1

Τα γεωμετρικά δόγματα για το φυςικό μασ χώρο, και η επιπεδοχώρα

του Abbott

Από το βιβλίο μου «θ αλικεια τθσ γεωμετρίασ» www.mpantes.gr

H επιπεδοχϊρα,

ο Α.τετράγωνοσ,

το δόγμα του Ριμαν,

το δόγμα του Πουανκαρζ

H επιπεδοχώρα- ο Α. τετράγωνοσ

Θ πιο αποτελεςματικι μζκοδοσ για να φανταςτοφμε τθν τζταρτθ διάςταςθ του

κόςμου μασ είναι θ μζθοδοσ τησ αναλογίασ. Αυτό ςθμαίνει ότι ςτθν προςπάκεια να

φανταςτοφμε τον τετραδιάςτατο κόςμο είμαςτε ςτθν ίδια κζςθ με κάποια διςδιάςτατα

όντα που προςπακοφν να εννοιςουν τον τριςδιάςτατο κόςμο που « βλζπουμε» εμείσ.

Είναι θ καλλιζργεια διαίςκθςθ τθσ τζταρτθσ διαίςκθςθσ για μασ, γιατί θ μακθματικι

ανάλυςθ δεν ενδιαφζρεται για διαιςκθτικζσ αναφορζσ, δεν απαιτεί εικόνεσ, μποροφμε να

χρθςιμοποιιςουμε το λογιςμό για να βροφμε τον όγκο μιασ υπερφαίρασ ακτίνοσ R.

Για να κατανοιςουμε το πρόβλθμα του φυςικοφ μασ χϊρου, κα μεταφερκοφμε

φανταςτικά ςε ζναν κόςμο διςδιάςτατων όντων, που ηουν πάνω ςε μια επιφάνεια κετικισ

καμπυλότθτασ, μια τεράςτια ςφαίρα, θ οποία, όπωσ είναι ιδθ γνωςτό, απ’ τθν ανάλυςθ

τθσ ελλειπτικισ Γεωμετρίασ του τρίτου κεφαλαίου, για περιοχζσ τθσ κακθμερινισ τουσ

δραςτθριότθτασ, ςυμπεριφζρεται όπωσ το Ευκλείδειο επίπεδο. Μζςα από τουσ

διςδιάςτατουσ κα μπορζςουμε να φανταςτοφμε μθ-Ευκλείδειουσ χϊρουσ αν και ο Καντ

ιςχυρίηονταν ότι αυτό είναι αδφνατο, ο χϊροσ και ο χρόνοσ είναι , ζλεγε, ιδιότθτεσ τθσ

2

ανκρϊπινθσ ςυνείδθςθσ και όχι ιδιότθτεσ του κόςμου. Θ εικόνα όμωσ των διςδιαςτάτων

βοθκάει και ςκθνοκετεί τθν επανάςταςθ του Ριμαν.

Θ χϊρα των διςδιάςτατων κα ονομάηεται επιπεδοχϊρα, οι κάτοικοί τθσ είναι

μικροςκοπικά επίπεδα ςχιματα-όντα, π.χ. ο κφριοσ Α. τετράγωνοσ, ζνα τετράγωνο

πλευράσ α, ομοίωσ ο Β. ιςόπλευροσ τρίγωνοσ, κλπ. που ηϊντασ ςτθν επιφάνεια μιασ

τεράςτιασ ςφαίρασ, τθ κεωροφν επίπεδθ όντεσ διςδιάςτατοι, πιςτεφουν ότι ηουν ςε ζνα

Ευκλείδειο επίπεδο.

Ο Α. τετράγωνοσ εμφανίςτθκε για πρϊτθ φορά ςτο βιβλίο Abbott ςτα 1884. Θ

πρόκεςθ του Abbott, ιταν να καλλιεργιςει τθ διαίςκθςθ μασ ςε κζματα τθσ 4θσ διάςταςθσ,

χωρίσ να είναι ξεκακαριςμζνο, αν ιταν πράγματι αυτόσ, ο δθμιουργόσ αυτισ τθσ μεκόδου.

το βιβλίο του ο Rubolf Rucker, “Geometry, relativity and the fourth dimension”

περιγράφει ςπαρταριςτικζσ εικόνεσ απ’ τθ ηωι των κατοίκων τθσ επιπεδοχϊρασ

ςκοπεφοντασ κι’ αυτόσ να μασ κάνει να καταλάβουμε τθν εμπλοκι τθσ τζταρτθσ

διάςταςθσ ςτον κόςμο μασ .

