Β΄ Τοσίτσειο – Αρσάκειο Λύκειο Εκάλης

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης 13

Ιδιότητες Απόλυτης Τιµής

1η Κατηγορία: Απόλυτη τιµή και πράξεις

Α. Για κάθε x∈� ισχύει: 2 2| x | x= .

Απόδειξη:

• Αν x 0≥ τότε | x | x= οπότε 2| x | x= (αποδείχτηκε)

• Αν x 0< τότε | x | x= − οπότε 2 2 2| x | ( x) x= − = (αποδείχτηκε)

Α1. Για κάθε x∈� ισχύει: | x | x | x |− ≤ ≤

Απόδειξη:

• Αν x 0≥ τότε | x | x= οπότε αρκεί x x x− ≤ ≤ όπου αυτή ισχύει ως ισότητα στο δεξί µέλος της και ως γνήσια ανισότητα στο αριστερό µέλος της.

• Αν x 0< τότε | x | x= − οπότε έχουµε ανάλογα συµπεράσµατα στα αντίθετα µέλη. Β. | x y | | x | | y |⋅ = ⋅ για κάθε x,y∈� . Απόδειξη: Χρησιµοποιούµε την ιδιότητα Α και θα έχουµε:

2 2 2 2 2 2| xy | (xy) x y | x | | y |= = = και άρα αφού | xy | 0≥ θα είναι: | x y | | x | | y |⋅ = ⋅ Σχόλιο: Καλύτερη και ανεξάρτητη απόδειξη θα ήταν εκείνη που θα διακρίναµε για τους πραγµατικούς x και y τέσσερις περιπτώσεις για το πρόσηµό τους (τις: ( , ),( , ),( , ),( , )+ + + − − + − − ) και θα βγάζαµε αντίστοιχα τα α-πόλυτα.

Γ. x | x |

,x,y ,y 0y | y |= ∈ ≠�

Απόδειξη: Ανάλογη µε το Β.

∆. Για κάθε x, y ∈� ισχύει: | x y | | x | | y |+ ≤ + (λέγεται και τριγωνική ανισότητα ή ιδιότητα) (1)

Απόδειξη: Παρατηρούµε ότι για x y 0= = η (1) ισχύει ως ισότητα. Τώρα αν ένα από τα x και y δεν είναι µηδέν, θα έ-χουµε και τα δύο µέλη θετικά (αφού έχουµε απόλυτες τιµές), οπότε µπορούµε να υψώσουµε στο τετράγωνο και τα δύο µέλη χωρίς να αλλάξει η φορά της ανίσωσης. Πάµε λοιπόν: Αρκεί να αποδείξουµε:

Β΄ Τοσίτσειο – Αρσάκειο Λύκειο Εκάλης

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης 14

( )22 2 2 2

2

| x y | | x | | y | (x y) | x | 2 | x || y | | y |

x

+ ≤ + ⇔ + ≤ + + ⇔

22xy y+ + + 2x≤ 22 | xy | y+ + 2⇔ xy 2≤ | xy |

και τελικά αρκεί: xy | xy |≤ που αυτό ισχύει µε βάση την ιδιότητα Α1. Σχόλια: Α. Είναι φανερό ότι για να ισχύει ως ισότητα η (1), αρκεί η τελική να ισχύει ως ισότητα, δηλαδή να είναι: | xy | xy= που αυτό ισχύει όταν xy 0≥ δηλαδή όταν τα x και y είναι οµόσηµα. Β. Ανάλογα µε την (1) µπορούµε να αποδείξουµε και ότι: | x y | | x | | y |− ≤ + 1. Γ. Ολοκληρωµένη η τριγωνική ανισότητα είναι:

| x | | y | | x y | | x | | y |,x,y− ≤ ± ≤ + ∈�

Το αριστερό µέλος αποδεικνύεται ανάλογα.

2η Κατηγορία: Απόλυτη τιµή και εξισώσεις - ανισώσεις Οι παρακάτω ιδιότητες χρησιµοποιούνται για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων που περιέχουν απόλυ-τα και για το λόγο αυτό απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή.

