ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Δυναμική της Περιστροφικής Κίνησης

Ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα στην Περιστροφική Κίνηση – Ροπή Αδράνειας

Περιστροφική Κινητική Ενέργεια

Το Έργο στην Περιστροφική Κίνηση

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

 

𝝉=𝒓 × [𝒎 (�⃗�𝝎×𝒓 ) ]Διανυσματική Ταυτότητα:

�⃗�× ( �⃗�×�⃗� )=(�⃗� ∙𝒄 ) �⃗�− ( �⃗� ∙ �⃗�) �⃗�𝝉=𝒎 [ (𝒓 ∙𝒓 ) �⃗�𝝎− (𝒓 ∙ �⃗�𝝎 )𝒓 ]

𝒓⊥ �⃗�𝝎

𝝉=(𝒎𝒓𝟐 ) �⃗�𝝎

Υλικό σημείο μάζας m κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας r.

m𝒓𝝉

𝝉=𝒓 × �⃗� 𝒕Ροπή δύναμης F ως προς κέντρο τροχιάς:

�⃗�𝝎

Με γωνιακή επιτάχυνση αω.

�⃗�𝒕

�⃗�𝒕=�⃗�𝝎×𝒓Με επιτρόχια επιτάχυνση:

�⃗� 𝒕

�⃗� 𝒕=𝒎�⃗�𝒕Υπό τη επίδραση της δύναμης:

Το σώμα περιστρέφεται γύρω από το σταθερό άξονα με γωνιακή επιτάχυνση αω

�⃗�𝝎

Ο 2Ος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ – ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

 

Ροπή αδράνειας σώματος ως προς συγκεκριμένο άξονα

2ος Νόμος Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση

 

𝑰=∑𝒊=𝟏

𝒏𝒎𝒊𝒓 𝒊

𝟐

𝝉𝟏+ �⃗�𝟐+𝝉𝟑+ . ..+𝝉𝒏=(𝒎𝟏𝒓𝟏𝟐+𝒎𝟐𝒓𝟐

𝟐+𝒎𝟑𝒓 𝟑𝟐+ .. .+𝒎𝒏𝒓𝒏

𝟐 ) �⃗�𝝎

𝝉𝒏𝒆𝒕= 𝑰 �⃗�𝝎

Πάνω στις μικρές μάζες ασκούνται οι ροπές:

Διαίρεση σώματος σε μικρές μάζες m1, m2, m3, . . ., mn οι οποίες διαγράφουν κυκλικές τροχιές όπως οι μάζες m1, m2, m3 και mi

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .𝝉𝒏=𝒎𝒏𝒓𝒏

𝟐 �⃗�𝝎

𝝉𝟐=𝒎𝟐𝒓 𝟐𝟐 �⃗�𝝎

𝝉𝟑=𝒎𝟑𝒓 𝟑𝟐 �⃗�𝝎

𝝉𝟏=𝒎𝟏𝒓 𝟏𝟐 �⃗�𝝎

mn

 

  �⃗�𝒏

�⃗�𝟐

 m2𝒓𝟐

m3

  �⃗�𝟑𝒓𝟑

�⃗�𝟏 

m1

𝒓𝟏

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

 

Ροπή αδράνειας σώματος ως προς συγκεκριμένο άξονα

Περιστροφική Κινητική Ενέργεια

r1

+𝑲 𝟏+𝑲𝟐+𝑲 𝟑+ .. .+𝑲𝒏=

𝟏𝟐 (𝒎𝟏𝒓 𝟏

𝟐+𝒎𝟐𝒓𝟐𝟐+𝒎𝟑𝒓𝟑

𝟐+. . . )𝝎𝟐

𝑲=𝟏𝟐 𝑰 𝝎𝟐

𝑰=∑𝒊=𝟏

𝒏𝒎𝒊𝒓 𝒊

𝟐

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝑲 𝟑=𝟏𝟐𝒎𝟑𝝊𝟑

𝟐=𝟏𝟐𝒎𝟑𝒓 𝟑

𝟐𝝎𝟐

𝑲 𝟐=𝟏𝟐𝒎𝟐𝝊𝟐

𝟐=𝟏𝟐𝒎𝟐𝒓 𝟐

𝟐𝝎𝟐

𝑲 𝒏=𝟏𝟐𝒎𝒏𝝊𝒏

𝟐=𝟏𝟐𝒎𝒏𝒓𝒏

𝟐𝝎𝟐

𝑲 𝟏=𝟏𝟐𝒎𝟏𝝊𝟏

𝟐=𝟏𝟐𝒎𝟏𝒓 𝟏

𝟐𝝎𝟐

ω

Το σώμα περιστρέφεται γύρω από το σταθερό άξονα με γωνιακή επιτάχυνση αωΔιαίρεση σώματος σε μικρές μάζες m1, m2, m3, . . ., mn οι οποίες διαγράφουν κυκλικές τροχιές όπως οι μάζες m1, m2, m3 και mi

m1υ1

mn

υn

rn

m2

υ2

r2

υ3

m3

r3

Οι κινητικές ενέργειες των μικρών μαζών

είναι:

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

𝑰=∑𝒊=𝟏

𝒏𝒎𝒊𝒓 𝒊

𝟐 ri = απόσταση μάζας mi από άξονα περιστροφής

Όταν n → ∞ η μάζα mi → dm 𝑰=∫𝒎

❑

𝒓𝟐𝒅𝒎r = απόσταση dm από άξονα περιστροφής

Θεώρημα Παράλληλων Αξόνων (Θεώρημα Steiner)Αν Ιcm είναι η ροπή αδράνειας ενός σώματος που έχει μάζα m ως προς ένα άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, τότε η ροπή αδράνειας Ι του σώματος ως προς ένα οποιοδήποτε άξονα που είναι παράλληλος με τον πρώτο και απέχει από αυτόν απόσταση d θα δίνεται από τη σχέση:

𝑰=𝑰𝒄𝒎+𝒎𝒅𝟐

ΤΟ ΕΡΓΟ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗΣώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα με:

Γωνιακή επιτάχυνση:𝜶𝝎=𝒅𝝎𝒅𝒕

Υπό την επίδραση εξωτερικής ροπής: 𝝉= 𝜤 𝜶𝝎

⇒ 𝝉= 𝜤 𝒅𝝎𝒅𝒕

Κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης: 𝒅𝝎𝒅𝒕 =

𝒅𝜽𝒅𝒕

𝒅𝝎𝒅𝜽 ⇒ 𝒅𝝎

𝒅𝒕 =𝝎𝒅𝝎𝒅𝜽

𝝉= 𝜤𝝎 𝒅𝝎𝒅𝜽 ⇒ 𝝉𝒅𝜽=𝜤 𝝎𝒅𝝎 ⇒ ∫

𝜽𝟏

𝜽𝟐

𝝉 𝒅𝜽=𝑰∫𝝎𝟏

𝝎𝟐

𝝎𝒅𝝎

𝑾=∫𝜽𝟏

𝜽𝟐

𝝉 𝒅𝜽 Είναι το έργο στηνπεριστροφική κίνηση

Το έργο στην περιστροφική κίνηση μεταβάλλει την περιστροφική κινητική ενέργεια του σώματος

∫𝜽𝟏

𝜽𝟐

𝝉 𝒅𝜽=𝟏𝟐 𝑰 𝝎𝟐

𝟐−𝟏𝟐 𝑰 𝝎𝟏𝟐