Εμείσ κα χρθςιμοποιιςουμε τθν επιπεδοχϊρα, για να κατανοιςουμε τθν

ςχζςθ των γεωμετρικϊν δογμάτων με τον φυςικό μασ χϊρο αφοφ όλο αυτό το

βιβλίο (θ αλικεια τθσ γεωμετρίασ) είναι γραμμζνο για τισ δφο διαςτάςεισ, όπου θ

κατανόθςθ είναι ευκολότερθ χωρίσ όμωσ να χάνεται τίποτα ςε πλθρότθτα.

Ζτςι ο Α τετράγωνοσ είναι ζνα επίπεδο νοήμον όν όπωσ ςτο ςχιμα 1 που

μπορεί να κινθκεί ςτο επίπεδο Π, δεξιά, αριςτερά, εμπρόσ, πίςω και ςε

οποιονδιποτε ςυνδυαςμό αυτϊν των διευκφνςεων αλλά ποτζ δεν μπορεί να υπάρξει

εκτόσ του Π. Δεν ξζρει παρά μονάχα τισ δφο διαςτάςεισ.

’ αυτό μοιάηει μ’ εμάσ, με τθν διαφορά ότι εμείσ ζχουμε τθν εποπτεία των

τριϊν διαςτάςεων! Σι ςθμαίνει για τον Α. τετράγωνο θ τρίτθ διάςταςθ; Ό,τι

ςθμαίνει για εμάσ θ τζταρτθ!

Να ζνα παράδειγμα τθσ επαφισ του Α. τετράγωνου με τθν Σρίτθ διάςταςθ:

Κάποια μζρα, θ Α. ςφαίρα, ζνα νοιμον όν του τριςδιάςτατου χϊρου, ιρκε ςε επαφι

3

με το επίπεδο τθσ χϊρασ των διςδιάςτατων κατά τθν κίνθςι τθσ μιασ κακθμερινισ

διαδρομισ. Ζτςι πζραςε απ’ τον χϊρο του Α. τετραγϊνου ο οποίοσ ςτθν αρχι είδε

ζνα ςθμείο που ζγινε ζνασ μικρόσ κφκλοσ και κακϊσ θ ςφαίρα εξακολουκοφςε να

κινείται κάκετα ςτο επίπεδο τθσ επιπεδοχϊρασ ο μικρόσ κφκλοσ μεγάλωνε, κάποτε

άρχιςε να μικραίνει, ξανάγινε ςθμείο και τελικά χάκθκε, λζγοντασ ςτον Α. τετράγωνο

ότι…ζρχεται από τθν Σρίτθ διάςταςθ.

Σι να ςκζφτθκε άραγε ο Α τετράγωνοσ;

Ό,τι κα ςκεφτόμαςταν εμείσ αν ακοφγαμε μια φωνι να λζει: «είμαι θ

υπερςφαίρα, κα ςε διδάξω τθν τζταρτθ διάςταςθ» και βλζπαμε ζνα ςθμείο να

μεγαλϊνει, να γίνεται ςφαίρα να μικραίνει και κατόπιν πάλι ςθμείο. Θ διαφορά μασ

βρίςκεται ςτο ότι εμείσ ξζρουμε να ερμθνεφςουμε τθν εμπειρία του Α. τετραγϊνου,

γιατί προςκζτοντασ κφκλουσ καταςκευάηουμε μία ςφαίρα , όμωσ δεν μποροφμε να

ςωρεφςουμε ςφαίρεσ για να παράγουμε υπερςφαίρα! (υπερςφαίρα είναι θ ςφαίρα

ςτισ 4 διαςτάςεισ)

Ο Rucker περιγράφει τθν επαφι αυτι του Α. τετραγϊνου με τθν ςφαίρα, ςαν τθν

αρχι μιασ περιπζτειασ γι’ αυτόν.

τα λόγια τθσ ςφαίρασ ότι άρχεται απ’ τθν Σρίτθ διάςταςθ, δεν ζδωςε καμιά

ςθμαςία. Δεν μποροφςε να το πιςτζψει, απλά ςκζφτθκε ότι πρόκειται για κάποιον

παράξενο ταχυδακτυλουργό.