Ε. Αν α 0≥ τότε για κάθε x∈� ισχύει: | x | α x α ή x α= ⇔ = = −

Απόδειξη: Υψώνουµε και τα δύο µέλη στο τετράγωνο και θα έχουµε:

2 2 2 2| x | α x α 0 (x α)(x α) 0= ⇔ − = ⇔ − + = οπότε θα πρέπει: ή x α 0 x α+ = ⇔ = − ή

x α 0 x α− = ⇔ = οπότε αποδείχτηκε. Σχόλια: Α. Αν α 0< τότε η εξίσωση | x | α= είναι αδύνατη.

Για παράδειγµα οι εξισώσεις 2| x | 1, | x 3 | 5, | x | (κ 1),κ= − − = − = − + ∈� είναι αδύνατες. Β. Μπορείτε να δώσετε µια γεωµετρική ερµηνεία της ιδιότητας Ε χρησιµοποιώντας το γεωµετρικό ορισµό της απόλυτης τιµής;

Ζ. Για κάθε α∈� ισχύει: | x | | α | x α ή x α= ⇔ = = −

Απόδειξη: Γίνεται ανάλογα µε την ιδιότητα Ε. Η. Για κάθε α 0≥ ισχύει: | x | α α x α≤ ⇔ − ≤ ≤

1 Προσοχή: Και πάλι έχουµε (+) στο δεύτερο µέλος.

Β΄ Τοσίτσειο – Αρσάκειο Λύκειο Εκάλης

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης 15

Απόδειξη: Παρατηρούµε ότι και τα δύο µέλη της ανίσωσης είναι µη αρνητικά, οπότε µπορούµε να υψώσουµε στο τε-τράγωνο και τότε θα αρκεί:

2 2 2 2| x | α x α 0 (x α)(x α) 0≤ ⇔ − ≤ ⇔ − + ≤ Εποµένως θα πρέπει οι παράγοντες x α,x α− + να είναι ετερόσηµοι για να είναι αρνητικό το γινόµενό τους οπότε θα έχουµε τα δύο συστήµατα παρακάτω:

1 2

x α 0 x α 0(Σ ) ή (Σ )

x α 0 x α 0

− ≤ − ≥

+ ≥ + ≤

Συναληθεύοντας τις ανισώσεις των συστηµάτων Σ1 και Σ2 καταλήγουµε στο συµπέρασµα. Σχόλια: Α. Αν α 0< τότε η ανίσωση | x | α≤ είναι αδύνατη.

Για παράδειγµα οι ανισώσεις: 2| x | 1, | x 3 | 5, | x | (κ 1),κ< − − ≤ − ≤ − + ∈� είναι αδύνατες. Β. Μπορείτε να δώσετε µια γεωµετρική ερµηνεία της ιδιότητας Η χρησιµοποιώντας το γεωµετρικό ορισµό της απόλυτης τιµής; Θ. Για κάθε α 0≥ ισχύει: | x | α x α ή x α≥ ⇔ ≤ − ≥ . Απόδειξη: Ανάλογη µε την απόδειξη της Η ιδιότητας. Σχόλια: Α. Αν α 0< τότε η ανίσωση | x | α≥ είναι αόριστη ως γνήσια ανίσωση αφού | x | 0≥ .

Για παράδειγµα οι ανισώσεις: 2| x | 1, | x 3 | 5, | x | (κ 1),κ> − − > − ≥ − + ∈� είναι αόριστες ως γνήσιες ανισώ-

σεις, δηλαδή ισχύουν για κάθε x∈� ως γνήσιες ανισώσεις.

Β. Μπορείτε να δώσετε µια γεωµετρική ερµηνεία της ιδιότητας ή χρησιµοποιώντας το γεωµετρικό ορισµό της απόλυτης τιµής; Ι. Για κάθε πραγµατικούς αριθµούς 1 2 νx ,x ,...,x ισχύει η ισοδυναµία:

| | | | ... | | ...1 2 1 20 0x x x x x xν νν νν νν ν+ + = ⇔ = = = =+ + = ⇔ = = = =+ + = ⇔ = = = =+ + = ⇔ = = = = Απόδειξη: Έστω 1 2| | | | ... | | 0vx x x+ + = . Παρατηρούµε ότι πρόκειται για άθροισµα µη αρνητικών αριθµών και εποµένως

για να ισούται µε 0, θα πρέπει αναγκαστικά: 1 2 ... 0vx x x= = = = . Αντίστροφα, αν 1 2 ... 0vx x x= = = = τότε φανερά και 1 2| | | | ... | | 0vx x x+ + = .