = (Q,VS3) mit VS3(·) = + und VS3(e) = 0.3)

VS3(t) =VS3(·)(VS3(e),VS3(e)) = +(0.3,0.3) = 0.3+0.3 = 0.6


Beispiel 7

Signatur Σmit Σ(2) = apfel,birne, Σ(1) = banane, Σ(0) = pflaume,

Terme s, t ∈ Term(Σ) mit

s = birne(pflaume,banane(pflaume)),

t = banane(apfel(pflaume,banane(pflaume))):

Σ-Algebra S4 = (R≥0,VS4) mit

VS4(apfel) = +,VS4(birne) = ·,VS4(banane) =

√,VS4(pflaume) = 0.25

VS4(s) = 0.125,VS4(t) =√

3/2

Σ-Algebra S5 = (2N,VS5) mit

VS5(apfel) = ∪,VS5(birne) = ∩,VS5(banane) = komp,

VS5(pflaume) = /0VS5(s) = /0,VS5(t) = /0


Äquivalenz von Grundtermen

Definition 4.6 Grundterme s, t ∈ Term(Σ, /0) mit VS(s) =VS(t) heißen

(semantisch) äquivalent in der Σ-Algebra S.

Notation: (s ≡S t)

Beispiel: Für s, t und S4,S5 im vorigen Beispiel gilt: s 6≡S4 t, aber s ≡S5 t.

Bemerkung: Für jede Σ-Algebra S ist ≡S eine Äquivalenzrelation auf der

Menge Term(Σ).

Satz 4.2 Entsteht der Term s ∈ Term(Σ) aus dem Term t ∈ Term(Σ),indem in t ein Vorkommen eines Teiltermes t ′ von t durch einen Term s′

mit s′ ≡S t ′ ersetzt wird, so gilt s ≡S t.

Beweis: strukturelle Induktion über den Aufbau von t.


Definition 4.7 Für jede funktionale Signatur Σ mit Σ(0) 6= /0 heißt die

Σ-Algebra T (Σ) = (Term(Σ),VT (Σ)), in welcher für alle ( f ,n) ∈ Σ und alle

t1, . . . , tn ∈ Term(Σ) die Beziehung

VT (Σ)( f )(t1, . . . , tn) = f (t1, . . . , tn)

gilt, Grundtermalgebra zu Σ.

Folgerung 4.3 1. Für jede Signatur Σ und jeden Grundterm

t ∈ Term(Σ) gilt VT (Σ)(t) = t.

2. Für jede Σ-Algebra S ist ≡S eine Kongruenzrelation auf der

Grundtermalgebra T (Σ).


Beispiel 8 • Σ = Σ(0): Term(Σ) = Σ(0)

T (Σ) = (Σ(0),VT (Σ)), wobei für alle c ∈ Σ(0) gilt VT (Σ)(c) = c.

• Σ = ( f ,1),(c,0): Term(Σ) = f n(c)|n ∈ NT (Σ) = ( f n(c)|n ∈ N,VT (Σ)) mit VT (Σ)(c) = c und für alle

t ∈ f n(c)|n ∈ N gilt VT (Σ)( f )(t) = f (t).

Homomorphismen von Termalgebren

Satz 4.4 Es sei Σ(0) 6= /0. Für jede Σ-Algebra S = (A,VS) ist die Funktion

VS : Term(Σ)→ A ein Homomorphismus von T (Σ) in S.


4.2 Relationale Strukturen

Menge A mit n-stelligen Relationen R ⊆ An

z.B. Halbordnungen (N,≤),(N, |),(Z,≤),(R,≤),(2X ,⊆)

relationale Signatur Σ ⊆ ΦR ×N (analog zu funktionaler Signatur)

Definition 4.8 Zu einer relationalen Signatur Σ ist S = (A,VS) eine

relationale Σ-Struktur , falls

1. A eine nichtleere Menge (Trägermenge oder Universum) ist, und

2. VS(R)⊆ An für jedes (R,n) ∈ Σ gilt.

vgl. Def. 4.4: eine Σ-Algebra wird auch funktionale Struktur genannt.

Beispiel 9 Σ = (R,2),(Z,≤): Σ-Struktur S1 = (Z,VS1) mit VS1(R) = (m,n) | m ≤ n(N, | ): Σ-Struktur S2 = (N,VS2) mit VS2(R) = (m,n) | m|n(N,=): Σ-Struktur S3 = (N,VS3) mit VS3(R) = (n,n) | n ∈ N


Homomorphismen auf relationalen Strukturen

Gegeben sei eine relationale Signatur Σ = ΣR.