Όμωσ θ ςφαίρα ξαναιλκε και επζμενε! Και για να τον πείςει, μεταχειρίςτθκε

διάφορα φαινόμενα τθσ τριςδιάςτατθσ ηωισ που άφθςαν άφωνο τον Α- τετράγωνο,

Σο αποκορφφωμα ιταν το «τζχναςμα» του κλειςτοφ μπαοφλου, ςτο δωμάτιο του Α-

τετραγϊνου. Μετακίνθςε δθλ. ζνα αντικείμενο από ζνα ςφραγιςμζνο κιβϊτιο , χωρίσ

να το ανοίξει ι να ςπάςει τα τοιχϊματά του. Πϊσ ζγινε αυτό;

Σο κιβϊτιο του Α. τετραγϊνου είναι ζνα κλειςτό ςχιμα, επίπεδο, όπωσ ζνα

τετράγωνο. Όμωσ μποροφμε να μποφμε μζςα ςτο τετράγωνο απ’ τθν Σρίτθ

διάςταςθ, χωρίσ να ςπάςουμε τουσ «τοίχουσ» του κιβωτίου. Θ αναλογία για μασ

ιταν να βγάλει κάποιοσ τον κρόκο απ’ το αυγό, χωρίσ να το ςπάςει, ι να εμφανιςτεί

μζςα ςτο δωμάτιό μασ χωρίσ να ανοίξει καμιά πόρτα. Άλλωςτε απ’ τθν αναλογία

αυτι προζκυψε θ ιδζα ότι τα πνεφματα τθσ πνευματιςτικισ κίνθςθσ του 1900 ιταν

τετραδιάςτατα όντα που μποροφςαν να εμφανιςτοφν και να εξαφανιςτοφν

οπουδιποτε. Καταλαβαίνουμε δθλαδι το μπζρδεμα του Α. τετραγϊνου όταν θ φίλθ

του θ ςφαίρα του πρότεινε μια μζρα ζνα ταξίδι ςτθν τρίτθ διάςταςθ. Σου εξιγθςε

πωσ μετά από ζνα τζτοιο ταξίδι κα μποροφςε να επιςτρζψει ςαν το είδωλό του

4

μζςα ςε κακρζπτθ, αφοφ κα είχε άλλον προςανατολιςμό πάνω ςτο επίπεδο όπωσ

ςτο ςχιμα 2. Σο αντίςτοιχο ςε μασ ςθμαίνει ότι μετά από ζνα ανάλογο ταξίδι κα

επιςτρζφαμε με τα εντόςκιά μασ απ’ ζξω και τθν επιδερμίδα μασ από μζςα! Σζτοια

φοβερά!

Σελικά ο Α. τετράγωνοσ πίςτεψε ςτθν Σρίτθ διάςταςθ κι ζγινε κιρυκάσ τθσ.

Κυνθγικθκε απ’ το κατεςτθμζνο και μζςα από μια ςειρά ςυναρπαςτικά περιςτατικά

με τθν επζμβαςθ τθσ ςφαίρασ ςϊκθκε και παρζμεινε ς’ όλθ τθ ηωι του ο

υπεραςπιςτισ τθσ ιδζασ τθσ τρίτθσ διάςταςθσ.

Με τθν περιγραφι όλων αυτϊν των καταςτάςεων, παίρνουμε ζνα κλίμα τθσ ηωισ και

τθσ πραγματικότθτασ για τουσ κατοίκουσ τθσ επιπεδοχϊρασ.

Η ςφνδεςη των εμπειριών και των ςυμπεραςμάτων τουσ με τισ δικζσ μασ

εμπειρίεσ και ςυμπεράςματα θα είναι αποκαλυπτική. Μζςω τησ επιπεδοχώρασ του

Abbot θα παρακολουθήςουμε την δική μασ πορεία για την εξερεφνηςη του φυςικοφ

μασ χώρου, κάνοντασ ςυχνοφσ παραλληλιςμοφσ.

Αιϊνεσ πριν τθν περιπζτεια αυτι του Α. τετραγϊνου, οι άνκρωποι τθσ επιπεδοχϊρασ

καλλιεργοφςαν τισ επιςτιμεσ και τθ γεωμετρία. Ο κάτοικόσ τθσ Ευκλείδθσ, τουσ δίδαξε

το Ευκλείδειο δόγμα(το 5ο αξίωμα) και ερμινευαν τον κόςμο γφρο τουσ, κεωρϊντασ

τον επίπεδο και απζραντο, όπωσ ακριβϊσ και εμείσ, με ζνα όμωσ αγκάκι μζςα ςτο

μυαλό: γιατί άραγε να ιςχφει το 5ο αξίωμα; Πωσ άραγε κα ςυμπεριφζρονται οι ευκείεσ

ςτο άπειρο;

Παρ’ όλα αυτά θ γεωμετρία τουσ ιταν το πρότυπο τθσ επιςτθμονικισ ςκζψθσ τθσ

επιπεδοχϊρασ. Και όταν φςτερα από πολλά χρόνια θ τεχνολογία τουσ είχε

αναπτυχκεί ςε υπερβολικό βακμό, τα νοιμονα διδιάςτατα όντα αποφάςιςαν να

κάνουν ζνα πείραμα μεγάλθσ ζκταςθσ, με ςκοπό να ελζγξουν τθν γεωμετρία τουσ.

