Ακρότατα συνάρτησης

Εφαρμογζσ παραγϊγων Χρθματοοικονομικά και άλλα ακρότατα Εφαρμογζσ των παραγϊγων ςε διάφορα προβλιματα των εφαρμοςμζνων μακθματικϊν

2009

Stefanos [email protected]

8/12/2009

mailto:[email protected]

Χρηματοοικονομικά

Συχνά ςε διάφορα προβλιματα οικονομικισ φφςθσ , ηθτείται να βρεκοφν οι προχποκζςεισ ϊςτε το κζρδοσ από τθν πϊλθςθ κάποιων μονάδων προϊόντοσ να μεγιςτοποιείται ι να ελαχιςτοποιείται το κόςτοσ παραγωγισ τουσ . Σε γενικζσ γραμμζσ αν Π ( x ) , Κ ( x ) και C ( x ) οι ςυναρτιςεισ τθσ πϊλθςθσ ( ι εςόδων ), κόςτουσ και κζρδουσ αντίςτοιχα x μονάδων ενόσ προϊόντοσ τότε μεταξφ τουσ ιςχφει θ ςχζςθ :

Π x K x C x (1)

Γίνεται φανερό ότι αν δίνονται δφο από αυτζσ τότε με χριςθ τθσ ( 1 )

μποροφμε να εκφράςουμε τθν τρίτθ ςε ςχζςθ με τισ δφο γνωςτζσ και

κατόπιν να τθν μελετιςουμε ωσ προσ τα ακρότατα και τθν μονοτονία

ϊςτε να διαπιςτϊςουμε τισ ςυνκικεσ υπό τισ οποίεσ μεγιςτοποιείται ι

ελαχιςτοποιείται .

Θα μποροφςαμε να ςυνοψίςουμε τα παραπάνω ςτα εξισ βιματα :

Β1) Διαπιςτϊνουμε από τθν εκφϊνθςθ ποια είναι θ ςυνάρτθςθ τθσ

οποίασ ηθτείται το ακρότατο ( πϊλθςθ , κζρδοσ , κόςτοσ )

Β2) Εντοπίηουμε τισ άλλεσ δφο μζςα ςτθν εκφϊνθςθ και προςζχουμε

και οι τρείσ να αναφζρονται ςτο ίδιο πλικοσ μονάδων προϊόντοσ .

Β3) Εκφράηουμε τθν ςυνάρτθςθ τθσ οποίασ ηθτείται το ακρότατο ωσ

προσ τισ άλλεσ δφο και κατόπιν τθν μελετοφμε ωσ προσ τθν μονοτονία

παράδειγμα 125 ( 34 )

Η μονάδα προϊόντοσ είναι το ταψί

Ζςτω Π ( x ) θ ςυνάρτθςθ πϊλθςθσ , Κ ( x ) θ ςυνάρτθςθ κόςτουσ και

C ( x ) θ ςυνάρτθςθ κόςτουσ για τθν παραγωγι x ταψιϊν .


Η Π ( x ) δίνεται για ζνα ταψί ενϊ θ Κ ( x ) δίνεται για τα x ταψιά .

Επομζνωσ κα πρζπει να εκφραςτεί θ Π ( x ) για τα x ταψιά . Μιασ και θ

πϊλθςθ του ενόσ ταψιοφ είναι 10002

x προκφπτει ότι τα x ταψιά κα

πωλοφνται για 10002

xx

δραχμζσ οπότε Π 10002

xx x

.

Επειδι θ ςυνάρτθςθ κόςτουσ δίνεται ωσ 2

Κ 25 254

xx x κα ζχουμε

με βάςθ τθ ςχζςθ : Π x K x C x ότι ΠC x x K x δθλαδι

: 2 23

1000 25 25 975 252 4 4

x x xC x x x x

Σε αυτό το ςθμείο κα εξετάςουμε τθν C ( x ) ωσ προσ τθ μονοτονία και

τα ακρότατα .

Είναι '3

9752

xC x . Θζτουμε : C ϋ( x ) = 0 και ζχουμε

3 1950975 0 650

2 3

xx ταψάκια

Ο πίνακασ μονοτονίασ τθσ C ( x ) φαίνεται παρακάτω

Από τον πίνακα μονοτονίασ διαπιςτϊνουμε ότι για παραγωγι 650

ταψιϊν τθν εβδομάδα το εργοςτάςιο παρουςιάηει μζγιςτο κζρδοσ ίςο

με 316850 δρχ .



Η ςυνάρτθςθ πϊλθςθσ του ενόσ κιβωτίου είναι 502

x χιλιάδεσ ευρϊ

οπότε θ πϊλθςθ x κιβωτίων κα είναι 2

Π 50 502 2

x xx x x

Τα x κιβϊτια ζχουν κόςτοσ παραγωγισ 2

35 254

xP x x ευρϊ

οπότε θ ςυνάρτθςθ κζρδουσ C x κα είναι (κζρδοσ = πϊλθςθ – κόςτοσ

) 2 2 23

50 35 25 15 252 4 4

x x xC x x x x

με παράγωγο '3

152

xC x .