Definition 4.9 Für zwei Σ-Strukturen S1 = (A,VS1) und S2 = (B,VS2)

heißt eine Funktion h : A → B Homomorphismus von S1 in S2 genau

dann, wenn für alle (R,n) ∈ Σ und alle (a1, · · · ,an) ∈ An gilt:

Aus (a1, · · · ,an) ∈VS1(R) folgt (h(a1), · · · ,h(an)) ∈VS2(R).

Definition 4.10 Zwei Σ-Strukturen S1 = (A,VS1) und S2 = (B,VS2)

heißen isomorph , falls eine Bijektion h : A → B existiert, sodass für alle

(R,n) ∈ Σ und alle (a1, · · · ,an) ∈ An gilt:

(a1, · · · ,an) ∈VS1(R) genau dann, wenn (h(a1), · · · ,h(an)) ∈VS2(R).


Beispiele:

Zur relationalen Signatur Σ = (R,2) betrachten wir folgende

Σ-Strukturen:

S1 = (2N \ /0,⊇)(

S1 = (2N \ /0,VS1) mit VS1(R) = (M,N)|M ⊇ N)

S2 = (N,≤)

S3 = (N,=)

S4 = (2N,≤)

f : 2N \ /0→ N, wobei für alle M ⊆ N gilt:

f (M) := minM ist Homomorphismus von S1 nach S2. (kein

Isomorphismus)

g : N→ N, wobei für alle n ∈ N gilt:

g(n) := 2n ist Homomorphismus von S3 nach S2.

(kein Isomorphismus)

h : N→ 2N, wobei für alle n ∈ N gilt:

h(n) := 2n ist Isomorphismus (Bijektion) von S2 auf S4.


Gemischte Strukturen

funktionale Signatur ΣF , relationale Signatur ΣR

gemeinsame Signatur Σ = ΣF ∪ΣR

Definition 4.11 Zu einer Signatur Σ = ΣF ∪ΣR heißt S = (A,VS) eine

Σ-Struktur , falls

1. A eine nichtleere Menge (Trägermenge oder Universum) ist,

2. für jedes n ∈ N und jedes f ∈ Σ(n) gilt VS( f ) : An → A und

3. für jedes n ∈N und jedes Relationssymbol (R,n) ∈ Σ gilt VS(R)⊆ An.

Beispiel: geordneter Halbring

für Σ = ΣF ∪ΣR, ΣF = (plus,2),(punkt,2),(0,0),ΣR = (≤,2) gilt:

(N,+, ·,0,≤) entspricht der Σ-Struktur S = (N,VS) mit

VS(plus) = +,VS(punkt) = ·,VS(0) = 0

und VS(R) = (m,n)|m ≤ n.


Homomorphismen auf gemischten Strukturen

gemischte Signatur Σ = ΣF ∪ΣR

Definition 4.12 Für zwei Σ-Strukturen S1 = (A,VS1) und S2 = (B,VS2)

heißt eine Funktion h : A → B

Homomorphismus von S1 in S2 genau dann, wenn für alle n ∈ N und

alle (a1, · · · ,an) ∈ An gilt:

1. für alle f ∈ Σ(n)F gilt:

h(VS1( f )(a1, · · · ,an)) =VS2( f )(h(a1), · · · ,h(an)),

2. für alle R ∈ Σ(n)R gilt:

Aus (a1, · · · ,an) ∈VS1(R) folgt (h(a1), · · · ,h(an)) ∈VS2(R).


Definition 4.13 Zwei Σ-Strukturen S1 = (A,VS1) und S2 = (B,VS2)

heißen isomorph , falls eine bijektive Funktion h : A → B existiert, sodass

für alle n ∈ N und alle (a1, · · · ,an) ∈ An gilt:

1. für alle f ∈ Σ(n)F gilt:

h(VS1( f )(a1, · · · ,an)) =VS2( f )(h(a1), · · · ,h(an)),

2. für alle R ∈ Σ(n)R gilt:

(a1, · · · ,an) ∈VS1(R) genau dann, wenn (h(a1), · · · ,h(an)) ∈VS2(R).


Beispiel:

Signatur Σ = ΣF ∪ΣR mit ΣF = ( f ,2),(a,0) und ΣR = (R,2)

Σ-Struktur S1 = (2N,∪, /0,⊆)

(S1 = (2N,VS1) mit VS1( f ) = ∪,VS1(a) = /0,VS1(R) = (M,N)|M ⊆ N)

Σ-Struktur S2 = (20,∪, /0,⊆)

Σ-Struktur S3 = (0,1,max,0,≤)

h : 2N → 0,1 mit h(M) =

1, 0 ∈ M

0, sonstist Homomorphismus von S1

nach S3 (nicht isomorph). S2 und S3 sind isomorph (Einschränkung von h

auf 20).

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