Πραγματοποίθςαν λοιπόν ζναν τεράςτιο φωτεινό τριγωνιςμό με ςκοπό να μετριςουν

το άκροιςμα των γωνιϊν του φωτεινοφ τριγϊνου που ςχθματίςτθκε. Σζτοια

πειράματα μασ κυμίηουν τουσ αντίςτοιχουσ πειραματιςμοφσ του Gauss όταν άναβε

φωτιζσ ςτισ κορυφζσ γειτονικϊν βουνϊν και μετροφςε τισ γωνίεσ του φωτεινοφ

5

τριγϊνου, κακϊσ και τισ μετριςεισ του Lobatchewsky ςτισ παραλλάξεισ των αςτζρων

με τον ίδιο ςκοπό: τον πειραματικό ζλεγχο τθσ γεωμετρίασ του φυςικοφ χϊρου.

Είναι γνωςτό ότι για μασ οι μετριςεισ αυτζσ δεν απζδωςαν απόκλιςθ απ’ τον

Ευκλειδειανιςμό και ότι οι μετριςεισ ςτα πλαίςια τθσ γενικισ χετικότθτασ γφρο ςτα

1950 ζδειξαν τθν απόκλιςθ τθσ πορείασ τθσ φωτεινισ δζςμθσ απ’ τθν Ευκλείδεια

ευκεία μζςα ςε πεδίο βαρφτθτασ.

Για τουσ διδιάςτατουσ όμωσ ιταν ςχετικά πιο εφκολα τα πράγματα. Μζτρθςαν τισ

γωνίεσ του εκτεταμζνου τριγϊνου ςτον κεωροφμενο επίπεδο κόςμο τουσ, και

ςυγχρόνωσ ζφεραν τθ μεγάλθ κρίςθ ςτθν επιςτιμθ τθσ κοινωνίασ τουσ. Κάκε τρίγωνο

που μετροφςαν είχε και διαφορετικό άκροιςμα γωνιϊν και πάντωσ όχι 1800 . Θ κρίςθ

αυτι κα μποροφςε να ςυγκρικεί με τθν δικι μασ ςφγχυςθ ςτα αποτελζςματα του

πειράματοσ Michelson-Morley που ζβαηε ςε αδιζξοδο όλεσ τισ απόψεισ μασ ςχετικά

με τον χϊρο και τον χρόνο.

Ζτςι λοιπόν οι φωτεινοί τριγωνιςμοί ιταν το ζναυςμα για τουσ διςδιάςτατουσ

να ξεκινιςουν τθν εξερεφνθςθ του φυςικοφ τουσ χϊρου. Καταλάβαιναν ότι τα

αποτελζςματα του φωτεινοφ τριγωνιςμοφ δεν ιταν Ευκλείδεια. Και όμωσ δεν υπιρχε

τρόποσ να διαπιςτϊςουν αν βρίςκονταν πάνω ςε ςφαίρα ι ςε επίπεδθ ςφαίρα (το

γνωςτό μασ επίπεδο όπου εγκαταςτιςαμε τθ ςφαιρικι γεωμετρία) που όπωσ εμείσ

ξζρουμε είναι χϊροι ιςόμορφοι. Έπρεπε λοιπόν ι να κεωριςουν το χϊρο τουσ

Ευκλείδειο επίπεδο και να αλλάξουν γνϊμθ για τθν τροχιά του φωτόσ που μζχρι

τότε τθν κεωροφςαν Ευκλείδεια ευκεία ι να διατθριςουν τθν ευκφγραμμθ τροχιά

για το φωσ αποφαςίηοντασ ότι ηουν ςε μια ςφαίρα αναγνωρίηοντασ αυτι τθν

μυςτθριϊδθ Τρίτθ διάςταςθ.

