Κανόνες παραγώγισης (Επισημάνσεις)

Με την βοήθεια των κανόνων παραγώγισης μπορούμε να βρούμε τις

παραγώγους συναρτήσεων οι οποίες προκύπτουν από πράξεις μεταξύ

άλλων συναρτήσεων.

Προϋπόθεση για να εφαρμοστούν οι κανόνες παραγώγισης πρέπει οι

συναρτήσεις να παραγωγίζονται στο ίδιο σύνολο.

Η παράγωγος συνάρτηση σε σημείο που αλλάζει ο τύπος της γίνεται με την

βοήθεια των πλευρικών ορίων των πηλίκων διαφορών.

Η εύρεση της παραγώγου συνάρτησης σε άκρο του πεδίου ορισμού γίνεται

με την βοήθεια του ορισμού της παραγώγου.

Είναι δυνατόν να μην υπάρχει η παράγωγος στο χο των συναρτήσεων f,g και

να ορίζεται η παράγωγος της συνάρτησης f+g στο χο. Πράγματι άν f(x)=IxI

και g(x)=3x-IxI ή f(x)= και g(x)=3x- Τότε δεν υπάρχει στο Χο η

παράγωγος ούτε της f, ούτε και της g, αλλά υπάρχει η παράγωγος της

(f+g)(x)=3x στο Χο=0 και είναι (f+g)΄(0)=3. Κατά συνέπεια οι αντίστροφες

προτάσεις των κανόνων παραγώγισης δεν ισχύουν.

Όταν εφαρμόζουμε τους κανόνες παραγώγισης πρέπει να προσέχουμε ως

προς ποια μεταβλητή παραγωγίζουμε π.χ Αν f(x)=x3 .ημt τότε f΄(χ)=3χ2 ημt.

Ο ίδιος τύπος μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση του t Δηλ. h(t)= x3 .ημt

Οπότε h΄(t)= x3 συνt.

Αν έχουμε συναρτήσειςf,g όπου η μία είναι παραγωγίσιμη και η άλλη όχι,

τότε δεν μπορούμε να συμπεράνουμε αν παραγωγίζεται ή όχι η συνάρτηση

f.g. π.χ Η συνάρτηση k(x)= ημχ είναι παραγωγίσιμη στο Χο=0 ενώ η

δεν είναι παραγωγίσιμη στο Χο=0 και η h(x)= συνχ δεν είναι

παραγωγίσιμη στο Χο=0.