Ανάλογα ποσά-Ιδιότητες ανάλογων ποσών

Σε πολλές περιπτώσεις καθημερινά συναντάμε την έννοια των ανάλογων ποσών.

Ένας μανάβης πουλάει ντομάτες προς 0,7 Ευρώ το κιλό. Έτσι για 1 κιλό ντομάτες θα πληρώσουμε 0,7 Ευρώ , για 2 κιλά ντομάτες θα πληρώσουμε 2.0,7=1,4 Ευρώ , για 3 κιλά θα πληρώσουμε 3.0,7=2,1 Ευρώ κτλ.

Αντίστοιχα , όταν ένα τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα π.χ 80 χλμ την ώρα, σε 1 ώρα θα διανύσει 80 χιλιόμετρα, σε 2 ώρες θα διανύσει 2.80 = 160 χιλιόμετρα, σε 3 ώρες θα διανύσει 3.80= 240 χιλιόμετρα κτλ.

Ανάλογα ονομάζονται δύο ποσά όταν πολλαπλασιάζοντας (διαιρώντας) τις τιμές του ενός με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζονται (διαιρούνται) οι αντίστοιχες τιμές του άλλου με τον ίδιο αριθμό.

Δύο ποσά χ και ψ είναι ανάλογα, αν και μόνο αν οι αντίστοιχοι λόγοι τους είναι

όλοι ίσοι, δηλαδή αν και μόνο αν το πηλίκο ψχ είναι σταθερό.

Το σταθερό πηλίκο ψχ =α ονομάζεται συντελεστής της αναλογίας.

Έτσι στο 1ο παράδειγμα έχουμε 0,71 =

1,42 =

2,13 =

710 επομένως τα ποσά είναι

ανάλογα με συντελεστή αναλογίας 0,7

Η σχέση που συνδέει δύο ανάλογα ποσά χ και ψ, με συντελεστή αναλογίας ψχ

=α, είναι η ψ=α.χ. Για να ελέγξουμε πότε δύο ποσά χ και ψ είναι ανάλογα, ακολουθούμε έναν από

τους εξής τρόπους: Όταν περιγράφονται τα ποσά, χωρίς να αναφέρονται οι αριθμητικές

τιμές τους, σκεφτόμαστε απλά αν ικανοποιούν τον ορισμό.Π.χ Τα ποσά <<βάρος μήλων σε κιλά >> και <<αξία σε Ευρώ>> είναι ανάλογα, αφού για διπλάσια κιλά θα είναι διπλάσια η αξία, για τριπλάσια κιλά θα είναι τριπλάσια η αξία κ.ο.κ

Όταν δίνονται αριθμητικές τιμές των ποσών, έχουμε δύο επιλογές:

i. Κατασκευάζουμε ( αν δε δίνεται) έναν πίνακα τιμών και εξετάζουμε αν όλοι οι λόγοι των αντίστοιχων τιμών τους είναι ίσοι. Προσοχή!Αν έστω και ένας λόγος δεν είναι ίσος τα ποσά δεν είναι ανάλογα.

ii. Εξετάζουμε αν υπάρχει αριθμός α τέτοιος ώστε τα δύο ποσά να συνδέονται με την σχέση αναλογίας ψ=α.χΠ.χ Αν έχουμε δύο ποσά χ και ψ για τα οποία ισχύει ότι ψ=4.χ, τότε αυτά είναι ανάλογα.

Γραφική Παράσταση σχέσης αναλογίας

Στο πρωτάθλημα μπάσκετ κάθε ομάδα παίρνει 3 βαθμούς για κάθε νίκη. Είναι φανερό ότι τα ποσά <<αριθμός νικών (χ)>> και <<βαθμοί που συγκέντρωσε η ομάδα από τις

νίκες (ψ)>> είναι ανάλογα και τα συνδέει η σχέση ψ=……….Ο πίνακας των προηγούμενων ανάλογων ποσών είναι:

χ 0 1 2 3 4

Τοποθετούμε τα σημεία που αντιστοιχούν στα διατεταγμένα ζεύγη του πίνακα τιμών στο παρακάτω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.

Αν ενώσουμε τα σημεία θα παρατηρήσουμε ότι ανήκουν σε μια ………………….. με αρχή το σημείο……………….

Ενας μανάβης πουλάει μια ποικιλία μήλων προς 1,5 Ευρώ το κιλό.

α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα

Κg 1 2 3 4

β) Ποιος είναι ο σταθερός λόγος ψ/χ; Να εκφράσετε το ποσό ψ που θα πληρώσουμε ως συνάρτηση(σχέση) του βάρους χ των μήλων που θα αγοράσουμε.γ) Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό χ.