Οι προτάςεισ λοιπόν που κυριάρχθςαν για τθν ερμθνεία των ςυμπεραςμάτων του

φωτεινοφ τριγωνιςμοφ, κατζλθξαν ςε δφο κεωριςεισ, ς’ αυτι του Riemann και ς’

αυτιν του Poincareϋ. Ο πρϊτοσ ςε μια κλαςςικι μακθματικι διατφπωςθ ςτο άρκρο

του «οι υποκζςεισ που ςτθρίηουν τθ γεωμετρία» επζςτθςε τθν προςοχι των

διςδιάςτατων ςε μια διάκριςθ που φαίνεται προφανισ ζτςι και διαπιςτωκεί: η

διάκριςη ανάμεςα ςτην απεριόριςτη ευθεία και ςτην άπειρα εκτεινόμενη. Θ

διαφορά τουσ εφκολα γίνεται κατανοθτι: ζνασ κφκλοσ είναι μια απεριόριςτθ γραμμι

που ποτζ δεν τελειϊνει, αλλά ζχει πεπεραςμζνο μικοσ. Απ’ τθν άλλθ θ Ευκλείδεια

ευκεία είναι επίςθσ απεριόριςτθ με τθν ζννοια ότι ποτζ δεν τελειϊνει, αλλά είναι και

απείρου μικουσ. Θ αλλαγι αυτι τθσ ζννοιασ τθσ ευκείασ, ςυνεπάγεται είπε ο

6

Riemann ζναν νζο τρόπο μζτρθςθσ των αποςτάςεων, τον τφπο (1)

𝑑𝑠2 =𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2

1 + 𝑘𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

2

που είναι θ διαφορικι ζκφραςθ του γνωςτοφ τφπου για τθν ε-απόςταςθ. τον

τφπο αυτόν του Riemann του γραμμικοφ ςτοιχείου, οι ερμθνείεσ του κ δθμιουργοφν τα

δφο βαςικά μασ γεωμετρικά δόγματα για το φυςικό χϊρο του κόςμου μασ.

Το δόγμα του Ρήμαν

Σο κ κατά τον Riemann παρίςταναι τθν καμπυλότθτα του χϊρου τουσ,

οφείλονταν δθλαδι ςε μια ιδιότητα του χϊρου. Σουσ μίλθςε για τθν τρίτθ διάςταςθ

και τουσ καμπφλουσ χϊρουσ, τουσ δίδαξε τθν ελλειπτικι γεωμετρία τθσ ςφαίρασ και

φυςικά ο πρϊτοσ οπαδόσ του ιταν ο A τετράγωνοσ.

Όλα όμωσ αυτά δεν μποροφςαν να πιςτοποιθκοφν. Είναι το ανάλογο με τθν άποψθ

ότι εμείσ οι τριςδιάςτατοι ηοφμε ςτθν καμπυλωμζνθ επιφάνεια μιασ υπερςφαίρασ

και τϊρα καταλαβαίνουμε το δφςκολο του πράγματοσ για τουσ διςδιάςτατουσ: ο

ιςομορφιςμόσ που κακιζρωςε θ ςτερεογραφικι προβολι αυτό ακριβϊσ ςθμαίνει: ο

διςδιάςτατοσ αν και καταλαβαίνει ότι θ γεωμετρία του δεν είναι Ευκλείδεια, εν

τοφτοισ δεν μπορεί να αποδείξει αν βρίςκεται πάνω ςε ςφαίρα ι ςε επίπεδθ

ςφαίρα. (το Ευκλείδειο μοντζλο τθσ ελλειπτικισ γεωμετρίασ ). Η ζλλειψθ τθσ εμπειρίασ

για τθν Τρίτθ διάςταςθ αποκρφπτει μια άμεςθ διαπίςτωςθ.

Ο διςδιάςτατοσ πειραματιςτισ δεν διαπιςτϊνει καμιά καμπυλότθτα για τισ

ευκείεσ του, καμπυλότθτα του είδουσ που ο Riemann πρότεινε δθλαδι κατά τθν

Σρίτθ διάςταςθ. Κινοφμενοσ πάνω ςε μια γεωδαιςιακι τθσ ςφαίρασ, λζει με

βεβαιότθτα ότι κινείται ςε Ευκλείδεια ευκεία, αφοφ αυτι δεν «ςπάει» οφτε δεξιά

οφτε αριςτερά.