Θζτουμε '3

0 15 0 102

xC x x

Ο πίνακασ μονοτονίασ τθσ C ( x ) φαίνεται παρακάτω :

Από τον πίνακα μονοτονίασ προκφπτει ότι θ βιομθχανία παρουςιάηει

μζγιςτο κζρδοσ για παραγωγι 10 κιβωτίων τθν θμζρα και το θμεριςιο

κζρδοσ τθσ ανζρχεται ςτισ 50.000 ευρϊ



Το ςυνολικό κόςτοσ άνευ φόρου για x μονάδεσ προϊόντοσ είναι εξ

υποκζςεωσ 3

210 28 53

xG x x x . Επειδι για κάκε μονάδα

επιβάλλεται φόροσ 222 ευρϊ άρα για τισ x μονάδεσ 222x ευρϊ , το

ςυνολικό κόςτοσ με τον φόρο κα είναι

3 3

2 210 28 5 222 5 250 103 3

x xg x x x x x x

Τα ζςοδα ( πϊλθςθ ) για μία μονάδα προϊόντοσ είναι ( ) 2750 5R x x

οπότε για τισ x μονάδεσ προϊόντοσ κα είναι 22750 5xR x x x

Αν C x το κζρδοσ από τθν πϊλθςθ x μονάδων προϊόντοσ , τότε :

3

2750 250 103

xC x xR x g x x x Είναι ' 2 2500C x x

οπότε ' 20 2500 50C x x x

Ο πίνακασ μονοτονίασ τθσ C (x ) φαίνεται παρακάτω :


Άλλα ακρότατα

Σε αυτι τθν κατθγορία ςυναντάμε ςυναρτιςεισ που εξαρτϊνται

ςυνικωσ από τον χρόνο t και μελετάμε τθ χρονικι τουσ εξζλιξθ .

Οι ςυναρτιςεισ αυτζσ ζχουν τθν μορφι : κάτι ( t ) όπου «κάτι» ζνα

ςφμβολο που παριςτάνει το μζγεκοσ που εξαρτάται από τον χρόνο που

μπορεί να είναι :

θ ιςχφσ ενόσ πθνίου P ( t )

θ ταχφτθτα ενόσ κινθτοφ u ( t )

θ επιτάχυνςθ ενόσ κινθτοφ α ( t )

θ ςυγκζντρωςθ ενόσ αντιβιοτικοφ ςτο αίμα ενόσ οργανιςμοφ C ( t )

ι οτιδιποτε άλλο του t !

Ζτςι αν μασ ηθτθκεί θ χρονικι ςτιγμι κατά τθν οποία το κάτι ( t )

εμφανίηει ακρότατο ( μζγιςτο ι ελάχιςτο ) τότε απλά μελετοφμε τθν

ςυνάρτθςθ ωσ προσ τθν μονοτονία και τα ακρότατα ζχοντασ κατά νου

ότι ο χρόνοσ είναι πάντα 0t


Θα υπολογίςουμε τισ μζγιςτεσ αντιδράςεισ των φαρμάκων και κα τισ

ςυγκρίνουμε . Αυτό που κα κάνουμε είναι να :

υπολογίςουμε τισ παραγϊγουσ των ςυναρτιςεων

να τισ μθδενίςουμε και να βροφμε τισ ρίηεσ τουσ

να κάνουμε τουσ πίνακεσ μονοτονίασ των ςυναρτιςεων και από

αυτοφσ να εντοπίςουμε τα ηθτοφμενα ακρότατα

Ζχουμε λοιπόν

'1 1 1t t t tf t te f t e te e t και

' '2 2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 1 4t t t tf t te f t e t te e t

Θζτουμε '1 0 1 0 1f t t t και


' 22

10 1 4 0

2f t t t

Οι πίνακεσ μονοτονίασ των δφο ςυναρτιςεων φαίνονται παρακάτω :

Από τουσ πίνακεσ διαπιςτϊνουμε ότι το φάρμακο 1 παρουςιάηει

μζγιςτθ αντίδραςθ για t = 1 και ίςθ με /11 1 1f e e και το φάρμακο

2 για t = 1/2 και ίςθ με /

21 122 4

2 1 4

1 1 1 1

2 2 2 2f e e

e

Πρζπει να διαπιςτϊςουμε ποιοσ από τουσ αρικμοφσ 1

e και

/1 4

1

2e είναι

μεγαλφτεροσ ! Αυτό γίνεται εφκολα ςυγκρίνοντασ τουσ λογαρίκμουσ των

αρικμϊν διότι ό,τι ανίςωςθ ικανοποιοφν οι λογάρικμοί τουσ τθν ίδια

ακριβϊσ ικανοποιοφν και οι ίδιοι οι αρικμοί.

Ζχουμε : ln ln ln111e e

e

και

ln ln ln ln ln ln1 1

4 41 1

2 2 2 24 4

e e e

Επειδι

/ /

ln ln ln ln ln

ln ln1 4 1 4

1 12 1 2 1 2 0 2 0 2 1

4 4

1 12 2e e

e e

Άρα το φάρμακο 2 παρουςιάηει μεγαλφτερθ μζγιςτθ ςυγκζντρωςθ από

το φάρμακο 1 .

Ακρότατα συνάρτησης

Documents

Transcript of Ακρότατα συνάρτησης