Παρόμοια κι εμείσ δεν μποροφμε να διαπιςτϊςουμε καμιά καμπφλωςθ τθσ

ευκείασ μασ πζρα απ’ τισ τρεισ γνωςτζσ διαςτάςεισ, π.χ. καμπφλωςθ κατά το χρόνο

κι ζτςι βριςκόμαςτε ςτθν ίδια κζςθ με τουσ διςδιάςτατουσ: θ πρόταςθ Riemann

«πρζπει να αλλάξουμε τθν γεωμετρία, ο χϊροσ δεν είναι Ευκλείδειοσ, είναι

καμπυλωμζνοσ κατά τθν Τρίτθ διάςταςθ και δεν μποροφμε πια να μετροφμε

αποςτάςεισ μζςω τθσ Ευκλείδειασ γεωμετρίασ» δεν ιταν άμεςα κατανοθτι.

7

Το δόγμα του Πουανκαρζ

Μια άλλθ όμωσ ερμθνεία του πράγματοσ πρότεινε ο Poincareϋ. Αυτόσ μζςω πάλι

του γεωμετρικοφ μοντζλου τθσ επίπεδθσ ςφαίρασ ιςχυρίςτθκε ότι ο χϊροσ δεν παίηει

κανζναν ρόλο ςτο περίεργο αποτζλεςμα του φωτεινοφ τριγωνιςμοφ, αλλά τα ςϊματα

και θ ςυμπεριφορά τουσ μζςα ςτο χϊρο ιταν που δθμιουργοφςαν τθν απόκλιςθ απ’

τθν Ευκλείδεια γεωμετρία. Ο χϊροσ δεν είναι οντότθτα όπωσ το βουνό ι θ φωτεινι

ακτίνα αλλά ζνα ςφνολο μακθματικϊν ςχζςεων για τθν περιγραφι τθσ ςυμπεριφοράσ των

ςωμάτων ςε αυτόν.

Είναι αναμφιςβιτθτο είπε, ότι οι αποςτάςεισ κα πρζπει να μετροφνται με τον

τφπο (1) όμωσ ο όροσ κ κα μποροφςε να μθν αποδοκεί ςτο χϊρο, αλλά ςε μια

παραμόρφωςθ των ςωμάτων κατά τθν μετατόπιςι τουσ ςτθν επιπεδοχϊρα, θ οποία

οφείλεται ς’ ζνα άγνωςτο πεδίο δυνάμεων, ξζνων προσ τθν γεωμετρία, δθλαδι ςε

κάποιεσ φυςικζσ ςυνκικεσ τθσ επιπεδοχϊρασ, κεωρϊντασ το χϊρο Ευκλείδειο.

Αυτό άλλωςτε μασ λεει και ο τφποσ για πχ. Κ=1: όςο μεγαλφτερο είναι το χ2+y2

τόςο μικραίνει το ds, (θ ράβδοσ μζτρθςθσ) άρα τόςο μεγαλφτερθ είναι θ απόςταςθ

(μεταβολι) που αντιςτοιχεί ςε μεταβολι ςυντεταγμζνων dx, dy ςτο Καρτεςιανό

ςφςτθμα αναφοράσ που ζχουμε ορίςει.

Πραγματικά: Αν το μετακινοφμενο ςϊμα κατά το ςχιμα των Ευκλείδειων

--Ο—1----2------3----------4-αποςτάςεων, τότε αν ςε μια κζςθ τα άκρα του ταυτίηονται

με τα ςθμεία Ο και 1 και μετακινοφμενθ δεξιά τα άκρα του ταυτίηονται με τισ

ενδείξεισ 3 και 4, τότε δφο είναι τα δυνατά ςυμπεράςματα:

Α. θ ράβδοσ μετακινοφμενθ προσ τα δεξιά μεγάλωςε (άποψθ Poincareϋ)

Β. θ πραγματικι απόςταςθ μεταξφ των Ο, 1 είναι ίςθ με τθν απόςταςθ (2, 3)

(άποψθ Riemann)

Δθλαδι μζςω του Poincareϋ οι διδιάςτατοι ςκζφτθκαν ότι κα μποροφςαν να

κρατιςουν μακριά το χϊρο απ’ τα φυςικά φαινόμενα και να ερμθνεφςουν τθν

απόκλιςθ του πειράματόσ τουσ απ’ τθν Ευκλείδεια γεωμετρία, δίνοντασ ςτα ςϊματα

που τον γεμίηουν κάποιεσ ιδιότθτεσ, και κρατϊντασ το χϊρο Ευκλείδειο. Θ ιδζα

δθλαδι ιταν να αλλάξουν τθ Φυςικι και όχι τθ γεωμετρία, μια πραγματικά

ιςοδφναμθ εκδοχι με αυτιν του καμπυλωμζνου χϊρου.

Μάλιςτα ο Poincareϋ πιγε και παραπζρα μπερδεφοντασ τελείωσ τουσ

διςδιάςτατουσ, εκτόσ φυςικά απ’ τον Α τετράγωνο ο οποίοσ είχε γνωρίςει τθν Σρίτθ

8

διάςταςθ: καταςκευάηοντασ το Ευκλείδειο μοντζλο τθσ υπερβολικήσ γεωμετρίασ,

παρατιρθςε εντελϊσ ανάλογα και αντίςτροφα με τθν επίπεδθ ςφαίρα, ότι τα

ςϊματα μίκραιναν κακϊσ απομακρφνονταν απϋ το κζντρο προσ τθν περιφζρεια του

κεμελιϊδθ κφκλου, (αρνθτικι καμπυλότθτα) και απζδωςε μια φυςικι υποκετικι

ερμθνεία για τον κόςμο αυτόν.

Πρότεινε λοιπόν ζνα επίπεδο, όπωσ το δικό τουσ, όπου μζςα ς’ ζναν μεγάλο

κφκλο, τα όρια του κόςμου, θ κερμοκραςία ελαττϊνεται προοδευτικά κακϊσ

απομακρυνόμαςτε απ’ το κζντρο, φτάνοντασ ςτο απόλυτο μθδζν ςτθν περιφζρεια.

Ασ υποκζςουμε ότι όλα τα ςϊματα μζςα ςε αυτό το ςφμπαν, ςυμπεριλαμβανομζνων

και των ςωμάτων των διςδιάςτατων, διαςτζλλονταν και ςυςτζλλονταν ανάλογα με

τθν αφξθςθ ι τθν ελάττωςθ τθσ κερμοκραςίασ τουσ δθλαδι τελικά ανάλογα με τθν

κζςθ τουσ.

Επί πλζον μποροφμε να υποκζςουμε ότι ο δείκτθσ διακλάςεωσ του μζςου

που βρίςκεται μζςα ςτον κφκλο αυτόν, μεταβάλλεται μ’ ζναν οριςμζνο τρόπο, ζτςι

ϊςτε οι φωτεινζσ ακτίνεσ του κόςμου αυτοφ να διαγράφουν τουσ γνωςτοφσ

ορκόκυκλουσ (τισ υπερβολικζσ ευκείεσ του μοντζλου, ανάλογεσ των ε-ευκειϊν του

μοντζλου τθσ επίπεδθσ ςφαίρασ ι ανάλογεσ τθσ γνωςτισ Ευκλείδειασ ευκείασ).

Σι εικόνα κα είχαν για το χϊρο τουσ τότε οι διςδιάςτατοι; οπωςδιποτε το

πεπεραςμζνο τουσ ςφμπαν κα τουσ φαινόταν άπειρο αφοφ κακϊσ κα προχωροφςαν

απ’ το κζντρο προσ τθν περιφζρεια, τα ςϊματά τουσ κα γινόταν μικρότερα, τα

βιματά τουσ κοντφτερα, ζτςι ϊςτε κα τουσ ιταν αδφνατο να φτάςουν ςτθν

περιφζρεια όςο κι’ αν προχωροφςαν. Αυτό μασ κυμίηει το παλιό παράδοξο του

Ηινωνα, όπου δεν μποροφμε να διανφςουμε μια απόςταςθ ΑΒ γιατί πρζπει να

διανφςουμε πρϊτα τθ μιςι , φςτερα τθ μιςι του υπόλοιπου κλπ επ’ άπειρο. Σϊρα

όμωσ δεν είναι παράδοξο! Γιατί κάκε φορά που διανφουμε αυτά τα μιςά αν

μικραίνουμε με ζναν ςυντελεςτι ομοιότθτασ ½, τότε κάκε ζνα απ’ τα μιςά αυτά

άπειρα βιματα κα είναι ίδια απόςταςθ για μασ πχ. 1 μζτρο. Ζτςι ποτζ δεν κα

διανφςουμε τθν ΑΒ πραγματικά.

Παρ’ όλα αυτά όμωσ, κι αυτό επεςιμαναν οι διςδιάςτατοι, λόγω τθσ

ομοιόμορφθσ ςυςτολισ και διαςτολισ των ςωμάτων, αυτά κα φαίνονταν τα ίδια ς’

όποια κζςθ κι αν μεταφζρονταν. Σα ςϊματα γι αυτοφσ κα ιταν μθ παραμορφϊςιμα,

αλλά οι μετριςεισ τουσ κα ζδιναν υπερβολικά γεωμετρικά αποτελζςματα. Ο κόςμοσ

τουσ κα τουσ φαινόταν υπερβολικόσ, μζςα απ’ τθν κακθμερινι εμπειρία, όπωσ τουσ

διδιάςτατουσ τουσ φαίνεται Ευκλείδειοσ. Αςφαλϊσ και κάποιοσ Kant του κόςμου

9

αυτοφ κα μιλοφςε για τον υπερβολικό χϊρο, ςαν τον a prιori τφπο τθσ ενόραςθσ ,

που είναι πζρα απ’ τθν εμπειρία κλπ.

Βζβαια κάποτε μεγάλοι μακθματικοί κα διάλυαν αυτοφσ τουσ μφκουσ και

κα δίδαςκαν ότι θ προτίμθςθ των όντων αυτοφ του κόςμου προσ τθν υπερβολικι

γεωμετρία οφείλονταν ςτισ επιταγζσ τθσ κοινισ εμπειρίασ και όχι ςε a priori τφπουσ

τθσ λογικισ.

Σελικά αν από κάποια φυςικι αιτία, τα φυςικά αυτά φαινόμενα τθσ

κερμοκραςίασ και τθσ διάκλαςθσ ςταματοφςαν, πράγμα που κα ζκανε το κ=0, τότε

αυτομάτωσ ο ίδιοσ χϊροσ κα γινόταν Ευκλείδειοσ, πράγμα που μασ λζει ότι αυτόσ

δεν ζχει να κάνει με τθν πραγματικότθτα, αλλά οι φυςικζσ ςυνκικεσ μζςα ς’ αυτόν

κακορίηουν και τθ γεωμετρία του

Για τον Poincareϋ λοιπόν δεν υπάρχει φυςικόσ χϊροσ, δεν μπορεί ο χϊροσ να

εξερευνηθεί με το πείραμα, δεν ζχει ςχζςη η φυςική με την γεωμετρία. Ο χϊροσ δεν

είναι οντότητα όπωσ η φλη ή η φωτεινή ακτίνα. Είναι μαθηματική καταςκευή που μασ

βοηθάει να περιγράψουμε την ςυμπεριφορά των ςωμάτων ςε αυτόν, και δεν ζχει

νόημα το ερϊτημα, ποια είναι η ςωςτή γεωμετρία για τον χϊρο. Είναι κάτι ςαν τισ

μονάδεσ μζτρθςθσ. Είναι το μζτρο, θ ςωςτι μονάδα ι θ γιάρδα; ερϊτθμα χωρίσ

ςθμαςία.

Εδϊ τελειϊνει και θ δεφτερθ κεϊρθςθ αυτι του Poincareϋ, κι αυτό που φαίνεται

κακαρά είναι ότι άμεςθ πειραματικι απόδειξθ υπζρ τθσ μιασ ι τθσ άλλθσ πρόταςθσ

δεν υπιρχε για τουσ διςδιάςτατουσ. Ηοφςαν ςε μια ςφαίρα, αλλά πϊσ να αποδείξουν

τθν φπαρξθ τθσ καμπυλότθτασ, αφοφ αυτι ιταν κατά τθν μυςτθριϊδθ Σρίτθ

διάςταςθ; Αλλά και το παραμορφϊςιμο των ςωμάτων δεν μποροφςαν να

διαπιςτϊςουν πειραματικά. Γιατί για μια τζτοια απόδειξθ κα ζπρεπε να υπάρχει ζνα

ςϊμα ςτερεό ςτον κόςμο τουσ που κα μετροφςε τισ παραμορφϊςεισ των άλλων

ςωμάτων, όντασ αυτό άκαμπτο. Όμωσ που να βρουν ζνα τζτοιο ςϊμα αφοφ απ’ τθν

παραμόρφωςθ δεν εξαιροφνταν τίποτα; Κι αν υπιρχε κάτι τζτοιο, κάποιοσ κα

μποροφςε να πει ότι αυτό ιταν που παραμορφϊνονταν κι όχι τα ςϊματα του χϊρου

τουσ;

Ζτςι οι δφο προτάςεισ φαίνονται ιςοδφναμεσ:

Μποροφςαν να αλλάξουν τθν γεωμετρία κρατϊντασ τθ Φυςικι αναλλοίωτθ (άποψθ

Riemann)

Ή να αλλάξουν τθν Φυςικι, κρατϊντασ αναλλοίωτθ τθν γεωμετρία (άποψθ

Poincareϋ )

10

Γιϊργοσ Μπαντζσ μακθματικόσ www.mpantes.gr